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M. Usai Circuiti digitali 7_0 1

7.0 Introduzione

Nel capitolo 6 sono state prese in esame la definizione e le proprietà della trasformata discreta nel tempo di Fourier : X(ejω), essendo ω una variabile continua nel dominio della frequenza:

La trasformata di Fourier è molto utile per analizzare una grande varietà di segnali e sistemi di interesse teorico.

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La pulsazione discreta nel tempo ω [rad] e la pulsazione continua nel tempo Ω[rad/sec] sono legate da: ω=ΩT o Ω= ω/T

7.Trasformata discreta di Fourier

( ) ( )j j n

nX e x n eω ω∞ −

=−∞= ∑


Però la maggior parte delle elaborazioni pratiche dei segnali digitali è fatta con i computer dove:

• non si può operare con ω continua nella frequenza

• e

• non si può dare in ingresso o memorizzare una sequenza di durata infinita x(n).

*****************************************************************************************************************************************************

La pulsazione discreta nel tempo ω [rad] e la pulsazione continua nel tempo Ω [rad/sec] sono legate da:ω=ΩT o Ω= ω/T

( ) ( )j j n

nX e x n eω ω∞ −

=−∞= ∑


Quindi in generale per le sequenze di dati reali non si può calcolare la trasformata di Fourier, definita per segnali x teorici, per cui occorre definire una nuova trasformata nota come:

la Trasformata Discreta di Fourier DFT,definita per un segnale con un numero N limitato di campioni; x(n), nelle frequenze ωk con k=1,2,…,N uniformemente distanziate intorno al cerchio unitario.

Questa trasformata largamente usata, è invertibile e presenta ulteriori utili proprietà. In particolare la moltiplicazione di due DTF corrisponde alla convoluzione delle relative sequenze nel dominio del discreto, ma questa è una convoluzione circolare e deve essere valutata in maniera appropriata.


I metodi più pratici dell’analisi spettrale sono basati sulla DFT, sia diretta che inversa.

Esistono algoritmi veloci per il loro calcolo, in particolare:

• l’algoritmo della trasformata veloce di Fourier Fast Fourier Transform FFT e

• gli algoritmi della convoluzione veloce basati sulla FFT che possono essere usati per implementare i filtri FIR.


7.1 Derivate proprietà della DFT

Data la sequenza x(n) per tutti i valori di n, la sua trasformata discreta nel tempo di Fourier (DTFT) è data dalla espressione

'( ) ( ) ( ) . (7.1.1)j jn

nX X e x n eω ωω

∞−

=−∞

= = ∑(si noti che la sommatoria è estesa ad un numero infinito di termini).Se dunque si prendono solo N campioni x(n) per n = 0,1, 2, 3,….,N-1, e si calcolano solo N campioni di X’(ω) per ω=kω0 e per K=0, 1,2,…, N-1, con:

02 , (7.1.2)Nπω =

Si definisce la trasformata discreta DFT nella forma

(si noti che la sommatoria è estesa ad un numero finito di termini N).

0

2 21 1 1

00 0 0

' ( ) ( ) ( ) ( ) , (7.1.3)nk

N N Njnk jjnk N NN

n n nX k x n e x n e x n e

π πωω

− − −− −−

= = =

⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑


o nella notazione più conveniente:

Questa è la definizione della Trasformata discreta di Fourier DFT.

Risulta ragionevole pensare che ciascuna trasformata DFT sia invertibile, poichéN campioni di x(n) generano N campioni di .

Così la Trasfomata inversa della DFT é data da:

( )X k%

N-1-kn

k=0

1x(n)= X(k)W , n=0,1,...,N-1 (7.1.6)N ∑ %%

dove = x(n) nell’intervallo n=0,1,…N-1.Questa relazione è facilmente dimostrabile sostituendo la (7.1.4) nella (7.1.6).

( )x n%

2-1 -1-0

0 0

2-

' ( ) ( ) ( ) ( ) , 0, 1, ..., -1 , (7.1.4)

dove : =

nkN Nj knN

Nn n

jN

X k x n e X k x n W k N

W e

π

π

ω= =

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑%


Infatti essendo:

sostituendo l’espressione di nella relazione della antitrasformata:

si verifica che = x(n)

La durata finita della sequenza di campioni fa sorgere dei problemi:nel mettere in relazione con x(n) per tutti gli n e anchenel mettere in relazione con X’(ω),ma la DFT è invertibile.

