194441315 στατιστικη

Τάξη Γ Μαθηματικά

Γενικής Παιδείας

Βασικές Έννοιες Παρουσίαση Στατιστικών Δεδομένων Γραφική Παράσταση Κατανομής Συχνοτήτων Μέτρα Θέσης Και Διασποράς

Προτεινόμενα Θέματα Ερωτήσεις Κατανόησης Διαγωνίσματα Απαντήσεις Θεμάτων Ασκήσεις

10

νi

25

35

5

10 20 18 16 14 12 xi

Κώστας Κουτσοβασίλης

Στατιστική

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στατιστική

http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

- 1 -

Ορισμός: Στατιστική είναι ο κλάδος των (εφαρμοσμένων) Μαθηματικών ο οποίος αποτελείται από ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για:

το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση και εξαγωγή αντίστοιχων συμπερασμάτων.

Πληθυσμός –Μεταβλητές Πληθυσμός λέγεται ένα σύνολο που εξετάζουμε τα στοιχεία του ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά . Τα στοιχεία του πληθυσμού συχνά αναφέρονται και ως μονάδες ή άτομα του πληθυσμού. Μεταβλητή λέγεται το χαρακτηριστικό ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό . Τιμές της μεταβλητής λέγονται οι δυνατές τιμές (διαφορετικές μεταξύ τους ) που μπορεί να πάρει η μεταβλητή Είδη μεταβλητών

Τις μεταβλητές τις διακρίνουμε: Σε ποιοτικές ή κατηγορικές και ποσοτικές Ποιοτικές είναι οι μεταβλητές, των οποίων οι τιμές τους δεν είναι αριθμοί. Παράδειγμα: η ομάδα αίματος (με τιμές Α, Β, ΑΒ, Ο), το φύλο (με τιμές αγόρι, κορίτσι) Ποσοτικές είναι οι μεταβλητές, των οποίων οι τιμές είναι αριθμοί .

Οι ποσοτικές διακρίνονται σε δυο κατηγορίες: Διακριτές Συνεχείς είναι οι μεταβλητές είναι οι μεταβλητές που παίρνουν μόνο που μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε “μεμονωμένες” τιμές. τιμή ενός διαστήματος πραγματικών αριθμών ),( .

Η στατιστική διαιρείται σε δυο κλάδους

Επαγωγική Στατιστική Ασχολείται με την εξαγωγή

συμπερασμάτων για ολόκληρο σύνολο δεδομένων με βάση τα χαρακτηριστικά μιας ομάδας

δεδομένων

Περιγραφική Στατιστική Ασχολείται με τη σύμπτυξη-

παρουσίαση ποσοτικών πληροφοριών μιας ή περισσοτέρων

συγκεκριμένων ομάδων

Βασ ι κ έ ς Έ ν ν ο ι ε ς



- 2 -

Συλλογή Στατιστικών Δεδομένων Όταν συλλέγουμε σταστιστικά δεδομένα , λέμε ότι κάνουμε

Απογραφή: Όταν εξετάζουμε όλα τα άτομα του πληθυσμού ως προς το χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει Δειγματοληψία Όταν εξετάζουμε ένα μικρό μέρος (υποσύνολο) του πληθυσμού το οποίο λέγεται δείγμα και μετά γενικεύουμε τα συμπεράσματα για ολόκληρο τον πληθυσμό. Όταν το δείγμα λαμβάνεται από ανθρώπινο πληθυσμό , τότε η στατιστική μελέτη

και έρευνα ονομάζεται δημοσκόπηση Το πλήθος των στοιχείων (ατόμων) του δείγματος , λέγεται και μέγεθος του

δείγματος και συμβολίζεται συνήθως με ν

Στατιστικοί Πίνακες Μετά τη συλλογή των στατιστικών δεδομένων είναι αναγκαία η κατασκευή

συνοπτικών πινάκων ή γραφικών παραστάσεων, ώστε να είναι εύκολη η κατανόησή τους και η εξαγωγή σωστών συμπερασμάτων. Η παρουσίαση των στατιστικών δεδομένων σε πίνακες γίνεται με την κατάλληλη τοποθέτηση των πληροφοριών σε γραμμές και στήλες, με τρόπο που να διευκολύνεται η σύγκριση των στοιχείων και η καλύτερη ενημέρωση του αναγνώστη σχετικά με τη δομή του πληθυσμού που ερευνάμε. Οι πίνακες διακρίνονται στους:

Γενικούς πίνακες Ειδικούς πίνακες Οι γενικοί πίνακες περιέχουν όλες τις Οι ειδικοί πίνακες είναι συνοπτικοί πληροφορίες που προκύπτουν και σαφείς από μία στατιστική έρευνα Τα στοιχεία τους συνήθως έχουν και αποτελούν πηγές στατιστικών ληφθεί από τους γενικούς πίνακες πληροφοριών στη διάθεση των επιστημόνων-ερευνητών για παραπέρα ανάλυση και εξαγωγή συμπερασμάτων. Οι πίνακες περιέχουν:

α. τον τίτλο, που γράφεται στο επάνω μέρος του πίνακα και δηλώνει με σαφήνεια και συνοπτικά το περιεχόμενο του πίνακα,

β. τις επικεφαλίδες των γραμμών και στηλών, που δείχνουν συνοπτικά τη φύση και τις μονάδες μέτρησης των δεδομένων,

Παρο υ σ ί α σ η Σ τ α τ ι σ τ ι κώ ν Δ ε δ ο μ έ νω ν



- 3 -

γ. το κύριο σώμα (κορμό), που περιέχει τα στατιστικά δεδομένα. δ. την πηγή, που γράφεται στο κάτω μέρος του πίνακα και δείχνει την

προέλευση των στατιστικών στοιχείων, έτσι ώστε ο αναγνώστης να ανατρέχει σ’ αυτήν, όταν επιθυμεί, για επαλήθευση στοιχείων ή για λήψη περισσότερων πληροφοριών.

Πίνακες Κατανομής Συχνοτήτων Απόλυτη συχνότητα i ή απλά συχνότητα, της τιμής xi λέγεται ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή ix της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων.

Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος, δηλαδή:

v...21 Σχετική συχνότητα if , της τιμής xi είναι ο αριθμός που προκύπτει αν διαιρέσουμε τη συχνότητα i με το μέγεθος ν του δείγματος, δηλαδή

,...,2,1i,f ii .

Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: i. 1f0 i για ,...,2,1i ii. 1f...ff 21 Απόδειξη:

i. Είναι

ii

i 0101f0 που ισχύει.

ii. Έχουμε 1......f...ff 212121

.

Συνήθως, τις σχετικές συχνότητες if τις εκφράζουμε επί τοις εκατό, οπότε συμβολίζονται με %fi , δηλαδή ii f100%f .

Κατανομή συχνοτήτων λέγεται το σύνολο των ζευγών ),x( ii Κατανομή σχετικών συχνοτήτων λέγεται το σύνολο των ζευγών )f,x( ii , ή των ζευγών %)f,x( ii . Αθροιστικές Συχνότητες Στην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών εκτός από τις συχνότητες i και if χρησιμοποιούνται συνήθως και οι λεγόμενες αθροιστικές συχνότητες iN και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες iF .



- 4 -

Ονομάζουμε αθροιστική συχνότητα iN της τιμής xi το άθροισμα των απόλυτων συχνοτήτων όλων των τιμών της μεταβλητής που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής xi . Δηλαδή iN =ν1+ν2+...+νκ Ονομάζουμε σχετική αθροιστική συχνότητα iF της τιμής xi το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων όλων των τιμών της μεταβλητής που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής xi . Δηλαδή iF =f1+f2+...+fκ Συνήθως τη σχετική αθροιστική συχνότητα την εκφράζουμε επι τοις εκατό, οπότε λέγεται σχετική αθροιστική συχνότητα επι τοις εκατό iF % Ισχύουν οι σχέσεις:

,N11 1122 NN,...,NN και

,Ff 11 1122 FFf,...,FFf .

I. Ραβδόγραμμα Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. Το ραβδόγραμμα αποτελείται από ορθογώνιες στήλες που οι βάσεις τους βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο ή τον κατακόρυφο άξονα. Σε κάθε τιμή της μεταβλητής Χ αντιστοιχεί μια ορθογώνια στήλη της οποίας το ύψος είναι ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα ή σχετική συχνότητα. Έτσι έχουμε αντίστοιχα το ραβδόγραμμα συχνοτήτων και το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων. Τόσο η απόσταση μεταξύ των στηλών όσο και το μήκος των βάσεών τους καθορίζονται αυθαίρετα.

II. Διάγραμμα Συχνοτήτων

Στην περίπτωση που έχουμε μια ποσοτική μεταβλητή αντί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχνοτήτων Αυτό μοιάζει με το ραβδόγραμμα με μόνη διαφορά ότι αντί να χρησιμοποιούμε συμπαγή ορθογώνια υψώνουμε σε κάθε ix (υποθέτοντας ότι x...xx 21 ) μία κάθετη γραμμή με μήκος ίσο προς την αντίστοιχη συχνότητα Μπορούμε επίσης αντί των συχνοτήτων i στον κάθετο άξονα να βάλουμε τις σχετικές συχνότητες if , οπότε έχουμε το διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων. Ενώνοντας τα σημεία ),x( ii ή )f,x( ii έχουμε το λεγόμενο πολύγωνο συχνοτήτων ή πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων.

Γραφική Παράσταση Κατανομής Συχνοτήτων



- 5 -

III. Κυκλικό Διάγραμμα

Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο των ποιοτικών όσο και των ποσοτικών δεδομένων, όταν οι διαφορετικές τιμές της μεταβλητής είναι σχετικά λίγες. Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή ,ισοδύναμα, τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες i ή τις σχετικές συχνότητες if των τιμών ix της μεταβλητής. Αν συμβολίσουμε με i το αντίστοιχο τόξο ενός κυκλικού τμήματος στο κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων, τότε

io

o

ii f360360

για ,...,2,1i .

IV. Σημειόγραμμα

Όταν έχουμε λίγες παρατηρήσεις, η κατανομή τους μπορεί να περιγραφεί με το σημειόγραμμα στο οποίο οι τιμές παριστάνονται γραφικά σαν σημεία υπεράνω ενός οριζόντιου άξονα

V. Χρονόγραμμα.

Το χρονόγραμμα ή χρονολογικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική απεικόνιση της διαχρονικής εξέλιξης ενός οικονομικού, δημογραφικού ή άλλου μεγέθους. Ο οριζόντιος άξονας χρησιμοποιείται συνήθως ως άξονας μέτρησης του χρόνου και ο κάθετος ως άξονας μέτρησης της εξεταζόμενης μεταβλητής. Κλάσεις λέγονται οι ομάδες που ταξινομούνται οι τιμές μιας μεταβλητής , ώστε κάθε τιμή να ανήκει σε μια μόνο κλάση Συνήθως υιοθετούμε την περίπτωση που μια κλάση περιέχει το κάτω άκρο της (κλειστή αριστερά) αλλά όχι το άνω άκρο της (ανοικτή δεξιά), δηλαδή που οι κλάσεις είναι της μορφής [ , ). Όρια των κλάσεων λέγονται τα άκρα των κλάσεων Κεντρική τιμή μιας κλάσης λέγεται η τιμή του κέντρου της κλάσης Πλάτος μιας κλάσης λέγεται η διαφορά του κατώτερου από το ανώτερο όριο της κλάσης. Εύρος του δείγματος λέμε τη διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του δείγματος.

Ομαδοποίηση Παρατηρήσεων



- 6 -

Συχνότητα κλάσης ή συχνότητα της κεντρικής τιμής xi λέγεται το πλήθος των παρατηρήσεων νi που ανήκουν στην κλάση αυτή. Για να υπολογίσουμε το πλάτος c των κλάσεων διαιρούμε το εύρος R διά του αριθμού των κλάσεων κ, στρογγυλεύοντας, αν χρειαστεί για λόγους διευκόλυνσης, πάντα προς τα πάνω.

Σχόλιο: Καμία παρατήρηση δεν μπορεί να μείνει έξω από κάποια κλάση. Οι κεντρικές τιμές διαφέρουν μεταξύ τους όσο και το πλάτος των κλάσεων. Μία παρατήρηση που συμπίπτει με το άνω άκρο μιας κλάσης θα τοποθετηθεί κατά τη διαλογή στην αμέσως επόμενη κλάση Ιστόγραμμα Συχνοτήτων Ιστόγραμμα συχνοτήτων λέγεται η γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομένα Το ιστόγραμμα συχνοτήτων αποτελείται από διαδοχικά ορθογώνια τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδόν του κάθε ορθογωνίου να ισούται με τη συχνότητα της κλάσης αυτής. Σε ένα ιστόγραμμα συχνοτήτων στον κατακόρυφο άξονα βάζουμε τις συχνότητες. Αν στα ιστογράμματα συχνοτήτων θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στην αρχή και στο τέλος, με συχνότητα μηδέν και στη συνέχεια ενώσουμε τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων, σχηματίζεται το λεγόμενο πολύγωνο συχνοτήτων. Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το άθροισμα των συχνοτήτων, δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος ν. Όμοια κατασκευάζεται από το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων με εμβαδόν ίσο με 1 Με τον ίδιο τρόπο κατασκευάζονται και τα ιστογράμματα αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. Αν ενώσουμε σε ένα ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων τα δεξιά άκρα (όχι μέσα) των άνω βάσεων των ορθογωνίων με ευθύγραμμα τμήματα βρίσκουμε το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων της κατανομής



- 7 -

δ γ β α

Καμπύλες Συχνοτήτων Καμπύλη συχνοτήτων ονομάζεται η καμπύλη που παίρνει την μορφή της από τη πολυγωνική γραμμή συχνοτήτων όταν ο αριθμός των κλάσεων είναι αρκετά μεγάλος (τείνει στο άπειρο) και το πλάτος των κλάσεων είναι αρκετά μικρό (τείνει στο μηδέν).

Η μορφή μιας κατανομής συχνοτήτων εξαρτάται από το πώς είναι κατανεμημένες οι παρατηρήσεις σε όλη την έκταση του εύρους τους.

Ομοιόμορφη κατανομή λέγεται η κατανομή που οι παρατηρήσεις “κατανέμονται” ομοιόμορφα σε ένα διάστημα [α, β] (σχήμα (α))

Κανονική κατανομή λέγεται η κατανομή που έχει καμπύλη με “κωδωνοειδή”μορφή (σχήμα (β))

Μια κατανομή λέγεται ασύμμετρη όταν οι παρατηρήσεις δεν είναι συμμετρικά κατανεμημένες.

