ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B...

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

Επιμέλεια: Αλκιβιάδης Τζελέπης

Διανύσματα

Άλκης Τζελέπης Σελίδα 2



ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ

1. Αν τα διανύσματα

,,a σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και με τα

διανύσματα .,622,33

zx

2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και δύο σημεία του επιπέδου Δ και Ε. Αν ισχύει

,0

να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ διέρχεται από ένα

σταθερό σημείο.

3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου, για τα οποία

ισχύει: ι)

, ιι)

22 .

4. Έστω , δύο μη μηδενικά διανύσματα και Ο ένα τυχαίο σημείο του επιπέδου των

διανυσμάτων. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ , για τα οποία ισχύει:

.,

5. Θεωρούμε τα σταθερά σημεία Α, Β, Γ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ, για τα

οποία ισχύει: .,3

6. Να λυθεί το σύστημα :

63

24

x

x . Να παρασταθεί γραφικά η λύση.

7. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος τριγώνου, διχοτομεί την ευθεία η οποία συνδέει τα μέσα των δύο

άλλων πλευρών του.

8. Αν ισχύει ότι 0235

, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

9. Θεωρούμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουμε τις διαμέσους ΒΔ, ΓΕ κατά τμήματα ΔΘ = ΒΔ

και ΕΖ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Ζ, Θ είναι συνευθειακά.

10. Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ, με

287,2

και ένα σημείο Ρ, τέτοιο ώστε

.32

Να αποδείξετε ότι το Ρ ανήκει στη ΒΓ.

11. Αν το διάνυσμα

είναι μοναδιαίο και ,042

να αποδείξετε ότι: .2

a

12. Δίνεται ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Αν Μ, Λ είναι τα μέσα των πλευρών του ΑΒ και ΓΔ

αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι 2ΜΛ < ΑΔ + ΒΓ.

13. Να αποδείξετε ότι: ).00,(1



14. Αν για τα διανύσματα 532

0,,

ύ , να αποδείξετε ότι:

α)

))

15. Δίνονται τα διανύσματα 43

0,,

. Να αποδείξετε ότι τα

τρία διανύσματα είναι συγγραμμικά.

16. Δίνεται το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και έστω Μ, Ν τα μέσα των πλευρών ΑΔ και ΒΓ

αντίστοιχα. Αν ισχύει ότι 2 (ΜΝ) = (ΑΒ) + (ΓΔ), να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο.

17. Δίνεται κύκλος (Ο,R) και δύο κάθετες μεταξύ τους χορδές ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται στο Σ.

Να αποδείξετε ότι:

α) .2

β) Αν Κ, Λ είναι τα μέσα των ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΟΚΣΛ

είναι παραλληλόγραμμο.

18. Θεωρούμε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ.

α) Να προσδιορίσετε ένα σημείο Μ, τέτοιο ώστε: .

β) Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα

u

είναι σταθερό.

19. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ. Αν για δύο σημεία Κ, Λ ισχύει

ότι

4

3

2

3 , να αποδείξετε ότι:

α)

4

3

2

3

2

1ABMK

β) τα σημεία Κ, Μ και Λ είναι συνευθειακά.

20. Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και πραγματικός αριθμός x. Για τις διάφορες τιμές του x θεωρούμε

σημεία Ε και Κ τέτοια, ώστε .3

1

3

1

xx

α) Να προσδιορίσετε σε ένα σχήμα τα σημεία Ε και Κ, όταν .2

1x

β) Να αποδείξετε ότι .3

1//

xά

γ) Να βρείτε την τιμή του x για την οποία το τετράπλευρο ΕΚΓΒ είναι παραλληλόγραμμο.

21. Σε ένα τρίγωνο ΟΑΒ με ,

OBaOA Μ είναι το μέσο της πλευράς ΟΑ και Ν είναι

το μέσο της πλευράς ΑΒ. Οι ΟΝ και ΒΜ τέμνονται στο σημείο Ρ.

α) Να αποδείξετε ότι .2

1

β) Το διάνυσμα

BN είναι ίσο με:

2

:2

:2

:2

1:

2

1:



Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

γ) Να αποδείξετε ότι αν .22

,

ό

δ) Η διανυσματική ισότητα που συνδέει τις πλευρές του τριγώνου ΟΡΒ, είναι:

0:0:

0:0:0:

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

ε) Με βάση την απάντηση στο ερώτημα (δ) και αν

, να αποδείξετε ότι

2

11

2

1 και να υπολογίσετε τα κ και λ.

22. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ρ της ΒΓ. Αν

να αποδείξετε ότι

χ + ψ = 1.

23. α) Αν τα διανύσματα ,a είναι μη συγγραμμικά και

, να αποδείξετε ότι κ = λ = 0.

β) Αν τα διανύσματα , είναι μη συγγραμμικά, να αποδείξετε ότι και τα διανύσματα

3,65 είναι μη συγγραμμικά.



ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1. Στο επίπεδο Οχψ δίνονται τα σημεία Α(2,0) και Β(3,2). Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες της

τέταρτης κορυφής του παραλληλογράμμου ΟΑΒΓ.

2. Δίνονται τα σημεία Α(-2,-5) και Β(3,-4). Να βρείτε σημείο Γ του άξονα χ΄χ τέτοιο ώστε το

τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά ΑΒ.

3. Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου που

έχει κορυφές τα σημεία Α(2,1), Β(6,4) και Γ(5,5).

4. Αν τα σημεία Κ(4,0), Λ(6,2) και Μ(3,5) είναι αντίστοιχα τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ

του τριγώνου ΑΒΓ, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου.

5. Στο σύστημα αναφοράς Οχψ θεωρούμε τα σημεία Α και Β του άξονα χ΄χ , των οποίων οι

τετμημένες είναι ρίζες της εξίσωσης .047422 xx Να βρείτε την τιμή του

πραγματικού αριθμού λ, για την οποία το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει

τετμημένη 2.

6. Δίνονται τα σημεία Α(6,-1), Β(1,3), Γ(1,2), Δ(-1,-1) και Ε(1,-1).

α) Να βρείτε σημείο Μ τέτοιο ώστε

β) Να υπολογίσετε το λ, ώστε τα σημεία Γ, Δ και Μ να είναι συνευθειακά.

