GABARITO

1Matemática B

01) A

Se cos α = 3/5, então , a representação em um triângulo retângulo será:

3

Pitágoras

3

4

55

tg α = c oc a..

= 43

02) E

4555

360

955

720

360

12

235

235° está no 3º quadrante.

4195

360

595

360

360

11

235

A primeira determinação positiva de 4555° e 4195° é 235°, logo, eles são côngruos.

03) E

sec x = 1

cos x = – 5

3 ⇒ cos x = –

35

3

Pitágoras

3

455

x

Matemática B – Extensivo – v.2

Exercícios

Como o arco x tem extremidades no segundo quadrante, 0 seno é positivo e tangente é negativa, logo:

sen x = 45

tg x = −43

5 sen2 x – 3 tg x = 545

343

2

. −

− =

51625

123

165

4365

. + = + =

04) E

B

A

Ox

y

P

K

No triângulo Δ OBP temos:(BP)2 + (OB)2 = (OP)2, mas BP = OAOA2 + OB2 = 12 (I)

Também temos que BÔP = 30°, logo:

tg 30° = BP

OB

OA

OB

OA

OBOA OB= ⇒ = ⇒ =

33

3 3 . (II)

Substituindo (II) em (I) temos:

33

139

1

22 2. OB

OBOB

OB

+ = ⇒ + = ⇒

129

12

2OBOB= ⇒ =

912

= 34

⇒ OB = 32

OAOB

= = = = =33

332

3

323

32

13

12

. ..

OA . OB = 12

. 32

= 34

GABARITO

2 Matemática B

05) D

cos x = (cosx + senx . tgx)

cosx= cos .x senx+

senxcosx

cosx = 1

cosx . 1cosx

. 1cosx

= sec2 x

06) A

cos2 x = m2 e tg2 x = 6 m2 ⇒ sen xx

2

2cos = 6 m4

⇒ sen xm

2

2 = 6 m2 ⇒ sen2 x = 6 m

sen2 x + cos2 x = 16 m4 + m2 = 16 m4 + m2 – 1 = 0 → m2 = y6 y2 + y – 1 = 0

y = − ± +1 1 2412

= − ±1 512

↗

↘

y' = 13

→ m2 = 13

y" → m2 = −12

07) A

sen x x

sen x sen x x

sen x sen x x

+( ) −−( ) +( )

=

+ +

cos

. cos

. cos co

2

2 2 2

2

1

2 1

2 ss

. cos

2

2 2 2

1

2 1

x

sen x sen x x

−−( ) +( )

=

1 2 12 2

+ −=

sen x xx

. coscos

2 12

2

2

sen x x xx

sen x xx

. cos coscos

. coscos

+ −=

08) E

20°

340°

160°

200°

tg 20° = – tg 160°tg 20° = tg 200°tg 20° = – tg 340°

tg tgtg

160 340200°+ °

° = ( ) ( )− + −

=−a a

aa

a2 = –2

09) D

tg2 x + sen2 xsec2 x –1 + sen2 xsec2 x –1 + sen2 xsec2 x – cos2 x

10) D

1 1cos ( )

( )cos ( )

( )x

tg xx

tg x−

+

=

1 1cos ( )

s ( )cos ( ) cos ( )

s ( )cos ( )x

en xx x

en xx

−

+

=

1 1−

+

s ( )cos ( )

s ( )cos ( )

en xx

en xx

=

11

2

2

2

2

−= =

s ( )cos ( )

cos ( )cos ( )

en xx

xx

11) C

sen α = 1213

pitágoras13

12

13

12

5

cos α = −513

(negativo, pois está no 2º quadrante)

GABARITO

3Matemática B

12) B

F(x) = (sen x + cos x)2 + (sen x – cos x)2 = F(x) = (sen2 x + 2 sen x . cos x + cos2 x) + (sen2 x – 2 sen x . cos x + cos2 x)F(x) = 2sen2 x + 2cos2 xF(x) = 2(sen2 x + 2cos2 x) ⇒ F(x) = 2 . (1) ⇒ F(x) = 2

O gráfico é uma reta paralela ao eixo, que intercepta o eixo y no ponto 2.