Μια κατανομή λέμε ότι είναι ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία όταν η καμπύλη συχνοτήτων της έχει το σχήμα (γ) και ασύμμετρη με αρνητική ασυμμετρία όταν έχει το σχήμα (δ).

Σχόλιο Οι παρατηρήσεις στις κλάσεις θεωρείται ότι κατανέμονται ομοιόμορφα Αν σε μια κλάση [α,β) με πλάτος c=β-α και κεντρική τιμή xi οι παρατηρήσεις κατανέμονται ομοιόμορφα , τότε σε κάθε «υποδιάστημα» [γ,δ) του [α,β) με πλάτος

c δ-γ θα υπάρχουν i παρατηρήσεις και θα ισχύειi

i



- 8 -

Μέτρα Θέσης μιας κατανομής λέμε τα μέτρα (αριθμητικά μεγέθη), που μας δίνουν τη θέση του “κέντρου” των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα Μέτρα διασποράς ή μέτρα μεταβλητότητας μιας κατανομής λέμε τα μέτρα (αριθμητικά μεγέθη), που μας δίνουν τη διασπορά των παρατηρήσεων, δηλαδή πόσο αυτές εκτείνονται γύρω από το “κέντρο” τους. Μέτρα ασυμμετρίας λέγονται τα μέτρα που συνήθως εκφράζονται σε συνάρτηση με τα μέτρα θέσης και διασποράς. Μέτρα Θέσης Μέση Τιμή )x( Ορισμός: Η μέση τιμή ενός συνόλου ν παρατηρήσεων ορίζεται ως το άθροισμα των παρατηρήσεων διά του πλήθους των παρατηρήσεων.

Εύρεση μέσης τιμής Όταν οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είναι όλες διαφορετικές μεταξύ τους τότε για την εύρεση της μέσης τιμής χρησιμοποιούμε τον τύπο :

1i

i1i

i21 t1

tt...ttx

Αν οι παρατηρήσεις x,...,x,x 21 έχουν συχνότητα v,...,v,v 21 αντίστοιχα, τότε

θα χρησιμοποιούμε τον τύπο:

1i

ii

1ii

1iii

21

2211 x1x

...x...xxx

Αν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο καλό θα είναι να συμπληρώσουμε τον πίνακα συχνοτήτων με την στήλη xiνi

Όταν γνωρίζουμε τη σχετική συχνότητα fi της παρατήρησης xi τότε χρησιμοποιούμε τον τύπο:

Μέτρα θέσης και Διασποράς



- 9 -

1i 1i

iii

i fxxx

Στην περίπτωση ομαδοποιημένων παρατηρήσεων , ως παρατήρηση xi θα

παίρνουμε την κεντρική τιμή της i-κλάσης

Σταθμικός Μέσος Στις περιπτώσεις που δίνεται διαφορετική βαρύτητα (έμφαση) στις τιμές x,...,x,x 21 ενός συνόλου δεδομένων, τότε αντί του αριθμητικού μέσου χρησιμοποιούμε τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο ή σταθμικό μέσο Εάν σε κάθε τιμή x,...,x,x 21 δώσουμε διαφορετική βαρύτητα, που εκφράζεται με τους λεγόμενους συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας) w,...,w,w 21 , τότε ο σταθμικός μέσος βρίσκεται από τον τύπο:

1ii

1iii

21

2211

w

wx

w...wwwx...wxwxx .

Διάμεσος (δ) Ορισμός: Διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, όταν το ν είναι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δύο μεσαίων παρατηρήσεων όταν το ν είναι άρτιος αριθμός Η διάμεσος είναι η τιμή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από την τιμή αυτήν

Υπολογισμός Διαμέσου σε ποσοτικές διακριτές μεταβλητές Όταν οι παρατηρήσεις είναι λίγες τις διατάσουμε σε αύξουσα σειρά , ενώ όταν το πλήθος των παρατηρήσεων ν είναι μεγάλο κατασκευάζουμε πίνακα αθροιστικών συχνοτήτων (Νi) Αν ν περιττός τότε δ=

21t

Αν ν άρτιος τότε η διάμεσος δ αντιστοιχεί στο ημιάθροισμα των δυο μεσαίων

παρατηρήσεων που είναι οι παρατηρήσεις 2

t και 1

2

t

δηλαδή 2

tt1

22



- 10 -

Υπολογισμός διαμέσου σε ομαδοποιημένη μορφή Όταν τα δεδομένα μιας μεταβλητής Χ είναι ομαδοποιημένα σε κλάσεις , τότε η διάμεσος υπολογίζεται γραφικά ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα: Κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων Από το σημείο του κατακόρυφου άξονα που αντιστοιχεί στο 50% φέρουμε παράλληλη στον οριζόντιο άξονα μέχρι να συναντήσει την πολυγωνική γραμμή Από το σημείο τομής φέρουμε κάθετη στον xx . Το ίχνος της καθέτου είναι και το σημείο στο οποίο αντιστοιχεί η διάμεσος Ο υπολογισμός της διαμέσου γίνεται με τη βοήθεια των όμοιων τριγώνων που σχηματίζονται στο ιστόγραμμα Fi% ή με την εξίσωση της ευθείας . Μέτρα Διασποράς Εύρος (R) Ορισμός: Το εύρος ή κύμανση (R), ορίζεται ως η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση, δηλαδή:

Εύρος R Μεγαλύτερη παρατήρηση-Μικρότερη παρατήρηση

Όταν έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα , το εύρος ορίζεται ως η διαφορά του κατωτέρου ορίου της πρώτης κλάσης από το ανώτερο όριο της τελευταίας κλάσης.

Το εύρος είναι ένα αρκετά απλό μέτρο, που υπολογίζεται εύκολα δε θεωρείται όμως αξιόπιστο μέτρο διασποράς, γιατί βασίζεται μόνο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις. Διακύμανση (s2) Ορισμός: Διακύμανση ή διασπορά των παρατηρήσεων t1, t2,…tν μιας μεταβλητής X καλείται ο μέσος όρος των τετραγώνων των αποκλίσεων των it από τη μέση τιμή τους x και ορίζεται από τη σχέση

1i

2i

2 )xt(1s

Όταν έχουμε πίνακα συχνοτήτων ή ομαδοποιημένα δεδομένα, η διακύμανση ορίζεται από τη σχέση:



- 11 -

x s x s x s x x s x s x s 3 2 2 3

99,7% 95% 68%

34 34

13,5

13,5

2,35

2,35

0,15 0,15

s s

κ

1ii

2i

2 ν)xx(ν1s

Έστω t1,t2,…tν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής X ενός δείγματος

μεγέθους ν , που έχουν μέση τιμή x . Σχηματίζουμε τις διαφορές t1- x ,t2-x ,…,tν

-x Να αποδείξετε ότι ο αριθμητικός μέσος των διαφορών αυτών είναι ίσος με μηδέν Απόδειξη:

Έχουμε : 0xxxt...tt)xt(...)xt()xt( 2121

Τυπική Απόκλιση (s) Τυπική Απόκλιση λέμε τη θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης και δίνεται από τη σχέση 2ss Να σημειωθεί ότι αν η καμπύλη συχνοτήτων για το χαρακτηριστικό που εξετάζουμε είναι κανονική ή περίπου κανονική , τότε η τυπική απόκλιση s έχει τις παρακάτω ιδιότητες:

i) το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα )sx,sx( ii) το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα )s2x,s2x( iii) το 99,7% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα )s3x,s3x( iv) το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπικές αποκλίσεις, δηλαδή s6R . Συντελεστής Mεταβολής (CV) Ο Συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας CV ορίζεται από το λόγο

xs

τιμήμέσηαπόκλισητυπικήCV . αν 0x

και |x|

sCV αν 0x

Ο συντελεστής μεταβολής εκφράζεται επί τοις εκατό, είναι συνεπώς



- 12 -

ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης και παριστάνει ένα μέτρο σχετικής διασποράς των τιμών και όχι της απόλυτης διασποράς. Σχόλια: Ένα δείγμα Α έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια από ένα δείγμα Β όταν CVCVA Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές όταν ο συντελεστής μεταβολής δεν ξεπερνά το 10% δηλαδή %10CV Έστω v21 x,...,x,x ν παρατηρήσεις με μέση τιμή x και τυπική απόκλιση xs . α . Αν v21 y,...,y,y είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν προσθέσουμε σε καθεμιά από τις v21 x,...,x,x μια σταθερά c, τότε: i. cxy , ii. xy ss β. Αν v21 y,...,y,y είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν πολλαπλασιά- σουμε τις v21 x,...,x,x επί μια σταθερά c, τότε: i. xcy , ii. xy s|c|s Σχόλιο: δ= x δ < x x <δ Κανονική κατανομή Θετική ασυμμετρία Αρνητική ασυμμετρία Η μέση τιμή και η Η μέση τιμή Η μέση τιμή διάμεσος λόγω μετατοπίζεται δεξιά μετατοπίζεται αριστερά συμμετρίας συμπίπτουν γιατί επηρεάζεται γιατί επηρεάζεται από τις δεξιές από τις αριστερές ακραίες ακραίες τιμές τιμές



- 13 -

Παρουσίαση Στατιστικών Δεδομένων Θέμα 1. Τα αποτελέσματα του διαγωνίσματος των μαθητών του τμήματος Γ1 του 2ου Λυκείου Λιβαδειάς στο μάθημα ¨Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής¨ ήταν τα ακόλουθα : 6, 10, 6, 4, 13, 20, 18, 15, 20, 19, 17, 20, 5, 5, 6, 9, 19, 6, 18, 6, 9 Να βρείτε: α. Ποιoς είναι ο πληθυσμός β. Ποια είναι τα άτομα γ. Ποιες είναι οι παρατηρήσεις δ. Ποια είναι η μεταβλητή και σε ποια κατηγορία ανήκει ε. Ποιες είναι οι τιμές της μεταβλητής. Θέμα 2. Οι βαθμοί σε ένα διαγώνισμα Μαθηματικών, που δόθηκε σε ένα τμήμα 25 μαθητών της ΓΛυκείου ήταν:

5 15 16 19 10 16 16 20 5 16 9 15 10 9 17 17 13 17 15 13 11 19 19 9 19

Να κατασκευάσετε πίνακα Α. Συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων Β. α. Πόσοι μαθητές είχαν βαθμό τουλάχιστον 15; β. Πόσοι μαθητές είχαν βαθμό μεγαλύτερο από 13; γ. Τι ποσοστό μαθητών είναι κάτω από τη βάση; (10) δ. Τι ποσοστό είναι πάνω από 16; ε. Τι ποσοστό είναι μεταξύ 15 και 19; στ. Τι δείχνει η αθροιστική συχνότητα Ν5; ζ. Τι δείχνει η αθροιστική συχνότητα F3%; Θέμα 3. Η σχετική συχνότητα Fi% σε ένα δείγμα μεγέθους ν μιας μεταβλητής X δίνεται από τον τύπο Fi%=3i2+5i α. Να βρεθούν τα f1 και f2 β. Να αποδειχθεί ότι fi%=6i+2 Θέμα 4. Aν μια μεταβλητή X παίρνει μόνο δυο τιμές x1 ,x2 με σχετικές συχνότητες f1, f2

αντίστοιχα ,να δείξετε ότι: 41ff 21

Προ τ ε ι ν ό μ ε ν α Θ έμ α τ α



- 14 -

Μετρό 900

1200

Αυτοκίνητο

660 Μηχανή

πεζοί840

Θέμα 5. Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες: α. β.

xi νi fi fi% Νi Fi Fi% 0 10 10 0,15 20 0,60 30 5 40 20

Συν. Θέμα 6. Οι τιμές x1 , x2 , x3 , x4 μιας μεταβλητής x ενός δείγματος μεγέθους ν έχουν σχετικές

συχνότητες 101 , 2

51 , 2

103

, 52 αντίστοιχα

α. Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό λ β. Αν η απόλυτη συχνότητα της τιμής x3 είναι 30 , να υπολογίσετε το μέγεθος ν του δείγματος και να βρείτε τις υπόλοιπες απόλυτες συχνότητες. Θέμα 7. Σε μια έρευνα που έγινε σε 100 μαθητές ενός Λυκείου για το τι θέλουν να σπουδάσουν , οι 60 επέλεξαν θετικές επιστήμες, οι 20 οικονομικές επιστήμες, οι 15 θεωρητικές επιστήμες και 5 επιστήμες υγείας. Να κατασκευάσετε α. Το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων β. Κυκλικό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων Θέμα 8. Το κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων του διπλανού σχήματος παρουσιάζει το μεταφορικό μέσο με το οποίο 60 εργαζόμενοι πάνε στη δουλειά τους. α. Πόσοι εργαζόμενοι πάνε στη δουλειά τους με κάθε μεταφορικό μέσο; β. Ποιο είναι το ποσοστό των εργαζόμενων που πάει στη δουλειά του με αυτοκίνητο;

xi νi fi% Νi Fi -1 4 0,1 0 30 2 3 6

Συν.



