6.2 Prüfen von Restriktionen 6.28 - Granger-Kausalität · 1 ∆ln y t-1 + B x t + u t....

Universität Potsdam -Wirtschafts - und Sozialwissenschaftliche Fakultät - Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie - Prof. H.-G. Strohe

6.286.2 Prüfen von Restriktionen- Granger-Kausalität

Aufteilen des Variablenvektors yt in zwei Teilvektoren y1t (N1×1) und y2t (N2×1). Sind Koeffizienten φ in den Gleichungen von y1t für die Abhängigkeit von allen y2t-i

signifikant von Null verschieden (H1), dann ist y2t-i

Granger-kausal für y1t .

Beispiel: Yt = n 11Yt-1 + n 12Ct-1 + u1

Ct = n 21Yt-1 + n 22Ct-1 + u2

Wenn φ12= 0, dann Verbrauch nicht Granger-kausal für Einkommen.


6.29

Prüfen mit dem Log-Likelihood-Quotienten-Test (LR)

H0: Alle Koeffizienten von y2t-i gleich Null, i=1,...p,H1: Es gibt ein i, für das wenigstens ein Koeffizient von y2t-i

ungleich Null ist.

Testvariable:

~ ~

ln~

ln2 212Restr p)N(Nχ) (LR uu ××−= ΣΣ

Microfit:VAR post estimation menu - Hypothesis testing Testing for block non-causalityEingabe der Variablen aus y2


6.30Beispiel: Wachstumsraten der BIP1. Wirkt Entw. in Dt.ld. und Japan auf USA ?LR Test of Block Granger Non-Causality

****************************************************************Based on 122 observations from 1963Q3 to 1993Q4. Order of VAR = 2. List of variables included in the unrestricted VAR: DLYGER DLYUSA DLYJAP

****************************************************************List of variable(s) assumed to be "non-causal" under the null hypothesis: DLYJAP DLYGERMaximized value of log-likelihood = 1173.5 LR test of block non-causality: CHSQ( 4)= 8.8795[.064] (H0 nicht ablehnen)

****************************************************************The above statistic is for testing the null hypothesis that the coefficients of the lagged values of: DLYJAP DLYGER in the block of equations explaining the variable(s): DLYUSA are zero. The maximum order of the lag(s) is 2.


6.312. Wirkt Entw. in USA und Japan auf Dt.ld. ?LR Test of Block Granger Non-Causality : GER

**************************************************************Based on 122 observations from 1963Q3 to 1993Q4. Order of VAR = 2 List of variables included in the unrestricted VAR: DLYGER DLYUSA DLYJAP Maximized value of log-likelihood = 1178.0

**************************************************************List of variable(s) assumed to be "non-causal" under the null hypothesis: DLYJAP DLYUSA Maximized value of log-likelihood = 1159.9

**************************************************************LR test of block non-causality: CHSQ( 4)= 36.1 [.000] ( H0 ablehnen)

**************************************************************The above statistic is for testing the null hypothesis that the coefficients of the lagged values of: DLYJAP DLYUSA in the block of equations explaining the variable(s): DLYGER are zero. The maximum order of the lag(s) is 2.


6.326.3 VARs mit exogenen Variablen - AVAR

yt = β1 +β2t +Φ1 yt-1 + Φ2 yt-2+ ... +Φp yt-p+ B(3) xt + ut

xt Variablenvektor beginnend mit x3t zum Zeitpunkt tΦi , B(3) Koeffizientenmatrizen

für n-te Gleichung:

ynt = φ1,n1 y1t-1 +..+ φ1,nN yNt-1+... +φp,n1 y1t-p + ..+ φp,nN yNt-p

+ βn1+ βn2 t + βn3 x3t + ... +βnK xKt + unt

oder yn = φn´ YL + βn´ X + un

(X enthält Konstante, Zeit, Dummy-Variable und exog. Variable)


6.33

Zusätzl. Annahme: unt nicht mit Variablen in X korreliert.

Mit gilt

mit

;

TK)(Npn

n

n

×+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

βθ K

ϕ

TK)(Np ×+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=X

Y

Z K

L

,...,N,nnnn 21 ´ =+= uZθy

Wieder Fall für SURE. Aber Variablenmatrix Z für alle Gleichungen gleich.


6.34

Daher SURE-Schätzung gleich OLS

´ ) (ˆ 1

1Tn

TK)(NpK)(NpTTK)(Np1K)(Npn

××+

−

+××+×+= yZZ´Zθ

Σu schätzen durch

1TTK)(NpK)(Np1T1

p

mmnnnm NT

××++××

−−⋅−=

´)´ˆ()´ˆ(ˆ

ZθyZθyσ


6.35

Varianz-Kovarianz-Matrix des geschätzten Koeffizienten-vektors der n-ten Gleichung:

)()()()(

ˆ

´ˆ

´ˆ

KNTTKNKNKN

12n

1

nnθ

pppp

n TT+××++×+

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∑

ZZ

ZZ σσ

Diagonalelemente von sind die Varianzen

der geschätzten Koeffizienten in .

nθ̂ Σ

ˆ ˆ ,ˆ , nnknim θβϕ


6.36Beispiel:

Wieder Wachstumsraten d. GDP von GER, USA, JAP aus G7GDP.fit, dazu aber „exogene Variable“ CONST und Ölpreis-Dummy D74

AVAR (1):