γ) Αν τα Γ, Δ και Μ είναι συνευθειακά και ακόμη είναι ,,,

να αποδείξετε ότι κντ = 1.

7. Δίνονται τα σημεία Α(3,2), Β(1,0) και Γ(0,4). Αν η ΑΓ τέμνει τον άξονα χ΄χ στο Δ και η ΑΒ

τον άξονα ψ΄ψ στο σημείο Ε, τότε:

α) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των Δ και Ε.

β) Να αποδείξετε ότι τα μέσα των ΟΑ, ΕΔ και ΒΓ είναι συνευθειακά.

8. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(5,1), Β(1,-3) και Γ(9,-7). Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ και το

σημείο Δ τέτοιο ώστε ,4

3

να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου Δ. Αν η

ΒΔ τέμνει την ΑΓ στο Ε, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου Ε.

9. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2,4), Β(1,1) και .1,2

632

Αν ΑΔ είναι η διχοτόμος της

γωνίας Α του τριγώνου, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου Δ.

( Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου ).

10. Θεωρούμε τα διανύσματα ).4,3(,)2,1(

Να ορίσετε τα συγγραμμικά τους διανύσματα τα

οποία να έχουν άθροισμα ).3,0(



11. Θεωρούμε τα διανύσματα ).1,1(),2,1(

Να εκφράσετε το διάνυσμα )3,1(

ως

γραμμικό συνδυασμό των .,

12. Δίνονται τα σημεία Α(3,2), Β(7,– 4). Να βρεθεί σημείο του άξονα χ΄χ , ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ

να είναι:

α) ισοσκελές με κορυφή το Μ.

β) ορθογώνιο στο Μ.

13. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα χ΄χ, ώστε το άθροισμα των αποστάσεών του από τα σημεία

Α(1,2) και Β(3,4) να είναι ελάχιστο.

14. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα ψ΄ψ, ώστε η διαφορά των αποστάσεών του από τα σημεία Α(–

3,2) και Β(2,5) να είναι μέγιστη.

15. Αν 4,3,2,3,223,23,42,2

, τότε:

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες 11 ,x του διανύσματος .

u

β) Να βρείτε τη σχέση ανάμεσα στα χ και ψ ώστε .//

u

γ) Να υπολογισθούν τα χ και ψ αν είναι .0

u

16. Τα σημεία Κ(1,2), Λ(5,6) και Μ(3,4) αποτελούν τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ

αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ.

α) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών Α, Β και Γ του τριγώνου.

β) Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΒΛ και να προσδιορίσετε τη θέση της ως προς τον άξονα

χ΄χ .

17. Ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει κορυφές τα σημεία Α(–4,3) και Β(1,–3 ) του επιπέδου.

Αν το κέντρο του είναι το σημείο Κ(–1/2, –1/2), να βρείτε τις κορυφές Γ και Δ.

18. Η διανυσματική ακτίνα

ενός σημείου Α είναι παράλληλη στο διάνυσμα )4,3(

και

μάλιστα είναι 10.

, να βρείτε:

α) το πρόσημο των συντεταγμένων του Α.

β) τις συντεταγμένες του Α.

19. Στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οχψ θεωρούμε τα σημεία Α, Β και Γ τα οποία

ορίζονται από τις ισότητες .21032,3

1jijij

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β και Γ.

β) Οι συντεταγμένες του μέσου του ΒΓ είναι (5,1). Συμφωνείται με αυτόν τον ισχυρισμό;

γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Δ, ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι

παραλληλόγραμμο.

δ) Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου Ε, ώστε να ισχύει:

34

ε) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Γ και Ε είναι συνευθειακά.



20. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,4), Β(6,4), Γ(9,1) και Δ(2,1) του επιπέδου.

α) Να αποδείξετε ότι:

ι) το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο

ιι) .5

7

β) Θεωρούμε σημείο Μ τέτοιο, ώστε

, . Να υπολογίσετε το χ, ώστε το

σημείο Μ να είναι συμμετρικό του Γ ως προς το Δ.

21. Μια περιοχή που πρόκειται να αναμορφωθεί αποτυπώνεται στο τοπογραφικό σχέδιο ενός

εργολάβου, με καρτεσιανό σύστημα αξόνων Οχψ. Τα σημεία Α(0,7), Β(4,3) και Γ(6,1)

παριστάνουν τρία χωριά.

α) Να αποδείξετε ότι ο εργολάβος μπορεί να χαράξει έναν ευθύγραμμο δρόμο που να συνδέει τα

τρία χωριά.

β) Να βρείτε σε ποιο σημείο του άξονα χ΄χ πρέπει να σχεδιάσει ένα πρατήριο βενζίνης Π, το

οποίο να ισαπέχει από τα χωριά Α και Γ.

γ) Στο σημείο Μ(2,λ) θέλει να τοποθετήσει έναν στύλο παροχής ηλεκτρικού ρεύματος προς τα

χωριά Β και Γ, ώστε το άθροισμα των μηκών των καλωδίων να είναι ελάχιστο. Να βρείτε το

σημείο Μ.



ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1. Αν .2

3,

2

33,333,

όί

2. Δίνονται τα διανύσματα ,21.,, 3221321321

να

δείξετε ότι .03221

3. Να δείξετε ότι το μη μηδενικό διάνυσμα

είναι κάθετο στο μη μηδενικό διάνυσμα

.

2u

u

4. Θεωρούμε τα διανύσματα ).1,2(),2,1(),1,1(

a Να βρεθούν:

α) Το εσωτερικό γινόμενο των .,

β) Η διανυσματική προβολή του .

γ) Αν

, να βρεθεί το διάνυσμα

, όπου ΑΓ είναι το ύψος του τριγώνου

ΟΑΒ.

5. Θεωρούμε τα διανύσματα ,a με μέτρο ίσο με 1. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν, αν

γνωρίζουμε ότι τα διανύσματα 245 uw είναι κάθετα.

6. Αν τα διανύσματα ,a είναι κάθετα και έχουν ίσα μέτρα, τότε το ίδιο συμβαίνει και με τα

διανύσματα .22

vw

7. Αν τα μοναδιαία διανύσματα ,a σχηματίζουν γωνία τέτοια ώστε

^

,0

90ο και τα

διανύσματα 452 qp είναι κάθετα μεταξύ τους, να αναλυθεί το

διάνυσμα ^

),(3

vvv 60ο σε δύο συνιστώσες παράλληλες προς τα

.

8. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά α = 2. Αν ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου, να

υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα:

))))

9. Έστω , δύο διανύσματα του επιπέδου, με .

3

2),(3,2

^

Αν είναι

23 v , να υπολογίσετε:

α) το v

β) τις γωνίες .),(),(^^

vva



10. Να αποδείξετε ότι:

.,)

4)

22)

22

2222

ό

a

11. Έστω ,, τρία μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου. Αν είναι

)(,)(

, να αποδείξετε ότι ).(

12. Έστω τα διανύσματα , του επιπέδου με

6),(1,3

^

a .

Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων .

13. Να αναλύσετε το διάνυσμα )3,2(

σε δύο συνιστώσες, από τις οποίες η μία είναι

παράλληλη προς το διάνυσμα )1,3(

και η άλλη κάθετη σε αυτό.

14. Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ στο οποίο είναι .3

,4,2

^

Αν Μ είναι το μέσο της ΑΒ, να υπολογίσετε τη γωνία .,

^

15. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ στο οποίο είναι .22

Αν ισχύουν επίσης ότι 3

),(1^

, να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων

του ΑΒΓΔ.

16. Να υπολογίσετε το άθροισμα

04,1,3

ίa .

17. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα

2

)()( vu είναι κάθετα στο

.

18. Αν για κάθε πραγματικό αριθμό λ ισχύουν 1

a , να αποδείξετε

ότι:

543)1))

19. Αν έχουμε τρία διανύσματα του επιπέδου 21,,

,

να αποδείξετε ότι είναι .



20. Να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος 4

),(),(^^

και

,(23,2 μη συγγραμμικά ).

21. Αν , είναι μοναδιαία διανύσματα και θ η μεταξύ τους γωνία, να αποδείξετε ότι:

.2

2

22. Αν ^

),(0)31,31()31,33( vuvu

,

να αποδείξετε ότι: 12

),(^

vu

23. Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα 3

,,^

a . Να βρείτε διάνυσμα x

,

τέτοιο ώστε )()(// xx

.

24. Δίνονται τα διανύσματα ).0,1()1,3(,)3,1(

Να βρείτε όλα τα διανύσματα

vvv 10 . Στη συνέχεια να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ, μ ώστε

v .

25. Αν 01)(

xx να αποδείξετε ότι

1

x .

Στη συνέχεια να υπολογίσετε το διάνυσμα x

.

26. Αν )4,1()3,2(

a , να βρείτε την

.

27. Να δείξετε ότι το διάνυσμα xx

2 είναι κάθετο στο

για κάθε διάνυσμα x

.

28. Δίνονται τα διανύσματα ,,)2()(,

ώ .

α) Να αποδείξετε ότι

β) Να βρεθεί το 2,

ό

29. Αν ^

),(22,2

a 45ο , να βρείτε τη γωνία .),(

^

30. Θεωρούμε τα συγγραμμικά διανύσματα .,,

Να δείξετε ότι η σχέση

1

συνεπάγεται ότι δύο από τα διανύσματα είναι αντίρροπα.



31. Θεωρούμε τα διανύσματα .6,3,

Να οριστεί ο πραγματικός αριθμός λ, ώστε ).3()3(

32. Αν για τα διανύσματα

2, ύ ,

να αποδείξετε ότι .

33. α) Να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα .0,,

ό

β) Δίνονται τα διανύσματα ,,a τέτοια, ώστε να ισχύουν:

32

02

ι) Να αποδείξετε ότι

ιι) Να υπολογίσετε το

ως συνάρτηση του λ

ιιι) Να υπολογίσετε το διάνυσμα

.

34. Α. α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε διανύσματα .,,

ύ

β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή του

;

γ) Πότε το

παίρνει την ελάχιστη τιμή του;

Β. Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης Α = 6 x – 8 ψ

αν 3622 x .

Γ. Να αποδείξετε ότι 1086 xx

35. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα .

α) Να αποδείξετε ότι 2222

22

a

β) Αν ισχύει

a , να αποδείξετε ότι

3

γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά την ισότητα του ερωτήματος (α).

36. Θεωρούμε δύο διανύσματα

a , τέτοια ώστε 42

α) Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε τα διανύσματα

2,2 vu να είναι κάθετα.

β) Αν για τη μικρότερη τιμή του λ που θα βρείτε ισχύει 3

),(^

vuvu

,

να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο

37. Έστω ΑΒΓΔ τετράγωνο με κέντρο Ο και πλευρά (ΑΒ) = 6.

Α. Να υπολογίσετε τα παρακάτω εσωτερικά γινόμενα:

))))))



Β. α) Να προσδιορίσετε τη θέση των σημείων Λ, Μ και Κ που ορίζονται από τις ισότητες

22,2

β) Να αποδείξετε ότι:

ι) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά

ιι) το τετράπλευρο ΚΑΓΜ είναι παραλληλόγραμμο

ιιι) 0

38. Δίνεται τετράγωνο ΟΑΓΒ με Ο(0 ,0), Α(α ,0) και Β(0, β) ( α , β > 0 ).

α) Να εκφράσετε τις συντεταγμένες του σημείου Γ με τη βοήθεια των α και β.

β) Αν Κ είναι το κέντρο του τετραγώνου και Μ το μέσο του τμήματος ΚΓ, να βρείτε τις

συντεταγμένες του Μ ως συνάρτηση των α και β.

γ) Αν Λ είναι το μέσο του τμήματος ΟΑ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΜΛ είναι

ορθογώνιο και ισοσκελές.

39. Οι διανυσματικές ακτίνες

, των σημείων Α, Β και Γ είναι

τέτοιες, ώστε να ισχύουν οι σχέσεις:

0327,3

α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.

β) Να υπολογίσετε:

ι) τα εσωτερικά γινόμενα

,

ιι) τη γωνία των διανυσμάτων

.

