8. Propeler

8.1. Uvod i polazne definicije

S aerodinamickog aspekta za propelere je od intresa odrediti pogonskusilu T i potreban okretni moment Q propelera. I to pri poznatoj kutnojbrzini propelera Ω = n · 2π gdje je n [1/s] brzina okretanja propelera (brojokretaja u sekundi) te je V brzina leta zrakoplova (ili brzinu napredovanja),jednaka brzini neporemecene struje zraka u odnosu na propeler za slucaj kadaje brzina vjetra jednaka nuli.

8.1.1. Konstruktivne karakteristike propelera

Konstrukcijom propeler nalikuje na vijak – tocka na kraku propelera samaksimalnim radijusom R = D/2 pri jednom okretaju propelera napravijedan korak (engl. pitch), put Hg. Pri tome je putanja promatrane tocke tzv.konstruktivna helikoidna linija pod konstantnim kutom – kutom uvijanja β(engl. blade angle, pitch angle). Kako opseg cilindra radijusa R promatranetocke iznosi 2πR tako je

β =Hg

2πR=

Hg

πD.

Lokalni presjek kraka propelera na radijusu r od osi rotacije ima oblikaeroprofila i uvijen je pod lokalnim kutom uvijanja β(r) s lokalnim geome-trijskim korakom Hg(r) = 2πr · tgβ(r). Lokalni geometrijski korak mozebiti konstanantan ili promjenjiv po radijusu propelera od korijena do vrha.Cesce je u primjeni propeler s konstantnim korakom duz kraka (slika) za kojise kut uvijanja sa radijusom mijenja prema relaciji

β(r) =Hg

2πr.

Lokalni kut uvijanja kraka propelera tako je kut izmedu ravnine rotacijepropelera i tetive lokalnog aeroprofila na promatranom presjeku kraka.

Za propelere s promjenjivim korakom duz kraka definira se nominalni ge-ometrijski korak koji je jednak lokalnom geometrijskom koraku za referentniradijus i pripadajuci kut uvijanja. Uobicajeni referentni radijus rref = 0.75R(ili rjede 0.7R). Kod takvih propelera lokalni kut uvijanja definira se zbrojems kutom za referentni radijus β(r) + βrref

.Osim promijene kuta uvijanja lokalnog profila duz kraka propelera i sami

aeroprofili se mijenjaju. Stoga je pri opisu kraka propelera bitno poznavatii lokalni tip aeroprofila, promjenu tetive i debljine. Uobicajeno je da su

1

ββ2β1

Rrr2r10

Hg

2π

Slika 8-1: Korak propelera: konstantan duz kraka

svi lokalni presjeci evolutivni aeroprofili jedne serije aeroprofila. Time je zapoznatu seriju aeroprofila, poznatu promjenu c(r) = c/D relativne tetive,te promjenu t(r) = t/D relativne debljine po radijusu, krak propelera upotpunosti definiran. Jedan uobicajeni prikaz konstruktivnih karakteristikapropelera dan je na slici (8-2) za NACA propelere 5868-9 i 5868-R6.

Pored ovako definirane konstrukcije kraka potrebno je definirati i brojkrakova propelera N .

Prema smjeru okretanja propelera propeleri mogu biti lijevi i desni. Pro-matrano iz smjera kretanja (sa vrha x osi zrakoplova; ispred zrakoplova gle-dano prema njegovom vrhu), propeler je desni ako je smjer okretanja supro-tan smjeru kazaljke na satu (pozitivna rotacija oko osi x). Propeler je lijeviukoliko se gledano sa vrha osi x okrece u smjeru kazaljke na satu (negativnarotacija oko osi x).

Za geometrijsku konstrukciju propelera jos je bitan njegov polozaj u od-nosu na motor. Promatrano u smjeru leta (duz osi x zrakoplova), vucnipropeler nalazi se ispred motora dok je potisni propeler smjesten iza mo-tora.

8.1.2. Kinematika propelera

Promatrajmo propeler kao kruto tijelo na mirujucem zrakoplovu, daklepropeler rotira bez brzine napredovanja (brzina vjetra jednaka je nuli). Pro-peler rotira oko simetrale glavcine propelera, odnosno simetrale osovine mo-tora sto predstavlja os

Brzina tocke na propeleru s vektorom polozaja ~r od osi simetrije imat cebrzinu uslijed rotacije kutnom brzinom ~Ω prema Eulerovoj formuli

~Vt = ~Ω× ~r .

U aerodinamickom razmatranju propelera od interesa je brzina okolnog zrakau odnosu na promatrani lokalni presjek kraka propelera: ona je istog inten-

2

Slika 8-2: Primjer definicije geometrija kraka NACA propelera 5868-9 i 5868-R6 (za duljinu tetive je oznaka b, za debljinu h, za geometrijski korak p)

ziteta Vt = Ω · r, ali suprotnog smjera brzini tocke na lokalnom presjekupropelera u odnosu na zrak.

