1

8 PROPELER

8.1 Uvod Cilj ovog poglavlja je odrediti pogonsku silu T koju razvija propeler kao i potreban moment Q

koji je potreban za pokretanje propelera. Time ćemo odrediti i koeficijent učinkovitosti.

Pogonsku silu koju razvija propeler kao i potreban moment za pokretanje propelera

određujemo pri zadanoj kutnoj brzini π2⋅=Ω n gdje je n [1/s] brzina okretanja propelera

(broj okretaja u sekundi). Pri izučavanju pogonske sila i potrebnog momenta postavljamo

koordinatni sustav duž ose propelera u odnosu na koji se propeler okreće. Brzina leta

zrakoplova V (ili brzinu napredovanja) jednaka je brzini neporemećene struje zraka u odnosu

na taj koordinatni sustav. tj. to je brzina neporemećenog zraka.

8.1.1 Konstruktivne karakteristike propelera

Propeler je dio helikoidalne površine. Ta površina nastaje istodobnom rotacijom i

translacijom duljine R. Kraj te duljine A kreće se po osi okomitoj na tu duljinu, a drugi kraj B

rotira oko te iste osi.

gβ

gH

R

A

B

1B

1A2A

3A

2B

3B

x

y

z

Slika 1. Helikoida koraka gH na cilindru polumjera R

2

Pri tome bitno je da postoji proporcionalnost između prijeđenog puta točke A i kuta okretanja

dulji AB. Točka B opisuje prostornu krivulju koju nazivamo helikoida kao na slici 8-1. Dok se

duljina R okrene za cijeli krug opsega Rπ2 , ona se istodobno pomjeri duž osi za gH . Zato je

kut helikoide

D

HR2

Htg gg

g ππβ ==

Duljinu gH nazivamo korak helikoide (indeks g podsjeća na riječ geometrija). Ako

promatramo neku drugu točku C između AB na udaljenosti Rr < od A točke, ona opisuje

tzv. lokalnu helikoidu koja ima isti korak ali većeg nagiba jer je njen nagib

r2H

tg gg π

β = .

Konačno, uočimo da je kut helikoide gβ utoliko veći, ukoliko je polumjer r na kome ona leži

manji.

Zamislimo da na duljinu AB postavimo krilo tako da geometrijsko mjesto četvrtina

tetiva leži na duljini AB. To krilo treba biti uvijeno da bi pravac nultog uzgona profila bio na

pravcu tangente lokalne helikoide. Kut uvijanja koji je jednak kutu lokalne helikoide gβ ,

utoliko je veći ukoliko je presjek bliži osi propelera. Zato što bi u okolini ose propelera taj kut

gβ bio π/2, propeleri imaju oko ose glavčinu te je

Rrr ≤≤min

Pored tog geometrijskog kuta ( )rgβ , profil na mjestu r može biti dodatno nagnut još

za vrijednost β∆ . Ako je to konstruktivno izvedeno dodatnim uvijanjem kraka propelera

onda ta dodatna vrijednost može biti promjenljiva od presjeka do presjeka tj. ( )r1β∆ . Ako se

ta dodatna vrijednost ostvaruje rotacijom kraka propelera oko duljine AB za β∆2 onda je ona

konstantna po presjeku ali se može mijenjati u letu po želji. Tako u općem slučaju imamo

( ) ( ) β∆β∆ββ 21g rr ++=

Uočimo da je zbroj ( ) ( )rr 1g β∆β + realiziran konstrukcijom propelera. Drugim riječima duž

kraka propelera konstruktivni kut uvijanja je promjenljiv i uvijek isti. Nasuprot tomu β∆2 je

konstanta za koju je dodatno okrenut cijeli krak propelera oko duži AB. Ovo okretanje cijelog

kraka propelera osigurava posebni mehanizam. Za takav propeler kažemo da ima promjenljiv

korak. To znači da imamo propeler s konstantnim korakom u svim presjecima kraka samo ako

nemamo dodatnog uvijanja ( )r1β∆ i ako nema okretanja kraka propelera β∆2 . Zato za

3

propelere koji imaju i dodatno uvijanje ( )r1β∆ i okretanje β∆2 kraka oko AB, definiramo

lokalni geometrijski korak :

βπ tan⋅= r2H g .

Ovako definiran korak propelera je promjenljiv duž kraka propelera, pa se zato upotrebljava

nominalni geometrijski korak koji je jednak lokalnom geometrijskom koraku za referentni

presjek. Obično je referentni presjek na radijusu 750Rrref .= (rjeđe 0.7).

Osim promijene lokalnog kuta β, može se duž kraka propelera mijenjati i aeroprofil.