γ) Αν για το διάνυσμα x

ισχύουν οι σχέσεις )()()(//

xx

ι) να αποδείξετε ότι )(4

21

x

ιι) να υπολογίσετε το .x

40. Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ^

90ο. Αν Κ και Λ είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ

και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:

22

2,)

)2

1)

ό

41. Σε μια περιοχή υπάρχουν τρεις πόλεις Α, Β και Γ. Οι πόλεις Α και Β απέχουν μεταξύ τους 4

km. Από την πόλη Α αναχωρεί ένας ποδηλάτης, ο οποίος κινούμενος ευθύγραμμα φθάνει

στην πόλη Β. Τη διαδρομή ΑΓ τη συμβολίζουμε με το διάνυσμα

και για την πόλη Γ

ισχύει ότι 16

.

α) Να αποδείξετε ότι η διαδρομή ΓΒ είναι κάθετη στη διαδρομή ΑΒ.

β) Ο ποδηλάτης, φθάνοντας στην πόλη Β, αναχωρεί με κατεύθυνση κάθετη στη διαδρομή



ΑΓ και συναντά την ΑΓ στο σημείο Δ. Αν είναι (ΑΔ) = 2 km, να υπολογίσετε την απόσταση

των πόλεων Α και Γ.

42. Α. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα .,

α) Να αποδείξετε ότι

2

β) Αν )4,2()3,1(

, να βρεθεί η προβολή του .

Β. Δίνονται τα διανύσματα

2

1.1,3, , τότε η γωνία

των διανυσμάτων , είναι ίση με: ι) π/6 ιι) π/3 ιιι) π/4 ιv) π

Γ. Αν 3,2

1 va

και η γωνία των δύο διανυσμάτων είναι ίση με π/6, να βρείτε την

προβολή του διανύσματος .

άv

43. Δίνονται τα σημεία Α(4,0) , Β(0,5) στο ορθοκανονικό σύστημα Οχψ.

α) Να βρεθεί σημείο Μ του ΑΒ τέτοιο, ώστε

β) Αν Κ είναι το μέσο του ΟΑ και Λ το μέσο του ΟΒ, τότε το εσωτερικό γινόμενο

είναι ίσο με:

ι) 1 ιι) 2

MO ιιι)

ιv) 0

44. Αν 05,3,2

a , να αποδείξετε ότι:

α) 5

β) Το τρίγωνο με πλευρές τα μήκη των διανυσμάτων ,, είναι ορθογώνιο

γ) Υπολογίσατε το άθροισμα

45. Έστω τα διανύσματα )3,2()1,1(,)2,1(

.

α) Να γράψετε το διάνυσμα

με μοναδικό τρόπο, ως γραμμικό συνδυασμό των

διανυσμάτων .,

β) Να αναλύσετε το διάνυσμα

σε δύο συνιστώσες

////, 2121 ώ .

46. Αν για τα μοναδιαία διανύσματα 4

),(3

),(,,^^

έ ,

να λύσετε την εξίσωση:



47. Αν 6

),(4,3^

, να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ, ώστε να ισχύει:

)(

48. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓΔ με (ΑΒ) = 30 και τα διανύσματα

3

1

5

1 . Να βρεθεί το γινόμενο .



ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

Ι. Συνθήκες Παραλληλίας:

1.

aa // (αν λ>0 είναι ομόρροπα, ενώ αν λ<0 είναι αντίρροπα )

2. ι)

aaa

ιι)

aaa

3. Αν 2211 ,&, xxa

, τότε: 210,det//

aa

ι) 0,^

aa και ιι)

^

,

aa

ΙΙ. Συνθήκες Καθετότητας:

1. 0

aa

2. Αν 2211 ,&, xxa

, τότε: 10 212121 xxa

3. 2

,0,^^

aaa

ΙΙΙ. Παρατηρήσεις:

1. Τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

AB //

(β.λ.π. συνθήκες παραλληλίας)

2. Το v

είναι συνεπίπεδο των ,a υπάρχουν R21 , :

21 av

3. Για να υπολογίσουμε το v

, συνήθως υπολογίζουμε το 2v

4. Αν δύο διανύσματα του επιπέδου ΔΕΝ είναι συγγραμμικά, τότε έχουμε:

αν 0

a τότε ισχύει κ = λ = 0, όπου κ, λ πραγματικοί αριθμοί

5. ΔΕΝ ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων,

δηλαδή: aa

6. ΔΕΝ ισχύει η ιδιότητα της διαγραφής στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων, έτσι:

ι) uuaa (δεν ισχύει το αντίστροφο)

ιι) 00

aaaa ή

ή

a



IV. Γεωμετρικοί Τόποι:

1. Σχέση:

MA , όπου Α σταθερό σημείο, κ > 0

Τα σημεία Μ ανήκουν σε κύκλο με κέντρο το Α και ακτίνα κ.

2. Σχέση:

MBMA , όπου Α, Β σταθερά σημεία

Τα σημεία Μ ανήκουν στη μεσοκάθετη ευθεία του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

3. Σχέση:

, όπου Α, Β, Γ σταθερά σημεία, λ πραγματικός αριθμός

Τα σημεία Μ ανήκουν σε ευθεία, που διέρχεται από το σημείο Α και είναι παράλληλη προς την ευθεία

ΒΓ.

4. Σχέση: 0

, όπου Α, Β, Γ σταθερά σημεία

Τα σημεία Μ ανήκουν σε ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην προς την ευθεία

ΒΓ.



ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

Εξίσωση ευθείας


Ι. Ερωτήσεις τύπου « ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ»

1. Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα σημεία Α( 11 , ) και Β( 21 , ) έχει συντελεστή διεύθυνσης 0.

2. Υπάρχουν δύο ευθείες ε, ε΄, με συντελεστές διεύθυνσης λ, λ΄ αντίστοιχα, για τις οποίες ισχύει

συγχρόνως λ = λ΄ και λλ΄ = - 1.

3. Οι ευθείες με εξισώσεις

,1

είναι κάθετες για κάθε λ διάφορο του μηδενός.

4. Οι ευθείες 2χ+ψ=1 και χ-2ψ=1 τέμνονται.

5. Οι ευθείες ψ=-κ/3χ+1 και ψ=-λχ+2 είναι παράλληλες. Τότε ισχύει κ=3λ.

6. Οι διχοτόμοι των γωνιών των αξόνων, έχουν εξισώσεις ψ = χ , ψ = - χ και τέμνονται κάθετα.

