Μουσικό Σχολείο Πειραιά Ομάδα Α

Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου στα Μαθηματικά

Θετικού Προσανατολισμού (Διανύσματα) Ονοματεπώνυμο…………………………………………………………………………… Ημερομηνία: Τετάρτη 9 Δεκεμβρίου 2015

Ερωτήσεις σύντομης απάντησης (10 M)

1. Πότε δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα; ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................

2. Τι λέγεται συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος; ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................

3. Αν a!, b!, c! διανύσματα, τότε να ελέγξετε την ορθότητα της

σχέσης: )()( cbacba !!!!!! ⋅⋅=⋅⋅ .

............................................................................................................

............................................................................................................

...........................................................................................................

4. Αν a!, b!

διανύσματα, τότε να ελέγξετε την ορθότητα της

σχέσης:: a!⋅b!= c!⋅d!⇔ a!

c! = d!

b!

............................................................................................................

............................................................................................................

............................................................................................................

5. Ποια σχέση συνδέει τα μέτρα δύο αντίθετων διανυσμάτων; ............................................................................................................ ............................................................................................................ ...........................................................................................................

Μουσικό Σχολείο Πειραιά Ομάδα Α

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής (10 M)

1.Τα διανύσματα !a = (2015, 2016),

!b = (k, −1) είναι κάθετα όταν:

Α.k = 1, Β. k = 2015−2016

Γ. k = 20162015

Δ. k = 20152016

, Ε. bak!! −=

2.Το διάνυσμα =u! ηµϕ, συνϕ( ) είναι το μηδενικό διάνυσμα

Α.ποτέ, B. πάντα, Γ. όταν ηµϕ =συνϕ , Δ. όταν ϕ = π

2 ,

E. όταν ϕ = π

4

3. Αν η ευθεία με εξίσωση βλ += xy είναι παράλληλη με το διάνυσμα

v!= 2λ,λ( ), λ ∈"* Τότε θα ισχύει:

Α. λ = 2λ , Β. λ = 0.5 , Γ.λ = 2 , Δ. λ = -0.5 , E. Πάντα

4. Ένα διάνυσμα δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης. Επομένως: Α. Είναι μοναδιαίο, Β. είναι παράλληλο στον x 'x , Γ. Είναι παράλληλο στον y 'y , Δ. Είναι μηδενικό,

Ε. Δεν υπάρχει διάνυσμα χωρίς συντελεστή διεύθυνσης

5. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσμτα u!, v! τέτοια ώστε

u!= v!, v!( ), v!= u!, − u!( ) . Τότε τα διανύσματα u

!, v! θα είναι:

Α. κάθετα, Β. ομόρροπα, Γ. αντίρροπα, Δ. μοναδιαία, Ε. Τίποτα απο τα προηγούμενα

Μουσικό Σχολείο Πειραιά Ομάδα Α

Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» (10 M) 1. Στην πράξη του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα.

Σ � Λ �

2. Αν 0≠⋅ba!! , τότε a! αποκλείεται να είναι κάθετο στο b

!

Σ � Λ �

3. Αν δυο μη μηδενικά διανύσματα είναι κάθετα τότε το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδενικό

Σ � Λ �

4. Αν δυο μη μηδενικά διανύσματα είναι αντίθετα τότε το εσωτερικό τους γινόμενο είναι αρνητικός αριθμός.

Σ � Λ �

5. Αν δύο διανύσματα έχουν ίσα μέτρα τότε είναι ίσα Σ � Λ �

Ερωτήσεις συμπλήρωσης κενών (10 M)

1. Αν u!, v"!≠ 0! και u

!↑↑ v!

τότε προβv!u!

=……………

2. Το άθροισμα και η ................ δύο διανυσμάτων παριστάνονται αντίστοιχα από τις ………………………………………. ενός παραλληλογράμμου

3. Το διάνυσμα u!= 0, λ 2 + 2016( ) παριστάνει διάνυσμα που είναι

…………………………..................... στον άξονα x 'x 4.Αν φ είναι η γωνία δύο κάθετων μεταξύ τους διανυσμάτων τότε η παραπληρωματική της φ θα είναι ίση με ………………….. 5. Αν τα διανύσματα ),(),4,( αγββ =−= vu !! είναι κάθετα, πόσες

πραγματικές ρίζες θα έχει η δευτεροβάθμια εξίσωση 02 =++ γβxax

και γιατί;………………………… ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................

Μουσικό Σχολείο Πειραιά Ομάδα Α

Ερωτήσεις πλήρους ανάπτυξης (60 M)

1.’Εστω τα σημεία O 0, 0( ) , B xA , yA( ), B xB , yB( ) . Έστω το σημείο

M xM , yM( ) το μέσο του ΑΒ. Να αποδείξετε ότι:

α) ΟΜ! "!!

= ΟΑ! "!!

+ΟΒ! "!!

2.

β)2

και 2

AM

AM

BB yyyxxx +=+=.

2. Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α, Β του

άξονα x 'x , τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης

x2 − λ 2 − 5λ + 20( )x − 2016 = 0

Να προσδιοριστεί ο λ ∈! ώστε το μέσο του ΑΒ να έχει τετμημένη ίση με 7.

3. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα γβ ,,a για τα οποία ισχύουν

οι σχέσεις: 0=++ γβα και

α!"

2015= β!"=

γ!"!"!

2016.

Να δείξετε ότι βα ↑↑ και γ!"↑↓ β!"

4. Δίνεται το διάνυσμα u!= −9, 19( ) . Να το αναλύσετε σε δύο κάθετες

μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη

με το διάνυσμα α!"= 5, − 3( )

Καλή επιτυχία!