Uobičajeno je da svi presjeci kraka propelera pripadaju jednoj istoj seriji aeroprofila. Zato je

dovoljno pri opisu kraka propelera poznavati seriju aeroprofila, te promjenu tetive ( )rc i

debljine ( )rt duž kraka. Time je krak propelera u potpunosti definiran. Jedan primjer

konstruktivnih karakteristika propelera dan je na slici (8-2) za NACA propelere 5868-9 (s

aeroprofilom Clark Y) i 5868-R6 (s aeroprofilom R.A.F. 6).

ct

Dc

Dc

Dc

ct

DH

DH

Slika 2. Primjer definicije geometrija kraka NACA propelera 5868-9 i 5868-R6

4

Konačno pored ovako definirane konstrukcije kraka potrebno je definirati i broj krakova

propelera N . Prema smjeru okretanja propelera propeleri mogu biti lijevi i desni. Promatrano

iz smjera kretanja (pogled u vrh osi x), propeler je desni ako je smjer okretanja matematički

pozitivan (suprotan smjeru kazaljke na satu). U suprotnom radi se o lijevim propeleru.

Za geometrijsku konstrukciju propelera još je bitan njegov položaj u odnosu na motor.

Promatrano u smjeru leta (duž osi x zrakoplova), vučni propeler nalazi se ispred motora dok

je potisni propeler smješten iza motora.

8.1.2 Kinematika propelera

Brzina neke točke propeleru koja ima vektor položaja rr (mjereno duž kraka od ose propelera

do presjeka) imat će brzinu koja je zbroj prijenosne brzine leta zrakoplova Vr

i brzine uslijed

rotacije propelera rVtrrr

×= Ω :

rVVRrrrr

×+= Ω . To je brzina točke propelera u odnosu na zraka, a brzina zraka u odnosu na točku propelera je

ta ista brzina samo suprotnog smjera. Tako definirana brzina s promijenjenim znakom

predstavlja brzinu optjecanja profila u presjeku r. Pri tome pretpostavljamo da nema vjetra i

da se smjer gibanja zrakoplova poklapa s osi rotacije propelera. Intenzitet je te brzine u

presjeku r prema slici (8-3) :

2222 )( VrVVV tR +⋅Ω=+= .

Od interesa je kut φ ove brzine u odnosu na ravninu rotacije. Taj kut nazivamo kut

napredovanja. Trag koga čine vrtložne niti iza kraka propelera nagnut je prema ravni rotacije

pod tim kutom.

r

V⋅

=Ω

φtan .

Slika 3. Kut napredovanja φ u presjeku kraka na radijusu r:

5

Uočimo da kut napredovanja φ također zavisi od r tj. on je također promjenljiv od presjeka

do presjeka duž kraka propelera. Ovako definiran kut napredovanja ne uzima u obzir

inducirane brzine u presjeku r za razliku od stvarnog kuta napredovanja Θ o kome će biti

riječi kasnije.

Analogno geometrijskom koraku propelera gg r2H βπ tan⋅= , definira se i

aerodinamički korak (effective pitch)

φπ tgr2H ⋅⋅=

te predstavlja pređeni put ose propelera za vrijeme jednog obrta propelera. Jasno je da je taj

pređeni put isti za sve točke propelera.

. nV

rVr2H =⋅=Ω

π .

gdje je n broj obrtaja propelera u s. Razlika između Hg geometrijskog koraka i H

aeodinamičkog koraka naziva se klizanje.

Između ukupne aerodinamičke brzine RVr

i linije nultog uzgona aeroprofila u

promatranom presjeku nalazi se lokalni napadni kut α . On treba biti pozitivan da bi sila

uzgona na kraku dala pozitivnu pogonsku silu propelera. Sa smanjivanjem r udaljenosti od osi

rotacije, smanjuje se komponenta brzine rVt ⋅Ω= , što uz jednaku V brzinu napredovanja

povlači povećanje kuta napredovanja φ . Kako bi zadržali napadni kut pozitivan nužno je

povećati kut uvijanja β . Na taj način osigurava se pozitivan napadni kut na svakom presjeku

kraka propelera. Poželjno je da napadni kut, na svakom presjeku kraka, bude između 2° i 4°,

dok su kutovi veći od 15° neefikasni budući da dolazi do gubitka uzgona aeroprofila (stall).

Najvažniji parametar rada profila koji uzima u obzir i brzinu okretanja i brzinu

napredovanja propelera je koeficijent napredovanja ili korak napredovanja (advance ratio)

definira se kao

nDVJ = .

8.2 Teorija diska (pojednostavljena teorija propelera)

8.2.1 Polazne pretpostavke

Klasična teorija količine gibanja propelera poznata kao teorija diska daje osnovne koncepte

performansi propelera. Originalna teorija kako ju je formulirao Rankine 1865. godine opisuje

6

propeler kao beskonačno tanki disk preko kojeg se statički tlak skokovito mijenja.

Pretpostavke ovog modela su:

• brzina na disku je uniformna,

• tlak na disku je uniforman,

• rotacija struje zraka koji prolazi kroz propeler je zanemarena,

• struja zraka koja prolazi kroz disk odvaja se od okolnog zraka zamišljenom

strujnom cijevi,

• strujanje je nestlačivo.

