- 26 -

2. Elemente de mecanică cuantică 2.1. Ecuaţia lui Schrödinger

O deducere formală a ecuaţiei lui Schrödinger se obţine înlocuind viteza de fază (1.96) în ecuaţia undelor:

0 t

v1 2

2

2f

=∂Ψ∂

−∆Ψ (2.1)

unde ( ) tz, y, x,Ψ este funcţia de undă de Broglie asociată. În cazul nerelativist ( m2/p E 2

C = ) rezultă: ( )

=∂Ψ∂

ω−

=∂Ψ∂

ω=

∂Ψ∂

ω=

∂Ψ∂

=∂Ψ∂

=∆Ψ t

U Em2 t

mE2

t

p t

cmvm

t

cv 2

2

222

2

22C

2

2

22

2

2

2

42

22

2

2

4

2

hhh

= ( )2

2

22 t U Em2∂Ψ∂

ω−

h ⇒ 2

2

222

2

t mU2

t m2

∂Ψ∂

ω−

∂Ψ∂

ω=∆Ψ

hh (2.2)

Considerând că Ψ este de formă armonică:

( ) tie r ω−Ψ=Ψr

(2.3)

şi impunând ca această soluţie să verifice ecuaţia (2.2) , prin eliminarea lui ω se obţine:

( ) ( ) 2mU t

i 2m t

, i t

222

22

2

⇒Ψω−ω

−∂Ψ∂

ω−ω

=∆Ψ⇒Ψω−=∂Ψ∂

Ψω−=∂Ψ∂

hh

2mU t

2im 2 ⇒Ψ+∂Ψ∂

−=∆Ψhh

t

i U 2m

2

∂Ψ∂

=Ψ+∆Ψ− hh (2.4)

Relaţia (2.4) reprezintă ecuaţia lui Schrödinger dependentă de timp. Dacă în (2.4)

înlocuim t∂Ψ∂ cu Ψω− i , prin eliminarea timpului rezultă:

( ) ⇒=Ψ−Ψ+∆Ψ⇒Ψ=Ψω=Ψω−=Ψ+∆Ψ− 0 U E 2m

E i i U 2m

22 h

hhh

( ) 0 U E 2m 2 =Ψ−+∆Ψh

(2.5)

Relaţia (2.5) este ecuaţia lui Schrödinger independentă de timp (atemporală). Ecuaţia lui Schrödinger trebuie privită ca un postulat al mecanicii cuantice, care se justifică numai în concordanţă cu datele experimentale.

În acord cu interpretarea lui Max Born, ( ) rd t,r 32rΨ este probabilitatea ca particula

să se găsească în elementul de volum infinitezimal dzdy dx r d3 = centrat în jurul punctului

de coordonate (x, y, z). Deoarece 2 Ψ=Ψ∗Ψ reprezintă densitatea de probabilitate ca microparticula să se găsească la momentul t într-un punct de coordonate (x, y, z) din spaţiu, trebuie ca funcţia de undă Ψ să satisfacă anumite condiţii. Astfel Ψ trebuie să fie univocă, întrucât probabilitatea de a găsi particula, la un moment dat, într-o anumită regiune din spaţiu are o singură valoare. Funcţia de undă Ψ mai trebuie să fie normabilă

( ) 1 dV t,r 2 =Ψ∞∫∫∫r

(2.6)

- 27 -

întrucât probabilitatea totală de a găsi particula undeva (oriunde) în spaţiu este egală cu unitatea. Pentru a fi satisfăcută condiţia de normare (2.6) , funcţia de undă Ψ trebuie să fie finită (mărginită) în tot spaţiul. De asemenea, Ψ trebuie să fie continuă şi să aibă derivatele de ordinul întâi în raport cu variabilele spaţiale continue şi finite. Ecuaţia lui Schrödinger fiind liniară şi omogenă, dacă Ψ este o soluţie a acestei ecuaţii, atunci şi CΨ este o soluţie, unde C este o constantă arbitrară, care se determină din condiţia de normare.

2.2. Ecuaţia de continuitate a probabilităţii

Luând complex conjugata ecuaţiei lui Schrödinger (2.4) rezultă:

t i U

2m

2

∂

∗Ψ∂−=∗Ψ+∗∆Ψ− h

h (2.7)

Presupunând că energia potenţială U este o mărime reală, înmulţind din stânga relaţia (2.4) cu ∗Ψ , iar relaţia (2.7) cu Ψ şi scăzând membru cu membru relaţiile obţinute, rezultă:

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∗Ψ∂Ψ+

∂Ψ∂∗Ψ=∗ΨΨ−Ψ∗Ψ+∗Ψ∆Ψ+∆Ψ∗Ψ−

t

t i U U

2m

2m

22

hhh

( ) ( ) ( ) ( ) 0 2m i

t

t i

2m =∆Ψ∗Ψ−∗Ψ∆Ψ+Ψ∗Ψ

∂∂

⇒∂Ψ∗Ψ∂

=∆Ψ∗Ψ−∗Ψ∆Ψhh (2.8)

Mărimea

( )∆Ψ∗Ψ−∗Ψ∆Ψ= 2m i j hr

(2.9)

este densitatea fluxului de probabilitate. Deoarece

( )∆Ψ∗Ψ−Ψ∇∗Ψ∇−∗Ψ∆Ψ+∗Ψ∇Ψ∇=∇ 2m i j hr

relaţia (2.8) devine:

( ) 0 j t

=∇+Ψ∗Ψ∂∂ r

(2.10)

Relaţia (2.10) este ecuaţia de continuitate a probabilităţii în mecanica cuantică. Integrând (2.10) pe un volum oarecare V , obţinem:

dV j dV t

VV ∫∫∫∫∫∫ ∇=Ψ∗Ψ

∂∂

−r

Pe baza teoremei lui Gauss-Ostrogradski, termenul din dreapta se poate înlocui prin integrala pe o suprafaţă S care delimitează volumul V . Astfel:

dS j dV t

SV ∫∫∫∫∫ =Ψ∗Ψ

∂∂

−r

(2.11)

Relaţia (2.11) arată că scăderea în unitatea de timp a probabilităţii ca particula să se afle în volumul V este egală cu fluxul lui j

r prin suprafaţa S care delimitează volumul V .

- 28 -

2.3. Bazele matematice ale mecanicii cuantice. Postulatele şi principiile mecanicii cuantice

Un spaţiu este liniar dacă orice combinaţie liniară

nn2211 c . . . c c ψ++ψ+ψ=ψ

de funcţii de pătrat integrabil din acest spaţiu n21 , . . . , , ψψψ este tot o funcţie de pătrat

integrabil ( dV 2

∫ ψ este convergentă). Un spaţiu Hilbert este un spaţiu liniar în care se poate defini produsul scalar

dV , ψ∗ϕ=⟩ψϕ⟨ ∫ (2.12)

Funcţiile iψ şi jψ sunt ortonormate dacă

⎩⎨⎧

≠=

=δ=ψ∗ψ=⟩ψψ⟨ ∫ j i , 0j i , 1

dV , ijjiji (2.13)

Un operator A este liniar dacă satisface relaţia:

( ) Ac Ac c c A 22112211 ψ+ψ=ψ+ψ (2.14) unde 1c şi 2c sunt constante.

Un operator A este hermitic dacă:

( ) ) dV A dV A ( ,A A , ψ∗

ϕ=ψ∗ϕ≡⟩ψϕ⟨=⟩ψϕ⟨ ∫∫ (2.15) Ecuaţia:

ψ=ψ a A (2.16) în care un operator A reproduce o funcţie ψ până la un factor constant a se numeşte ecuaţie cu valori proprii. ψ este funcţia proprie a lui A , iar a este valoarea proprie a lui A .

Valorile proprii ale unui operator hermitic sunt reale. Pentru a deduce această proprietate folosim relaţiile (2.15) şi (2.16) :

⟩ψψ⟨=⟩ψψ⟨ ,A A , , a , a ,a a , ⇒⟩ψψ⟨∗=⟩ψψ⟨⇒⟩ψψ⟨=⟩ψψ⟨ ∗= a a

Funcţiile proprii corespunzătoare la două valori proprii diferite ale unui operator hermitic sunt ortogonale şi liniar independente (nu putem găsi o relaţie de forma

0 2211 =ψλ+ψλ ). Într-adevăr, din (2.15) avem:

222111 a A , a A ψ=ψψ=ψ Deoarece A este hermitic:

=⟩ψψ⟨∗=⟩ψψ⟨⇒⟩ψψ⟨=⟩ψψ⟨⇒⟩ψψ⟨=⟩ψψ⟨ , a , a ,a a , ,A A , 2112122112212121

= ( ) 0 , a a , a 2112211 =⟩ψψ⟨−⇒⟩ψψ⟨

Întrucât 21 a a ≠ rezultă proprietatea de ortogonalitate a funcţiilor 1ψ şi 2ψ ( 0 , 21 =⟩ψψ⟨ ) . Pentru a demonstra a doua parte a proprietăţii vom presupune prin absurd că există o relaţie de forma 0 2211 =ψλ+ψλ , pe care o înmulţim scalar cu 1ψ şi apoi cu 2ψ :

- 29 -

0 0 0

, , 1212111 =λ⇒=

=

⟩ψψ⟨λ+⟩ψψ⟨λ43421

0 0 , 0

, 2222121 =λ⇒=⟩ψψ⟨λ+

=

⟩ψψ⟨λ43421

Deci relaţia 0 2211 =ψλ+ψλ are loc numai dacă 0 21 =λ=λ . Primul postulat: „Fiecărei mărimi fizice i se asociază în spaţiul Hilbert un operator

liniar hermitic. Valorile numerice măsurate ale unei mărimi fizice sunt valorile proprii ale operatorului asociat acelei mărimi”.

Prin definiţie, operatorul AB BA ]B ,A[ −= se numeşte comutatorul operatorilor A şi B . Dacă doi operatori admit funcţii proprii comune, atunci cei doi operatori comută ( AB BA = ). Pentru a demonstra acest lucru considerăm că ψ este o funcţie proprie comună operatorilor A şi B , deci:

ψ=ψ a A , =ψ−=ψ⇒ψ=ψ )AB BA( ]B ,A[ b B = 0 ab ba aB bA ⇒=ψ−ψ=ψ−ψ ]B ,A[ = 0 .

Mărimile fizice pentru care operatorii asociaţi comută (au funcţii proprii comune) pot fi măsurate simultan. Informaţia maximă care se poate obţine de la un sistem cuantic este dată de totalitatea valorilor măsurate simultan ale mărimilor independente. Astfel pentru electronii din atom energia, mărimea momentului cinetic şi o proiecţie a acestuia pot fi măsurate simultan, cu orice precizie (sunt mărimi compatibile).

Al doilea postulat: „Operatorul cuantic cel mai general fiind o funcţie numai de operatorii fundamentali p şi q (orice mărime fizică clasică este o funcţie numai de perechile de variabile conjugate canonic p şi q ), pentru doi operatori oarecare comutatorul este definit prin cunoaşterea comutatorilor fundamentali:

⎩⎨⎧

≠=

=δδ===k i , 0k i , 1

; i

]q ,p[ , 0 ]p ,p[ , 0 ]q ,q[ ikikkikikih (2.17)

i , k = 1 , 2 , . . . , f

f fiind numărul gradelor de libertate”. Relaţiile (2.17) constituie regulile de comutare Heisenberg. Din cele 2f variabile

canonice care determină starea unui sistem cu f grade de libertate, este posibil să se măsoare exact doar f variabile, celelalte rămânând nedeterminate.

Al treilea postulat: „Fiecare stare fizică a unui sistem este caracterizată de o funcţie de undă numită funcţie de stare. Operatorii ce acţionează asupra unei funcţii de undă corespund operaţiei de măsurare (observare)”.

Dacă fiecărei valori proprii îi corespunde o singură funcţie proprie, starea cuantică este nedegenerată, iar dacă unei valori proprii îi corespund r funcţii proprii diferite, starea este degenerată, gradul de degenerare fiind r .

Principiul suprapunerii stărilor: „O stare oarecare a unui sistem fizic este o suprapunere a stărilor proprii, adică funcţia de undă Ψ ce descrie o stare oarecare este o combinaţie liniară a tuturor funcţiilor proprii , . . . , , n21 ΨΨΨ

k

n

1k kc Ψ

==Ψ ∑ (2.18)”

Coeficienţii dezvoltării se calculează astfel:

⇒δ=Ψ∗Ψ=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Ψ∗Ψ=Ψ∗Ψ=⟩ΨΨ⟨ ∑∫∑∫ ∑∫ c dV c dV c dV , nk

kkkn

kk

kknknn

- 30 -

=⟩ΨΨ⟨ , n nc (2.19)

Pentru spectrul continuu funcţiile de undă nu mai aparţin spaţiului Hilbert, iar în locul sumei apare o integrală.

Principiul cauzalităţii arată că funcţia de undă ( )tΨ determină univoc funcţia de undă ( )t t ∆+Ψ .

Principiul de corespondenţă arată că mecanica clasică este un caz limită al mecanicii cuantice (h poate fi neglijat faţă de alte mărimi care au dimensiunea unei acţiuni).

Al patrulea postulat: „Dacă în momentul măsurării funcţia de stare este o funcţie proprie a operatorului asociat mărimii măsurate, atunci rezultatul măsurării va fi cu certitudine valoarea proprie corespunzătoare. În cazul când sistemul se află într-o stare oarecare, prin măsurare se poate obţine oricare una din valorile proprii posibile, dar cu probabilităţi diferite. În acest caz se defineşte valoarea medie a rezultatului măsurării prin valoarea medie a operatorului asociat mărimii măsurate:

, A , A A ⟩ΨΨ⟨⟩ΨΨ⟨

=⟩⟨=⟩⟨ (2.20)”

Se constată caracterul statistic inerent al teoriei cuantice. Al cincilea postulat: „Probabilitatea ca la o măsurare a mărimii fizice A să se obţină

o valoare proprie na corespunzătoare funcţiei proprii nΨ este:

2n

2nn c

(2.19) , w =⟩ΨΨ⟨= (2.21)

unde Ψ este funcţia de stare înaintea măsurării mărimii fizice A :

k

n

1k kc Ψ

==Ψ ∑ (2.22)”

Al şaselea postulat: „Stările sistemelor de particule identice sunt descrise prin funcţii de stare care sunt complet simetrice sau complet antisimetrice în raport cu operaţia de permutare a particulelor.”

Particulele identice se caracterizează prin aceleaşi proprietăţi intrinseci (masă, sarcină, număr cuantic de spin etc.), astfel că orice permutare a acestor particule este nedetectabilă experimental. Deşi identice, particulele clasice sunt discernabile după traiectoriile lor. În mecanica cuantică noţiunea de traiectorie este lipsită de semnificaţie. O funcţie care nu-şi schimbă semnul la permutarea a două particule identice este o funcţie simetrică. O funcţie care îşi schimbă semnul la permutarea a două particule identice este o funcţie antisimetrică. Particulele caracterizate prin funcţii de stare simetrice se numesc bozoni (particule cu spin întreg), iar cele caracterizate prin funcţii de stare antisimetrice se numesc fermioni (particule cu spin semiîntreg). O consecinţă a acestui postulat este principiul de excluziune al lui Pauli (de exemplu într-un atom doi electroni nu pot avea toate numerele cuantice egale).

2.4. Operatori asociaţi unor mărimi fizice

Operatorul asociat oricărei funcţii de coordonatele x, y, z reprezintă operaţia de înmulţire cu funcţia respectivă:

( ) ( )z y, ,xf z y, ,xf = Ca exemple considerăm operatorul asociat unei coordonate şi operatorul energiei

potenţiale: ( ) ( )z y, x, U z y, x,U , z z ,y y , x x ====

Ecuaţia lui Schrödinger independentă de timp

- 31 -

Ψ=Ψ+∆Ψ− E U 2m

2h

este analoagă ecuaţiei cu valori proprii:

Ψ=Ψ E H (2.23)

dacă operatorul asociat energiei totale, notat cu H (operatorul hamiltonian) are expresia:

U 2m

H2

+∆−=h (2.24)

Comparând operatorul asociat energiei cinetice din (2.24) cu operatorul corespunzător energiei cinetice nerelativiste obţinem operatorul asociat impulsului:

∇=⇒∆−=⇒=∆− i

p p 2mp

2m 22

22 hh

h (2.25)

Componentele operatorului impuls sunt: z

i

p , y

i

p , x

i

p zyx ∂∂

=∂∂

=∂∂

=hhh .

Operatorul asociat momentului cinetic orbital este:

zyx

zy x kji

i

i

r p r L

∂∂

∂∂

∂∂

=∇×=×=

rrr

hhrrrr (2.26)

Componentele operatorului moment cinetic orbital sunt:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=y

z z

y i

L xh

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

=z

x x

zi

L yh (2.27)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=x

y y

x i

L zh

Operatorul asociat pătratului momentului cinetic orbital este: 2z

2y

2x

2 L L L L ++= (2.28) 2.5. Derivarea operatorilor în raport cu timpul. Mărimi conservative

Pentru o funcţie de undă normată ( 1 , =⟩ΨΨ⟨ ), valoarea medie a unui operator A este: dV A A , A Ψ∗Ψ=⟩ΨΨ⟨=⟩⟨ ∫ (2.29)

unde dV este elementul de volum din domeniul de definiţie al funcţiei Ψ . Derivăm această expresie în raport cu timpul:

dV t

A dV tA dV A

t dV A

dtd A ∫∫∫∫ ∂

Ψ∂∗Ψ+Ψ∂∂∗Ψ+Ψ

∂

∗Ψ∂=Ψ∗Ψ=⟩⟨ & (2.30)

- 32 -

Din ecuaţia lui Schrödinger dependentă de timp:

t i H∂Ψ∂

=Ψ h (2.31)

obţinem: ∗Ψ∗=

∂

∗Ψ∂Ψ−=

∂Ψ∂ H i

t , H i

t hh

Înlocuind aceste derivate în (2.30) obţinem:

dV HAi dV tA dV AHi A ∫∫∫ Ψ∗Ψ−Ψ∂∂∗Ψ+Ψ∗Ψ∗=⟩⟨

hh

& (2.32)

Deoarece H este hermitic

( )( ) ) dV AH dV AH Ψ∗Ψ=Ψ∗Ψ∗ ∫∫

⟩ΨΨ⟨=⟩ΨΨ⟨ AH , A ,H rezultă:

( ) dV A dV HA AHi tA A ⇒Ψ∗Ψ=Ψ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

∂∂∗Ψ=⟩⟨ ∫∫

&

h

&

( ) ]A ,H[i tA A HA AHi

tA A

h

&

h

& +∂∂

=⇒−+∂∂

= (2.33)

Dacă operatorul A nu depinde explicit de timp ( tA∂∂ = 0 ) şi dacă în plus ]A ,H[ = 0,

atunci 0 A =& şi deci mărimea fizică A este o constantă a mişcării (se conservă). 2.6. Teoremele lui Ehrenfest

Teoremele lui Ehrenfest arată că ecuaţiile de mişcare ale mecanicii cuantice scrise pentru valorile medii ale operatorilor asociaţi mărimilor fizice au expresii analoage ecuaţiilor de mişcare ale mecanicii clasice.

Din relaţia (2.33) pentru xA = şi ţinând seama că x nu depinde explicit de timp (una din condiţiile suficiente ca operatorul Hamiltonian să corespundă energiei totale a sistemului studiat), adică:

0 tx=

∂∂

rezultă:

[ ] [ ] ( ) =+==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+== p ]x,p[ ]x,p[p

2mi x ,p

2mi x U,

m2p

i x ,H i x xxxx2x

2x

hhhh&

= xm p mp

p i

i

pm2i

xx

xx&hh

h⋅=⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Luând valoarea medie a ultimei relaţii şi folosind cel de-al patrulea postulat al mecanicii cuantice, obţinem:

dtxd m

dtxd , m p , p p xxx ⇒⟩⟨=⟩ΨΨ⟨=⟩ΨΨ⟨=⟩⟨=⟩⟨

dtdx m p x ⟩⟨=⟩⟨ (2.34)

- 33 -

Scriind relaţia (2.33) pentru xp A = şi ţinând seama că xp nu depinde explicit de timp, adică:

0 t

p x =∂∂

rezultă:

[ ] [ ] [ ] p U, i p ,p 2m

i p U, m2

p i p ,H i p xx2xx

2x

xx =+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+==

hhhh&

= ( ) [ ]xxxxxxx p U, i p ]p,p[ ]p,p[p 2m

ihh

++

Deoarece:

[ ] ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ

∂∂

−∂Ψ∂

−∂Ψ∂

=Ψ∂∂

−∂Ψ∂

⋅=Ψ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

=Ψ xU

x U

xU

i U

x

i

x U

i

x

i U, p U, x

hhhh

[ ]xU

i p U, x ∂

∂−=h

rezultă:

[ ] xU p

xU

i i p U,i p xxx ∂

∂−=⇒

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−== &h

hh&

Efectuând media conform celui de-al patrulea postulat al mecanicii cuantice, obţinem:

⇒⟩∂∂

⟨−=⟩⟨ xU p

dtd

x ⟩⟨=⟩⟨ F p dtd

xx (2.35)

Relaţiile (2.34) şi (2.35) pot fi generalizate la cazul tridimensional:

⟩⟨=⟩⟨

⟩⟨=⟩⟨ F dt

p d , dtrd m p

rrrr

(2.36)

Astfel înlocuind în relaţiile clasice mărimile prin valorile medii ale operatorilor se obţin relaţiile cuantice corespunzătoare.

2.7. Relaţia generală de incertitudine a lui Heisenberg

Abaterea pătratică medie a unei mărimi A (incertitudinea), definită prin relaţia:

( ) ( ) A A A A A2 A A A A 22222⟩⟨−⟩⟨=⟩⟩⟨+⟩⟨−⟨=⟩⟩⟨−⟨=∆ (2.37)

descrie modul în care rezultatul unei măsurători deviază de la valoarea medie:

dV A A , A Ψ∗Ψ=⟩ΨΨ⟨=⟩⟨ ∫ (2.38)

Principiul general de incertitudine arată că dacă doi operatori hermitici A şi B satisfac relaţia:

C i ] B ,A [ = (2.39) atunci produsul abaterilor pătratice medii satisface relaţia:

2

C BA

⟩⟨≥∆⋅∆ (2.40)

- 34 -

Din relaţia (2.39) rezultă că operatorul C este hermitic (mărimea i din această relaţie are acest rol).

Pentru a demonstra relaţia (2.40) vom utiliza inegalitatea lui Schwarz: 22 B , A B , B A , A g f, g g, f f, ⟩Ψ′Ψ′⟨≥⟩Ψ′Ψ′⟨⟩Ψ′Ψ′⟨⇒⟩⟨≥⟩⟨⟩⟨ (2.41)

unde: ⟩⟨−=′⟩⟨−=′ B B B , A A A (2.42)

Folosind (2.39) rezultă că şi operatorii A′ şi B′ satisfac relaţia C i ] B ,A [ =′′ (2.43)

Punem abaterile pătratice medii sub forma:

( ) ⟩Ψ′Ψ′⟨=⟩Ψ′′Ψ⟨=⟩Ψ′Ψ⟨=⟩Ψ⟩⟨−Ψ⟨=∆ A , A A A , A , A A , A 22

⟩Ψ′Ψ′⟨=∆ B , B B

Am folosit faptul că operatorii A′ şi B′ sunt hermitici. Din (2.41) rezultă:

( ) ( ) =⟩Ψ′′Ψ⟨≥⟩Ψ′Ψ′⟨⟩Ψ′Ψ′⟨=∆∆ B A , B , B A , A B A222

= =⟩Ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′−′′+

′′+′′Ψ⟨

2 AB B A

2 AB B A ,

2

= ≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⟩ΨΨ⟨+⟩Ψ

′′+′′Ψ⟨=⟩Ψ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

′′+′′Ψ⟨

2 C , i

2 AB B A ,

2 C i

2 AB B A ,

22

2

C BA

2C

2C ,

22 ⟩⟨≥∆⋅∆⇒⟩⟨=⟩ΨΨ⟨≥

Am folosit faptul că ( ) ( ) 222 b a ib a ib a ib a +=+−=+ > 2b

Dacă x B , p A x == , atunci 2

x pxh

≥∆∆ , deoarece hhh C i i

] x ,p [ x −=⇒−==

Dacă t B , t

i E A =∂∂

== h , atunci 2

t E h≥∆∆ , deoarece ecuaţia lui Schrödinger

dependentă de timp

t i U

2m

2

∂Ψ∂

=Ψ+∆Ψ− hh

se poate pune sub forma: Ψ=Ψ E H

unde

t i E∂∂

= h

iar

( ) ⇒Ψ=∂Ψ∂

−∂Ψ∂

+Ψ=∂Ψ∂

⋅−Ψ∂∂

=Ψ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂ i

t t i

t t i i

t t i t

t i t,

t i hhhhhhh

- 35 -

hhh C i t, t

i =⇒=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

Max Born a arătat că fizicienii au ajuns la concluzia că există nişte limite privind cunoaşterea mişcării microparticulelor, limite determinate de relaţia generală de incertitudine a lui Heisenberg şi a sugerat biologilor şi psihologilor să caute limitele fireşti de cunoaştere în domeniile lor.

2.8. Aplicaţii ale ecuaţiei Schrödinger

2.8.1. Particula în groapa de potenţial cu pereţii infiniţi

Considerăm o particulă care se poate deplasa pe o porţiune a axei x de lungime a , neputând părăsi acest domeniu.

Potenţialul acestei gropi se defineşte astfel:

( )⎩⎨⎧∞

≤≤=

rest , a x 0 , 0

xV (2.44)

În exteriorul intervalului [0, a] potenţialul fiind infinit, funcţia de undă este nulă (probabilitatea de a găsi particula la infinit şi în exteriorul acestui interval este nulă).

