11. . ΔιανύσματαΔιανύσματα

H H έννοια. έννοια. Πρόσθεση και Πρόσθεση και

αφαίρεση.αφαίρεση. Ανάλυση. Ανάλυση. ΣυνισταμένηΣυνισταμένη.. Συνιστώσες.Συνιστώσες.

Η λέξη διάνυσμα έχει την ρίζα της στο ρήμα διανύω. Η λέξη διάνυσμα έχει την ρίζα της στο ρήμα διανύω. Διανύω, διάνυσα, Δ Ι Α Ν Υ Σ Μ ΑΔιανύω, διάνυσα, Δ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Προχωρώ, μετατοπίζομαι από μια θέση σε μια άλλη.Προχωρώ, μετατοπίζομαι από μια θέση σε μια άλλη.

22. Η έννοια.. Η έννοια.

Κάθε διάνυσμα έχει Κάθε διάνυσμα έχει αρχήαρχή και και τέλοςτέλος..

Όχι απλώς δύο άκρα, όπως το ευθύγραμμο τμήμαΌχι απλώς δύο άκρα, όπως το ευθύγραμμο τμήμα..

Α Β

33. Η έννοια.. Η έννοια.

Μια μετατόπιση είναι «μικρή» ενώ μια άλλη «μεγάλη».Μια μετατόπιση είναι «μικρή» ενώ μια άλλη «μεγάλη». Κάθε διάνυσμα έχει μέγεθος, «Κάθε διάνυσμα έχει μέγεθος, «μέτρομέτρο»»

44. Το μέτρο.. Το μέτρο.

Το «Το «ΜέτροΜέτρο» ενός διανύσματος δείχνει πόσες φορές πιο μεγάλο ή » ενός διανύσματος δείχνει πόσες φορές πιο μεγάλο ή πιο μικρό είναι αυτή από την μονάδα.πιο μικρό είναι αυτή από την μονάδα.

Σε ένα τετραγωνισμένο χαρτί, το μέτρο ενός διανύσματος αντιστοιχεί Σε ένα τετραγωνισμένο χαρτί, το μέτρο ενός διανύσματος αντιστοιχεί στο μήκος του «βέλους» με το οποίο το απεικονίζουμε.στο μήκος του «βέλους» με το οποίο το απεικονίζουμε.

1

55. Το μήκος του «βέλους».. Το μήκος του «βέλους».

Το μήκος της πλευράς Το μήκος της πλευράς του τετραγωνικού του τετραγωνικού πλέγματος στο πλέγματος στο παράδειγμα του παράδειγμα του σχήματος κάτω, σχήματος κάτω,

αντιστοιχεί σε μια αντιστοιχεί σε μια μονάδα μήκουςμονάδα μήκους

2

5

Το διάνυσμα δεν έχει μόνο μέγεθος, Το διάνυσμα δεν έχει μόνο μέγεθος, δηλαδή δεν έχει μόνο μέτρο.δηλαδή δεν έχει μόνο μέτρο.

Έχει αρχή και τέλοςΈχει αρχή και τέλος,,δηλαδή δηλαδή κατεύθυνσηκατεύθυνση..

Η κατεύθυνση του Η κατεύθυνση του διανύσματος συμπεριλαμβάνει διανύσματος συμπεριλαμβάνει δύο στοιχεία. Την δύο στοιχεία. Την διεύθυνσηδιεύθυνση, , την ευθεία δηλαδή πάνω στην την ευθεία δηλαδή πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα οποία βρίσκεται το διάνυσμα

(Η διεύθυνση λέγεται και φορέας (Η διεύθυνση λέγεται και φορέας του διανύσματος)του διανύσματος)

… … και την και την φοράφορά με την οποία με την οποία «κινούμαστε» πάνω στην «κινούμαστε» πάνω στην ευθεία αυτή. ευθεία αυτή.

Το «βέλος» του διανύσματος Το «βέλος» του διανύσματος δείχνει την κατεύθυνση του.δείχνει την κατεύθυνση του.