Zamislimo strujnu cijev kroz koju struji zrak koji prolazi kroz disk. Primjenit ćemo princip

relativnog gibanja. Umjesto da se propeler giba brzinom V u zrku koji stoji, promatrat ćemo

propeler koji stoji a nailazi zrak brzinom V (iz suprotnog pravca). U tom zraku uočimo

strujnu cijev koja prolazi kroz disk propelera kao na slici (8-4). Neka je presjek 1

neporemećena struja zraka ispred diska. U tom presjeku poznajemo sve karakteristike zraka:

VVpp

1

a1

== ,

,ρ.

Presjek 2 je neposredno ispred diska, presjek 3 neposredno iza diska. Presjek 4 je niz struju

gdje je opet tlak jednak atmosferskom tlaku a4 pp =

a1

1

ppA

= a4

4

ppA

=32 ppA≠

VV1 =

32 VV =VVV4 ∆+=T

1

2 34

Slika 4 Strujna cijev kroz disk propelera (presjek 2 i 3)

7

8.2.2 Primjena jednadžbe kontinuiteta

Na pretpostavljenu strujnu cijev sa slike (8-5) možemo primijeniti jednadžbu kontinuiteta, tj.

jednadžbu o konstantnom protoku duž cijevi zato što nema izvora ni ponora u cijevi od

presjeka 1 do 4. Prema tome maseni protok m& isti kroz u svim presjecima strujne cijevi. Tako

dobivamo da je

444333222111 VAVAVAVAm ρρρρ ====& .

Budući da je pretpostavljeno nestlačivo strujanje gustoća je ista u svim presjecima te

jednadžba kontinuiteta dobiva oblik :

44332211 VAVAVAVA === .

Kako je 21 AAA == iz ove jednadžbe slijedi da se brzina zraka pri prolasku kroz disk ne

mijenja

32 VV = .

a maseni protok je

2AVm ρ=&

8.2.3 Primjena jednadžbe o količini gibanja

Sila kojom propeler djeluje na zrak je

( )23 ppAT −=

Prema jednadžbi količine gibanja [14], ta je sila jednaka razlici impulsnih funkcija kroz dsik

23 IIT −= .

Kako od presjeka 1 do 2 nemamo djelovanje vanjskih sila 12 II = i isto tako 43 II = , pa je

14 IIT −= .

Impulsne funkcije na ulazu i na izlazu iz strujne cijevi imaju vrijednost

mVAVI 12

11 &== ρ

mVAVI 442

44 &== ρ

Tako dobivamo da je sila

( )14 VVmT −= & ,

ili s obzirom da je AVm 2ρ=& i VVV 14 ∆=− , dobivamo

VAVT 2∆ρ= .

8

gdje je, podsjetimo se, A površina diska, 2V brzina zraka kroz disk (koja je različita od brzine

leta diska), a V∆ prirast brzine zraka od ulaznog do izlaznog presjeka u kojima je tlak

neporemećen.

8.2.4 Primjena Bernulijeve jednadžbe

Bernulijeva jednadžba ne može se primijeniti na cijelu strujnu cijev zašto što se u ravni diska

zraku daje energija. Ona se može primijeniti za strujanje do diska i od diska. Tako za strujanje

ispred diska (slika 8-4) Bernulijeva jednadžba daje jednakost:

222

211 2

121 VpVp ρρ +=+ ,

a za strujanje iza diska

244

233 2

121 VpVp ρρ +=+

Kako je tlak na presjecima 1 i 4 jednak atmosferskom tlaku: a41 ppp == a brzine su jednake

s jedne i druge strane diska 32 VV = , slijedi:

)(21 2

12

423 VVpp −=− ρ .

S obzirom da je pogonska sila na disku ( )23 ppAT −= , dobivamo

( )21

24 VVA

21T −= ρ .

8.2.5 Pogonska sila i snaga i ubrzanje struje zrake

Izjednačavanjem izraza za pogonsku silu na temelju jednadžbe kontinuiteta i na temelju

Bernulijeve jednadžbe (4) i (9)

( )142 VVAVT −= ρ

( )21

24 VVA

21T −= ρ

dobiva se da je brzina zraka kroz disk propelera

2VVVV

21V 42

∆+=+= )( .

što znači da se zrak jednako ubrzan ispred i iza diska, jer je na ulazu u cijev u presjeku 1

brzina zraka VV1 = , u presjeku diska 32 V2VVV =+= ∆ , a na kraju cijevi VVV4 ∆+=

(slika 8-4). Dakle teorija diska pokazuje da je povećanje brzine struje iza diska dva puta veće

od povećanja brzine na samom disku.

Jednadža za pogonsku silu koju smo dobili primjenom jednadžbe o količini gibanja (4)

9

( )142 VVAVT −= ρ

s ovim brzinama dobiva oblik:

VVVAT ∆∆+= )21(ρ

a iz nje možemo reći da je porast brzine zraka kroz disk propelera:

VAT2VV 2 −+=ρ

∆ .