În interiorul intervalului [0, a] ecuaţia lui Schrödinger atemporală este:

0 k dxd 0 E 2m

dxd 2

2

2

22

2

=Ψ+Ψ

⇒=Ψ+Ψ

h (2.45)

unde:

2mE k 22

h= (2.46)

Soluţia ecuaţiei (2.45) este de forma:

kx cos B kx sin A +=Ψ (2.47)

Din condiţiile de continuitate ale funcţiei de undă la capetele intervalului [0, a] obţinem:

( ) 0 B 0 0 cos B 0sin A 0 0 =⇒=+⇒=Ψ ( ) 0 kasin A 0 a ⇒=⇒=Ψ ka = nπ , n = 1 , 2 , . . . (2.48)

Din (2.48) pentru n = 0 rezultă k = 0 , iar din (2.46) rezultă E = 0. În acest caz soluţia ecuaţiei (2.45) devine d cx +=Ψ , iar din condiţiile la limită ( ) , 0 d 0 ==Ψ ( ) 0 c 0 ca a =⇒==Ψ , adică obţinem soluţia banală ( 0 =Ψ∗Ψ , ca şi cum particula

nu ar fi în groapă). Deci E = 0 nu aparţine spectrului de energii. Nu luăm n < 0 pentru că funcţiile de undă nu ar fi liniar independente faţă de cele cu

n > 0 (funcţia de undă îşi schimbă semnul la trecerea de la n > 0 la n < 0 ). Nu putem avea valori proprii negative (E < 0), deoarece şi în acest caz obţinem soluţia

banală:

( ) 2111

22

2 E 2m k , xke D xk e C x 0

E 2m

dxd

hh=+−=Ψ⇒=Ψ−

Ψ

( ) ( ) ⇒=−−⇒=+−⇒=Ψ=+⇒=Ψ 0 )ak e ake( D 0 ake D ak e C 0 a , 0 D C 0 0 1111

- 36 -

0 0 D C =Ψ⇒=−=⇒

Din (2.46) şi (2.48) rezultă un spectru discret pentru energie:

⇒= m2

k E22h 2

222

n ma2n E hπ

= , n = 1 , 2 , . . . (2.49)

Atunci când dimensiunile intervalului cresc, sau pentru valori mari ale masei, nivelele de energie se apropie foarte mult, tinzând la cazul unei particule libere (la limită se obţine cazul clasic, conform principiului de corespondenţă).

Din (2.47) şi (2.48) se obţin funcţiile proprii:

xa

nsin A ⋅π

⋅=Ψ (2.50)

Constanta A se determină din condiţia de normare:

=⋅

π−

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=Ψ⇒=Ψ∞∗Ψ ∫∫∫∫ dx

a

2

xan2 cos 1

A dx xa

nasin A dx

a 1 dx

0

2

0

22

0

2

= a2 A 1 a

2A

a an2sin

n2a

2A

a 2

A 222

=⇒==π

π⋅−

Înlocuind în (2.50) obţinem:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=Ψ xa

nsin a2 xn (2.51)

Funcţiile proprii sunt ortogonale:

( ) ( ) m) (n 0 dx xx mn ≠=⋅Ψ⋅Ψ∫ (2.52)

Stările descrise de funcţiile proprii (2.51) sunt stări staţionare, deoarece nu depind de timp. În starea fundamentală (n = 1) probabilitatea de a găsi particula la mijlocul gropii este maximă, iar la pereţi este nulă. Din punct de vedere clasic probabilitatea de a găsi particula în orice punct din interiorul gropii este aceeaşi.

2.8.2. Efectul tunel

Considerăm o barieră de potenţial dreptunghiulară.

Dacă lăţimea l a barierei este mică, atunci o particulă care se îndreaptă spre barieră are posibilitatea să treacă dincolo de aceasta şi în cazul în care energia ei E este mai mică decât înălţimea 0V a barierei; acest fenomen poartă numele de efect tunel. Bariera desparte spaţiul în trei regiuni. Ecuaţia lui Schrödinger în cele trei regiuni se scrie astfel:

0 E 2m dx

d122

12

=Ψ+Ψ

h (2.53)

( ) 0 V E 2m dx

d2022

22

=Ψ−+Ψ

h (2.54)

- 37 -

0 E 2m dx

d322

32

=Ψ+Ψ

h (2.55)

Soluţiile acestor ecuaţii sunt: xik e b xike a 1

11

11−+=Ψ (2.56)

xik e b xike a 22

222

−+=Ψ (2.57)

xik e b xike a 13

133

−+=Ψ (2.58) unde:

( )2

0221

V E2m k , 2mE khh

−== (2.59)

xike a 11 reprezintă unda progresivă incidentă pe barieră, xik e b 1

1− este unda regresivă

reflectată de barieră, xike a 22 este unda progresivă în interiorul barierei, xik e b 2

2− este

unda regresivă în interiorul barierei, xike a 13 este unda progresivă în mediul din dreapta

barierei, iar xik e b 13

− este unda regresivă din mediul 3 , însă 0 b3 = deoarece în partea dreaptă a barierei nu există un perete care să reflecte unda.

În cazul efectului tunel E < 0V , deci putem scrie (2.54) şi (2.57) astfel:

( ) 0 E V 2m dx

d2022

22

=Ψ−−Ψ

h

kxe b kxe a 222 +−=Ψ (2.60) unde:

( )2

02

E V2m k ,ik k

h

−== (2.61)

Din condiţiile de continuitate ale funcţiei de undă şi ale derivatei acestei funcţii în punctele de abscisă 0 şi l obţinem:

( ) ( ) 221121 b a b a 0 0 +=+⇒Ψ=Ψ (2.62)

kb ka bik aik dx

d

dxd

2211110

2

0

1 +−=−⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ

(2.63)

( ) ( ) likea kleb klea l l 132232 =+−⇒Ψ=Ψ (2.64)

likeak i klekb kl eak dx

d

dxd 1

3122l

3

l

2 =+−−⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ

(2.65)

Eliminând 1b din relaţiile (2.62) şi (2.63) obţinem:

⇒+−=+−−⇒−+= kb ka aik bik aik aik a b a b 22112121111221

( ) ( ) 21

12

1

11212111 b

ik2k ik a

ik2k ik a bk ik ak ik aik2 +

+−

=⇒++−= (2.66)

Din relaţiile (2.64) şi (2.65) exprimăm 2a şi 2b în funcţie de 3a :

- 38 -

likekaik

kleb kl ea

likea kleb kl ea

13122

1322

=+−−

=+−

⇒ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+

kik

1 likea kl ea2

kik 1 likea kleb kleb2

1132

11322

311

2 a kl e like k2ik k

b −+= (2.67)

311

2 a kle like k2ik k

a−

= (2.68)

Înlocuind 2a din (2.68) şi 2b din (2.67) în (2.66) obţinem:

311

1

13

11

1

11 a kl e like

2kik k

2ikk ik

a kle like 2k

ik k 2ik

k ik a −+

⋅+

+−

⋅−

=

( ) ( )[ ] ⇒−−−+= kleik k kl eik k kik4

likea a 2

12

11

13

1

( ) ( )[ ]kleik k kl eik k like

k4ik aa

21

21

1

1

1

3

−−−+= (2.69)

Se defineşte transparenţa barierei T ca probabilitatea relativă de trecere a particulei prin barieră sau coeficientul de transmisie, prin relaţia:

11

33

aaaa

T ∗

∗= (2.70)

Din (2.69) şi (2.70) rezultă:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ⇒−−−+

⋅+−−−−

−=

kleik k kl eik k like

k4ikkleik k kl eik k lik e

k4ik T

21

21

1

1

21

21

1

1

( ) ( ) ( ) ( )41

41

221

2221

2

221

ik k ik k 2kl e k k 2kle k k

kk16 T−−+−−+++

=

( ) ( ) ( )21

241

4221

2

221

kk12 k2 k2 2kl e 2kle k k

kk16 T

−+−−++=

Deoarece:

ch (2kl) = 2

2kl e 2kle −+

rezultă:

( ) ( ) ( )

kk6 k k 2 2klch k k 2

kk16 T21

241

4221

2

221 =

−+−+=

( ) ( ) ( )

kk6 k k 2klch k k

kk8 21

241

4221

2

221 =

−+−+=

- 39 -

( ) ( ) ( ) kk6 k k 2klch k2k k k

kk8 21

241

4221

41

4

221 =

++−++=

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]4 1 2klch kk2 1 2klch k kkk8

3 2klch kk2 1 2klch k kkk8 22

141

4

221

221

41

4

221

+−+−+=

++−+=

( )[ ][ ] ( ) ( )[ ] 1 1 2klch kk8k k

1 kk8 kk2 k k 1 2klch

kk8 T

221

2221

221

221

41

4

221

+−+

=+++−

=

Deoarece: ( ) klsh

21 2klch 2=

−

rezultă:

( )

1 klsh kk4k k

1 T2

221

2221 ++

= (2.71)

Înlocuind 1k din (2.59) şi k din (2.61) obţinem:

( )

( )( )

⇒

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

⋅⋅

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+

=

1 l E V m2

sh E V m2mE24

E V m2 mE2

1 T

202

20

2

2

20

2

h

hh

hh

( )

( )( )

1 l

E V m2 sh

E V E4E V E

1 T

202

0

20 +⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−+

=

h

Astfel transparenţa barierei devine:

( )( )

l

E V m2 sh

E V E4V

1

1 T

202

0

20

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅

−+

=

h

(2.72)

Se constată că transparenţa barierei depinde atât de caracteristicile particulei (masa m şi energia E ), cât şi de caracteristicile barierei (lăţimea l şi înălţimea 0V ). Bariera de potenţial nu influenţează energia particulei, întrucât în mediul 3 particula are tot energia E , de aceea se spune că particula trece prin barieră ca printr-un tunel.

La fel se calculează coeficientul de reflexie pe barieră:

( )( )

l

E V m2 sh V

E V E4 1

1 ab

aabb R

2022

0

0

2

1

1

11

11

⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−+

==∗

∗=

h

(2.73)

- 40 -

Se poate verifica relaţia R + T = 1, care exprimă conservarea densităţii de probabilitate.

În cazul în care kl >> 1 , atunci:

( ) ( ) kl2e 41 2 kl2 e kl2e

41 kl e kle

41 klsh

22 ≈−−+=−−=

unde am neglijat kl2e− şi 2 faţă de kl2e . În acest caz:

( )

( ) ( ) l E V2m 2 e

VE V E16

kl2e

41

E V E4V

1

1 T0

20

0

0

20

−−−≈

⋅−

+= h (2.74)

Deci în acest caz transparenţa barierei scade exponenţial. Rezultatele (2.72) şi (2.74) care indică o probabilitate diferită de zero ca particula să

treacă prin bariera de potenţial sunt în totală contradicţie cu mecanica clasică, conform căreia T = 0 dacă E < 0V . Formulele obţinute în cadrul mecanicii cuantice sunt în concordanţă cu datele experimentale, reflectând caracterul specific al comportării microparticulelor.

Efectul tunel explică: emisia particulelor α de către anumite nuclee atomice, cum ar fi cele ale uraniului; emisia autoelectronică (sub acţiunea unui câmp electric puternic un metal rece emite electroni); realizarea unor reacţii chimice; microscopul cu efect tunel; efectul Josephson (un curent continuu trece printr-o joncţiune formată din doi supraconductori separaţi de un strat subţire de oxid, în absenţa oricărui câmp electric sau magnetic); dioda tunel; inversia la molecula de amoniac etc.

2.8.3. Bariera de potenţial. (Cazul E > 0V )

În acest caz vom înlocui în formulele din paragraful precedent:

22 k i k i1 k −== (2.75)

conform relaţiei (2.61) . Din (2.71) rezultă:

( ) ( ) 1 lik sh kk4

k k1 T

22

22

21

222

21 +−−

−=

Deoarece sh (− x) = − sh x , sh (ix) = i sin x , rezultă:

( ) ( ) ( )lksin liksh lik sh 22

22

22 −==−

( ) ( ) 1 lksin kk4k k

1 T

22

22

21

222

21 +−

= (2.76)

Transparenţa barierei T oscilează periodic între valoarea minimă corespunzătoare lui ( )lksin 2

2 = 1 :

( )( ) 1

V E E4V

1

1 kk4k k

1 T

0

20

22

21

222

21

min

+−

=

+−

= (2.77)

- 41 -

şi valoarea maximă 1 Tmax = corespunzătoare lui ( )lksin 22 = 0 ⇒ π= n lk 2 , n = 1, 2, . . .

Astfel pentru l = 2k/nπ se obţin rezonanţe ale lui T . Transparenţa T este analoagă funcţiei care descrie transmisia unui interferometru

Fabry-Pérot. Deoarece maximele corespund cazului când l = 2

n λ rezultă 2k

2

π=

λ . Pentru

E foarte mare, 1 T → . În cazul unui potenţial atractiv vom înlocui 0V cu − 0V în 2k din relaţia (2.76).

2.8.4. Oscilatorul armonic liniar

A. Metoda polinomială

Ecuaţia lui Schrödinger pentru un oscilator armonic liniar este:

0 x2

m E 2m dxd 2

2

22

2

=Ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω−+

Ψh

(2.78)

unde energia potenţială este 2

xm 2

kx U222 ω

== . Introducând variabila adimensională

xm h

ω=ξ (2.79)

m1

mJmN

mJN

smJmkg

sJskg m

22

1

=⋅⋅

=⋅

=⋅⋅⋅

=⋅⋅

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ω −

h

obţinem:

2

2

2

2

dd m m

ddm

dd

dxd

dxd

dd

dxd ;

dd m

dxd

dd

dxd

ξΨω

=ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ξΨω

ξ=

ξ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ

ξ=

ΨξΨω

=ξ

ξΨ

=Ψ

hhhh

⇒=Ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ

ω⋅

ω−+

ξΨω

⇒ξω

= 0 m

2

m E 2m dd m

m x 2

2

22

222 h

hh

h

0 2E dd 2

2

2

=Ψ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ξ−ω

+ξΨ

h (2.80)

Introducând o nouă variabilă adimensională:

ω=εh

2E (2.81)

- 42 -

ecuaţia (2.80) devine:

( ) 0 dd 2

2

2

=Ψξ−ε+ξΨ (2.82)

Pentru ξ foarte mare ( ε>>ξ 2 ) putem neglija ε faţă de 2ξ şi obţinem o ecuaţie pentru funcţia asimptotică aΨ :

0 a d

ad 22

2

=Ψξ−ξΨ

(2.83)

Funcţia:

2

e a

2ξ−=Ψ (2.84)

verifică ecuaţia:

( ) 0 a 1 d

ad 22

2

=Ψξ−+ξΨ

din care neglijând 1 faţă de 2ξ obţinem (2.83) . Astfel, pentru ∞→ξ , funcţia (2.84) este

o soluţie a ecuaţiei (2.83) . Cealaltă soluţie, 2/e2ξ , nu este acceptabilă, deoarece funcţia Ψ ,

deci şi funcţia asimptotică aΨ trebuie să fie mărginite (finite) inclusiv pentru ∞→ξ . Soluţia generală a ecuaţiei (2.82) este de forma:

( ) ( )ξ⋅

ξ−=ξΨ f2

e

2

(2.85) Impunând soluţiei (2.85) să verifice ecuaţia (2.82) obţinem:

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ

+ξ

ξ−ξ

ξ−ξ+−

ξ−=

ξΨ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ

+ξ−

ξ−=

ξΨ

dfd

ddf

ddf f f 2

e

dd ;

ddf f 2

e

dd

2

22

2

2

2

2

⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ−ε+−ξ+

ξξ−

ξ

ξ− 0 f f f f

ddf 2

dfd2

e 22

2

2

2

( ) 0 f 1 ddf 2

dfd2

2

=−ε+ξ

ξ−ξ

(2.86)

Ecuaţia (2.86) rămâne nemodificată dacă schimbăm ξ în ξ− . Rezultă că dacă ( )ξf este o soluţie, atunci şi ( )ξ−f este o soluţie. Ecuaţia fiind liniară şi omogenă, rezultă că şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f , f f f 21 ξ−−ξ=ξξ−+ξ=ξ sunt soluţii. Prima din aceste soluţii nu se

modifică la schimbarea lui ξ în ξ− , iar a doua soluţie îşi schimbă semnul. Astfel 1f este o soluţie pară, iar 2f este o soluţie impară. Cele două soluţii sunt liniar independente. De aceea soluţiile se scriu sub forma unor serii de puteri, una numai cu puteri pare ale variabilei ξ , cealaltă numai cu puteri impare. Astfel scriind funcţia ( )ξf sub forma unei serii de puteri:

( ) n

0n na f ξ

==ξ ∑

∞

(2.87)

obţinem:

- 43 -

( ) ( )( ) ⇒ξ=

++=ξ=

−=ξ

ξ=

=ξ

ξξ=

=ξ ∑∑∑∑

∞

+−

∞∞−

∞

a1 n 2 n

a1 n n d

fd ,

na ddf ,

na

ddf n

0n 2 n

2 n

0n n2

2n

0n n

1 n

0n n

( )( ) ( )[ ] 0

a 1 a2n a 1 n 2 n n

0n nn2 n =ξ

=−ε+−++∑

∞

+

Pentru ca ultima relaţie să fie adevărată oricare ar fi ξ este necesar ca toţi coeficienţii lui ξ să fie nuli, deci:

( )( ) ⇒+ε−=++ + a a a2n a 1 n 2 n nnn2 n ( ) ( ) n2 n a 1 n 2 n

1 2n a+++ε−

=+ (2.88)

Astfel am obţinut o relaţie de recurenţă între coeficienţii seriei de puteri. Deoarece primii doi coeficienţi 0a şi 1a sunt arbitrari, putem alege fie 0a = 0, fie 1a = 0. Pentru 0a ≠ 0,

1a = 0 rezultă o serie pară, iar pentru 0a = 0, 1a ≠ 0 seria va fi impară. Din condiţia de mărginire a funcţiei de undă vom obţine faptul că energia oscilatorului

este cuantificată. Din relaţia (2.88) pentru ∞→ n rezultă:

n2

n

aa a

n2 a

n2n a

n

2 n nn22 n ≈∞→

⇒== ++ (2.89)

Pentru ∞→ n , atât în cazul seriei pare (n = 2p), cât şi în cazul seriei impare (n = 2p + 1 ≈ 2p) , raportul a doi termeni succesivi din seria (2.87) este:

2n

n

2 n 2 n

p1

a a

ξ=ξξ +

+ (2.90)

La acelaşi rezultat se ajunge în cazul raportului a doi termeni consecutivi din dezvoltarea exponenţialei

. . . !p

. . . 2

1 !n

ep24

2

0n

n22+

ξ++

ξ+ξ+=

=

ξ=ξ ∑

∞

pentru ∞→ξ ( )

( )2

2

2p

1 p 2

p1

1 p ! p

! 1 pξ≅

+ξ

=ξ⋅

+ξ +

Astfel seria (2.87) se comportă în cazul ∞→ξ la fel ca şi 2

eξ . Deci ( )ξf ∼ 2

eξ , iar din

(2.85) rezultă ( ) ∞→∞→ξ

ξ

=ξξ−

≈ξΨ

2e e 2

e

2

2

2

, adică în acest caz funcţia Ψ nu este

mărginită. Condiţia de mărginire se realizează numai în cazul în care seria (2.87) se întrerupe la un anumit termen, devenind astfel un polinom. Acestea sunt polinoamele Hermite:

( ) ( ) ( ) n

2n2n

d

ed e 1 H fξ

ξ−ξ−=ξ≈ξ (2.91)

( ) ( ) ( ) ( ) . . . , 12 8 H , 2 4 H , 2 H , 1 H 33

2210 ξ−ξ=ξ−ξ=ξξ=ξ=ξ

Pentru ca ( )ξf să devină un polinom trebuie ca numărătorul fracţiei (2.88) să se anuleze (coeficientul 2 n a + al seriei (2.87) se anulează):

. . . , 2 , 1 , 0 n , 1 2n 0 1 n 2 =+=ε⇒=+ε− (2.92)

- 44 -

Dacă ε satisface relaţia (2.92) , ( ) 0 =∞Ψ , adică probabilitatea de a găsi particula la ∞ este zero. Din (2.81) şi (2.92) rezultă:

. . . , 2 , 1 , 0 n , 21 n E 1 2n E2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +ω=⇒+=

ωh

h (2.93)

Relaţia (2.93) arată că energia oscilatorului armonic liniar este cuantificată de

numărul cuantic n . Se constată că există o energie de zero 2

E0ω

=h pentru n = 0 (vaabilă şi

la 0 K). Energia de zero a fost pusă în evidenţă experimental la împrăştierea radiaţiilor X pe cristale, la temperaturi foarte scăzute. Dacă n-ar exista vibraţii ale reţelei cristaline la temperaturi foarte mici, radiaţia X nu ar interacţiona cu reţeaua cristalină şi astfel nu ar fi împrăştiată. În realitate se constată că secţiunea transversală de împrăştiere efectivă tinde la o valoare limită finită la temperaturi scăzute.

Din (2.85) şi (2.91) rezultă: ( )ξξ−=Ψ n

2

nn H 2/ e C (2.94) unde nC se determină din condiţia de normare:

!n 21m Cn

41

n⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛πω

=h

(2.95)

Valorile proprii, funcţiile proprii şi densităţile de probabilitate ale unui oscilator armonic liniar pentru n = 0, 1, 2 sunt reprezentate în graficul de mai jos.

Nivelele de energie ale oscilatorului armonic sunt echidistante, separate printr-un

interval energetic ωh . B. Oscilatorul armonic liniar în potenţialul Dirac

Metoda lui Dirac constă în a construi vectorii proprii ai operatorului hamiltonian H prin aplicarea unor operatori potriviţi asupra unuia din aceştia. Ajungem astfel la rezolvarea problemei valorilor proprii fără referire la o anumită reprezentare, bazându-ne numai pe axiomele fundamentale ale spaţiului Hilbert şi pe relaţia de comutare

[ ] [ ] i

x,p i

q ,p hh=⇒= (2.96)

Dirac a folosit un vector de stare aparţinând spaţiului Hilbert notat cu >n (vectorul

ket). Acestui vector îi corespunde vectorul conjugat n < (vectorul bra). Produsul scalar a doi

vectori >n şi > m este notat cu >< m n . Introducând mărimile adimensionale HH,, XX şşii PP pprriinn rreellaaţţiiiillee::

- 45 -

H = ωh

H (2.97)

X = xmh

ω (2.98)

P = p m1ωh

(2.99)

Hamiltonianul

2xm

2mp H

222 ω+= (2.100)

devine:

H 22

2 X m2

m P 2m

m ω

⋅ω

+ω

=ωhh

h ⇒ H = ( )22 X P 21

+ (2.101)

Operatorul asociat hamiltonianului (2.101) se scrie sub forma:

= H ( )22 X P 21

+ (2.102)

Relaţia de comutare (2.96) devine:

[ ] i X , P i

X m

, P m −=⇒=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ωω

hhh (2.103)

Introducând operatorii

( )P i X 2

1 a += (2.104)

( )P i X 2

1 a −=+ (2.105)

obţinem: 1 ]a , a[ =+ (2.106)

= H 21 aa ++ (2.107)

Într-adevăr:

[ ] [ ] [ ]( ) ( ) 1 i i ii 21 X , P i P , X i

21 P i X , P i X

21 ]a , a[ =−⋅+⋅−=+−=−+=+

( )( ) ( )22 P XP i PX i X 21 P i X P i X

21 aa ++−=−+=+

( )( ) ( )22 P XP i PX i X 21 P i X P i X

21 aa +−+=+−=+

( ) 2222 P X XP i PX i XP i PX i P2 X2 21 aa aa +=−++−+=+ ++

H = ( ) ( ) ( )21 aa aa 1 aa

21 aa aa

21 X P

21 22 +=++=+=+ +++++

Aplicând H din (2.107) operatorului +a obţinem:

H +a = 21 1 aa a a

21 aaa a

21 aa =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + +++++++ +a ( H + 1)

- 46 -

H ( ) a 2=+ +a ( H + 1) +a = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

21 1 aa a +a = =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + ++++ a

23 aaa a

= ( ) ( ) ( )222 a 2 21 aa a

23 1 aa a +++++ =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ ( H + 2)

...................................................................................................................................................... H ( ) ( )nn a a ++ = ( H + n)

Folosind (2.97) , ultimele relaţii se scriu sub forma:

( )ω+=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ω=

ω++++ h

hh H a aH 1 H a a H (2.108)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ω+=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ω=

ω++++ h

hh2 H a aH 2 H a a H 2222 (2.109)

......................................................................................................................................................

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ω+=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ω=

ω++++ h

hhn H a aH n H a a H nnnn (2.110)

Din (2.97) şi (2.107) obţinem:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +ω=⇒+=

ω++

21 aa H

21 aa H

hh

(2.111)

Ecuaţia cu valori proprii pentru operatorul hamiltonian (2.111) este: >=> n E n H n (2.112)

Aplicând operatorii din relaţiile (2.108) – (2.110) la un vector >n , obţinem:

( ) ( ) >ω+=>⇒>ω+=> ++++ n a E n aH n H a n a H n hh (2.113)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) >ω+=>⇒>ω+=> ++++ n a2 E n aH n 2 H a n a H 2n

222hh (2.114)

...................................................................................................................................................... ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) >ω+=>⇒>ω+=> ++++ n an E n aH n n H a n a H n

nnnn

hh (2.115)

Relaţia (2.113) arată că >+ n a este un vector propriu al operatorului H cu valoarea

proprie ω+ h En . Operatorul +a este numit operator de creare, pentru că valoarea proprie a lui H creşte cu ωh faţă de cea din (2.112) . În mod asemănător se arată că are loc relaţia:

( ) n a E n a H n >ω−=> h (2.116)

Această relaţie arată că >n a este un vector propriu al operatorului H corespunzător valorii proprii ω− h E n . Operatorul a este numit operator de anihilare, întrucât la aplicarea sa valoarea proprie a operatorului hamiltonian scade cu ωh faţă de cea din (2.112) .

