ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Ασκήσεις Στατιστικής Επιµέλεια: Θανάσης Κοπάδης Μαθηµατικός

1

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Α. Βασικές Έννοιες 1. Εξετάζουµε τους κατοίκους µιας πόλης ως προς τις ιδιότητες: α) φύλο β) ηλικία γ) επάγγελµα δ) θρήσκευµα ε) εισόδηµα στ) οικογενειακή κατάσταση Ποιες από τις παρακάτω µεταβλητές είναι ποιοτικές και ποιες ποσοτικές? 2. Τα αποτελέσµατα των εξετάσεων των φοιτητών του Μαθηµατικού τµήµατος στο µάθηµα της Στατιστικής ήταν τα εξής: 2,3,3,4,4,5,7,5,5,9,8,10. Να βρείτε: α) Ποιος είναι ο πληθυσµός? β) Ποιες είναι οι παρατηρήσεις? γ) Ποια είναι η µεταβλητή και σε ποια κατηγορία ανήκει? δ) Ποιες είναι οι τιµές της µεταβλητής? 3. Για να βρούµε το µέγεθος των καπνιστών στην Ελλάδα αποφασίσαµε να πάρουµε ένα δείγµα 500 ατόµων. Ποιος από τους παρακάτω τρόπους είναι ο καλύτερος για να πάρουµε δείγµα? α) Να πάρουµε 500 αθλητές από ένα αθλητικό κέντρο β) Να πάρουµε 500 άνδρες υπαλλήλους µιας επιχείρησης γ) Να πάρουµε 500 περαστικούς από ένα δρόµο Β. Στατιστικοί Πίνακες 4. Η µεγαλύτερη θερµοκρασία ( σε βαθµούς Κελσίου) µια ηµέρα σε 20 πόλεις ήταν: 30 , 29 , 32 , 28 , 30 , 31 , 30 , 31 , 30 , 31 , 31 , 30 , 30 , 31 , 29 , 30 , 32 , 30 , 29 , 30 Να κατασκευάσετε πίνακα κατανοµής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων (απολύτων και αθροιστικών)


2

5. Σε ένα τµήµα 25 µαθητών της Γ΄ Λυκείου δόθηκε ένα τεστ µαθηµατικών από όπου προέκυψαν τα εξής αποτελέσµατα: 11 , 17 , 9 , 16 , 5 , 19 , 13 , 15 , 16 ,15 , 19 , 17 , 10 , 20 16 , 9 , 13 , 9 , 5 , 19 , 19 , 15 , 17 , 16 , 10 α) Να κατασκευάσετε πίνακα κατανοµής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων (απολύτων και αθροιστικών) β) Πόσοι µαθητές είχαν βαθµό i) τουλάχιστον 15? ii) µεγαλύτερο από 13? iii) το πολύ 16? γ) Τι ποσοστό των µαθητών i) είναι κάτω από τη βάση? ii) είχαν βαθµό µεταξύ 15 και 19? iii) είχαν βαθµό λιγότερο από 11? 6. Τα χρήµατα που ξοδεύουν σε ευρώ 20 µαθητές της Α Γυµνασίου κατά τη διάρκεια της εβδοµάδας είναι: 5 8 6 8 7 9 10 5 8 7 6 8 9 10 10 5 6 7 7 9 α) Να κατασκευάσετε πίνακα κατανοµής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων (απολύτων και αθροιστικών) β) Να βρείτε πόσοι µαθητές ξοδεύουν: i) το πολύ 7 ευρώ ii) τουλάχιστον 8 ευρώ iii) ακριβώς 6 ευρώ 7. Έστω χ1 , χ2 , χ3 , χ4 , χ5 οι τιµές µιας µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν=50. Αν για τις αντίστοιχες συχνότητες ισχύει:

ν2 = ν5 = 3ν1 = 3ν4 = 2

3ν3 να κατασκευάσετε πίνακα κατανοµής

συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων (απολύτων και αθροιστικών).


3

8**. Η σχετική συχνότητα fi των τιµών χi , i =1,2,...,κ µιας µεταβλητής Χ σε ένα δείγµα µεγέθους ν δίνεται από τον τύπο

100

106i f i

+= , i =1,2,...,κ.

α) Να βρεθεί το πλήθος των τιµών χi

β) Αν η τιµή χ1 έχει συχνότητα 32 , να βρεθεί το µέγεθος του δείγµατος γ) Να βρεθεί η συχνότητα νi δ) Να βρεθεί η αθροιστική σχετική συχνότητα Fi % 9. Οι τιµές χ1 , χ2 , χ3 , χ4 µιας µεταβλητής Χ ενός δείγµατος

µεγέθους ν , έχουν σχετικές συχνότητες 7

1-5κ ,

7

3+κ2 ,

7

2+κ ,

7

1+κ αντίστοιχα.

α) Να υπολογίσετε τον αριθµό κ β) Αν ν3=28 , να βρείτε το µέγεθος του δείγµατος. 10. Έστω χ1 , χ2 , χ3 , χ4 οι τιµές µιας µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν=200. Αν f1 = 2f2 = 3f3 = 4f4 να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. 11. Έστω χ1 , χ2 , χ3 , χ4 οι τιµές µιας µεταβλητής Χ ενός δείγµατος. Αν ισχύει Νi = 3i2+2 , i=1,2,3,4 να βρείτε: α) Το µέγεθος του δείγµατος β) Να κατασκευάσετε πίνακα κατανοµής συχνοτήτων. 12. Έστω χ1 , χ2 , χ3 οι τιµές µιας µεταβλητής Χ ενός δείγµατος. Αν F2 =0,3 να βρείτε την f3 %.


4

Γ. Συµπλήρωση ελλιπούς πίνακα 13. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τον αριθµό των δωµατίων των διαµερισµάτων µιας πολυκατοικίας. ∆ωµάτια

χi

∆ιαµερίσµατα νi

Νi

1 6 2 9 36 3 4 12 66 5 9 6

Σύνολο α) Να συµπληρωθεί ο παραπάνω πίνακας και να προστεθούν οι στήλες fi , fi % , Fi και Fi %. β) Να βρείτε πόσα διαµερίσµατα έχουν i) το πολύ 4 δωµάτια ii) τουλάχιστον 4 δωµάτια γ) Τι ποσοστό δωµατίων έχει τουλάχιστον 3 δωµάτια? 14. Να συµπληρωθούν οι παρακάτω πίνακες: α)

χi νi fi fi% Ni Fi Fi% 1 0,35 2 90 3 22,5 4

Σύνολο 200 β)