Potrebna snaga na propeleru jednaka je povećanju kinetičke energije masenog protoka

zraka kroz propeler

( )[ ]

+=−+=

2VVVmVVVm

21P 22 ∆∆∆ && .

a kako je VmT ∆&= bit će

+=

2VVTP ∆ .

8.2.6 Učinkovitost idealnog propelera

Ova teorija uzima u obzir samo gubitke zbog ubrzanja struje zraka VT∆2/1 . Ona ne

uključuje druge gubitke, kao npr. one uzrokovane trenjem na krakovima propelera, ili gubitke

zbog prenošenja rotacije na struju zraka itd. Zato ovakav idealni propeler ima koeficijent

učinkovitosti koji se definira kao omjer korisne snage i ukupno uložene snage:

2VTTV

TVP

TVi ∆η

+== .

ili

V2V1

1i ∆η

+= .

Na slici (8-5) prikazana je učinkovitost idealnog propelera kao funkcija omjera VV∆ ubrzanja

struje zraka i neporemećene brzine struje zraka. Koeficijent učinkovitosti je uvijek manji od 1,

odnosno 100%. Kako bi imali učinkovitost što veću (što bližu jedinici) potrebno je da V∆

povećanje brzine bude što manji. No za malu veličinu V∆ mala je i pogonska sila propelera

što čini kontradiktorni efekt.

10

Slika 5. Učinkovitost idealnog propelera kao funkcija omjera VV∆

8.2.7 Koeficijent opterećenja od pogonske sile

Koeficijent opterećenja od pogonske sile propelera definira se kao

A

2VTk 2T ρ

=

što je ekvivalent po definiciji aerodinamičkom koeficijentu sile uzgona. Koeficijent

opterećenja Tk i učinkovitost idealnog propelera iη su povezani. Ako pogonsku silu

zamijenimo s njenim izrazom

( )21

24 VVA

21T −= ρ .

dobivamo koeficijent opterećenja u ovisnosti od ulazne i izlazne brzine

12

1

4 −

=

VV

kT

i ako još iskoristimo veze između brzina VV1 = i VVV4 ∆+= koeficijent opterećenja bit će

222

T VV

VV21

VV11

VVVk

+=−

+=−

+

=∆∆∆∆

odakle je

11

1k1VV

T −+=∆

što zamjenom u definiciju koeficijenta učinkovitosti idealnog propelera daje:

VV

211

1i ∆η

+=

daje traženu vezu između koeficjenata opterećenja i učinkovitosti:

T

i k++=

112η .

Slika 6. Učinkovitost idealnog propelera kao funkcija koeficijenta opterećenja od pogonske

sile

Iz gornjeg zapisa, te prikaza koeficijenta učinkovitosti kao funkcije od koeficijenta

opterećenja od pogonske sile (slika 8-6), može se zaključiti da bi 100% učinkovitost dobili

samo kada je kT = 0.

Ako bi promatrali dva propelera različitog promjera sa stanovišta koeficijenta

opterećenja od pogonske sile, za učinkovitost bi bio povoljni propeler većeg promjera (manje

Tk , veće iη ) . S druge strane postoje i ograničenja po pitanju D promjera propelera:

• strukturalno ograničenje – za male zrakoplove kritično je zadovoljavanje kriterija

minimalne udaljenosti propelera od terena, dok je za veće zrakoplove bitna

optimizacija težine (velika strukturalna opterećenja);

12

• aerodinamičko ograničenje – veći promjer propelera povećava brzinu na vrhu

propelera odnosno Machov broj a

DMatipΩ

=2/ za koji je poželjno da bude manji od

0.8, da bi se izbjegao značajan porast otpora u transonici, što bi smanjilo učinkovitost

propelera. Osim toga povećava se i buka od propelera.

Pored koeficijenta opterećenja od pogonske sile koristi se i definicija opterećenja diska (disk

loading)

ATDL = .

Uvođenjem ove veličine može se reći da je dinamički tlak u tragu dovoljno daleko od

propelera, jednak zbroju dinamičkog tlaka neporemećene struje i opterećenja diska.

8.2.8 Koeficijent pogonske sile i snage

Za propeler najčešća je primjena koeficijenata pogonske sile i snage koji se definiraju na

sljedeći način:

53P

42T

DnPC

DnTC

ρ

ρ

=

=.

Za tako definirane koeficijente pogonske sile i snage učinkovitost propelera bit će

nDV

CC

DnCVDnC

PTV

P

T53

P

42T ===ρρη

Odnos nDV nazvali smo koeficijent napredovanja ili korak napredovanja (advance ratio) i

označili smo ga sa J . S tim parametrom bit će konačno koeficijent učinkovitosti propelera:

JCC

P

T=η .

