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ANÁLISE DE ESTABILIDADE – EQUILÍBRIO LIMITE

SUPERFÍCIES DE RUPTURA

(S) esSolicitant Forças(R) sResistente Forças=FS

Taludes estáveis FS > 1

Para c = 0 tem-seForças Resistentes = P cos i tg φForças Solicitantes = P sen i

FS = 1 (Equilíbrio Limite) quando φ = i

FS = P cos i tg

P sen i =

tg tg i

φ φ

(S) esSolicitant Forças(R) sResistente Forças=FS

Taludes estáveis FS > 1

Para c = 0 tem-seForças Resistentes = P cos i tg φForças Solicitantes = P sen i

FS = 1 (Equilíbrio Limite) quando φ = i

FS = P cos i tg

P sen i =

tg tg i

φ φ

Para c = 0 tem-seForças Resistentes = P cos i tg φForças Solicitantes = P sen i

FS = 1 (Equilíbrio Limite) quando φ = i

FS = P cos i tg

P sen i =

tg tg i

φ φ

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ANÁLISE DE ESTABILIDADE – MODELO DE ANÁLISE

W – peso da fatia T – força de resistência do solo

N = P – esforço normal na base da fatia b – largura da fatia

E – esforço horizontal nas laterais α – ângulo de inclinação

X – força cisalhante entre fatias

W – peso da fatia T – força de resistência do solo

N = P – esforço normal na base da fatia b – largura da fatia

E – esforço horizontal nas laterais α – ângulo de inclinação

X – força cisalhante entre fatias

CARGAS ATUANTES:

• CARGAS EXTERNAS;• PESO PRÓPRIO (W);• PRESSÃO DA ÁGUA (u);• RESISTÊNCIA DO SOLO (τ).

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HIPÓTESES GERAIS

PRINCIPAIS MÉTODOS DE CÁLCULO

EQUAÇÕES INCÓGNITAS

Métodos que satisfazem apenas o equilíbrio de forças N = equilíbrio horizontal N = equilíbrio vertical 2N Total de equações

N = forças normais na base das fatias N – 1 = forças laterais N – 1 = ângulos entre forças laterais 1 = fator de segurança 3N – 1 Total de incógnitas

Métodos que satisfazem o equilíbrio e o momento de forças N = equilíbrio horizontal N = equilíbrio vertical N = equilíbrio do momento 3N Total de equações

N = forças normais na base das fatias N = localização das forças normais na base das

fatias N – 1 = forças laterais N – 1 = ângulos entre forças laterais N – 1 = localização das forças laterais nas fatias 1 = fator de segurança 5N – 1 Total de incógnitas

• O equilíbrio de uma massa de material é delimitada por uma superfície potencial de ruptura;•O caso em estudo é considerado bidimensional;•O estado de ruptura dos materiais é definido pelo critério de Morh-Coulomb

τ = c + σ tan φ (análise em tensão efetiva)τ = Su (análise em tensão total)

MÉTODOS

LINEARES

Método do momento p/ φ=0 Taludes infinitos Método de Culman Método de Rendulic Método do círculo de atrito

Superfície circular Método de Fellenius Método de Bishop Método de Bishop Modificado

NÃO LINEARES

Superfície qualquer Método de Spencer Método de Morgenstern e PriceMétodo de Janbu Método de Sarma Método dos Blocos

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CARACTERÍSTICAS DOS MÉTODOS P/ SATISFAZER O EQUILÍBRIO

E SOLUÇÃO DO PROBLEMA:

ASPECTOS A SEREM CONSIDERADOS NUMA ANÁLISE DE ESTABILIDADE

De uma forma geral, as informações mínimas necessárias a uma análise de estabilidade são: Características do problema: FS/ Tempo crítico, análise em

termos de tensões totais ou efetivas, etc; Geometria do talude (inclinação, altura, forma); Perfil geotécnico; Parâmetros geotécnicos dos materiais; Hidrologia superficial e subterrânea; Poro pressões; Estudo da pluviometria; Condições de carregamento (externo e interno); Escolha do método de cálculo; Definição da (s) superfície (s) potencial (ais) de ruptura; Obtenção de um fator de segurança mínimo.