- 15 -

05

101520253035404550

2005 2006 2007 2008 2009 2010

0

1

2

3

4

A B Γ Δ

Δ θ4

θ3

Γ

θ2 Β

Aθ1

0

10

20

30

40

A B Γ Δ

Β 2φ

3φ Γ

4φ Δ

Aφ

Θέμα 9. Στο διπλανό χρονόγραμμα παρουσιάζονται τα έσοδα και τα έξοδα μιας εταιρείας ( σε εκατ. ευρώ) από το έτος 2005 έως το 2010. α. Έπειτα από ποια χρονιά η εταιρεία αρχίζει να έχει έσοδα β. Ποια χρονιά η εταιρεία είχε τη μεγαλύτερη ζημιά και ποια το μεγαλύτερο κέρδος; γ. Να περιγράψετε την οικονομική κατάσταση της εταιρείας το 2008 δ. Να γίνει συγκριτικό ραβδόγραμμα εσόδων εξόδων ε. Ποια είναι η συνολική οικονομική κατάσταση της εταιρείας από το 2005 και μετά; Θέμα 10. Με τη βοήθεια του παρακάτω ραβδογράμματος να βρείτε τις γωνίες θ1, θ2, θ3, θ4 του κυκλικού διαγράμματος

Θέμα 11. Με τη βοήθεια του κυκλικού διαγράμματος να συμπληρώσετε το παρακάτω ραβδόγραμμα συχνοτήτων

Έσοδα και Έξοδα εταιρείας

Εκατ

ομύρ

ια E

υρώ

xi

νi

xi

νi

Yπόμνημα Έσοδα Έξοδα



- 16 -

3 Ταινίες300

4 Ταινίες

1170

1 Ταινία

2 Ταινίες 720

0 Ταινίες

270

(3x+30)0

ΛΙΑΝ ΚΑΛΩΣ (4x+30)0

ΣΧΕΔΟΝ ΚΑΛΩΣ

(10x-15)0

ΚΑΛΩΣ

AΡΙΣΤΑ(2x+30)0

Θέμα 12. Στο διπλανό κυκλικό διάγραμμα φαίνονται τα αποτελέσματα μιας έρευνας σε 120 μαθητές για το πλήθος των ταινιών που παρακολούθησαν τον τελευταίο μήνα Να το μετατρέψετε σε διάγραμμα συχνοτήτων

Θέμα 13. Η τιμή μιας μετοχής στη διάρκεια των 6 πρώτων μηνών του 2010 ακολούθησε την παρακάτω εξέλιξη: Την 1η Ιανουαρίου ήταν 3 ευρώ Την 1η Φεβρουαρίου αυξήθηκε τόσο τοις % όσο η ρίζα της εξίσωσης 10x3-5x2+10x-5=0 Την 1η Μαρτίου μειώθηκε κατά 0,3 ευρώ

Την 1η Απριλίου μειώθηκε όσο και το 3xx3x

3x4xlim 23

2

3x

Την 1η Μαίου δεν άλλαξε Την 1η Ιουνίου μειώθηκε κατά 0,2 ευρώ Και την 1η Ιουλίου ήταν αυξημένη κατά το διπλάσιο της αύξησης του Φεβρουαρίου Να κατασκευάσετε το χρονόγραμμα εξέλιξης της μετοχής τους έξι αυτούς μήνες. Θέμα 14. Στο διπλανό κυκλικό διάγραμμα παριστάνεται η βαθμολογία Των μαθητών ενός σχολείου στις τέσσερις κατηγορίες «ΑΡΙΣΤΑ» , «ΛΙΑΝ ΚΑΛΩΣ», «ΚΑΛΩΣ», και «ΣΧΕΔΟΝ ΚΑΛΩΣ». Αν οι μαθητές με επίδοση «ΣΧΕΔΟΝ ΚΑΛΩΣ» είναι 180 , να βρείτε: α. Τον αριθμό x και το μέτρο των τόξων β. Το πλήθος όλων των μαθητών γ. Το πλήθος των μαθητών ανά κατηγορία και να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα συχνοτήτων. Θέμα 15. Με ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνεται το μορφωτικό επίπεδο των 400 ατόμων που εργάζονται σε μια επιχείρηση σε τέσσερις κατηγορίες: Α: Κατηγορία απόφοιτοι Γυμνασίου Β: Κατηγορία απόφοιτοι Λυκείου Γ: Κατηγορία Πτυχιούχοι Ανώτατης Εκπαίδευσης



- 17 -

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

02468

101214161820

Δ: Κατηγορία Μεταπτυχιακού Τίτλου Κάθε εργαζόμενος ανήκει σε μια μόνο από τις κατηγορίες αυτές Στην Α κατηγορία ανήκει το 25% των εργαζομένων της επιχείρησης Η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στους εργαζόμενους της Δ κατηγορίας είναι 180 . Οι εργαζόμενοι της επιχείρησης της Β κατηγορίας είναι εξαπλάσιοι των εργαζομένων της Γ κατηγορίας. α. Να υπολογίσετε τον αριθμό των εργαζομένων κάθε κατηγορίας β. Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα συχνοτήτων

Σεπτέμβριος 2000 Θέμα 16. Στο διπλανό σχήμα δίνεται το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων για τη μεταβλητή « Η βαθμολογία των μαθητών στο Μάθημα της Στατιστικής»

Η γωνία

που φαίνεται στο σχήμα είναι 450 η συχνότητα της τιμής x3 είναι 30 και η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην τιμή x4 είναι 540 α. Να βρεθεί το μέγεθος του δείγματος β. Να κατασκευαστεί πίνακας αθροιστικών συχνοτήτων γ. Πόσοι μαθητές έχουν βαθμολογία i. από 5 έως 15 ii. το πολύ 10 iii. τουλάχιστον 15 Θέμα 17. Το ιστόγραμμα συχνοτήτων μιας κατανομής είναι το διπλανό . Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων με στήλες τις κλάσεις του δείγματος και τα xi, νi, Ni, fi%, Fi%

Θέμα 18. Έστω ότι οι τιμές μιας μεταβλητής X έχουν ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους με κεντρικές τιμές x1=20, x2=30, x3=40, x4=50 α. Να βρεθεί το πλάτος c των κλάσεων β. Να βρεθούν τα όρια κάθε κλάσης.

0 5 10 15 20 xi

Α Β Γ

Νi

2 6 10 14 18 xi



- 18 -

10

Fi%

35

60

100

95

10 20 18 16 14 12 xi

200

νi

ν2

45

ν3

10 50 40 30 20 xi

Θέμα 19. Να συμπληρώσετε τον πίνακα , αν γνωρίζετε ότι η σχετική συχνότητα της 4ης κλάσης είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της 2ης κλάσης

Κλάσεις Κέντρο κλάσης xi

Σχετική συχνότητα fi

[...,...) ... 0,1 [...,7) ... ... [...,...) ... 0,3 [...,...) 10 ...

Σύνολο 1

Θέμα 20. Στον διπλανό πίνακα δίνεται η κατανομή των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων των χρημάτων σε ευρώ που διαθέτουν εβδομαδιαία οι 50 μαθητές δυο τμημάτων της Α Λυκείου ενός σχολείου. Αν η σχετική συχνότητα της 3ης κλάσης είναι 4-πλάσια από αυτήν της 4ης κλάσης να βρεθούν : α. Οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες F3 ,F4 β. Το πλήθος των μαθητών που διαθέτουν από 5 έως 15 ευρώ κάθε εβδομάδα. Θέμα 21. Στο διπλανό σχήμα δίνεται το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων του βαθμού του απολυτηρίου των 100 μαθητών της Γ Λυκείου ενός σχολείου. Να βρεθεί: α. Το πλήθος των μαθητών της κάθε κλάσης β. Το ποσοστό των μαθητών με βαθμό από 16 έως 20 γ. Να κατασκευαστεί το πολύγωνο συχνοτήτων Θέμα 22. Στο διπλανό σχήμα έχουμε το ιστόγραμμα συχνοτήτων όπου το εμβαδόν των ορθογωνίων είναι συνολικά 150, το πλάτος της κλάσης c=10 Επίσης ,το άθροισμα των συχνοτήτων της 1ης και 3ης κλάσης είναι ίσο με το άθροισμα των συχνοτήτων 2ης και 4ης κλάσης. Να βρείτε τις συχνότητες των κλάσεων.

Ποσό χρημάτων [ )

Αθροιστική Σχετική συχνότητα Fi%

0-5 16 5-10 60

10-15 F3 15-20 F4



- 19 -

3

Νi

8

15

18

2 10 8 6 4 xi

25

Β Ε

Γ Δ

Κ Λ xκ

10

Fi%

30

90

160 192 184 176 168 ύψος

100

0

Θέμα 23. Στο διπλανό πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων δίνονται οι ημέρες διακοπών των υπαλλήλων μιας εταιρείας κατά τον μήνα Ιούλιο. Τα δεδομένα έχουν ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους. Να βρεθεί: α. Το πλήθος των εργαζομένων β. Οι συχνότητες των κλάσεων γ. Η τιμή xκ της μεταβλητής που έχει αθροιστική συχνότητα Nκ=15. Θέμα 24. Στο διπλανό σχήμα είναι το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων των υψών των μαθητών ενός τμήματος του σχολείου. Να βρείτε: i. το ύψος x κάτω από το οποίο ανήκει : α. το 30% των μαθητών β. το 60% των μαθητών γ. το 45% των μαθητών ii. Το ποσοστό p των μαθητών που έχουν ύψος μέχρι: α. 184 cm β. 172 cm γ. 182 cm Θέμα 25. Το βάρος των αποσκευών καθενός εκ των 80 επιβατών μιας πτήσης κάποιας Αεροπορικής εταιρείας είναι τουλάχιστον 11 κιλά αλλά μικρότερο από 26 κιλά. Γνωρίζουμε ότι 8 επιβάτες έχουν αποσκευές με βάρος μικρότερο από 14 κιλά, το 30% των επιβατών έχουν αποσκευές με βάρος μικρότερο από 17 κιλά , 48 επιβάτες έχουν αποσκευές με βάρος μικρότερο από 20 κιλά και 15% των επιβατών έχουν αποσκευές με βάρος τουλάχιστον 23 κιλά. α. Να παρασταθούν τα δεδομένα σε ένα πίνακα συχνοτήτων β. Κάθε επιβάτης δικαιούται να μεταφέρει αποσκευές με βάρος μικρότερο των 20 κιλών ,διαφορετικά έχει πρόσθετη οικονομική επιβάρυνση. Να βρείτε τι ποσοστό από τους 80 επιβάτες της πτήσης αυτής έχει πρόσθετη οικονομική επιβάρυνση. γ. Να βρεθούν οι γωνίες των αντίστοιχων κυκλικών τομέων του κυκλικού διαγράμματος σχετικών συχνοτήτων , για τα δεδομένα του προβλήματος.

Ιούλιος 2001



- 20 -

4

νi

11

15

0 20 15 10 5 xi

20

Ε1

Ε2

Ε3

Ε4

Θέμα 26. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το ιστόγραμμα συχνοτήτων για τα αποτελέσματα ενός διαγωνίσματος στο μάθημα της Στατιστικής α. Να βρείτε το μέγεθος του δείγματος β. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που έγραψαν πάνω από τη βάση γ. Αν τα ορθογώνια του ιστογράμματος τοποθετηθούν το ένα πάνω στο άλλο , τότε το ορθογώνιο που θα σχηματιστεί τι εμβαδόν θα έχει;

Θέμα 27. Στην «Αττική οδό» εξυπηρετούνται καθημερινά 200 χιλιάδες οχήματα, τα οποία

διανύουν από 5 έως 45 χιλιόμετρα. Η διανυόμενη απόσταση σε χιλιόμετρα από τα οχήματα αυτά παρουσιάζεται στην πρώτη στήλη του πίνακα:

Κλάσεις σε χλμ.

Κέντρο κλάσης

xi

Συχνότητα νi σε χιλιάδες

μονάδες

Σχετική συχνότητα

fi%

Αθροιστική συχνότητα Νi σε χιλιάδες μονάδες.

Αθρ. Σχετ. Συχνότητα

Fi%

[5, 15) 60 [15, 25) 68

[25, 35) 180

[35, 45)

Σύνολο 200

α. Να μεταφέρετε στο τετράδιο σας τον παραπάνω πίνακα και να συμπληρώσετε τις τιμές των αντίστοιχων μεγεθών.

β. Να σχεδιάσετε το ιστόγραμμμα (xi, fi%) και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων.

γ. Να βρείτε το πλήθος των οχημάτων που διανύουν απόσταση τουλάχιστον 25 χιλιομέτρων.

Ιούνιος 2004



- 21 -

Μέτρα Θέσης Θέμα 28. Έστω t1,t2,….,tν οι τιμές μιας μεταβλητής X με μέση τιμή x . Να αποδείξετε ότι

1ii 0)xt(

Θέμα 29. Να βρείτε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων των δειγμάτων των παρακάτω πινάκων με την κατανομή συχνοτήτων (πίνακας α.) και αθροιστικών συχνοτήτων (πίνακας β.) α. β.

xi νi 2 3 3 5 5 6 8 4

12 2

Θέμα 30. Η κατανομή των σχετικών συχνοτήτων % ενός δείγματος δίνεται στον διπλανό πίνακα Αν η μέση τιμή των παρατηρήσεων του δείγματος είναι 4,8 να συμπληρωθεί ο πίνακας. Θέμα 31. Το βάρος 20 μαθητών σε kg μιας τάξης είναι:

50 51 56 58 54 54 60 62 62 55 65 63 61 54 58 58 60 63 52 55

α. Να βρεθεί το μέσο βάρος των 20 μαθητών. β. Να βρεθεί η διάμεσος των 20 παρατηρήσεων. γ. Ομαδοποιήστε τα δεδομένα σε τέσσερις κλάσεις και βρείτε την μέση τιμή. δ. Να υπολογισθεί η διάμεσος των ομαδοποιημένων παρατηρήσεων. Θέμα 32. Αν η μέση τιμή 20 παρατηρήσεων είναι 7,2 και 8 από αυτές έχουν μέση τιμή 6 , να βρείτε τη μέση τιμή των υπολοίπων . Θέμα 33. Η μέση βαθμολογία ενός μαθητή σε 5 διαγωνίσματα είναι 90 μονάδες α. Αν στο 6ο διαγώνισμα ο μαθητής γράψει 96 ποια είναι η νέα μέση βαθμολογία; β. Πόσο πρέπει να γράψει ο μαθητής στο 6ο διαγώνισμα για να κατέβει η βαθμολογία του κατά 2 μονάδες;

Κλάσεις [ , )

Αθροιστικές συχνότητες Νi

[3,5) 6 [5,7) 11 [7,9) 13

[9,11) 20

xi fi% 2 40 5 20 6 8



- 22 -

Θέμα 34.

Αν 100 οικογένειες έχουν κατά μέσο όρο

x = 2,63 παιδιά και δίνεται και ο

διπλανός πίνακας συχνοτήτων να βρεθεί η

διάμεσος.

Θέμα 35. Το βάρος καθενός από τους πέντε αθλητές μιας ομάδας είναι:

62, 77, 65, 72, 69 α. Να αποδείξετε ότι το μέσο βάρος τους είναι 69 κιλά. β. Να υπολογίσετε τη διάμεσο των τιμών του βάρους. γ. Αν προστεθεί στην ομάδα ένας έκτος αθλητής και το μέσο βάρος γίνει 72 κιλά, να βρείτε το βάρος του έκτου αθλητή που προστέθηκε στην ομάδα. Θέμα 36. Τέσσερις αριθμοί x1, x2, x3, x4 με x1<x2< x3< x4 έχουν μέση τιμή 7,5. Η μέση τιμή των x2, x3, x4 είναι 9. Ο x2 είναι διπλάσιος του x1 και η διάμεσος των x1, x2, x3, x4 είναι 6,5. Να βρεθούν οι τέσσερις αριθμοί. Θέμα 37. Να βρείτε τη διάμεσο των παρατηρήσεων στους παρακάτω πίνακες συχνοτήτων α. β.

xi νi 3 15 7 8 12 21 16 17 22 13 25 10

Θέμα 38. Μια μεταβλητή X παρουσίασε σε ένα δείγμα ενός πληθυσμού τις εξής τιμές x1=2 , x2=3 , x3=4 , x4=7 με αντίστοιχες συχνότητες f1=0,2, f2=0,3 , f3=0,4 ,f4=0,1 α. Να βρεθεί η μέση τιμή

β. Αν ισχύει

4

1iii 540x να βρεθούν οι συχνότητες ν1,ν2,ν3,ν4 των x1, x2, x3, x4

γ. Να βρεθεί η διάμεσος της κατανομής

Παιδιά xi νi

1 ....