66. Κατεύθυνση. Κατεύθυνση

Τρία ίσα διανύσματα. Τρία ίσα διανύσματα. (ίσα (ίσα μέτρα ίδια κατεύθυνση)μέτρα ίδια κατεύθυνση)

Τρία ίσα μεταξύ τους Τρία ίσα μεταξύ τους διανύσματα. διανύσματα. (όχι όμως ίσα με (όχι όμως ίσα με τα πρώτα) τα πρώτα)

Ακόμα τρία ίσα μεταξύ Ακόμα τρία ίσα μεταξύ τους διανύσματα. τους διανύσματα. (όχι όμως (όχι όμως ίσα με τα προηγούμενα)ίσα με τα προηγούμενα)

Για να είναι ίσα δύο ή Για να είναι ίσα δύο ή περισσότερα διανύσματα, περισσότερα διανύσματα, δεν αρκεί να έχουν δεν αρκεί να έχουν ίσα ίσα μέτραμέτρα αλλά και την ίδια αλλά και την ίδια κατεύθυνσηκατεύθυνση..

77. Ισα διανύσματα. Ισα διανύσματα

Ένα κανονικό Ένα κανονικό εξάγωνο.εξάγωνο.

Δύο ίσα διανύσματα. Δύο ίσα διανύσματα. (ίσα μέτρα ίδια κατεύθυνση)(ίσα μέτρα ίδια κατεύθυνση)

Άλλα δύο ίσα Άλλα δύο ίσα διανύσματα. διανύσματα.

Περισσότερα ίσα Περισσότερα ίσα διανύσματα.διανύσματα.

88. Πάλι ίσα διανύσματα.. Πάλι ίσα διανύσματα.

Τρία ίσα διανύσματα. Τρία ίσα διανύσματα. (ίσα (ίσα μέτρα ίδια κατεύθυνση)μέτρα ίδια κατεύθυνση)

Τρία αντίθετα με τα Τρία αντίθετα με τα προηγούμενα προηγούμενα διανύσματα. διανύσματα. (ίσα μέτρα και (ίσα μέτρα και αντίθετη κατεύθυνση) αντίθετη κατεύθυνση)

Για να είναι αντίθετα δύο Για να είναι αντίθετα δύο ή περισσότερα ή περισσότερα διανύσματα, πρέπει να διανύσματα, πρέπει να έχουν έχουν ίσα μέτραίσα μέτρα αλλά αλλά αντίθετηαντίθετη κατεύθυνσηκατεύθυνση..

99. Αντίθετα.. Αντίθετα.

Αντίθετα διανύσματα. Αντίθετα διανύσματα. (ίσα μέτρα, αντίθετη (ίσα μέτρα, αντίθετη κατεύθυνση)κατεύθυνση)

Αντίθετα διανύσματα. Αντίθετα διανύσματα. (ίσα μέτρα, αντίθετη (ίσα μέτρα, αντίθετη κατεύθυνση)κατεύθυνση)

1010. Πάλι αντίθετα.. Πάλι αντίθετα.

Θέλουμε να βοηθήσουμε το Θέλουμε να βοηθήσουμε το «φίλο μας» που έχει δέσει «φίλο μας» που έχει δέσει τα μάτια του με το μαύρο τα μάτια του με το μαύρο μαντήλι.μαντήλι.

Πρέπει να βρει τον Πρέπει να βρει τον κρυμμένο θησαυρό που κρυμμένο θησαυρό που βρίσκεται στο σημείο Γ, βρίσκεται στο σημείο Γ, κάνοντας δύο μετατοπίσεις.κάνοντας δύο μετατοπίσεις.