N-1 N-1 N-1-kn kn -kn

k=0 k=0 n=0

1 1x(n)= X(k)W = x(n)W W , n=0,1,...,N-1 (7.1.6)N N

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑%%

nk2πN-1 N-1-j knNN 0

n=0 n=0

2π-jN

X' (kω )= x(n) e = X(k) = x(n)W , k=0, 1, ...,N-1 , (7.1.4)

dove : W= e

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑%

( )X k%

( )x n%

( )x n%( )X k%


Proprietà della DFT

Le proprietà delle DFT sono analoghe a quelle della trasformata z e della DTFT con alcune interessanti e importanti differenze. In particolare gli sfasamenti e le convoluzioni relative alla DFT sono circolari.Per le proprietà delle DTFT, si utilizzerà il simbolo ↔ per indicare una corrispondenza duale di DFT.

Linearità

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) (7.1.7)Bx n Cx n BX k CX k+ ↔ +% %% %

con B e C costanti arbitrarie, assumendo che entrambe le sequenze e abbiano la stessa lunghezza N (se non sono della stessa lunghezza, una o entrambe le sequenze possono essere zero-padded prima di sommarle come si vedrà nel paragrafo successivo)

1( )x n% 2 ( )x n%


PremessaPer poter correlare i campioni in numero limitato sarà usato un operatore matematicodetto modulo N , che consente di utilizzare per la convoluzione circolare gli indici dei soli campioni disponibili, come si vedrà in dettaglio per la convoluzionecircolare:

(r)mod N = r ± i N per i intero = 0÷N-1, tale che sia 0≤(r)modN<N.

Esempio se N=5 per r = -i per i= 0÷N-1 si ha:

i= 0 → (r)mod N =-0±i5 → 0 ±i⋅5 = 0,5,-5,… → 0≤ 0 < N → 0

i=1 → (r)mod N = -1±i5 → -1 ±i⋅5 =-1, 4,-6,… → 0≤ 4 < N → 4

i=2 → (r)mod N = -2±i5 → -2 ±i⋅5 =-2, 3, 7,-10,… → 0≤ 3 < N → 3

i=3 → (r)mod N = -3±i5 → -3 ± i ⋅5 = -3, 2, -8,… → 0≤ 2 < N → 2

i=4 → (r)mod N = -4±i5 → -4 ± i⋅5 = -4,1,-9,… → 0≤ 1 < N → 1

Gli indici così generati con il modN saranno gli unici utilizzati: essi corrispondono ai soli campioni esistenti.


Ritardo

dove l’operatore modulo N implica (r)mod N = r±iN per i intero, così che 0≤(r)modN<N.

Essendo per la (7.1.5) ,W=e-j2π/N , si nota che:

• il secondo membro della (7.1.8) è una traslazione lineare di fase di pari a (-2πm/N)k,

• mentre il primo membro è una traslazione circolare di pari a m campioni.

Per esempio, se m=1 allora sostituisce , sostituisce , sostituisce etc..

ModulazioneIl ritardo e la modulazione sono proprietà duali che stabiliscono che una

traslazione circolare in un dominio comporta una moltiplicazione per una sinusoide complessa in un altro dominio poiché W=exp(-j2π/N).

(7.1.8) (k)X~)(~mod

kmN Wmnx ↔−

)(~ kX

)(~ nx

(7.1.9) .)(~)(~mod

lnNlkXnxW −↔−

( 1)x N −% (0)x% (0)x%(1)x% (2)x%(1)x%


Convoluzione

é il prodotto di due DFT di lunghezza N.

Ci si aspetta che questo corrisponda alla convoluzione di e , e la convoluzione comporta una inversione temporale e uno sfasamento di una delle sequenze. Quindi poiché nelle DTF gli sfasamenti sono circolari,

sarà dato da:

Questa è chiamata convoluzione circolare, essa è diversa dalla convoluzionelineare che si ottiene dalla moltiplicazione delle trasformate z oppure delle DTFT.(Per esempio in figura 7.1 si mostra che la convoluzione circolare di due impulsi quadrati a e b risulta circolarmente sovrapposta e coincide con un impulso triangolare sovrapposto come in figura 7.1 c.)