Presupunem că există o stare > 0 pentru care

0 0 a => (2.117) Din (2.111) şi (2.117) rezultă:

>ω

=> 0 2

0 H h (2.118)

- 47 -

Din relaţiile (2.117) şi (2.118) rezultă că stării fundamentale descrise de vectorul de

stare > 0 îi corespunde energia 2ωh .

Aplicând operatorul ( )na H + din relaţia (2.110) vectorului propriu > 0 obţinem:

( ) ( ) ( ) ( ) ⇒>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω+ω

=>ω+=> +++ 0 n 2

a 0 n H a 0 a H nnnh

hh

( ) ( ) >⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +ω=> ++ 0 a

21 n 0 a H nn

h (2.119)

Din această relaţie rezultă că vectorul de stare ( ) >+ 0 a n ; n = 0 , 1 , 2 , . . . (2.120)

este un vector propriu al lui H corespunzător valorii proprii ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +ω

21 n h . Notăm cu >n

(n = 0, 1, 2, ...) vectorii proprii ai lui H , normaţi la unitate ( 1 n n =>< ) , care corespund

valorilor proprii ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +ω

21 n h . Aceşti vectori diferă de cei din (2.120) printr-o constantă nC

care se determină din condiţia de normare: ( ) >=> + 0 aC n n

n (2.121) Cu această notaţie, relaţia (2.119) devine (2.112).

>=> n E n H n ⇒ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +ω=

21 n E n h ; n = 0 , 1 , 2 , . . . (2.122)

n n n aa n 21 n n

21 aa >=>⇒>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +ω=>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +ω ++ hh (2.123)

sau: >=> n n n N (2.124)

unde: aa N += (2.125)

Aplicând comutatorul:

[ ] [ ] ( ) ⇒−+=−+=−== ++++++++++++++++ aaa a aaa aaa 1 aa a aaa aaa a , aa a , N

[ ] ++ = a a , N (2.126) la vectorul de stare >n obţinem:

[ ] n a n Na n aN n a n a , N >=>−>⇒>=> +++++ , ( >=> n n n N ) ⇒

( ) n a 1 n n a N >+=> ++ (2.127)

Astfel >+ n a este un vector propriu al operatorului N corespunzător valorii proprii (n + 1) . Deoarece nivelele de energie ale oscilatorului sunt echidistante, din relaţia (2.124) putem interpreta n ca numărul de particule identice aflate în starea n . Comparând (2.124) cu (2.127) rezultă că prin aplicarea operatorului de creare la un vector propriu al lui H se obţine o creştere a numărului de particule n cu o unitate faţă de cazul când nu se aplică acest operator. De aceea N este numit operatorul numărului de particule. Rezultă că prin aplicarea

- 48 -

operatorului de creare +a la un vector de stare >n se obţine, până la o constantă

multiplicativă, un vector de stare >+ 1 n :

>+=>+ 1 n D n a n (2.128) La fel se demonstrează relaţiile:

[ ] a a , N −= (2.129)

( ) n a 1 n n a N >−=> (2.130)

>−=> 1 n F n a n (2.131) Din (2.123) , (2.128) şi (2.131) rezultă:

n DF n DF 1 n F a n n n aa 1 n n1 n nn =⇒>=>−=>=> −−++ (2.132)

Operatorul +a este adjunctul operatorului a deoarece satisface relaţia de definiţie a operatorului adjunct:

( )∗>−<=>−< + n a 1 n 1 n a n (2.133)

( ) >−<=∗

>−< + n a 1 n 1 n a n Din (2.128) şi (2.131) rezultă:

( ) =∗

>−<==>−<>=>− +−

+ 1 n a n F n a 1 n ; n D 1 n a n1 n

= ( ) D F D n D n 1 n n1 n 1 n ∗=⇒∗=∗>< −−− (2.134)

Fără a restrânge generalitatea soluţiei, putem alege nF şi nD să fie reale. Din (2.134) şi (2.132) rezultă:

1 n D n D , n F n F , D F n1 n n2n1 n n +=⇒==⇒== −−

Înlocuind în (2.128) şi în (2.131) obţinem: >++=>+ 1 n 1 n n a (2.135)

>−=> 1 n n n a (2.136) Din (2.121) şi (2.135) obţinem:

1 C 0 C 0 00 =⇒>=>

1 C 1 C 0 aC 1 111 =⇒>=>=> +

( )2

1 C 2 2C 0 aC 2 222

2 =⇒>=>=> +

...................................................................................................................................................... ( ) ( ) ( ) ( ) =>=>=>=>=>

−+−+−++ 3 3 2aC 2 2aC 1 aC 0 aC n 3 n n

2 n n

1 n n

nn

= . . . = !n

1 C n n . . . 321C nn =⇒>⋅⋅⋅⋅ (2.137)

Înlocuind în (2.121) obţinem: ( )

>=>+

0 !n

a n n

(2.138)

Se poate arăta că relaţia (2.138) este echivalentă cu relaţia (2.94) . Înlocuind:

dXd

i P h=

- 49 -

în (2.104) obţinem:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+=

dXd X

21

dXd

i i X

21 a h

0 X dXd

0 dXd X

21 0 a 0 0 a 0

000 =Ψ+

Ψ⇒=Ψ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⇒=Ψ⇒=> (2.139)

Soluţia acestei ecuaţii este:

xm X , 2/X e C 2

00h

ω=−=Ψ (2.140)

0Ψ din (2.140) este identica funcţiei de undă pentru starea fundamentală din (2.94) . Constanta 0C se determină din condiţia de normare.

2.8.5. Teoria cuantică a momentului cinetic

Din expresia operatorului moment cinetic orbital:

zyx

zy x kji

i

i

r PPP zyx kji

p r L

zyx∂∂

∂∂

∂∂

=∇×==×=

rrr

hhr

rrr

rrr (2.141)

se obţin operatorii componentelor momentului cinetic orbital:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=−=y

z z

y i

Pz Py L yzxh

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

=−=z

x x

zi

P x Pz L zxyh (2.142)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=−=x

y y

x i

Py P x L xyzh

Calculăm comutatorul (ţinând seama de situaţiile în care variabilele x, y, z sunt constante în raport cu operatorul comutator, precum şi de faptul că pentru două componente ale lui P comutatorul este nul): [ ] [ ] [ ] [ ] =−−−=−−= P x, Pz Py Pz , Pz Py P x Pz , Pz Py L , L zyzxyzzxyzyx

= [ ] [ ] [ ] [ ] =+−− P x, Pz P x, Py Pz , Pz Pz , Py zyzzxyxz

= [ ] [ ] [ ] [ ] =+−− P , Pz x P , Pyx P , P z Pz , Py zyzzxy2

xz

= [ ] [ ] [ ] [ ] =+++ P P , z x P , P xz P z , Py P , P yz yzzyxzxz

= ( ) zzyxyx L i L i

P x Py i

P i

x P i

y hhhhh

=−=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

Analog se calculează [ ]zy L , L şi [ ]xz L , L , care pot fi scrise prin permutări circulare:

[ ]yx L , L = zL i h

[ ]zy L , L = xL i h (2.143)

[ ]xz L , L = yL i h

- 50 -

Deoarece operatorii componentelor momentului cinetic orbital nu comută între ei, rezultă că zyx L , L , L nu admit funcţii proprii comune şi deci componentele momentului cinetic zyx L , L , L nu pot avea simultan valori bine determinate, în conformitate cu relaţiile de nedeterminare ale lui Heisenberg.

Operatorul pătratului momentului cinetic: 2z

2y

2x

2 L L L L ++= (2.144) comută cu oricare dintre operatorii componentelor momentului cinetic orbital, adică:

[ ] [ ] [ ] 0 L , L ; 0 L , L ; 0 L , L z2

y2

x2 === (2.145)

Astfel: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] =+++=++= L L ,L L ,LL L L ,L L ,LL L ,L L ,L L ,L L ,L zxzxzzyxyxyyx

2zx

2yx

2xx

2

= ( ) 0 LL i L iL LL i L i L zyyzyzzy =++−− hhhh

Din relaţiile (2.143) şi (2.145) rezultă că informaţia maximă care se poate obţine asupra unei stări de moment cinetic orbital dat constă în cunoaşterea mărimii momentului cinetic orbital (determinată de 2L

r) şi a uneia dintre proiecţii (se alege proiecţia zL pentru că

operatorul corespunzător are expresia cea mai simplă în coordonate sferice), celelalte două proiecţii rămânând nedeterminate. Această concluzie este o consecinţă a absenţei noţiunii de traiectorie a unei particule cuantice, aşa cum rezultă din relaţiile de incertitudine ale lui Heisenberg.

În cazul general al unui moment cinetic oarecare Jr

putem scrie relaţii asemănătoare celor din (2.143) şi (2.145) .

[ ]yx J , J = zJ i h (2.146)

[ ]zy J , J = xJ i h (2.147)

[ ]xz J , J = yJ i h (2.148)

[ ] [ ] [ ] 0 J , J ; 0 J , J ; 0 J , J z2

y2

x2 === (2.149)

Ca şi în cazul oscilatorului armonic liniar, introducem operatorii de creare şi anihilare:

yx J i J J +=+ (2.150)

yx J i J J −=− (2.151) Din relaţiile (2.146) – (2.151) rezultă:

[ ] [ ] [ ] ( ) ++ =−+=+= J J i i J i J , J i J , J J , J xyyzxzz hhh (2.152)

[ ] [ ] [ ] ( ) −− −=−−=−= J J i i J i J , J i J , J J , J xyyzxzz hhh (2.153)

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) zzzyxxy J 2 J i i J i i J , J i J , J i J , J hhh =−−=−=−+ (2.154)

[ ] [ ] [ ] 0 J , J ; 0 J , J ; 0 J , J z222 === −+ (2.155)

( )( ) [ ] ⇒++=−+=−+=−+ J J J J , J i J J J i J J i J JJ z2y

2xyx

2y

2xyxyx h

J J J J J J J J JJ z2z

2z

2z

2z

2y

2x hh +−=+−++=−+ (2.156)

( )( ) [ ] ⇒−+=++=+−=+− J J J J , J i J J J i J J i J JJ z2y

2xyx

2y

2xyxyx h

J J J J J J J J JJ z2z

2z

2z

2z

2y

2x hh −−=−−++=+− (2.157)

- 51 -

Din (2.156) şi (2.157) obţinem:

( ) 2z

22z

2 J JJ JJ 21 J J 2 J 2 JJ JJ ++=⇒−=+ +−−++−−+ (2.158)

Deoarece [ ] 0 J , J z2 = rezultă că 2J şi zJ admit acelaşi set de vectori proprii > m , j .

Scriem ecuaţiile cu valori proprii ale operatorilor 2J şi zJ sub forma: ( ) >+=> m j, 1 j j m j, J 22 h (2.159)

>=> m j, m m j, J z h (2.160)

unde valorile proprii ale lui 2J trebuie să fie pozitive sau nule, deoarece corespund pătratului momentului cinetic, care este pozitiv sau nul. Deci în general j este întreg sau semiîntreg:

j ≥ 0 (2.161) Întrucât pătratul normelor vectorilor proprii >+ m j, J şi >− m j, J sunt pozitive sau

nule:

0 m j, J m j, JJ m j, 2≥>=>< ++− (2.162)

0 m j, J m j, JJ m j, 2≥>=>< −−+ (2.163)

din (2.156) şi (2.157) rezultă: ( ) ( ) 0 m m 1 j j m j, J J J m j, m j, JJ m j, 2222

z2z

2 ≥−−+=>−−<=>< +− hhhh (2.164)

( ) ( ) 0 m m 1 j j m j, J J J m j, m j, JJ m j, 2222z

2z

2 ≥+−+=>+−<=>< −+ hhhh (2.165) sau:

j (j + 1) − m (m + 1) = (j − m) (j + m + 1) ≥ 0 (2.166) j (j + 1) − m (m − 1) = (j − m + 1) (j + m) ≥ 0 (2.167)

sau: ( )

1 j m j

j m 1 j ⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

+≤≤−

≤≤+− j m j ≤≤− (2.168)

Din (2.162) şi (2.168) rezultă că pentru m = j 0 j j, J =>+ (2.169)

iar din relaţiile (2.163) şi (2.167) rezultă că pentru m = − j 0 j j, J =>−− (2.170)

Din (2.155) şi (2.159) rezultă:

[ ] ( ) m j, 1 j j J m j, J J m j, J J J J J J 0 J , J 222222 ⇒>+=>=>⇒=⇒= ++++++ h

( ) >+=> ++ m j, J 1 j j m j, J J 22 h (2.171)

Rezultă că m j, J >+ este un vector propriu al operatorului 2J , corespunzător valorii

proprii ( ) 2 1 j j h+ . Din (2.152) şi (2.160) rezultă:

[ ] ( ) ( ) >+=>+=>⇒=−⇒= ++++++++ m j, mJ m j, JJ m j, JJ J JJ JJ J J , J zzzzz hhhhh

( ) >+=>⇒ ++ m j, J 1 m m j, J J z h (2.172)

- 52 -

Rezultă că m j, J >+ este de asemenea un vector propriu al lui zJ , corespunzător valorii proprii ( )h 1 m + .

Analog se obţin relaţiile: ( ) m j, J 1 j j m j, J J 22 >+=> −− h (2.173)

( ) m j, J 1 m m j, J J z >−=> −− h (2.174) Din (2.171) şi (2.172) rezultă că putem defini un vector propriu prin relaţia

următoare (sau din (2.172) şi (2.160) scrisă pentru m + 1: >++=>+ 1 m j, 1) m( 1 m j, J z h ):

>+=>+ 1 m j, C m j, J m (2.175) ∗+<=< − mC 1 m j, J m j, (2.176)

2 mmm C 1 m j, 1 m j, CC m j, JJ m j, =>++<∗=>< +− (2.177)

Pe de altă parte, din (2.164) şi (2.165) rezultă: ( ) ( )[ ] 1 m m 1 j j m j, JJ m j, 2h+−+=>< +− (2.178)

( ) ( )[ ] 1 m m 1 j j m j, JJ m j, 2h−−+=>< −+ (2.179) Comparând (2.177) cu (2.178) obţinem:

( ) ( ) h 1 m m 1 j j C m +−+= (2.180)

Înlocuind mC în (2.175) obţinem: ( ) ( ) >++−+=>+ 1 m j, 1 m m 1 j j m j, J h (2.181)

Analog se arată că: >−=>− 1 m j, D m j, J m (2.182)

( ) ( ) >−−−+=>− 1 m j, 1 m m 1 j j m j, J h (2.183)

Revenind la cazul particular al momentului cinetic orbital, vom exprima 2L şi zL în coordonate sferice.

0 r r x ≥⋅= ϕθ cossin ϕθ⋅= sin sinr y π≤θ≤ 0

θ⋅= cosr z π≤ϕ≤ 2 0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ∂∂

⋅θ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂∂

⋅θθ∂∂

⋅θ

−= 2

2

222

sin1 sin

sin1 L h (2.184)

ϕ∂∂

−= i L z h (2.185)

Expresia laplacianului în coordonate sferice este:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ∂∂

⋅θ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂∂

⋅θθ∂∂

⋅θ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⋅∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆ 2

2

22

22

2

2

2

2

2

sin1 sin

sin1

rr

r

r1

z

y

x (2.186)

Din (2.184) şi (2.186) rezultă:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⋅∂∂

=∆ 2

22

2

L r

rr

r1

h (2.187)

- 53 -

Ecuaţia cu valori proprii pentru 2L se scrie astfel: ( ) ( )ϕθ=ϕθ , S L , S L 22 (2.188)

sau:

( ) ( )ϕθ−=ϕθ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ∂∂

⋅θ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂∂

⋅θθ∂∂

⋅θ

, S L , S sin

1 sinsin

1 2

2

2

2

2 h (2.189)

Soluţia ecuaţiei (2.189) se obţine folosind metoda separării variabilelor: ( ) ( ) ( )ϕΦθ=ϕθ F , S (2.190)

Introducând (2.190) în (2.189) obţinem:

0 F L sin

F Fsinsin

2

2

2

2

2 =Φ+ϕ∂Φ∂

⋅θ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂∂⋅θ

θ∂∂

⋅θ

Φh

(2.191)

Înmulţind această relaţie cu Φθ

Fsin 2

rezultă:

22

22

2

2

m d1 sin L ddFsin

dd

Fsin

lh=

ϕ∂Φ

⋅Φ

−=θ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

θ⋅θ

θ⋅

θ (2.192)

S-a înlocuit derivata parţială cu derivata totală pentru că F depinde numai de θ , iar Φ depinde numai de ϕ .

2ml este o constantă, întrucât cei doi membri ai relaţiei (2.192) , care depind fiecare de câte o singură variabilă, trebuie să fie egali pentru orice valori ale lui θ şi ϕ .

Din ultima egalitate din (2.192) rezultă:

0 m dd 2

2

2

=ϕ+ϕΦ

l (2.193)

Soluţia acestei ecuaţii este: ϕ

⋅=Φ lm ieC (2.194)

Întrucât ϕ este o variabilă unghiulară, ( )ϕΦ trebuie să satisfacă condiţia de univocitate (funcţia de undă trebuie să fie continuă în toate punctele spaţiului, pentru că altfel nu ar fi diferenţiabilă şi deci n-ar putea fi o soluţie a ecuaţiei).

( ) ( ) ( )⇒=

ϕ⇒

π+ϕ=

ϕ⇒π+ϕΦ=ϕΦ 1

m i2e

2 m ie C

m ie C 2 lll

( ) ( ) . . . , 2 , 1 , 0 m 1 2msin i 2m cos ±±=⇒=π+π lll (2.195)

lm se numeşte număr cuantic magnetic orbital. Valorile acestui număr sunt întregi, spre deosebire de cazul general, când j putea lua şi valori semiîntregi. Conform relaţiei (2.168) rezultă:

≡−+−−=≡≤≤ , 1 , . . . . , 1 , m m llllllll ll , . . . , 2 , 1 , 0 m ±±±= (2.196)

Este evident că şi l trebuie să ia numai valori întregi. Constanta C din (2.194) se determină din condiţia de normare:

π=⇒=π⋅⇒=Φ

ϕ−⋅⋅

π ϕ−⋅⇒=ΦΦ

π∗Φ ∫∫ 2

1 C 1 2C 1 d m i

e C 2

0

m i e C 1 d

2

0

2ll

Deci:

ϕ

⋅π

=Φ lm ie

21 (2.197)

- 54 -

Scriind ecuaţia cu valori proprii pentru operatorul zL sub forma: Φ′=Φ′ L L zz (2.198)

unde zL sunt valorile proprii, iar Φ′ sunt funcţiile proprii şi aplicând încă o dată operatorul

zL obţinem:

Φ′=Φ′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂∂

⋅−ϕ∂∂

⋅−⇒Φ′=Φ′⇒Φ′=Φ′ 2zzz

2zzzzz L i i LL L LL LL hh

0 L

L 2

2z

2

22z2

22 =Φ′+

ϕ∂Φ′∂

⇒Φ′=ϕ∂Φ′∂

−h

h (2.199)

Comparând (2.199) cu (2.193) rezultă:

m L 2

2

2z ⇒= lh

hlm L z = ; ll , . . . , 2 , 1 , 0 m ±±±= (2.200)

Relaţia (2.200) este de aceeaşi formă cu relaţia generală (2.160) . Rezultă că Φ din (2.197) sunt funcţiile proprii ale lui zL , iar valorile proprii ale operatorului zL sunt date de relaţia (2.200) . Astfel proiecţia momentului cinetic pe axa z este cuantificată.

Ecuaţia în θ din (2.192) este:

0 m sin L ddFsin

dd

Fsin 22

2

2

=−θ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

θ⋅θ

θ⋅

θlh

: θ2sin

0 F sin

m L

ddFsin

dd

sin1 2

2

2

2

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

θ−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

θ⋅θ

θ⋅

θl

h (2.201)

Pentru rezolvarea acestei ecuaţii se face substituţia θ= cos x , căutându-se soluţii de forma:

( ) ( ) ( )x f2m

x 1 x F 2 ⋅−=l

(2.202) unde f (x) se dezvoltă în serie de puteri:

( ) nn x

0 n a x f ⋅

∞

== ∑ (2.203)

Impunând soluţiei (2.202) să verifice ecuaţia (2.201) se obţine o relaţie de recurenţă între coeficienţii seriei (2.203) , care se analizează în acelaşi mod ca la oscilatorul armonic liniar. Pentru ca funcţia F să fie mărginită trebuie ca seria să se întrerupă de la un anumit termen, devenind un polinom. Deci şi ( )θ cos F devine un polinom. Astfel se obţin ca soluţii

ale ecuaţiei (2.201) aşa-numitele polinoame Legendre asociate ( )θ cos m

P ll . Deci soluţia

ecuaţiei (2.189) este funcţia sferică:

( ) ( ) m i

e cos m

Pm

N , Sϕ

⋅θ=ϕθ lll

ll (2.204)

unde llm

N este un factor de normare. Din condiţia ca soluţiile ecuaţiei (2.201) să fie

mărginite rezultă: ( ) 22 1 L hll += , . . . , 2 , 1 , 0 =l (2.205)

ll m ≤ (2.206)

- 55 -

Aceste relaţii sunt în acord cu formulele (2.159) şi (2.168) , care sunt valabile în cazul general. Deoarece lm este un număr întreg, rezultă că şi l trebuie să fie tot un număr întreg. l este numit număr cuantic orbital.

2.8.6. Teoria cuantică a atomului de hidrogen

Energia potenţială a electronului în câmpul nucleului de sarcină + e are expresia:

( )r

e

r4e r V

20

0

2

−=πε

−= (2.207)

Deoarece V(r) depinde numai de valoarea absolută a distanţei dintre nucleu şi electron, adică este caracterizată de simetrie sferică ( V este invariant la o rotaţie în jurul originii), este convenabil să folosim coordonatele sferice pentru a trata mişcarea electronului în câmpul central al nucleului de hidrogen. Ecuaţia lui Schrödinger este:

0 r

e E 2m

sin1 sin

sin1

rr

r

r1 2

022

2

22

2 =Ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ∂Ψ∂

⋅θ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂Ψ∂

⋅θθ∂∂

⋅θ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

⋅∂∂

h (2.208)

Înlocuind laplacianul din (2.187) în expresia operatorului hamiltonian

( )r V m2

H2

+∆−=h (2.209)

obţinem:

re

L r

rr

r1

2m H

20

2

22

2

2

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⋅∂∂

⋅−=h

h (2.210)

Deoarece 2L din (2.184) depinde numai de θ şi ϕ , iar H din (2.210) depinde de r şi de 2L , rezultă că H şi 2L comută:

[ ] 0 L ,H 2 = (2.211) Deoarece H , 2L şi zL comută, rezultă că aceşti operatori vor avea un sistem comun

de funcţii proprii. Astfel informaţia maximă care se poate obţine asupra stării electronului în atom constă din valorile energiei, ale mărimii momentului cinetic şi a unei proiecţii (proiecţia z) a momentului cinetic orbital.

Soluţia ecuaţiei (2.208) se pune sub forma: ( ) ( ) ( )ϕθ⋅=ϕθΨ , Sr R , r, (2.212)

unde ( )ϕθ , S este funcţia sferică. Înlocuind (2.212) în (2.208) obţinem:

0 S R r

e E 2m S

sinR Ssin

sinR

rRr

rS

r1 2

022

2

22

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ∂∂⋅

θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂∂⋅θ

θ∂∂

⋅θ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂⋅

∂∂

h (2.213)

Înmulţind relaţia cu S R

r 2

şi şinând seama de relaţiile (2.189) şi (2.205) obţinem:

( )1 L Ssin S1 Ssin

sin S1

re

E 2mr drdRr

drd

R1

2

2

2

2

2

20

2

22 +==

ϕ∂∂

θ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂∂

θθ∂∂

θ−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

llhh

(2.214)

Ecuaţia în r este:

( ) 0 R 1 r

e E 2mr

drdRr

drd 2

02

22 =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅ ll

h (2.215)

Dar:

- 56 -

( ) Rr drdr

drdRr

drd

2

22 ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅ (2.216)

deoarece:

2

222

drRd r

drdR2r

drdRr

drd

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

( ) 2

22

2

2

2

2

drRd r

drdR2r

drdR

drRd r

drdRr

drdRr R

drdr Rr

drd r ⋅+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+=⋅

Înlocuind (2.216) în (2.215) obţinem:

( ) ( ) 0 R r

1 r

e E 2m r Rr

drd r 2

20

22

2

2

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅

ll

h

sau: ( ) 0 u r

1 r

e E 2m

drud

2

20

22

2

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

ll

h (2.217)

unde: u = r R (2.218)

Relaţia (2.217) se poate pune sub forma ecuaţiei lui Schrödinger unidimensionale:

( ) 0 u

efVmr2

1 r

e E 2m

drud

2

220

22

2

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++−−+

444 3444 21

hll

h (2.219)

unde:

( ) ( )43421

hll

C

2

2

Vmr2

1 r V efV ++= (2.220)

este numit potenţial efectiv. Deoarece r ≥ 0 , termenul al doilea din (2.220) este pozitiv şi este numit potenţial centrifugal, întrucât îi corespunde o forţă de respingere a particulei faţă de centru ( 0 dr /dV F C ≥−= ).

