Ch1b ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ

8/18/2019 Ch1b ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ

1/42

Έστω σύστημα σωματιδίων με ολικήενέργεια ε0.

Όταν λέμε «ολική» ενέργεια εννοούμεΚΑΙ κινητική (που χαρακτηρίζεται απότις ταχύτητες των σωματιδίων) ΚΑΙδυναμική λόγω εξωτερικού πεδίου (πουχαρακτηρίζεται από τις θέσεις τωνσωματιδίων).

Αναζητούμε την πιθανότητα αυτό το σωματίδιο να έχειενέργεια που βρίσκεται στην περιοχή μεταξύ:

και εα εα+d εα

Από τα Ν σωματίδια ξεχωρίζουμε 1


2/42

Σύμφωνα με όσα ξέρουμε, για να βρούμε τη ζητούμενηπιθανότητα πρέπει να βρούμε τα εξής:

α) Το σύνολο των μικροκαταστάσεων Γ 0(ε0) με τις οποίες Νσωματίδια υλοποιούν την ολική ενέργεια ε0.β) Το σύνολο των μικροκαταστάσεων Γ( ε0- εα) με τις οποίες Ν -1σωματίδια υλοποιούν την ολική ενέργεια ε0- εα.γ) Το σύνολο των μικροκαταστάσεων d Γμε τις οποίες 1 (το

επιλεγμένο) σωματίδιο υλοποιεί την ενέργεια από εα έως εα+d εα.

−= β ε d Ae d Γ P


3/42

Η κατανομή Gibbs μας δίνει την πιθανότητα 1

σωματίδιο να έχει ενέργεια μεταξύ εα και εα+ d εα Το ποσοστό των σωματιδίων που έχουν ενέργεια

μεταξύ εα και εα+ d εα

1. Το β είναι ανεξάρτητο του εα.

2. Όσο αυξάνεται το ε0 τόσο αυξάνεται το Γ (ε0)

Χαρακτηριστικό του συστήματος

β ≥ 0.

−= β ε d Ae d Γ P


4/42


5/42

Υποθέτουμε ότι εξωτερικό πεδίο δεν υπάρχει

Επομένως ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ δυναμική ενέργεια εα p=0.Δηλαδή το d P δεν εξαρτάται από τη θέση ( x , y, z).

Ολοκληρώνουμε ως προς τις θέσεις για όλο τονπροσιτό όγκο και βρίσκουμε

− −= 1 2

k k β β x y z x y z

ε ε d A A Vd υ dυ dυ e = Сdυ dυ dυ e P


6/42

Έστω επιφάνεια στο χώρο, ηοποία ορίζεται από τη συνάρ -τηση z= f ( x , y). Έστω D η προβολή της στοεπίπεδο xy .Χωρίζουμε τη D σε μικράορθογώνια παραλληλόγραμμαεμβαδού Δσ .Ο όγκος του σχηματιζόμενου

ορθογωνίου παραλληλεπιπέ -δου θα είναι: Δ V = Δσ ⋅ h = Δσ ⋅ f ( x , y)

Επομένως, για να υπολογίσουμε τον όγκο του σχήματος που περι -κλείεται μεταξύ της f ( x , y) και του D , αρκεί να προσθέσουμε όλουςτους Δ V , απαιτώντας το Δσ να τείνει στο μηδέν.


7/42

1 1

n n

i i→∞ →∞ →∞= =

= = =

∑ ∑ n i i i i i n n nV V h Δσ f x , y Δσ lim lim lim ( )

Αυτό το όριο ονομάζεται ΔΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ με πεδίοορισμού το D και συμβολίζεται στη γενική περίπτωση ως εξής:

= ∫∫ DV f x, y d σ ( )Για να προχωρήσουμε πρέπει να ορίσουμε το d σ , που είναι τοστοιχειώδες επίπεδο


8/42

d σ

Προσαυξάνουμε το x κατά dx και το y κατά dy .

Όπως φαίνεται και στο σχήμα, θαισχύει:

d σ = dxdy

d σ Από το σχήμα έχουμε:

d σ =(ΑΒΓΔ) ≈ (ΑΒ)(ΑΔ)

(AB)= d ρ , (ΑΔ)= ρ d φ ΕΠΟΜΕΝΩΣ

d σ = ρ d ρ d φ

ρ d ρ d φ= dxdy


9/42

Ο τρόπος υπολογισμού του διπλού ολοκληρώματος εξαρτάται απότο πεδίο ορισμού D.