13) B

2sen2 x + 2cos2 x – 5 ⇒ 2(sen2 x + cos2 x) – 5 ⇒ 2(1) – 5 = 3

14) D

y = sec x + cotg xcos x + tg x

=

1cos

coss

coscos

s cos .coscos .s

cos .cox

xen x

xsen x

x

en x x xx en x

x

+

+=

+

ss scos

x en xx+

= (s cos ) . (cos )

cos .s .(cos s )

en x x x

x en x x en x sen x

+

( ) += =

2

2

1 134

= 43

16) 0

log [tg (π/5)] + log [3π/10)] = log[tg 36°] + log [tg 54°] = log (tg 36° . tg 54°) =

= log sen sen36

545436

°°

°°

cos

.cos

mas, como 36° e 54° são complementares, sen 54° = cos 36° e cos 54° = sen 36o. Logo:

log sen sen3636

5454

°°

°°

cos

.cos

= log 1 = 0

15) B

cos x = 21m− ⇒ sec x = m−1

2tg x =  m−2 tg2 x +1 = sec2 x

( m−2)2 +1 = (m−12

)2 ⇒ m – 2 + 1 = m m2 2 14− +

4m – 4 = m2 – 2m + 1m2 – 6m + 5 = 0s = 6 p = 5m1 = 1 m2 = 5

Como m = 1 não satisfaz as condições de existência, então m = 5.

17) A

O

y

12

12

P

Q

α e β são replementares, ou seja, α + β = 360° = 2π rad.

GABARITO

4 Matemática B

18) a) A = 2sen 2θ; P = 4(senθ + cosθ)

b) θ = π4

rad

c) θ = π4

rad

a)

B

D

sen �

sen �

sen �

sen �

cos � cos �

cos � cos �

Aretâng. = b . hAretâng. = (2 cos θ) . (2 sen θ)Aretâng. = 4 sen θ . cos θAretâng. = 2 . (sen θ . cos θ)Aretâng. = 2 . sen 2θ

2P = 4sen θ + 4cos θ2P = 4(sen θ + cos θ)

b) A = 2 . sen2 θ

Área máxima: seno máximo ⇒ 2θ = π2

θ = π4

c) 2P = 4 . (sen θ + cos θ) ⇒ y = 4 . (sen θ + cos θ) y2 = 16 . (sen θ + cos θ)2

y2 = 16 . (sen2 θ + 2 . sen θ . cos θ + cos2 θ) y2 = 16 . (1 + sen 2θ)

O valor que dá o y máximo é também o valor que dá y2 máximo. Para y2 ser máximo, sen 2θ deve ser máximo:

2 θ = π2

⇒ θ = π4

19) B

sen α = 12

e α ∈ 2º quadrante.

x

y

12

30°150°

α = 150°

y = sen tg( ).sec ( )90 150 150

180 150°− ° °°+ °

= sen tg( ).sec ( )− ° °

°60 150

330

y = − ° − °°

sen tg( ).( )sec ( )60 30

30 = sen tg60 30

130

° °

°

.

cos

y =

32

33

1

32

122

3

.⇒ ⇒ y = 3

4

20) D

Como: cos x = cos (–x), então sec x = sec (–x) cos x + sec x = t (cos x + sec x)2 = t2

cos2 x + 2 cos x . sec x + sec2 x = t2

cos2 x + 2 cos x . 1cosx

+ sec2 x = t2

cos2 x + 2 + sec2 x = t2

cos2 x + sec2 x = t2– 2

21)