(7.1.10) )(~)(~)(~210 kXkXkX =

)(~1 nx )(~

2 nx

)(~0 nx

(7.1.11) 1-N0,1,...,n ,)(~)(~)(~ 1

0mod210 =−= ∑

−

=

N

mNmnxmxnx


Figure 7.1 Convoluzione circolare di sequenze di N punti delle sequenze (a) e (b) e della sequenza risultante (c)


r±iN1 0

x1(0) · x2(0-0) mod8 = 0 0±i8 → 01 1

x1(1) · x2(0-1) mod8 = 1 -1±i8 → 71 1

x1(2) · x2(0-2) mod8 = 1 -2±i8 → 61 1

x1(3) · x2(0-3) mod8 = 1 -3±i8 → 5

N-10 1 2 modN

m=0x (0)= x (m)x (0-m) =4∑% % %

Esempio di generazione dei campioni della convoluzione circolare (fig 7.1)

(r)modN = r±iN 0≤ (r)modN <N per N=8 0≤ r <8

r±iN1 1

x1(4) · x2(0-4) mod8 = 1 -4±i8 → 40

x1(5) · x2(0-5) mod8 = 0 . .. . x1(5)= x1(6)=x1(7)= x1(8)

0

x1(8) · x2(0-0) mod8 = 0

0Calcolo di x (0)%


r±iN1 0

x1(0) · x2(1-0) mod8 = 0 1±i8=11 1

x1(1) · x2(1-1) mod8 = 0 0±i8=01 1

x1(2) · x2(1-2) mod8 = 1 -1±i8=71 1

x1(3) · x2(1-3) mod8 = 1 -2±i8=6

N-10 1 2 modN

m=0x (1)= x (m)x (1-m) =3∑% % %

(r)modN = r±iN 0≤ (r)modN <N per N=8 0≤ r <8

r±iN1 1

x1(4) · x2(1-4) mod8 = 1 -3±i8=50

x1(5) · x2(1-5) mod8 = 0 . .. . x1(5)= x1(6)=x1(7)= x1(8)

0

x1(8) · x2(1-0) mod8 = 0

0Calcolo di x (1)%


Convoluzione lineare

La convoluzione di due funzioni continue f(t) ed h(t) è matematicamente definita come:

Questo tipo di operatore matematico risulta particolarmente utile nello studio della risposta temporale di sistemi lineari e tempo invarianti sollecitati con un qualsiasi segnale di ingresso e per i quali sia nota la risposta all’impulso.

La funzione g(n) risulta quindi l’uscita di un sistema caratterizzato da una risposta all’impulso pari ad h(t) e sollecitato in ingresso con un segnale f(t).

Risposta all’impulso

∫∞+

∞−

−⋅=∗= )()()()()( ττ dthtfthtfng


Se si considera la funzione f(t) non continua ma campionata con una spaziatura temporale pari a ∆t, la funzione f(t) sarà rappresentabile con una serie di impulsi di ampiezza pari al valore assunto dalla funzione stessa nell’istante di campionamento.

Ognuno di questi impulsi genera in uscita una risposta simile alla funzione h(t) caratterizzante il sistema, ma di ampiezza pari al valore assunto dalla funzione stessa nell’istante di campionamento.

Poiché il sistema è lineare, si ha che il valore dell’uscita ad un certo istante t0sarà dato dalla somma dei valori assunti, in quello stesso istante, dalle risposte del sistema a tutti gli impulsi applicati in precedenza:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

n

nnn

n

nnn

n

nn tthtfhtftgtg −⋅=⋅== ∑∑∑

+∞=

−∞=

+∞=

−∞=

+∞=

−∞=0000 )( τ


In un istante generico t si avrà che:

Facendo tendere a zero ∆t=t-tn , la funzione f(t) diventa continua e l’equazione si trasforma nell’espressione della convoluzione di due funzioni continue f(t) e h(t) con la sostituzione dell’operatore integrale all’operatore sommatoria e l’introduzione di una variabile fittizia per l’integrazione.

( ) ( )n

n

nn tthtftg −⋅= ∑

+∞=

−∞=

)(


Esempio di convoluzione lineare di due segnali


Nei sistemi digitali, i segnali vengono rappresentati sotto forma di sequenze di lunghezza finita e la convoluzione di due sequenze é definita nella forma :

f(m) sequenza di ingresso definita per - ∞≤ m ≤∞h(m) sequenza descrittiva della risposta all’impulso del sistema in esame per

- ∞ ≤ m ≤ ∞

La determinazione dei valori assunti dai vari campioni della funzione g(n) può essere effettuata attraverso i seguenti quattro passi:

1) Riflessione della sequenza h(m) intorno all’asse delle ordinate di tutti i valori, per ottenere la funzione h(-m)

2) Traslazione della sequenza h(-m) verso il valore n desiderato per ottenere così la sequenza h(n-m)

3) Esecuzione di tutti i prodotti f(m)·h(n-m), campione, per un determinato valore di n

4) Somma di tutti i prodotti sull’indice m al fine di ottenere il valore della funzione g(n) relativo ad un determinato valore dell’indice n.