Εξετάζουμε την απλούστερη περίπτωση,όταν το πεδίο ορισμού είναι ορθογώνιοπαραλληλόγραμμο. Τότε a x b , c y d

Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να γράψουμε:

∫∫ ∫ ∫ d b c a D

f x, y dxdy = dy f x, y dx( ) ( )

Και τώρα υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα θεωρώνταςτο y σταθερό.

∫ b a f x, y dx( )

Αυτό που βρήκαμε είναι συνάρτηση ΜΟΝΟ του y και μπορούμε νατο ολοκληρώσουμε ως προς y με όρια c και d .


10/42

=∫ ∫ ∫ ∫ d b b d c a a c dy f x, y dx dx f x, y dy( ) ( )

= ⋅ ∫∫ ∫ ∫ d b

c a D

f x, y dxdy u y dy Φ x dx ( ) ( ) ( )

Στην περίπτωση που εξετάζουμε, δηλαδή όταν το πεδίο ορισμούείναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, δεν έχει σημασία η σειράολοκλήρωσης. Δηλαδή μπορούμε πρώτα να ολοκληρώσουμε ως προ

x και μετά ως προς y, ή μπορούμε να ολοκληρώσουμε πρώτα ωςπρος y και μετά ως προς x .

Το διπλό ολοκλήρωμα απλοποιείται ακόμη περισσότερα, αν στησυνάρτηση f ( x,y) μπορούμε να χωρίσουμε τις μεταβλητές x, y .Δηλαδή, αν f ( x,y )= Φ ( x)u ( y), τότε θα ισχύει:

Στην περίπτωση αυτό το διπλό ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε

γινόμενο 2 ολοκληρωμάτων


11/42

Έστω στερεό σώμα όγκου V , η πυκνότητα του οποίου ρ ( x,y,z ) είναιμεταβλητή και εξαρτάται από το σημείο του χώρου που εξετάζουμε .Τότε αν κόψουμε το σώμα σε μικρά κομμάτια όγκου Δ V i, η ποσότητα

1

( , , ) N

i i i ii

m x y z V ρ =

′ = ∆

∑Θα τείνει στη μάζα του σώματος, όταν το Δ V i τείνει στο μηδέν. Ονομάζουμε ΤΡΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ το όριο

→ ≡∑ ∫∫∫i Ν

i i i i ΔV

i= V f x , y , z ΔV f x, y,z dV 0

1lim ( ) ( )

Όπου V o όγκος του σώματος.

ΟΤΙ ΕΙΠΑΜΕ ΓΙΑ ΤΑ ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΙΣΧΥΟΥΝ ΚΑΙ ΣΤΑ ΤΡΙΠΛΑ


12/42

dVΑπό το σχήμα (που το σχεδιάσαμε όπωςκαι στην περίπτωση του επιπέδου για τοd σ) βρίσκουμε ότι:

dV=dxdydz

Από το σχήμα βρίσκουμε ότι: dV =(A ΒΓΔΕΖΗΘ)=(ΑΔ)(ΑΒ)(ΑΕ)

( ΑΔ)=(Α΄Δ΄)= ρ d φ ( ΑΒ)=(Α΄Β΄)= d ρ

( ΑΕ )= dzΕπομένως:

dV = ρ d ρ d φ dz


13/42

Από το σχήμα βρίσκουμε ότι: dV =(A ΒΓΔΕΖΗΘ)=(ΑΔ)(ΓΔ)(ΑΕ)