Kada je zrakoplov u pokretu odnosno kada leti, pored brzine rotacijeimamo i brzinu leta. Tocka na promatranom lokalnom presjeku kraka uda-ljena r od osi rotacije giba se u smjeru gibanja propelera, odnosno u smjerugibanja zrakoplova, brzinom ~V u odnosu na okolni zrak. Pri tome pret-postavljamo da nema vjetra i da se smjer gibanja zrakoplova poklapa s osirotacije propelera. Apsolutno gibanje promatrane tocke na propeleru dobivase vektorskim zbrojem ~V brzine okolnog zraka u odnosu na propeler i ~Vt br-zine okolnog zraka u odnosu na mirujuci propeler uslijed rotacije. Apsolutnabrzina je prema slici (8-3)

~VR = ~Vt + ~V = ~Ω× ~r + ~V .

3

dok je njen intenztitet na promatranom presjeku

VR =√

V 2t + V 2 =

√(Ω · r)2 + V 2

Od interesa je kut ove brzine u odnosu na ravninu rotacije: φ kut napredo-vanja i definira korak propelera. Taj kut definira i kut helikoide pod kojimtrag propelera napusta izlazni rub na lokalnom presjeku kraka propelera.Kut napredovanja, odnosno kut brzine ~VR u odnosu na ravninu rotacije je

φ = arc tgV

Vt

= arc tgV

Ω · r.

V

Ωr

VR

φ

α

β

ravnina rotacije

osro

taci

je

Slika 8-3: Brzine na lokalnom presjeku kraka na radijusu r: kut napredovanjaφ

Ovaj kut napredovanja ne uzima u obzir inducirane brzine na kraku pro-pelera kada je (slika 8-4) Θ stvarni kut napredovanja. Detaljnije o indu-ciranoj brzini i kutu Θ kasnije.

Znacajka kojom se uzima u obzir i brzina okretanja i brzina napredovanjapropelera je koeficijent napredovanja ili korak napredovanja (engl. andvanceratio) definira se kao

J =V

nD.

Uz geometrijski, konstruktivni korak propelera Hg definira se aerodi-namicki korak (efektivni korak, engl. effective pitch) koji predstavlja putkojeg promatrana tocka na propeleru prode pod djelovanjem brzina sa slike(8-3) pod kutom φ

H = 2π · r · tgφ = 2π · r · V

2π · r · n=

V

n.

4

V

Ωr

ViVE

VR

φ

αi

α

βΘ

ravnina rotacije

osro

taci

je

Slika 8-4: Brzine na lokalnom presjeku kraka na radijusu r: stvarni kutnapredovanja Θ

Razlika izmedu Hg geometrijskog koraka i H aeodinamickog koraka nazivase klizanje.

Napadni kut α na promatranom lokalnom presjeku kraka je kut izmeduukupne aerodinamicke brzine i linije nultog uzgona aeroprofila. Kako biostvarili silu uzgona za pozitivnu pogonsku silu propelera nuzno je da napadnikut na lokalnom presjeku bude pozitivan.

Sa smanjivanjem r udaljenosti od osi rotacije, smanjuje se Vt = Ω · rbrzina sto uz jednaku V brzinu napredovanja povlaci povecanje φ kuta na-predovanja. Kako bi zadrzali napadni kut pozitivan nuzno je da se β kutuvijanja propelera povecava. Na taj nacin osigurava se pozitivan napadnikut na svakom presjeku kraka propelera. Pozeljno je da napadni kut, na sva-kom presjeku kraka, bude izmedu 2 i 4, dok su kutovi veci od 15 neefikasnibuduci da dolazi do gubitka uzgona aeroprofila (engl. stall).

5

8.2. Teorija diska

8.2.1. Polazne pretpostavke

Klasicna teorija kolicine gibanja propelera poznata kao teorija diska dajeosnovne koncepte performansi propelera. Originalna teorija kako ju je formu-lirao Rankine 1865. godineopisuje propeler kao beskonacno tanki disk prekokojeg se staticki tlak skokovito mijenja. Pretpostavke ovog modela su:

• brzina na disku je konstantna,

• tlak na disku je konstantan,

• rotacija struje zraka koji prolazi kroz propeler je zanemarena,

• struja zraka koja prolazi kroz propeler odvaja se od okolnog zrakazamisljenom strujnom cijevi,

• strujanje je nestlacivo.

Promotrimo propeler i pripadajucu strujnu cijev prema slici (8-5). Pro-matramo presjeke 1, 2, 3 i 4 s pripadajucim velicinama: tlakom p, povrsinomA. Na mirujuci propeler nastrujava zrak brzinom V sto je istovjetno razma-tranju propelera koji se giba brzinom V kroz atmosferu bez vjetra.