χi νi fi fi% Ni Fi Fi% 5 10 6 3 5 7 0,5 8 30 9

Σύνολο


5

γ) χi νi fi fi% Ni Fi Fi% 1 10 2 40 3 60 4 100

Σύνολο 200 δ)

χi νi fi fi% Ni Fi Fi% 1 12 2 40 3 28 4 16 5 4

Σύνολο ε)

χi νi fi fi% Ni Fi Fi% 0 10

10 0,15 20 0,60 30 5 40 20

Σύνολο 15. Σε µια τάξη Λυκείου: Οι 20 µαθητές έχουν κανένα ή 1 ή 2 ή 3 ή 4 αδέλφια. Οι 18 έχουν τουλάχιστον 1 αδελφό Οι 19 έχουν το πολύ 3 αδέλφια Πέντε οικογένειες των µαθητών έχουν 3 ή 4 παιδιά. Το 15% των οικογενειών των µαθητών έχουν 4 τουλάχιστον παιδιά. Να κάνετε τον πίνακα συχνοτήτων νi ,fi , fi %, Ni ,Fi ,Fi % µε µεταβλητή Χ "το πλήθος των αδελφών των µαθητών.


6

16. Σε µια πόλη η µικρότερη θερµοκρασία επί 20 συνεχείς ηµέρες (σε βαθµούς Κελσίου) ήταν: 10 , 11 , 15 ,13 και 16. 18 ηµέρες είχαν θερµοκρασία το πολύ 15 Το 85% του πλήθους των ηµερών η θερµοκρασία ήταν τουλάχιστον 11. Το πλήθος των ηµερών που είχαν θερµοκρασία 13 ήταν διπλάσιο του πλήθους των ηµερών που είχαν 11. Το 55% του πλήθους των ηµερών η θερµοκρασία ήταν 13 ή 15. Να κάνετε τον πίνακα συχνοτήτων νi ,fi , fi %, Ni ,Fi ,Fi % ∆. Γραφικές Παραστάσεις 17. Σε µια έρευνα που έγινε σε 100 µαθητές ενός Λυκείου 50 επέλεξαν τις θετικές επιστήµες , 20 τις οικονοµικές , 15 τις θεωρητικές και 5 τις ιατρικές επιστήµες. Να κατασκευάσετε: α) Πίνακα κατανοµής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων β) Το ραβδόγραµµα συχνοτήτων γ) Κυκλικό διάγραµµα σχετικών συχνοτήτων 18. Σε µια έρευνα που έγινε για το πώς διαθέτουν τον ελεύθερο χρόνο τους 50 µαθητές συντάξαµε τον ακόλουθο πίνακα κατανοµής συχνοτήτων:

χi νi fi fi% 1 τηλεόραση 17 2 έξοδος 10 3 αθλητισµός 13 4 υπολογιστής 7 5 άλλα 3 Σύνολο 50

α) Να συµπληρώσετε τον πίνακα β) Να κατασκευάσετε ραβδόγραµµα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων


7

19. Σε ένα κυκλικό διάγραµµα παρουσιάζεται η βαθµολογία 180 µαθητών της Γ Λυκείου σε τέσσερις κατηγορίες: "Άριστα" , "Λίαν Καλώς" , "Καλώς" , "Σχεδόν Καλώς". Το 50% των µαθητών έχουν επίδοση "Λίαν Καλώς" Οι µαθητές µε βαθµό "Σχεδόν Καλώς" είναι διπλάσιοι εκείνων µε "Άριστα". Η γωνία του κυκλικού τοµέα για την επίδοση "Καλώς" είναι 120°. α) Να βρείτε τα τόξα αi που αντιστοιχούν στις τέσσερις κατηγορίες β) Να κατασκευάσετε κυκλικό διάγραµµα γ) Να κατασκευάσετε ραβδόγραµµα σχετικών συχνοτήτων 20. Έστω χ1 , χ2 , χ3 , χ4 οι τιµές µιας µεταβλητής Χ ενός

δείγµατος µεγέθους ν µε χ1 < χ2 < χ3 < χ4 .Αν ισχύει 5κ

i fi = ,

i=1,2,3,4. α) Να βρείτε το κ β) Αν ν3 = 30 να βρεθεί το µέγεθος του δείγµατος , καθώς και οι υπόλοιπες συχνότητες γ) Να κατασκευάσετε κυκλικό διάγραµµα συχνοτήτων. 21. Σε µια πόλη οι µικρότερες θερµοκρασίες για 20 συνεχείς ηµέρες τον Μάρτιο δίνονται από τον παρακάτω πίνακα: Ηµέρες 2 5 3 6 4 Θερµοκρασία -1 3 2 1 0 α) Να κάνετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων β) Να κατασκευάσετε: i) διάγραµµα σχετικών συχνοτήτων ii) πολύγωνο συχνοτήτων iii) κυκλικό διάγραµµα σχετικών συχνοτήτων


8

22. ∆ίνεται η παρακάτω κατανοµή αθροιστικών συχνοτήτων:

χi Fi% 0 15 1 35 2 40 3 75 4 100

Σύνολο Αν το µέγεθος έχει µέγεθος ν=100 α) Να βρείτε τα νi ,fi , fi %, Ni ,Fi . β) Να κατασκευάσετε το διάγραµµα και το πολύγωνο συχνοτήτων. 23. Σε ένα στατιστικό πείραµα έχουµε τον παρακάτω ελλιπή πίνακα:

χi νi fi fi% Ni Fi Fi% 1 11 2 9 0,10 21 3 0,60 4 28 5

Σύνολο Να συµπληρώσετε τον πίνακα και να χαράξετε το διάγραµµα συχνοτήτων καθώς και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. 24. Το ύψος ενός µαθητή µετρήθηκε κάθε χρόνο και βρέθηκε: Ηλικία 8 9 10 11 12 13 Ύψος(cm) 135 137 140 145 148 155 Να σχεδιάσετε το χρονόγραµµα του ύψους του µαθητή.