(ΑΔ)= rd θ (ΓΔ)=(ΡΔ) d φ (ΡΔ )= r sin θ

Επομένως:

dV = r 2sin θ drd θ d φ

(ΑΕ )= dr

Θα ισχύει:

dxdydz= ρ d ρ dzd φ=r 2sin θ drd θ d φ


14/42

dS =(A ΒΓΔ) ≈ (ΑΔ)(ΓΔ)=

= r 2sin θ d θ d φ

dS d Ω = = θdθdφ r 2 sin

= =∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫π

ΟΛΟΣ Ο φ θ ΧΩΡΟΣ

d Ω = θdθdφ dφ θdθ π 2 π

0 0sin sin 4

=

= ⋅ ⋅

∫∫∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ΣΦΑΙΡΑ r φ θ

R π

dV = r θdθdφdr

R r dr d φ θdθ π πR

2

32 π

2 3

0 0 0

sin

4sin 2 2 =

3 3


15/42

ΟΛΑ ΟΣΑ ΕΙΠΑΜΕ ΠΙΟ ΠΑΝΩ (Στοιχειώδης όγκος, επιφάνειακ.τ.λ.) ΙΣΧΥΟΥΝ ΓΙΑ ΕΝΑΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ

Μπορούμε λοιπόν να φτιάξουμε έναντρισδιάστατο χώρο π.χ. ταχυτήτων,όπως αυτός που φαίνεται στο σχήμα και

να επαναλάβουμε όσα είπαμεπροηγουμένως, αντικαθιστώντας τα x, y,

z και r με τα υ x , υ y , υ z και υ αντίστοιχα.

υ

2 sin x y zd d d d d d υ υ υ υ θ θ ϕ υ =

x y z zd d d d d d υ υ υ υ ϕ υ υ ⊥ ⊥=2 2

όπου x yυ υ υ ⊥ = +

θ

φ υ ⊥

zυ


16/42

− k β x y z

ε d = Сdυ dυ dυ eP Είχαμε καταλήξει στη σχέση

Αυτή η σχέση μας δίνει την πιθανότητα το σωματίδιο να έχειταχύτητα, οι συνιστώσες της οποίας είναι μεταξύ υ x και υ x+ d υ x,υ y και υ y+d υ y, υ z και υ z+d υ z.

Παίρνουμε υπόψη μας, ότι για την κινητική ενέργεια ισχύει:

εαk= mυ2 /2Αναζητούμε την πιθανότητα το σωματίδιο να έχει ΜΕΤΡΟταχύτητας μεταξύ υ και υ+ d υ.

Αυτό μπορούμε να το καταφέρουμε σχετικά εύκολα, αν αντί γιατο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων χρησιμοποιήσουμε τοσφαιρικό.

Τίποτε δεν θα αλλάξει όσον αφορά την κινητική ενέργεια εαk .


17/42

Αλλαγές θα έχουμε στο γινόμενο d υ x d υ y d υ z.

Χρησιμοποιούμε αυτά που μάθαμε στο μαθηματικό ένθετο καικατ’ αναλογία με τις συντεταγμένες γράφουμε:

− 2 2 βmυ / x y z d = Сdυ dυ dυ eP

Οι γωνίες θ και φ εκφράζουν διευθύνσεις, που δεν μαςενδιαφέρουν.

Επομένως μπορούμε να ολοκληρώσουμε ως προς τις γωνίες

− −=∫ ∫π π

βmυ / βmυ / d = Сυ dυe dφ θdθ πСυ dυeP 2 22

2 2 2 20 0

sin 4

Έχουμε ακόμη άγνωστο το С . Μπορούμε βέβαια να γυρίσουμεπίσω και να υπολογίσουμε τις σταθερές, αλλά αυτό φαίνεται

λίγο ... δύσκολο,

− 22 2sin βmυ /= Сυ θdθdφdυe


18/42

Μπορούμε όμως να εφαρμόσουμε τη συνθήκη κανονικοποίησης,που ισχύει στις πιθανότητες. Για να το κάνουμε αυτό πρέπει να βρούμε όλες τις δυνατές τιμέςτου μέτρου της ταχύτητας υ. Στη συνέχεια, αν ολοκληρώσουμε για όλες αυτές τις τιμές, τοαποτέλεσμα θα είναι 1. Μαθηματικά, από τον ορισμό ισχύει: 0 υ < .

Θα εξετάσουμε το πρόβλημα αυτό αργότερα.

Προς το παρόν θα χρησιμοποιήσουμε τη «βολική» συνθήκηκανονικοποίησης

∞ −= =∫ ∫ βmυ / d υ πС υ dυeP 22 20ΟΛΕΣ

( ) 4 1

Όμως η φυσική έχει σαν όριο τηνειδική θεωρία της σχετικότητας!