1 21++

coscos

xx

= 1 21++

coscos

xx

. 1 = 1 21

11

++

−−

coscos

.coscos

xx

xx

= 1 2 21

2

2

− + −−

cos cos coscos

x x xx

= 1 21

2

2

+ −−

cos coscosx x

x

GABARITO

5Matemática B

22) D

2 21

2 2 11

2 2− −−

=− − −

−cos s

coscos ( cos )

cosx en x

xx x

x = 2 1 1 1

1( cos ) ( cos )( cos )

cos− − − +

−x x x

x =

( cos ) ( ( cos ))

cos

1 2 1

1

− − +

−

x x

x = 1 – cos x

II. Falso.

214

� 84�

2164

�

nº de voltas54�

54�con = – cos =�

22

�4

sen =22

(II)

III. Verdadeiro.

840° 360°(III)

720°

120°

2 nº de voltas

sec 840° = sec 120°

sec 840° = 1120cos °

sec 840° = 11 2−

sec 840° = –2

–cossec 30° = 130sen °

–cossec 30° = – 11 2

–cossec 30° = –2

IV. Verdadeiro. sec α = 2 e cos α = 12

Se α ∈ [0°, 360°], então α = 60° ou α = 300°.

x

y

12

60°

300°

23) E

I. Verdadeiro. sen 310° = –sen 50° sen 50° = –sen 310°

P F

F

+ +

– –

II. Falso. Seja sen x = y y2 + 4y + 3 = 0 s = –4 p = 0 y1 = –1 y2 = –3

sen x = –1 → x = 270° sen x = –3 → (impossível)

III. Verdadeiro. –1 ≤ sen x ≤ 1 –1 ≤ k –1 ≤ 1 0 ≤ k ≤ 2

IV. Verdadeiro.

A = sen sen sen

sen

π π

π π π

22 0

2

2 42

+

+

.

. coscos

= 1 2 0 1

0 2 1

11

12

++ −

= =. .

. ( )

24) E

I. Verdadeiro. sen2 x + cos2 x = 1 ( )1 2−k 2 + (k + 2)2 x = 1

1 – k2 x + k2 + 4k + 4 = 1 4k = –4 k = –1

GABARITO

6 Matemática B

25) 05

01. Verdadeiro.

45°

45°

45°

20

3

17

3

3

02. Falso.

a a

25 + aπ 88 – aπ

25 + a

88 + a

ππ

sen (25π + a) = sen a = – 13

sen (88π – a) = –sen a = –13

sen (25π + a) – sen (88π – a) = – 13

– ( )−13

= 0

04. Verdadeiro.

1

�1

y

x

π4

π4

38π

π2

P = 2πm

= 24π =

π2

g(x) = −23

π + π4

(função de primeiro grau)

Ponto em que a reta corta o eixo y:

Coeficiente linear: π4

≅ 3 144, < 1

08. Falso. tg x . sec x < 0

tg x

sec x

tg . sec

Logo, x deve estar localizado no 3° ou 4° quadrante.

GABARITO

7Matemática B

26) E

A soma envolve apenas ângulos pares, medidos em graus. Tomei ao acaso um deles para análise no ciclo. Escolhi um ângulo de 12°.

168° 12°

192° 348°

Esse ângulo possui uma determinação em cada quadrante com os mesmos valores de seno e cosseno, alterando apenas o sinal. Veja que esses ângulos aparecem na soma e, como em toda expressão o cosseno está elevado ao quadrado, a soma pode ser escrita com o:

27) C

A =  x senk

kk =

=

2

2

2412

π: ,  y sen

kkk =

+

=

2 3 524

12( )

: ,π

Como k = 1,2, então + {x1, x2} e B {y2, y2}A ∪ B = {x1, x2, y1, y2}Soma = x1 + x2 + y1 + y2

Soma = sen2 π24

+ sen2 4

24π

+ sen2 8

24π

+ 11

24π

=

sen2 π24

+ sen2 π

6

+ sen2 π

3

+ sen2 11

24π

Como π24

e 1124

π são complementares,

sen2 1124

π

= cos2 π

24

Soma = sen2 π24

+ sen2 π

6

+ sen2 π

3

+ cos2 π

24

Soma = 1 + sen2 π6

+ sen2 π

3

Soma = 112

32

2 2

+ +

Soma = 1 + 14

+ 34

= 2

28) B

P = 2πm

= 23π

S = cos cos cos cos cos2 2 2 2 20 90 180 270 360°+ °+ °+ °+ °Extremos

� ����������������������������� ���������������������������� + (cos cos ... cos cos2 2 2 24 2 4 86 88°+ °+ + °+ °Reduções ao 1º Q