8.2.2. Osnovne relacije teorije diska

Jednadzba kontinuiteta

Za pretpostavljenu strujnu cijev sa slike (8-5) primjenjiva je jednadzbakontinuiteta (jednadzba ocuvanja mase fluida, pogledaj predavanja “Osnovaaerodinamike i mehanike leta”) kojom se m maseni protok, odnosno masazraka koja prolazi kroz propeler u jedinici vremena definira da je konstantan.Ukoliko se jednadzba kontinuiteta primjeni na propeler skiciran na slici (8-5)za presjeke 1, 2, 3 i 4 moze se zapisati

m = ρ1A1V1 = ρ2A2V2 = ρ3A3V3 = ρ4A4V4 . (1)

Buduci da je pretpostavljeno nestlacivo strujanje gornja jednadzba kontinu-iteta ima oblik

A1V1 = A2V2 = A3V3 = A4V4 . (2)

Ako za povrsinu diska vrijedi A = A2 = A3 iz jednadzbe (2) slijedi da sebrzina struje pri prolasku kroz sami disk ne mijenja

V2 = V3 . (3)

6

aktuator disk

strujna cijev

1 2 3 4

V VV

V

pa pa

p2

V4

T

V1 = V

p1

V2 V3

p3 V4

p4

A4A1

A = A2 = A3

Slika 8-5: Idealni propeler: aktuator disk i strujna cijev

Jednadzba ocuvanja kolicine gibanja

Propeler uzima odredenu kolicinu zraka ispred njega koja se prolaskomkroz disk propelera ubrzava prema natrag. Na propeler, odnosno dovoljno is-pred njega (u presjeku 1) nastrujava struja neporemecenog zraka brzinom Vkoja se nakon prolaska kroz propeler ubrza za iznos ∆V = V4−V1. Prema jed-nadzbi ocuvanja kolicine gibanja moze se reci da je brzina promjene kolicinegibanja jednaka pogonskoj sili propelera.

Za ovu analizu propelera koja predstavlja jednodimenzionalno strujanjeu stacionarnim uvjetima, vrijedi da je produkt masenog protoka i promjenebrzine struje kroz propeler jednaka brzini promjene kolicine gibanja

T = m∆V . (4)

U skladu s ranijom definicijom masenog protoka (1), pogonska sila se mozezapisati kao

T = ρA2V2(V4 − V1) . (5)

7

A = A2 = A3

1 2 3 4

p2

V4

T

V1

p1

A1

V2 V3

p3 V4

p4

A4

Slika 8-6: Brzine na idealnom propeleru

Bernulijeva jednadzba

Za slucaj nestlacivog strujanja duz strujnice za presjeke 1 i 2 (slika 8-6)moze se primijeniti Bernulijeva jednadzba

p1 +1

2ρV 2

1 = p2 +1

2ρV 2

2 , (6)

kao i za presjeke 3 i 4

p3 +1

2ρV 2

3 = p4 +1

2ρV 2

4 . (7)

Kako je atmosferski tlak upravo jednak tlaku na presjecima 1 i 4: pa = p1 =p4 te je brzina na samom disku propelera V2 = V3 slijedi

p3 − p2 =1

2ρ(V 2

4 − V 21 ) . (8)

Pogonska sila na propeleru jednaka je umnosku razlike tlaka i povrsine diskapropelera

T = A(p3 − p2) =1

2ρA2(V

24 − V 2

1 ) . (9)

Izjednacavanjem izraza (5) i (9) dobiva se da je brzina struje zraka na diskupropelera

V2 =1

2(V4 + V1) . (10)

Promotrimo povecanje brzine izmedu presjeka 1 i 2 primjenom relacije (10)

V2 − V1 =1

2(V4 + V1)− V1 =

1

2(V4 − V1) =

1

2∆V

8

i izmedu presjeka 3 i 4 primjenom (3) i (10)

V4 − V3 = V4 − V2 = V4 −1

2(V4 + V1) =

1

2(V4 − V1) =

1

2∆V .

Dakle teorija diska pokazuje da je povecanje brzine struje zraka daleko izadiska dva puta vece od povecanja brzine na samom disku

V2 = V3 = V1 +1

2∆V ,

V4 = V1 + ∆V .(11)

Jednadzba ocuvanja energije

Potrebna snaga na propeleru jednaka je povecanju kineticke energije ma-senog protoka zraka kroz propeler

P =1

2m[(V + ∆V )2 − V 2] (12)

P = m∆V (V +1

2∆V ) .

Primjenom izraza (4) za pogonsku silu propelera moze se pokazati da jepotrebna snaga propelera jednaka zbroju

• korisne snage koju cini produkt pogonske sile propelera i brzine struje,odnosno brzine gibanja propelera i

• gubitka zbog ubrzavanja struje:

P = TV +1

2T∆V . (13)

Ubrzanje struje

Struja zraka se prolaskom kroz disk propelera na presjeku 4 ubrza za iznos∆V = V4 − V1. Relacija za pogonsku silu (5) primjenom rezultata za brzinuV2 (10) moze se zapisati u obliku

T = ρA(V +1

2∆V )∆V .