19/42

∞

−∞= ∫ 2-x I e dx0

∞

−∞=

∫ 2-x

I e dx0∞

−∞= ∫ 2-y I e dy0 ( )( )

∞ ∞ ∞ ∞−∞ −∞ −∞ −∞= =∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2-x -y - x + y I e dx e dy e dxdy22 ( )0

Περνώ στις πολικές συντεταγμένες:

x2+ y2= ρ 2, dxdy = ρ d ρ d θ , 0 ρ < , 0 θ 2π

∞ ∞= =∫ ∫ ∫- ρ -ρ I d θ e ρdρ e d ρ2 2

2π2 20 0 0 0

2π( ) = π

2

, / / 2∞

= = ∫ 2-x I I I = e dx = I 20 0 00π 2 = π


20/42

Ας εφαρμόσουμε τους τύπους αυτούςστη συνθήκη κανονικοποίησης

∞ − =∫ βmυ /πС υ e dυ22 204 1∞

− =∫ βmυ /υ e dυ βm/ 2

2 23/20

π

4( 2)

= ⇒ = βm

C C βm/

3/2

3/2

π4π 1

4( 2) 2 π

−

βmυ / βm d υ = π υ dυeP 2

3/22 2( ) 4

2π

Η σχέση αυτή δίνει την πιθανότητα γιαένα σωματίδιο να έχει ταχύτητες μεταξύυ και υ+ d υ, είτε, διαφορετικά το ποσο -στό των σωματιδίων με ταχύτητες

μεταξύ υ και υ+ d υ.

Για το ποσοστόμπορούμε ναγράψουμε:

dN d υ N

P( ) =


21/42

Υπολογίζουμε τη μέση κινητική ενέργεια του ενός σωματιδίου

∞ − = ∫ 2

3/22 22 2

04

2 2π 2 βmυ / mυ βm mυπ υ e dυ

Δηλαδή το β συνδέεται μονοσήμαντα με τη μέση κινητικήενέργεια του ενός μορίου.

Χρησιμοποιούμε το διαφορετικό συμβολισμό:

Ονομάζουμε το Τ συμβατικά «ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ» Το k είναι ο συντελεστής μετατροπής των μονάδων και ονομάζε -ται σταθερά του Boltzmann. k=1.3807 ⋅10 -23 J/K

− = mυ / kT m d = f υ dυ π υ e dυ

kT

23/2

2 2( ) 42π

P

= kT β 1

= 3 12 β


22/42

Είναι θετική

Η συνάρτηση f (υ) είναιΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Η γραφική τηςπαράσταση

− =

mυ / kT m f υ π υ e kT

23/2

2 2

( ) 4 2πΓια υ → 0 τείνει στο μηδέν

Για υ → τείνει στο μηδέν Επομένως έχει τουλάχιστον ένα μέγιστο

Το εμβαδόν μεταξύ της καμπύλης και του οριζόντιου άξοναισούται με τη μονάδα (ΣΥΝΘΗΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ)


23/42

Από τον τύπο, αλλά και λογικά προκύπτει, ότιη αύξηση της θερμοκρασίας οδηγεί στη μετα -τόπιση του μεγίστου προς τα μεγάλα υ και τη

μείωση του ύψους του.

Χαρακτηριστικόμέγεθος είναι ηΠΙΘΑΝΟΤΕΡΗ

ΤΑΧΥΤΗΤΑ

Η ταχύτητα για τηνοποία η συνάρτησηέχει μέγιστο.

df (υ) / d υ=0

= Π

kT υ

m2

Άλλες χαρακτηρι -στικές ταχύτητες

= kT < υ > m

8π

= kT < υ > m

2 3

>2

< υ


24/42

Το εμβαδόν αυτό μας δεί -χνει την πιθανότητα ένασωματίδιο (το ποσοστό τωνσωματιδίων) να έχειταχύτητες μεταξύ υ Α και υ Β

Το εμβαδόν αυτό μας δεί -χνει την πιθανότητα ένασωματίδιο (το ποσοστό τωνσωματιδίων) να έχει