Ecuaţia (2.217) poate fi scrisă în funcţie de mărimile adimensionale:

20

2

11 me

r , rr h

==ξ (2.221)

1 , r2

e

2me

E , EE

1

20

2

40

11

±=ββ=β==εh

(2.222)

Rezultă:

ξ=

ξξ

=ddu

r1

drd

ddu

drdu

1

2

2

21

2

2

dud

r1

drd

drdu

dd

drud

ξ=

ξ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ξ=

- 57 -

( )⇒=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ξ+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ

+ε⋅β+

ξ 0 u

r1

re

r2e

2m d

ud r1

2211

20

1

20

22

2

21

ll

h (2.223)

( ) 0 u 1 2 d

ud22

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ξ+

−ξ

+βε+ξ

ll (2.224)

Pentru a obţine soluţia generală, se determină soluţii particulare mărginite pentru 0 r → şi pentru ∞→r , adică pentru 0 →ξ şi ∞→ξ .

a) Pentru 0 →ξ cei mai importanţi termeni din (2.224) devin cei cu puterea mai mare a lui ξ la numitor. În acest caz, pentru 0 ≠l , ecuaţia (2.224) devine:

( ) 0 u 1 d

ud22

2

=ξ+

−ξ

ll (2.225)

Căutăm o soluţie de forma: αξ= u (2.226)

Impunând ca această soluţie să verifice ecuaţia (2.225) obţinem:

( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 1 22

2 =+−α−α⇒=ξξ+

−ξ−αα α−α llll

( ) ( )⎩⎨⎧

−=α+=α

⇒+±

=++±

=αl

llll

1

2

2 1 1 2

1 4 1 1

2

12 ,1 (2.227)

Din relaţia (2.218) scrisă sub forma ( ) ( ) ( ) ( ) R u r Rr ru ξξ=ξ⇒=

şi din (2.226) , (2.227) rezultă:

22110211 RC RC R 1 R , R u R +=⇒−−ξ=ξ=⇒ξ=

ξξ

=ξ

= −αα

ll

Deoarece ∞→→ξ+ξ

= 0

1 1 R 2 l

, această soluţie nefiind mărginită este eliminată, luând

0 C2 = . Alegând 1 C1 = rezultă că pentru valori mici ale lui ξ soluţia ecuaţiei (2.224) este:

1 R u 00+ξ=ξ= l (2.228)

Pentru 0 =l termenul dominant în (2.224) este ξ/2 în cazul 0 →ξ . În acest caz ecuaţia (2.224) devine:

0 u 2 d

ud2

2

=ξ

+ξ

(2.229)

Alegând ca soluţie o serie de forma: . . . a a u 2

21 +ξ+ξ= (2.230) rezultă:

( ) 0 0u =

121 a 0

. . . a a u R →→ξ

+ξ+=ξ

= (valoare finită în vecinătatea originii).

La acelaşi rezultat se ajunge dacă se impune unei soluţii de forma (2.226) să verifice ecuaţia (2.224) şi se egalează cu zero coeficientul termenului dominant.

- 58 -

b) Deoarece potenţialul nu este simetric, vom analiza şi cazul ∞→ξ . Pentru ∞→ξ ecuaţia (2.224) se reduce la:

0 u d

ud2

2

=βε+ξ

(2.231)

Soluţia acestei ecuaţii este:

( ) ( ) ( ) ξβε−′+ξβε

=ξ2/12/1 i e C ie C u (2.232)

Pentru E > 0 , 1 +=β soluţia este mărginită pentru orice valoare a lui ) [0, E ∞∈ întrucât ( ) 2/1βε este un număr real. În acest caz electronul este liber (lipseşte bariera din dreapta potenţialului), având un spectru de valori proprii continuu. Orbita clasică este o hiperbolă. Pentru E < 0, 1 −=β , deoarece ( ) 1/22/1 i ε=βε rezultă că numai primul termen din (2.232) este mărginit şi deci trebuie să luăm 0 C =′ . În aces caz (E < 0) electronul este legat într-un atom (orbita clasică este o elipsă), mişcarea electronului este limitată de bariera de potenţial, iar pentru eliberarea lui (E = 0) este necesar un lucru de ionizare pozitiv. Astfel:

( ) ξε−=ξ∞1/2 e C u (2.233)

Alegând C = 1 şi ţinând seama de (2.228) rezultă că în cazul electronului legat în atom soluţia ecuaţiei (2.224) pe întregul domeniu ) [0, ∞∈ξ este:

( ) ( ) f e 1 u 2/1

ξ⋅ξε−⋅+ξ=ξ l (2.234) unde ( )ξ f se dezvoltă într-o serie de puteri:

( ) k

0 k ka f ξ

∞

==ξ ∑ (2.235)

Impunând soluţiei (2.234) să verifice ecuaţia (2.224) se obţine o relaţie care este identic satisfăcută numai dacă egalăm coeficienţii aceleiaşi puteri a lui ξ . Astfel se obţine o relaţie de recurenţă între coeficienţii seriei (2.235) :

( )[ ]( ) ( ) ( ) k

1/2

1 k a 1 1 k 2 k

1 1 k 2 a+−++++

−++ε=+

llll

l (2.236)

Pentru ∞→ξ termenii cei mai semnificativi ai seriei (2.235) sunt cei pentru care k >> 1.

Pentru aceştia raportul între doi termeni consecutivi este k

2 2/1 ξε . La acelaşi rezultat se ajunge

dacă se face raportul între doi termeni consecutivi din dezvoltarea în serie a exponenţialei ξε 2/12e care tinde la ∞ pentru ∞→ξ . Astfel seria (2.235) tinde la ∞ pentru ∞→ξ . În

acest caz ( )ξu nu este mărginită. Dacă însă întrerupem seria la un termen de rang rn k = , se

obţine un polinom, astfel că şi pentru ∞→ξ factorul ξε− 2/1 e din (2.234) asigură mărginirea funcţiei ( )ξu . Dacă polinomul este de ordinul rn , atunci 0 na

r= şi 0 1 na

r=+ .

În acest caz din (2.236) rezultă:

( )[ ]( )2

rr

1/2

1 n1 0 1 1 n 2++

=ε⇒=−++εl

l (2.237)

Din (2.222) şi (2.237) pentru 1 −=β rezultă:

- 59 -

( )⇒

++−=⋅εβ=ε=

1 n 2me

2me

E E 2r

2

40

2

40

1lhh

22

40

n2me

Eh

−= n = 1, 2, . . . , ∞ (2.238)

unde 1 n n r ++= l este numit număr cuantic principal, iar rn este numit număr cuantic radial. Deoarece numărul cuantic orbital este este un număr întreg rezultă:

1 n , . . . , 2 , 1 , 0 −=l (2.239) unde valoarea maximă 1 n −=l corespunde lui rn = 0, iar valoarea minimă 0 =l corespunde lui n = rn + 1. Din cele trei numere cuantice (n, rn , l ) numai două sunt distincte (n şi l ), datorită relaţiei 1 n n r ++= l . Prin întreruperea seriei (2.235) la un anumit termen se obţine un polinom numit polinomul

Laguerre generalizat ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ξ+

+ n2 1 2

n L ll . Din relaţiile (2.218) , (2.221) , (2.222) şi (2.234)

rezultă funcţia radială:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅

−⋅⋅=

1

1

nr2r 1 2

n Lnrr

ernN r nR ll

lll (2.240)

Din relaţiile (2.204) , (2.212) şi (2.240) rezultă funcţiile proprii

( ) ( )ϕ

⋅θ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅

−⋅⋅=ϕθΨ ll

lll

l

llll

m ie cos

mP

nr2r 1 2

n Lnrr

ermnN , ,rmn1

1 (2.241)

unde llmnN este un factor de normare.

Concluzii 1) Din relaţia (2.238) rezultă că energia electronului în atomul de hidrogen este

cuantificată de numărul cuantic principal n . 2) Pentru un număr cuantic principal dat, numărul cuantic orbital l poate lua valorile

1 n , . . . , 2 , 1 , 0 −=l . 3) Pentru fiecare număr cuantic orbital l , numărul cuantic magnetic orbital lm poate

lua 1 2 +l valori: , 1 , . . . , 1 , 0 , 1 , . . . , 1 , m lllll −−+−−= . 4) Deoarece energia depinde numai de n, iar funcţia de undă din (2.241) este dependentă

de trei numere cuantice n , l şi lm rezultă că stările electronului din atomul de hidrogen sunt degenerate (unei valori proprii îi corespund mai multe funcţii de undă). În teoria lui Bohr o stare cuantică era determinată numai de n . Pentru un n dat l poate lua n valori, iar lm poate lua 1 2 +l valori, pentru un total de

( ) =−

=+∑

1 n

0 1 2

ll 1 + 3 + 5 + . . . + [2 (n − 1) + 1] = 2n n

21 2n 1

=−+ stări

(progresie aritmetică cu raţia 2). Astfel pentru un n dat există n2 funcţii proprii diferite, adică pentru o energie dată avem o degenerare de gradul n2. Numai starea fundamentală caracterizată de n = 1, l = 0, lm = 0 este nedegenerată (în cazul când nu considerăm spinul electronului).

5) Deoarece fiecare din aceste stări este caracterizată de un număr cuantic magnetic de

spin Sm care poate lua valorile 21 + sau

21 − , există 2n2 stări asociate fiecărui număr

cuantic principal n (există 2n2 stări degenerate).

- 60 -

6) În spectroscopie, nivelele de energie cu n = 1, 2, 3, . . . se notează cu K, L, M, . . . (pături electronice), iar cele pentru l = 0, 1, 2, . . . se notează cu s, p, d, . . . Electronii cu acelaşi n ocupă o pătură, iar cei cu acelaşi l ocupă o subpătură. Principiul de excluziune al lui Pauli interzice ca aceeaşi stare cuantică să fie ocupată de doi electroni (într-un atom nu pot exista 2 electroni având aceleaşi numere cuantice). Fiecare stare cuantică permisă este caracterizată de patru numere cuantice (n, l , lm , Sm ). 2.8.7. Probabilitatea de localizare a electronului în atomul de hidrogen

Probabilitatea de a găsi electronul într-un element de volum ϕθθ= d ddr sinr dV 2 (2.242)

este:

dV ,mn, dP dV dP2

llΨ=⇒Ψ∗Ψ=

Integrând această probabilitate după toate valorile posibile ale lui θ şi ϕ vom obţine probabilitatea de localizare a electronuluila o distanţă de nucleu cuprinsă între r şi r + dr , indiferent de direcţie.

Particularizând pentru starea fundamentală 1s a atomului de hidrogen, pentru care n = 1 , l = 0, lm = 0 , obţinem:

π=−=

41 S , r/r e

r

2 R 0,01

31

0,1 (2.243)

13

1

0,01,00,0,1r/r e

r

1 SR −

π=⋅=Ψ

13

1

21,0,0

2r/r e r 1 −π

=Ψ (2.244)

ϕθθ⋅−π

= d ddr sinr2r/r e r 1 dP 21

31

dr r2r/r e r4 dP

4

2

0d

0d sindr r2r/r e

r 1 dP 21

31

r21

31

r ⋅−=⇒

π

πϕ

πθθ⋅−

π= ∫∫

44 344 21

Densitatea de probabilitate corespunzătoare

r2r/r e r4

drdP 21

31

rr ⋅−=Π= (2.245)

se anulează în origine (r = 0) din cauza factorului 2r şi la ∞ din cauza exponenţialei (probabilitatea ca electronul să se afle pe nucleu sau la infinit este nulă). Densitatea de probabilitate rΠ prezintă un maxim pentru o anumită distanţă maxr dintre electron şi nucleu. Din condiţia de maxim

0 dr

d r =Π

rezultă:

⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅−−⇒=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅− 0 2r r

r2 2r/r e 0 r2r/r e

drd 2

1

121

- 61 -

0,529 me

r r 20

2

1max ===h Å (raza primei orbite Bohr).

În cazul particular analizat numărul cuantic radial rn este nul. Se poate arăta că în cazul în care numărul cuantic radial rn = 0 , din relaţia 1 n n r ++= l rezultă 1 n −=l , iar valoarea maximă a densităţii de probabilitate corespunde la valori ale lui r care sunt multipli întregi ai razei primei orbite Bohr:

rn r 12

maxn = (2.246) Dacă în teoria lui Bohr electronul aflat în starea fundamentală a atomului de hidrogen se deplasează pe un cerc de rază 1r , în mecanica cuantică riguroasă densitatea de probabilitate pentru acest electron este diferită de zero atât pentru r ≤ 1r , cât şi pentru r ≥ 1r . Astfel în mecanica cuantică nu putem considera că electronul se poate deplasa pe orbite precise, ca în teoria lui Bohr. Pentru rn = 1 există o suprafaţă pentru care rΠ = 0 , numită suprafaţă nodală. În general numărul suprafeţelor nodale se identifică cu numărul cuantic radial rn . În cazul în care l = 0, odată cu creşterea numărului cuantic principal n densitatea de probabilitate radială rΠ oscilează mai rapid, apropiindu-se de forma densităţii de probabilitate corespunzătoare mişcării clasice în conformitate cu principiul de corespondenţă.

La fel se poate calcula probabilitatea de localizare a electronului în zonele pentru care θ este cuprins între θ şi θ+θ d , iar ϕ este cuprins între ϕ şi ϕ+ϕ d , indiferent de distanţa r faţă de nucleu, integrând probabilitatea dP după toate valorile lui r . Întrucât în (2.241)

variabila ϕ apare numai în factorul ϕlm i

e , pătratul modulului funcţiei de undă nu va depinde de ϕ , astfel că distribuţia particulei în planul perpendicular pe axa Oz este complet simetrică. Densitatea de probabilitate unghiulară se determină cu relaţia:

ϕθθ=ΩΩ

=Π ϕθϕθ d d sin d ,

ddP

, , (2.247)

unde Ωd este elementul de unghi solid.

Deoarece funcţiile proprii radiale sunt normate:

1 dr r0

n,R 22

=⋅∞∫ l

obţinem:

- 62 -

dP = Ω⋅⋅ ddr r m ,S n,R 22

lll

ϕθ ,dP = dr r 0

n,R d m ,S 222

⋅∞

⋅Ω ∫ lll

ϕθΠ , = m ,S 2

ll

Întrucât

( )1 cos 3 16

5 S , cos 43 S , i esin

83 S ,

41 S 2

2,01,01,10,0 −θπ

=θπ

=ϕ±⋅θπ

=π

= ± m

rezultă:

( )22,0 ,2

2,0 ,1

2,

1 ,1 ,0,0

1 3cos 16

5 , cos 43 , sin

83 ,

41 −θ

π=Πθ

π=Πθ

π=Π

π=Π

ϕθϕθϕθ±

ϕθ

Pentru a obţine o imagine completă trebuie să rotim diagramele din figurile de pe pagina

precedentă în jurul axei Oz . Astfel rotind cercul de rază π4

1 în jurul axei Oz se obţine o

sferă.

2.8.8. Cuantificarea momentului magnetic orbital

Mişcarea electronului în atom în jurul nucleului, numită mişcare orbitală, generează un moment magnetic.

Se defineşte densitatea cuantică de curent Jr

ca produsul dintre sarcina electronului (− e) şi densitatea fluxului de probabilitate j

r [relaţia (2.9)]:

( )∆Ψ∗Ψ−∗Ψ∆Ψ−=−= 2me i je J hrr

(2.249)

Presupunem că electronul se află într-o stare staţionară cu o valoare bine determinată a proiecţiei momentului cinetic orbital, dată de relaţia (2.200):

hlm L z = (2.250) iar funcţia de undă corespunzătoare acestei stări este:

( ) ( ) ( )ϕ

⋅θ⋅⋅=ϕθΨ llllllll

m ie cos

mPmNrnR , ,rmn (2.251)

Pentru a determina densitatea cuantică de curent, datorată mişcării orbitale a electronului în atom, este comod să lucrăm în coordonate sferice (datorită simetriei sferice a câmpului central).

Fie O originea unui sistem de coordonate sferice r, , ,ϕθ situată în centrul de forţe al câmpului central, iar z o axă de direcţie arbitrară care trece prin punctul O. Într-un plan care cuprinde axa z considerăm un element de arie

dAu dA ϕ=r ale cărui coordonate în acest plan sunt

raza r şi unghiul θ . Rotind elementul de arie în jurul axei z , aceasta va gennera un tor de volum:

dA sinr2 dV θ⋅π= (2.252)

- 63 -

Electronul studiat se va găsi cu o anumită probabilitate într-un punct din interiorul acestui tub de curent elementar. Intensitatea curentului care străbate torul este:

dAuJ dAJ dI ϕ=⋅=rrr

(2.253)

Tubul elementar de curent îmbrăţişează o suprafaţă de arie ( ) sinr S 2θ⋅π= = θ⋅π= 22 sinr . Momentul magnetic elementar generat de curentul de intensitate dI este:

( )2z sinr dA uJ SdI dM θ⋅π=⋅= ϕ

rr (2.254) Din relaţiile (2.252) şi (2.254) rezultă:

θ⋅⋅θ⋅π⋅= ϕ sinr 21

dVdA sinr2uJ dM z 4434421

rr

dV u J sinr 21 dM z ϕ⋅θ⋅=

rr (2.255)

Componenta după axa z a momentului magnetic generat de mulţimea tuturor torurilor elementare parcurse de curenţi cuantici de intensitate dI , în care putem împărţi spaţiul fizic, se obţine integrând relaţia (2.255):

∫∞ ⋅θ⋅= ϕ dV u J sinr 21 M z

rr (2.256)

Exprimând pe Jr

în coordonate sferice şi şinând seama de faptul că:

sinr1 u

r1 u

ru r ϕ∂

∂θ⋅

+θ∂∂

+∂∂

=∇ ϕθrrr (2.257)

obţinem:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂Ψ∂∗Ψ−

∂

∗Ψ∂Ψ−=

r

r

2me i J rh

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

θ∂Ψ∂∗Ψ−

θ∂

∗Ψ∂Ψ−=θ

2mre i J h

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ϕ∂Ψ∂∗Ψ−

ϕ∂

∗Ψ∂Ψ

θ⋅−=ϕ

sin2mre i J h

Deoarece funcţia de undă (2.251) este reală în raport cu variabilele r şi θ , rezultă 0 J , 0 J r == θ . Derivând

llmnΨ în raport cu ϕ obţinem:

∗Ψ−=ϕ∂

∗Ψ∂Ψ=

ϕ∂

Ψ∂

lllll

lllll

mnm i mn

, mnm i mn

( ) 2 sinmr

me m i m i

sin2mre i J uuJ uJ Ψ

θ⋅−=Ψ∗Ψ−∗ΨΨ−

θ⋅−===⋅ ϕϕϕϕϕ

lh

llhrrrr

Înlocuind în (2.256) obţinem:

∫∫ ∞ Ψ−=∞ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ψ

θ⋅−θ⋅= dV

m2

me dV

sinmr

me sinr

21 M 22

zlhlh

Conform condiţiei de normare, integrala extinsă pe întreg spaţiul fizic este egală cu unitatea şi deci:

m2

me Mz ⇒−= lh

PBz m M −µ⋅= l (2.258)

unde:

- 64 -

2me PBh

−=µ − (2.259)

este magnetonul Bohr-Procopiu, care a fost pus în evidenţă pentru prima dată de fizicianul român Şt. Procopiu (1911).

( )224

PB mAJ/T

109,27 ⋅⋅=µ −−

Semnul minus este determinat de sarcina negativă a electronului. Din relaţia (2.258) rezultă că momentul magnetic orbital al electronului în atom este

cuantificat de numărul cuantic ll , . . . , 2 , 1 , 0 m ±±±= , numit număr cuantic magnetic

orbital. Astfel se justifică denumirea dată lui lm . Momentul magnetic se determină experimental măsurând energia acestui moment într-

un câmp de inducţie magnetică Br

orientat după axa Oz. În cazul mişcării orbitale a unui electron se defineşte raportul magneto-mecanic orbital

prin relaţia:

2me

m

m

LM PB

z

z −=µ

==γ−

hl

ll (2.260)

Din (2.250) şi din (2.258) rezultă:

zz L 2me M −= (2.261)

Conform principiului de corespondenţă, o relaţie identică trebuie să existe între operatorii asociaţi:

zz L 2me M −= (2.262)

Suma tuturor momentelor magnetice orbitale ale electronilor din atom determină momentul magnetic orbital al atomului.

2.8.9. Experienţa lui Stern şi Gerlach. Spinul electronului

În anul 1921 Stern şi Gerlach au încercat să măsoare momentul magnetic orbital

lh m

2me M z −= (2.263)

dar rezultatele experimentale nu au putut fi explicate decât mai târziu (în 1925) de către Goudsmit şi Uhlenbeck cu ajutorul ipotezei că electronul are un moment cinetic propriu (spinul electronului) şi corespunzător un moment magnetic propriu (moment magnetic de spin). Spinul este o caracteristică cuantică a particulelor şi nu are analog clasic. În engleză cuvântul „spin” înseamnă o rotire în jurul axei proprii.

- 65 -

Într-un vas vidat (presiunea reziduală mai mică de 5 10− torr) se află un cuptoraş electric în care are loc evaporarea unei cantităţi de argint. Atomii de argint au un singur electron de valenţă (electron optic). Cu ajutorul a două fante 1F şi 2F este selectat un fascicul îngust de atomi de argint, emişi termic, care traversează un câmp magnetic puternic neomogen (neomogenitatea este sensibilă pe o distanţă de ordinul diametrului atomic (1 Å)) produs de piesele polare 1P şi 2P ale unui electromagnet.

Energia potenţială de interacţiune între un moment magnetic Mr

şi un câmp magnetic de inducţie B

r este:

( )B,M cos BM BM Urrrr

⋅−=⋅−= (2.264) Forţa care acţionează asupra atomilor din fascicul este:

( )B,M cos zBM

zU F

rr

∂∂

=∂∂

−= (2.265)

Sub acţiunea acestei forţe, atomul suferă o deviaţie de-a lungul axei z :

( ) ( )B,M cos C B,M cos zBM

2mt t

mF

21

2at z

22

2 rrrr⋅=

∂∂

⋅=⋅⋅== (2.266)

unde C este o constantă dependentă de construcţia aparatului. Această deviaţie poate fi măsurată pe placa P . Din punct de vedere clasic, întrucât

unghiul dintre Mr

şi Br

poate lua valori în intervalul ] ,0[ π , ( )B,M cosrr

va lua toate valorile cuprinse între + 1 şi − 1 , adică fasciculul de atomi de argint va fi deviat continuu între 1M şi 2M pe placa răcită P , depunându-se sub forma unei pete continue (curba punctată). Experimental se constată pe placă numai două urme simetrice în raport cu axa Oy . În absenţa câmpului magnetic se obţine o pată centrală în jurul punctului M (curba întreruptă).

Întrucât ionii de argint (cărora le lipseşte electronul optic) trec nedeviaţi prin câmpul magnetic neomogen, rezultă că aceşti ioni nu au un moment magnetic, astfel că despicarea fasciculului de atomi neutri de argint se datorează exclusiv momentului magnetic al electronului optic.

Dacă am presupune că deviaţia atomilor neutri de argint s-ar datora momentului magnetic orbital al electronului optic, ar trebui ca pe placa P să avem un număr impar de urme, în timp ce experienţa arată că avem două urme. Astfel pentru electronul optic aflat în starea fundamentală (starea cea mai probabilă în cazul când experienţa are loc la temperaturi mici), n = 1 , 0 m , 0 == ll , din relaţia (2.263) rezultă că momentul magnetic orbital este

nul şi deci ar trebui să se obţină o urmă nedeviată (z = 0), iar dacă 1 , 0 m , 1 ±== ll ar trebui să apară o urmă nedeviată şi două urme deviate simetric.

Rezultatele experimentale obţinute de Stern şi Gerlach au putut fi explicate numai cu ajutorul ipotezei spinului electronic. Întrucât forţa magnetică orientează momentele magnetice de spin paralel sau antiparalel cu câmpul magnetic, rezultă că într-un câmp magnetic momentul cinetic de spin (spinul electronului) poate avea numai două orientări posibile. Astfel numărul cuantic de spin s se obţine din relaţia:

2s + 1 = 2 ⇒ 21 s = (2.267)

Momentului cinetic de spin sr îi corespunde operatorul sr de componente yx s ,s şi zs care satisfac relaţiile de comutare specifice oricărui moment cinetic:

[ ] [ ] [ ] a i s ,s ; a i s ,s ; a i s ,s yxzxzyzyx hhh === (2.268)

[ ] [ ] [ ] 0 s ,s ; 0 s ,s ; 0 s ,s z2

y2

x2 === (2.269)

- 66 -

În cazul mişcării nerelativiste, operatorii H , z2

z2 s , s , L , L formează un sistem

complet, deoarece comută între ei. În mecanica cuantică relativistă spinul electronului rezultă ca o consecinţă a ecuaţiei lui Dirac.

Ecuaţiile cu valori proprii generale (2.159) şi (2.160) pot fi particularizate pentru operatorii 2s şi zs :

( ) >+=> m s, 1 s s m s, s S2

S2 h (2.270)

>=> m s, m m s, s SSSz h (2.271) unde numărul cuantic magnetic de spin Sm poate lua numai două valori:

21 m ]

21 ,

21 [ m ] s s, [ m SSS ±=⇒−∈⇒−∈ (2.272)

Astfel mărimea momentului cinetic de spin şi mărimea proiecţiei pe axa z a acestui moment cinetic propriu sunt date de relaţiile:

( ) ( ) hr

hhr

hr

⋅=⇒⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⋅+=⇒+=

23 s 1

21

21 1 s s s 1 s s s 22 (2.273)

hh 21 s m s zSz ±=⇒= (2.274)

Spre deosebire de numărul cuantic orbital l şi numărul cuantic magnetic orbital lm , care pot lua numai valori întregi, numărul cuantic de spin s şi numărul cuantic magnetic de spin Sm pot lua numai valori semiîntregi.