Του λέμε λοιπόν.Του λέμε λοιπόν. Προχώρα 5 βήματα δεξιά.Προχώρα 5 βήματα δεξιά. Τώρα προχώρα άλλα 4 Τώρα προχώρα άλλα 4

βήματα δεξιά.βήματα δεξιά. Θα μπορούσε φυσικά να Θα μπορούσε φυσικά να

βρει ον θησαυρό βρει ον θησαυρό μετακινούμενος 9 βήματα μετακινούμενος 9 βήματα δεξιά μια και έξω.δεξιά μια και έξω.

Με άλλα λόγια Με άλλα λόγια ΑΒ+ΒΓ=ΑΓΑΒ+ΒΓ=ΑΓ Α Β Γ

1111. Πρόσθεση.. Πρόσθεση.

Θέλουμε να βοηθήσουμε το Θέλουμε να βοηθήσουμε το «φίλο μας» που έχει δέσει τα «φίλο μας» που έχει δέσει τα μάτια του με το μαύρο μαντήλι.μάτια του με το μαύρο μαντήλι.

Πρέπει να βρει τον κρυμμένο Πρέπει να βρει τον κρυμμένο θησαυρό που βρίσκεται στο θησαυρό που βρίσκεται στο σημείο Γ, κάνοντας δύο σημείο Γ, κάνοντας δύο μετατοπίσεις.μετατοπίσεις.

Του λέμε λοιπόν.Του λέμε λοιπόν. Προχώρα 8 βήματα δεξιά.Προχώρα 8 βήματα δεξιά. Τώρα προχώρα άλλα 6 Τώρα προχώρα άλλα 6

βήματα προς τα πάνω.βήματα προς τα πάνω.

Θα μπορούσε φυσικά να βρει Θα μπορούσε φυσικά να βρει ον θησαυρό μετακινούμενος10 ον θησαυρό μετακινούμενος10 βήματα * από το Α στο Γ μια βήματα * από το Α στο Γ μια και έξω.και έξω.

Με άλλα λόγια Με άλλα λόγια ΑΒ+ΒΓ=ΑΓΑΒ+ΒΓ=ΑΓ

** 10 βήματα γιατί η ΑΓ είναι 10 βήματα γιατί η ΑΓ είναι

υποτείνουσα του ΑΒΓ και 10υποτείνουσα του ΑΒΓ και 102=2=8822+6+622

Α Β

Γ

1212. Πάλι πρόσθεση.. Πάλι πρόσθεση.

Αρχική θέση.Αρχική θέση. Πρώτη Πρώτη

μετατόπιση.μετατόπιση. Δεύτερη Δεύτερη

μετατόπιση.μετατόπιση. Συνολική Συνολική

μετατόπιση μετατόπιση (άθροισμα – (άθροισμα – συνισταμένη)συνισταμένη)

1313. Συνολική μετατόπιση.. Συνολική μετατόπιση.

Ένα διάνυσμα.Ένα διάνυσμα. Άλλο ένα Άλλο ένα

διάνυσμα διάνυσμα διαδοχικό. διαδοχικό. (αρχίζει στο τέλος του πρώτου)

Το άθροισμα Το άθροισμα τουςτους.( αρχίζει από την αρχή του πρώτου και τελειώνει στο τέλος του δεύτερου)

1414. Αρχική – τελική θέση.. Αρχική – τελική θέση.

Πολλά Πολλά διαδοχικά διαδοχικά διανύσματα. διανύσματα. (το κάθε ένα αρχίζει από το τέλος του πρώτου)

Το άθροισμα Το άθροισμα τουςτους.( Αρχή - τέλος)

1515. Πολλά διανύσματα.. Πολλά διανύσματα.

Από το Α στο Β Από το Α στο Β υπάρχουν υπάρχουν άπειρες άπειρες διαδρομές. διαδρομές. (από διαδοχικές μετατοπίσεις-διανύσματα)

Όλες όμως Όλες όμως καταλήγουν στο καταλήγουν στο ίδιο ίδιο αποτέλεσμα. αποτέλεσμα. (έχουν το ίδιο άθροισμα)

Α

Β

1616. Διαφορετικοί δρόμοι.. Διαφορετικοί δρόμοι.