9

E. Οµαδοποίηση παρατηρήσεων 25. Η βαθµολογία 25 φοιτητών σε ένα µάθηµα ήταν η παρακάτω: 6 , 3 , 4 , 7 , 8 , 9 , 9 , 5 , 4 , 6 , 5 , 2 , 0 , 9 , 9 , 7 , 6 , 5 , 4 , 8 , 2 , 5 , 6 , 8 , 9. α) Να οµαδοποιήσετε τα αποτελέσµατα σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους και να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων β) Να κατασκευάσετε ιστόγραµµα και πολύγωνο συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. 26. Στον παρακάτω πίνακα δίνετε η κατανοµή των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων των χρηµάτων σε ευρώ που διαθέτουν εβδοµαδιαία οι 50 µαθητές της Α΄ Γυµνασίου ενός σχολείου. Ποσό χρηµάτων

[ , ) Αθρ. Σχ. συχν

Fi

[0 , 5) 16 [5 , 10) 60

[10 , 15) F3 [15, 20) F4

Aν η F3 είναι τετραπλάσια της F4 τότε α)Να συµπληρωθεί ο πίνακας β) Να βρεθεί το ποσοστό των µαθητών που διαθέτουν από 5 εως 15 ευρώ γ) Να κατασκευάσετε ιστόγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο 27. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα και στην συνέχεια να γίνει ιστόγραµµα συχνοτήτων κλάσεις χi vi fi Ni Fi %

[0,2) 8 0,16 [2,4) 23 [4,6) 70 [6,8) 9

[8,10) Σύνολο


10

28. Στα σχολεία ενός ∆ήµου υπηρετούν συνολικά 100 εκπαιδευτικοί. Ο συνολικός χρόνος υπηρεσίας των εκπαιδευτικών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: χρόνια

υπηρεσίας χi vi fi % Ni Fi %

[0,5) 10 [5,10) 15

[10,15) 12 [15,20) 15 [20,25) 18 [25,30) 18 [30,35) 18 Σύνολο 12

α) Να συµπληρωθεί ο πίνακας β) Πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν τουλάχιστον 15 χρόνια υπηρεσίας γ) Με την προϋπόθεση ότι κάθε εκπαιδευτικός θα συνταξιοδοτηθεί, όταν συµπληρώσει 35 χρόνια i) πόσοι εκπαιδευτικοί θα συνταξιοδοτηθούν µέσα στα επόµενα 12,5 χρόνια? ii) πόσοι συνολικά εκπαιδευτικοί πρέπει να προσληφθούν µέσα στα επόµενα 5 χρόνια , ώστε ο αριθµός των εκπαιδευτικών που υπηρετούν στα σχολεία του ∆ήµου να παραµείνει ο ίδιος? Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (4ο Θέµα 2000) 29. Ένα δείγµα το έχουµε οµαδοποιήσει σε κλάσεις ίσου πλάτους όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: κλάσεις χi

[...,...) 6 [...,...) [...,...) [...,...) 18

Να συµπληρώσετε τον πίνακα.


11

30**. O αριθµός των επιβατών των λεωφορείων του ΚΤΕΛ που ταξίδεψαν από Πάτρα για Αθήνα σε µια εβδοµάδα δίνεται στον παρακάτω πίνακα:

επιβάτες λεωφορεία [20,25) 5 [25,30) 10 [30,35) 15 [35,40) 15 [40,45) 5

α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων (απολύτων και αθροιστικών) β) Να βρείτε το πλήθος των λεωφορείων που είχαν κάτω από 32 επιβάτες γ) Να βρείτε το πλήθος των επιβατών κάτω από το οποίο ταξίδεψαν 13 λεωφορεία. 31**. Η βαθµολογία 40 µαθητών σε ένα διαγώνισµα δίνεται από τον παρακάτω πίνακα:

βαθµός µαθητές [0,4) 4 [4,8) 8

[8,12) 16 [12,16) 10 [16,20) 2

α)Να συµπληρώσετε τον πίνακα µε τις στήλες που λείπουν και να κατασκευάσετε πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων β) Να βρείτε το βαθµό κάτω από τον οποίο έχει i) το 30% των µαθητών ii) το 40% των µαθητών γ)Να βρείτε το ποσοστό των µαθητών που έχει γράψει: i) κάτω από 16 ii) κάτω από 11 iii) τουλάχιστον 14


12

32***. Οι χρόνοι τους οποίους έκαναν µια οµάδα µαθητών για να λύσουν ένα πρόβληµα είναι από 10 έως 20 λεπτά χωρισµένοι σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους. ∆ίνεται ότι: Το πολύγωνο συχνοτήτων του δείγµατος των µαθητών µε µεταβλητή το χρόνο λύσης του προβλήµατος έχει εµβαδόν 40. Το ύψος του ορθογωνίου στο διάγραµµα σχετικών συχνοτήτων που αντιστοιχεί στην κλάση µε κεντρική τιµή 19 είναι 0,1 Η γωνία του κυκλικού τοµέα στο κυκλικό διάγραµµα που αντιστοιχεί στην κλάση [14,16) είναι 72°. Οι µαθητές που έκαναν από 16 έως 18 λεπτά είναι διπλάσιοι από τους µαθητές που έκαναν από 10 έως 12 λεπτά. 24 µαθητές έκαναν χρόνο κάτω από 16 λεπτά. α) Να κάνετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων β) Να κατασκευάσετε ιστόγραµµα και πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. 33. Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται το ιστόγραµµα της βαθµολογίας φοιτητών του Μαθηµατικού τµήµατος σε ένα µάθηµα. νi 16 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 χi α) Να βρείτε το µέγεθος του δείγµατος β) Να κατασκευάσετε πίνακα κατανοµής συχνοτήτων γ) Να υπολογίσετε το ποσοστό των φοιτητών που πέρασαν το µάθηµα( βαθµός ≥5) δ) Πόσοι φοιτητές έγραψαν τουλάχιστον 7 ε) Αν τα ορθογώνια του ιστογράµµατος τα τοποθετήσουµε το ένα πάνω στο άλλο , το ορθογώνιο που θα προκύψει τι εµβαδόν θα έχει?


13

ΣΤ. Μέτρα Θέσης και ∆ιασποράς 34. Οι βαθµοί ενός µαθητή της Β΄ τάξης ενός Λυκείου στα διάφορα µαθήµατα είναι: 16 , 15 , 14 , 13 , 19 , 15 , 18 , 12 , 13 , 11. Να βρεθεί η µέση βαθµολογία του µαθητή 35. Να βρεθεί η µέση τιµή των παρακάτω παρατηρήσεων: -5 , 2 , 0 , 3 , -2 , 1 , 1. 36. Ο παρακάτω πίνακας δίνει την κατανοµή των οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους. αριθµός παιδιών

χi

αριθµός οικογενειών νi

0 14 1 25 2 31 3 11 4 15 5 4

Σύνολο 100 Να βρεθεί η µέση τιµή της µεταβλητής "αριθµός παιδιών" 37. Ο παρακάτω πίνακας δίνει την κατανοµή των νοικοκυριών µιας αστικής περιοχής ως προς τον αριθµό των δωµατίων: αριθµός δωµατίων

χi

σχετ. συχν. fi %

1 12 2 28 3 32 4 20 5 6 6 2

Σύνολο Να βρεθεί η µέση τιµή της µεταβλητής "αριθµός δωµατίων"