∆ ln ytGER = β11 + φ12 ∆ ln yt-1

GER + φ12 ∆ ln yt-1USA +φ13 ∆ ln yt-1

JAP +β12d74 +u1t

∆ ln ytUSA = β21 + φ22 ∆ ln yt-1


JAP +β22d74+u2t

∆ ln ytJAP = β31 + φ32 ∆ ln yt-1


JAP +β32d74+u3t

oder:

∆ ln yt = Φ1 ∆ ln yt-1 + B xt + ut


6.37

D74

Quarters

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1963Q11968Q11973Q11978Q11983Q11988Q11993Q1 1993Q4


6.38OLS estimation of a single equation in the Unrestricted VAR*********************************************************************

Dependent variable is DLYGER 119 observations used for estimation from 1963Q2 to 1992Q4

*********************************************************************

Regressor Coefficient Standard Error T-Ratio[Prob]DLYGER(-1) -.094363 .085642 -1.1018[.273]DLYUSA(-1) .23427 .10778 2.1737[.032]DLYJAP(-1) .23764 .091151 2.6071[.010]CONST .0033893 .0017066 1.9861[.049]D74 -.0070278 .0055693 -1.2619[.210]

*********************************************************************R-Squared .14216 R-Bar-Squared .11207S.E. of Regression .010555 F-stat. F( 4, 114) 4.7232[.001]Mean of Dep. Variable .0074300 S.D. of Dependent Var. .011201Residual Sum of Squares .012700 Equation Log-likelihood 375.2902Akaike Info. Criterion 370.2902 Schwarz Bayesian Crit. 363.3424DW-statistic 1.8490 System Log-likelihood 1146.1


6.39OLS estimation of a single equation in the Unrestricted VAR*********************************************************************Dependent variable is DLYUSA 119 observations used for estimation from 1963Q2 to 1992Q4

*********************************************************************Regressor Coefficient Standard Error T-Ratio[Prob]DLYGER(-1) .034180 .073882 .46263[.645]DLYUSA(-1) .26268 .092976 2.8253[.006]DLYJAP(-1) .027685 .078634 .35207[.725]CONST .0049526 .0014722 3.3640[.001]D74 -.0092590 .0048045 -1.9271[.056]

*********************************************************************

R-Squared .12953 R-Bar-Squared .098987S.E. of Regression .0091054 F-stat. F( 4, 114) 4.2409[.003]Mean of Dependent Var. .0071148 S.D. of Dependent Var. .0095926Residual Sum of Squares .0094516 Equation Log-likelihood 392.8675Akaike Info. Criterion 387.8675 Schwarz Bayesian Crit. 380.9197DW-statistic 2.0587 System Log-likelihood 1146.1


6.40OLS estimation of a single equation in the Unrestricted VAR*********************************************************************Dependent variable is DLYJAP 119 observations used for estimation from 1963Q2 to 1992Q4

*********************************************************************Regressor Coefficient Standard Error T-Ratio[Prob]DLYGER(-1) .15686 .085682 1.8307[.070]DLYUSA(-1) .080792 .10783 .74929[.455]DLYJAP(-1) .22943 .091193 2.5159[.013]CONST .0093463 .0017073 5.4742[.000]D74 -.012395 .0055719 -2.2246[.028]

*********************************************************************

R-Squared .18198 R-Bar-Squared .15328S.E. of Regression .010560 F-stat. F( 4, 114) 6.3404[.000]Mean of Dependent Var. .013823 S.D. of Dependent Var. .011476Residual Sum of Squares .012712 Equation Log-likelihood 375.2352Akaike Info. Criterion 370.2352 Schwarz Bayesian Crit. 363.2874DW-statistic 2.0473 System Log-likelihood 1146.1


6.416.4 Prüfen von Restriktionen - Fortsetzung

Nullrestriktionen für exogene Variable

yt = Φ1 yt-1 + Φ2 yt-2+ ... +Φp yt-p+ Β xt + ut

Aufteilen des K×1-Variablenvektors xt (inkl. Konst. und Trend) in zwei Teilvektoren x1t (K1×1) und x2t (K2×1), wobei unterstellt wird (H0), dass die Variablen x1 keinen Einfluss auf y haben.

Analog : B = [B1 , B2]N×K N×K1 N×K2


6.42

H0: B1 = 0H1: B1 ≠ 0

Testvariable wieder Log-Likelihood-Quotient:

)(χ ~ )~

ln~

2(ln 12Restr KN LR uu ×−= ΣΣ

Microfit:

VAR post estimation menuHypothesis testingTesting for delition of exogenous variablesEingabe der Variablen aus x1


6.43Beispiel:Wurden die Wachtumsraten der GDP im AVAR-Modell tatsächlich vom Ölpreisschock beeinflusst?***************************************************************LR Test of Deletion of Deterministic/Exogenous Variables in the VAR ***************************************************************(Unrestricted AVAR)Based on 119 observations from 1963Q2 to 1992Q4. Order of VAR = 1. List of variables included in the unrestricted VAR: DLYGER DLYUSA DLYJAP and/or exogenous variables: CONST D74Maximized value of log-likelihood = 1146.1***************************************************************List of variables included in the restricted VAR: DLYGER DLYUSA DLYJAP List of deterministic and/or exogenous variables: CONST Maximized value of log-likelihood = 1141.9 ***************************************************************

LR test of restrictions, CHSQ( 3)= 8.5 [.037]

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