2 31

3 ....

4 26

Σύνολο 100

[ , ) νi [8,12) 4

[12,16) 8 [16,20) 12 [20,24) 10 [24,28) 6



- 23 -

20

Fi %

50

α

80

10 34 28 22 16 xi

100

δ=20

Α

Β

Θέμα 39. Στο διπλανό ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων η διάμεσος είναι δ=20 α. Να υπολογίσετε την αθροιστική σχετική συχνότητα της κλάσης [16,22) β. Να βρείτε τη μέση τιμή του δείγματος Θέμα 40. Στον διπλανό πίνακα δίνονται τα ποσά σε ευρώ που δαπάνησαν στο κυλικείο του σχολείου 40 μαθητές μιας τάξης σε μια εβδομάδα. α. Αν γνωρίζουμε ότι το ποσό που δαπανήθηκε κατά μέσο όρο είναι 4,45 ευρώ τότε : i. Nα βρείτε πόσοι μαθητές δαπάνησαν 4 ευρώ και πόσοι 5 ευρώ την εβδομάδα ii. Να υπολογίσετε τη διάμεσο εβδομαδιαία δαπάνη β. Αν γνωρίζουμε ότι η διάμεσος είναι 4,5 ευρώ να βρείτε πόσοι μαθητές δαπάνησαν 4 ευρώ και πόσοι 5 ευρώ. Θέμα 41. Οι βαθμολογίες των μαθητών της Γ Τάξης ενός Ενιαίου Λυκείου σε ένα διαγώνισμα στο Μάθημα ¨Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής¨ έχουν ομαδοποιηθεί σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους και εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα σχετικών συχνοτήτων:

Δίνεται επιπλέον ότι η σχετική συχνότητα της 3ης κλάσης f3 είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της 1ης κλάσης f1 α. Να αποδείξετε ότι το πλάτος της κλάσης c των κλάσεων ισούται με 4 β. Να συμπληρώσετε τα κενά του παραπάνω πίνακα αφού υπολογίσετε τις αντίστοιχες τιμές . γ. Να βρείτε τη μέση τιμή x

Δαπάνη σε ευρώ xi

Πλήθος μαθητών νi

1 2 2 3 3 8 4 5 6 6 7 5 8 1

Βαθμολογίες Κέντρο Κλάσης xi Σχετική Συχνότητα fi [...-...) ... ... [8-...) ... 0,3 [...-...) 14 ... [...-...) ... 0,1 Σύνολο 1



- 24 -

5

Νi

13

0

42

4 20 16 12 8 xi

50

25

fi%

20

30

40

2 10 8 6 4 xi

0

0

Νi

18

30

40

2 10 8 6 4

Θέμα 42. Η βαθμολογία των μαθητών μιας τάξης σε ένα διαγώνισμα Μαθηματικών φαίνεται στο διπλανό πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων α. Να βρείτε τον αριθμό των μαθητών της τάξης β. Να κατασκευάσετε τον πίνακα των απολύτων σχετικών και αθροιστικών συχνοτήτων γ. Να υπολογίσετε τη διάμεσο. δ. Να βρείτε το πλήθος των μαθητών που πήραν βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 10 ε. Να βρείτε το πλήθος των μαθητών που πήραν βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 10 και μικρότερο ή ίσο του 18 Θέμα 43. Δίνονται τα παρακάτω ιστογράμματα σχετικών συχνοτήτων fi% και αθροιστικών συχνοτήτων Νi μιας κατανομής η οποία είναι ομαδοποιημένη σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους. Από τα ιστογράμματα λείπουν ορισμένα ορθογώνια. α. Να σχηματίσετε τον πίνακα συχνοτήτων xi, νi, Ni, fi%, Fi% β. Να βρείτε την τιμή x πάνω από την οποία ανήκει το 75% των παρατηρήσεων γ. Να εκτιμήσετε τη διάμεσο δ. Να βρείτε τη μέση τιμή. Θέμα 44. Μια μεταβλητή X παίρνει 10 τιμές από το σύνολο 6,4,2 . Η μέση τιμή και η διάμεσος των τιμών της μεταβλητής είναι 4,4 και 5 αντίστοιχα. α. Να δείξετε ότι ο πίνακας της κατανομής των συχνοτήτων της μεταβλητής X είναι ο διπλανός. β. Να σχεδιάσετε το κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων γ. Να σχεδιάσετε το διάγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων

δ. Αν για τις τιμές της μεταβλητής Y ισχύει 3x21y ii ,να βρείτε τη μέση τιμή

και τη διάμεσο της.

xi νi 2 3 4 2 6 5

Σύνολο 10



- 25 -

Μέτρα Διασποράς Θέμα 45. Οι ελάχιστες ημερήσιες θερμοκρασίες που παρατηρήθηκαν στη Λιβαδειά σε 10 διαδοχικές μέρες ήταν: 16, 17, 18, 22, 21, 17, 24, 18, 21, 18. Να προσδιορίσετε την μέση τιμή, τη διάμεσο, την διακύμανση και την τυπική απόκλιση των παραπάνω θερμοκρασιών.

Θέμα 46. α. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα

Ηλικία σε έτη

Κέντρο κλάσης (xi)

νi fi Ni νixi xi2 νi xi

2

[0, 2) 10 0,20 [2, 4) 24 [4, 6) [6, 8) 56

Σύνολα β. Να υπολογίσετε

i. Τη μέση τιμή. ii. Τη διακύμανση. iii. Την τυπική απόκλιση της κατανομής. iv. Το συντελεστή μεταβολής.

γ. Είναι το δείγμα ομοιογενές; Να αιτιολογηθεί η απάντηση. Δίνεται

2

1iii

1ii

2i

2x

x1s

Θέμα 47. Δίνεται ο διπλανός πίνακας συχνοτήτων

α. Εάν η μέση τιμή του δείγματός είναι 2x δείξτε ότι κ=10. β. Να βρείτε την τυπική απόκλιση της κατανομής. γ. Να βρείτε τον συντελεστή μεταβλητότητας δ. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή c κατά την οποία πρέπει να αυξηθούν οι παρατηρήσεις ώστε το δείγμα να γίνει ομοιογενές. Θέμα 48.

Έστω δυο δείγματα Α και Β με θετικές τιμές , με 5,0ss

B

A και 3xx

B

A

Ποιο από τα δυο δείγματα παρουσιάζει μεγαλύτερη ομοιογένεια;

xi vi 0 6 1 κ 2 6 3 6 4 8



- 26 -

Θέμα 49. Έστω ότι οι παρατηρήσεις t1,t2,…tν έχουν συντελεστή μεταβολής 80%

Αν

1i

2i 123t και

1ii 30t

Α. Να αποδείξετε ότι

1i

22i

2 xt1s

Β. Να βρεθούν α. Το μέγεθος του δείγματος β. Η μέση τιμή γ. Η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων

Δίνεται :

2

1ii

1i

2i

2t

t1s

Θέμα 50. Κάθε πρόγραμμα Η/Υ σε γλώσσα μηχανής αποτελείται από μια διαδοχή 0 και 1 (που είναι τα ψηφία του δυαδικού συστήματος αρίθμησης). Υποθέτουμε ότι σε ένα πρόγραμμα η σχετική συχνότητα εμφάνισης του 0 είναι κ και του 1 είναι λ

Α. Να αποδείξετε ότι

1i

22ii

2 xxfs

Β. Να δείξετε ότι: α. Η μέση τιμή των παρατηρήσεων 0 και 1 του προγράμματος είναι x β. Η τυπική απόκλιση είναι s

γ. Ο συντελεστής μεταβολής είναι

CV

Δίνεται:

2

1iii

1ii

2i

2x

x1s

Θέμα 51. Οι δείκτες νοημοσύνης των μαθητών ενός Λυκείου ακολουθούν την κανονική κατανομή. Ο ελάχιστος δείκτης του 16% των ¨εξυπνότερων ¨ μαθητών είναι 108 και ο μέγιστος δείκτης των λιγότερο ¨έξυπνων¨ είναι 84 α. Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση του δείγματος β. Να βρείτε το εύρος και τη διάμεσο του δείγματος γ. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που έχουν δείκτη νοημοσύνης τουλάχιστον 132



- 27 -

δ. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές και αν όχι να βρείτε την ελάχιστη θετική ακέραια τιμή του c κατά την οποία πρέπει να αυξηθεί ο δείκτης νοημοσύνης κάθε μαθητή ώστε το δείγμα να γίνει ομοιογενές Θέμα 52. Σε ένα δείγμα με κανονική καμπύλη συχνοτήτων το 83,85% των τιμών βρίσκονται στο διάστημα (4,12) με τα άκρα του διαστήματος αυτού να είναι κάποιες από τις τιμές s3x , s2x , sx , x , sx , s2x , s3x . Να βρεθούν: α. Η μέση τιμή , η διάμεσος , η τυπική απόκλιση , ο συντελεστής μεταβολής και το εύρος του δείγματος β. Το ποσοστό των τιμών που είναι πάνω από 12 Θέμα 53. Από τους 200 μαθητές ενός Λυκείου, οι 100 ζυγίζουν λιγότερο από 60 kg , ενώ το 16% των μαθητών ζυγίζει λιγότερο από 56 kg. Υποθέτουμε ότι η κατανομή του βάρους είναι περίπου κανονική. α. Να βρείτε το μέσο βάρος των μαθητών και την τυπική απόκλιση του βάρους β. Αργότερα διαπιστώθηκε ότι η ζυγαριά έδειχνε 2 kg μικρότερο βάρος από το πραγματικό σε κάθε μέτρηση. i. Να βρείτε το πραγματικό μέσο βάρος και την τυπική απόκλιση του πραγματικού βάρους ii. Να εξετάσετε αν οι μαθητές έχουν ομοιογένεια ως προς το βάρος iii. Να βρείτε πόσοι μαθητές έχουν πραγματικό βάρος μεγαλύτερο από 70 kg. Θέμα 54. Έστω ένα δείγμα ν=100 παρατηρήσεων x1,x2,…x100

με συντελεστή μεταβολής

CV=40% και

100

1i

2i 2900x

α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή x και την τυπική απόκλιση sx του παραπάνω δείγματος β. Αν καθεμιά από τις παραπάνω παρατηρήσεις αυξηθεί κατά 20% και στη συνέχεια ελαττωθεί κατά 2 , τότε να βρείτε: i. Τη μέση τιμή y των νέων παρατηρήσεων ii. Την τυπική απόκλιση των νέων παρατηρήσεων iii. Πόσο μεταβάλλεται ο συντελεστής μεταβολής; Θέμα 55. Σε δύο τμήματα Γ1 και Γ2 της Γ τάξης ενός Λυκείου ο μέσος όρος της βαθμολογίας στο 10 τετράμηνο στο μάθημα ¨Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής ¨ ήταν x =12 και η τυπική απόκλιση s=2. Στο 20 τετράμηνο όλοι οι μαθητές του τμήματος Γ1



- 28 -

8 5 2

E=2500

180 220

Ε2 Ε1

αύξησαν τη βαθμολογία τους στο ίδιο μάθημα κατά 1 μονάδα, ενώ οι μαθητές του Γ2 αύξησαν τη βαθμολογία τους στο ίδιο μάθημα κατά 10%. α. Να βρείτε τις νέες τιμές και τις νέες τυπικές αποκλίσεις του κάθε τμήματος. β. Ποιου τμήματος η βαθμολογία παρουσιάζει μεγαλύτερη ομοιογένεια μετά τις αυξήσεις της βαθμολογίας που πέτυχαν στις εξετάσεις του 2ου τετραμήνου. γ. Να βρείτε τη μικρότερη τιμή της θετικής ακέραιας σταθεράς c που πρέπει να προστεθεί στις βαθμολογίες των μαθητών του Γ2 μετά τη βαθμολογία του 2ου τετραμήνου , έτσι ώστε το δείγμα της βαθμολογίας τους να γίνει ομοιογενές. δ. Αν οι βαθμολογίες των μαθητών του Γ1 αποτελούν περίπου κανονική κατανομή να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που βαθμολογήθηκαν από 11 έως 19 στο 20 τετράμηνο. Θέμα 56. Μια βιομηχανία κατασκευάζει λαμπτήρες των οποίων ο μέσος χρόνος ζωής είναι 200 ώρες και η τυπική απόκλιση 10 ώρες Η κατανομή των λαμπτήρων ως προς τον χρόνο ζωής είναι σχεδόν κανονική και παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα

α. Να υπολογίσετε τους λόγους 2

1EE και

2

.E

E όπου Εολ. είναι το ολικό εμβαδόν που

περικλείεται από την καμπύλη συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα β. Αν το δείγμα αποτελείται από 10.000 λαμπτήρες , να βρείτε: i. Πόσοι λαμπτήρες έχουν χρόνο ζωής τουλάχιστον 230 ωρών ii Πόσοι λαμπτήρες έχουν χρόνο ζωής άνω των 190 ωρών iii. Πόσοι λαμπτήρες έχουν χρόνο ζωής από 170 έως 210 ώρες Θέμα 57. Μια εταιρεία ερευνών κατέγραψε τις απαντήσεις που έδωσαν οι κάτοικοι μιας πόλης στην ερώτηση ¨πόσο χρόνο αφιερώνετε εβδομαδιαία για να δείτε τηλεόραση¨ . Με τις απαντήσεις που δόθηκαν κατασκεύασε τη διπλανή καμπύλη συχνοτήτων α. Αν πάνω από 8 ώρες βλέπει το 50% των τηλεθεατών , να βρεθεί η διάμεσος και το μέγεθος του δείγματος β. Η μέση τιμή x είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη του 8; γ. Αυτοί που παρακολουθούν τηλεόραση πάνω από 5 ώρες είναι περισσότεροι ή λιγότεροι από αυτούς που βλέπουν κάτω από 5 ώρες;



- 29 -

Α ΕΒ2

Β δ

Α

Β

ΕΑ1

20 40 180

(1)

(2)