7. Τα σημεία Α(-2,-1), Β(1,4), Γ(-4,2) είναι συνευθειακά.

8. Τα σημεία Α(α+β,γ), Β(β+γ,α), Γ(γ+α,β) είναι συνευθειακά με .0

9. Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο (1,2) και είναι παράλληλη προς την ευθεία ψ=-3χ+4, έχει

εξίσωση : ψ-2=-3(χ-1).

10. Η ευθεία ΑΒ με Α(1,-4) και Β(-1,-5) είναι παράλληλη προς την ευθεία ψ=1/2χ+3.

11. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (1,1) και σχηματίζει με τον χ΄χ γωνία ίση με

135ο, είναι η χ+ψ=0.

12. Η ευθεία 2ψ-3χ+4=0, τέμνει τον χ΄χ στο σημείο (4/3,0).

13. Όταν ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας δεν ορίζεται, τότε η εξίσωσή της είναι .0

14. Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία 0133 με τον χ΄χ , είναι 120ο.

15. Η εξίσωση Αχ+Βψ+Γ=0 με Α 0 , είναι πάντα ευθεία.

16. Αν Α Β, τότε η εξίσωση Αχ+Βψ+Γ=0, είναι πάντα ευθεία.

17. Στην ευθεία με εξίσωση Αχ+Βψ+Γ=0 δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης. Ισχύει Β=0.

18. Κάθε εξίσωση ευθείας γράφεται στη μορφή Αχ+Βψ=0.

19. Δύο ευθείες παράλληλες προς τα διανύσματα 1

(Α,Β) και 2

(-Β,Α) αντίστοιχα, είναι μεταξύ

τους κάθετες.

20. Μία ευθεία κάθετη στο διάνυσμα

(Α,Β) με Β 0 , έχει εξίσωση της μορφής Αχ+Βψ+Γ=0.

21. Η ευθεία 0,12 , σχηματίζει πάντα αμβλεία γωνία με τον άξονα χ΄χ.

22. Η ευθεία χ+λ(χ-ψ)-λ=0 τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας χΟψ, για κάθε τιμή του λ.

23. Οι ευθείες ψ=2χ+1, ψ=2χ-1, χ+2ψ+1=0 και χ+2ψ+2=0 , τεμνόμενες ορίζουν ορθογώνιο παρ/μο.



24. Η απόσταση των ευθειών 1 : 221 :, δίδεται από τον τύπο

.1

,2

21

21

d

25. Οι ευθείες 2χ-3ψ=11 και 4ψ+3χ+9=0, έχουν κοινό σημείο το (-1,3).

26. Η εξίσωση χψ = χ παριστάνει μία μόνο ευθεία του επιπέδου.

27. Το σημείο Α(ημθ,0) με θ=π/7 ανήκει στην ευθεία 2χ+κψ=3.

28. Η εξίσωση , παριστάνει οικογένεια ευθειών, παράλληλων με την ευθεία ψ=χ.

29. Ορίζεται τρίγωνο με πλευρές, που έχουν εξισώσεις: 3χ-ψ=4, ψ=-5χ-4, ψ=3χ+5.

30. Η συμμετρική της ευθείας ψ=3χ ως προς άξονα χ΄χ, έχει εξίσωση ψ=3χ+3.

31. Η εξίσωση του ύψους ΓΔ τριγώνου ΑΒΓ με κορυφές Α(5,1) Β(6,3) και Γ(2,2) είναι: ψ-2=-1/2(χ-2).

32. Το εμβαδόν του τριγώνου, που ορίζεται από την ευθεία 2χ+5ψ=10 και τους άξονες, είναι 5τ.μ.

33. Όλες οι ευθείες της οικογένειας: (χ+ψ+1)+λ(3χ-2ψ-4)=0 περνούν από το σημείο (2,1).

34. Το σύστημα των εξισώσεων δύο παράλληλων ευθειών, είναι αδύνατο.

35. Η εξίσωση της ευθείας Αχ+Βψ+Γ=0, μπορεί να γραφεί στη μορφή 0

, όπου

,,,

.

36. Τα σημεία Α(1,1) Β(-1,1) και Γ(1,-1) είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου.

37. Οι ευθείες 0,0 222111 είναι κάθετες. Ισχύει 2121 .

38. Η εξίσωση 02731 22 παριστάνει ευθεία για κάθε .



ΙΙ. Ερωτήσεις «ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ»

1. Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που είναι παράλληλη με τον ψ΄ψ, ισούται με :

Α. 1 Β. –1 Γ. 0 Δ. εφ(π/4) Ε. δεν ορίζεται

2. Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας, που διέρχεται από τα σημεία 2211 ,,, , ορίζεται

πάντα, όταν :

Α. 21 Β. 2121 , Γ. 2121 , Δ. 2121 , Ε. 21

3. Στο σχήμα η εξίσωση της ευθείας ΟΑ, είναι 3 .

Η γωνία φ ισούται με :

Α. π/6 Β. π/3 Γ. π/4 Δ. π/2 Ε. 3π/4

4. Η εξίσωση Αχ+Βψ+Γ=0 παριστάνει πάντα ευθεία με :

Α. Α=0 και Β=0 Β. Α=0 ή 0 Γ. 022 Δ. 0 Ε. 0

5. Το κοινό σημείο του άξονα χ΄χ και της ευθείας ΑΒ με Α(0,4) και Β(1,5) είναι :

Α. (4,0) Β. (0.0) Γ. (5,0) Δ. (-4,0) Ε. (0,-3)

6. Η ευθεία ψ=λχ+3 :

Α. είναι κάθετη στον χ΄χ για κάποια τιμή του λ

Β. είναι κάθετη στον ψ΄ψ για κάποια τιμή του λ

Γ. για 0 περνάει από το σημείο

5,

1

Δ. περνάει από την αρχή των αξόνων

Ε. για λ=1 είναι κάθετη στη ευθεία ψ=χ

7. Η ευθεία που σχηματίζει με τον άξονα ψ΄ψ αμβλεία γωνία, είναι :

Α. 2 Β. ψ=2 Γ. ψ=3χ+2 Δ. , με λ<0 Ε. κάθετη στην 2χ-3ψ+2=0

8. Οι ευθείες χ+2ψ+1=0 και 2χ+λψ-2=0 :

Α. τέμνονται για κάθε λ Β. είναι και οι δύο κάθετες στην ψ=χ Γ. είναι κάθετες για λ=-1

Δ. είναι παράλληλες για λ=2 Ε. τέμνονται στο σημείο (-1,0) για λ=2

Ο

Α

Β x

ψ

φ



9. Έστω ε: Αχ+Βψ+Γ=0 ( με 0 ή 0 ), τότε:

Α. το διάνυσμα ,

είναι κάθετο στην ε.