Momentului cinetic de spin îi corespunde un moment magnetic de spin:

PBSS mme M −µ=⋅−= mh (2.275)

Se defineşte raportul magneto-mecanic de spin prin relaţia:

2 g , m2e g

me

sM

SSz

zSS =⋅===γ (2.276)

Rezultă că:

lγ=γ 2 S

Deoarece lγ≠γ S , se spune că există o anomalie magnetică a spinului. Legătura dintre momentul cinetic de spin şi momentul magnetic de spin a fost stabilită

pe baza experienţelor lui Einstein şi de Haas.

În experienţa imaginată de Einstein şi realizată de către de Haas se consideră o bară feromagnetică înconjurată de o bobină parcursă de curent electric. Bara este suspendată de un fir de cuarţ pe care este fixată o oglindă plană O . Pe această oglindă cade un spot luminos cu ajutorul căruia se poate măsura unghiul de torsiune a firului de cuarţ. La trecerea unui curent suficient de intens prin bobina B , bara F se magnetizează la saturaţie.

Inversând sensul curentului prin bobină se constată o rotire a barei, ce se datorează variaţiei momentului magnetic de spin al electronilor, care conduce şi la o variaţie a momentului cinetic al electronilor din bară. Momentul cinetic ϕ&I al barei se determină pe baza momentului de inerţie I al barei şi pe baza vitezei sale unghiulare ϕ& . Egalând

- 67 -

momentul cinetic al barei cu variaţia momentului cinetic total de spin al electronilor, se poate determina raportul magneto-mecanic de spin şi deci se poate stabili legătura dintre momentul cinetic de spin şi momentul magnetic de spin.

∑∑∑ −µγ

=∆γ

=∆=∆=ϕ PBS

zSS

zz 2 M 1 s S I & (2.277)

În relaţia de mai sus am folosit faptul că variaţia momentului magnetic de spin al unui singur electron de-a lungul axei verticale este:

( ) PBPBPBzS 2 M −−− µ=µ−−µ=∆ Datele experimentale care au impus ipoteza spinului sunt:

- comportarea atomilor în câmpuri magnetice neomogene; - structura fină a liniilor spectrale; - efectul Zeeman; etc.

2.8.10. Modelul vectorial al atomului. Compunerea momentelor cinetice

În modelul vectorial, momentul cinetic lr

este reprezentat printr-un vector de lungime ( ) 1 hll + care efectuează o mişcare de precesie în jurul axei Oz , descriind un

con a cărui înălţime este egală cu hlm , unde ll m ≤ . În acest fel am asigurat ca 2lr

şi zl

să aibă valori bine determinate, în timp ce xl şi yl nu au valori determinate, datorită

precesiei (valorile medii 0 , 0 yx == ll ). Acest model semiclasic, în care valorile medii temporale peste una sau mai multe ture ale momentului cinetic se înlocuiesc cu valorile medii cuantice, permite obţinerea de informaţii corecte asupra valorilor proprii, dar nu şi pentru funcţiile de undă. Pentru momentul cinetic orbital l

r există 1 2 +l valori posibile ale lui zl ,

iar pentru momentul cinetic de spin sr există 2s + 1 = 2 valori posibile ale lui zs .

Prin compunerea a două momente cinetice orbitale 1lr

şi 2lr

având mărimile

( ) ( ) 1 , 1 222111 hlllr

hlllr

+=+= şi respectiv proiecţiile pe axa Oz

] , [ m , m ; ] , [ m , m 2222

z2 1111

z1 lllhlllllhll −∈=−∈= se obţine un moment

cinetic rezultant Lr

de mărime:

( ) , cos 2 L 2121

2

2

2

1 lr

lr

lr

lr

lr

lrr

⋅++= (2.278)

ale cărui valori sunt cuantificate: ( ) h

r 1 L L L +=

unde: 212121 , . . . , 1 , L llllll −−++= dacă 21 ll > ( 1 2 1 +l valori ale lui L)

122121 , . . . , 1 , L llllll −−++= dacă 12 ll > ( 1 2 2 +l valori ale lui L)

- 68 -

( , . . . , 1 , L 212121 llllll −−++= ) Proiecţia momentului cinetic rezultant pe axa Oz este cuantificată:

) L ( m m m , ] L L, [ m , m L z21zz21

LLLz llllh +=+=−∈=

La fel se compun şi momentele cinetice de spin. Momentele magnetice orbitale şi de spin, fiind proporţionale cu momentele cinetice corespunzătoare, se compun în mod analog.

Cuplarea momentelor cinetice orbitale cu momentele cinetice de spin se poate face în două moduri. La atomii uşori există o legătură strânsă între spinii electronilor (în aproximaţia nerelativistă) şi are loc un cuplaj normal, numit şi cuplaj (L, S) ori Saunden-Russel, în care se compun separat atât momentele cinetice de spin într-un vector rezultant

∑=i

is Srr

cât şi cele orbitale, care dau rezultanta ∑=

ii L lrr

şi apoi acestea se compun pentru a da momentul cinetic total S L Jrrr

+= La atomii grei, legătura dintre momentul cinetic de spin şi cel orbital este puternică la

acelaşi electron (cazul energiilor relativiste) şi are loc un cuplaj (j, j), când se compun succesiv momentul cinetic de spin cu cel orbital pentru fiecare electron

iii s jr

lrr+=

după care rezultantele se compun, formând momentul cinetic total al sistemului ∑=

iij Jrr

cuplaj (L, S) cuplaj (j, j)

Generalizând relaţiile (2.261) şi (2.276) pentru atomii cu mai mulţi electroni

obţinem momentul magnetic orbital:

L 2me M L

rr−= (2.279)

şi momentul magnetic de spin:

S 2me2 MS

rr⋅−= (2.280)

unde: ( ) ( ) 1 S S S , 1 L L L h

rh

r+=+= (2.281)

Din relaţiile (2.279) , (2.280) , (2.281) , (2.259) obţinem: ( ) 1 L L M PBL +µ= −

r (2.282)

- 69 -

( ) 1 S S 2 M PBS +µ= −

r (2.283)

Momentul magnetic total este suma momentelor magnetice orbital şi de spin. Din cauza anomaliei de spin, momentul magnetic rezultant M

r nu are aceeaşi direcţie cu

momentul cinetic rezultant S L Jrrr

+= (am considerat cazul cuplajului normal).

Se defineşte momentul magnetic efectiv JMr

al atomului ca proiecţia lui Mr

pe direcţia lui Jr

. ( ) ( )J ,S cosM J ,L cosM M SLJ

rrrrrrr+=

( ) J L 2S J L J ,L cos

222

rr

rrrrr −+

=

( ) J S 2L J S J ,S cos

222

rr

rrrrr −+

=

Deoarece ( ) hr

1 J J J += rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 J J 1 L L 2

1 S S 1 J J 1 L L 1 L L M PBJ +++

+−++++µ= −

r

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )1 J J 2

1 L L 1 S S 1 J J 3 1 J J 1 S S 2

1 L L 1 J J 1 S S 1 S S 2 PBPB+

+−+++µ=

+++−+++

+µ+ −−

( ) ( ) ( ) ( )( ) ⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−+++++µ= −

1 J J 21 L L 1 S S 1 J J 1 1 J J M PBJ

r

( ) 1 J J g M PBJ +µ= −

r (2.284)

unde: ( ) ( ) ( )

( ) 1 J J 2

1 L L 1 S S 1 J J 1 g +

+−++++= (2.285)

este factorul lui Landé. Pentru mişcarea orbitală a unui singur electron g = 1, iar pentru mişcarea de spin a unui singur electron g = 2 (în realitate experienţe îngrijite au condus la g = 2,0023192).

2.8.11. Efectul Zeeman

Efectul Zeeman constă în despicarea liniilor spectrale emise de substanţe aflate în câmp magnetic. Efectul Zeeman normal apare la atomii cu un număr par de electroni, ai căror spini sunt opuşi doi câte doi, astfel că spinul total este nul, iar momentul magnetic total coincide cu momentul magnetic orbital.

Dacă observarea se face după o direcţie paralelă cu inducţia magnetică Br

, se constată două linii spectrale deplasate simetric faţă de poziţia pe care o avea linia spectrală în absenţa câmpului magnetic. Aceste două componente sunt polarizate circular în sensuri contrare.

Dacă observarea se face după o direcţie perpendiculară pe Br

, linia spectrală iniţială este despicată în trei componente, între care cea de la mijloc, componenta π , ocupă poziţia liniei spectrale corespunzătoare lui B

r= 0 , fiind polarizată liniar (vibraţiile vectorului

- 70 -

intensitate de câmp electric find paralele cu direcţia câmpului magnetic) şi alte două linii simetrice faţă de π , polarizate liniar într-un plan perpendicular pe B

r.

Dacă observarea se face după o direcţie care face un unghi oarecare cu direcţia inducţiei B

r, atunci componentele deplasate σ sunt polarizate eliptic.

În câmpuri magnetice intense apar mai multe componente σ , iar efectul se numeşte anomal. Atomii cu un număr impar de electroni au spinul total nenul şi de aceea prezintă un efect Zeeman anomal.

Explicaţia efectului se bazează peinteracţiunea dintre câmpul magnetic de inducţie

Brşi momentul magnetic total JM

r al atomilor. Dacă energia totală a atomilor în absenţa

câmpului magnetic exterior este 0E , atunci energia atomilor în câmpul magnetic de inducţie

Br

este: ( ) ( )BM cosBM E BM E E E E JJ0J00

rrrr⋅⋅⋅−=⋅−=∆+=

Din relaţia (2.284) rezultă:

( )1 J J g2me M J +⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

h

( )( )

Jg2me

1 J JJ 1 J J g

2me

J J M M JJ

r

h

rh

r

rr

⋅⋅−=+

+⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−==

hrrrr

JJ mB g2me BJg

2me BM E ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅−=∆ (2.286)

Pentru că J , 1 J , . . . , 1 J , J mJ −+−−= , într-un câmp magnetic dat, fiecare nivel energetic va fi descompus în 2J + 1 subnivele.

În absenţa unui câmp magnetic exterior, tranziţia de pe nivelul cu energia 1E pe nivelul cu energia 2E este urmată de emisia unei cuante de frecvenţă:

( ) h/E E 210 −=ν În prezenţa câmpului magnetic, frecvenţa radiaţiei emise va fi:

( ) ( ) ( ) h/mg mg B2me h /E E

hE E E E

2J21J10210

2211 −+ν=∆−∆+ν=∆+−∆+

=νh

( )2J21J1 mg mg

m 4eB −π

=ν∆ (2.287)

Această relaţie arată valoarea despicării liniilor spectrale în cazul efectului Zeeman anomal.

În cazul particular S = 0 , când J = L şi 1 g g 21 == , relaţia (2.287) se transformă în formula corespunzătoare efectului Zeeman normal:

Lm m 4

eB ∆π

=ν∆ (2.288)

- 71 -

Conform regulilor de selecţie, sunt posibile numai acele tranziţii pentru care:

0 S ; 1 , 0 m ; 1 , 0 J ; 1 , 0 L J =∆±=∆±=∆±=∆ (2.289)

Hamiltonianul unui atom de hidrogen aflat în câmp magnetic (dacă ignorăm spinul electronului, lucru evident ireal) este:

BL 2me H BM H cos BM H BM H H z0z000 ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=⋅−=θ⋅−=⋅−=

rr

Întrucât în cazul atomului de hidrogen operatorii 0H ,H şi zL comută, rezultă că aceşti operatori admit un sistem comun de funcţii proprii. Astfel ecuaţiile cu valori proprii pentru aceşti operatori sunt:

lllll m n mE m n L 2meB H E H nz0 Ψ=Ψ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⇒Ψ=Ψ

llll m n E m n H 0n0 Ψ=Ψ

llhlll m n m m n L z Ψ=Ψ

Din aceste trei relaţii rezultă:

hll ⋅⋅+= m2meB E mE 0

nn (2.290)

Dacă nu ţinem seama de spinul electronului, nivelele de energie 0nE au o degenerare

de gradul 2n (după ll , . . . , 1 , 0 m ±±= şi 1 n , . . . , 1 , 0 −=l ). Deoarece lmEn

depinde de n şi lm , rezultă că un câmp magnetic slab ridică degenerarea după lm , rămânând degenerarea după l (degenerare de gradul n ). Întrucât ν∆=∆ h E , din (2.290) rezultă relaţia (2.288).

În câmpuri magnetice foarte intense, între vectorii Lr

şi Sr

nu se mai menţine un cuplaj normal şi aceşti vectori efectuează precesii independente în jurul vectorului B

r. În acest caz

are loc o despicare a liniilor spectrale analoagă celei de la efectul Zeeman normal. În cazul în care la atomul de hidrogen interacţiunea dintre vectorii L

r şi S

r este mai

mare decât interacţiunea dintre câmpul magnetic exterior de inducţie Br

şi momentul magnetic total al atomului JM

r, se obţine un efect Zeeman anomal. Folosind relaţia (2.285)

obţinem factorul lui Landé pentru stările reprezentate în figura care urmează.

+σ⇒+=∆ 1 m j −σ⇒−=∆ 1 m j

π⇒=∆ 0 m j

- 72 -

Două exemple de efect Zeeman normal sunt date mai jos.

2.9. Ecuaţia lui Dirac. Momentul cinetic total al electronului relativist

Ecuaţia lui Schrödinger descrie mişcarea unor particule nerelativiste. Pentru a obţine o ecuaţie cuantică relativistă, care să descrie mişcarea unui electron, se încearcă o liniarizare a expresiei:

220

2 cm p cE

+=r

(2.291)

obţinută din relaţia (1.60) , de forma:

∑=α=

3

0 iii

p

cE (2.292)

unde: z3y2x100 p p , p p , p p , cm p ==== (2.293)

Din (2.291) şi (2.293) obţinem:

∑=

=+++=+=3

0 iii

20

2z

2y

2x

220

22

2

pp p p p p cm p cE r

(2.294)

Ridicând la pătrat relaţia (2.292) şi egalând rezultatul cu membrul drept al relaţiei (2.294) obţinem:

∑∑∑=

==α

=α

3

0 iii

3

0k kk

3

0 iii pp

p

p (2.295)

sau: ( ) ( ) ⇒+++=α+α+α+αα+α+α+α p p p p p p p p p p p p 2

023

22

213322110033221100

( ) ( ) ( ) +αα+αα+αα+αα+αα+αα+α+α+α+α pp pp pp p p p p 30033020022010011023

23

22

22

21

21

20

20

+ ( ) ( ) ( ) p p p p pp pp pp 20

23

22

21322332311331211221 +++=αα+αα+αα+αα+αα+αα

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=αα+αα=αα ∑∑ ∑∑∑

i k iiiikkiki

i kkiki pp pp

21 pp

Identificând coeficienţii din cei doi membri rezultă: k iikki 2 δ=αα+αα (2.296)

sau: ikki αα+αα = 0 , i ≠ k (2.296’)

- 73 -

3 , 2 , 1 , 0 i , 1 2i ==α

Operatorul hamiltonian asociat energiei relativiste din (2.292) se scrie sub forma: ( )cmˆ pˆ pˆ pˆ c H 00332211 α+α+α+α= (2.297)

unde iα sunt operatori hermitici (pentru a asigura hermiticitatea lui H ) care comută cu operatorii impulsurilor şi cei ai poziţiilor, iar conform relaţiilor (2.296’) aceşti operatori sunt anticomutativi.

Înlocuind operatorii k

k x

i p

∂∂

=h în (2.297) obţinem:

200

k

3

1k k cmˆ

x ˆ

ic H α+

∂∂

=α= ∑h (2.298)

Deoarece operatorul E este dat de relaţia:

t i E∂∂

= h

ecuaţia de mişcare a electronului relativist (ecuaţia lui Dirac) are forma:

t

i cmˆ x

ˆ i

c 200

k

3

1k k ∂

Ψ∂=Ψ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α+

∂∂

=α∑ h

h (2.299)

sau:

t i H∂Ψ∂

=Ψ h (2.300)

Ecuaţia lui Dirac este invariantă faţă de transformările Lorentz (fiind simetrică în x, y, z şi ict ), este liniară (respectă principiul suprapunerii stărilor) şi este de ordinul întâi în raport cu timpul (respectă principiul cauzalităţii).

Calculăm comutatorul: [ ] ( )[ ] =−α+α+α+α= py px , cmˆ pˆ pˆ pˆ c L ,H xy00z3y2x1z

= [ ] [ ] [ ] [ ] +−α+−α py ,p p x,pˆ c py ,p p x,pˆ c xyyy2xxyx1 + [ ] [ ] [ ] [ ] py ,cm p x,cmˆ c py ,p p x,pˆ c x0y00xzyz3 =−α+−α = [ ] [ ] ⇒α−α p y ,p ˆ c p

i

x,p ˆ c xy2yx1 321h

[ ] ( )x2y1z pˆ pˆ i

c L ,H α−α=h (2.301)

La fel se arată că [ ] [ ] 0 L ,H , 0 L ,H yx ≠≠ . Deoarece hamiltonianul relativist nu comută cu momentul cinetic orbital, rezultă că

momentul cinetic orbital al electronului nu este o constantă a mişcării. Introducem operatorul:

21z ˆˆ i ˆ αα−=σ (2.302) şi calculăm comutatorul (ţinând seama de (2.296’):

( )[ ] =ααα+α+α+α−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ σ ˆˆ , cmˆ pˆ pˆ pˆ c

2 i ˆ

2 ,H 2100z3y2x1z

hh

- 74 -

= [ ] [ ] [ ] =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

ααα+ααα+ααα−

0

p ˆˆ ,ˆ p ˆˆ ,ˆ p ˆˆ ,ˆ 2c i zyxzy212x211 4434421

h

= ( ) ( )[ ]=ααα−ααα+ααα−ααα− y221212x211211 p ˆˆˆ ˆˆˆ p ˆˆˆ ˆˆˆ 2c i h

= ( ) ( )y1x2y212x211 pˆ pˆ c i pˆˆˆ2 pˆˆˆ2 2

c i α−α−=ααα+ααα− hh

( )y1x2z pˆ pˆ i

c ˆ 2

,H α−α=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ σ

hh (2.303)

Adunând (2.301) cu (2.303) obţinem:

0 ˆ 2

L ,H zz =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ σ+

h (2.304)

Rezultă că mărimea reprezentată prin operatorul

ˆ 2

L J zzz σ+=h (2.305)

este o constantă a mişcării relativiste a electronului liber. Mărimea zJ este proiecţia pe axa

Oz a momentului cinetic total Jr

. Astfel termenul zˆ 2σ

h trebuie să exprime mişcarea de spin a

electronului. Din ecuaţiile cu valori proprii

L L , J J zzzz Ψ=ΨΨ=Ψ (2.306)

J ˆ 2

L zzz Ψ=Ψ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ+

h (2.307)

rezultă:

( ) ( ) L J L J ˆ 2 zzzzz Ψ−=Ψ−=Ψσh (2.308)

Aplicând operatorul zˆ 2σ

h la stânga relaţiei (2.308) obţinem:

( ) ( ) Ψ−=Ψ−σ=Ψσσ 2zzzzzzz

2

L J L Jˆ 2

ˆˆ 4

hh (2.309)

Dar: ( ) 1 ˆˆˆˆ ˆˆˆˆ ˆˆ i ˆˆ i ˆˆ 211221212121zz =αααα=αααα−=αα−αα−=σσ

Relaţia (2.309) devine:

( ) Ψ−=Ψ 2zz

2

L J 4h (2.310)

sau:

2 L J zzh

±= (2.311)

Ţinând seama că operatorul zs al proiecţiei momentului cinetic de spin are valorile

proprii 2

h± , rezultă că:

zzz s L J += (2.312) Astfel constanta mişcării relativiste care exprimă izotropia spaţiului este momentul

cinetic total J.

- 75 -

Se constată că mişcarea de spin a electronului rezultă ca o consecinţă a ecuaţiei lui Dirac.

2.10. Interacţiunea spin-orbită

În modelul semiclasic al lui Bohr, într-un sistem de referinţă legat de nucleu, electronul se roteşte în jurul nucleului având un moment cinetic L

r. Într-un sistem de referinţă

legat de electron, nucleul se roteşte în jurul electronului, aşa încât apare un curent care generează un câmp magnetic. Acest câmp magnetic va interacţiona cu momentul magnetic de spin al electronului, interacţiunea numindu-se spin-orbită. Cuplajul spin-orbită se comportă ca un efect Zeeman intern, astfel că fiecare nivel energetic cu L

r ≠ 0 este despicat în două

subnivele, corespunzător celor două valori ale lui 21 ,

21 m , m s SSz −=⋅= h . Un subnivel

corespunde cazului când vectorii Lr

şi Sr

sunt paraleli (21 j += l ) , iar celălalt subnivel

corespunde cazului când Lr

şi Sr

sunt antiparaleli (21 j −= l ) . Deoarece momentul

magnetic de spin al electronului SMr

este proporţional cu momentul cinetic de spin Sr

, iar

inducţia magnetică Br

este proporţională cu Lr

, rezultă că energia de interacţiune ( )BM S

rr⋅−

este proporţională cu LSrr⋅ . Astfel energia de interacţiune spin-orbită a unui electron este:

LSa ESL

rr⋅⋅=

unde a este o constantă de proporţionalitate. Energia totală a electronului E este formată din energia lui în absenţa interacţiunii spin-orbită şi din energia SLE :

SLn E E E +=

Deoarece ( )222222 S L J 21 LS LS 2 S L J , S L J

rrrrrrrrrrrrr−−=⋅⇒⋅++=+=

( ) ( ) ( ) hhhhhll m J , 1 j j J , 21 s ,

43 1 s s S , 1 L z

2222222 =+===+=+=

rezultă:

( ) ( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

↓−=+−

↑+==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+−+=⋅

, 21 j , 21

21

, 21 j , 2

21

43 1 1 j j

21 LS 2

lhl

llh

hllrr

Dacă a este pozitiv, atunci subnivelul energetic superior este caracterizat de

21 j += l , ( ) ( ) 2

nSLn a 21 E E E E lh+=↑+=↑ , iar nivelul energetic inferior este

caracterizat de 21 j −= l , ( ) ( ) ( ) 2

nSLn 1 a 21 E E E E hl +−=↓+=↓ .

Astfel despicarea unui nivel energetic datorată interacţiunii spin-orbită este:

( ) ( ) ( ) ( ) 22n

2nSL 1 2 a

21 1 a

21 E a

21 E E E E hlhllh +=++−+=↓−↑=∆

- 76 -

O ilustrare a despicării nivelelor de energie datorită interacţiunii spin-orbită este prezentată în figura care urmează, împreună cu tranziţiile permise de regulile de selecţie ( 1 , 0 m ; 1 , 0 j ; 1 ±=∆±=∆±=∆l ).

2.11. Teoria perturbaţiilor independente de timp 2.11.1. Principiul metodei

Metoda perturbaţiilor constă în despicarea hamiltonianului H în două părţi: V H H 0 β+= (2.313)

unde 0H este hamiltonianul neperturbat, pentru care ecuaţia lui Schrödinger poate fi rezolvată

exact, iar V β este perturbaţia, care trebuie să fie mult mai mică decât 0H , pentru a asigura convergenţa soluţiilor. În cazul perturbaţiilor singulare, divergenţa soluţiilor se datorează intersecţiei unor nivele de energie în planul complex al parametrului perturbaţional β . În cazul perturbaţiilor nesingulare, β poate fi un parametru formal, care este folosit pentru ordonarea termenilor de diferite ordine (la sfârşitul calculelor se ia β = 1) sau poate fi un parametru real.

Valorile proprii şi funcţiile proprii ale lui 0H se determină din ecuaţia cu valori proprii corespunzătoare hamiltonianului neperturbat:

( ) ( ) ( )0n

0n

0n0 E H Ψ=Ψ (2.314)

Dezvoltăm funcţiile proprii şi valorile proprii ale hamiltonianului H în serie după puterile lui β , în jurul valorilor neperturbate corespunzătoare:

( ) ( ) ( ) . . . 2n

21n

0nn +Ψβ+Ψβ+Ψ=Ψ

( ) ( ) ( ) . . . E E E E 2n

21n

0nn +β+β+=

(2.315)

Înlocuind aceste mărimi în ecuaţia cu valori proprii corespunzătoare hamiltonianului perturbat:

( ) nnn0 E V H Ψ=Ψβ+ (2.316) obţinem:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ). . . . . . E E . . . V H 1n

0n

1n

0n

1n

0n0 +Ψβ+Ψ+β+=+Ψβ+Ψβ+ (2.317)

- 77 -

Această ecuaţie este satisfăcută identic pentru orice 1] [0, ∈β numai dacă în ambii membri coeficienţii aceloraşi puteri ale lui β sunt egali. Identificând aceşti coeficienţi obţinem:

( ) ( ) ( )0n

0n

0n0 E H Ψ=Ψ (2.314) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E E V H 1

n0

n0

n1n

0n

1n0 ⇒Ψ+Ψ=Ψ+Ψ

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) V E E H 0n

1n

1n

0n0 Ψ−=Ψ− (2.318)

Considerând că orice funcţie poate fi reprezentată întotdeauna sub forma unei combinaţii liniare de funcţii ortonormate care formează un sistem complet, rezultă că putem dezvolta ( ) ( ) . . . , , 2

n1

n ΨΨ în serie după funcţiile proprii ( )0mΨ :

( ) ( ) ( )∑ Ψ≠

=Ψm

0m

1mn

1n C

nm (2.319)

Înlocuind (2.319) în (2.318) şi ţinând seama de relaţia (2.314) ( ) ( ) ( )0

m0

n0

m0 E H Ψ=Ψ (2.314’) rezultă:

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ⇒Ψ−=≠

Ψ− ∑ V E C E H 0

n1n

n m

0m

1mn

0n0 (2.320)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) V E

E E C 0n

1n

n m

0m

0n

0m

1mn Ψ−=

≠Ψ−∑ (2.321)

Înmulţind (2.321) cu ( )∗Ψ 0n din stânga, integrând şi ţinând seama de condiţia de

ortonormare a funcţiilor de undă: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 d , 0 d

m n 0

n0

n0

m0

n=τΨ

∗Ψ=τΨ

∗Ψ

≠∫∫

rezultă: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒τΨ⋅

∗Ψ−τΨ

∗Ψ=≠

τΨ∗

Ψ=

− ∫∫∑ ∫ d V d E d

0 E E C 0

n0

n0

n0

n1nn m

0m

0n

0n

0m

1mn

( ) ( ) ( )nn

0n

0n

1n V d V E =τΨ⋅

∗Ψ= ∫ (2.322)

Înlocuind în (2.315) obţinem energia în primul ordin al teoriei perturbaţiilor: ( )

nn 0

nn V E E β+= (2.323)

Înmulţind (2.321) cu ( )∗Ψ 0m , integrând şi folosind proprietatea de ortonormare a

funcţiilor de undă se obţine nΨ în primul ordin (înlocuind ( )1nΨ în (2.315) ).