Θέμα 58. Οι μισθοί δυο εταιρειών Α και Β ακολουθούν την κανονική κατανομή. Αν η εταιρεία Β έχει 200 υπαλλήλους που περικλείονται ανάμεσα στις καμπύλες συχνοτήτων και τον άξονα x , ισχύει

3EE

B

A

α. Να βρείτε τον αριθμό των υπαλλήλων της εταιρείας Α β. Να βρεθεί ο λόγος των γραμμοσκιασμένων χωρίων γ. Αν R το εύρος και δ η διάμεσος των 2 δειγμάτων , να δείξετε ότι

2

R22

Θέμα 59. Το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανομής του εβδομαδιαίου μισθού σε ευρώ των υπαλλήλων μιας εταιρείας έχει κορυφές τα σημεία: Α(50,0), Β(150,10), Γ(250,15) , Δ(350,20) , Ε(450,5) , Ζ(550,0) α. Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων της κατανομής β. Να υπολογιστούν οι τιμές των μέτρων θέσης της κατανομής γ. Αν το αφορολόγητο όριο είναι 220 ευρώ την εβδομάδα , να υπολογίσετε το ποσοστό των υπαλλήλων που δεν πληρώνουν εφορία δ. Να χαρακτηριστεί η κατανομή ως προς τη συμμετρία (θετική ή αρνητική). Θέμα 60. Στο διπλανό σχήμα δίνονται δυο κανονικές κατανομές με πλήθος τιμών V1 και V2 αντίστοιχα. Αν το γραμμοσκιασμένο χωρίο έχει εμβαδόν 400 τετραγωνικές μονάδες και το μέγεθος του δείγματος (2) είναι 600 τότε: α. Να βρείτε το μέγεθος του δείγματος (1)

β. Να αποδείξετε ότι: 53

VxVx

111

222

γ. Αν 45

RR

2

1 να βρεθεί το X max καθώς και το εύρος R1

δ. Να βρεθούν οι τυπικές αποκλίσεις s1 και s2 των δύο κατανομών



- 30 -

Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις 1. Οι σχετικές συχνότητες fi είναι αριθμοί στο διάστημα [0,1] 2. Οι αθροιστικές συχνότητες Νi και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες Fi μιας κατανομής ορίζονται και για ποιοτικές μεταβλητές. 3. Η αθροιστική συχνότητα της μεγαλύτερης παρατήρησης ενός δείγματος μεγεθών ισούται με ν 4. Η αθροιστική συχνότητα Fi% μιας κατανομής εκφράζει το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες ή ίσες της τιμής xi. 5. Η αθροιστική συχνότητα Νi της τιμής xi ενός συνόλου παρατηρήσεων ισούται με Ni=ν1+ν2+...+νi 6. Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής 7. Η γραφική παράσταση των συχνοτήτων σε ομαδοποιημένα δεδομένα γίνεται με το ιστόγραμμα συχνοτήτων 8. Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόνο για τη γραφική παράσταση των ποσοτικών μεταβλητών 9. Σε ένα κυκλικό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων η σχετική συχνότητα fi ισούται με το εμβαδόν του αντίστοιχου τομέα. 10. Η γραφική παράσταση των συχνοτήτων σε ομαδοποιημένα δεδομένα γίνεται με το διάγραμμα συχνοτήτων. 11. Πλάτος κλάσης στις ομαδοποιημένες παρατηρήσεις είναι το άθροισμα των δύο άκρων της 12. Κεντρική τιμή μιας κλάσης είναι η ημιδιαφορά των δυο άκρων της 13. Το άθροισμα των εμβαδών συχνοτήτων των ορθογωνίων παραλληλογράμμων ενός ιστογράμματος συχνοτήτων είναι ίσο με τον πληθυσμό του δείγματος 14. Σε κάθε κλάση οι τιμές της μεταβλητής είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες 15. Το πηλίκο του αθροίσματος των τιμών t1,t2,…,tν , ν παρατηρήσεων προς τη μέση τιμή τους x είναι ίσο με το πλήθος ν των παρατηρήσεων 16. Η μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων είναι ένα μέτρο θέσης 17. Αν x είναι η μέση τιμή των τιμών xi ,i=1,2,..,ν , τότε η μέση τιμή των τιμών yi=αxi+β είναι xy . 18. Η μέση τιμή των παρατηρήσεων μιας μεταβλητής x είναι πάντοτε ίση με μια από τις τιμές xi 19. Η μέση τιμή των παρατηρήσεων μιας μεταβλητής x είναι ο αριθμός μεταξύ της μικρότερης και της μεγαλύτερης τιμής της x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Ε ρω τ ήσ ε ι ς Σωσ τ ού -Λάθ ου ς



- 31 -

20. Αν x1,x2,…,xκ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής x σε ένα δείγμα μεγέθους ν και ν1,ν2,...,νκ, f1,f2,…,fκ οι αντίστοιχες συχνότητες και σχετικές συχνότητες τους τότε

α.

1iiifxx β.

1iiifx1x γ.

1iiifx δ.

1iiixx

21. Τα μέτρα θέσης δίνουν τη θέση του κέντρου των παρατηρήσεων στο οριζόντιο άξονα Οx. 22. Τα μέτρα διασποράς εκφράζουν τις αποκλίσεις των τιμών μιας μεταβλητής γύρω από τα μέτρα κεντρικής τάσης 23. Η διάμεσος είναι ένα μέτρο διασποράς 24. Η διάμεσος είναι πιο αξιόπιστο μέτρο από τη μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων 25. Διάμεσος τιμή ενός δείγματος ν παρατηρήσεων είναι η τιμή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερη από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερη από αυτή 26. Σε ομαδοποιημένες παρατηρήσεις δεν ορίζεται διάμεσος. 27. Αν η κατανομή είναι ασύμμετρη αριστερά , τότε η μέση τιμή της μεταβλητής βρίσκεται προς το αριστερό μέρος της κατανομής. 28. Όταν η κατανομή συχνοτήτων έχει θετική ασυμμετρία τότε ισχύει x >δ 29. Το εύρος είναι μέτρο θέσης 30. Όταν η κατανομή είναι συμμετρική , τότε η μέση τιμή και η διάμεσος συμπίπτουν 31. Όταν η κατανομή είναι κανονική, τότε η τυπική απόκλιση είναι ίση με το 1/6 του εύρους 32. Το εύρος R ενός δείγματος παρατηρήσεων ορίζεται ως η διαφορά της μέγιστης παρατήρησης από την ελάχιστη παρατήρηση. 33. Η διακύμανση εκφράζεται με τις μονάδες που εκφράζονται οι παρατηρήσεις 34. Ο συντελεστής μεταβολής είναι καθαρός αριθμός. 35. Αν ισχύει CV0,10 , τότε το δείγμα των τιμών της μεταβλητής είναι ομοιογενές 36. Όταν η τυπική απόκλιση είναι μηδέν, όλες οι τιμές μιας μεταβλητής ενός δείγματος ταυτίζονται με τη μέση τιμή . 37. Μεταξύ δύο δειγμάτων παρουσιάζει μεγαλύτερη ομοιογένεια αυτό με το μεγαλύτερο συντελεστή μεταβολής 38. Σε μια κανονική κατανομή με μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s εκτός του διαστήματος ( x -3s, x +s) υπάρχει το 0,30% των παρατηρήσεων 39. Αν η καμπύλη συχνοτήτων είναι κανονική ή περίπου κανονική , τότε το 68% των παρατηρήσεων βρίσκονται στο διάστημα ( x -s, x +s)

40. Για τον συντελεστή μεταβολής ισχύει: CV=sx

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40



- 32 -

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν fi είναι η σχετική συχνότητα μιας μεταβλητής xi να δείξετε ότι:

i. 0 fi 1 Mονάδες 2

ii. f1+f2+….+fν=1 Mονάδες 2

Α2.Να δοθεί ο ορισμός της διαμέσου των τιμών μιας μεταβλητής xi ενός δείγματος ν.

Μονάδες 4 Α3. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: i. Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόνο στις ποιοτικές μεταβλητές. ii. Οι ποιοτικές μεταβλητές δεν έχουν μέτρα θέσης. iii. Oι τιμές της μεταβλητής «αριθμός παιδιών ανά οικογένεια» μπορούν να έχουν

μέση τιμή δεκαδικό αριθμό. Μονάδες 9

Α4. Δίνονται οι τιμές 1,3,3,ν,6,ν+3,9. Αν γνωρίζετε ότι το άθροισμα μέσης τιμής και διαμέσου είναι 10, να βρείτε:

i. Τις τιμές που λείπουν Μονάδες 4

ii. Τη μέση τιμή και τη διάμεσο Μονάδες 4

ΘΕΜΑ Β Η κατανομή των αθροιστικών συχνοτήτων Νi μιας μεταβλητής Χ είναι:

xi 15 16 17 18 19 20 Ni 8 12 15 32 40 50

Β1. Nα γίνει ο πίνακας των νi, fi, fi%, Ni, Fi, Fi%.

Mονάδες 14 Β2. Να υπολογιστεί το ποσοστό των παρατηρήσεων που:

i. Βρίσκεται στο διάστημα από 16 ως 19 ii. Είναι τουλάχιστον 17 iii. Είναι το πολύ 18

Μονάδες 6 Β3. Να σχεδιάσετε το διάγραμμα των fi%.

Moνάδες 5

1 0 Δ ι α γώ ν ι σ μ α



- 33 -

ΘΕΜΑ Γ Σε μια μάντρα μεταχειρισμένων αυτοκινήτων οι πωλήσεις σε συνάρτηση με την ηλικία των αυτοκινήτων περιγράφεται από τον παρακάτω πίνακα.

Ηλικία σε έτη Κέντρο

κλάσης νi fi Ni xiνi

0-2 10 0,20 2-4 24 4-6 6-8 56

ΣΥΝΟΛΑ Γ1. Να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα.

Μονάδες 8 Γ2. Να υπολογίσετε: i.Τη μέση τιμή.

Μονάδες 4 ii. Τη διάμεσο.

Μονάδες 6 Γ3. Να υπολογίσετε πόσα από τα αυτοκίνητα που πωλούνται έχουν ηλικία:

i. Μικρότερη των 4 ετών Μονάδες 2

ii. Μεγαλύτερη των 6 ετών Μονάδες 2

iii. Μικρότερη των 3 ετών Μονάδες 3

ΘΕΜΑ Δ Το μέσο βάρος 50 παιδιών μιας τάξης είναι 64 κιλά. Γνωρίζουμε ότι το μέσο βάρος των αγοριών είναι 70 κιλά και των κοριτσιών 60. Δ1. Να δείξετε ότι τα αγόρια είναι 20 και τα κορίτσια 30.

Μονάδες 12 Δ2. Αν έρθουν στην τάξη 5 αγόρια με μέσο βάρος 72 κιλά, να βρείτε το μέσο βάρος:

i. των αγοριών Μονάδες 5

ii. των παιδιών όλης της τάξης Μονάδες 5

Δ3. Είναι δυνατόν το καινούριο μέσο βάρος των παιδιών της τάξης να είναι μεγαλύτερο από 72; Να αιτιολογηθεί η απάντηση.

Μονάδες 3



- 34 -

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος ενός τυχαίου δείγματος; Μονάδες 4 Α2. Δίνονται οι τιμές 2, 2, 3, 5, 4, 7, 2 μιας μεταβλητής Χ. Να βρεθεί η κύμανση της μεταβλητής. Μονάδες 7 Α3. Πότε ένα τυχαίο δείγμα λέγεται ομοιογενές; Μονάδες 4 Α4. Αν x1=1, x2=2, και x3=κ με κ>0, είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, με συχνότητες vi=2xi-1 , i=1,2,3 και μέση τιμή x =4, τότε το κ είναι:

α. 3 β. 4 γ. 5 δ. 6 Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι παρακάτω παρατηρήσεις ενός τυχαίου δείγματος , διατεταγμένες κατά αύξουσα σειρά: 3, 4, 4, α+1, 2α+3, 15, 18, 5α. Β1. Να βρεθεί το α ώστε η διάμεσος του δείγματος να είναι 8. Μονάδες 7 Β2. Για α=4, να υπολογιστούν: i. τη μέση τιμή των παρατηρήσεων. Μονάδες 6

ii. την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων. Μονάδες 7

Β3. Είναι το δείγμα ομοιογενές; Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Γ

Σε έρευνα που έγινε σχετικά με το ύψος των μισθών των υπαλλήλων μιας εταιρίας διαπιστώθηκε ότι το 50% των μισθών υπερβαίνει τα 900 ευρώ, ενώ το 16% των υπαλλήλων έχει μισθό χαμηλότερο από 800 ευρώ. Αν γνωρίζουμε ότι η κατανομή των μισθών είναι περίπου κανονική, τότε: Γ1. Να βρείτε το μέσο μισθό και την τυπική απόκλιση των μισθών των υπαλλήλων.

Μονάδες 9 Γ2. Να εξετάσετε το δείγμα ως προς την ομοιογένεια.

Μονάδες 6 Γ3. Αν οι υπάλληλοι είναι 2000, πόσοι απ’ αυτούς παίρνουν μισθό από 700 ως 1000 ευρώ; Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Δ

Η μέση τιμή και η διακύμανση ενός δείγματος 10 παρατηρήσεων υπολογίστηκαν x =20 και s2=25. Κατά τη διάρκεια της επεξεργασίας των δεδομένων μια παρατήρηση με τιμή 10 καταγράφηκε σαν 15. Δ1. Να βρείτε την πραγματική μέση τιμή των παρατηρήσεων. Μονάδες 8 Δ2. Να δείξετε ότι η πραγματική τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων είναι 32, 25 � 5,65. Μονάδες 9 Δ3. Να αποδείξετε ότι το δείγμα δεν παρουσιάζει ομοιογένεια και να βρεθεί η ελάχιστη τιμή α κατά την οποία αν αυξηθεί κάθε μια από τις 10 παρατηρήσεις το δείγμα θα γίνει ομοιογενές. Μονάδες 8




- 35 -

ΘΕΜΑ Α

Α1. Aς υποθέσουμε ότι x1,x2,…,xk είναι οι τιμές μιας μεταβλητής x, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, όπου k,ν μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί με k ν. α. Τι ονομάζεται απόλυτη συχνότητα νi , που αντιστοιχεί στην τιμή xi ,

i = 1,2,…,k; Mονάδες 3

β. Τι ονομάζεται σχετική συχνότητα fi της τιμής xi , i = 1,2,…,k; Μονάδες 3

γ. Να αποδείξετε ότι:

i) 0 fi 1 για i = 1,2,…,k ii) f1 + f2 + …+ fk = 1.

Μονάδες 8 δ. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων.