• Considerações das formas de superfície de ruptura

- circular e não circular

• Hipóteses simplificadoras

- posição da força normal na base

- definição sobre as forças entre fatias (inclinação, posição, etc.)

• Equações de equilíbrio

− ΣFV , , ΣFH , ΣMO

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MÉTODO DO MOMENTO P/ φ=0

É assumido que a ruptura ocorre pela rotação de um bloco de solo numa superfície cilíndrica onde apenas a resistência não drenada é mobilizada (resistência puramente coesiva), conforme ilustra a Figura abaixo.

Considerando-se o comprimento do arco: L = R θ; τ é a resistência ao cisalhamento ao longo de L, então: T = τ.L e considerando-se W = peso do bloco de solo, temos: MO : Momento solicitante = Wx; momento resistente = T.R Critério de ruptura: S = CU Resistência ao cisalhamento mobilizada: τ = S/F; então τ = CU/F; onde F= fator de segurança No equilíbrio: Wx = T.R Onde: Wx = CU L R F = CU L R

F Wx Onde: F = fator de segurança; L = comprimento do arco

R = raio do arco W = peso da fatia X = distância entre o centro O e a força W

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MÉTODO DE TALUDES INFINITOS É assumido que a ruptura ocorre pelo deslizamento de um bloco de solo formando uma superfície de ruptura planar e paralela ao nível do terreno.

Para a fatia mostrada na figura: na base – tensão normal total σ, tensão de cisalhamento τ, poro pressão u Talude infinito: QL = QR

Perpendicular a base do talude: P = W cos β = σ l; então: σ = W cos2 β

b

Paralelo a base do talude: T = W sin β = τ l; então: τ = W sin β cos β

b

Critério de ruptura de Mohr- Coulomb: s = c’+ (σ-u) tan φ’

Resistência ao cisalhamento mobilizada: τ = s/F onde F é o fator de segurança

Assim: W sin β cos β = 1 (c’ + [ W cos2 β – u] tan φ’) b F b

FS = c’ + [ γ z cos2 β – u] tan φ’

γ z sin β cos β

Casos particulares: a) Taludes em solos não coesivos (c´ = 0) sem percolação (solo homogêneo):

c´ = 0 FS = γ z cos2β tg φ γ z cosβ senβ u = 0 p/ FS =1 tgβ crít = tg φ ´ ; β crít = φ ´

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b) Taludes em solos homogêneos não coesivos (c´ = 0) com percolação (NA =NT) : c´ = 0 ; FS = (γ z cos2β - γw z cos2β ) tg φ ´ = (γ - γw) tg φ ´ γ z cosβ senβ γ tg β Zr = Z p/ FS =1 tgβ = γ sub tg φ γ sat

tgβ ≈ 1/2 tg φ ´ (β ≈ φ ´/2)

EXEMPLO Calcule o FS para o talude abaixo e emita seu parecer quanto a estabilidade do talude.

Dados: solo homogêneo

L/D > 10 φ ´ = 28º γ h = 17kN/m3 γ sat = 19kN/m3

Aplicação da fórmula geral:

FS = c’ + [ γ z cos2 β – u] tan φ’

γ z sin β cos β

Desenvolvimento da fórmula:

FS = c ´ + [ (γ sat z sat + γ h z h - γ w zsat) cos2β ] tg φ ´ (γ sat z sat + γ h z h ) cos β sem β

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Variáveis utilizadas: z sat = 6,0 - 2,0 = 4,0m zh = 2,0m c ´ = 40 kPa , φ ´ = 28º γ h = 17kN/m3 γ w = 10kN/m3 γ sat = 19kN/m3 β = 40º Desenvolvimento do cálculo: FS = 40 + [ (19 x 4 + 17 x 2 - 10 x 4) cos240 ] tg 28 (19 x 4 + 17 x 2 ) cos40 sen40 FS = 1,14 Parecer: Conclui-se que o fator de segurança foi menor que o recomendável, FS = 1,5; e que está muito próximo de 1. O talude apresenta-se marginalmente estável. Para sua estabilidade recomenda-se a utilização de uma solução de estabilização, de forma a aumentar o seu FS. Opções: rebaixamento do NA e/ou diminuir a inclinação β.