2.11.2. Aplicaţii ale teoriei perturbaţiilor staţionare

2.11.2.1. Calculul valorii medii ⟩⟨ r1 la atomii hidrogenoizi

La determinarea energiei unui atom format dintr-un nucleu cu sarcina ze şi un electron cu sarcina e − nu se foloseşte faptul că z este întreg. Este suficient ca z să fie pozitiv. Înlocuind în expresia energiei

- 78 -

22

240

n2zme

Eh

−= (2.324)

şi în expresia energiei potenţiale

rze

U20−= (2.325)

z cu z z δ+ obţinem: ( ) ( ) ( )

22

40

2

22

40

22

40

2

22

40

2

n2mez

n2

ez z2m

n2emz

n2

ez z m E E

hhhh

δ−

δ−−=

δ+−=δ+ (2.326)

rez

r

ze U U

20

20 ⋅δ−−=δ+ (2.327)

Considerând al doilea termen din (2.327) ca o perturbaţie la potenţialul iniţial, pe baza relaţiei (2.322) putem scrie corecţia de ordinul întâi la energia E

⟩⟨⋅⋅δ−==δ r1 ez V E 2

0nn (2.328)

Păstrând în (2.326) numai corecţia de primul ordin în ( )zδ şi egalând-o cu cea din (2.328) obţinută pe baza teoriei perturbaţiilor rezultă:

( )

nez mz

r1 ez 22

402

0 ⇒δ

−=⟩⟨⋅⋅δ−h

n

mze

r1 22

20

h=⟩⟨ (2.329)

Pentru z = 1 , n = 1 relaţia (2.329) este aceeaşi cu inversa primei raze Bohr a atomului de hidrogen.

2.11.2.2. Calculul valorii medii ⟩⟨ r1 2 la atomii hidrogenoizi

La teoria cuantică a atomului de hidrogen am folosit ecuaţia:

( ) ( ) 0 u r

1 U E 2m dr

ud222

2

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−−+ll

h (2.217) = (2.230)

unde u = rR (2.218) = (2.231)

iar U este dat de relaţia (2.325). La rezolvarea acestei ecuaţii nu se foloseşte faptul că l este un număr întreg. Rezultatele sunt valabile oricare ar fi numărul pozitiv sau nul l . Singura cerinţă este ca numărul cuantic radial rn să fie întreg. Modificând l cu lδ , termenul corespunzător forţei centrifuge din ecuaţia radială devine, până în ordinul întâi în lδ :

( ) ( ) ( )l

lllllllδ

+−

+−≈

+δ+δ+−

r1 2

r1

r1 222

Termenul corectiv poate fi considerat ca o perturbaţie la energia potenţială, scriind ecuaţia sub forma:

( ) ( )⇒=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ δ

+−

+−−+ 0 u

r1 2

r1 U E 2m

drud

2222

2

llll

h

- 79 -

( ) 0 u r

1 r

1 2m2

U E 2m dr

ud22

2

22

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅⋅δ−−+

lllhl

h (2.332)

Folosind relaţia (2.322) putem scrie corecţia de ordinul întâi la energia E :

( ) ⟩⟨⋅δ⋅+==δ r1 1 2

m2 V E 2

2

nn llh (2.333)

Pe de altă parte, corecţia de ordinul îmtâi la energia E este:

( )( )

( )⇒δ⋅

++−

⋅−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++δ−=δ

1 n2

2emz

1 n

1 2

emz E 3

r2

40

2

2r

2

40

2

llhlh

nemz

E 32

40

2

lh

δ⋅=δ (2.334)

Egalând (2.333) cu (2.334) obţinem:

( ) 1 2nezm2

r1 34

40

22

2 +=⟩⟨

lh (2.335)

2.11.2.3. Corecţie relativistă la atomii hidrogenoizi datorată variaţiei masei cu viteza

În cazul în care efectele relativiste sunt mici, în relaţia

220

22

042

0222

cmp 1cm E cm cp E +=⇒+= (2.336)

putem dezvolta radicalul după puterile lui 220

2 cm/p folosind formula binomială:

( ) ( ) ( ) ( ) n33 n 22 n 1 n nn b . . . ba!3

2 n 1 n n ba2!

1 n n bna a b a ++−−

+−

++=+ −−−

care provine din dezvoltarea în serie Taylor. Dezvoltarea binomială are un număr finit de

termeni, dacă n este întreg şi pozitiv. Dacă n este 21 sau 1− atunci această dezvoltare are

un număr infinit de termeni şi este convergentă numai dacă a b < . În cazul nostru a = 1 ,

1/2 n , cm/p b 220

2 == . Rezultă:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+≈ . . .

cmp

81

cmp

21 1 cm E 44

0

4

220

22

0

. . . cm

p 81

m2p cm E 23

0

4

0

22

0 +⋅−+≈ (2.337)

Primul termen din membrul al doilea este energia de repaus, care este o constantă aditivă la energie şi pe care nu o luăm în considerare. Al doilea termen este energia cinetică nerelativistă, iar al treilea termen reprezintă prima corecţie la energia cinetică, de ordinul

2c/1 . Ultima corecţie, datorată variaţiei masei cu viteza, poate fi scrisă sub forma:

2cin2

0

2

0

2

20

230

4

E c2m

1 2mp

c2m1

cmp

81 −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⋅− (2.338)

unde cinE este energia cinetică nerelativistă:

- 80 -

( ) 240

220

22222cin r

1ez r1ze 2E E U 2EU E U E E ⋅+⋅+=+−=−= (2.339)

În cazul în care efectele relativiste sunt mici, putem folosi teoria perturbaţiilor, considerând mărimea din relaţia (2.338) ca o perturbaţie. În conformitate cu relaţia (2.322) , în ordinul întâi, contribuţia perturbaţiei la energia totală este egală cu valoarea medie luată pentru starea neperturbată:

⇒⟩⟨−=δ E c2m

1 E 2cin2

0

(2.340)

r1 ez

r1 ze 2E E

c2m1 E 2

40

220

22

0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⟩⟨⋅+⟩⟨⋅+−=δ (2.341)

Înlocuind (2.329) şi (2.335) în (2.341) , punând în loc de m pe 0m , obţinem:

( ) 1 2n

ezm2ez

nzem

ze 2E E c2m

1 E 34

40

2204

02

22

2002

02

20

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅+⋅+−=δlhh

(2.342)

Folosind relaţia (2.324) , în care în loc de m punem 0m , putem scrie:

( ) ⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+−−=δ 1 2n

ezm4

nezm2

n2ezm

c2m

E E 2

40

20

22

40

20

22

40

20

20 lhhh

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=δ

n 21

1 4n

3 c

ze E E 2

220

lh

(2.343)

Pentru un număr cuantic principal dat, nivelul energetic se despică în n subnivele distincte după cele n valori pe care le poate lua numărul cuanic azimutal l de care depinde corecţia Eδ . Această despicare constituie ceea ce se numeşte structura fină a nivelului. Chiar pentru valori mici ale lui z relaţia (2.343) nu este bine verificată, deoarece nu am luat în considerare şi efectul datorat spinului electronului. Cumulând efectul variaţiei masei cu viteza şi efectul spinului electronului, se obţine o expresie bună a corecţiei până la ordinul 2c/1 la energia cinetică.

Corecţiile relativiste la energie pot fi obţinute prin integrarea ecuaţiei lui Dirac, dar calculul este mult mai dificil.

2.11.2.4. Atomul de heliu

Atomul de heliu este format dintr-un nucleu cu sarcina ze (z = 2) şi din 2 electroni. Proprietatea de indiscernabilitate a celor doi electroni (particule cuantice) conduce la apariţia unor forţe de schimb care nu au analog clasic. Teoria lui Bohr nu este aplicabilă atomului de heliu, deoarece nu ţine seama de forţele de schimb şi nici de spinul electronilor. Întrucât masa nucleului este mult mai mare decât masa electronului, vom presupune că nucleul este fix, poziţia lui fiind aleasă ca origine a axelor de coordonate.

Neglijând mişcarea nucleului şi efectele relativiste, putem scrie hamiltonianul sistemului sub forma:

022

021

20

2

20

2

2

1

20

1

2

4/e e , re

r

ze

2m

rze

2m

H πε=+−∆−−∆−=hh (2.344)

unde 1r şi 2r sunt distanţele faţă de nucleu ale celor doi electroni, iar 12r este distanţa dintre cei doi electroni.

- 81 -

În relaţia (2.344) m este masa electronului, ; z

y

x

21

2

21

2

21

2

1 ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆

11122

2

22

2

22

2

2 z ,y , x; z

y

x

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆ sunt coordonatele primului electron, 222 z ,y ,x sunt

coordonatele celui de-al doilea electron; 120 r/ze − este energia de interacţiune (atracţie) dintre

primul electron şi nucleu, 220 r/ze − este energia potenţială a celui de-al doilea electron în

câmpul nucleului, iar 1220 r/e este energia de interacţiune (repulsie) dintre cei doi electroni.

Ecuaţia lui Schrödinger pentru sistemul studiat este:

( ) 0 re

r

ze

rze

E 2m 21

20

2

20

1

20

221 =Ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+++Ψ∆+∆

h (2.345)

La rezolvarea acestei ecuaţii nu putem aplica metoda separării variabilelor, din cauza termenului 12

20 r/e− .

Se poate folosi teoria perturbaţiilor de primul ordin pentru determinarea energiei atomului de heliu în starea fundamentală (ambii electroni se află în starea 1s). Această metodă se poate aplica şi la atomii ionizaţi care au numai doi electroni (Li+, Be++, B+++, C++++). Aproximaţia este cu atât mai bună (în valoare relativă), cu cât este mai mică energia de repulsie mutuală a electronilor faţă de energia de atracţie a nucleului. Rezultă că această aproximaţie este cu atât mai bună cu cât z este mai mare.

Relaţia (2.344) se poate pune sub forma: V H H 0 += (2.346)

unde

2

20

2

2

1

20

1

2

0 rze

2m

r

ze

2m H −∆−−∆−=

hh (2.347)

este hamiltonianul neperturbat, iar

21

20

re

V = (2.348)

este perturbaţia. Ecuaţia lui Schrödinger pentru sistemul neperturbat (V = 0) se poate rezolva prin

metoda separării variabilelor. Punând ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222

02111

01222111

0 z ,y ,x z ,y ,x z ,y , x,z ,y ,x ΨΨ=Ψ ( ) ( ) ( ) E E E 0

20

10 +=

(2.349)

în ecuaţia lui Schrödinger (2.345) în care luăm ( )0EE = şi 1220 r/e ≈ 0 , obţinem două ecuaţii

de tip hidrogenoid: ( ) ( ) ( ) 0

rze

E m2 01

1

200

120

11 =Ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++Ψ∆

h

( ) ( ) ( ) 0 r

ze E m2 0

22

200

220

22 =Ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++Ψ∆

h

Fiecare din aceste ecuaţii se rezolvă la fel ca în cazul atomului de hidrogen (vezi paragrafele 2.8.6, 2.8.7). Pentru starea fundamentală obţinem:

- 82 -

( ) ( ) r

az

e a

z , r

az

e a

z 2

030

30

2

10

30

30

1

⋅−

π=Ψ

⋅−

π=Ψ (2.350)

( ) ( ) 2H2

40

20

20

1 zE 2

emz E E =−==

h (2.351)

unde

20

2

0 me a h= (2.352)

este raza primei orbite Bohr. În aproximaţia de ordinul zero a teoriei perturbaţiilor (aproximaţia electronilor independenţi) obţinem:

( ) ( ) ( )

( )

30

0

21

30

20

10

a

ar r z

e z π

+−

=ΨΨ=Ψ (2.353)

( ) ( ) ( ) ( )2

40

20

10

20

10 emz

E 2 E E Eh

−==+= (2.354)

Pe baza relaţiei (2.322) putem scrie corecţia de ordinul întâi la energie

( ) ( ) ( )

( )

2112

0

21

60

2

20

60

12

2001 d d

r

ar r z

e a

ez d

re

E ττ

+−

⋅π=τ⋅Ψ⋅⋅

∗Ψ= ∫∫ (2.355)

unde 2222

2221111

211 d d dr sin r d , d d dr sin r d ϕθθ=τϕθθ=τ (2.356)

Efectuând calculele se obţine:

( ) ( )

0

201

502

60

2

20

61

aze

85 E

za

85

aez

E ⋅=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛π⋅⋅

⋅π= (2.357)

Din relaţiile (2.351) , (2.352) , (2.357) rezultă: ( )

H1 zE

45 E −=

( ) ( ) ⇒−=+= zE45 E2z E E E HH

210

HzE 45 2z E ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= (2.358)

Deoarece eV 15,53 E H −= , iar pentru heliu z = 2 , energia atomului de heliu în starea fundamentală, în ordinul întâi al teoriei perturbaţiilor este

eV 74,4 E −= Valoarea experimentală a energiei nivelului fundamental este eV 78,6 − . Diferenţa

între cele două valori se datorează faptului că perturbaţia este prea mare, nefiind îndeplinită condiţia de convergenţă a seriei perturbaţionale.

Am analizat starea fundamentală a atomului de heliu, care este o stare de singlet, ce nu prezintă degenerare de schimb. În cazul când analizăm o stare excitată, trebuie să luăm în seamă atât degenerarea de schimb, cât şi influenţa spinului electronic. În ipoteza neglijării interacţiunii dintre mişcarea orbitală şi cea de spin a electronilor, putem scrie funcţia de undă

- 83 -

Ψ ca produsul dintre o funcţie de undă ϕ care descrie numai starea orbitală şi funcţia de undă χ care desrie exclusiv starea de spin:

( )2S1S2

2221

11122S

22211S

111 m ,mr ,m , ,n ;r ,m , ,n r ,m ,m , ,n ;r ,m ,m , ,n χ⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ϕ=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛Ψ llllllll

(2.359) Introducem un operator P de permutare a particulelor

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛Ψ=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛Ψ 21S

11112S

22222S

22211S

111 r ,m ,m , ,n ;r ,m ,m , ,n r ,m ,m , ,n ;r ,m ,m , ,nP llllllll

(2.360) Ecuaţia cu valori proprii a acestui operator este :

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛Ψλ=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛Ψ 22S

22211S

11122S

22211S

111 r ,m ,m , ,n ;r ,m ,m , ,n r ,m ,m , ,n ;r ,m ,m , ,nP llllllll

(2.361) Aplicând încă o dată operatorul de permutare la relaţia (2.360) vom obţine funcţia de

undă iniţială:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛Ψ=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛Ψ 22S

22211S

11122S

22211S

111

2 r ,m ,m , ,n ;r ,m ,m , ,n r ,m ,m , ,n ;r ,m ,m , ,nP llllllll

(2.362) Pe de altă parte, prin aplicarea operatorului P , din (2.361) rezultă:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛Ψλ=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛Ψ 22S

22211S

111

222S

22211S

111

2 r ,m ,m , ,n ;r ,m ,m , ,n r ,m ,m , ,n ;r ,m ,m , ,nP llllllll

(2.363) Comparând ultimele relaţii rezultă 1 ±=λ . Funcţiile proprii pentru care 1 =λ nu-şi

schimbă semnul la permutarea a două particule din sistem şi se numesc funcţii simetrice, iar particulele se numesc bozoni (spinul lor este întreg sau nul). Funcţiile proprii pentru care

1 −=λ îşi schimbă semnul la permutarea a două particule din sistem şi se numesc funcţii antisimetrice, iar particulele se numesc fermioni (spinul lor este semiîntreg). Funcţia de undă simetrică (antisimetrică) îşi păstrează acest caracter atât în timpul evoluţiei sistemului, cât şi la permutarea a oricăror două particule din sistem. Electronii fiind fermioni, Ψ trebuie să fie în mod obligatoriu o funcţie antisimetrică. De aici rezultă că dacă ϕ este simetrică, χ trebuie să fie neapărat antisimetrică, iar dacă ϕ este antisimetrică, χ trebuie să fie simetrică.

În aproximaţia electronilor independenţi putem scrie:

( ) ( ) ( )2b 1a r ,m , ,nb r ,m , ,na 2 ,1 r ,m , ,n ;r ,m , ,n 22

2211

1122

2211

11 ϕϕ=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ϕ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ϕ=ϕ=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ϕ llllllll

(2.364) Întrucât cei doi electroni sunt identici între ei şi indiscernabili, putem tot aşa de bine să

considerăm electronul 2 în starea a şi electronul 1 în starea b . Sistemului îi corespunde atunci funcţia de undă neperturbată:

( ) ( ) ( )1b 2a 2 ,1 ϕϕ=ϕ (2.365)

Ambele soluţii ( ) 2 ,1 ϕ şi ( ) 1 ,2 ϕ corespund la aceeaşi valoare proprie a energiei ( )0E . Rezultă aşa numita degenerare de schimb a nivelelor de energie. Combinaţia liniară şi omogenă a soluţiilor ( ) 2 ,1 ϕ şi ( ) 1 ,2 ϕ :

( ) ( )1 ,2 d 2 ,1 c ϕ+ϕ=ϕ (2.366) reprezintă o soluţie generală a sistemului neperturbat. Deoarece ( )2 ,1 ϕ trebuie să se deosebească de ( )1 ,2 ϕ printr-un factor constant:

( ) ( )1 ,2 e 2 ,1 ϕ=ϕ (2.367)

- 84 -

şi cum modul de numărare a electronilor nu poate avea semnificaţie fizică: ( ) ( )2 ,1 e 1 ,2 ϕ=ϕ (2.368)

rezultă ( ) ( ) 1 e 1 e 2 ,1 e 2 ,1 22 ±=⇒=⇒ϕ=ϕ

Astfel în combinaţia liniară (2.366) trebuie să avem c = d sau c = − d . Aceste condiţii, împreună cu condiţia de normare:

21 d c 1 2c , 1 d c 1 d 222 ==⇒==+⇒=τϕ∗ϕ∫

conduc la soluţiile:

( ) ( ) ( ) ( )( )1b 2a 2b 1a 2

1 sim ϕϕ+ϕ⋅ϕ=ϕ (2.369)

( ) ( ) ( ) ( )( )1b 2a 2b 1a 2

1 antisim ϕϕ−ϕ⋅ϕ=ϕ (2.370)

Ţinând seama de orientarea spinului electronic, putem obţine următoarele stări de spin posibile:

( ) ( ) ↑↑χχ αα 2 1 ( ) ( ) ↓↓χχ ββ 2 1

( ) ( ) ↓↑χχ βα 2 1

( ) ( ) ↑↓χχ αβ 2 1 Primele două stări sunt simetrice, iar din ultimele două putem obţine o funcţie

simetrică:

( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 1 2

1 sim αββα χχ+χχ=χ (2.371)

şi o funcţie antisimetrică:

( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 1 2

1 antisim αββα χχ−χχ=χ (2.372)

Funcţiile de undă antisimetrice, normate la unitate, ale atomului de heliu sunt:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

χχ+χχϕϕ−ϕ⋅ϕ=Ψ

χχϕϕ−ϕ⋅ϕ=Ψ

χχϕϕ−ϕ⋅ϕ=Ψ

αββα

ββ

αα

2 1 2 1 2

1 1b 2a 2b 1a 2

1

2 1 1b 2a 2b 1a 2

1

2 1 1b 2a 2b 1a 2

1

3

2

1

Stări de triplet

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 2 1 2

1 1b 2a 2b 1a 2

1 S αββα χχ−χχϕϕ+ϕ⋅ϕ=Ψ Stare de singlet

În starea fundamentală a atomului de heliu a = b , astfel că rămâne numai starea de singlet:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 2 1 2a 1a S αββα χχ−χχϕ⋅ϕ=Ψ

Întrucât perturbaţia 1220 r/e nu acţionează asupra spinului, în calculul energiei atomului

de heliu pe baza metodei perturbaţiilor am folosit numai dependenţa funcţiei de undă de variabilele spaţiale.

- 85 -

Degenerarea de schimb a nivelelor de energie poate fi pusă în evidenţă şi din relaţia (2.360) în care cele două funcţii de undă corespund la aceeaşi valoare proprie a energiei totale E a sistemului.

2.12. Laseri 2.12.1. Principiul de funcţionare a laserului

Denumirea de LASER provine de la iniţialele cuvintelor din limba engleză „Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation”, ceea ce înseamnă „Amplificarea luminii prin emisie stimulată de radiaţie”. Emisia stimulată a fost descoperită de Einstein în 1916, iar primul laser a fost construit de T. H. Maiman în 1960. −−−−−−−−− nn N , E

−−−−−−−−− mm N , E

Considerăm un sistem atomic care are două nivele energetice mnnm E E ; E ,E > , în echilibru cu o radiaţie exterioară având frecvenţa mn ν egală cu frecvenţa corespunzătoare tranziţiei dintre cele două nivele de energie ( ) ]h /E E [ mnmn −=ν şi densitatea de energie spectrală volumică w w

mn =ν .

Dacă un atom se află în starea energetică inferioară mE , atunci poate absorbi energie de la câmpul exterior, trecând în starea energetică superioară nE , cu o probabilitate pe unitatea de timp dată de relaţia:

wB dt

dPn m

n m ⋅=→

unde coeficientul de absorbţie al lui Einstein n mB depinde numai de proprietăţile celor două stări.

Numărul de tranziţii în unitatea de timp de pe nivelul m pe nivelul n , prin absorbţie de energie radiantă, este proporţional cu probabilitatea de tranziţie în unitatea de timp

n mdP → /dt şi cu numărul de atomi mN de pe nivelul iniţial:

mn mn m NwB

dtdN

⋅⋅=→

Intensitatea (puterea) radiaţiei absorbite de cei mN atomi aflaţi în unitatea de volum este:

mn mn mabs hNwB I ν⋅⋅⋅= (2.373) Dacă atomul se află în starea energetică superioară nE , atunci el poate trece în starea

energetică inferioară mE prin emisie de radiaţie, în două moduri: în mod spontan (fără nici o cauză exterioară) în 8 7 10 10 −− − secunde, cu o probabilitate în unitatea de timp:

mn sp

m n A dt

dP=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ →

unde mn A este coeficientul de emisie spontană al lui Einstein şi în mod stimulat, datorită acţiunii unui foton cu frecvenţa mn ν introdus ori existent în mediul cuantic, cu o probabilitate în unitatea de timp:

wB dt

dPmn

st

m n ⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ →

În general, se demonstrează că între coeficienţii Einstein n mB şi mn B există relaţia:

mn nn mm Bg Bg =

- 86 -

unde mg şi ng reprezintă ponderile statistice care caracterizează stările energetice mE şi nE , fiind o măsură a degenerescenţei acestora. Dacă cele două nivele energetice nu prezintă degenerare, atunci mn n m B B = . Emisia spontană este un proces aleatoriu, în care atomii individuali emit radiaţie în mod independent, astfel că faza, polarizarea şi direcţia undelor electromagnetice emise sunt arbitrare (necorelate). Această radiaţie este independentă de intensitatea câmpului de radiaţie extern, fiind determinată numai de proprietăţile intrinseci ale stărilor corespunzătoare. Se spune că această radiaţie este necoerentă în raport cu câmpul extern. Radiaţia stimulată sau indusă este caracterizată prin faptul că frecvenţa, direcţia de propagare şi polarizarea sunt aceleaşi cu ale câmpului electromagnetic extern, iar fazele radiaţiei stimulate şi radiaţiei externe sunt corelate. Se spune că radiaţia stimulată este coerentă în raport cu câmpul extern.