14

38. Οι χαµηλότερες θερµοκρασίες σε µια πόλη το Νοέµβριο φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

θερµοκρασία ηµέρες -5 4 -2 5 0 3 1 12 3 6

Σύνολο Να βρεθεί η µέση θερµοκρασία της ηµέρες αυτές. 39. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το χρόνο παρακολούθησης τηλεόρασης 20 οικογενειών ανά εβδοµάδα:

κλάση νi

[0 , 3) 4 [3 , 6) 7 [6 , 9) 6

[9 , 12) 3 Σύνολο 20

Να βρεθεί ο µέσος χρόνος παρακολούθησης. 40. Ο χρόνος που έκαναν οι µαθητές ενός σχολείου να πάνε από το σπίτι στο σχολείο είναι από 4 έως 20 λεπτά. Το 20% κάνει χρόνους κάτω από 8 λεπτά , το 50% κάτω από 12 λεπτά και το 15% τουλάχιστον 16 λεπτά. α)Να οµαδοποιήσετε τις παρατηρήσεις σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους και να κατασκευάσετε το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων β) Να βρείτε το µέσο χρόνο των µαθητών.


15

41. Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται η βαθµολογία 20 φοιτητών σε ένα µάθηµα:

βαθµός χi φοιτητές νi

4 2 5 6 8 8

Σύνολο Αν η µέση βαθµολογία είναι 5,9 τότε α) Να συµπληρώσετε τον πίνακα µε τις συχνότητες που λείπουν β) Να κατασκευάσετε διάγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. 42. Η µέση τιµή πέντε αριθµών είναι 5. Αν οι τρεις από αυτούς είναι 0 , 3 , 4 να βρείτε τους άλλους δύο , αν είναι γνωστό ότι ο ένας είναι τριπλάσιος του άλλου. 43. Από τις 20 παρατηρήσεις ενός δείγµατος οι πρώτες 12 έχουν

µέση τιµή m1 , ενώ οι υπόλοιπες έχουν µέση τιµή m2 . Αν χ η

µέση τιµή του δείγµατος να δείξετε ότι: 5m23m

χ 21 +=

44. Οι πέντε βασικοί παίκτες µιας οµάδας µπάσκετ έχουν µέση ηλικία 25 έτη ενώ οι επτά αναπληρωµατικοί έχουν µέση ηλικία 31 έτη. Να βρείτε τη µέση ηλικία όλων των παικτών. 45. Το µέσο βάρος 5 µαθητριών είναι 50 κιλά , ενώ το µέσο βάρος 3 µαθητριών είναι 60 κιλά. Πόσο πρέπει να είναι το µέσο βάρος 2 άλλων µαθητριών ώστε το µέσο βάρος όλων µαζί να είναι 56 κιλά?


16

46. Ο µέσος βαθµός 8 φοιτητών στο µάθηµα της στατιστικής είναι 6. Ο µέσος βαθµός κάποιων άλλων φοιτητών είναι 5. Αν όλοι µαζί οι φοιτητές έχουν µέσο βαθµό 5,4 πόσοι είναι όλοι µαζί οι φοιτητές? 47. H βαθµολογία 10 µαθητών σε ένα διαγώνισµα ήταν: 10 , 12 ,12 , 11 , 14 , 14 , 14 , 9 , 8 , 10. Να υπολογιστεί η διάµεσος των βαθµών. 48. H βαθµολογία 11 µαθητών σε ένα διαγώνισµα ήταν: 14 , 12 , 13 , 12 , 10 , 14 , 9 , 9 , 10 , 8 , 12. Να υπολογιστεί η διάµεσος των βαθµών. 49. Από την εξέταση ενός δείγµατος 200 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους προέκυψε ο παρακάτω πίνακας: αριθµός παιδιών

χi

αριθµός οικογενειών νi

0 32 1 50 2 60 3 40 4 18

Σύνολο 200 Να υπολογιστεί η διάµεσος. 50. Ο παρακάτω πίνακας δίνει την κατανοµή των ορθογραφικών λαθών σε ένα τεστ που δόθηκε σε 60 µαθητές της Α΄ Γυµνασίου: αριθµός λαθών αριθµός µαθητών

0 5 1 10 2 15 3 20 4 10

Να υπολογιστεί η διάµεσος.


17

51. Τα ηµεροµίσθια 50 εργατών ενός εργοστασίου δίνονται από τον παρακάτω πίνακα:

µισθός(σε є) αριθµός εργατών

[30,35) 5 [35,40) 10 [40,45) 20 [45,50) 8 [50,55) 7

α) Να υπολογίσετε τη διάµεσο αλγεβρικά. β) Αφού κάνετε ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων να υπολογίσετε τη διάµεσο και γραφικά. 52. Να υπολογίσετε τη διάµεσο στις παρακάτω περιπτώσεις: α)

χi fi% 2 15 4 35 5 20 6 30

β) χi fi% 0 15 2 25 3 35 4 25

γ) κλάσεις fi%

[0,2) 20 [2,4) 30 [4,6) 15 [6,8) 35

δ) κλάσεις fi%

[0,3) 12 [3,6) 23 [6,9) 45

[9,12) 20


18

53. Η µέση τιµή και η διάµεσος πέντε αριθµών είναι το 4. Οι τρεις από αυτούς είναι η 1 ,2 , 6. Να βρείτε τους άλλους δύο. 54. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι ηλικίες των υπαλλήλων ενός καταστήµατος:

χi νi 20 5 22 3 25 α 27 9 32 4

Αν η διάµεσος είναι ίση µε 26: α) Να βρείτε το α β) Να βρείτε την µέση ηλικία των υπαλλήλων 55*. ∆ίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανοµής σχετικών συχνοτήτων:

χi fi 1 0,2 2 0,4 3 0,3 5 0,1

α) Nα υπολογίσετε την µέση τιµή χ

β) Αν ισχύει 120νχ4

1iii =∑

=

να βρεθούν οι συχνότητες ν1, ν2, ν3, ν4.

γ) Να υπολογίσετε τη διάµεσο της κατανοµής. 56. Η βαθµολογία 40 µαθητών σε ένα διαγώνισµα κυµάνθηκε από 5 έως 20. ∆ίνεται ότι: το 40% των µαθητών πήραν τουλάχιστον 11. 34 µαθητές βαθµολογήθηκαν µε βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 8, 22 µαθητές βαθµολογήθηκαν µε βαθµό κάτω του 14 , ενώ 36 µαθητές πήραν κάτω από 17. α) Να παραστήσετε τα δεδοµένα σε πίνακα συχνοτήτων β) Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο.