� ������������������������� ����������������������������

S = 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 4 . (cos2 2° + cos2 4° + ...+ cos2 86° + cos2 88°)

Veja que 2° e 88° são complementares, logo cos 88° = sen 2°. O mesmo acontece com os ângulos 4° e 86° assim como com todos os ângulos da expressão:

S = 3 + 4 . (cos 2° + cos 4° + ... + sen 4° + sen 2°)2 2 2 2

S = 3 + 4 . 1 1 122

+ + +( )...vezes

� ������ ������ ⇒ S = 3 + 4 . 22 = 91

GABARITO

8 Matemática B

29) f(x) = 1 + sen  22

π πx−

a) P = 2πm

P = 22

ππ

= 1

Imagem:

sen

y

sen

y

máx.

min.

== + =

=−= − =

1

1 1 2

1

1 1 0

⇒ Im = [0, 2]

b) y = 1 ⇒ 1 + sen  22

π πx−

= 1

sen  22

π πx−

= 0

2πx – π2

= kπ

2πx = π2

+ kπ ÷ (2π)

x = 14

+ K2

Se K então x

Se K então x

=

=

=

=

0,

1,

14

34

⇒ S = 14

, 34

30) Cy

x

Pseno = 2πm

= 21π

2π ≅ 6,28

Logo, temos dois pontos de intersecção.

31) D

Se T = 0, então f(0) = cos π2

= 0

Se T = π2

, então f(π2

) = cos π = –1

Se T = π, então f(π2

) = cos 3π = 0

Se T = 32π, então f(3

2π) = cos 2π = 1

Esboçando o gráfico teremos:

–1

0

f(t)

1

2pt

3 /2p

pp/2

32) A

f(t) = 2sen [3t – (π/3)], t ∈ R.

Im. ( )

. ( )Im [ , ]

↗

↘

2 1 2

2 1 22 2

− =−=−

⇒ = −

P = 2πm

= 23π

f(0) = 2sen −

π3

= 2 . sen (–60°)

f(0) = 2 .  −

33

 = – 3 ≅ – 1,7

Esboçando o gráfico temos:

t

f(t)2

1

–1

–2

–1–2 21

33) E

Pseno = 2πm

⇒ 4π = 2πm

⇒ m = 12

A observação que P = 4π provém do gráfico (quanto leva para repetir).• Dm→ valores de x Dm = R• Im→ valores de y Im → [–3, 3]

GABARITO

9Matemática B

• Sobre a paridade, verifica-se que o gráficoé simétrico em relação à origem do sistema cartesiano. Portanto, a função é ímpar.

• Esboçandoográficodey=3sen x2

notamos

que é igual ao da figura, logo a função descrita

é: y = 3 sen x2

.

34) E

A variação do número de clientes é dada pela imagem da função f(x). Calcularemos o mínimo e o máximo do seno.

sen mín. = –1 ⇒ y = 900 – 800 . (–1) sen mín. = 900 + 800 = 1700

sen máx. = 1 ⇒ y = 900 – 800 . (1) sen máx. = 900 – 800 = 100

A diferença entre os valores máximo e o mínimo da função é: 1700 – 100 = 1600.

35) 22

01. Falso. –1 ≤ cos (x) ≤ 1 –1 ≤ 2k – 4 ≤ 1 3 ≤ 2k – 4 ≤ 5

3 ≤ k ≤ 5 ⇒ {k ∉ R/ 32 ≤ K ≤ 5/2}.

02. Verdadeiro. f(x) = cos (1/x) Dm → conjunto dos valores de x que satisfa-

zem as condições de existência. Dm = {x ∈ R/x ≠ 0} ⇒ D = R*.