Numărul de tranziţii în unitatea de timp de pe nivelul n pe nivelul m este:

( ) nmn mn m n NwB A

dtdN

⋅⋅+=→

unde nN este numărul de atomi de pe nivelul n . Intensitatea (puterea) radiaţiei emise de cei nN atomi aflaţi în unitatea de volum este:

spstm n I I I +=→ (2.374) unde:

mn nmn st hNwB I ν⋅⋅⋅= (2.375)

mn nmn sp hNA I ν⋅⋅= (2.376) Evoluţia în timp a populaţiilor celor două nivele energetice este descrisă de relaţiile:

( ) nmn mn mn mn NwB A NwB

dtdN

⋅⋅+−⋅⋅= (2.377)

( ) NwB NwB A dt

dNmn mnmn mn

m ⋅⋅−⋅⋅+= (2.378)

În starea de echilibru termodinamic între radiaţie şi materie, populaţiile celor două nivele trebuie să fie constante ( 0 dt /dN , 0 dt /dN mn == ). Din (2.377) şi (2.378) rezultă:

( ) NwB NwB A mn mnmn mn ⋅⋅=⋅⋅+ sau:

wB AwB

NN

mn mn

n m

m

n

⋅+⋅

= (2.379)

Pe de altă parte, repartiţia la echilibru termodinamic în statistica Maxwell-Boltzmann cu degenerescenţă este determinată de relaţia:

kT/E e g zN N i

i0i

−= (2.380)

unde N este numărul total de atomi, ig reprezintă degenerarea nivelului iE , iar

∑ −= kT/E e g z ii

este funcţia de partiţie (suma statistică). Din (2.380) rezultă: ( ) kT/E E e

gg

NN mn

m

n

m

n −−= (2.381)

Egalând expresiile (2.379) , (2.381) , obţinem: ( ) h E E , kT/h e

gg

wB AwB

mn mnmn

m

n

mn mn

n m ⇒ν=−ν−

=⋅+

⋅

- 87 -

mn mn

n mn

m

mn

B kT/heB gg

A w

−ν⋅= (2.382)

Din formula lui Rayleigh-Jeans ( kT3

8 w2

⋅πν

= ) rezultă că w tinde la infinit dacă

∞→ T . Relaţia (2.382) satisface această situaţie limită dacă îşi anulează numitorul. Rezultă:

mn mn

n mn

m B kT/heB gg

=ν⋅

Deoarece pentru ∞→ T exponenţiala poate fi aproximată cu unitatea

( 1 kT/he mn ≈ν ) , obţinem o relaţie simplificată între coeficienţii n mB şi mn B : mn nn mm Bg Bg = (2.383)

Înlocuind în (2.382) şi egalând cu formula lui Planck obţinem:

⇒−ν

ν⋅

π=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −ν⋅

1 kT/he

c

h8 1 kT/heB

Amn

3mn

3mn

mn

mn

3

3mn

mn

mn

ch8

BA νπ

= (2.384)

Astfel am obţinut o legătură între coeficienţii mn A şi mn B . Relaţiile (2.383) şi (2.384) nu depind de alegerea materialului din care este constituit sistemul cuantic şi nici de perechile de stări care se analizează. Coeficientul mn A nu reprezintă altceva decât inversul timpului mediu de viaţă după care populaţia nivelului superior scade de e ori:

s 10 10 t, t1 A 7 8

spsp

mn −− −≈= (2.385)

( ) spnn

tt

e 0N N−

= (2.386) Radiaţia spontană se comportă ca o sursă de zgomot, datorită modului haotic (fără nici

o corelare de fază) în care au loc tranziţiile spontane. Condiţia necesară (dar nu şi suficientă) pentru amplificarea radiaţiei, în cazul în care

neglijăm emisia spontană, este aceea ca intensitatea radiaţiei emise stimulat să o depăşească pe cea a radiaţiei absorbite:

0 I I absst >− ( ) mn mnmn mn mn mnmn NB NB 0 hwNB NB >⇒>ν⋅− (2.387)

La acelaşi rezultat se ajunge dacă folosim relaţia (2.377) în care impunem ca 0 dt /dN < . Din relaţiile (2.383) şi (2.387) obţinem:

m

m

n

nmn mnn m

n

m

gN

gN

NB NB gg

>⇒> (2.388)

În cazul nivelelor nedegenerate ( mn g g = ) obţinem inegalitatea mn N N > (2.389)

Astfel condiţia necesară pentru amplificarea unei unde electromagnetice care trece printr-un mediu este aceea ca numărul de atomi de pe nivelul superior să depăşească pe cel de

- 88 -

pe nivelul inferior. Întrucât în mod natural această condiţie nu este satisfăcută, se spune că inegalitatea (2.389) reprezintă condiţia de inversie de populaţie.

Într-adevăr, considerând temperatura sistemului suficient de ridicată pentru ca distribuţia clasică Maxwell-Boltzmann (2.380) să fie valabilă şi logaritmând relaţia (2.381) obţinem:

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

mn

nm

mn

NgNgln k

E E T (2.390)

În cazul sistemelor obişnuite ( mn N N < ) nedegenerate ( mn g g = ) , ansamblul de atomi este caracterizat de o temperatură absolută pozitivă ( T > 0) , deoarece mn E E > . Pentru un sistem nedegenerat în care există o inversie de populaţie ( mn N N > ) , din relaţia (2.390) rezultă T < 0 , adică apare o temperatură absolută negativă. Această temperatură este definită numai în raport cu repartiţia atomilor pe cele două nivele de energie.

Un mediu în care există o inversie de populaţie între două nivele de energie se numeşte mediu activ. Un mediu activ este capabil să amplifice radiaţia electromagnetică de frecvenţă mn ν .

Mediul activ este situat într-o incintă specială numită cavitate de rezonanţă. Aceasta constă de obicei din două oglinzi plane sau sferice, puternic reflectătoare (coeficient de reflexie ∼ 98%), aşezate perpendicular pe axa mediului activ, la o distanţă de ordinul decimetrilor una faţă de alta.

Unda electromagnetică ce provine din mediul activ va fi reflectată de cele două oglinzi

şi amplificată la fiecare trecere prin mediul activ. Dacă una din oglinzi este parţial transmiţătoare, atunci din cavitate se poate extrage un fascicul de radiaţie util.

Inversia de populaţie poate fi realizată prin „pompaj” optic, ciocniri electronice, reacţii chimice etc. Au fost obţinute linii laser în vizibil, infraroşu, ultraviolet, în domeniul razelor X şi chiar în domeniul radiaţiilor γ (ultimul tip de laser este obţinut folosind ca sursă de pompaj o bombă nucleară).

Presupunem că o undă electromagnetică se propagă într-un mediu activ, în lungul axei Oz . Notăm cu I (z) intensitatea undei în punctul de coordonată z . Într-un timp dt unda străbate volumul dV = A⋅ dz , unde A este aria secţiunii transversale. Din relaţiile (2.273) şi (2.375) putem scrie:

( )dzdI

dzAdtEd

dVdtEd

dVdP hwNB NB I I

22

mn mn mnmn absst =⋅⋅

=⋅

==ν⋅⋅−=− (2.391)

unde dP este elementul de putere corespunzător elementului de energie dE , iar dI reprezintă creşterea intensităţii undei pe distanţa dz . Intensitatea undei electromagnetice I

- 89 -

este egală cu produsul dintre viteza luminii în vid c şi densitatea volumică de energie spectrală w :

I = c ⋅ w (2.392)

Din relaţiile (2.391) şi (2.392) rezultă:

( )dzdI h

cINB NB mn mn mnmn =ν⋅⋅− (2.393)

Separând variabilele şi apoi integrând relaţia obţinută, rezultă:

( ) dz h NB NB c1

dIdI z

0mn mn mnmn

I

0I⇒ν−= ∫∫ (2.394)

( ) zh NB NBc1

II ln mn mn mnmn 0

⇒⋅ν−= (2.395)

0

zmn h mNn mB nNmn B c1

eI I⋅ν−

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

(2.396)

Înlocuind mn m

nn m B

gg

B = din (2.383) în (2.396) obţinem:

0

zgeI I ⋅= (2.397) unde coeficientul de câştig g are expresia:

mn mm

nn

mn h Ngg

Nc

B g ν⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (2.398)

O evaluare mai riguroasă arată că expresia din (2.398) trebuie înmulţită cu un factor ( )ν S numit funcţie de formă a liniei atomice.

Dacă luăm în considerare atât proprietăţile de amplificare ale mediului, cât şi pierderile care apar în el, putem exprima intensitatea undei care se propagă în acest mediu astfel:

( ) P0

z g geI I −⋅= (2.399)

unde Pg este coeficientul (factorul) de pierdere. Condiţia necesară şi suficientă pentru ca mediul activ să amplifice radiaţia

electromagnetică este dată de inegalitatea.

Pg g > (2.400)

Astfel, pentru ca laserul să funcţioneze ca oscilator (generator) şi amplificator de radiaţie este necesară o condiţie de prag (condiţia de autooscilaţie):

Pmn N N N >− (2.401)

adică trebuie să existe o anumită diferenţă între numerele de atomi de pe nivelele n şi m pentru ca oscilaţia să poată fi amorsată în cavitate, deoarece în cavitate se produc pierderi de radiaţie prin difracţie la marginile oglinzilor, datorită neomogenităţii mediului etc. Condiţia (2.401) este mai restrictivă decât (2.389) . Odată ce este realizată condiţia de prag, oscilaţia va fi iniţiată de emisia spontană: fotonii care sunt emişi spontan de-a lungul axei cavităţii iniţiază procesul de amplificare.

Relaţia (2.397) este valabilă numai pentru intensităţi mici. Pentru intensităţi mari ( 2Mw/cm 1 > ) nivelul nN ajunge la saturaţie ( nN ∼ N/2) , astfel că intensitatea radiaţiei laser

- 90 -

are o creştere limitată . Coeficientul de câştig g din (2.389) este egal, dar de semn contrar, cu coeficientul de absorbţie α (g = α− ).

Putem obţine o estimare a coeficientului de câştig Pg corespunzător pragului de oscilaţie laser în funcţie de lungimea cavităţii L şi de coeficienţii de reflexie 1r şi 2r ai oglinzilor care delimitează mediul, dacă neglijăm împrăştierea şi absorbţia radiaţiei în interiorul mediului activ şi luăm în considerare numai pierderile datorate împrăştierii şi absorbţiei radiaţiei de către oglinzi. Din relaţia (2.397) rezultă:

( ) ( ) gLe 0I LI ++ = (2.402) ( ) ( ) gLe LI 0I −− = (2.403)

unde: ( ) ( ) 0I r 0I 1

−+ = (2.404) ( ) ( ) LI r LI 2

+− = (2.405) Din aceste relaţii, în cazul unei stări staţionare, obţinem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒====++−−+ e e 0I rr

)2(2.40 e LI rr

)5(2.40 e LI r

)3(2.40 0I r

(2.404) 0I gLgL

21gL

21gL

11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒=

21

2gL21 rr

1ln 2L1 g e rr 1

Valoarea stării staţionare a coeficientului de câştig este aceeaşi cu valoarea corespunzătoare pragului de oscilaţie laser. Astfel:

( )21P rrln 2L1 g −= (2.406)

În laserele care funcţionează în regim continuu, posibilitatea fizică a creării inversiei de populaţie este oferită de existenţa nivelelor atomice metastabile. Aceste stări excitate sunt caracterizate de un timp de viaţă lung (probabilitatea tranziţiei spontane este foarte mică), constituind adevărate rezervoare de energie. Dezexcitarea acestor stări se poate face prin emisie stimulată de radiaţie.

În schema cu trei nivele din figură nivelul 2 este presupus metastabil, nivelul 1 este nivelul fundamental, iar nivelul 3 este un nivel excitat. Starea fundamentală este o stare staţionară, deoarece energia unui atom în această stare este minimă, astfel că timpul de viaţă al atomului în această stare este infinit (în absenţa câmpurilor exterioare).

- 91 -

2.12.2. Probabilitatea de tranziţie în ordinul întâi al teoriei perturbaţiilor

Pentru a determina probabilitatea de tranziţie a unui atom de la o stare energetică nE la o stare energetică mE , sub acţiunea unei unde electromagnetice, vom rezolva ecuaţia lui Schrödinger dependentă de timp:

( )t

i V H∂Ψ∂

=Ψ+ h (2.407)

unde 0H este hamiltonianul neperturbat (în absenţa undei electromagnetice exterioare), iar V este potenţialul de perturbaţie, care descrie interacţiunea undei electromagnetice cu atomul. Funcţia de undă pentru sistemul perturbat care are numai două nivele de energie este:

( ) ( ) ( ) ( )0mm

0nn ta ta Ψ+Ψ=Ψ (2.408)

unde ( )0nΨ şi ( )0

mΨ reprezintă soluţiile ecuaţiei lui Schrödinger corespunzătoare sistemului neperturbat (funcţiile de undă):

( )( )

t i H

0n0

n0 ∂Ψ∂

=Ψ h

( )( )

t i H

0m0

m0 ∂Ψ∂

=Ψ h

(2.409)

Deoarece funcţiile de undă ( )0nΨ şi ( )0

mΨ sunt ortonormate, din (2.408) rezultă:

1 a a 2m

2n =+ (2.410)

unde 2na reprezintă probabilitatea ca la momentul t atomul să se afle în starea n , iar

2ma reprezintă probabilitatea ca la acelaşi moment de timp atomul să se afle în starea m

corespunzătoare energiei mE . Impunând soluţiei (2.408) să verifice ecuaţia (2.407) şi folosind relaţiile (2.409) obţinem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

tai

tai

ta i

ta i Va Va Ha Ha

0m

m

0n

nm0

mn0

n0

mm0

nn0

m0m0

n0n ∂Ψ∂

+∂Ψ∂

+∂∂

Ψ+∂∂

Ψ=Ψ+Ψ+Ψ+Ψ hhhh

⇒ ( ) ( ) ( ) ( )0mm

0nn

m0m

n0n Va Va

ta

t

a i Ψ+Ψ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂⋅Ψ+

∂∂⋅Ψh (2.411)

Presupunând că funcţiile de undă neperturbate au o dependenţă de timp de formă armonică:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tE i

e 0 t , tE i

e 0 tm

0m

0m

n0

n0

n

⋅−Ψ=Ψ

⋅−Ψ=Ψ hh (2.412)

şi multiplicând din stânga fiecare parte a relaţiei (2.411) cu ( ) ( )00n∗

Ψ , iar apoi integrăm pe întregul spaţiu, obţinem:

- 92 -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

V

r d 0V0tE i

ea

V

r d 0V0tE i

ea dt

datE i ei

mn

30m

0n

m

m

nn

30n

0n

n

nn

n⇒Ψ

∗Ψ

⋅−+Ψ

∗Ψ

⋅−=⋅

⋅−⋅ ∫∫ 4444 34444 21

h4444 34444 21

hhh

( )

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅−

+= mn

mn

mnn nn V

tE E i

ea Va i1

dtda h

h (2.413)

Dacă înmulţim relaţia (2.411) cu ( ) ( )00m∗

Ψ şi apoi integrăm, obţinem:

VtE i

ea VtE i

ea dt

datE i ei m m

m

mn m

n

nm

m⇒

⋅−+

⋅−=⋅

⋅−⋅ hhhh

( )

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⋅−−

= m mmn mn

mnm Va Va

tE E i e

i1

dtda h

h (2.414)

Ecuaţiile (2.413) şi (2.414) pot fi rezolvate cu condiţiile iniţiale:

( ) ( ) 0 0a , 1 0a mn == (2.415)

Pentru a simplifica rezolvarea ecuaţiilor (2.413) şi (2.414) vom folosi metoda aproximaţiilor succesive, rezumându-ne la corecţia de ordinul întâi a teoriei perturbaţiilor. Se va presupune că în partea dreaptă a ecuaţiilor (2.413) şi (2.414) se poate face aproximaţia:

( ) ( ) 0 ta , 1 ta mn ≈≈ (2.416) Notând:

hmn

0E E

−

=ω (2.417)

obţinem:

nn n V

i1

dtda

⋅=h

(2.418)

t i eV i1

dtda 0

n mm ω−⋅⋅=

h (2.419)

Pentru a rezolva aceste ecuaţii, se presupune că unda electromagnetică incidentă este sinusoidală cu pulsaţia ω . Astfel:

( ) ( ) tsin0V tV nn nn ω⋅= (2.420)

( ) ( ) tsin0V tV n mn m ω⋅= (2.421)

Ţinând seama de această dependenţă de timp a potenţialului perturbator, vom integra ecuaţiile (2.418) şi (2.419) folosind condiţiile iniţiale (2.415) . Obţinem:

( ) ( ) ( )=+ω

ω=

=

+ω= ∫ 1 t cos i

0V 10a dt t sin

i0V a

t

0

nn t

0n

nn n

h321h

- 93 -

= ( ) ( ) ( )

1 2tsin

i0V2

1 1 t cos i

0V 2nn nn +ω

ω=+−ω

ω−

hh

( ) ( ) ( )1

2tsin

0V 4 1 1

2tsin

i0V2 1

2tsin

i0V2 a 4

22

2nn 2nn 2nn 2

n >ω

⋅ω

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ωω−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ωω−

=hhh

Deoarece 2na trebuie să aibă valoarea maximă egală cu 1 rezultă:

( )0V nn = 0 (2.422)

La acelaşi rezultat ( 0 V V m mnn == ) se poate ajunge folosind proprietatea de invarianţă a hamiltonianului neperturbat 0H atunci când vectorul de poziţie rr al electronului în raport cu nucleul trece în r r− , în cazul în care sistemul cuantic prezintă un centru de simetrie:

( ) ( )rH rH 00rr

−= (2.423) Putem scrie următoarele ecuaţii cu valori proprii:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )r E r rH 0nn

0n0

rrrΨ=Ψ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )r E r rH 0nn

0n0

rrr−Ψ=−Ψ

Deoarece ( )( )r0n

rΨ şi ( ) ( )r0

nr

−Ψ sunt funcţii proprii care aparţin la aceeaşi valoare proprie, rezultă că în cazul unui sistem nedegenerat:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=⇒Ψ=−Ψ=Ψ 1 C r C r C r 20n

20n

0n

rrr

( ) ( ) ( ) ( )r r 0n

0n

rr−Ψ±=Ψ (2.424)

Astfel funcţiile proprii trebuie să aibă o paritate bine definită (pentru funcţiile de undă pare C = 1 , iar pentru cele impare C = − 1).

Un câmp electromagnetic exterior interacţionează cu un electron de sarcină − e prin intermediul unui potenţial dependent de timp de forma:

Er e Vrr⋅−= (2.425)

unde Er

este intensitatea câmpului electric al undei. Întrucât elementele de matrice ale potenţialului sunt determinate pe baza elementelor de matrice ale lui r :

( ) ( ) ( ) ( )∫ ⋅Ψ⋅⋅Ψ= r d rr r r 30m

0nmn (2.426)

rezultă că: ( ) ( ) ( ) ( )∫ ⋅Ψ⋅⋅Ψ= r d rr r r 30

n0

nnn se anulează, deoarece este o integrală dintr-o funcţie impară (determinată de r ) calculată pe un interval simetric (integrala este extinsă la întreg spaţiul, care este presupus simetric). Am

folosit faptul că ( )( )r0nΨ are o paritate bine definită, astfel că ( ) ( ) 20

n r Ψ este o funcţie pară de

r . Rezultă că şi nn V = 0 , astfel că tranziţiile determinate de potenţialul perturbator din (2.425) , numite tranziţii de dipol electric (momentul de dipol electric este r e

rr−=µ ) nu pot

avea loc între stări de aceeaşi paritate. În general, tranziţiile de dipol electric pot să apară numai între stări de paritate opusă. În cazul interacţiunii dintre câmpul magnetic al undei şi momentul de dipol magnetic al atomului (interacţiunea de dipol magnetic) sunt permise numai tranziţiile între stări de aceeaşi paritate, iar intensitatea acestor tranziţii este mult mai mică decât în cazul tranziţiilor de dipol electric.

Din (2.419) şi (2.421) rezultă:

- 94 -

( ) ( ) ( )=

ω−−ω⋅ω−=

=+ω⋅ω−= ∫∫ dt

i2

t i e t iet i e i0V

00a dt t sint i e

i0V

at

0

0n mt

0m

0n mm

h321h

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

ω+ω

ω+ω−+

ω−ω

ω−ω−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ω+ω−

−ω−ω

− ∫ i

t i e i

t ie 20V

dt t i e t ie 20V t

00

0

0

0n m

t

0

00n m

hh

( ) ( ) ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

ω+ω−

ω+ω−+

ω−ω−

ω−ω−=

1 t i e

1 t ie

i 20V

0

0

0

0n m

h

Dacă ω este foarte apropiat de 0ω , atunci primul termen din paranteză este dominant, astfel că.

( )( )

( ) ⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ω−ωω−ω

−≈ 1 t ie i 2

0V a 0

0

n mm

h

( ) ( ) =+ω∆−ω∆−−ω∆

=⋅∗= 1 t ie t i e 1 4

0V aa a 2

2n m

mm2

mh

= ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ω∆−

ω∆=ω∆−

ω∆ t cos 1

2 0V

t 2cos 2 4

0V 2

2n m

2

2n m

hh

( )2

2tsin

0V

a 2

2n m2

m

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω∆

ω∆

=h

(2.427)

unde 0 ω−ω=ω∆ (2.428)

Graficul funcţiei

2

2tsin

f

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω∆

ω∆

= în funcţie de ω∆ prezintă un maxim foarte

pronunţat în jurul valorii ω∆ = 0 ( 0 ω=ω ) . Folosind metoda reziduurilor se arată că:

( )2 t

d

2

2tsin π

=∞

∞−ω∆⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω∆

ω∆

∫ (2.429)

Funcţia lui Dirac are proprietatea:

- 95 -

( )

2t

2sin

t1

t lim 2 0

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω∆

⋅ω∆

⋅∞→π

=ω−ωδ (2.430)

Din ultimele două relaţii rezultă că pentru timpi suficient de mari funcţia f se

comportă ca ( )ω∆δ⋅π t 2

. Astfel relaţia (2.427) devine:

( ) ( )ω∆δ⋅π⋅= t

2 0V

a 2

2n m2

mh

(2.431)

adică, pentru un timp destul de lung, probabilitatea de tranziţie 2ma pentru aflarea unui atom

la momentul t pe nivelul de energie mE este proporţională cu timpul. Rezultă că probabilitatea de tranziţie în unitatea de timp este:

( ) ( )ω∆δ⋅⋅

π==→

0V 2

t

a

dtdP

2

2n m

2mm n

h (2.432)

Dacă în momentul incidenţei undei electromagnetice pe atom ( t = 0 ) acesta se află în

starea energetică superioară nE , atunci dt

dP m n → din relaţia (2.432) reprezintă probabilitatea

de emisie stimulată în unitatea de timp. În cazul în care schimbăm condiţiile iniţiale, considerând ( ) ( ) 1 0a , 0 0a mn == , astfel că în momentul aplicării câmpului electromagnetic exterior atomul se află în starea energetică inferioară mE , atunci printr-un calcul asemănător

se obţine probabilitatea de absorbţie în unitatea de timp dt

dP n m→ . Se constată că:

dtdP m n → =

dtdP n m→

2.12.3. Lărgimea naturală a liniilor spectrale

Pentru un atom izolat, iniţial în repaus faţă de observator, există o lărgime naturală Γ a unui nivel energetic excitat, definită ca incertitudinea minimă în determinarea energiei nivelului, care apare în relaţia de nedeterminare a lui Heisenberg:

⇒≥∆⋅∆ 2

t E h (2.433)

sp2t h=Γ (2.434)

unde spt este timpul mediu de viaţă al stării corespunzătoare nivelului considerat. În cazul stării fundamentale, 0 =Γ , deoarece timpul de viaţă al atomului în această stare este infinit. Întrucât lărgimea unui nivel excitat este finită, rezultă că radiaţia emisă la dezexcitarea nivelului nu este strict monocromatică, având frecvenţele repartizate într-un anumit interval. Lărgimea naturală a nivelului energetic este o proprietate intrinsecă a atomului.

Intensitatea undei emise de un electron care oscilează este proporţională cu pătratul intensităţii câmpului electric şi deci cu pătratul acceleraţiei z&& . Considerând că electronul execută în atom o mişcare slab amortizată, determinată de relaţia:

0 z z 2 z 20 =ω+δ+ &&& (2.435)

- 96 -

rezultă că în cazul în care amortizarea este foarte mică ( 0 ω<<δ ) putem considera z&& ∼ z şi

deci I ∼ 2 E ∼ 2 z && ∼ 2 z . Astfel intensitatea câmpului electric al undei emise de electronul care se mişcă accelerat în interiorul atomului are aceeaşi formă ca şi elongaţia z . (E ∼ z). Impunând ecuaţiei (2.435) o soluţie de forma:

t iez z 0ω⋅= (2.436)

rezultă: ⇒ωδ+ω=ω⇒=ωω+ωωδ+ωω− i 2 0 tiez t iez i 2 t iez 2

02

02000

2 (2.437)

220

20

2220

2 i i i 0 i 2 δ−ω±δ=ω⇒ω+δ±δ=ω⇒=ω−ωδ−ω (2.438)

t ie t ez z t i i

ez z22

00

220

0δ−ω

⋅δ−⋅=⇒⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ δ−ω±δ

⋅= (2.439)

Am luat semnul + în faţa radicalului deoarece Re =ω 220 δ−ω , ω

fiind o mărime pozitivă. Pentru 20

2200 ω≈δ−ω⇒ω<<δ şi rezultă:

t ie 2t

ez z 00

ω⋅τ−

⋅= (2.440)

unde am introdus constanta de timp τ (timpul după care energia oscilatorului scade de e ori):

δ=τ

21 (2.441)

Vom scrie intensitatea câmpului electric E sub aceeaşi formă ca şi z din relaţia (2.440) :

t ie 2t

eE E 00

ω⋅τ−

⋅= (2.442) Frecvenţa unei mişcări amortizate descrise de relaţia (2.442) nu este definită precis

(conceptul de frecvenţă se referă la un fenomen periodic). Rezultă că intensitatea câmpului electric din (2.442) nu descrie o undă monocromatică, ci o undă care conţine o distribuţie continuă de frecvenţe. ( )t E şi ( )ν E constituie o pereche de integrale Fourier:

( ) ( ) ν⋅ω⋅∞

∞−ν= ∫ d t ie

E t E (2.443)

( ) ( ) νπ=ω⋅ω−⋅∞

∞−=ν ∫ 2 ,dt t i e

t E E (2.444)

Înlocuind ( )t E din (2.442) în (2.444) şi integrând ( t ≥ 0 ) obţinem:

( ) =⋅∞ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ

+ω−ω⋅=⋅ω−⋅

∞

∞−

ω⋅τ−

=ν ∫∫ dt 0

t 2i i

eE dt t i e

t ie 2t

e E0

00

- 97 -

( )

( ) ( )⇒

τ−ω−ω

−=∞

τ−ω−ω

τ−

⋅ω−ω

=∞

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ

+ω−ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ

+ω−ω

=

21 i

E

0

21 i

2t

e t ieE

0

2i i

t 2i i

eE

0

0

0

00

0

0

0

( )( )

00

0

0 2 , 2 ,

21 i

E E νπ=ωνπ=ω

τ+ω−ω

=ν (2.445)

Intensitatea undei ( ) νν d I ∼ ( ) ν⋅ν d E 2 (2.446)

corespunde intervalului de frecvenţă ν+νν d , . Astfel densitatea spectrală a intensităţii radiaţiei este:

( ) I ν ∼ ( ) 2 E ν ∼ ( )

⇒

τ+ω−ω

2

21 i

1 0

( ) I ν ∼

( )002

20

2 , 2 ,

21

1 νπ=ωνπ=ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ

+ω−ω

(2.447)

Factorul de proporţionalitate se alege astfel ca intensitatea totală să fie egală cu o valoare dată 0I :

( )∫∞

∞−νν=

d I I0 (2.448)

Putem ajunge la acelaşi rezultat fără a folosi transformata Fourier. Elongaţia oscilatorului amortizat din (2.440) satisface ecuaţia diferenţială de ordinul întâi:

0 z 21 i

dtdz

0 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τ+ω−+ (2.449)

deoarece

τ−

⋅ω=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τ−ω=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

τ−ω= ∫∫ 2

t e t iez z t

21 i

zzln dt

t

0 21 i

z

z zdz 0

000

0

0

(2.440)

Astfel dacă înmulţim din stânga relaţia (2.449) cu complex conjugatul operatorului care se aplică lui z în aceeaşi ecuaţie ajungem la ecuaţia diferenţială de ordinul doi din (2.435) . Într-adevăr:

⇒=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τ+ω−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τ+ω+⇒=⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τ+ω−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τ+ω+ 0 z

21 i

dtdz

21 i

dtd 0 z

21 i

dtd

21 i

dtd

0000

⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τ+ω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

τ+ω+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

τ+ω+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

τ+ω−+ 0 z

21 i

21 i

dtdz

21 i

dtdz

21 i

dtzd

00002

2

( ) 0 z z 2 z 0 z 41

2 i

2

i z 1 z 22

02002

0 =δ+ω+δ+⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τ+

τω

−τω

+ω+τ

+ &&&&&& (2.435)

- 98 -

(ţinând seama de faptul că 20

220 ω≈δ+ω ).