19

57. Η βαθµολογία ενός µαθητή σε 10 µαθήµατα είναι: 13 , 9 , 8 , 7 , 10 , 15 , 12 , 11 , 17 , 18 Να υπολογίσετε:

α) τη µέση τιµή χ β) τη διάµεσο δ γ) το εύρος R δ) τον συντελεστή µεταβολής CV 58. Nα βρεθεί η διακύµανση και η τυπική απόκλιση στα παρακάτω δείγµατα: α) 1,2,3,4,5,8 β)2,4,6,8,10,12 γ) -3,-2,-1,0,1,2,3 59. Στους παρακάτω πίνακες να υπολογίσετε τη µέση τιµή , τη διάµεσο , το εύρος , τη διακύµανση , την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή µεταβολής: α)

χi νi 2 1 4 2 6 2 8 1

Σύνολο β)

χi νi 1 4 2 3 3 2 4 1 5 1

Σύνολο γ) κλάσεις νi

[0,2) 4 [2,4) 1 [4,6) 2 [6,8) 1

Σύνολο


20

60. α) Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας κλάσεις κέντρο

κλάσης χi

vi fi Ni Fi vi χi χi- χ (χi- χ )2 vi (χi- χ )2

[0,2) 2 [2,4) 6 0,6 [4,6) 2 [6,8) [8,10) 0,1 Σύνολο β) Να υπολογιστεί η διακύµανση γ) Να υπολογιστεί ο συντελεστής µεταβολής 61. Η µέση τιµή και η διακύµανση 7 τιµών ενός δείγµατος είναι

χ =5 και S2 = 3 αντίστοιχα. Αν 20)χ(χ7

2i

2i =−∑

=

να βρεθεί η πρώτη

τιµή του δείγµατος. 62. Να αποδείξετε τους παρακάτω τύπους:

α) 2

ν

1i

2i

2 )χ(χν

1S −= ∑

=

β) 2

ν

1ii

2i

2 )χ(fχS −=∑=

63. Σε ένα δείγµα 20 µαθητών της Γ΄ Γυµνασίου βρήκαµε µέσο βάρος Aχ =40 kg και τυπική απόκλιση AS = 6 kg. Σε ένα άλλο

δείγµα 30 µαθητών της Γ΄ Λυκείου βρήκαµε µέσο βάρος Bχ =75 kg

και τυπική απόκλιση BS = 6 kg. Να βρεθεί ο συντελεστής µεταβολής του βάρους κάθε δείγµατος. Ποιο από τα δύο δείγµατα είναι πιο οµοιογενές?


21

64. Έστω δύο δείγµατα Α και Β µιας µεταβλητής Χ. Το Α έχει µέση τιµή -75 και τυπική απόκλιση 6. Το Β έχει µέση τιµή 50 και διακύµανση 36. α) Να βρείτε τους συντελεστές µεταβολής των δύο δειγµάτων β) Να εξετάσετε αν κάποιο από τα δείγµατα είναι οµοιογενές γ) Να βρείτε ποιο από τα δύο δείγµατα έχει µεγαλύτερη οµοιογένεια. 65. Oι παρατηρήσεις χ1 , χ2 ,..., χν ενός δείγµατος µεγέθους ν έχουν µέση τιµή χ = -8 και συντελεστή µεταβλητότητας CV=25%.

Αν 408)(χν

1i

2i =+∑

=

να βρείτε το µέγεθος του δείγµατος.

66. Έστω ότι η µέση τιµή ενός δείγµατος πέντε παρατηρήσεων

χ1 , χ2 ,..., χ5 είναι -2 , 102)(χ4

1i

2i =+∑

=

και χ5 = 1. Να δείξετε ότι το

δείγµα δεν είναι οµοιογενές. Ζ. Ψ = αΧ+β 67. Έστω χ1 , χ2 ,..., χν οι παρατηρήσεις µιας µεταβλητής Χ , που έχουν µέση τιµή 6 και τυπική απόκλιση 3. Να βρείτε τη µέση τιµή και την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων ψ1 , ψ2 ,..., ψν που προκύπτουν από τις χ1 , χ2 ,..., χν αν: α) αφαιρέσουµε από καθεµία το 2 β) πολλαπλασιάσουµε καθεµία µε το -2 γ) αυξήσουµε καθεµία κατά 8% δ) ελαττώσουµε καθεµία κατά 10% και µετά προσθέσουµε σε καθεµία το 1. 68. Έστω η ευθεία ε: ψ=-2χ+4 και τα σηµεία της Α1 , Α2 ,..., Αν µε τετµηµένες χ1 , χ2 ,..., χν που έχουν µέση τιµή -10 και τυπική απόκλιση 3. Να βρείτε το συντελεστή µεταβολής των τεταγµένων των σηµείων Α1 , Α2 ,..., Αν .


22

69. Έστω χ1 , χ2 ,..., χν οι παρατηρήσεις ενός δείγµατος µε µέση τιµή και διακύµανση 4. α) Να δείξετε ότι το δείγµα δεν είναι οµοιογενές. β) Πόσες µονάδες πρέπει να αυξήσουµε καθεµία από τις παρατηρήσεις ώστε το δείγµα να είναι οµοιογενές? 70. Έστω η καµπύλη C: ψ = χ2-4χ+3 και τα σηµεία της Α1 , Α2 ,..., Α10 µε τετµηµένες χ1 , χ2 ,..., χ10 που έχουν µέση τιµή 2 και τυπική απόκλιση 2. Να βρείτε τη µέση τιµή των τεταγµένων των παραπάνω σηµείων. 71**. Ένα δείγµα ν παρατηρήσεων µε θετικές τιµές έχει µέση τιµή χ διασπορά

2χS . Αν ισχύει 100

2χS =36 2χ , τότε:

α) Να υπολογίσετε το συντελεστή µεταβολής του δείγµατος και να εξετάσετε αν είναι οµοιογενές. β) Αν προσθέσουµε σε καθεµία από τις παρατηρήσεις την σταθερά ποσότητα c>0 , να βρείτε την ελάχιστη τιµή της c για την οποία το δείγµα είναι οµοιογενές. γ) Αν η µέση τιµή των τετραγώνων των παρατηρήσεων της αρχικής µεταβλητής Χ είναι 544 , να υπολογίσετε την µέση τιµή της µεταβλητής Χ. 72. Μια βιοµηχανία παρασκευάζει 4 προϊόντα Α , Β , Γ και ∆ µε κόστος παραγωγής 1 , 2 , 3 και 4 ευρώ και σε ποσοστά 40% , 30% 20% και 10% αντίστοιχα. α) Να βρείτε το µέσο κόστος παραγωγής και τον συντελεστή µεταβολής του κόστους παραγωγής των προϊόντων. β) Αν , λόγω αύξησης των πρώτων υλών, αυξηθεί το κόστος παραγωγής κάθε προϊόντος κατά 10% να βρείτε το νέο µέσο κόστος και να εξετάσετε αν θα µεταβληθεί ο νέος CV.


