• L’ interferogramma misurato Wi non e’ una funzione continua, ma campionata su un insieme di punti a posizioni xi dello specchio mobile, separate da Δx

• Quindi si puo’ calcolare solo una trasformata di Fourier discreta.• Esiste un insieme di frequenze σi alle quali la trasformata

discreta di Fourier dell’ interferogramma campionato e’esattamente uguale alla trasformata di Fourier dell’interferogamma, cioe’ allo spettro vero. Queste frequenze sono

• A queste frequenze

• Lo spettro campionato e’ ambiguo: ci sono due frequenze possibili che possono generare esattamente gli stessi segnali diinterferenza nei punti xi .

Campionamento

,...2,1,02

±±=Δ

= nx

nnσ

( ) ( ) ( ) xxmxmWS n

N

Nmns ΔΔΔ= ∑

−=

πσσ 4cos

( ) ( )xmmxmxmx

Δ=+Δ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

Δ+ πσππσσπ 4cos24cos

24cos l

l

• Per ogni frequenza dello spettro campionato esistono infinite altre frequenze che generano uno spettro indistinguibile dal primo.

• Quindi lo spettro campionato sara’ corretto solo nel primo intervallo, poi si ripetera’ uguale.

• L’ intervallo spettrale libero e’ quindi

Campionamento( )

( ) ( ) ( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ+=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ΔΔΔ=

Δ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

Δ+

∑−=

xSS

xxmxmWS

xmxmx

nsns

n

N

Nmns

24cos

4cos2

4cosl

l

σσπσσ

πσσπ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Δ∈

xn 21,0σ

• Inoltre:

• quindi

Aliasing( )

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ Δ+

Δ=ΔΔ+=ΔΔ−−=

=ΔΔ−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ Δ−

Δ

xmx

xmmxmm

xmmxmx

σπσππσππ

σππσπ

414cos4cos4cos

4cos4

14cos

• Quindi, all’ interno dell’intervallo spettrale libero, lo spettro campionato si rifletteattorno alla frequenza di Nyquist:

xN Δ=

41σ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Δ+Δ

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Δ−Δ

σσx

Sx

S ss 41

41

xΔ41

xΔ21 σ

S

• Si noti che σN e’ meta’ della freq. di campionamento σC=1/(2Δx).• Questo fenomeno e’ caratteristico di tutti i segnali campionati. Da

segnali campionati ad intervalli Δx non c’e’ modo di sapere se il segnale proviene dalla frequenza σ o dalla frequenza σN+(σN-σ).

• E’ quindi necessario rimuovere con un filtro passa-basso molto efficiente tutte le frequenze superiori a quella di Nyquist.

• Esempio tipico: musica digitale. Nei CD il suono e’ campionato ad una frequenza di 44kHz. In questo modo, tutte le frequenze udibili dall’ orecchio umano (10Hz-20 kHz) sono inferiori alla frequenza di Nyquist di 22kHz. Solo frequenze superiori a 22kHz potrebbero contaminare le frequenze udibili. Ma sono inudibili, e quindi possono essere rimosse con un filtro passa-basso opportuno, che taglia le frequenze inudibili e lascia inalterate quelle udibili.

Aliasing

xN Δ=

41σ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ Δ+Δ

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Δ−Δ

σσx

Sx

S ss 41

41

• L’ aliasing negli spettri FTS deve essere ridotto in due modi:– Utilizzando filtri passa basso ottici

opportuni– Infittendo il passo di

campionamento Δx finche’ la frequenza di Nyquist diventa superiore a quella della massima frequenza contenuta nel segnale da analizzare.

• Il problema e’ particolarmente sentito nel lontano IR, sub-mm e mm, dove la radiazione da analizzare ha normalmente intensita’ molto inferiore a quella di frequenze piu’ alte (IR e visibile). Queste ultime devono quindi essere rimosse con filtri passa-basso estremamente efficienti.

Aliasing

mm IR Vis

Logν

LogB(ν)

• Esempio tipico: misura dello spettro della CMB:• L’ intensita’ di un corpo nero a 2.728K e’ 100 volte

inferiore a quella di un corpo nero a 273K nella regione di Raileigh-Jeans, ma e’ enormemente inferiore nella regione di Wien.

• Esercizio: ricavare il fattore di reiezione che deve avere un filtro passa-basso per permettere la misura al 10% della brillanza CMB a σ=5,10 e 20 cm-1, in presenza di un fondo di origine strumentale a 273K con emissivita’ del 5%.

•

Aliasing

• Ma come si fa la divisione del fascio in due da ritardare e ricombinare ?

• Ci vuole un beamsplitter.

• Soluzione piu’semplice: film dielettrico

• Indice di rifrazione n, angolo di incidenza θ, angolo di rifrazione θ’.