Za ovako definiranu pogonsku silu moze se definirati povecanje brzine

∆V = −V +

√V 2 +

2T

ρA. (14)

9

8.2.3. Ucinkovitost idealnog propelera

Iako ova teorija ne ukljucuje sve gubitke, kao npr. one uzrokovane trenjemna krakovima propelera, ili gubitke zbog prenosenja rotacije na struju zraka,. . . No i ovakav idealni propeler ima odredene gubitke zbog ubrzanja strujezraka 1

2T∆V . Koeficijent ucinkovitosti definira se kao omjer korisne snage i

ukupno ulozene snage te bi za idealni propeler prema teoriji diska bio

ηi =TV

P=

TV

TV + 12T∆V

. (15)

Gornji izraz moze se zapisati kao

ηi =1

1 + 12

∆VV

. (16)

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

∆ V / V

η i

Slika 8-7: Ucinkovitost idealnog propelera kao funkcija omjera ∆VV

Na slici (8-7) prikazana je ucinkovitost idealnog propelera kao funkcijaomjera ∆V

Vubrzanja struje zraka i neporemecene brzine struje zraka. Ko-

eficijent ucinkovitosti je uvijek manji od 1, odnosno 100%. Kako bi imaliucinkovitost sto vecu (sto blizu jedinici) potrebno je da ∆V povecanje brzinebude sto manji. No za malu velicinu ∆V mala je i pogonska sila propelerasto cini kontradiktorni efekt.

10

Prema gornjim relacijama takoder je vidljivo da je ucinkovitost idealnogpropelera jednaka nuli kada zrakoplov miruje V = 0 te u ovom posebnomslucaju definicije ucinkovitosti (15) i (16) nisu primjenjive.

Koeficijent opterecenja od pogonske sile

Koeficijent opterecenja od pogonske sile propelera definira se kao

kT =T

12ρV 2A

(17)

sto je ekvivalent po definiciji aerodinamickom koeficijentu sile uzgona. Zatako definirani koeficijent, primjenom relacije za pogonsku silu (9) moze senapisati

kT = (V4

V1

)2 − 1 . (18)

Za poznato povecanje brzine moze se zapisati

V2

V1

=12(V4 + V1)

V1

=1

2(1 +

V4

V1

) =1

2(1 +

√1 + kT ) (19)

Ucinkovitost idealnog propelera moze se zapisati i kao

ηi =1

1 + 12

∆VV

=2V

2(V + 12∆V )

=V1

V2

te je primjenom relacije za koeficijent opterecenja od pogonske sile

ηi =2

1 +√

1 + kT

. (20)

Iz gornjeg zapisa, te prikaza koeficijenta ucinkovitosti kao funkcije od ko-eficijenta opterecenja od pogonske sile (slika 8-8), moze se zakljuciti da bi100% ucinkovitost dobili samo kada je kT = 0. Ako bi promatrali dva pro-pelera razlicitog promjera sa stanovista koeficijenta opterecenja od pogonskesile za ucinkovitost bi bio povoljni propeler veceg promjera. S druge stranepostoje i ogranicenja po pitanju D promjera propelera:

• strukturalna – za male zrakoplove kriticno je zadovoljavanje kriterijaminimalne udaljenosti propelera od terena, dok je za vece zrakoplovebitna optimizacija tezine (velika strukturalna opterecenja);

• aerodinamicka – veci promjer propelera nuznu uzrokuje povecanje bri-zine na vrhu propelera odnosno Machova broja Matip = D/2Ω

aza koji

11

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

kT

η i

Slika 8-8: Ucinkovitost idealnog propelera kao funkcija koeficijenta op-terecenja od pogonske sile

je pozeljno da bude manji od 0.8 cime se izbjegava znacajan porastotpora i ulazak u transoniku sto bi sve smanjilo ucinkovitost propelera,osim toga tada se povecava i buka od propelera sto takoder moze bitijedno od ogranicenja.

Pored koeficijenta opterecenja od pogonske sile uobicajena je i definicijaopterecenja diska (engl. disk loading)

DL =T

A. (21)

Uvodenjem ovako definirane velicine moze se reci da je dinamicki tlak utragu dovoljno daleko od propelera jednaka je zbroju dinamickog tlaka ne-poremecene struje i opterecenja diska.

Koeficijent pogonske sile i snage

Za propeler najcesca je primjena koeficijenata pogonske sile i snage kojise definiraju na sljedeci nacin:

CT =T

ρn2D4,

CP =P

ρn3D5.

(22)

12

Za tako definirane koeficijente pogonske sile i snage ucinkovitost propeleraprema (15) definira se kao

η =CT

CP

J . (23)

13

8.3. Osnove teorije elementarnog kraka pro-

pelera

Teorijom diska mozemo odrediti idealnu ucinkovitost propelera kod kojegnema gubitaka uslijed rotacije zraka u njegovom tragu, otpora profila krakauslijed radijalnog strujanja ili interferencije izmedu krakova propelera. Je-dini je gubitak obuhvacen ovom teorijom gubitak kineticke energije. Teorijadiska ne obuhvaca nikakve informacije o samom kraku propelera. Uvodenjegeometrije kraka u analizu propelera inicira Froude 1878. godine kroz teorijuelementarnog kraka, te je Drzewiecki detaljno postavlja.