04. Verdadeiro. Valor mínimo: cos = –1 y = 2 + 5(–1) y = 2 – 5 y = – 3

08. Falso. P = 2πm

P = 245

π ⇒ P = 52π

16. Verdadeiro. Os valores do cos x variam entre –1 e 1. Portanto: Im = [–1, 1]

36) D

Im = [–1, +1]

P = 2πm

⇒ P = 214

π ⇒ P = 8π

Esboçando o gráfico temos:

37) C

d → eixo médio ⇒ d = 20 1202+ = 70

a → amplitude ⇒ a = 50

c → altera o período ⇒ P = 2πm

⇒ 12 = 2πc

= c = π6

A função é: Q(t) = 50 sen b t+

π6. + 70

Pelo gráfico se t = 2 então Q(2) = 120

Q(2) = 50 sen b+

π6

2. + 70

120 = 50 sen b+

π3

+ 70

50 = 50 sen b+

π3

⇒ sen b+

π3

= 1

Se sen b+

π3

= 1, então

b + π3

= π2

⇒ b = π2

– π3

⇒ b = π6

Portanto, Q (t) = 50 sen π π6 6+

.t + 70

Q (0) = 50 sen π6

+ 70

Q (0) = 50 12

+ 70

Q (0) = 25 + 70 = 95

GABARITO

10 Matemática B

38) a) Para t = 0 s, temos P = 100 + 20 . sen (2π . 0) = 100 mm de Hg.

Para t = 0,75 s, vem P = 100 + 20 . sen (2π . 0,75) = 100 – 20 = 80 mm de Hg.

b) A pressão sanguínea atingiu seu mínimo quando

sen (2πt) = –1 ⇒ sen (2πt) = sen 32π

a) P = 100 + 20 sen (2π . t) Se t = 0, então P(0) = 100 + 20 . se (0) P(0) = 100 Para t = 0, a pressão sanguínea é de 100 mm de

mercúrio. Se t = 0,75, então P(0,75) = 100 + 20 . sen (2π 0,75)

P(0,75) = 100 + 20 . sen 32π

P(0,75) = 100 + 20 . (–1) P(0,75) = 80 Para t = 0,75, a pressão sanguínea é de 80 mm de

mercúrio.

b) Conforme o enunciado, a pressão atinge seu menor valor em:

P  =  80  mm. Mas no item a descobrirmos que P (0,75) = 80, logo t = 0,75s fornece o menor valor da pressão no primeiro segundo. Como o período dessa função é de 1 s, esse fato só se repetirá no próximo segundo.

39) V – V – F – V – V

T

t

Início:π π12

43

t+

= 0

π12

. t = – 43π

t = –16

Finalπ12

. t + 43π

= 2π

π12

. t = 23π

t = 8

01. Verdadeiro. Temperatura às 6 horas (t = 0):

T(0) = 26 + 5 . cos  43π

T(0) = 26 + 5 . cos (240°) T(0) = 26 – 5 . cos (60°) T(0) = 26 – 5 . 1

2 T(0) = 26 – 2,5 = 23,5° C

02. Verdadeiro. Período: P = 2πm

⇒ P = 2

12

ππ

= 24 h

03. Falso.Observandoográficoverifica-sequeamaiortemperatura foi de 31 °C.

04. Verdadeiro. Pelo gráfico observamos que a tempe-ratura máxima ocorre em t = 8. Como t = 0 corres-ponde às 6h, então t = 8 corresponde às 14h.

05. Verdadeiro. Pelo gráfico observamos que T(t) é crescente em [0, 8].

40) A

Os ângulos estão medidos em radianos. Sabemos que 1 radiano vale aproximadadmente 57°.

a) Verdadeiro. 7 rad ≅ 7 . 57° = 399° 399° ∈ 1° Q ⇒ sen(7) > 0b) Falso. 8 rad ≅ 8 . 57° = 456° 456° ∈ 2º Q ⇒ sen (8) > 0

c) Falso. 5 ≅ 2,2

5 rad ≅ 2,2 . 57° = 125,4°

125,4° ∈ 2° Q ⇒ cos ( 5) < 0d) Falso. Observando os itens b e c temos que

cos ( 5) < 0 e sen (8) > 0. Logo, cos ( 5) < sen (8).