23

73***. α) Έστω χ1 , χ2 ,..., χν οι τιµές µίας µεταβλητής Χ. Να

αποδείξετε ότι: 2

ν

1i

2i

2 )χ(χν

1S −= ∑

=

β) Οι ηλικίες χ1 , χ2 ,..., χν , ν µαθητών έχουν συντελεστή CVχ=15%. Οι αντίστοιχες ηλικίες των ίδιων µαθητών πριν ένα έτος ακριβώς είχαν συντελεστή CVψ=16%. i) Να βρείτε τη µέση ηλικία χ και την τυπική απόκλιση S των τιµών χ1 , χ2 ,..., χν . ii) Μετά από πόσα έτη από σήµερα οι ηλικίες των µαθητών θα αποτελούν οµοιογενές δείγµα?

iii) Αν 176.26χ....χχ 2ν

22

21 =+++ , να δείξετε ότι ν=100

Η. Κανονική κατανοµή 74. Ο µέσος χρόνος που χρειάζονται οι µαθητές ενός σχολείου να πάνε το πρωί από το σπίτι τους µέχρι το σχολείο είναι 18 λεπτά µε τυπική απόκλιση 2 λεπτά. Υποθέτοντας ότι έχουµε περίπου κανονική κατανοµή , να βρείτε κατά προσέγγιση το ποσοστό των µαθητών που χρειάζονται: α) κάτω από 16 λεπτά β) πάνω από 14 λεπτά για να πάνε στο σχολείο τους γ) το πολύ 20 λεπτά δ) από 16 έως 22 λεπτά 75. Εξετάσαµε ένα δείγµα µαθητών ως προς το βάρος τους και διαπιστώθηκε ότι κυµαίνεται από 45 έως 75 κιλά , ενώ η κατανοµή βαρών είναι κανονική. α) Να βρείτε τη µέση τιµή και το εύρος β) Να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές γ) Αν το άθροισµα των βαρών είναι 1800 κιλά , να βρεθεί το µέγεθος του δείγµατος δ) Πόσοι µαθητές έχουν βάρος από 50 έως 60 κιλά?


24

76. Ο συντελεστής µεταβολής 200 παρατηρήσεων είναι 20% και το εύρος τους είναι 60. Οι τιµές της µεταβλητής ακολουθούν περίπου την κανονική κατανοµή. α) Να βρείτε το ποσοστό των τιµών που είναι i) µεταξύ 20 και 60 ii) µεγαλύτερες από 70 iii) µικρότερες από 40 β) Αν οι τιµές ελαττωθούν κατά 40% και στην συνέχεια αυξηθούν κατά 60 να βρείτε την µεταβολή που επιφέρεται στο συντελεστή µεταβολής. 77*. Σε έρευνα που έγινε στους µαθητές µιας πόλης , για το χρόνο που κάνουν για να πάνε από το σπίτι στο σχολείο , διαπιστώθηκε ότι το 50% περίπου των µαθητών χρειάζεται περισσότερο από 12 λεπτά , ενώ το 16% περίπου χρειάζεται λιγότερο από 10 λεπτά. Υποθέτουµε ότι η κατανοµή του χρόνου της διαδροµής είναι κατά προσέγγιση κανονική. α) Να βρείτε το µέσο χρόνο διαδροµής των µαθητών και την τυπική απόκλιση του χρόνου της διαδροµής τους. β) Να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές γ) Αν οι µαθητές της πόλης είναι 4000 , πόσοι µαθητές θα κάνουν χρόνο διαδροµής από 14 έως 16 λεπτά? δ) Μια µέρα , λόγω έργων στον κεντρικό δρόµο της πόλης, κάθε µαθητής καθυστέρησε 5 λεπτά. Να βρείτε τη διαφορά των δύο συντελεστών µεταβολής. (4ο Θέµα 2001) 78. Τα νούµερα των παπουτσιών 400 µαθητών ενός Λυκείου ακολουθούν περίπου κανονική κατανοµή. 10 µαθητές φοράνε παπούτσια µε νούµερο τουλάχιστον 43 και 64 µαθητές το πολύ 37. Να βρείτε πόσοι µαθητές φοράνε παπούτσια µε νούµερο από 37 έως 43.


25

Θ. Επαναληπτικά θέµατα 79. α) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα των τιµών της µεταβλητής Χ. τιµές χi vi fi fi% Ni vi χi χi

2 vi χi2

1 10 10 1 10 2 35 4 3 9

Σύνολο 50 1 100 β) Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο γ) Να δείξετε ότι S2 = 0,49 (2ο Θέµα 2000) 80. Ένα προϊόν πωλείται σε δέκα διαφορετικά καταστήµατα στις παρακάτω τιµές , σε ευρώ: 8 , 10 , 13 , 13 , 15 , 16 , 18 , 14 , 14 , 9 α) Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο β) Να υπολογίσετε το εύρος, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή µεταβολής γ) Αν οι τιµές του προϊόντος σε όλα τα καταστήµατα υποστούν έκπτωση 10% , να εξετάσετε αν θα µεταβληθεί ο συντελεστής µεταβολής. (3ο Θέµα 2002) 81. Το βάρος ενός δείγµατος µαθητών Λυκείου ακολουθεί κανονική κατανοµή. Το 50% των µαθητών έχουν βάρος το πολύ 65 Kg , ενώ περίπου το 47,5% αυτών έχουν βάρος από 65 Kg έως 75 Kg. α) Να υπολογίσετε τη µέση τιµή , τη διάµεσο και την τυπική απόκλιση του βάρους των µαθητών του δείγµατος. β) Να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές γ) Να υπολογίσετε το ποσοστό των µαθητών που έχουν βάρος από 55 Kg έως 70 Kg. δ) Ο αριθµός των µαθητών του δείγµατος που έχουν βάρος από 55 Kg έως 60 Kg είναι 27. Να υπολογίσετε το σύνολο των µαθητών του δείγµατος. (4ο Θέµα Επαναληπτικών 2003)


26

82. Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται η χρηµατική παροχή από τους γονείς , σε ευρώ , δείγµατος 6 µαθητών της πρώτης τάξης (οµάδα Α) και 6 µαθητών της δεύτερης τάξης (οµάδα Β) ενός Γυµνασίου.