MÉTODO DE FELLENIUS

É assumido que a ruptura ocorre pela rotação de um bloco de solo numa superfície cilíndrica de deslizamento centrada no ponto O. Examinando o momento de equilíbrio em relação ao ponto O, é obtida uma expressão para o fator de segurança.

Hipóteses: resultante das forças entre fatias em cada fatia é paralela a sua base (θ=α); força normal no centro da base da fatia.

Condição de equilíbrio: Σ Fnormal à base = 0 ; Σ M 0.= 0

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.Para a fatia mostrada na figura: na base – tensão normal total σ, tensão de cisalhamento τ, poro pressão u

Critério de ruptura de Mohr- Coulomb: s = c’+ (σ-u) tan φ’

Resistência ao cisalhamento mobilizada: τ = s/F onde F é o fator de segurança

P = σ l ; T = τ l então T = l (c’l + (P – ul) tan φ’) F Assumindo que resultante das forças entre fatias Q é paralela a base da fatia

Resolvendo normal a base da fatia: P = W cos α

Momento de equilíbrio em relação ao ponto O: Σ W sin α = Σ T R (as forças entre fatias são internas e seu momento resultante é nulo)

então: Σ W R sin α = Σ l (c’l + (P-ul) tan φ’) F

FSm = Σ (c’l + (P-ul) tan φ’) ; substituindo por P:

Σ W sin α ( )

∑∑ −+

=α

φαWsin

ulWlcFm

'tan)cos('

onde, Fm = fator de segurança; c’= coesão efetiva; l = variação do comprimento do arco na base da fatia; W = peso da fatia; α = ângulo que a força normal faz com a vertical; u =poro-pressão; φ’= ângulo de atrito efetivo

Características do método:

• É utilizado somente para superfícies circulares; • Satisfaz as condições de equilíbrio de momento; • Não satisfaz o equilíbrio das forças horizontais e verticais; • É assumido que a resultante das forças entre fatias em cada fatia é paralela a sua base; • É altamente impreciso para análises em termos de tensões efetivas em taludes com altos

valores de poro-pressão, o fator de segurança obtido é muito baixo; • O método é bem acurado para análises com φ =0 e para qualquer tipo de análise em

termos de tensões totais usando superfícies circulares; • Não possui problemas numéricos; • Não fornece diretamente o fator de segurança mínimo ou crítico; • Não possui iterações, e permite análise com heterogeneidade do solo; • É o método mais simples, mais rápido, porém, menos preciso na análise de estabilidade

do que os outros métodos.

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MÉTODO DE BISHOP MODIFICADO

É assumido que a ruptura ocorre pela rotação de um bloco de solo numa superfície cilíndrica de deslizamento centrada no ponto O. Examinando o momento de equilíbrio em relação ao ponto O, é obtida uma expressão para o fator de segurança.

Hipóteses: as forças entre fatias são horizontais (θ=0); força normal no centro da base da fatia.

Condição de equilíbrio: Σ FV= 0 ; Σ M 0.= 0

Para a fatia mostrada na figura: na base – tensão normal total σ, tensão de cisalhamento τ, poro pressão u

Critério de ruptura de Mohr- Coulomb: s = c’+ (σ-u) tan φ’

Resistência ao cisalhamento mobilizada: τ = s/F onde F é o fator de segurança

P = σ l ; T = τ l então T = l (c’l + (P – ul) tan φ’) F

Resolvendo verticalmente: : Σ FV= 0 ; P W cos α + T sin α = W – (XR - XL) Assumindo XR - XL = 0 (forças horizontais entre fatias)

P = [ W - l (c’l sin α -ul tan φ’ sin α)] / mα

F

onde: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Ftgtgm '1cos φααα

Σ M 0.= 0 : Σ W R sin α = Σ TR

Substituindo por T: FSm = Σ (c’l + (P-ul) tan φ’)

Σ W sin α

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Substituindo P (W= γ h b; b l cosα) [ ]∑