Β. το διάνυσμα ,

είναι παράλληλο στην ε.

Γ. το διάνυσμα ,


Δ. το διάνυσμα ,


Ε. το διάνυσμα ,

είναι κάθετο στην ε.

10. Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο (-1,5) και είναι κάθετη στην ευθεία ψ=1/3χ-7, έχει εξίσωση:

Α. ψ=-3χ+7 Β. ψ+1=-3(χ-5) Γ. ψ-5=-3(χ+1) Δ. ψ-5=3(χ+1) Ε. ψ+1=3(χ+5)

11. Αν η ευθεία (ε) τέμνει τους άξονες χ΄χ, ψ΄ψ στα Α(α,0), Β(0,β) αντίστοιχα με α=2β, τότε:

Α. η (ε) σχηματίζει γωνία 60ο με τον χ΄χ

Β. η (ε) σχηματίζει γωνία 90ο με τον χ΄χ

Γ. η (ε) σχηματίζει οξεία γωνία με τον χ΄χ

Δ. η (ε) σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον χ΄χ

Ε. ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε) είναι ½

12. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία (ε) έχει εξίσωση:

Α. 13

3 Β. 1

3

3 Γ. 13

Δ. ψ=1/2χ+1 Ε. ψ=1/2χ-1

13. Αν το σημείο (3,κ) ανήκει στην (ε): 13

2

2

1

x, τότε:

Α. κ=0 Β. κ=2 Γ. κ=3 Δ. κ=5 Ε. κ=1

14. Στο καρτεσιανό επίπεδο η εξίσωση 22 παριστάνει:

Α. μια ευθεία κάθετη στον χ΄χ

Β. τη διχοτόμο της γωνίας χΟψ

Γ. τη διχοτόμο της γωνίας ψΟχ΄

Δ. τις διχοτόμους των γωνιών χΟψ και ψΟχ΄

Ε. μια ευθεία κάθετη στον ψ΄ψ

ψ

x

O

(ε)

-1

60ο



15. Αν Α(1,3) και Β(5,3), το συμμετρικό του μέσου του ΑΒ, ως προς τον άξονα χ΄χ, είναι το:

Α. (2,3) Β. (2,-3) Γ. (3,-3) Δ. (-3,3) Ε. (-3,-3)

16. Δίδεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(0,0), Β(3,1), Γ(5,3) και Δ(κ,κ). Η τιμή του κ, είναι:

Α. 3 Β. 2 Γ. 1 Δ. –2 Ε. –3

17. Τα σημεία Α(α,α+1), Β(α+1,α+2) και Γ(α+2,α+3), είναι:

Α. συνευθειακά

Β. κορυφές ορθογωνίου τριγώνου

Γ. κορυφές ισοσκελούς και ορθογωνίου τριγώνου

Δ. κορυφές ισοπλεύρου και ορθογωνίου τριγώνου

Ε. κορυφές ισοσκελούς και οξυγωνίου τριγώνου

18. Οι ευθείες 2χ-3ψ+4=0 και 3ψ-2χ+2=0, είναι:

Α. συμμετρικές ως προς τον άξονα χ΄χ

Β. συμμετρικές ως προς τον άξονα ψ΄ψ

Γ. συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων

19. Για την ευθεία (ε): (λ-1)χ+(3-λ)ψ-(λ-2)=0 ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης. Τότε ισχύει:

Α. λ=3 Β. λ 1 Γ. λ=2 Δ. λ 3 Ε. λ 2



ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,2), Β(3,-2) και Γ(1,4). Να βρεθούν:

α) οι εξισώσεις των πλευρών του

β) οι εξισώσεις δύο υψών του

γ) οι εξισώσεις δύο διαμέσων του

δ) οι εξισώσεις δύο διχοτόμων του

ε) οι συντεταγμένες του ορθόκεντρου, του βαρύκεντρου, του έγκεντρου και του περίκεντρου.

2. Θεωρούμε τα σημεία του επίπεδου Α(κσυνφ, λημφ), Β(κημφ, -λσυνφ) και Γ(κ, λ), όπου κ, λ

πραγματικοί αριθμοί και 0 < φ < π. Βρείτε για ποιες τιμές του φ τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

3. Τα σημεία Κ(1, 1), Λ(2, 2) και Μ(3, -1) είναι τρεις διαδοχικές κορυφές ενός

παραλληλόγραμμου. Να βρείτε:

α) τις συντεταγμένες της τέταρτης κορυφής του

β) τις συντεταγμένες του κέντρου του

γ) το εμβαδόν του

4. Μία κορυφή ενός τετραγώνου είναι το σημείο τομής των ευθειών με εξισώσεις 2x-3ψ+20=0 και

3x+5ψ-27=0 και η μία διαγώνιος του βρίσκεται επί της ευθείας x+7ψ-16=0. Να βρεθούν οι

εξισώσεις των πλευρών του τετραγώνου, καθώς και η εξίσωση της άλλης διαγωνίου του.

5. Να βρείτε τις εξισώσεις ευθειών, που είναι παράλληλες προς την ευθεία ε: 2x-3ψ-12=0 και οι

οποίες ορίζουν με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού ίσο με 12τ.μ.

6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-8, 2), Β(7, 4) και ορθόκεντρο Η(5, 2). Να βρείτε:

α) την εξίσωση της πλευράς ΒΓ

β) τις συντεταγμένες της κορυφής Γ

γ) τις εξισώσεις των πλευρών του

7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1, 2) και εξισώσεις δύο διαμέσων του τις x-3ψ+1=0 και ψ-1=0.

Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του.

8. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι μεσοπαράλληλη των ευθειών:

α) ε: 3x-ψ+1=0 και ζ: -6x+2ψ-3=0

β) ε: x = 4 και x+6=0

γ) ε: ψ = x και ψ = x-3

9. Δίνονται οι ευθείες ε: (μ+1) x + (μ+2) ψ = 0 και ζ: μ x – (3μ+2) ψ + 7 = 0.

Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό μ, ώστε η γωνία των δύο ευθειών να είναι 90ο



10. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(ημω, συνω) και Β( ημφ,

συνφ),

Να βρείτε επιπλέον την απόσταση του σημείου Ο(0, 0) από αυτήν.

11. Δίνονται τα σημεία Α(2, 1), Β(6, 4) και Γ(9/2, 6).

α) να δείξετε ότι

β) να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής Δ του ορθογώνιου ΑΒΓΔ

γ) να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ

12. Δίνονται τα σημεία Α(λ, 0), Β(2λ, 3λ), λ . Αν η κάθετη στην ΑΒ στο σημείο Α τέμνει την

ευθεία x = – 2λ στο Γ, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.

13. Δίνονται οι ευθείες ε: 2x-3ψ+1=0, ζ: -x+4ψ+3=0 και το σημείο Α(1, -2).

Να βρείτε σημείο Μ της ζ, ώστε το μέσο του ΑΜ να ανήκει στην ε.

14. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει ζεύγος δύο ευθειών.

Στη συνέχεια να βρείτε τη σχετική θέση αυτών των ευθειών.

15. Δίνονται τα σημεία Α(4, 2), Β(3, -1) και η ευθεία ε: ψ = -3x. Να βρείτε σημείο Γ της ευθείας,

ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με κορυφή το Β.

16. Δίνεται η ευθεία ε: x + ψ = 1. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Ρ(2, 3) ως προς άξονα

συμμετρίας την ευθεία ε.

17. Να εξετάσετε αν η ευθεία 2λx + 2λψ + 5λ = 3ψ – x + 7 διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε

πραγματικό αριθμό λ.

18. Δίνονται τα σημεία Α(1, 4) και Β(-1, -5).

α) να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ

β) να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης του

γ) να βρείτε την εξίσωση της μεσοκάθετης του ΑΒ

δ) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων

και είναι κάθετη στο ΑΒ

ε) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου, που έχει κορυφές την αρχή των αξόνων

και τα σημεία Α, Β.

19. Θεωρούμε τις ευθείες και

Να δείξετε ότι:

α) η είναι συμμετρική της , ως προς άξονα συμμετρίας τον χ΄χ

β) η είναι συμμετρική της , ως προς άξονα συμμετρίας τον ψ΄ψ

γ) η είναι συμμετρική της , ως προς κέντρο συμμετρίας το Ο(0, 0)

20. Να δείξετε ότι η εξίσωση

παριστάνει ευθεία,

η οποία διέρχεται από σταθερό σημείο.



21. Θεωρούμε την εξίσωση

Για ποιές τιμές του λ παριστάνει ευθεία;

22. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο σημείων Μ του επιπέδου, με

23. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(– 2, 2κ), Β(2κ, κ) και Γ(κ – 2, – κ), όπου κ

πραγματικός αριθμός. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του κέντρου βάρους του τριγώνου.

24. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τα οποία ισαπέχουν από τις ευθείες με εξισώσεις

3x – 2ψ + 4 = 0 και 3x – 2ψ + 6 = 0

25. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες κάθετες

μεταξύ τους. Στη συνέχεια να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής των δύο ευθειών.

26. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων τα τετράγωνα των αποστάσεών

τους από τα σημεία Α(3, 2) και Β(– 1, 2) έχουν σταθερή διαφορά κ, είναι ευθεία κάθετη στην

ΑΒ.

27. Να εξετάσετε αν η ευθεία με εξίσωση x + 1998ψ = 4 ανήκει στην οικογένεια ευθειών με

εξίσωση

28. Μία φωτεινή ακτίνα διερχόμενη από το σημείο Α( 2, 3) και προσπίπτουσα στην ευθεία με

εξίσωση x + ψ + 1 = 0, μετά την ανάκλασή της διέρχεται από το σημείο Μ(1, 1).

Να βρεθούν οι εξισώσεις της προσπίπτουσας και της ανακλώμενης ακτίνας.

29. Ένα σημείο Ρ του επιπέδου κινείται πάνω στην ευθεία ψ = x. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό

σημείο του Ρ ως προς την ευθεία x + 2ψ – 1 = 0, κινείται πάνω στην ευθεία 7 x – ψ – 2 = 0

30. Οι συντεταγμένες δύο πλοίων είναι σε κάθε χρονική στιγμή

στιγμή t > 0.

α) Να βρεθούν οι πορείες των δύο πλοίων

β) Να βρεθεί αν υπάρχει χρονική στιγμή κατά την οποία θα συναντηθούν τα δύο πλοία

γ) Να βρεθεί η απόσταση των δύο πλοίων τη χρονική στιγμή t = 3

31. Η πορεία δύο κινητών που κινούνται ευθύγραμμα με αφετηρία τα σημεία Α και Β αντίστοιχα,

φαίνεται στο διπλανό σχήμα:

α) Να βρεθεί η απόσταση των δύο σημείων

Α και Β

β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του Γ

γ) Να βρεθεί η απόσταση του Β από την

ευθεία στην οποία κινείται το άλλο κινητό

δ) Να εξετασθεί αν τέμνονται οι διευθύνσεις

των δύο κινητών

Ο

Α(-3,-1) .

. Β(-5,1)

60ο

Γ x

ψ



32. Σε χάρτη με καρτεσιανό σύστημα αξόνων, η θέση ενός λιμανιού προσδιορίζεται από το σημείο

Α(2, 6) και η θέση ενός πλοίου με το σημείο .