Οµάδα Α Οµάδα Β 1 7 8 14 9 6 5 4 3 12 4 5

α) Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο των παρατηρήσεων κάθε οµάδας β) Να συγκρίνετε µεταξύ τους ως προς την οµοιογένεια τις δύο οµάδες γ) Αν σε κάθε παρατήρηση της οµάδας Α γίνει αύξηση 20% και οι παρατηρήσεις της οµάδας Β αυξηθούν κατά 5 ευρώ η καθεµία , πώς διαµορφώνονται οι νέες µέσες τιµές των δύο οµάδων? δ) Να συγκρίνετε µεταξύ τους ως προς την οµοιογένεια τις δύο οµάδες µε τα νέα δεδοµένα. (4ο Θέµα 2003) 83. Στην "Αττική Οδό" εξυπηρετούνται καθηµερινά 200 χιλιάδες οχήµατα τα οποία διανύουν από 5 έως 45 χιλιόµετρα. Η διανυόµενη απόσταση σε χιλιόµετρα από τα οχήµατα αυτά παρουσιάζεται στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα: κλάσεις σε χλµ

κέντρο κλάσης χi

vi

σε χιλιάδες fi% Ni

σε χιλιάδες Fi%

[5,15) 60 [15,25) 68 [25,35) 180 [35,45) Σύνολο 200

α) Να συµπληρώσετε τις τιµές που λείπουν β) Να σχεδιάσετε το ιστόγραµµα σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό και το αντίστοιχο πολύγωνο.


27

γ) Να βρείτε τη µέση τιµή χ

δ) Να βρείτε το πλήθος των οχηµάτων που διανύουν απόσταση τουλάχιστον 25 χιλιοµέτρων. (3ο Θέµα 2004) 84. Σε ένα διαγώνισµα Βιολογίας η βαθµολογία των µαθητών δίνεται από τον παρακάτω ιστόγραµµα συχνοτήτων: νi 25 20 15 10 5 0 4 8 12 16 20 βαθµός α) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: κλάσεις χi vi fi Ni Fi

[4,8) [8,12) [12,16) [16,20) Σύνολο

β) Να βρείτε τη µέση τιµή γ) Πόσοι µαθητές είχαν βαθµό το πολύ µέχρι και 10? (2ο Θέµα 2005)


28

85. Κατά την αρχή της σχολικής χρονιάς οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός Λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν κατά τη διάρκεια των θερινών διακοπών. Σύµφωνα µε τις απαντήσεις που δόθηκαν συντάχθηκε ο παρακάτω πίνακας. αριθµός βιβλίων

χi αριθµός µαθητών

νi 0 α+4 1 5α+8 2 4α 3 α-1 4 2α

Σύνολο 50 α) Να υπολογίσετε την τιµή του α Στην συνέχεια να βρείτε: β) Την µέση τιµή του αριθµού των βιβλίων που διάβασαν οι µαθητές γ) Τη διάµεσο του αριθµού των βιβλίων που διάβασαν οι µαθητές δ) Την πιθανότητα ένας µαθητής να έχει διαβάσει τουλάχιστον 3 βιβλία (2ο Θέµα 2006) 86. Θεωρούµε δύο δείγµατα Α και Β µε παρατηρήσεις: ∆είγµα Α: 12 , 18 , t3 , t4 , t5 , .... , t25 ∆είγµα Β: 16 , 14 , t3 , t4 , t5 , .... , t25

∆ίνεται ότι t3 + t4 + t5 + .... + t25 = 345

α)Να αποδείξετε ότι οι µέσες τιµές Αχ , Βχ και των δύο δειγµάτων

Α και Β είναι : Αχ = Βχ = 15

β) Αν 2AS είναι η διακύµανση του δείγµατος Α και

2BS είναι η

διακύµανση του δείγµατος Β να αποδείξετε ότι : 2AS -

2BS =16/25

γ) Αν ο συντελεστής µεταβολής CVA του δείγµατος Α είναι CVA =1/15 να βρείτε τον συντελεστή µεταβολής CVΒ του δείγµατος Β. (4ο Θέµα 2007)


29

87. Για δύο τύπους µπαταριών Α και Β επιλέχθηκαν δύο δείγµατα µεγέθους 5 το καθένα. Η χρόνοι ζωής των µπαταριών για το κάθε δείγµα (σε χιλιάδες ώρες) δίνονται στον επόµενο πίνακα:

Α Β 20 26 26 32 24 19 22 20 18 23

α) Να βρείτε τη µέση διάρκεια ζωής µιας µπαταρίας τύπου Α και µιας µπαταρίας τύπου Β β) Αν µια µπαταρία τύπου Α στοιχίζει 38 ευρώ και µια µπαταρία τύπου Β στοιχίζει 40 ευρώ , ποιόν τύπο µπαταρίας συµφέρει να αγοράσετε? (Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας)

γ) Να βρείτε τις τυπικές αποκλίσεις AS και BS της διάρκειας ζωής των δύο τύπων µπαταριών. δ) Να βρείτε ποιος από τους δύο τύπους µπαταριών παρουσιάζει µεγαλύτερη οµοιογένεια ως προς τη διάρκεια ζωής του. ∆ίνεται

3,311≅ (3ο Θέµα 2008) 88. Στον επόµενο πίνακα δίνεται η κατανοµή συχνοτήτων µιας µεταβλητής Χ.

χi νi 2 6 3 5 3 8 4

Αν είναι γνωστό ότι η µέση τιµή των παρατηρήσεων είναι χ =4 α) Να δείξετε ότι ν2=7 β) Να αποδείξετε ότι η διακύµανση των παρατηρήσεων είναι 4,9 γ) Να εξετάσετε αν το δείγµα των τιµών της µεταβλητής Χ είναι

οµοιογενές. ∆ίνεται 2,29,4 ≅ (2ο Θέµα 2009)


30

89. Οι τιµές της απώλειας βάρους , σε κιλά , 160 ατόµων , τα οποία ακολούθησαν ένα πρόγραµµα αδυνατίσµατος , έχουν οµαδοποιηθεί σε πέντε κλάσεις ίσου πλάτους , όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Απώλεια βάρους σε κιλά Κέντρο κλάσης χi Συχνότητα νi

[0 - ....) 20 [... - ...) 6 40 [... - ...) 45 [... - ...) 30 [... - ...) 25 Σύνολο 160

α) Να αποδείξετε ότι το πλάτος c κάθε κλάσης είναι ίσο µε 4 β) Αφού συµπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα , να υπολογίσετε τη µέση τιµή και την τυπική απόκλιση γ) Να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές δ) Αν κάθε άτοµο έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί , να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχοµένου: Α: " η απώλεια του βάρους ενός ατόµου που επιλέχθηκε τυχαία να είναι από 7 µέχρι 14 κιλά" (3ο Θέµα 2010) 90. Τα ψυγεία µιας εταιρείας συντήρησης τροφίµων είναι κατανεµηµένα σε 4 κλάσεις σύµφωνα µε τη θερµοκρασία Χ (σε βαθµούς C) που επικρατεί στο εσωτερικό τους ,όπως φαίνεται στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα:

κλάσεις κεντρικές τιµές χi

συχνότητα νi σχ. συχνότητα fi%

[-4 , -2) [-2 , 0) [0 , 2) [2 , 4) Σύνολο

Σε σχέση µε τον αριθµό των ψυγείων της πρώτης κλάσης , η δεύτερη κλάση έχει τριπλάσιο αριθµό και η τέταρτη πενταπλάσιο αριθµό ψυγείων.