∑ −+=

αφγ α

sen/')('.(

Wmtguhcb

Fm

onde: Fm = fator de segurança; b =base da fatia; c’= coesão efetiva;

γ = peso específico; W = peso da fatia;

α = ângulo que a força normal faz com a vertical; u =poro-pressão;

φ’= ângulo de atrito efetivo

Características do método • É utilizado somente para superfícies circulares; • Satisfaz as condições de equilíbrio de momento e de forças verticais; • Não satisfaz o equilíbrio das forças horizontais; • É assumido que a resultante das forças entre fatias é horizontal; • É um método iterativo; • É preciso para todas as condições, exceto quando são encontrados problemas

numéricos; • É usado como comparação com outros métodos mais sofisticados.

ETAPAS PARA O CÁLCULO OPERACIONAL Escolha do método de cálculo; Definir superfície potencial; Definir número e a posição das fatias; Definir variáveis necessárias à equação / FS; Determinar tabela e cálculo da equação / FS; Obtenção do FS crítico.

EXEMPLO: Roteiro para cálculo de método de Bishop modificado: Equações:

[ ]∑

∑ −+=

αφγ α

sen/')('.(

Wmtguhcb

Fm

onde, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Ftgtgm '1cos φααα

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F = Σ (16)

Σ (9)

15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

mα 14/mα

fatia

c’ tg φ’ b h γh α sinα 4x6x8

u γh-u 3x11

2+12

4x13

FS FS FS FS FS FS

PESQUISA PARA OBTENÇÃO DA SUPERFÍCIE CRÍTICA - FScrit

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EXEMPLO (sem percolação)

EXEMPLO (com percolação)

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ANÁLISE DE ESTABILIDADE TRIDIMENSIONAL

• A maioria dos métodos de análise de estabilidade consideram a análise em 2D;

• Fatores de segurança utilizando análise de estabilidade em 3D são maiores do que os calculados em 2D;

• A análise em 3D é bem mais complexa do que a análise em 2D; • A análise em 2D na maioria das análises de estabilidade constitui-se

suficiente para resolução dos problemas.

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COMPARAÇÃO GERAL ENTRE OS MÉTODOS DE ANÁLISE

As diferenças encontradas nos métodos de análise de estabilidade referem-se a consideração sobre o equilíbrio das forças e/ ou dos momentos e nas hipóteses sobre as forças entre fatias (Duncan, 1996). A tabela ilustra as características de alguns métodos de análise.

Tabela. Métodos de análise (NASH, 1987).

Método Circular Não-circular Equilíbrio total do momento

Equilíbrio total de forças

Hipóteses sobre as forças entre

fatias

Momento * *

Talude infinito * * Paralela ao talude

Bishop * * * Horizontais

Janbu Simplificado

* * * Horizontais

Spencer * * * * Inclinação cte.

• MÉTODO DE FELLENIUS: fatores de segurança baixos - impreciso p/ taludes suaves com elevadas poro pressões; utilizado apenas p/ superfícies circulares; assume que a resultante das forças entre fatias é paralela a sua base; satisfaz condição de equilíbrio da força normal a base da fatia.

• MÉTODO DE BISHOP MODIFICADO: método acurado; utilizado apenas p/

superfícies circulares; satisfaz condição de equilíbrio vertical e de momento geral de equilíbrio; assume que as forças entre fatias são horizontais.

• MÉTODO DE JANBU SMPLIFICADO: método acurado; satisfaz apenas condição

de equilíbrio de forças; aplicado p/ qualquer superfície de ruptura; dificuldades de cálculo.

• MÉTODO DE MORGENSTERN E PRICE: método acurado; satisfaz todas

condições de equilíbrio; aplicado para qualquer superfície de ruptura; a inclinação das forças laterais podem ser as mesmas ou podem variar de fatia para fatia.

• MÉTODO DE SARMA: satisfaz todas condições de equilíbrio; aplicado para

qualquer superfície de ruptura. • MÉTODO DE SPENCER: método acurado; satisfaz todas condições de equilíbrio;

aplicado p/ qualquer superfície de ruptura; assume que a inclinação das forças laterais são as mesmas para cada fatia.