ταχύτητες μεταξύ υ και υ+ d υ

Στην ερώτηση, τι πιθανότητα έχουμε να βρούμε

ταχύτητα υ (π.χ. 10 m/s) η απάντηση είναι: ΜΗΔΕΝ


25/42

≡ ≡ ≡∫

υυ

υυ

ΔΝ η υ υ Δ υ υ f υ dυ Ν

22

11

1 2 1 2( , ) ( , ) ( )P

η(υ Π , ) = 0.574 ⇒ 57.4%

η(0.5 υ Π , 1.5 υ Π ) = 0.7053 ⇒ 70.5%

η(2υ Π , ) = 0.0460 ⇒ 4.6%

η(3υ Π , ) = 0.00044 ⇒ 0.044%Για άτομα υδρογόνου με θερμοκρασία 600 000 Κ (!!!) βρίσκουμε

υ Π ≈ 55 km/s. Σ’ αυτή την περίπτωση c ≈ 5500 υ Π .Δηλαδή, σε κάθε περίπτωση, η πιθανότητα να βρούμε μόρια με τα -χύτητες κοντά στην ταχύτητα του φωτός είναι πρακτικά αμελητέα.

Η ολοκλήρωση ως το ΑΠΕΙΡΟ δεν φέρνει ουσιαστικέςαλλαγές, αλλά διευκολύνει τα πράγματα.


26/42

− mυ / kT m d υ = π υ e dυ

kT

23/2

2 2( ) 42π

PΟλοκλήρωση ως προς τις γωνίες

sin θ d θ d φ

Δηλαδή μπορούμε, αν γυρίσουμε πίσω, να γράψουμε:

− mυ / kT m d = e υ θdθdφdυ

kT

23/2

2 2sin2π

P

−

mυ / kT x y z

m d = e d υ dυ dυ

kT

23/2

2

2πP

Αν τώρα, από τις σφαιρικές συντεταγμένες επανέλθουμε στιςκαρτεσιανές θα έχουμε:

x y zυ = υ + υ + υ2 2 2 2


27/42

Επειδή δεν είναι δυνατόν να θεωρήσουμε, ότι κάποια συνιστώσαδιαφέρει από τις άλλες, γιατί το σύστημα το έχουμε επιλέξειτυχαία, μπορούμε τώρα να γράψουμε:

− −− y z x mυ / kT mυ / kT mυ / kT

x y z

m m md = e d υ e dυ e dυ

kT kT kT

2 22

1/2 1/2 1/2

2 22

2π 2π 2πP

−

x mυ / kT x x

m d υ = e dυ

kT

21/2

2( )2π

P

Τώρα λοιπόν μπορούμε να πούμε ότι η πιθανότητα 1 μόριο (τοποσοστό των μορίων) να έχει x συνιστώσα της ταχύτητας μεταξύυ x και υ x+ d υ x δίνεται από τη σχέση:

Ανάλογα αποτελέσματαπαίρνουμε για τις y και z συνιστώσες


28/42

Προφανώς, όπως φαίνεται και από το σχήμα,θα ισχύει:

∞ −

−∞

= ∫

x mυ / kT x x x

mυ = υ e dυ kT

21/2

2

< > 02π

ΠΡΟΣΟΧΗ!!!

Δεν ισχύει το ίδιο για το ή το . xυ2< > xυ< >

Συμβολίζουμε τώρα με τη μέση τιμή του υ x για 0 υ x .Τότε θα έχουμε:

>+ x< υ

∞ −

−∞

∞ −

=

= =

∫

∫

x

x

mυ / kT+ + x x x

mυ / kT x x

mυ = υ e dυ kT

m kT υ e dυ

kT m

2

2

1/2

2

1/2 1/22

0

< > 2π

2π 2π

Τ 1

Τ 2

Τ 1


29/42

Να υπολογισθεί ο αριθμός των μορίωνιδανικού αερίου, που συγκρούονται με μοναδιαία επιφάνεια στη μονάδα του

χρόνου.

Εξετάζουμε το επίπεδο S.Τα μόρια κοντά τουκινούνται χαοτικά.

Για εμάς σημασία έχει ηοριζόντια συνιστώσα τηςταχύτητας.