• Trattazione identica al Fabry-Perot

Il beamsplitter

rrt2

r3t2

r5t2

r7t2

t rtr2t

t2

r2t2

r4t2

r6t2

n

• Come per il FP lo sfasamento tra un raggio e il successivo e’

• Il campo riflesso totale sara’ la somma di tutti i campi riflessi:

Il beamsplitter

rrt2

r3t2

r5t2

r7t2

t rtr2t

t2

r2t2

r4t2

r6t2

n

σθπδ 'cos4 nd=

( ) ( )( ) ...32cos

22cos2cos2cos(25

232

+++

+++++−=

δπσ

δπσδπσπσ

cttr

cttrctrtctrEE o

La riflessione in un mezzo con n inferiore di quello dello specchio provoca uno sfasamento di π(equazioni di Fresnel)

• E passando alla notazione esponenziale

• Analogamente si trovail campo trasmesso

Il beamsplitter( ) ( )

( ) ...32cos

22cos2cos2cos(25

232

+++

+++++−=

δπσ

δπσδπσπσ

cttr

cttrctrtctrEE oR

( )[ ]( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

=

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+−=

=+++++−=

=+++++−=

δ

δπσ

δ

δπσ

δδπσ

δδδδπσ

δδδδπσ

i

icti

oR

i

icti

oiicti

o

iiiictio

iiiictioR

erereEE

ererreE

eretreE

erereretreE

etretretretreEE

22

2

22

222

3624222

42632422222

11

111

111

...11

....)1(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

= δπσ

icti

oT erteEE 2

22

1

Il beamsplitter

rrt2

r3t2

r5t2

r7t2

t rtr2t

t2

r2t2

r4t2

r6t2

n

( ) ctioi

icti

oR eErerereEE πσδ

δπσ 2

22 ˆ

11

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

=

ctioi

ctioT eEt

erteEE πσ

δπσ 2

2

22 ˆ

1=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

ctioeE πσ2

Specchio fisso

Specchio Mobile

Rivelatore

Beamsplitter

Sorgente

Ambedue i fasci vengono sia riflessi che trasmessi dal beamsplitter prima di arrivare al rivelatore

treEE ctio

ˆˆ2 2Riv

πσ=

• L’ intensita’ trasmessa fino al rivelatore e’quindi

• Che diventa nulla quando

Il beamsplitter

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )22

2

Riv242

222

Riv

242

422

2422

422

2

2

2

2

222

2**22*RivRivRiv

cos21cos1)1(8

cos21cos1)1(8

cos21cos124

1114

1111

114

ˆˆˆˆ4

RRRRII

rrrrII

rrtrE

rerereetrE

ert

ert

erer

ererE

tretreEEEI

oo

oii

ii

o

iii

i

i

i

o

ctictio

+−

−−=→

+−

−−=

→+−

−=

++−

++−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

=

===

−

−

−−

−

−

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδδ

δ

δ

δ

πσπσ

'cos2'cos41cos

θσπσθπδ

ndmmnd mm =→=→=

'cosθσ

ndm

m =

Il beamsplitter

• Piu’ sottile e’ il beamsplitter e piu’separati sono gli zeri (quindi e’ piu’ampio l’ intervallo di frequenze utilizzabile, e piu’bassa e’ la frequenza minima osservabile..)

PolyethyleneTerephthalate(mylar or melinex)n=1.7

• Inoltre faremo in modo che la potenza trasmessa sia massima alla frequenza σi che ci interessa di piu’. Quindi per σ=σi deve essere

• Siccome l’ assorbimento del dielettrico di solito aumenta all’ aumentare della frequenza, in pratica si scegliera’ d tale che (con M=1)

Il beamsplitter( )

( )22

2

Rivcos21

cos1)1(8RR

RRII o+−

−−=

δδ

( ) ( )'cos4

1212'cos41cosθ

σπσθπδnd

MMnd mM−

=→−=→−=

'cos41

θσ ind =

( ) [ ]{ }

( ) [ ]( )[ ]( ) [ ]{ } σπσ

σθπσθπσ

σπσσσ

dxRndR

ndRRS

dxrtSxI

4cos1'cos4cos21

'cos4cos1)1(8

4cos1)()(

022

2

0

++−

−−=

=+=

∫

∫∞

∞

Facendo la antitrasformata di Fourier del segnale si ricava il prodotto dello spettro da analizzare per la funzione di efficienza del beamsplitter. Questa deve essere nota per ritrovare S(s) !!!

Solo nel caso si facciano misure di trasmissione non c’e’ problema: si fa uno spettro con il filtro T (s) da caratterizzare e poi uno senza che serve per normalizzare. Ovviamente dove rt e’ basso il rapporto segnale-rumore cala drasticamente…

Per le basse frequenze, ci sono 2 soluzioni:

• Il Michelson e’ uno strumento a divisione di intensita’• Il Lamellar Grating e’ uno strumento a divisione di

fronte. Funziona bene anche a basse frequenze, fino a lunghezze d’ onda confrontabili con il passo a (di solito dell’ ordine di 1 cm).

FTS a divisione di fronte

Efficienza del Lamellar Grating

Tipici interferogrammi

• I polarizzatori a fili metallici rappresentano di divisori di ampiezza ideali a grandi lunghezze d’onda (dove il mylar non funziona piu’)

Martin PuplettInterferometer