31

α) Να αποδείξετε ότι η µέση θερµοκρασία των ψυγείων είναι χ =1°C β) Έστω ότι η τρίτη κλάση έχει ίδιο αριθµό ψυγείων µε την πρώτη κλάση. i) Να συµπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα και να κατασκευάσετε το πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. ii) Nα υπολογίσετε τη διάµεσο θερµοκρασία δ iii) Από το πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων , να εκτιµήσετε το ποσοστό των ψυγείων µε θερµοκρασία µεγαλύτερη από 0,5°C. 91. O χρόνος εργασίας 80 υπαλλήλων µιας εταιρείας , που εργάζονται από 5 έως 30 χρόνια , έχει ταξινοµηθεί σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους. Είναι γνωστό ότι το ύψος του ορθογωνίου του ιστογράµµατος συχνοτήτων που αντιστοιχεί στην τέταρτη κλάση είναι 30 , η συχνότητα της δεύτερης κλάσης είναι τετραπλάσια από την συχνότητα της τρίτης κλάσης , η σχετική συχνότητα της πρώτης κλάσης είναι 10% και ο αριθµός των υπαλλήλων που εργάζονται τουλάχιστον 15 χρόνια είναι 40. α) Να παραστήσετε τα παραπάνω δεδοµένα σε πίνακα κατανοµής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων , απολύτων και αθροιστικών. β) Να κατασκευάσετε ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο. γ) Να υπολογίσετε το ποσοστό των υπαλλήλων που εργάζονται λιγότερο από 23 χρόνια. δ) Πόσα τα πολύ χρόνια πρέπει να εργάζεται ένας υπάλληλος , ώστε να είναι µεταξύ των 60 υπαλλήλων µε τα λιγότερα χρόνια εργασίας?


32

Ι. Συνδυαστικά θέµατα 92**. Έστω Χ µια ποσοτική µεταβλητή ως προς την οποία εξετάζουµε ένα δείγµα µεγέθους ν και χ1 , χ2 ,..., χν οι παρατηρήσεις µε µέση τιµή χ και τυπική απόκλιση S. Έστω ότι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(χ) = 2χ3 – S·χ – 3 χ ·χ + 17 στο σηµείο της Α(2,-3) είναι παράλληλη στον χ΄χ. α) Να βρείτε τη µέση τιµή χ και την τυπική απόκλιση S β) Έστω χ =4 και S = 3 i) Αν ψ1 , ψ2 ,..., ψν οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τις χ1 , χ2 ,..., χν µε -2 και µετά προσθέσουµε το 1 , να εξετάσετε αν το καινούριο δείγµα είναι οµοιογενές. ii) Αν η κατανοµή είναι περίπου κανονική και 20 παρατηρήσεις έχουν τιµή τουλάχιστον 10 να βρείτε το πλήθος των παρατηρήσεων. 93**. ∆ίνεται η παρακάτω οµάδα αριθµών: 1 , 2χ , -3eχ , 2 , -χ , 2eχ , 1 , 1 , 1 α) Να βρείτε για ποια τιµή του χ η µέση τιµή του δείγµατος µεγιστοποιείται. β) Για την τιµή του χ που βρήκατε στο προηγούµενο ερώτηµα , να βρείτε τη µέση τιµή και τη διάµεσο της οµάδας αυτής των αριθµών γ) Να βρείτε την τυπική απόκλιση του δείγµατος για την τιµή του χ που βρήκατε στο ερώτηµα α) 94. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = (t1-χ)3+(t2-χ)3+....+(tν-χ)3 , χєR , όπου t1 , t2 ,...., tν οι παρατηρήσεις ενός δείγµατος µε τυπική απόκλιση S>0 και µέση τιµή χ

α) Να αποδείξετε ότι : 2

ν

1i

2i

2 )χ(tν

1S −= ∑

=

β) Να δείξετε ότι f΄(χ) = -3ν·(χ2 - 2 χ ·χ + S2 + χ 2) γ) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R


33

95. Έστω η συνάρτηση f(χ) = - 2χ2 + κχ + 4 χ + 10 , χ≥0. α) Αν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο της Α(1,f(1)) είναι παράλληλη στον χ΄χ , να αποδείξετε ότι κ=2 και να βρείτε την εξίσωσή της β) Μια τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέση

τιµή χ = f(1) και τυπική απόκλιση 13

f΄(4)2S −= . Τρεις παρατηρήσεις,

αντιπροσωπευτικού δείγµατος µεγέθους ν , είναι µικρότερες ή ίσες του 8. i) Να βρείτε τον αριθµό των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστηµα (10,16) ii) Nα αποδείξετε ότι το δείγµα των παρατηρήσεων που έχει ληφθεί δεν είναι οµοιογενές iii) Nα βρείτε την µικρότερη τιµή της παραµέτρου α>0 , που πρέπει να προστεθεί σε καθεµία από τις προηγούµενες παρατηρήσεις , ώστε το δείγµα των νέων παρατηρήσεων να είναι οµοιογενές. (4ο Θέµα 2006)

96. ∆ίνεται η συνάρτηση µε τύπο f(χ) = χ

1 , χ>0.

α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Λ(1,1) β) Από τυχαίο σηµείο Μ(χ,ψ) της γραφικής παράστασης της f φέρνουµε παράλληλες ευθείες προς τους άξονες χχ΄ και ψψ΄ , οι οποίες σχηµατίζουν µε τους ηµιάξονες Οχ , Οψ ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. Να βρεθούν οι συντεταγµένες του σηµείου Μ ώστε η περίµετρος του ορθογωνίου να είναι ελάχιστη. γ) Οι τετµηµένες πέντε διαφορετικών σηµείων της εφαπτοµένης του ερωτήµατος α) έχουν µέση τιµή χ =5 και τυπική απόκλιση

χS =2. Να βρεθεί η µέση τιµή ψ και η τυπική απόκλιση ψS των τεταγµένων των σηµείων. (4ο Θέµα 2005)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Documents

Transcript of ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