Teorija elementarnog kraka razmatra sile na dr infinitezimalnom radijal-nom dijelu kraka propelera kao na slici (8-9) na radijusu r, odnosno bezdi-menzionalnom radijusu r = r

R. Pretpostavlja se da je svaki element kraka

neovisan od ostalih elemenata, tj. da se moze analizirati kao aeroprofil u dvo-dimenzionalnom strujanju. Na takav profil (slika 8-10) optjecan brzinom VR

djeluje elementarna aerodinamicka sila dFp. Ukupna sila na kraku jednakaje sumi svih elementarnih sila na svim elementima duz kraka — integral poradijusu kraka od glavcine do vrha kraka.

r

dr

Ω

Slika 8-9: Elementarni presjek dr kraka propelera na radijusu r

14

V

Ωr

VR

φ

α

β

dFz

dT

dL

dD

dFp

ravnina rotacije

osro

taci

je

Slika 8-10: Brzine i sile na elementarnom presjeku dr kraka propelera naradijusu r

Za pogonsku silu i tangencijalnu silu na elementu kraka dr (prema slici 8-10) doprinos je

dT = dL · cos φ− dD · sin φ

dFz = dL · sin φ + dD · cos φ .(24)

Za moment propelera elementarni doprinos je

dQ = dFz · r .

Za elementarnu silu uzgona i nultog otpora vrijedi

dL =1

2ρV 2

R · c · dr · cl

dD0 =1

2ρV 2

R · c · dr · cd0

(25)

Nakon uvrstavanja elementarnih sila uzgona i otpora u (24) elementarni do-prinos pogonske sile i momenta na propeleru su

dT =1

2ρV 2

R · c · (cl · cos φ− cd0 · sin φ) · dr

dQ =1

2ρV 2

R · c · (cl · sin φ + cd0 · cos φ) · rdr(26)

U ovim relacijama inducirana brzina je zanemarena sto u slucajevimamanjeg opterecenja propelera moze biti zadovoljavajuca pretpostavka. Nou opcem slucaju (slika 8-11) potrebno ih je uzeti u obzir – na nacin da se

15

umjesto kuta napredovanja φ razmatra stvarni kut napredovanja Θ = φ+αi.Pored toga ukupna brzina na elementarnom kraku je VE

dT =1

2ρV 2

E · c · (cl · cos Θ− cd0 · sin Θ) · dr

dQ =1

2ρV 2

E · c · (cl · sin Θ + cd0 · cos Θ) · rdr(27)

V

Ωr

Vi

VE

VR

φ

αi

α

βΘdFz

dT

dL

dD

dFp

ravnina rotacije

osro

taci

je

Slika 8-11: Brzine i sile na elementarnom presjeku dr kraka propelera naradijusu r sa induciranom brzinom

Problem koji se namece pri pokusaju primjene relacija (27) je odredivanjeinducirane brzine Vi te pripadajuceg induciranog napadnog kuta αi, odnosnokuta napredovanja Θ.

Prva je aproksimacija pretpostavka da je inducirani napadni kut mali teda je VE = VR. Tada su elementarna pogonska sila i elementarni okretnimoment svih elementarni presjeka dr na N krakova

dT =1

2ρV 2

R · c · [cl · cos(φ + αi)− cd0 · sin(φ + αi]) · dr

dQ =1

2ρV 2

R · c · [cl · sin(φ + αi) + cd0 · cos(φ + αi]) · rdr(28)

Za brzinu VR vrijedi

VR · cos φ = Ωr = 2πnr ,

gdje je kut φ

tgφ =V

2πnr=

J

πr.

16

Kako je

cos φ =1√

1 + tg2φ,

za brzinu VR dobiva se relacija

VR =2πnr

cos φ= 2πR

√π2r2 + J2 .

Time bi elementarni doprinos propelera s N krakova bio

dT = 2ρπ2R2Nc(π2r2 + J2) · [cl · sin(φ + αi) + cd0 · cos(φ + αi)] Rdr

Elementarni doprinos koeficijenta pogonske sile na elementarnom presjekusvih krakova dr na radijusu r je

dCT =dT

ρn2D4

dCT =π

8σ(π2r2 + J2) · [cl · sin(φ + αi) + cd0 · cos(φ + αi)] dr ,

(29)

gdje je σ = NcπR

omjer solidifikacije definiran kao omjer povrsine proplera(uz pretpostavku konstantne tetive) i diska proplera. Nakon integracije po

radijusu propelera dobiva se ukupni koeficijent pogonske sile CT =∫ 1

rhdCT .