41) B

Para descobrir a posição nos extremos tomamos os valores extremos de cos x.

cos máx. = 1 ⇒ r =  58651 0 15 1

5865115+

=, .( ) ,

= 5100

cos mín. = –1 ⇒ r =  58651 0 15 1

58650 85+ −

=, .( ) ,

= 6900

S = 6900 + 5100S = 12 000 km.

42) A

Esboço do gráfico da função:

h

3

0,0 1t

0,3

Como a função começa de seu máximo, então é uma função cosseno.h(t) = a + b . cos(m . t)

GABARITO

11Matemática B

a eixo médio ⇒ a = 3 0 032+ , = 1,515

b amplitude ⇒ b = 3 0 032− , = 1,485

Além disso P = 2πm

⇒ 2πm

= 12 ⇒ m = π6

Com os valores de a, b e m temos:

h(t) = 1,515 + 1,485 . cos (π6

t)

43) D

Esboço do gráfico:

t

f

I. Falso. P = 2πm

⇒

22365

ππ ⇒ P = 365 dias.

II. Verdadeiro. Pôr do sol ocorreu mais cedo: t = 91,25 Admitindo que cada mês possui 30 dias, então t = 91,25,

já se passaram 3 meses (janeiro, fevereiro e março) e já entramos no mês de abril.

III. Verdadeiro. f(t) mínimo vale 17, h, que equivale às 17h30.

44) B

f(x) = cos x P é ponto de ordenada máxima da função. Como o maior

valor que cos x pode assumir, a ordenada de P vale 1. Q é ponto em que o gráfico toca o eixo x, ou seja, y = 0.

Mas, para que cos x = 0, x deve assumir seu primeiro valor

em π2

.

P (0,1)

Q

45) A

I. Verdadeiro. 4330° 360°

12360

730

720

10°

A divisão indica que o arco percorre 12 voltas acrescido de 10°, que deverá ser percorrido no sentido negativo do ciclo, parando assim no quarto quadrante do ciclo trigonométrico.

Observe que, ao percorrer o quarto quadrante, a função seno aumenta o seu valor, portanto nesse quadrante a função seno é crescente.

II. Verdadeiro. 34

5

� 10

5

�

330

5

�

4

5

�

A divisão indica que o aro percorre 3 voltas acres-

cido de 45π rad = 144°, parando assim no segundo

quadrante do ciclo trigonométrico. Observe que, ao percorrer o segundo quadrante, a função cosseno diminui o seu valor, portanto nesse quadrante a função cosseno é decrescente.

III. Falso. 1000° 360°

2720

280°

A divisão indica que o arco percorre 2 voltas acres-cido de 280°, parando assim no quarto quadrante. No quarto quadrante a tangente é negativa.

46) B

Queremos saber t tal que c = 4:

4 = 3 + 2sen πt6

1 = 2sen πt6

⇒ sen

πt6

=

12

Primeiro seno que vale 12

: tπ6

= π6

⇒ t = 1 h

47) D

I. f (x) = sen (2x)

P = 2πm

= 22π

π ≅ 3,14

A única função que repete em um intervalo de aproximadamente 3,14 é a alternativa B.

AΔ = b h.2

=

π21

2

. =

π4

u . a

GABARITO

12 Matemática B

II. f (x) = sen |x| Como |x| = |x|, essa função é par. Entre as alternati-

vas, a única que possui gráfico simétrico em relação ao eixo y é a C.

III. f (x) = sen (–x) Estudandoocicloobserva-sequesen(–x)=–sen x,

e o gráfico de y = – sen x aparece na alternativa A.

48) 8

f(t) = π9

. sen 83

34

π. t−

f(t) = π9

. sen 83

2π π.t−

P = 2πm

P = 283

ππ

= 2π . 38π

= 34

s

Isso quer dizer que o atleta repete o movimento a

cada 34

s.