Θέλουμε πάλι να βοηθήσουμε Θέλουμε πάλι να βοηθήσουμε το «φίλο μας» να βρει τον το «φίλο μας» να βρει τον κρυμμένο θησαυρό που κρυμμένο θησαυρό που βρίσκεται στο σημείο Ββρίσκεται στο σημείο Β

Κατά λάθος του λέμε:Κατά λάθος του λέμε: Προχώρα 9 βήματα δεξιά. Προχώρα 9 βήματα δεξιά.

(διάνυσμα ΑΓ)(διάνυσμα ΑΓ) Για να διορθώσουμε την Για να διορθώσουμε την

κατάσταση του λέμε:κατάσταση του λέμε: Αφαίρεσε 4 βήματα Αφαίρεσε 4 βήματα (διάνυσμα (διάνυσμα

ΒΓ)ΒΓ) Ο φίλος μας πηγαίνει από το Γ Ο φίλος μας πηγαίνει από το Γ

στο Β.στο Β. Προσθέτει στο ΑΓ την μετακίνηση ΓΒ Προσθέτει στο ΑΓ την μετακίνηση ΓΒ

που είναι αντίθετη από την ΒΓ,που είναι αντίθετη από την ΒΓ,

Η αφαίρεση έγινε πρόσθεση Η αφαίρεση έγινε πρόσθεση του αντιθέτου:του αντιθέτου:

ΑΓ-ΒΓ=ΑΓ+(-ΒΓ)=ΑΓ+ΓΒ=ΑΒΑΓ-ΒΓ=ΑΓ+(-ΒΓ)=ΑΓ+ΓΒ=ΑΒΑ Β Γ

1717. Αφαίρεση.. Αφαίρεση.

Θέλουμε πάλι να βοηθήσουμε Θέλουμε πάλι να βοηθήσουμε το «φίλο μας» να βρει τον το «φίλο μας» να βρει τον κρυμμένο θησαυρό που κρυμμένο θησαυρό που βρίσκεται στο σημείο Ββρίσκεται στο σημείο Β

Κατά λάθος τον οδηγήσαμε Κατά λάθος τον οδηγήσαμε από το Α στο Γ: από το Α στο Γ: (διάνυσμα ΑΓ)(διάνυσμα ΑΓ)

Για να διορθώσουμε την Για να διορθώσουμε την κατάσταση του λέμε:κατάσταση του λέμε:

Είσαι 3 βήματα πιο πάνω. Είσαι 3 βήματα πιο πάνω. Αφαίρεσε τα! Αφαίρεσε τα! (διάνυσμα ΒΓ)(διάνυσμα ΒΓ)

Ο φίλος Ο φίλος Προσθέτει στο ΑΓ την Προσθέτει στο ΑΓ την μετακίνηση ΓΒ που είναι αντίθετη μετακίνηση ΓΒ που είναι αντίθετη από την ΓΔ.από την ΓΔ.

Η αφαίρεση έγινε πρόσθεση Η αφαίρεση έγινε πρόσθεση του αντιθέτου:του αντιθέτου:

ΑΓ-ΓΔ=ΑΓ+(-ΓΔ)=ΑΓ+ΓΒ=ΑΒΑΓ-ΓΔ=ΑΓ+(-ΓΔ)=ΑΓ+ΓΒ=ΑΒΑ

Γ

Β

1818. Αφαίρεση.. Αφαίρεση.

Αν τα διανύσματα δεν Αν τα διανύσματα δεν είναι είναι διαδοχικάδιαδοχικά τα κάνω τα κάνω εγώ!εγώ!

Με παράλληλη Με παράλληλη μεταφορά.μεταφορά.

Το άθροισμα είναι το Το άθροισμα είναι το διάνυσμα που ενώνει διάνυσμα που ενώνει ΑΡΧΗΑΡΧΗ και και ΤΕΛΟΣΤΕΛΟΣ..