Μονάδες 4

Α2. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις α. Το εύρος είναι μέτρο θέσης.

Μονάδες 3 β. Η διακύμανση εκφράζεται με τις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις.

Μονάδες 4

ΘΕΜΑ Β Εξετάζουμε ένα δείγμα μιας τάξης ως προς το βάρος τους και διαπιστώνουμε ότι κυμαίνεται από 45 ως 75 κιλά, ενώ η κατανομή των βαρών είναι κανονική.

Β1. Να βρεθεί η μέση τιμή και το εύρος του δείγματος.

Μονάδες 5 Β2. Να εξετάσετε το δείγμα ως προς την ομοιογένεια.

Μονάδες 6 Β3. Αν το άθροισμα των βαρών είναι 1800 κιλά, να βρεθεί το μέγεθος του δείγματος.

Μονάδες 7 Β4. Τι ποσοστό των μαθητών έχει βάρος το οποίο κυμαίνεται μεταξύ των 50 και 60 κιλών;

Μονάδες 7




- 36 -

ΘΕΜΑ Γ Δίνεται ο παρακάτω πίνακας συχνοτήτων:

xi vi Ni fi% x1=3 1 x2=α 20 x3=β 6 x4=6 Συν: 10

Οι τιμές xi της μεταβλητής Χ είναι φυσικοί αριθμοί, έχουν μέση τιμή x =5 και τυπική απόκλιση s=1. Γ1. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές.

Μονάδες 5 Γ2. Να δείξετε ότι α=4 και β=5.

Μονάδες 8 Γ3. Να βρείτε την διάμεσο των τιμών xi.

Μονάδες 6 Γ4. Έστω ότι αυξάνουμε κάθε τιμή xi κατά μια σταθερά c. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή c, ώστε το δείγμα των νέων τιμών yi, που θα προκύψουν, να είναι ομοιογενές.

Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Δ Οι 70 δημόσιοι υπάλληλοι δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης (Δ.Ε) μιας νομαρχίας έχουν μέσο μηνιαίο μισθό 800 ευρώ, ενώ οι υπάλληλοι πανεπιστημιακής εκπαίδευσης (Π.Ε) έχουν μέσο μισθό 1100 ευρώ. Ο μέσος μισθός των υπαλλήλων στη νομαρχεία είναι 890 ευρώ. Δ1. α. Να δείξετε ότι οι υπάλληλοι (π.ε) είναι 30.

Μονάδες 6 β. Ποιο είναι το μηνιαίο οικονομικό κονδύλιο που απαιτείται για την

αποπληρωμή όλων των υπαλλήλων; Μονάδες 6

Δ2. Την πρώτη Ιανουαρίου του έτους 2008 δόθηκε αύξηση 30 ευρώ μηνιαίος σε κάθε υπάλληλο (Δ.Ε) και 4% σε κάθε υπάλληλο (Π.Ε).

Να υπολογίσετε: α. Τους μέσους μηνιαίους μισθούς των υπαλλήλων (Δ.Ε) και (Π.Ε) που έχουν διαμορφωθεί μετά την αύξηση.

Μονάδες 7 β. Το νέο μέσο μισθό των υπαλλήλων της νομαρχίας.

Μονάδες 6



- 37 -

Θέμα 1. α. Πληθυσμός είναι οι μαθητές του Γ1 β. Κάθε μαθητής είναι ένα άτομο γ. Οι παρατηρήσεις είναι 6, 10, 6, 4, 13, 20, 18, 15, 20, 19, 17, 20, 5, 5, 6, 9, 19, 6, 18, 6, 9 δ. Μεταβλητή είναι ο βαθμός στο διαγώνισμα – Ποσοτική , Διακριτή ε. Οι τιμές είναι 4,5,6,9,10,13,15,17,18,19,20.

Θέμα 2. Α.

xi νi fi fi% Νi Fi Fi% 5 2 0,08 8 2 0,08 8 9 3 0,12 12 5 0,20 20 10 2 0,08 8 7 0,28 28 11 1 0,04 4 8 0,32 32 13 2 0,08 8 10 0,40 40 15 3 0,12 12 13 0,52 52 16 4 0,16 16 17 0,68 68 17 3 0,12 12 20 0,80 80 19 4 0,16 16 24 0,96 96 20 1 0,04 4 25 1 100

Συν. 25 1 100 Β. α. Βαθμό τουλάχιστον 15: έχουν 15 μαθητές β. Μεγαλύτερο από 13: έχουν 15 μαθητές γ. Το ποσοστό των μαθητών κάτω από τη βάση είναι 20% δ. Το ποσοστό των μαθητών πάνω από 16 είναι 32% ε. Το ποσοστό με βαθμολογία από 15 έως 19 είναι 56% στ. Η αθροιστική συχνότητα Ν5 δείχνει ότι 10 από τους 25 μαθητές βαθμολογήθηκαν με βαθμό μέχρι και 13 ζ. Η αθροιστική σχετική συχνότητα F3% δείχνει ότι το 28% των μαθητών βαθμολογήθηκε με βαθμό μέχρι και 10 Θέμα 3. α. Είναι f1%=F1%= 81513 2 και f2%=F2%-F1%=…14 β. Είναι fi%=Fi%-Fi-1%=…..=6i+2 Θέμα 4. Είναι f1+f2=1 f2=1-f1

0)1f2(1f4f41)f1(f441ff 2

12

112121 που ισχύει

Απα ν τ ήσ ε ι ς Θ εμά τω ν



- 38 -

0102030405060

Θετική

Οικονομ

Θεωρητ

Υγείας

Θέμα 5. α. β. Θέμα 6.

α. Ισχύει ότι: f1+f2+f3+f4=1 2ή0152

1032

51

101 2

Αν λ=2 τότε 10192

101f1 αδύνατο. Άρα η τιμή λ=2 απορρίπτεται

Αν λ=0 έχουμε f1=0,1, f2=0,2, f3=0,3, f4=0,4

β. Είναι 100f 33

τότε ν4=40, ν2=20, ν1=10

Θέμα 7. Ραβδόγραμμα σχετικών (%) συχνοτήτων

xi νi fi% Νi Fi -1 4 10 4 0,1 0 12 30 16 0,4 2 18 45 34 0,85 3 6 15 40 1

Συν. 40 100

xi νi fi fi% Νi Fi Fi% 0 2 0,10 10 2 0,10 10 10 3 0,15 15 5 0,25 25 20 7 0,35 35 12 0,60 60 30 5 0,25 25 17 0,85 85 40 3 0,15 15 20 1 100

Συν. 20 1 100

i xi νi fi fi% 1 Θετικές Επιστήμες 60 0,6 60 2 Οικονομικές Επιστήμες 20 0,2 20 3 Θεωρητικές Επιστήμες 15 0,15 15 4 Επιστήμες Υγείας 5 0,05 5

Συν. 100 1 100

fi%

xι



- 39 -

Υγείας

5% Οικονομικές 20%

Θεωρητικές 15%

Θετικές 60%

05

10152025303540

2005 2006 2007 2008 2009 2010

ΈσοδαΈξοδα

Κυκλικό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων Βρίσκουμε πρώτα τις επίκεντρες γωνίες

Θετικές Επιστήμες: α1= 021636010060

Οικονομικές: α2=720 Θεωρητικές : α3=540 Υγείας: α4=180

Θέμα 8.

α. Με αυτοκίνητο : 20360

601200

00

1

άτομα

Με μετρό: ν2=.....=15 άτομα Πεζοί: ν3=...=14 άτομα Με μηχανή : ν4=...=11 άτομα

β. Είναι 3,33100333,0100%f 11

Θέμα 9. α. Παρατηρούμε ότι το 2007 τα έσοδα της εταιρείας είναι όσα και τα έξοδα.Απο το 2007 και μετά η εταιρεία αρχίζει να έχει κέρδη. β. Η εταιρεία παρουσίαζε ζημιά τα έτη 2005, 2006. Η μεγαλύτερη ζημιά παρουσιάστηκε το 2006 όπου έχουμε 15 εκατ. Έσοδα και 25 εκατ. Έξοδα δηλαδή ζημιά 10 εκατ. ευρώ. Το μεγαλύτερο κέρδος παρουσιάστηκε το 2008 γ. Το 2008: 40 εκατ. ευρώ έσοδα και 29 εκατ. ευρώ έξοδα δηλαδή μέγιστο κέρδος 20 εκατ. ευρώ. δ. ε. Η οικονομική κατάσταση της εταιρείας από το 2005 και μετά φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Το «-» δηλώνει ζημιά.



- 40 -

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 1 2 3 4

00,5

11,5

22,5

33,5

4

IAN ΦΕΒ ΜΑΡ ΑΠΡ ΜΑΪ ΙΟΥΝ ΙΟΥΛ

Συνολικά η εταιρεία κατά την πενταετία 2005-2010 έχει κέρδη 20 εκατ. Ευρώ Θέμα 10. Από το ραβδόγραμμα βλέπουμε ότι ν=2+3+4+1=10 οπότε:

00011 72360

102360

όμοια: θ2=1080, θ3=1440, θ4=360

Θέμα 11. Είναι φ+2φ+3φ+4φ=3600 άρα φ=360 Βρίσκουμε ν=100 Οπότε ν1=10 , ν2=20, ν3=30, ν4=40 Θέμα 12. Είναι ν=120 οπότε

2472360120

72 00000

0

Όμοια: ν1=39, ν3=12, ν4=9, ν2=ν-ν0-ν1-ν3-ν4=36

Θέμα 13. Η εξέλιξη είναι η εξής: 1η Ιανουαρίου 3 ευρώ 1η Φεβρουαρίου 3,5 ευρώ ( γιατί από την επίλυση της εξίσωσης

έχουμε x=21 )

1η Μαρτίου 3,2 ευρώ ( γιατί μειώθηκε κατά 0,3 ευρώ) 1η Απριλίου 3 ευρώ ( γιατί το όριο είναι 0,2) 1η Μαϊου 3 ευρώ 1η Ιουνίου 2,8 ( Μείωση κατά 0,2 ευρώ) 1η Ιουλίου 3,8 ( Αύξηση κατά 2x0,5=1 ευρώ)

Έτος Έσοδα Έξοδα Κέρδη 2005 5 10 -5 2006 15 25 -10 2007 20 20 0 2008 40 20 20 2009 35 30 5 2010 35 25 10

Ταινίες την εβδομάδα

Μαθ

ητές



- 41 -

020406080

100120140160180200220240

A B Γ Δ

Θέμα 14. α. Είναι x=15 και α1=60, α2=75, α3=135, α4=90 β. ν=720 γ. ν1=120, ν2=150, ν3=270, ν4=180 Θέμα 15. α. β. Ραβδόγραμμα Συχνοτήτων

Θέμα 16. α. Παρατηρούμε ότι οι τιμές της μεταβλητής είναι : x1=0, x2=5, x3=10, x4=15, x5=20 Το μέγεθος του δείγματος είναι ίσο με την τελευταία αθροιστική συχνότητα Επομένως ν=Ν5=100 β. Παρατηρούμε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .Άρα ΑΒ=ΒΓ=5 και ν1=Ν1=20 Οπότε ν2=5 και Ν2=20+5=25

Γνωρίζουμε ότι 15360100

5454 40400

4

Οπότε ν5=ν-ν1-ν2-ν3-ν4=30. Έχουμε τον παρακάτω πίνακα

i Κατηγορία νi fi % αi

1 Α 100 25 90 2 Β 240 60 216 3 Γ 40 10 36 4 Δ 20 5 18

Σύνολο 400 100 360

xi νi fi fi% Νi Fi Fi% 0 20 0,20 20 20 0,20 20 5 5 0,05 5 25 0,25 25 10 30 0,30 30 55 0,55 55 15 15 0,15 15 70 0,70 70 20 30 0,30 30 100 1 100

Συν. 100 1 100

Κατηγορίες



- 42 -

γ. i. Βαθμολογία από 5 έως 15 έχουν Ν4-Ν1=70-20=50 Μαθητές ii. Το πολύ 10 έχουν: Ν3=55 Μαθητές iii. Τουλάχιστον 15 πήραν: ν-Ν3=100-55=45 Μαθητές Θέμα 17.

Κλάσεις Κέντρο κλάσης

xi

Συχνότητα νi

Αθροιστική Συχνότητα

Νi

Σχετική Συχνότητα

fi%


Fi%

[2, 6) 4 6 6 15 15 [6, 10) 8 12 18 30 45

[10, 14) 12 8 26 20 65

[14, 18) 16 14 40 35 100

Σύνολο 40 100 Θέμα 18. α. Ισχύει ότι η απόλυτη διαφορά δύο οποιονδήποτε διαδοχικών κεντρικών τιμών είναι ίση με το πλάτος c των κλάσεων. Οπότε c=x2-x1=10 β. Τα όρια κάθε κλάσης απέχουν από την κεντρική τιμή της απόστασης ίση με c/2

δηλαδή με κεντρική τιμή xi κάθε κλάση είναι της μορφής

2cx,

2cx ii

Έτσι προκύπτουν οι κλάσεις 1η κλάση: [15,25) , 2η κλάση: [25,35) , 3η κλάση: [35,45), 4η κλάση [45,55) Θέμα 19. Είναι f4=2f2 και f1+f2+f3+f4=1 άρα ......f2=0,2 Έτσι f4=0,4 Έστω c το πλάτος των κλάσεων, τότε η τρίτη κλάση θα είναι [7,7+c) και η τέταρτη

[7+c,7+2c) οπότε: 2cc314202

c314102

c27c7x4

Έτσι έχουμε τον πίνακα:

Κλάσεις Κέντρο κλάσης xi

Σχετική συχνότητα fi

[3,5) 4 0,1 [5,7) 6 0,2 [7,9) 8 0,3 [9,11) 10 0,4

Σύνολο 1



- 43 -

10

νi

25

35

5

10 20 18 16 14 12 xi

Θέμα 20. α. Ο πίνακας συμπληρωμένος είναι:

β. Το πλήθος των μαθητών που διαθέτουν από 5-15 ευρώ είναι , οι μαθητές των κλάσεων [5-10) και [10-15) δηλαδή 22+16=38 μαθητές Θέμα 21. Από το πολύγωνο του σχήματος προκύπτει F1%=10, F2%=35 F3%=60, F4%=25 , F5%=100 Έχουμε τον παρακάτω πίνακα