Ecuaţia diferenţială omogenă (2.449) descrie mişcarea oscilatorului în absenţa vreunei forţe externe. Să presupunem acum că o radiaţie monocromatică de pulsaţie ω este incidentă pe oscilatorul considerat. Ecuaţia (2.449) trebuie atunci să fie modificată prin adăugarea unui termen care să descrie influenţa forţei armonice care întreţine oscilaţiile:

t ie v z 21 i

dtdz

00ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

τ+ω−+ (2.450)

unde 0v este viteza corespunzătoare amplitudinii forţei exterioare. Pentru timpi mult mai mari decât timpul de relaxare, soluţia generală a ecuaţiei omogene este neglijabilă (neglijăm termenii care se atenuează în timp) şi deci soluţia ecuaţiei (2.450) în regim staţionar se alege de forma membrului drept:

t iez z 0ω⋅= (2.451)

Impunând soluţiei (2.451) să verifice ecuaţia (2.450) obţinem:

( )⇒

τ+ω−ω

=⇒ω=ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τ+ω−+ωω

21 i

v z t ie v t iez 21 i t iez i

0

000000

( )

21 i

tiev z

0

0

τ+ω−ω

ω= (2.452)

Deoarece I ∼ 2 z rezultă:

I ∼ zz ⋅∗ ∼

( ) 21

v2

20

20

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ

+ω−ω

∼

( ) 21

12

20 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ

+ω−ω

(2.447)

Întrucât:

( ) ⇒=ω−ω⇒=ω

0 2 0 ddI

0 0 ω=ω (2.453)

rezultă că valoarea maximă a intensităţii corespunde pulsaţiei de rezonanţă 0 ω=ω . Folosind condiţia de normare (2.443) se ajunge la următoarea formulă a intensităţii:

( )( )

21

1 2

1I I 22

0

0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ

+ω−ω

⋅τπ

⋅=ω (2.454)

Pentru 0 ω=ω rezultă:

0max I 2 I ⋅πτ

= (2.455)

Valorile lui ω pentru care

⇒= 2

I I max (2.456)

- 99 -

( )( ) ⇒

τ=

τ+ω−ω⇒

⋅πτ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ

+ω−ω

⋅τπ

⋅ 21

41

2

I 2

21

1 2

1I 222

0

0

22

0

0

⇒τ

±=ω−ω 21 0

⇒τ

+ω=ωτ

−ω=ω +− 21 ,

21 00

τ=ω−ω=ω∆ −+

1 (2.457)

Graficul lui ( )ω I în funcţie de ω este o curbă Lorentz. Lărgimea acestei curbe (linii) de rezonanţă ω∆ , dată de relaţia (2.457) , este numită lărgime naturală a liniei. Cu o linie întreruptă am reprezentat o curbă Gauss. În timp ce curba Gauss coboară foarte rapid în afara regiunii centrale, curba Lorentz are o scădere mai lentă.

Deoarece putem defini lărgimea nivelului de energie excitat prin ω∆=∆ E h , din (2.457) rezultă:

τ=∆h E (2.458)

care este în acord cu relaţiile (2.433) şi (2.434) . Energia este cu atât mai bine definită, cu cât timpul de viaţă al stării este mai mare. Lărgimea naturală este proprie unui atom izolat imobil. Tratarea cuantică a problemei conduce la aceeaşi formă a liniei de rezonanţă.

Starea 1/2s 2 a atomului de hidrogen este metastabilă, deoarece are timpul de viaţă mediu foarte mare (0,14 s). Tranziţiile de dipol electric de pe acest nivel sunt interzise de regulile de selecţie. Probabilitatea de emisie a doi fotoni la tranziţia 1/21/2 s 1 s 2 → este foarte mică, deşi această tranziţie nu este interzisă de regulile de selecţie.

2.12.4. Lărgimea Doppler a liniilor spectrale

Agitaţia termică a atomilor provoacă o lărgire suplimentară a liniilor spectrale, datorită efectului Doppler. În starea staţionară a unui gaz, atomii sunt caracterizaţi de o lărgime naturală a liniilor spectrale de emisie sau de absorbţie, pe care o neglijăm în acest paragraf, deoarece este mult mai mică decât lărgimea datorată efectului Doppler. În cazul efectului Doppler, dacă sursa este fixă, iar observatorul se apropie de sursă cu viteza u , atunci frecvenţa oscilaţiilor sosite la observator creşte:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +ν=

+⋅ν=ν

cu 1

cu c 00 (2.459)

iar când observatorul se îndepărtează de sursă cu viteza u , atunci viteza observată scade:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ν=

−⋅ν=ν

cu 1

cu c 00 (2.460)

unde c este viteza luminii în vid (viteza de propagare a undei). În cazul nostru rolul sursei fixe este jucat de atomii în stare staţionară care emit o radiaţie de frecvenţă 0ν (am neglijat lărgimea naturală a liniei), iar rolul observatorului este jucat de un atom în mişcare cu viteza u . Din relaţia (2.459) rezultă:

- 100 -

ν⋅ν

=⇒⋅ν

=ν⇒⋅ν=ν−ν dc du du c

d cu

0

000 (2.461)

Probabilitatea ca un atom să aibă componentele vitezei cuprinse în intervalele: zzzyyyxxx dv v, v; dv v, v; dv v, v +++ este dată de distribuţia Maxwell a vitezelor ca

direcţie (orientare):

( )( )

zyx

2z

2y

2x2/3

zyxzyx dvdvdv2kT v v v am

e

kT2am

dvdvdv v, v,v ⋅

++−

⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛π

=ρ (2.462)

Dacă notăm u v x = şi luăm în considerare numai contribuţia la lărgimea Doppler datorată deplasării atomului pe axa Ox , atunci relaţia (2.462) devine:

( ) du2kTuam

ekT2am

du u

22/3

⋅−

⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛π

=ρ (2.463)

Probabilitatea ca frecvenţa emisă în direcţia axei Ox să fie cuprinsă între ν şi

ν+ν d se obţine înlocuind u cu ( )00

cν−ν

ν, iar du cu ν

νd c

0

în (2.463):

( ) ( ) νν=ν⋅ν⋅ν

⋅−⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛π

=νν−νρ d S dcc

2kTam

ekT2am

d 0

20

2

2/1

0 (2.464)

unde ( )ν S este funcţia formei de linie lărgită prin efect Doppler:

( ) ( )

( ) 2kT

cam e S S

20

20

2

0ν

ν−ν−ν=ν (2.465)

a cărei valoare maximă este:

( )0

2/1

0c

kT2am

Sν⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛π

=ν (2.466)

Se poate arăta că ( )ν S satisface condiţia de normare:

( ) ( )

( )

( ) =∞

ν−⋅ν

−ν=

ν−=⇒=ν=ν−ν

∞ν⋅ν

ν−ν−ν=

∞νν ∫∫∫

dx

2kT

xcam e S

x 0 x

0

d

2kT cam

e S 0

d S

0

20

22

0

0

0

20

20

2

0

( ) ( ) 20

2

0

2

02 2kT

cam , 1 S dx x e S

cam kT ν=α=

απ

ν=∞

∞−⋅α−ν

<<= ∫

Graficul funcţiei ( )ν S în funcţie de ν este o curbă Gauss.

- 101 -

Lărgimea completă a liniei Dν∆ se determină din condiţia:

( )ν S = ( )

⇒ν

2

S 0 (2.467)

( )0 S ν

( ) 2kT

cam e

20

20

2

νν−ν−

= ( )

⇒ν

2

S 0

( ) 2ln

2kT cam

20

22

⇒=νν∆

2 lnam

kT2c

00 ⋅

ν±=ν−ν

2 lnam

kT2c

00 ⋅

ν−ν=ν−

2 lnam

kT2c

00 ⋅

ν+ν=ν+

2 lnam

kT2c 2

0D ⋅

ν=ν−ν=ν∆ −+ (2.468)

Lărgimea acestei linii gaussiene este proporţională cu frecvenţa 0ν , spre deosebire de lărgimea liniei Lorentz, care este independentă de frecvenţa radiaţiei. Lărgimea Doppler a liniei are o importanţă majoră în determinarea caracteristicilor funcţionale ale unui laser. În acest paragraf am neglijat influenţa ciocnirilor dintre atomi asupra liniei spectrale. În cazul laserului cu He-Ne, linia 6328 Å din Ne are la T = 400 K MHz 1500 D =ν∆ , iar în cazul laserului cu CO2, Dν∆ = 61 MHz.

Pentru neonul din laserul cu He-Ne lărgimea liniei datorată ciocnirilor este de 0,64 MHz la o temperatură de 300 K şi la o presiune de 0,5 torr, în timp ce lărgimea naturală este de 20 MHz. Rezultă că lărgimea Doppler este cea mai mare în cazul laserului cu He-Ne. O situaţie inversă o întâlnim la laserul cu CO2 , la care lărgimea colizională atinge 3400 MHz.

2.12.5. Proprietăţile radiaţiei laser

Direcţionalitatea reprezintă proprietatea radiaţiei laser de a se propaga sub forma unor unde foarte apropiate de undele plane. Această proprietate se datorează cavităţii de rezonanţă care selectează numai undele ce se propagă paralel cu axa cavităţii. Există totuşi o împrăştiere unghiulară a fasciculului laser (unghiul de împrăştiere fiind de 4 3 10 10 −− − radiani) determinată de difracţia care are loc la marginile oglinzilor cavităţii de rezonanţă. Astfel în timp ce o sursă clasică emite radiaţii într-un unghi solid de 4π steradiani, un laser emite o radiaţie într-un ungi solid de 8 6 10 10 −− − steradiani (unghiul solid de împrăştiere este proporţional cu pătratul unghiului de împrăştiere). Fasciculul emis de un laser poate să fie focalizat într-un spot al cărui diametru minim impus de limita de difracţie este egal cu lungimea de undă a radiaţiei. Prin focalizare se obţin densităţi de putere extrem de mari. Acest lucru arată pericolul pe care îl prezintă incidenţa unei astfel de radiaţii asupra ochiului, la care, datorită efectului de focalizare pe suprafaţa retinei, are loc distrugerea ireversibilă a retinei. Ordinul de mărime al unghiului de împrăştiere este determinat de lungimea de undă a radiaţiei şi de diametrul aperturii D (α ∼ D/λ ).

- 102 -

2

22

2

2

22

D 4

D r A , 2 D

A

D

D

∼π=π=λ=

λ∼

λ∼∆Ω⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

λ∼α

α∼∆Ω

Monocromaticitatea radiaţiei laser constă în faptul că lărgimea liniei radiaţiei laser este mult mai mică decât lărgimea naturală, apropiindu-se de cazul ideal al unei radiaţii perfect monocromatice. Această proprietate se datorează cavităţii rezonante care selectează dintre fotonii incidenţi numai pe aceia care au aceeaşi frecvenţă (oscilaţia laser apare numai la frecvenţele de rezonanţă ale cavităţii optice). Lărgimea liniei laser este mai mică decât lărgimea modurilor de oscilaţie ale cavităţii, deoarece modul axial al cavităţii, care este strâns legat de rezonanţa atomică, are amplificarea cea mai mare. Factorul de calitate al laserului se exprimă ca raportul între frecvenţa 0ν corespunzătoare maximului intensităţii liniei laser şi lărgimea Lν∆ a liniei laser:

L

0

L

0 Qν∆ν

=ω∆ω

= (2.469)

Pentru o frecvenţă în domeniul vizibil al spectrului Hz 105 14

0 ⋅=ν . În cazul unui laser a cărui lărgime de linie este Lν∆ = 100 Hz , rezultă Q = 12105 ⋅ , care este cu multe ordine de mărime mai mare decât factorul de calitate al unui rezonator mecanic sau electric convenţional. Lărgimea de bandă a luminii solare este de ∼ 1410 Hz. Dacă am filtra lumina solară, am putea obţine o radiaţie cu o lărgime de linie mică, dar prin acest procedeu se pierde din intensitatea radiaţiei o cantitate enormă. Pentru lasere, o valoare a lui Lν∆ de 1 Hz se consideră a fi foarte mică, deşi în cazul laserului cu He-Ne rezultă din calcule că se poate obţine Hz 10 2

L−≈ν∆ , adică de 1110 ori mai mică decât lărgimea Doppler Hz 10 9

D ≈ν∆ . În practică lărgimea liniei laser este mai mare datorită modificării aleatorii a lungimii cavităţii rezonante sub acţiunea temperaturii, a vibraţiilor mecanice etc.

În cazul unui laser ce oscilează pe mai multe moduri, monocromaticitatea este legată de numărul de moduri de oscilaţie. Pentru un laser cu He-Ne domeniul de frecvenţă pentru care emisia stimulată este posibilă este determinat de lărgimea Doppler a liniei de emisie

- 103 -

( MHz 0501 D ≈ν∆ ). Dacă lungimea cavităţii de rezonanţă unidimensionale este L = 0,5 m atunci modurile de oscilaţie succesive sunt separate printr-un interval de frecvenţă ν∆ = 300 MHz , determinat din condiţia ca în cavitate să se formeze unde staţionare

( 2Lc

1 n

2Lc n

2Lc

2nc

2n L =

=∆=ν∆⇒=ν⇒

ν=

λ= ).

Rezultă că în banda de frecvenţe în care poate funcţiona laserul există ν∆ν∆ /D = 1500/300 = 5 moduri proprii de oscilaţie (în cazul în care se ţine seama şi de polarizare rezultă 10 moduri de oscilaţie).

Coerenţa temporală a radiaţiei laser este legată de monocromaticitatea acesteia. Se

defineşte timpul de coerenţă Cτ :

LC

1 ν∆

=τ (2.470)

unde Lν∆ este lărgimea de bandă a liniei laser. Pentru un timp mai mic sau egal cu timpul de coerenţă Cτ diferite componente monocromatice din intervalul de frecvenţă Lν∆ vor avea într-un punct dat din spaţiu o corelaţie între faze (în particular aceste componente pot fi în fază sau pot avea o diferenţă de fază constantă), astfel că aceste componente interferă constructiv. Coerenţa temporală se referă la coerenţa undelor (corelaţia dintre fazele lor) într-un punct din câmpul de interferenţă, la două momente de timp diferite. Coerenţa temporală este legată direct de durata trenurilor de unde, adică de intervalul de timp în care radiaţiile sunt descrise de aceeaşi undă. Pentru un laser care are lărgimea de bandă a liniei de 100 Hz rezultă un timp de coerenţă de 2 10− s, care este mult mai mare decât timpii de viaţă atomici. În cazul luminii solare, la care lărgimea de bandă este de acelaşi ordin de mărime cu frecvenţa centrală ( 14

S 10 =ν∆ Hz), timpul de coerenţă este foarte mic ( 14 C 10 −=τ s).

Coerenţa spaţială a radiaţiei laser este legată de forma frontului de undă al radiaţiei emise. Se defineşte lungimea de coerenţă ca distanţa parcursă de undă într-un timp egal cu timpul de coerenţă:

CC c l τ⋅= (2.471) Coerenţa spaţială se referă la corelaţia între fazele undelor în două puncte diferite

aflate într-un plan perpendicular pe direcţia de propagare, la acelaşi moment de timp.

Divizăm fasciculul laser în două fascicule componente, care după ce străbat distanţe diferite se suprapun pe un ecran. Vom obţine pe ecran o figură de interferenţă numai dacă diferenţa de drum este mai mică decât lungimea de coerenţă ( Cl l2 < ). Pentru

2 C 10 −=τ s rezultă m 103 m 10103 l 62 8

C ⋅=⋅⋅= − . Strălucirea spectrală a unei surse de radiaţii νB reprezintă energia emisă de unitatea

de suprafaţă a sursei, aşezată normal faţă de direcţia de propagare a radiaţiei, în unitatea de timp, într-un unghi solid de un steradian şi într-o bandă de frecvenţă de 1 Hz, adică este strălucirea energetică B pe unitatea lărgimii de bandă:

- 104 -

, ddB

dddtcosdAwd B

4

=θν

=ν⋅Ω⋅⋅θ⋅

=ν 00 (2.472)

Intensitatea spectrală este de fapt puterea de emisie spectrală (radianţa spectrală) νε , astfel că:

w4c

dd

Bπ

=Ωνε=ν (2.473)

unde Ωd este elementul de unghi solid, iar w este densitatea volumică de energie spectrală, dată de formula lui Planck:

1 kTh

e

hc

8 w 3

2

−

νν

⋅πν

= (2.474)

Ţinând seama de faptul că ∆Ω⋅∆A ∼ 2λ , din relaţia (2.472) rezultă:

ν∆⋅∆Ω⋅∆=ν A

P B ∼ ν∆⋅λ2

P (2.475)

unde P este puterea de ieşire a radiaţiei laser. În cazul laserului cu He-Ne ( 6328 =λ Å), pentru MHz 10 , W 10 P 3 =ν∆= − rezultă νB ∼ Hzsr W/cm25 2 ⋅⋅ . Din relaţiile (2.473)

şi (2.474) , în cazul radiaţiei galbene emise de Soare ( K 6000 T , Hz 105 14 =⋅=ν ) rezultă

νB = HzsrW/cm104 212 ⋅⋅⋅ − . Intensitatea radiaţiei laser este mult mai mare decât cea a

surselor convenţioanale, datorită direcţionalităţii şi a monocromaticităţii. Puterea radiaţiei emise de un laser cu o suprafaţă de 0,2 2cm , într-un timp de s 10 3 − , în interiorul unui unghi solid de 2 10− steradiani şi pe un interval spectral de 0,007 nm este de 1 kW, iar puterea radiaţiei solare, în aceleaşi condiţii, este de numai W102 7 −⋅ . În acest sens, se spune că intensitatea radiaţiei laser este de 9105 ⋅ ori mai mare decât intensitatea radiaţiei solare.

Statistica fotonilor este diferită pentru fotonii din radiaţia laser faţă de fotonii radiaţiei emise de o sursă termică. Astfel chiar dacă am avea o radiaţie emisă de o sursă clasică având aceleaşi proprietăţi definite mai sus (monocromaticitate, direcţionalitate etc.) ca şi o radiaţie emisă de un laser, cele două radiaţii se deosebesc prin statistica fotonilor. Fotonii din radiaţia laser peste „prag” posedă o distribuţie Poisson, iar fotonii emişi de o sursă termică se supun statisticii Bose-Einstein.

2.12.6. Tipuri de lasere. Aplicaţii

Laserul cu rubin este format dintr-un mic cilindru de rubin sintetic (oxid de aluminiu impurificat cu ioni de crom trivalent), ale cărui feţe terminale sunt prelucrate optic şi acoperie cu un strat de argint, astfel încât una dintre feţe este complet opacă, iar cealaltă are o transparenţă de 4%. Culoarea rubinului este dependentă de concentraţia oxidului de crom (Cr2O3) în oxidul de aluminiu (Al2O3). În cazul rubinului sintetic folosit ca mediu activ concentraţia ionilor de Cr3+ în safir (Al2O3) este de 0,05%, iar culoarea roz a rubinului se datorează faptului că acesta absoarbe radiaţiile corespunzătoare celorlalte culori (albastru, verde etc.). Inversia de populaţie se realizează prin pompaj optic, cu ajutorul unui tub cu descărcare electrică în formă de spirală, care înconjoară mediul activ şi care conţine xenon la o presiune de câteva sute de torr. În timpul descărcării ( 3 10− secunde) xenonul emite radiaţii verzi (5700 Å) şi albastre (4000 Å) care sunt absorbite de ionii de crom din rubin. Astfel ionii de crom trec din starea fundamentală (4A2) în stările excitate (4F2 şi 4F1), care au un timp de viaţă mediu de aproximativ s 10 7 − . Dezexcitarea acestor stări are loc prin tranziţii neradiative,

- 105 -

în care energia pierdută de ionii de crom este transformată în energie termică a reţelei cristaline, astfel că are loc o încălzire puternică a mediului activ. Pentru a evita supraîncălzirea rubinului se foloseşte un dispozitiv de răcire. Nivelul laser superior (2E) este un nivel metastabil, deoarece are un timp de viaţă mediu foarte mare ( s 103 3 −⋅ ). Tranziţia ionilor de crom de pe acest nivel pe nivelul fundamental are loc prin emisie stimulată, rezultând o radiaţie roşie (6943 Å). Acest laser funcţionează în impulsuri.

Laserul cu rubin este folosit la măsurarea distanţei până la un satelit, la microsudura în

puncte cu acces dificil, în holografia ultrarapidă, la studiul efectului Raman stimulat etc. Laserul cu He-Ne este format dintr-un tub de sticlă în care se află un amestec de heliu

şi neon (presiunile parţiale pentru He şi Ne sunt respectiv de 1 torr şi 0,1 torr). Tubul de sticlă este prevăzut cu doi electrozi între care se aplică o tensiune ce variază de la câţiva kV la zeci de kV, în funcţie de lungimea tubului de descărcare şi diametrul acestuia, iar curentul ce apare este în general de ordinul a 5-20 mA. Tubul laser este închis cu ajutorul a două ferestre plane, înclinate sub un unghi Brewster, astfel încât radiaţia emergentă să fie polarizată liniar. Rezonatorul optic este format dintr-o oglindă plană O1 şi o oglindă sferică O2 . În urma ciocnirilor dintre electronii acceleraţi şi atomii de heliu aflaţi în starea fundamentală (11S) are loc trecerea acestor atomi în starea excitată (21S). Prin ciocnirea atomilor de heliu excitaţi cu atomii de neon aflaţi în starea fundamentală, are loc un transfer de energie de la heliu la neon, astfel că atomii de neon trec în starea excitată 3s2. Se realizează astfel o inversie de populaţie între stările atomilor de neon 3s2 şi 2p4, obţinându-se efect laser între aceste stări. Radiaţia laser considerată are lungimea de undă 6328 =λ Å. Laserul cu He-Ne funcţionează în regim continuu.

- 106 -

Laserul cu He-Ne este folosit în spectroscopie, telecomunicaţii, holografie, în

dispozitive de aliniere, în metrologie, pentru obţinerea unor etaloane de lungime şi timp, în transporturi aeriene şi maritime (utilizarea giroscoapelor laser) etc.

Laserul cu argon ionizat este un laser ionic folosit în spectroscopie şi la prelucrarea unor materiale speciale.

Laserul cu CO2 este un laser molecular, folosit la separarea izotopilor, la topirea unor materiale refractare, în comunicaţii (radiaţia emisă de acest laser se găseşte în fereastra de transmisie a atmosferei) etc.

Laserele cu coloranţi au ca mediu activ un colorant lichid şi sunt folosiţi în special în spectroscopie, datorită proprietăţii de acordabilitate (frecvenţa de lucru poate fi variată într-un interval foarte mare).

Laserul cu arseniură de galiu (GaAs) face parte din categoria laserelor cu semiconductoare, fiind folosit în special în comunicaţii.

Laserul chimic cu iod-oxigen emite în infraroşu apropiat ( m 315,1 µ=λ ) şi are o putere foarte mare (35 kW în regim de curgere supersonică). Această radiaţie se propagă foarte bine în atmosferă şi în sticlă, dar este absorbită puternic de metale. Datorită acestor proprietăţi este folosit în cercetări aerospaţiale.