Slicno je za elementarni doprinos koeficijenta snage propelera na elemen-tarnom presjeku dr na radijusu r

dCP =dP

ρn3D5=

Ω · dQ

ρn3D5

dCP =π

8σr(π2r2 + J2) · [cl · sin(φ + αi) + cd0 · cos(φ + αi)] dr ,

(30)

Nakon integracije po dobiva se ukupni koeficijent pogonske snage CP =∫ 1

rhdCP .

Kako bi odredili koeficijent pogonske sile (29) i snage (30) potrebno jeodrediti raspodjelu induciranog kuta po radijusu, α(r), zbog eksplicitne ovis-nosti, ali i zbog implicitne ovisnosti aerodinamickog koeficijenta cl o napad-nom kutu α = β − φ− αi.

17

18

8.4. Primjena teorije vrtloga

Postoje analitičke metode koje određuju približno ( )i rα , ali danas se najviše koriste

numeričke metode. Jedna od tih numeričkih metoda je diskretizacija kraka propelera po

rasponu R. Krak podijelimo na m segmenta kao na slici 8-13, a zatim primjenjujemo VLM

kao u slučaju krila. Napadni kut u presjeku "r" bit će

( ) irα β φ α= − −

Kut φ je različit od presjeka do presjeka i ovisi o režimu rada

rVΩ

=φtan

a inducirani kut indα određujemo pomoću metode VLM.

Rωφ

β

n

C

h

Slika 8-12

Krak se dijeli na "m" segmenata. Ort normale na segment "k" ima komponente prema slici 8.3

19

[ ]Tkkk ββ sin0cos−=n

Na sredini "k" segmenta po razmahu i na 4k

kc h+ od vrha tetive, postavljamo kontrolnu točku

Ck čije su koordinate

sin

cos

k k k

k k

k k k

x hy rz h

β

β

===

Svaki segment ima pridruženi jedan Π vrtlog, intenziteta Γ. Centralni dio П vrtloga leži

na 41 tetiva tog segmenta, a bočni kraci idu po tetivama do izlaznog ruba, a zatim po

strujnicama. Svaki krak propelera zbog simetrije ima isti set Π vrtloga.

r

R

hr

Slika 8-13

8.4.1 Trag iza propelera

Iza kraka propelera ostaje vrtložna plahta koju čine vrtložne niti na strujnicama. Kada smo

proučavali krilo pretpostavili smo da su strujnice iza krila u pravcu x osi (korijene tetive

20

krila). Nismo uzeli u obzir da vrtložne niti koje se nalaze na strujnicama mijenjaju oblik tih

strujnica. Zbog tog među utjecaja oblik vrtložne plahte koji je na početku bio ravanski sve

više i više se mijenjao u neku složenu površinu. Međutim, što su te promjene bile veće one su

bile sve dalje od krila pa je utjecaj tih promjena oblika vrtložne plahte bio neznatan na

aerodinamičke značajke krila. Tako isto i sad u slučaju propelera, zanemarit ćemo utjecaj

vrtložnih niti na oblik strujnica poslije silaska sa propelera. To znači da se niti koje započinju

na izlaznom rubu kraka propelera, protežu po putanjama točaka izlaznog ruba.

Na slici 8-14 prikazan je koordinatni sustav vezan za krak propelera, koji ide u

naprijed i okreće se sa propelerom. U trenutku t koordinatni sustav čini kut φ s koordinatnim

sustavom u početnom položaju oko osi x kao na slici 8-14

ϕx

y

z

0x

0y

r

0z

ϕ

r

y

z

Slika 8-14

21

Točka koja je u početnom trenutku napustila noseću liniju poslije vremena t imat će

koordinate za novi položaj koordinatnog sustava (koji se pomjerio za tV i zaokrenuo za kut

ϕ kao na slici 8-14)

ϕϕ

sincos

rzry

tVx

==

⋅=

Eliminacijom vremena iz jednadžba tVx = i tΩ=ϕ dobivamo

ϕ⋅Ω

=Vx .

Kad promatramo kao na slici 8-14 vrh kraka propelera (gledamo u vrh osi y ) onda je

RV

t Ω=φtan

pa sve točke u presjeku x vrtložne plahte imaju istu apscisu

ϕφϕϕ ⋅=⋅Ω

=⋅Ω

= tRRVRVx tan

Zato su parametarske jednadžbe putanje točke noseće linije na udaljenosti r od osi propelera:

ϕϕ

ϕφ

sincostan

rzryRx t

==

⋅=

Istu takvu spiralnu putanju ima i točka na izlaznom rubu kraka propelera, samo je njena

udaljenost od x osi veća

( )22 0.75 cosr r c β′ = +

i ona ima već jedan polazni kut

00.75 cosarctan c

rβϕ =

pa su jednadžbe spiralne putanje točke izlaznog ruba

( )00.75 sin tancossin

tx c Ry rz r

β φ ϕ ϕϕϕ

= + ⋅ −

′=′=

Usvajamo da vrtložna nit leži na toj spirali. Za različite vrijednosti r imamo različite vrtložne

niti ( Rrrh << ). Parametar r pokazuje o kojoj se vrtložnoj niti radi, a parametar ϕ koju

točku na toj vrtložnoj niti promatramo.