8.3 Osnove teorije elementarnog kraka propelera

Teorija diska ne obuhvata gubitke uslijed:

• rotacije zraka u njegovom tragu, o

• otpora profila kraka,

• radijalnog strujanja, i

• uslijed interferencije između krakova propelera.

13

Ovom teorijom jedino je obuhvaćen gubitak kinetičke energije. Zato za teoriju diska nije

potrebna nikakva informacija o samom kraku propelera. Uvođenje geometrije kraka u analizu

propelera inicirao je Froude 1878. godine kroz teoriju elementarnog kraka, a detaljno je

postavlja Drzewiecki.

Teorija elementarnog kraka razmatra sile u presjeku kraka propelera na udaljenosti r

od osi propelera, odnosno na bezdimenzionalnom radijusu Rrr = kao na slici 8-7.

Pretpostavlja se da je u tom presjeku strujanje ravansko, tj. da se može analizirati kao

aeroprofil u dvodimenzionalnom strujanju. Na takav profil (slika 8-8), optjecan brzinom VR ,

djeluje elementarna aerodinamička sila dFp na elementu duljine kraka dr. Ukupna sila na

kraku jednaka je sumi svih elementarnih sila na svim elementima duž kraka, tj. integralu po r

od glavčine do vrha kraka.

Slika 7. Elementarni presjek dr kraka propelera na radijusu r

Za pogonsku silu i tangencijalnu silu na elementu kraka dr (prema slici 8-10) doprinos je

φφφφ

cossinsincos⋅+⋅=⋅−⋅=

dDdLdFdDdLdT

z

.

Za moment propelera elementarni doprinos je

rdFdQ z ⋅=

14

Slika 8. Brzine i sile na elementarnom presjeku dr kraka propelera na radijusu r

Za elementarnu silu uzgona i nultog otpora vrijedi

.drccV

21dD

drccV21dL

0d2

R0

l2

R

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

ρ

ρ

Nakon uvrštavanja elementarnih sila uzgona i otpora u (24) elementarni doprinos pogonske

sile i momenta na propeleru su

.)cossin(

)sincos(

drrcccV21dQ

drcccV21dT

0dl2

R

0dl2

R

⋅⋅+⋅⋅⋅=

⋅⋅−⋅⋅⋅=

φφρ

φφρ

U ovim relacijama inducirana brzina je zanemarena što je opravdano kad je opravdano kad je

opterećenje propelera malo. U općem slučaju (slika 8-9) potrebno uzeti u obzir induciranu

brzinu. To činimo jednostavno ako zamijenimo kut φ sa kutom iαφψ += , a brzinu RVr

s

brzinom EVr

koja je zbroj brzine RVr

i inducirane brzine iVr

.

rdrcccV

21dQ

drcccV21dT

0dl2

E

0dl2

E

⋅⋅+⋅⋅⋅=

⋅⋅−⋅⋅⋅=

)cossin(

)sincos(

ψψρ

ψψρ.

Problem koji se nameće pri u primjeni ovih jednadžba je određivanje inducirane brzine Vi te

pripadajućeg induciranog napadnog kuta iα , odnosno kuta napredovanja ψ . Prva

15

aproksimacija je pretpostavka da je inducirani napadni kut mali te da je RE VV ≈ . Tada su

elementarna pogonska sila i elementarni okretni moment od N elementarni isječaka dr na N

krakova

Slika 9. Brzine i sile na presjeku kraka propelera sa induciranom brzinom

[ ]

[ ] .)cos()sin(

)sin()cos(

rdrccc2VNdQ

drccc2VNdT

i0dil

2R

i0dil

2R

⋅+⋅++⋅⋅⋅=

⋅+⋅−+⋅⋅⋅=

αφαφρ

αφαφρ

Za brzinu VR vrijedi

( ) 22R VrV += Ω

Kako je n2πΩ =

( ) 22R Vnr2V += π

( )2

2R nR2

VrnR2V

+= π

za brzinu VR dobiva se relacija

222R JrnR2V += π

Kad u jednadžbu za elementarnu pogonsku silu

[ ] drccc2VNdT i0dil

2R ⋅+⋅−+⋅⋅⋅= )sin()cos( αφαφρ

zamijenimo RV prema gornjoj jednadžbi i dijelimo 42Dnρ , dobivamo:

16

[ ]drccJr8Dn

dTdC i0dil222

42T )cos()sin()( αφαφπσπρ

+⋅++⋅⋅+==

gdje je RcN

πσ = omjer solidifikacije definiran kao omjer površine propelera (uz pretpostavku

konstantne tetive) i diska propelera. Nakon integracije ∫=1

hrTT dCC , dobiva se ukupni

koeficijent pogonske sile.

Slično je za elementarni koeficijenta snage propelera od N isječka debljine dr na N

krakova propelera:

[ ] rdccJrr8Dn

dPdC i0dil222

53P )cos()sin()( αφαφπσπρ

+⋅++⋅⋅+== .