30/42

Κατανοούμε ότι μπορούν να προσπέσουν στην Sόσα σωματίδια κινούνταιπρος αυτήν

Φέρουμε τον άξονα xκάθετα στην S και μεφορά προς αυτήν x


31/42

x

Στην S σε χρόνο Δ t θαχτυπήσουν όσα μόριαβρίσκονται σε κύλινδροβάσης S και ύψους υΔ t(αν υποθέσουμε ότι ηταχύτητα ΚΑΘΕ μορίουείναι υ).

x

Μπορεί να πει κανείς: Μακάποια θα φεύγουν!...

Ναι, αλλά όσα φεύγουνάλλα τόσα θα μπαίνουν

υΔ t

υΔ t


32/42

Ας υποθέσουμε τώρα, πως οι οριζόντιες θετικές συνιστώσες τωνταχυτήτων των μορίων είναι όλες ίδιες και ίσες με v.

Τότε σε χρόνο Δ t θα φτάνουν στην S (δηλαδή θα συγκρούονταιμε αυτή) n[Sv Δt] μόρια .

υΔ t

x

Βρήκαμε λοιπόν, πως σε χρόνο Δ t θαχτυπήσουν στην S τα μόρια πουκινούνται προς τα θετικά x και

περιέχονται σε κύλινδρο, ο όγκος τουοποίου είναι SυΔ t.Ο Αριθμός τους θα είναι:

Όγκος × Συγκέντρωση= [SυΔ t]n


33/42

Για να βρούμε τον αριθμό των μορίων στη μονάδα του χρόνουκαι στη μονάδα της επιφάνειας, πρέπει να διαιρέσουμε το ΔΝ με

S και Δ t.

>+ x nS < υ Δt ΔΝ ν = =

S Δt SΔt >=

+ x

kT ν = n < υ n

m

1/2

2π

Η ταχύτητα προς τα θετικά x

Όλα την ίδια ταχύτητα

+ xυ

>+ x< υ

Αυτό όμως το έχουμε ήδη υπολογίσει.


34/42

>

kT ν = n = n < υ

m

1/21

2π 4Η επιλογή του S είχε τα εξής χαρακτηριστικά:

Επομένως το αποτέλεσμά μας ισχύει για κάθε επιφάνεια στο

εσωτερικό ενός ιδανικού αερίου, ή για κάθε επιφάνεια τουτοιχώματος ενός δοχείου που περιέχει ιδανικό αέριο.

ΒΑΣΙΚΗ ΠΡΟ.Υ.ΠΟΘΕΣΗ ΓΙΑ ΝΑ ΙΣΧΥΕΙ ΤΟ ΑΠΟ -ΤΕΛΕΣΜΑ ΜΑΣ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΓΚΕ -ΝΤΡΩΣΗ, ΔΗΛΑΔΗ ΤΟ ΑΕΡΙΟ ΝΑ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΣΕ ΚΑΤΑ -

ΣΤΑΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ

Ήταν τυχαία όσον αφορά τη θέση και τονπροσανατολισμό

Ήταν τυχαία όσον αφορά το μέγεθος, δηλαδή αντο S είναι απειροστά μικρό θα μπορούσαμε ναθεωρήσουμε ότι δεν αναφερόμαστε σε επίπεδο,αλλά σε ΚΑΘΕ ΕΙΔΟΥΣ επιφάνεια.


35/42


36/42

Η κατανομή Maxwell δίνει τη νομοτέλεια της χαοτικής κίνησης

των μορίων, το πλήθος των οποίων είναι ΠΟΛΥ ΜΕΓΑΛΟ. Όταν μιλούσαμε για ταχύτητες κ.τ.λ. θεωρούσαμε πάντα τοσύστημα αναφοράς ακίνητο. Τέτοιο σύστημα αναφοράς είναι τοσύστημα του Κ.Μ. Επομένως η ΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΗ κίνηση(κίνηση του Κ.Μ.) δεν μεταβάλλει τα μεγέθη αυτά, π.χ. τη«θερμοκρασία». Τα διάφορα μεγέθη που προέκυψαν από την κατανομή Maxwel(μέσες ταχύτητες, πιθανότερη ταχύτητα, «θερμοκρασία» κ.τ.λ)αναφέρονται σε μεγάλο πλήθος σωματιδίων. Επομένως ΔΕΝΕΧΕΙ ΚΑΝΕΝΑ ΝΟΗΜΑ η φράση «θερμοκρασία ενόςσωματιδίου»

Η κατανομή Maxwell ισχύει στα ιδανικά αέρια, αλλά όχι μόνο σ’αυτά. Γενικά ισχύει σε κάθε περίπτωση της κλασικής φυσικήςπου ασχολείται με την κατανομή των ταχυτήτων μεγάλου

πλήθους αντικειμένων που κινούνται χαοτικά.