22

8.4.2 Inducirana brzina u kontrolnoj točki

Koordinatni sustav postavili smo na slici 8-14 П vrtlog intenziteta jΓ segmenta "j" inducira

u kontrolnoj točki segmenta "k" brzinu koja je zbroj tri dijela: inducirana brzina od centralnog

dijela i inducirane brzine od dva kraka П vrtloga.

U poglavlju 2.3.2 izveli smo na temelju Biot - Savartovom zakonu da je inducirana

brzina u točki C od srednjeg dijela П vrtloga

( ) 21212121

21

4rr

rrrrrrrrVAB ×

⋅++Γ

=π

i napravili smo rutinu ind.m koja računa induciranu brzinu u točki C od segmenta AB.

Ulazni parametri su koordinate točaka A, B i C.

x

z

RV

VΩ

Rωφ

β

n

C

h

Slika 8-15 Položaj brzine zraka RV u odnosu na profil propelera

Po istom obrascu možemo izračunati induciranu brzinu od dijelova AD i BE krakova П

vrtloga koji se nalaze na kraku propelera (slika 8-16). Inducirana brzina u kontrolnoj točki C

jednaka je zbroju induciranih brzina:

23

• od pravocrtnog dijela AB vrtloga

• od pravocrtnog dijela AD

• od pravocrtnog dijela BE,

• od vrtložne niti iz točke D i

• od vrtložne niti iz točke E

Inducirane brzine od vrtložnih niti računa rutina nit.m. On izračunava induciranu brzinu od

jedne vrtložne niti u tragu propelera. Ulazni parametar su koordinate točke na izlaznom rubu

kraka i koordinate kontrolne točke. U toj rutini izračunate su točke na svakih 010=Δϕ , a

između tih točaka je pretpostavljeno da je vrtložna nit pravocrtna, te je na nju primijenjena

rutina za induciranu brzinu od pravocrtnog segmenta.

C

A By

z

0r

D E

Slika 8-16

Inducirana brzina u točki C

• od vrtložne niti iz točke E ( ) Γ⋅CEK ,,… ,

• od vrtložne niti iz točke D ( ) Γ⋅− CDK ,,…

znak - zbog obrnutog smjera vrtloga duž niti iz točke D u odnosu na vrtlog na niti iz točke E.

Konačno ukupna inducirana brzina u kontrolnoj točki Ck od jΠ vrtloga

24

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΓΓΓΓΓΔ ⋅−⋅−⋅+⋅+⋅= ……nitindnitindind rutinaCEK

rutinaCEBK

rutinaCDK

rutinaCDAK

rutinaCBAKV jk ,,,,,,,,,,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] jjk CEKCEBKCDKCDAKCBAKV Γ⋅−−++=Δ ,,,,,,,,,, ……

jjkjk KV ΓΔ ⋅=

gdje je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CEKCEBKCDKCDAKCBAKEDCBAK jk ,,,,,,,,,,,,,, …… −−++= .

Rutina vrtlog.m računa vektor jkK za zadane koordinate kontrolne točke Ck i zadani

segment "j" (poznate koordinate točaka: A, B, D i E)

S obzirom da mi promatramo samo slučaj kad je brzina leta u pravcu ose propelera, na

drugom i trećem kraku bit će isti sustav vrtloga Γ1, Γ2, ... , Γj, ... Γm kao na prvom kraku, ali

će koeficijenti jkK biti različiti. Koordinate kontrolne točke C su iste, a koordinate točaka A,

B, D i E se okreću za Nπ2 gdje N broj krakova propelera. Ako označimo koordinate točke

A' na prvom kraku sa

[ ]TAAA zyx ′′′

onda točka A" na drugom kraku ima koordinate:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′′′′′

A

A

A

x

A

A

A

zyx

Nzyx

π2L

i isto tako za koordinate B", D" i E". Koordinate točaka na trećem kraku nalazimo kad

koordinate s drugog kraka još jednom okrenemo za Nπ2 . Tako konačno dobivamo

induciranu brzinu u kontrolnoj točki Ck od tri П vrtloga koji imaju intenzitet jΓ na tri kraka

simetrično raspoređena

( ) ( ) ( )[ ] j

kj

jjkjjjjkjjjjkjjjk

K

EDCBAKEDCBAKEDCBAKV Γ⋅′′′′′′′′′′′′+′′′′′′′′+′′′′= ,,,,,,,,,,,,

k jk j jV K= ⋅Γ

i konačno kad zbrojimo u kontrolnoj točki Ck inducirane brzine od svih vrtloga dobivamo

ukupnu induciranu brzinu u kontrolnoj točki

25

1

j m

k jk jj

V K=

=

= ⋅Γ∑

8.4.3 Zadovoljenje rubnih uvjeta

U kontrolnoj točki kC brzina optjecanja bit će zbroj brzine iz beskonačnosti i inducirane