34

6

1

x

segudos repetições

34

x = 6 ⇒ x = 8

Em 6 segundos o atleta realiza 8 repetições.

49) D

Os valores máximo e mínimo do custo correspondem aos valores máximo e mínimo de seno.

sen mín. = –1c = 200 + 120 . (–1)c = 200 – 120c = 80

sen máx. = 1c = 200 + 120 . (1)c = 200 + 120c = 320

50) B

K → amplitudeK = 2m → altera o período

P = 2πm

83π =

2πm

⇒ m = 34

Portanto, f(x) = 2 . sen 34x

.

f 293

π

= 2 . sen 3

4293

.π

f 293

π

= 2 . sen 29

4π

f 293

π

= 2 . sen 5

4π

⇒ f

293

π

= sen (225°)

f 293

π

= 2 . −

22

= – 2

29

4

� 8

4

�

324

4

�

5

4

�

nº de voltas

51) E

Como a função cos (x) é par, sabe-se que secos  (x)  =  cos  (–x). Como a função sen (x) é ímpar, sabe-sequesen(–x)=–sen(x).Entãoafunçãof pode ser escrita como:

f(x) = 12

. (sen (x) + cos (x) + sen (x) – cos (x))

f(x) = 12

. 2sen (x)

f(x) = sen (x) O esboço do gráfico da função sen(x) está no item e.

52) C

Queremos saber o valor de t tal que h = 12. O seno vale 1/2 nos seguintes arcos:

1/230° = /6�150° = 5 /6�

tπ12

= π6

ou tπ12

= 56π

t = 2 ou t = 10

Então o navio pode permanecer no porto entre 2 e 10 horas.

GABARITO

13Matemática B

53) 12

Esboço do gráfico:

h (t)

8

4

6 12 18 24t

P = 2πm

⇒ P = 2

12

ππ

= 24 h

01. Falso. valor mínimo: cos mínimo h = 8 + 4 . (–1) h = 8 – 4 = 402. Falso.Observandoográficoverifica-sequeamaré

baixa acontece às 18h.04. Verdadeiro.

P = 2πm

⇒ P = 2

12

ππ

= 24 h

08. Verdadeiro. O gráfico não informa quando h = 10, descobriremos isso algebricamente.

10 = 8 + 4 . sen t.π12

2 = 4 . sen t.π12

12

= sen t.π12

1/230° = /6�150° = 5 /6�

30° = π6

tπ12

= π6

ou tπ12

= 56π

t = 2 ou t = 10

Logo, o navio pode permanecer entre 2 e 10 horas.

54) 11

a → eixo médio ⇒ a = –1b → amplitude ⇒ b = 2

c → altera o período ⇒ P = 2πm

⇒ π = 2πc

= c = 2

01. Verdadeiro. Com os valores de a, b e c temos que f(x) = –1 + 2sen (2x)

02. Verdadeiro.Observandoográficoverifica-sequey varia entre –3 e 1, portanto Im = [–3, 1].

04. Falso.Analisandoográficoverifica-sequeoperíodoé de π.

08. Verdadeiro. f(x) = –1 + 2 . sen (2x) ⇒

f π12

 = –1 + 2 . sen 2

12.

π

f π12

 = –1 + 2 . sen (

π6

)

f π12

 = –1 + 2 .

12

= –1 + 1 = 0

55) a) 6,5 m b) Período: 24 segundos; altura mínima: 1,5 m; altura

máxima: 21,5 m.

h(t) = 11,5 + 10 sen [ π12

 . (t – 26)]

a) t = 0 ⇒ h(0) = 11,5 + 10 sen [ π12

 . (– 26)]

h(0) = 11,5 + 10 sen [– 136

π]

Como sen(–x) = – sen(x), então:

h(0) = 11,5 – 10 sen (136

π)

13

6

� 12

6

�

112

6

�

�6

nº de voltas

Com isso,

sen (136

π) = sen (π6

).