Nakon integracije ∫=1

hrPP dCC dobiva se ukupni koeficijent pogonske snage. Kako bi

odredili koeficijent pogonske sile TC i snage PC potrebno je odrediti ovisnost induciranog

kuta ( )riα . Poznavanje induciranog kuta je potrebno za određivanje napadnog kuta u

promatranom presjeku:

iαφβα −−=

zato što od njega ovisi i vrijednost aerodinamičkog koeficijenata profila lc .

8.4 Primjena teorije vrtloga

Postoje analitičke metode koje određuju približno ( )i rα , ali danas se najviše koriste

numeričke metode. Jedna od tih numeričkih metoda je diskretizacija kraka propelera po

rasponu R. Krak podijelimo na m segmenta kao na slici 8-10, a zatim primjenjujemo VLM

kao u slučaju krila. Napadni kut u presjeku "r" bit će

( ) irα β φ α= − −

Kut φ je različit od presjeka do presjeka i ovisi o režimu rada

rVΩ

=φtan

a inducirani kut indα određujemo pomoću metode VLM.

Krak se dijeli na "m" segmenata. Ort normale na segment "k" ima komponente prema

slici 8.3

[ ]Tkkk 0 ββ sincos−=n

17

Na sredini "k" segmenta po razmahu i na 4k

kc h+ od vrha tetive, postavljamo kontrolnu točku

Ck čije su koordinate

kkk

kk

kkk

hzryhx

β

β

cos

sin

===

Svaki segment ima jedan pridruženi kΠ vrtlog, intenziteta kΓ . Centralni dio kΠ

vrtloga leži na 41 tetiva tog segmenta, a bočni kraci idu po tetivama do izlaznog ruba, a

zatim po strujnicama. Svaki krak propelera zbog simetrije ima isti set kΠ vrtloga.

r

R

hr

Slika 10

8.4.1 Trag iza propelera

Iza kraka propelera ostaje vrtložna plahta koju čine vrtložne niti na strujnicama. Kada smo

proučavali krilo pretpostavili smo da su strujnice iza krila u pravcu x osi (korijene tetive

krila). Nismo uzeli u obzir da vrtložne niti koje se nalaze na strujnicama mijenjaju oblik tih

strujnica. Zbog tog među utjecaja oblik vrtložne plahte koji je na početku bio ravanski sve

18

više i više se mijenjao u neku složenu površinu. Međutim, što su te promjene bile veće one su

bile sve dalje od krila pa je utjecaj tih promjena oblika vrtložne plahte bio neznatan na

aerodinamičke značajke krila. Tako isto i sad u slučaju propelera, zanemarit ćemo utjecaj

vrtložnih niti na oblik strujnica poslije silaska sa propelera. To znači da se niti koje započinju

na izlaznom rubu kraka propelera, protežu po putanjama točaka izlaznog ruba.

Na slici 8-11 prikazana su dva koordinatna sustava 000 zyx u početnom položaju

propelera i zyx koji je vezan za krak propelera, ide u naprijed i okreće se sa propelerom. U

trenutku t koordinatni sustav čini kut φ s koordinatnim sustavom u početnom položaju oko osi

x kao na slici 8-11

ϕx

y

z

0x

0y

r

0z

ϕ

r

y

z

Slika 11

19

Točka koja je u početnom trenutku napustila noseću liniju poslije vremena t imat će

koordinate za novi položaj koordinatnog sustava (koji se pomjerio za tV i zaokrenuo za kut

ϕ kao na slici 8-11)

ϕϕ

sincos

rzry

tVx

==

⋅=

Eliminacijom vremena iz jednadžba tVx = i tΩ=ϕ dobivamo

ϕ⋅Ω

=Vx .

Kad promatramo kao na slici 8-14 vrh kraka propelera (gledamo u vrh osi y ) onda je

RV

t Ω=φtan

pa sve točke u presjeku x vrtložne plahte imaju istu apscisu

ϕφϕϕ ⋅=⋅Ω

=⋅Ω

= tRRVRVx tan

Zato su parametarske jednadžbe putanje točke noseće linije na udaljenosti r od osi propelera:

ϕϕ

ϕφ

sincostan

rzryRx t

==

⋅=

Istu takvu spiralnu putanju ima i točka na izlaznom rubu kraka propelera, samo je njena

udaljenost od x osi veća

( )22 cos75.0 βcrr +=′

i ona ima već jedan polazni kut

rc βϕ cos75.0arctan0 =

pa su jednadžbe spiralne putanje točke izlaznog ruba

( )

ϕϕ

ϕϕφβ

sincos

tansin75.0 0

rzry

Rcx t

′=

′=−⋅+=

Usvajamo da vrtložna nit leži na toj spirali. Za različite vrijednosti r imamo različite vrtložne

niti ( Rrrh << ). Parametar r pokazuje o kojoj se vrtložnoj niti radi, a parametar ϕ koju

točku na toj vrtložnoj niti promatramo.