37/42

Υποθέτουμε, πως η ατμόσφαιρα των πλανητών (και της Γης) έχεισταθερή και την ίδια θερμοκρασία π.χ. 0 οC. Για μόριο μάζας ίσημε τη μέση μάζα των μορίων του ατμοσφαιρικού αέρα βρίσκουμε:

υ Π ≈ 3.94 ⋅10 2 m/s

Η ταχύτητα διαφυγής είναι: υ Δ ≈

1.12⋅

104

m/sΕπομένως βρίσκουμε: υ Δ / υ Π ≈ 28

Το ποσοστό των μορίων με ταχύτητες μεγαλύτερες της ταχύτηταςδιαφυγής [δηλ. Το P (υ Δ ≈ 28 υ Π , )] είναι πρακτικά αμελητέο, όχιόμως μηδενικό. Επειδή τα μόρια της ατμόσφαιρας είναι πολλά, κάποια από αυτά(λίγα) θα έχουν ταχύτητες μεγαλύτερες από τη υ Δ , άρα θαχάνονται στο διάστημα.


38/42

Για τη Σελήνη υπό τις ίδιες προϋποθέσεις και αν υποθέσουμε ότιη σύνθεση της ατμόσφαιράς της ήταν ίδια με αυτή της Γης,ισχύει:

υ Π ≈ 3.94 ⋅10 2 m/s

Η ταχύτητα διαφυγής είναι: υ Δ ≈ 2.4 ⋅10 3 m/s

Επομένως βρίσκουμε: υ Δ / υ Π ≈ 6Αυτό σημαίνει ότι το ποσοστό των μορίων που έφευγαν στο διά -στημα ήταν πολύ μεγαλύτερο. Παίρνοντας υπόψη το γεγονός, ότι μετά τη διαφυγή των μορίωντα υπόλοιπα «επαναδιατάσσονται», έτσι ώστε να ισχύει ηκατανομή Maxwell, καταλαβαίνουμε γιατί η Σελήνη έχασε τόσο«γρήγορα» την ατμόσφαιρά της


39/42

4. Υπολογίστε το ποσοστό των μορίων ιδανικού αερίου, οι ταχύτητες τωνοποίων διαφέρουν όχι περισσότερο από δη=1% από την τιμή της

πιθανότερης ταχύτητας. Εξηγείστε ποιοτικά σε τι θα διαφέρουν οι υπολογισμοί σας αν π.χ. δη=30%.

Επειδή το ποσοστό των μορίων συμπίπτειμε την πιθανότητα, θα έχουμε:

( ) N f d υ δηυ

υ δηυ δ υ υ

Π Π

Π Π

+

−= ∫

Όπου f (υ) η συνάρτηση πυκνότηταςπιθανότητας από την κατανομή Maxwell

( ) (2 ) Π Π N f δ υ δηυ = ⋅υ Π υ Π -δηυ Π υ Π +δηυ Π

δΝ

Από το σχήμα καταλαβαίνουμε πως μπορούμε ναθεωρήσουμε το δΝ ίσο με το εμβαδόν ορθογωνίουπαραλληλεπιπέδου βάσης 2 δηυ Π και ύψους f (υ Π ).

2

3/ 2

/ 24 (2 )2

Π m kT 2 Π Π m e

kT υ π υ δηυ

π − = ⋅

18 e δη π

−= 1,66%≅

Στην περίπτωση που δη=30% δεν μπορούμε να κάνουμε την προσέγγιση καιπρέπει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα. Αυτό όμως δεν μπορεί να γίνει

αναλυτικά και πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είτε πίνακες, είτε υπολογιστή. Συνέχεια Θεωρίας

f (υ Π )


40/42

x

z

y

5. Υπολογίστε το ποσοστό των μορίων ιδανικού αερίου, οι προβολές τωνταχυτήτων των οποίων στον άξονα x βρίσκονται στην περιοχή υ x έως

υ x+d υ x, ενώ τα μέτρα της κάθετης στην υ x συνιστώσας της ταχύτητας στηνπεριοχή από υ⊥ έως υ⊥+d υ⊥. Η μάζα κάθε μορίου είναι m και η θερμοκρασία

του αερίου Τ .