∑∞+

−∞=

∞≤≤∞−⋅=m

mnhmfng n- )()()(


Quindi nella convoluzione linearel'operazione base comporta che f(n) sia moltiplicato per h(m) invertito e traslato linearmente, per poi sommare i valori dei prodotti. Per ottenere i valori successivi della sequenza che rappresenta la convoluzione, le due sequenze sono successivamente traslate l'una rispetto all'altra.Come esempio si considerino le due sequenze riportate in tabella di lunghezza N=8:

In figura sono graficamente illustrate le fasi di calcolo del prodotto di convoluzione.

00005555f(m)

12345678h(m)

76543210m


La sequenza cosìottenuta, di lunghezza pari a:

N1+N2-1=15,

assumerà i valori riportati nella seguente tabella.

Quella così definita viene chiamata:

convoluzione lineare

e, per sequenze di lunghezza diversa N1 ed N2 fornirà una sequenza di campioni N1+N2-1.014

013

012

011

510

159

308

507

706

905

1104

130=(75+25)3

105=(75+30)2

75=(40+35)1

40=(8*5)0

g(n)n


Convoluzione circolare

Se le sequenze presentano un numero di campioni finito la convoluzione può essere calcolata mediante l’operatore della DFT inversa. Questo calcolo è noto come convoluzione circolare per la periodicità dell’operatore DTF, infatti, la trasformata di una sequenza temporale discreta, periodica e lunghezza finita èanch’essa periodica nel dominio della frequenza.

La convoluzione circolare di due sequenze discrete e periodiche di periodo N èdata da:

con g(n) anch’essa periodica di periodo N.Dal punto di vista sia rappresentativo che computazionale, è molto diffuso in questo contesto l’utilizzo dei registri circolari.

∑−

=

−≤≤−⋅=1

01n0 )()()(

N

mNmnhmfng


Quindi per la convoluzione circolare dove il numero dei campioni élimitato, si può immaginare di:

• riportare la I° sequenza di N punti esatti, intorno alla circonferenza della base di un cilindro in senso orario.

• La II° sequenza di N punti, invertita rispetto al tempo, viene anch'essa riportata sulla circonferenza della base di un cilindro in senso antiorario.

Se si immagina di mettere uno dei due cilindri all'interno dell'altro, i successivi valori nella convoluzione possono essere ottenuti moltiplicando i valori sul primo cilindro per i corrispondenti valori sul secondo cilindro e facendo poi la somma dei prodotti risultanti.

Per generare i valori successivi della convoluzione, si ruota ogni volta un cilindro rispetto all'altro di una posizione corrispondente allo sfasamento tra due punti.


Restano sempre valide le modalità di calcolo descritte per la convoluzionelineare, per cui il caricamento di questi registri:

• si effettua partendo da una prefissata posizione iniziale e caricando, secondo il verso orario, gli N campioni della sequenza f(n) ed

• in modo antiorario quelli della sequenza h(n) ottenendo in pratica lah(-n), come illustrato nella figura dell’esempio riportato di seguito.

Il primo valore di g(n) si ottiene eseguendo il prodotto tra i campioni in corrispondenza radiale nei due registri circolari e sommando poi tutti i prodotti.

Per ottenere il secondo valore di g(n) è necessario prima far ruotare in senso orario il registro interno corrispondente alla sequenza h(n), e poi effettuare la somma dei prodotti tra i campioni radialmente corrispondenti, si prosegue in questo modo fino a quando il registro interno non avràeffettuato una rotazione completa.


Esempio di convoluzione circolare

Siano date le sequenza f(n) h(n) riportate in tabella:

Registri circolari • r. c. esterno è fisso• r. c. interno ruotante in senso orario Convoluzione circolare

2.632.752.963.384.225.905.424.49g(n)

00.010.020.040.080.160.320.64h(n)

22222555f(n)

76543210n

Settore di partenza


Quindi i campioni della sequenza di convoluzione si ottengono eseguendo:

• il prodotto tra i campioni in corrispondenza radiale nei due registri circolari e

• sommando poi tutti i prodotti. Si procede in questo modo sino a quando il registro interno non avrà

effettuato una rotazione completa.

Il calcolo della convoluzione circolare richiede che le due sequenze siano di uguale lunghezza.