α. Στην κλάση [10-12) βρίσκονται 10 μαθητές Στην κλάση [12-14) βρίσκονται 25 μαθητές Στην κλάση [14-16) βρίσκονται 25 μαθητές Στην κλάση [16-18) βρίσκονται 35 μαθητές Στην κλάση [18-20) βρίσκονται 5 μαθητές β. Το 35% των μαθητών βρίσκεται στην κλάση [16-18) και το 5% των μαθητών στην κλάση [18-20). Άρα από 16 έως 20 έχει το 40% των μαθητών γ. Το πολύγωνο συχνοτήτων είναι

Ποσό χρημάτων [ )

Αθροιστική Σχετική

συχνότητα Fi%

fi

νi

0-5 16 0,16 8 5-10 60 0,44 22

10-15 92 0,32 16 15-20 100 0,08 4

[ ) xi νi fi fi % Ni Fi Fi% 10-12 11 10 0,10 10 10 0,10 10 12-14 13 25 0,25 25 35 0,35 35 14-16 15 25 0,25 25 60 0,60 60 16-18 17 35 0,35 35 95 0,95 95 18-20 19 5 0,05 5 100 1 100

Σύνολο 100 1 100



- 44 -

Θέμα 22. Ισχύει ν1+ν2+ν3+ν4=150 20+ν2+ν3+45=150 ν2+ν3=85 (1) Επίσης ν1+ν3=ν2+ν4 20+ν3=ν2+45 ν3-ν2=25 (2) Από το σύστημα των (1),(2) βρίσκω: ν3=55, ν2=30 Άρα οι συχνότητες είναι :ν1=20, ν2=30, ν3=55, ν4=45

Θέμα 23. α. Από το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων προκύπτει ο πίνακας

[ - ) Νi 2 – 4 3 4 – 6 8 6 – 8 18 8 - 10 25

Είναι ν= ν1+ν2+ν3+ν4=Ν4=25 δηλαδή υπάρχουν 25 εργαζόμενοι β. Είναι ν1=Ν1=3 δηλαδή η κλάση [2-4) έχει συχνότητα 3 Είναι ν2=Ν2-Ν1=8-3=5 δηλαδή η κλάση [4-6) έχει συχνότητα 5 Όμοια ν3=Ν3-Ν2=18-8=10 και ν4=Ν4-Ν3=25-18=7 γ. Είναι xκ=6+ΚΛ . Όμως ΚΛ=ΒΕ οπότε αρκεί να υπολογίσουμε το ΒΕ. Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι όμοια οπότε:

4,11014

107

2818815

2

Άρα xκ=6+1,4=7,4 Θέμα 24. Από το σχήμα και με όμοια τρίγωνα βρίσκουμε: i. α. 176 β. 180 γ. 178 ii. α. 90 β. 20 γ. 75

Θέμα 25. α.

β. Το ποσοστό είναι 100-F3%=40% γ. Είναι α1=360, α2=720, α3=1080, α4=900, α5=540.

[ ) xi νi fi fi % Ni Fi Fi% 11-14 12,5 8 0,10 10 8 0,10 10 14-17 15,5 16 0,20 20 24 0,30 30 17-20 18,5 24 0,30 30 48 0,60 60 20-23 21.5 20 0,25 25 68 0,85 85 23-26 24,5 12 0,15 15 80 1 100

Σύνολο 80 1 100



- 45 -

Θέμα 26. α. Από το ιστόγραμμα έχουμε ν1=4, ν2=11, ν3=20, ν4=15 Είναι ν= ν1+ν2+ν3+ν4=50

β. Στην κλάση [10-15) αντιστοιχεί το %40100%f 33

των μαθητών

Στην κλάση [15,20) αντιστοιχεί το %30100%f 44

Άρα πάνω από τη βάση είναι το 70% των μαθητών γ. Αν τοποθετήσουμε το ένα ορθογώνιο πάνω στο άλλο , θα προκύψει ορθογώνιο με εμβαδόν Ε=Ε1+Ε2+Ε3+Ε4= ν1+ν2+ν3+ν4=50 Θέμα 27. α.

Κλάσεις σε χλμ.

Κέντρο κλάσης

xi

Συχνότητα νi σε χιλιάδες

μονάδες

Σχετική συχνότητα

fi%

Αθροιστική συχνότητα Νi σε χιλιάδες μονάδες.


Fi%

[5, 15) 10 60 30 60 30 [15, 25) 20 76 38 136 68

[25, 35) 30 44 22 180 90

[35, 45) 40 20 10 200 100

Σύνολο 200 100 β. Κατά τα γνωστά γ. ν3+ν4=64.000 οχήματα Θέμα 28.

Είναι xtt

x1i

i1i

i

(1)

0xxxt

x)t...tt()xt(...)xt()xt()xt(

)1(

1ii

21211i

i



- 46 -

Θέμα 29. α.

35,5107201x1x

5

1iii

β. Κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα

7140201x1x

4

1iii

Θέμα 30. Έστω ότι η σχετική συχνότητα της x3 είναι κ. Τότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα

Είναι

1,0

8,4258,4fx8,4x4

1iii

Έχουμε έτσι τον πίνακα Θέμα 31. α. 55,57x 20

115120

5552636058585461636555626260545458565150

xi νi xiνi 2 3 6 3 5 15 5 6 30 8 4 32

12 2 24 Σύνολο 20 107

Κλάσεις [ , )

xi νi xiνi

[3,5) 4 6 24 [5,7) 6 5 30 [7,9) 8 2 16 [9,11) 10 7 70

Σύνολο 20 140

xi fi fi xi 2 0,4 0,8 5 0,2 1 6 κ 6κ 8 0,4-κ 3,2-8κ

Σύνολο 1 5-2κ

xi fi fi % 2 0,4 40 5 0,2 20 6 0,1 10 8 0,3 30

Σύνολο 1 100



- 47 -

15

Fi %

50

45

75

50 66 62 58 54 xi

100

δ

Α

Γ

Ε

Δ

Β

x

β. Οι παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά είναι: 50 51 52 54 54 54 55 55 56 58 58 58 60 60 61 62 62 63 63 65

Άρτιο πλήθος παρατηρήσεων άρα: 582

58582

tt 1110

γ.

Εύρος R=65-50=15 . Πλάτος κλάσης c= 475,34

15

Έχουμε τον παρακάτω πίνακα

Κλάσεις xi νι xi νi fi fi % Fi%

[50-54) 52 3 156 0,15 15 15

[54-58) 56 6 336 0,30 30 45

[58-62) 60 6 360 0,30 30 75

[62-66) 64 5 320 0,25 25 100

Σύνολο 20 1172 1 100

6,581172201x1x

20

1iii

Κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων Fi%

Από τα όμοια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ

έχουμε:

61x

305

4x

45754550

5862x

Άρα δ=58+ 6,5861



- 48 -

Θέμα 32. Έστω 1x η μέση τιμή των 8 παρατηρήσεων t1,t2,…,t8 και 2x η μέση τιμή των υπολοίπων 12 παρατηρήσεων t9,t10,…,t20. Έχουμε

)1(144t...ttt...tt

2,720

t...ttt...tt2,7x

20109821

20109821

Είναι όμως 48t...tt8

t...ttx 8218211

Από τη σχέση (1) έχουμε:

48+t9+t10+…+t20=144 t9+t10+…+t20=96 Άρα 81296x2

Θέμα 33. α. Έστω t1,t2,t3 ,t4 ,t5 οι βαθμολογίες του μαθητή στα 5 πρώτα διαγωνίσματα

Τότε 916

964506

96ttttt 54321

β. Έστω t6 η βαθμολογία του 6ου διαγωνίσματος . Αν κατέβει η βαθμολογία του κατά 2 μονάδες θα γίνει 88. Τότε θα ισχύει:

78t528t450886

tttttt66

654321

Θέμα 34. Έστω ν1=α τότε α+31+ν3+26=100 ν3=43-α Έχουμε τον διπλανό πίνακα

Άρα 1663,2100

229563,2x

Δηλαδή ν1=16 Τότε ν3=43-16=27 Ο πίνακας γίνεται

Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι ν=100

3

233

2ή51ή50

Παιδιά xi νi xi νi

1 α α

2 31 62

3 43-α 129-3α

4 26 104

Σύνολο 100 295-2α

xi νi Νi

1 16 16

2 31 47

3 27 74

4 26 100

Σύνολο 100



- 49 -

Θέμα 35.

α. 695

3455

6972657762x

β. Οι παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά είναι: 62 65 69 72 77 Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττό. Άρα δ=t3=69 γ. Έστω α το βάρος του έκτου αθλητή . Τότε

874323456

345726

6972657762y

Άρα το βάρος του έκτου αθλητή είναι 87 Θέμα 36.

Είναι 3045,7xxxx4

xxxxx 43214321

(1)

Επίσης 2793xxx3

xxxx 432432

(2)

Αν αφαιρέσουμε (1)-(2) θα πάρουμε x1=3 και x2=2x1=6 Άρα από (1) έχουμε : x3+x4=21 (3) Τότε θα έχουμε τους αριθμούς : 3,6, x3, x4 με διάμεσο 6,5. Άρα

7x2x65,6 3

3

οπότε από (3) x4=14

Επομένως οι ζητούμενοι αριθμοί είναι: 3,6,7,14. Θέμα 37. α. Κατασκευάζουμε τον πίνακα αθροιστικών συχνοτήτων : Επειδή είναι ν=84 έχουμε

122

12122

xx 4342

xi νi Νi 3 15 15 7 8 23 12 21 44 16 17 61 22 13 74 25 10 84

Σύνολο 84



- 50 -

10

Fi %

50

30

60

8 24 28 20 16 12 xi

100

δ

Α

Γ

Ε

Δ Β

4-x x

85

β.

Σχεδιάζουμε το πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό. 1ος τρόπος Από τα όμοια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ έχουμε:

33,1x34x

4x3x31284

x43020

1620x4

30603050

AAB

Άρα η διάμεσος είναι: δ=20-1,33=18,7 2ος τρόπος Βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας ΑΕ όπου Α(16,30) και Ε(20,60)

Είναι 2

154

3016203060

Τότε : ΑΕ: y-

30= 7,18x....)16x(2

153050)16x(2

15 50y

Θέμα 38.

α. Είναι

4

1iii 6,31,074,043.032,02fxx

β. Έστω ν το μέγεθος του δείγματος

Τότε έχουμε

4

1i

4

1iiiii 1505406,3xxx1x Άρα από τη

σχέση if έχουμε: ν1=30, ν2=45, ν3=60, ν4=15 γ. Επειδή ν=150 (άρτιος) από πίνακα αθροιστικών συχνοτήτων

έχουμε : 5,32

432

tt 7675

[ , ) νi fi % Fi % [8,12) 4 10 10

[12,16) 8 20 30 [16,20) 12 30 60 [20,24) 10 25 85 [24,28) 6 15 100 Σύνολο 40 100

xi 2 3 4 7 Ni 30 75 135 150



- 51 -

Θέμα 39. α. Βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ, όπου Α(16,20) και Β(22,α)

Είναι 6

20162220

ΑΒ: 65....)1620(6

202050)16x(6

2020y20x

50y

β. Κατασκευάζουμε τον πίνακα σχετικών συχνοτήτων

Επομένως

4

1iii 1,21fxx

Θέμα 40. α. i. Έστω ν4 το πλήθος των μαθητών που δαπάνησαν 4 ευρώ και ν5 το πλήθος των μαθητών που δαπάνησαν 5 ευρώ. Ισχύουν οι σχέσεις :

8

1i1 40 και 45,4x . Έχουμε

78

.......45,440

8353654246240156832

5

454

54

ii. Η διάμεσος ισούται με το ημιάθροισμα της 20ης και 21ης παρατήρησης δηλαδή

42

44

β. Έστω ότι x μαθητές δαπάνησαν 4 ευρώ. Άρα 15-x θα δαπανήσουν 5 ευρώ. Όσες παρατηρήσεις είναι μικρότερες της διαμέσου , δηλαδή μικρότερες από 4,5 άλλες τόσες θα είναι μεγαλύτερες, οπότε θα έχουμε: 2+3+8+x=15-x+6+5+1 …..x=7 Άρα ν4=7, ν5=15-7=8

Κλάσεις xi Fi % fi % fi xifi [10,16) 13 20 20 0,2 2,6 [16,22) 19 65 45 0,45 8,55 [22,28) 25 80 15 0,15 3,75 [38,34) 31 100 20 0,2 6,2 Σύνολο 100 1 21,1



- 52 -

Θέμα 41.

α. Τα άκρα της 3ης κλάσης θα είναι

2c14,

2c14 . Το κέντρο της 2ης κλάσης θα

είναι 14-c, οπότε τα άκρα της θα είναι

2cc14,

2cc14 . Από τον πίνακα

έχουμε 4c.....82cc14

β. Γνωρίζουμε ότι f1+f2+f3+f4=1 f1+0,3+2f1+0,1=1 f1=0,2 Άρα f3=0,4 Ο πίνακας συμπληρωμένος είναι:

γ. Είναι

4

1iii 6,11fxx

Θέμα 42. α. Ο αριθμός των μαθητών ν συμπίπτει με την αθροιστική συχνότητα Νi της τελευταίας κλάσης , άρα ν=50 β. Ο πίνακας είναι γ. Από τη στήλη των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων Fi % του παραπάνω πίνακα παρατηρούμε ότι το 50% των μαθητών έχουν γράψει κάτω από 12 και το 50% πάνω από 12. άρα δ=12 ( Η διάμεσος βρίσκεται επίσης και από το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων Fi % ). δ. Στο διάστημα [8,12) έχουμε 12 μαθητές ομοιόμορφα κατανεμημένους , οπότε στο διάστημα [10,12) θα είναι 6 μαθητές. Άρα , όλοι οι μαθητές με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 10 είναι 6+17+8=31 ε. Στο διάστημα [16,20) έχουμε 8 μαθητές, οπότε στο [16,18) θα έχουμε 4 μαθητές. Άρα οι μαθητές με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 10 και μικρότερο ή ίσο του 18 είναι : 6+17+4=27

Βαθμολογίες Κέντρο Κλάσης xi Σχετική Συχνότητα fi [4-8) 6 0,2 [8-12) 10 0,3

[12-16) 14 0,4 [16-18) 18 0,1 Σύνολο 1

Βαθμός νi Νi fi % Fi % [0,4) 5 5 10 10 [4,8) 8 13 16 26 [8,12) 12 25 24 50 [12,16) 17 42 34 84 [16,20) 8 50 16 100 Σύνολο 50 100



- 53 -

Θέμα 43. α. Είναι ν=Ν4=30 ( από το 2ο ιστόγραμμα)

62.030ff 111

i

( από το 1ο ιστόγραμμα)

Ν2=18 ν2=Ν2-ν1=18-6=12 ν3=νf3=30.0,3=9 ν4=30-ν1-ν2-ν3=3 Έχουμε τον παρακάτω πίνακα