20

8.4.2 Inducirana brzina u kontrolnoj točki

Koordinatni sustav postavili smo na slici 8-14 Π vrtlog intenziteta jΓ segmenta "j"

inducira u kontrolnoj točki segmenta "k" brzinu koja je zbroj tri dijela: inducirana brzina od

centralnog dijela i inducirane brzine od dva kraka Π vrtloga.

U poglavlju 2.3.2 izveli smo na temelju Biot - Savartovom zakonu da je inducirana

brzina u točki C od srednjeg dijela П vrtloga

( ) 21212121

21

4rr

rrrrrrrrVAB

rrrr

r×

⋅++Γ

=π

i napravili smo rutinu ind.m koja računa induciranu brzinu u točki C od segmenta AB.

Ulazni parametri su koordinate točaka A, B i C.

x

z

RV

Vr

Ω

Rωφ

nr

C

h

β

Slika 12. Položaj brzine zraka RV u odnosu na profil propelera

Po istom obrascu možemo izračunati induciranu brzinu od dijelova AD i BE krakova П

vrtloga koji se nalaze na kraku propelera (slika 8-16). Inducirana brzina u kontrolnoj točki C

jednaka je zbroju induciranih brzina:

21

• od pravocrtnog dijela AB vrtloga

• od pravocrtnog dijela AD

• od pravocrtnog dijela BE,

• od vrtložne niti iz točke D i

• od vrtložne niti iz točke E

Inducirane brzine od vrtložnih niti računa rutina nit.m. On izračunava induciranu brzinu od

jedne vrtložne niti u tragu propelera. Ulazni parametar su koordinate točke na izlaznom rubu

kraka i koordinate kontrolne točke. U toj rutini izračunate su točke na svakih 010=∆ϕ , a

između tih točaka je pretpostavljeno da je vrtložna nit pravocrtna, te je na nju primijenjena

rutina za induciranu brzinu od pravocrtnog segmenta.

C

A By

z

0rr

D E

Slika 13

Inducirana brzina u točki C

• od vrtložne niti iz točke E ( ) Γ⋅CEK ,,K ,

• od vrtložne niti iz točke D ( ) Γ⋅− CDK ,,K

znak - zbog obrnutog smjera vrtloga duž niti iz točke D u odnosu na vrtlog na niti iz točke E.

Konačno ukupna inducirana brzina u kontrolnoj točki Ck od jΠ vrtloga

22

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΓΓΓΓΓ∆ ⋅−⋅−⋅+⋅+⋅= 43421 K4342143421 K4342143421nitindnitindind rutinaCEK

rutinaCEBK

rutinaCDK

rutinaCDAK

rutinaCBAKV jk ,,,,,,,,,,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] jjk CEKCEBKCDKCDAKCBAKV Γ⋅−−++=∆ ,,,,,,,,,, KK

jjkjk KV Γ∆ ⋅=

gdje je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CEKCEBKCDKCDAKCBAKEDCBAK jk ,,,,,,,,,,,,,, KK −−++= .

Rutina vrtlog.m računa vektor jkK za zadane koordinate kontrolne točke Ck i zadani

segment "j" (poznate koordinate točaka: A, B, D i E)

S obzirom da mi promatramo samo slučaj kad je brzina leta u pravcu ose propelera, na

drugom i trećem kraku bit će isti sustav vrtloga Γ1, Γ2, ... , Γj, ... Γm kao na prvom kraku, ali

će koeficijenti jkK biti različiti. Koordinate kontrolne točke C su iste, a koordinate točaka A,

B, D i E se okreću za Nπ2 gdje N broj krakova propelera. Ako označimo koordinate točke

A' na prvom kraku sa

[ ]TAAA zyx ′′′

onda točka A" na drugom kraku ima koordinate:

′′′

⋅

=

′′′′′′

A

A

A

x

A

A

A

zyx

Nzyx

π2L

i isto tako za koordinate B", D" i E". Pri tome

Nxπ2L je matrica transformacije za rotaciju

oko osi x za kut

Nπ2 . Koordinate točaka na trećem kraku nalazimo kad koordinate s drugog

kraka još jednom okrenemo za Nπ2 . Tako konačno dobivamo induciranu brzinu u

kontrolnoj točki Ck od tri П vrtloga koji imaju intenzitet jΓ na tri kraka simetrično

raspoređena

( ) ( ) ( )[ ] j

kj

jjkjjjjkjjjjkjjjk

K

EDCBAKEDCBAKEDCBAKV Γ⋅′′′′′′′′′′′′+′′′′′′′′+′′′′=4444444444444 34444444444444 21 v

r,,,,,,,,,,,,

k jk j jV K= ⋅Γuurw

23

i konačno kad zbrojimo u kontrolnoj točki Ck inducirane brzine od svih vrtloga dobivamo

ukupnu induciranu brzinu u kontrolnoj točki

1

j m

k jk jj

V K=

=

= ⋅Γ∑uurw

8.4.3 Zadovoljenje rubnih uvjeta

U kontrolnoj točki kC brzina optjecanja bit će zbroj brzine iz beskonačnosti i inducirane