Το μέτρο του Το μέτρο του αθροίσματος αθροίσματος υπολογίζεται με τις υπολογίζεται με τις γεωμετρικές ιδιότητες γεωμετρικές ιδιότητες του σχήματος.του σχήματος.

Στο παράδειγμά μας, με Στο παράδειγμά μας, με το πυθαγόρειο το πυθαγόρειο θεώρημα.θεώρημα.

ΑΓΑΓ22=ΑΒ=ΑΒ22+ΒΓ+ΒΓ22

1919. Πρόσθεση, 1. Πρόσθεση, 1οςος τρόπος. τρόπος.

Α Β

Γ

Ας κάνω την αφαίρεση Ας κάνω την αφαίρεση α-βα-β

Αφού τα διανύσματα δεν Αφού τα διανύσματα δεν έχουν έχουν κοινή αρχήκοινή αρχή, τα , τα κάνω να έχουν! Με κάνω να έχουν! Με παράλληλη μεταφορά.παράλληλη μεταφορά.

Προσθέτω το αντίθετο!Προσθέτω το αντίθετο!

Δηλαδή η διαφορά του Δηλαδή η διαφορά του α-β είναι το διάνυσμα γ.α-β είναι το διάνυσμα γ.

Το οποίο όμως Το οποίο όμως μεταφέρεται παράλληλα μεταφέρεται παράλληλα … …

… … έτσι που να ενώνει το έτσι που να ενώνει το ΤΕΛΟΣ του β με το ΤΕΛΟΣ του β με το ΤΕΛΟΣ του αΤΕΛΟΣ του α..

2020. Αφαίρεση, 2 τρόποι.. Αφαίρεση, 2 τρόποι.

α

β

γ-β

γ

γ = α-β

Δύο διανύσματα που Δύο διανύσματα που έχουν κοινή αρχή, και έχουν κοινή αρχή, και σχηματίζω το σχηματίζω το παραλληλόγραμμοπαραλληλόγραμμο που ορίζουν.που ορίζουν.

Αν δεν είναι τα κάνω , Αν δεν είναι τα κάνω , όπως είδαμε με όπως είδαμε με παράλληλη μεταφορά.παράλληλη μεταφορά.

Το άθροισμα τους είναι Το άθροισμα τους είναι η η ενδιάμεσηενδιάμεση διαγώνιος διαγώνιος του παραλληλογράμμου.του παραλληλογράμμου.

Η διαφορά τους είναι η Η διαφορά τους είναι η διαγώνιος που ενώνει το διαγώνιος που ενώνει το τέλοςτέλος αφαιρετέου με το αφαιρετέου με το τέλοςτέλος του μειωτέου. του μειωτέου.

2121. Πρόσθεση-Αφαίρεση.. Πρόσθεση-Αφαίρεση.

α

β

α+β

α-β

Έφτασες στο τέλος αυτής της παρουσίασης.Έφτασες στο τέλος αυτής της παρουσίασης. Ελπίζω να σε βοήθησε!Ελπίζω να σε βοήθησε!

Γύρισε πάλι στο σχολικό σου βιβλίο, ίσως δεν το θεωρείς Γύρισε πάλι στο σχολικό σου βιβλίο, ίσως δεν το θεωρείς ότι καλύτερο…ότι καλύτερο…

……αλλά βρίσκεται πάντα εκεί όταν θέλεις να το αλλά βρίσκεται πάντα εκεί όταν θέλεις να το συμβουλευτείς.συμβουλευτείς.

Προσπάθησε να λύσεις τις ασκήσεις του, μην Προσπάθησε να λύσεις τις ασκήσεις του, μην εγκαταλείπεις την προσπάθεια όταν δυσκολεύεσαι.εγκαταλείπεις την προσπάθεια όταν δυσκολεύεσαι.

Συνέχισε να προσπαθείς.Συνέχισε να προσπαθείς.

Επίλογος.Επίλογος.Ι.ΜιχαλόπουλοςΙ.Μιχαλόπουλος