Per ottenere, con la convoluzione circolare, gli stessi risultati della convoluzione lineare, è necessario prolungare le due sequenze con un certo numero di zeri ( zero padding).


Esempio: la sequenza 1 ha 8 campioni e la sequenza 2 ha 16 campioni

• la sequenza della convoluzione lineare avrà 23 (8+16-1) campioni

• la sequenza della convoluzione circolare avrà lo stesso numero di campioni se aggiungiamo 15 (23-8) zeri alla sequenza 1 e 7 (23-16) zeri alla sequenza 2.

In generale se le due sequenze sono di lunghezza N1 ed N2, • la convoluzione lineare sarà una sequenza con M=N1+N2-1e quindi• la convoluzione circolare sarà una sequenza con lo stesso numero di

campioni M delle sequenze, se, prima di applicare l’operatore di convoluzione circolare si aggiungono:- un numero di zeri pari a M-N2 alla sequenza 2 - un numero di zeri pari a M-N1 alla sequenza 1


Moltiplicazione

che è il duale della proprietà di convoluzione.

Quindi la moltiplicazione in ciascun dei domini DFT (tempo o frequenza) implica la convoluzione (circolare) nell’altro dominio.

Relazione di Parseval

Coniugazione

o equivalentemente

(7.1.12) ,)(~ )(~ 1 )(~ )(~ 1

0mod2121 ∑

−

=−↔

N

lNlkXlX

Nnxnx

1 1 22

0 0

1 ( ) ( ) . (7.1.13)N N

n kx n X k

N

− −

= =

=∑ ∑ %%

(7.1.14) ,)(*~)(*~mod NkXnx −↔

1.-N2,..., 1, 0,k ),(*~)(*~ =−↔ kNXnx


Serie discrete di Fourier

La rappresentazione della serie discreta di Fourier (Discrete Fourier SeriesDFS) consiste nell’utilizzare le funzioni e definite nella (7.1.4) e (7.1.6) senza ridurre il campo di definizione dei valori n e k nell’intervallo 0, 1, …, N-1, in questo caso e diventano sequenze periodiche con periodo N (facilmente dimostrabile, tenendo presente che WN=1). Questa è chiamata rappresentazione serie discreta di Fourier (DFS) di

Per esempio, le limitazioni del mod N nelle relazioni DFT in (7.1.8), (7.1.9), (7.1.11), (7.1.12), (7.1.14) possono essere ricondotte alle corrispondenti relazioni DFS.Le convoluzioni in (7.1.11) e (7.1.12) sono quindi chiamate convoluzioniperiodiche (periodic convolutions). In particolare la proprietà della coniugazione in (7.1.14) diventa in termini di DFS semplicemente:

( )x n% ( )X k%

( )X k%( )x n%

*( ) *( ) (7.1.15)x n X k↔ −%%

( )x n%


Segnale a valore reale

Se è reale, in base alla (7.1.15) e al fatto che x(n) = x*(n) si ha che:

cioè è una sequenza simmetrica coniugata. Nella tabella 7.1 sono riportate altre proprietà di simmetria relative alla DFT, dove per semplicità sono state espresse in termini di DFS.

Tabella 1 DFT (DFS) Proprietà di simmetria

( )x n%

*( ) *( ), (7.1.16)X k X k= −% %( )X k%

Reale Parte reale pari;Parte immaginaria dispari

Reale e pari Reale e pari

Reale e dispari Immaginario e dispari

=0 per k pari

)(~ nx − )(~ kX

)2/(~)(~ Nnxnx +−= )(~ kX


Per la DFS (serie discreta di Fourier)

una sequenza pari è quella che soddisfa semplicemente:

= oppure =

mentre una sequenza dispari soddisfa:

= - oppure = - .

)(~ nx )(~ nx − )(~ kX )(~ kX −

)(~ nx )(~ nx − )(~ kX )(~ kX −


.

Queste definizioni devono essere modificate per la DFT (trasformata discreta di Fourier), per tener conto del fatto che l’indice n è vincolato ad assumere un numero di valori finito, 0≤ n < N-1 perciò:

pari 1-N ., . . 2, 1,k k),-(NX~(k)X~

o1-N, . . . 2, 1,n n),-(Nx~(n)x~

⎪⎭

⎪⎬

⎫

==

==

dispari

0.(0)X~ o 0(0)x~con 1-N ., . . 2, 1,k k),-(NX~(k)X~

o 1-N, . . . 2, 1,n n),-(Nx~(n)x~

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==

=−=

=−=

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