h(0) = 11,5 – 10 . sen (π6

)

h(0) = 11,5 – 10 . sen (30°)

h(0) = 11,5 – 10 . 12

h(0) = 11,5 – 5 = 6,5 m h = 11,5 + 10 . (–1) h = 11,5 – 10 h = 1,5 m

GABARITO

14 Matemática B

b) As alturas mínima e máxima dependem do valores mínimo e máximo de sen (x).sen mín. = –1h = 11,5 + 10 . (1)h = 11,5 + 10h = 21,5

sen máx. = 1P = 2P = 24 s

P = 2ππ

Portanto, as alturas mínima e máxima valem 1,5 m e 21,5 m, respectivamente, e o período de repetição vale 24 s.

56) D

Suponha a função da forma y = a + b . cos(m . t)a → eixo médio ⇒ a = 3b → amplitude ⇒ b = 1

m → altera o período ⇒ P = 2πm

⇒ 3 = 2πm

= m = 23π

57) C

L(3) = ?

C(3) = 2 – cos (3 . π6

) ⇒ C(3) = 2 – cos (π2

)

C(3) = 2 – 0 = 2.

V(3) = 3 2 . sen (3 . π12

) ⇒ V(3) = 3 2 . sen (π4

)

V(3) = 3 2 .  22

= 3

L(3) = V(3) – C(3)L(3) = 3 – 2L(3) = 1

Como o lucro é dado em milhares de reais, o lucro é de R$ 1000,00.

58) D

Esboço do gráfico

P

100

A

5

0 �/2 � 3 /2� 2� 5 /2�

P = 2πm

⇒ 21π

= 2π

A função atinge o mínimo em t = 2π.

59) B

f(x) = 3 . sen πx4

P = 2πm

⇒ 2

4

ππ

= 8

Gráfico:

B

0A

8

3

–3

Para que o triângulo possua a maior área é necessário que ele possua a maior, ou seja, h = 3.

AΔ = b h.2

⇒ AΔ = 8 32. = 12 u.a.

60) D

f(x) = 100 + 0,5x + 3sen (πx6

)

Primeiro trimestre: (x) = 1, 2, 3

f(1) = 100 + 0,5 . (1) + 3sen (π6

)

f(1) = 100 + 0,5 + 3sen (30°)

f(1) = 100,5 + 3 . 12

f(1) = 102

f(2) = 100 + 0,5 . (2) + 3sen 26π

f(2) = 100 + 1 + 3sen (60°)

f(2) = 101 + 3 . 32

f(2) = 103,55

f(3) = 100 + 0,5 . (3) + 3sen 36π

f(3) = 100 + 1,5 + 3sen (90°)f(3) = 101,5 + 3 . 1f(3) = 104,5

Total de vendas: 102 + 103,55 + 104,5 = 310,05

GABARITO

15Matemática B

61) B

Os gráficos a seguir esboçam as funções sen (x) e cos (x).

y

0x

–2� 2�

sen

y

0x

–2� 2�

cos

O módulo apenas provoca um rebatimento na parte negativa do gráfico em relação ao eixo (x). Representando os gráficos de |sen x| e |cos x| no mesmo sistema temos:

y

0x

cos

sen

Pontos de intersecção: 8

62) P(43

, 0); Q(2, 0), R(83

, 0) e S(103

, 0)

Pontos em que o gráfico corta o eixo (x) : f(x) = 0

sen 32πx

. − + −

1 1x = 0 ⇒ –1 + x+1 = 0

x+1 = 1x + 1 = 1 ⇒ x = 1

ou sen 32πx

= 0 ⇒

32π.x

= kπ ⇒ x = 23

k

Se K = 1, então x = 2/3Se K = 2, então x = 4/3Se K = 3, então x = 2Se K = 4, então x = 8/3Se K = 5, então x = 10/3

Todos os pontos possuem abcissas maiores que 1. Observando esse fato saberemos que:

P(43

,0); Q(2, 0); R(83

, 0); S(103

, 0)