Κλάσεις xi νi Νi fi % Fi%

[2-4) 3 6 6 20 20

[4-6) 5 12 18 40 60

[6-8) 7 9 27 30 90

[8-10) 9 3 30 10 100

Σύνολο 30 100

β. Στην κλάση [2,4) περιέχεται το 20% των παρατηρήσεων, στην κλάση [4,6) το 40% των παρατηρήσεων και στο διάστημα [6,7) το 15% . Άρα η τιμή x πάνω από την οποία ανήκει το 75% των παρατηρήσεων είναι η κεντρική τιμή της κλάσης [6,8) δηλαδή x=7

γ. Από το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων Fi % βρίσκουμε δ=5,5

δ. Είναι 6,530

2763601830

xx

30

1iii

Θέμα 44. α. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 10 για τη διάμεσο έχουμε:

δ=5 10xx52

xx65

65

Η σχέση αυτή ισχύει μόνο όταν x5=4 και x6=6

οπότε x7=x8=x9=x10=6

Για τη μέση τιμή έχουμε:

4,410

654xxxx4,4x 4321

x1+x2+x3+x4=10 (1) Έστω ότι κ ( )40 το πλήθος παρατηρήσεις από τις x1,x2,x3,x4 είναι όσες με 2 οπότε 4-κ είναι ίσες με 4. Η (1) γίνεται: 2κ+(4-κ)4=10 .....κ=3 . Άρα x1=x2=x3=2 και x4=4 Άρα ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων είναι ο διπλανός

xi νi 2 3 4 2 6 5

Σύνολο 10



- 54 -

x2 =4

1800

x3=6

x1 =2 1080720

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

β. Για τις γωνίες του κυκλικού διαγράμματος έχουμε: 00

1 108103360 , α2=...=720, α3=...=1800

γ. Διάγραμμα και πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων

δ. Η μέση τιμή της μεταβλητής Y είναι

8,032,234,4213x

21y

Η διάμεσος είναι δy 2yy 65 . Έχουμε: 134

21y5 και 036

21y6

Επομένως: 21

201

2yy 65

y

Θέμα 45. Έχουμε τον παρακάτω πίνακα

xi νi xiνi Νi xi- x (xi- x )2 (xi- x )2νi 16 1 16 1 -3,2 10,24 10,24 17 2 34 3 -2,2 4,84 9,68 18 3 54 6 -1,2 1,44 4,32 21 2 42 8 1,8 3,24 6,48 22 1 22 9 2,8 7,84 7,84 24 1 24 10 4,8 24,04 24,04

Σύνολα 10 192 62,6 Έχουμε: x 19,2 , δ=18, s2=6,26, s 2,5

xi νi fi Fi

2 3 0,3 0,3 4 2 0,2 0,5 6 5 0,5 1

Σύνολο 10 1

2 4 6 xi

Fi



- 55 -

Θέμα 46. α.

Ηλικία σε έτη

Κέντρο κλάσης (xi)

νi fi Ni νixi xi2 νi xi

2

[0, 2) 1 10 0,20 10 10 1 10 [2, 4) 3 14 0,28 24 42 9 126 [4, 6) 5 18 0,36 42 90 25 450 [6, 8) 7 8 0,16 50 56 49 392

Σύνολα 50 1 198 978 β.

i. Είναι 96,350

19850

xx

50

1iii

ii. Είναι

2

1iii

1ii

2i

2x

x1s = 8,308,784978501

50198978

501 2

iii. Έχουμε 96,1ss 2

iv. Είναι %4949,096,396,1

xsCV

γ. Δεν είναι ομοιογενές γιατί CV=49%>10% Θέμα 47. α.

Έχουμε

102526226622

50x

x ii

xi vi xi vi 0 6 0 1 κ κ 2 6 12 3 6 18 4 8 32

Σύνολα 26+κ 62+κ



- 56 -

β. Ο πίνακας συμπληρωμένος είναι:

xi νi xiνi xi- x (xi- x )2 (xi- x )2νi 0 6 0 -2 4 24 1 10 10 -1 1 10 2 6 12 0 0 0 3 6 18 1 1 6 4 8 32 2 4 32

Σύνολα 36 72 72

Έχουμε

κ

1ii

2i

2 ν)xx(ν1s = 272

361

άρα 41,12ss 2

γ. Ο συντελεστής μεταβολής είναι: 7,0241,1

xsCV =70%

δ. Όταν οι τιμές αυξηθούν κατά c>0 τότε c2cxy

Πρέπει: 1,12c.....101

c241,1%10CV

Επομένως η ελάχιστη τιμή είναι 1,12c Θέμα 48. Από την υπόθεση , επειδή sA<0,5sB , είναι sA < sB ή 0< sA < sB (1)

Επίσης BAB

A x3x3xx

άρα BA xx BA x

1x1

(2)

Από (1) και (2) έχουμε: BAB

BA

A CVCVx1s

x1s

γιατί A

AA x

sCV και B

BB x

sCV

Επομένως το δείγμα Α είναι πιο ομοιογενές Θέμα 49.

Α.

2

1ii

1i

2i

2t

t1s)1(2

1i

2i

2

2

1i1

1i

2i

2 xt1stt

s

s2=

1i

22i xt1 . (είναι

1i

i1i

ixx

xx (1) )



- 57 -

Β.

α. Είναι CV=80% άρα x8,0s8,0xs

Επίσης

1i

22i

2 xt1s

123xx64,0x123x8,0 2222

1212390064,1123t

64,1123x64,1 2

2

1ii

2

β. 5,21230

tx 1i

i

γ. 25,28,0x8,0s Θέμα 50.

Α. Έχουμε

2

1iii

1ii

2i

2x

x1s

1i

2

2

1iii

i2i

xx1

2

1i

2ii

2

1iii

1i

2i

i xxfx

x

(1)

Β. α. Γενικά ισχύει

1iiixfx Άρα 10xfxfx 2211

β. Είναι λόγω (1): 22222222

211

2 10xxfxfs =λ(1-λ)=λκ (επειδή κ+λ=1) Άρα s

γ.

2xsCV



- 58 -

s3xs2xsxxsxs2xs3x

34 34

13,5

13,5

2,35

2,35

0,15 0,15

s3xs2xsxxsxs2xs3x

34 34

13,5

13,5

2,35

2,35

0,15 0,15

Θέμα 51. α. Επειδή 0,15%+2,35%+13,5%=16% από το σχήμα της κανονικής κατανομής και την εκφώνηση έχουμε: x -s=84 και x +s=108 Λύνοντας το (Σ) έχουμε: x =96 και s=12 β. Επειδή η κατανομή είναι κανονική έχουμε Εύρος : 72126s6R Διάμεσος: δ= x =96

γ. Το ποσοστό των μαθητών που έχουν δείκτη νοημοσύνης τουλάχιστον 132 είναι:0,15%

δ. Είναι %10%5,12125,09612

xsCV άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές

Έστω ότι ο δείκτης νοημοσύνης κάθε μαθητή αυξάνεται κατά c τότε sy=s=12 και cxy =96+c.

Πρέπει 24c...1,0c96

121,0y

s%10CV y

y

Άρα η ελάχιστη τιμή του c είναι 24. Θέμα 52. α. Επειδή το δείγμα ακολουθεί την κανονική κατανομή το 83,85% των τιμών θα βρίσκεται σε ένα από τα διαστήματα ( x -s, x +3s) ή (x -3s, x +s) γιατί 83,85%=2,35%+13,5%+34%+34% Για το διάστημα ( x -s, x +3s) έχουμε: x -s=4 x +3s=12 βρίσκουμε x =6 , s=2

Άρα x =δ=6 ,CV=31 και 12R

Για το διάστημα ( x -3s, x +s) έχουμε: x -3s=4 και x +s=12. Βρίσκουμε

x =10 , s=2 . Άρα x =δ=10 ,CV=51 και 12R

β. Για την 1η περίπτωση είναι x +3s=12 οπότε το ποσοστό των τιμών που είναι πάνω από 12 είναι 0,15% Για την 2η περίπτωση είναι x +s=12 οπότε το ποσοστό των τιμών που είναι πάνω από 12 είναι 13,5% +2,35%+0,15%=16%

60 72 84 96 108 120 132



- 59 -

s3xs2xsxxsxs2xs3x

34 34

13,5

13,5

2,35

2,35

0,15 0,15

Θέμα 53. α. x =60 kg , x -s=56 s=4 kg β. i. Αν ονομάσουμε x το βάρος που έδειξε η ζυγαριά και y το πραγματικό βάρος κάθε μαθητή , τότε y=x+2, οπότε 2xy =62 kg και xy ss 4 kg

ii. %10%6624CV

iii. Παρατηρούμε ότι 70862s2y οπότε το ποσοστό των μαθητών που ζυγίζουν περισσότερο από 70 kg είναι 2,5% και το πλήθος τους 5%5,2200 Θέμα 54.

α. Είναι s2=

1i

22i xx1 2222 x29sx2900

1001s (1)

16,0x

s4,0xs4,0CV 2

2 (2)

Από (1) και (2) έχουμε: x =5 και s=2

β. Έστω iy οι νέες τιμές με : 2x2,1y2x10020xy iiiii οπότε:

i. 4y ii. s=2,4 iii. CV=60% οπότε ο αρχικός συντελεστής μεταβολής αυξάνεται κατά 20% Θέμα 55. α. Για το τμήμα Γ1 έχουμε: 1xx1 =13 και s1=s=2 Για το τμήμα Γ2 έχουμε: 2,13x1,1x1,0xx2 και s2=1,1s=2,2 β. Έστω CV1 και CV2 οι συντελεστές μεταβολής της βαθμολογίας μετά τις εξετάσεις του 2ου τετραμήνου των τμημάτων Γ1 και Γ2 αντίστοιχα

Είναι %4,15154,0132CV1 και %6,16166,0

2,132,2CV2

γ. c=9 δ. 34%+34%+13,5%+2,35%=83,85% των μαθητών Θέμα 56. α. Παρατηρούμε ότι 180= x -2s και 220= x +2s άρα Ε1=95%. V και

Ε2= v%5,2v2

95100

Οπότε:



- 60 -

8 5 2

E=2500

385,2

95EE

2

1 και 405,2

100E

2

β.

i. 1510000100

15,0 λαμπτήρες

ii. 84001000010084

λαμπτήρες

iii. 838510000100

85,83 λαμπτήρες

Θέμα 57. α. Παρατηρούμε ότι δ=8 αφού το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες από αυτή είναι 50% Ξέρουμε ότι η κατακόρυφη ευθεία που αντιστοιχεί στην τιμή 8 (διάμεσος ) χωρίζει το εμβαδόν που ορίζεται από την καμπύλη συχνοτήτων σε 2 ίσα μέρη. Επομένως , αφού το γραμμοσκιασμένο δεξιό εμβαδόν είναι 2.500, όλο το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη συχνοτήτων θα είναι 5.000. Όμως το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη συχνοτήτων είναι ίσο με το μέγεθος του δείγματος, άρα ν=5.000 β. Η μέση τιμή βρίσκεται αριστερά της διαμέσου δ=8 αφού έλκεται από τις ακραίες τιμές κοντά στο 2 (αρνητική ασυμμετρία) γ. Το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται αριστερά του 5 είναι μικρότερο από το 50% του συνολικού εμβαδού , επομένως το σύνολο των τηλεθεατών που βλέπει λιγότερο από 5 ώρες είναι μικρότερο από αυτό που βλέπει περισσότερο από 5 ώρες. Θέμα 58. α. Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη συχνοτήτων και τον άξονα x είναι ίσο με το μέγεθος του δείγματος. Επομένως ΕΒ=ν=200 Άρα η εταιρεία Α έχει 600 υπαλλήλους

β. 2100

1003002

1

γ. Γνωρίζουμε ότι R=β-α. Επίσης οι κατανομές είναι κανονικές , η κοινή διάμεσος δ

είναι ίση με την κοινή μέση τιμή x , οπότε δ= x =22

Άρα 22

))((R22



- 61 -

10

νi

15

20

5

100 500 400 300 200 xi

20

Fi %

50

90

100 500 400 300 200 xi

100

δ

Α

Θέμα 59. α. Το πλάτος των κλάσεων είναι η διαφορά δυο διαδοχικών τετμημένων των σημείων του πολυγώνου, άρα c=100 Τα σημεία Α και Ζ είναι τα κέντρα των δυο υποτιθέμενων κλάσεων με συχνότητα 0

Επειδή τα άκρα κάθε κλάσης έχουν απόσταση 502c από το κέντρο της, οι

κλάσεις είναι [100-200), [200,300),[300-400), [400,500).

Είναι

iif και ν=10+15+20+5=50

Οπότε : f1=0,20, f2=0,30, f3=0,40, f4=0,10

β. Για τη μέση τιμή ισχύει:

4

1iii 29014500

501x

501x €

Από το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων προκύπτει δ=300

Κλάσεις xi νi fi fi % Fi% xi νi

[100-200) 150 10 0,20 20 20 1500

[200-300) 250 15 0,30 30 50 3750

[300-400) 350 20 0,40 40 90 7000

[400-500) 450 5 0,10 10 100 2250

Σύνολο 50 1 100 14500



- 62 -

20 40 180

(1)

(2)

γ. Είναι οι εργαζόμενοι των κλάσεων [100-200) και [200,220)

Τα αντίστοιχα ποσοστά είναι: %26%3051%20%f

200300200220%f 21

Άρα το 26% των υπαλλήλων δεν πληρώνει εφορία δ. Επειδή x =290 και δ=300 δηλαδή x <δ , η κατανομή έχει αρνητική ασυμμετρία. Θέμα 60. α. Το μέγεθος του δείγματος (2) συν το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου δηλαδή 600+400=1000 β. Από το σχήμα προκύπτει: 21 xx δ1=δ2

Οπότε: 53

xx

111

222

γ. Για το εύρος των δυο κατανομών από το σχήμα έχουμε: R1=xmax - 20 και R2=180-40=140

Επομένως 195x17520x45

14020x

45

RR

maxmaxmax

2

1

Τότε R1=195-20=175

δ. Είναι

33,236

140s

16,296

175s

140s6175s6

s6Rs6R

2

1

2

1

22

11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Λ Λ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Σ

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Σ Σ Λ Σ Σ Σ Λ Σ Σ Λ Σ Σ Λ

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Σ Σ Λ Λ Σ Σ Σ Λ Σ Σ Λ

Ε ρω τ ήσ ε ι ς Σωσ τ ού -Λάθ ου ς



- 63 -

194441315 στατιστικη

Documents

Transcript of 194441315 στατιστικη