brzine indR VV + , a komponenta te brzine koja je okomita na ravan segmenta kontrolne točke

mora ispunjavati rubni uvjet

( ) 0=⋅+ kindR nVV

Kako je

∑=

=

⋅=mj

jJjkkind KV

1

Γ

mora biti

01

=⋅+⋅ ∑=

m

jjjkkkR KnnV Γ

ili

( ) Rk

m

jjkjk VnKn ⋅−=⋅∑

=1

Γ

Ako uvedemo matrice

Komponente orta normale su [ ]Tkkk ββ sin0cos−=n , a rezultutjuće brzine

[ ]rV ⋅= Ω0RV pa je skalarni produkt na desnoj strani

kk rV βΩβ sincos +−

Uvedimo matrice

kkk

kjkkj

rVEKnA

βΩβ sincos +−=

⋅=

Tako dobivamo jednadžbe

k

m

ijkj EA =∑

=1

Γ

S obzirom da imamo m kontrolnih točaka (na svakom segmentu po jednu) imat ćemo i m

ovakvih jednadžba sa m nepoznatih Π vrtloga mΓΓΓ ,,, 21 … .

26

8.4.4 Inducirana brzina na nosećoj liniji

Kad smo odredili svih m vrtloga možemo izračunati induciranu brzinu na 41 tetive segmenta

"i"

0

0

===

c

c

c

zry

x

od svih m Π vrtloga (računajući i sve krakove). Postupak je isti kao kad smo računali

induciranu brzinu u kontrolnoj točki. Neka je to vektor indV . koji ima komponente ( )xindV i

( )zindV u pravcu osi x i z. Brzina optjecanja profila u presjeku jest

indRE VVV +=

gdje je kao što znamo rVVR ×Ω+= . Napadni kut profila bit će

α β θ= −

gdje je θ kut koji čini brzina optjecanja EV s ravninom rotacije propelera (pravac ose z).

( )( )

tan ind x

in z

V Vr V

θ+

=Ω +

Vβ

α

EV

RVφ

indV

ψ

( )xindV

( )zindV

x

z

Ω

rΩ

Slika 8-17

Inducirana brzina na sredini segmenta AB noseće linije od Π vrtloga ABDE bit će:

27

( ) ( ) ( ) ( ) jjjjjk

rutinaSEK

rutinaSEBK

rutinaSDK

rutinaSDAKV Γ⋅−Γ⋅−Γ⋅+Γ⋅=Δ ……

nitindnitind,,,,,,,,

gdje je S točka na sredni potega AB "k"-og segmenta. Dio AB od bilo kog vrtloga "j" ne

inducira brzinu jer točka S leži na tom pravcu (pravac noseće linije). Zato je napravljena

rutina kraci.m koja poziva rutine ind.m i nit.m te izračunava traženu induciranu brzinu

samo za krake od "j"-og Π vrtloga. Zbrajanjem tih induciranih brzina za sve vrtloge (od

1=j do mj = ) dobivamo konačno induciranu brzinu

28

8.5. Primjer

Jedan vrlo jednostavan oblik dvokrakog propelera je "Purdue" propeler na slici 8.4-1. On ima

konstantnu tetivu, nema strijelu a ima simetričan profil NACA 0010.

crcRc h 5.030508.0 ===

Kut uvijanja 4320 r*)(1271.8/16-r*(1351.5/8)+r*(338.8/4)-r*(105.1/2)-86.3=β

Režim rada je

sokrNsmV 4.5735 ==

U direktoriju programi\Propeler nalazi se program Elisa2.m u MATLABu. On računa u

prvom dijelu ( )rΓ , zatim u drugom dijelu induciranu brzinu ( )rVind a na temelju inducirane

brzine određuje se kut ψ . Konačno u trećem dijelu s tim kutom izračunava se TC i PC .

Program koristi rutinu vrtlog.m za izračun inducirane brzine u kontrolnoj točki C, od

jediničnog П vrtloga jednog kraka i od istog П vrtloga drugog kraka. Za izračun inducirane

brzine u točki na nosećoj liniji program koristi rutinu kraci.m koja je ustvari ista kao i rutina

vrtlog.m samo ne računa induciranu brzinu od centralnog dijela jer je ona nula. Rutine

vrtlog.m i kraci.m , a one za izračunavanje inducirane brzine od pravocrtnih dijelova П

vrtloga koriste rutinu ind.m, a za izračunavanje induciranih brzini od vrtložne niti u tragu

propelera koriste rutinu nit.m.

S tim programom Propeler.m dobiveni su dijagrami na slikama 10, 11 i 12

yΩ

z

C

1A 1B

1D 1E

2A2B

2E 2D

Slika 8-18. Pogled spreda u propelera "Purdue"

29

Slika 8-19

Slika 8-20

30

Slika 8-21