υ

υ

υ x

Από το σχήμα γίνεται κατανοητό, πως οι συνιστώσες που μαςενδιαφέρουν είναι οι 2 από τις 3 συνιστώσες των ταχυτήτων

στο κυλινδρικό σύστημα (δεν υπάρχει η γωνία φ). Επομένως πρέπει α) να χρησιμοποιήσουμε την κατανομήMaxwell για το Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

23/ 2

/ 2

2m kT

x y z

dN me d d d

N kT υ υ υ υ

π − =

β) Στη συνέχεια πρέπει να περάσουμε στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων σύμφωναμε το σχήμα, πράγμα που θα γίνει μόνο με τη χρήση της σχέσης: d υ xd υ yd υ z= υ⊥d υ⊥d υ xd φ

γ) Το επόμενο βήμα είναι να ολοκληρώσουμε ως προς φ, γιατί οι γωνίες δεν μαςενδιαφέρουν. Το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης είναι 2π

Άρα τελικά βρίσκουμε 2

3/ 2/ 22

2m kT

x

dN me d d

N kT υ π υ υ υ

π −

⊥ ⊥ =

Συνέχεια Θεωρίας


41/42

6. Κενό αρχικά δοχείο όγκου V με λεπτά τοιχώματα βρίσκεται σε χώροπολύ μεγάλων διαστάσεων που είναι γεμάτος με αέριο τα μόρια του οποίου

έχουν μάζα m το καθένα. Η πίεση του αερίου είναι p0 και η θερμοκρασίασταθερή και ίση με Τ . Στα τοιχώματα του δοχείου ανοίγουν μικρή οπήεμβαδού S . Υπολογίστε την πίεση στο εσωτερικό του δοχείου σανσυνάρτηση του χρόνου.

Επειδή ο χώρος εκτός του δοχείου είναι μεγάλος η συγκέντρωση των μορίων σ’ αυτόν

μπορεί να θεωρηθεί διαρκώς σταθερή και ίση με n0= p /(kT ).Τη χρονική στιγμή t η συγκέντρωση στο εσωτερικό του δοχείου θα είναι n=n(t ). Τότε στηνοπή σε χρόνο dt θα προσπίπτουν απ’ έξω (και κατά συνέπεια θα εισέρχονται) n0Sdt /4μόρια, ενώ από μέσα (και κατά συνέπεια θα εξέρχονται) nSdt /4 μόρια.

Επομένως η μεταβολή του αριθμού των μορίων στο εσωτερικό του δοχείου θα είναι: dN = n

0Sdt /4 - nSdt /4=( n

0-n) sdt /4.

Ισχύει όμως dN =d (nV )=Vdn

Έτσι καταλήγουμε στη διαφορική εξίσωση

0

1( ) 4

dn S dt

n n V υ < >=

−Η άσκηση συνεχίζεται


42/42

6. Κενό αρχικά δοχείο όγκου V με λεπτά τοιχώματα βρίσκεται σε χώροπολύ μεγάλων διαστάσεων που είναι γεμάτος με αέριο τα μόρια του οποίου

έχουν μάζα m το καθένα. Η πίεση του αερίου είναι p0 και η θερμοκρασίασταθερή και ίση με Τ . Στα τοιχώματα του δοχείου ανοίγουν μικρή οπήεμβαδού S . Υπολογίστε την πίεση στο εσωτερικό του δοχείου σανσυνάρτηση του χρόνου.

Έχουμε λοιπόν το ολοκλήρωμα

0 00

1( ) 4

n t dn S dt

n n V υ < >=

−∫ ∫ 0

0

1ln

4n n S

t n V

υ − < >= −

/0 (1 )

t n n e τ −= − 4

όπου τ = V

S υ < >

Χρησιμοποιώντας τη βασική εξίσωση των ιδανικών αερίων p=nkT βρίσκουμε

/0 (1 )

t p p e τ −= −

Για t =0 p=0 Για t →∞ p→ p0 Συνέχεια

Ch1b ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ

Documents

Transcript of Ch1b ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