brzine indR VVsr

+ , a komponenta te brzine koja je okomita na ravan segmenta kontrolne točke

mora ispunjavati rubni uvjet

( ) 0=⋅+ kindR nVV rrr

Kako je

∑=

=

⋅=mj

jJjkkind KV

1

Γw

mora biti

01

=⋅+⋅ ∑=

m

jjjkkkR KnnV Γrrr

ili

( ) Rk

m

jjkjk VnKn

rrr⋅−=⋅∑

=1

Γ

Ako uvedemo matrice

Komponente orta normale su [ ]Tkkk 0 ββ sincos−=n , a rezultujuće brzine

[ ]rV ⋅= Ω0RV pa je skalarni produkt na desnoj strani

kk rV βΩβ sincos +−

Uvedimo matrice

kkk

kjkkj

rVEKnA

βΩβ sincos +−=

⋅=r

Tako dobivamo jednadžbe

k

m

ijkj EA =∑

=1

Γ

S obzirom da imamo m kontrolnih točaka (na svakom segmentu po jednu) imat ćemo i m

ovakvih jednadžba sa m nepoznatih Π vrtloga mΓΓΓ ,,, 21 K .

24

8.4.4 Inducirana brzina na nosećoj liniji

Kad smo odredili svih m vrtloga možemo izračunati induciranu brzinu na 41 tetive segmenta

"i"

0

0

===

c

c

c

zry

x

od svih m Π vrtloga (računajući i sve krakove). Postupak je isti kao kad smo računali

induciranu brzinu u kontrolnoj točki. Neka je to vektor indVr

. koji ima komponente ( )xindV i

( )zindV u pravcu osi x i z. Brzina optjecanja profila u presjeku jest

indRE VVVsrr

+=

gdje je kao što znamo rVVRrvrr

×Ω+= . Napadni kut profila bit će

ψβα −=

gdje je ψ kut koji čini brzina optjecanja EVr

s diskom propelera .

( )( )zind

xind

VrVV

+Ω+

=ψtan

V

EV

RV

indVxindV

zindV

x

zr

Slika 14

Inducirana brzina na sredini segmenta AB noseće linije od Π vrtloga ABDE bit će:

25

( ) ( ) ( ) ( ) jjjjjk

rutinaSEK

rutinaSEBK

rutinaSDK

rutinaSDAKV Γ⋅−Γ⋅−Γ⋅+Γ⋅=∆ 43421 K4342143421 K43421

nitindnitind,,,,,,,,

gdje je S točka na sredni potega AB "k"-og segmenta. Dio AB od bilo kog vrtloga "j" ne

inducira brzinu jer točka S leži na tom pravcu (pravac noseće linije). Zato je napravljena

rutina kraci.m koja poziva rutine ind.m i nit.m te izračunava traženu induciranu brzinu

samo za krake od "j"-og Π vrtloga. Zbrajanjem tih induciranih brzina za sve vrtloge (od

1=j do mj = ) dobivamo konačno induciranu brzinu

8.5 Primjer Jedan vrlo jednostavan oblik dvokrakog propelera je "Purdue" propeler na slici 8-15.

yΩ

z

C

1A 1B

1D 1E

2A2B

2E 2D

Slika 15. Pogled spreda u propelera "Purdue"

On ima konstantnu tetivu, nema strijelu a ima simetričan profil NACA 0010.

crcRc h 5.030508.0 ===

Kut uvijanja 4320 r*)(1271.8/16-r*(1351.5/8)+r*(338.8/4)-r*(105.1/2)-86.3=β

Režim rada je

sokrNsmV 4.5735 ==

U direktoriju programi\Propeler nalazi se program Elisa2.m u MATLABu. On računa u

prvom dijelu ( )rΓ , zatim u drugom dijelu induciranu brzinu ( )rVind

r a na temelju inducirane

brzine određuje se kut ψ . Konačno u trećem dijelu s tim kutom izračunava se TC i PC .

Program koristi rutinu vrtlog.m za izračun inducirane brzine u kontrolnoj točki C, od

26

jediničnog П vrtloga jednog kraka i od istog П vrtloga drugog kraka. Za izračun inducirane

brzine u točki na nosećoj liniji program koristi rutinu kraci.m koja je ustvari ista kao i rutina

vrtlog.m samo ne računa induciranu brzinu od centralnog dijela jer je ona nula. Rutine

vrtlog.m i kraci.m , a one za izračunavanje inducirane brzine od pravocrtnih dijelova П

vrtloga koriste rutinu ind.m, a za izračunavanje induciranih brzini od vrtložne niti u tragu

propelera koriste rutinu nit.m. S tim programom Propeler.m dobiveni su dijagrami na

slikama 8-16, 8-17 i 8-18.

Slika 16

27

Slika 17

Slika 18

28