α) Για ποιες τιμές του λ το σημείο Π έχει τετμημένη μικρότερη από την τετμημένη του Α;

β) Να εξετάσετε αν το πλοίο θα περάσει από το λιμάνι, όταν η πορεία του είναι ευθύγραμμη

γ) Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση της πορείας του πλοίου από το λιμάνι;

33. Μια τριγωνική κατασκήνωση διαθέτει τρεις εισόδους, μία σε κάθε κορυφή. Ο αρχηγός της

κατασκήνωσης (του οποίου η σκηνή βρίσκεται στο εσωτερικό της κατασκήνωσης) θέλοντας να

υπολογίσει το εμβαδόν της κατασκήνωσης, στέλνει τρεις κατασκηνωτές να μετρήσουν τις

αποστάσεις των εισόδων από τη σκηνή του. Ο πρώτος προχωρά 2km βόρεια και στη συνέχεια

1km ανατολικά, όπου συναντά την πρώτη είσοδο. Ο δεύτερος προχωρά 3km ανατολικά και

1km νότια και εκεί συναντά τη δεύτερη είσοδο. Ο τρίτος προχωρά 2km δυτικά και συναντά την

τρίτη είσοδο.

α) Να θεωρήσετε κατάλληλο σύστημα αξόνων και να βρείτε τις συντεταγμένες των τριών

εισόδων σε αυτό το σύστημα

β) Να βρείτε το εμβαδόν της κατασκήνωσης

34. Σε χάρτη με καρτεσιανό σύστημα αξόνων Οxψ ένα πλοιάριο ξεκινά από ένα λιμάνι Α και

κατευθύνεται προς το λιμάνι Ο. Το ραντάρ θέσης για κάθε χρονική στιγμή t, δίνει τις εξής

συντεταγμένες για το πλοιάριο:

α) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α;

β) Πόσο απέχουν μεταξύ τους τα δύο λιμάνια;

γ) Είναι σωστή η πορεία του πλοιαρίου; Ποιά είναι η εξίσωσή της;

35. Σε ένα εργοστάσιο ο νέος διευθυντής ζήτησε να ενημερωθεί για την οικονομική πορεία της

επιχείρησης από το έτος ίδρυσής της. Ο υπεύθυνος των οικονομικών του παράδωσε το παρακάτω

σχεδιάγραμμα:

η ευθεία των εσόδων

η ευθεία των εξόδων

Οx: ο άξονας των ετών λειτουργίας

Οψ: ο άξονας των εκατοντάδων χιλιάδων ευρώ

α) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών και

β) Να βρείτε πόσα έτη μετά την έναρξη της λειτουργίας της, η επιχείρηση αρχίζει να έχει κέρδη

γ) Να βρείτε τα κέρδη της επιχείρησης το τέταρτο έτος της λειτουργίας της

δ) Πότε η επιχείρηση θα παρουσιάσει κέρδη 300 χιλιάδες ευρώ;

4 Ο x

1

2

3

ψ



36. Να βρείτε εξίσωση ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Α(1, – 3) και τα σημεία Β(3, 2)

και Γ(– 1, 2) ισαπέχουν από αυτήν.

37. Να βρείτε εξίσωση ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Γ(– 1, 2) και σχηματίζει με την

ευθεία 2x + ψ + 1 = 0 γωνία 45ο

38. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α(– 1, 2) ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία που

ορίζεται από τα σημεία Β(1, 1) και Γ(– 3, 5).

39. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία είναι συμμετρική της ε: x + ψ – 1 = 0 ως προς άξονα

συμμετρίας την ευθεία ζ: x – ψ + 1 = 0.

40. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού μ, ώστε οι ευθείες με εξισώσεις ε: 2x +μψ + 1 = 0,

ζ: x + 2ψ +μ = 0 και η: μx + ψ +2 = 0 να διέρχονται από το ίδιο σημείο.

41. Μια ακτίνα φωτός ακολουθεί την πορεία της ευθείας ε: x – 2ψ + 5 = 0 και ανακλάται πάνω στην

ευθεία η: 3x – 2ψ +7 = 0. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας την οποία ακολουθεί η ευθεία μετά

την ανάκλαση.

42. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β(-4, -5) και οι ε: 5x + 3ψ – 4 = 0, ζ: 3x +8ψ + 13 = 0 είναι οι

εξισώσεις δύο υψών του. Να βρείτε τις συντεταγμένες των υπόλοιπων κορυφών του και τις

εξισώσεις των πλευρών του.

43. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών τριγώνου, το οποίο έχει το Β(2, -6) κορυφή και οι

x – 1 = 0, x +7ψ – 9 = 0 είναι αντίστοιχα οι εξισώσεις ενός ύψους και μιας διχοτόμου από την

ίδια κορυφή.

44. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο Ρ(3, 0) και ορίζει με τις

ευθείες ε: 2x – ψ – 2 = 0 και ζ: x + ψ = 3 = 0 ευθύγραμμο τμήμα που έχει μέσον το Ρ.

45. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(1, -2), Β(2, 3) και εμβαδόν ίσο με 8. Να βρείτε τις

συντεταγμένες της τρίτης κορυφής Γ, αν αυτή ανήκει σε ευθεία με εξίσωση 2x +ψ – 2 = 0.

46. Τα σημεία Α(-1, 3) και Γ(6, 2) είναι απέναντι κορυφές τετραγώνου.

Να βρεθούν οι συντεταγμένες των άλλων κορυφών.

47. Το σημείο Ε(1, -1) είναι το κέντρο παραλληλόγραμμου, του οποίου η μία πλευρά ανήκει στην

ευθεία ε: x – ψ + 12 = 0. Να βρεθούν οι εξισώσεις των υπόλοιπων πλευρών του.

48. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Α(4, -1), οι x – 1 = 0 και x – ψ – 1 = 0 είναι οι εξισώσεις δύο διχοτόμων

του. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του.

49. Σε τρίγωνο ΑΒΓ η μία κορυφή έχει συντεταγμένες (1, 3) και οι x – 2ψ + 1 = 0, ψ – 1 = 0 είναι

οι εξισώσεις δύο διαμέσων του. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των άλλων κορυφών του.

50. Να βρείτε εξίσωση ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει με τις ευθείες

ε: x – ψ + 12 = 0 και ζ: 2x +ψ + 9 = 0 ισοσκελές τρίγωνο με κορυφή το σημείο τομής των ε, ζ.



51. Δίνονται τα σημεία Α(α, 0), Β(0, β), Γ(-α, 0), Δ(0, -β). Αν Μ είναι σημείο της ΑΒ με

τετμημένη x΄ και Ρ σημείο της ΒΓ με τετμημένη – 2x΄, να αποδειχθεί ότι η διεύθυνση της

ευθείας ΡΜ είναι ανεξάρτητη του x΄. Αν Ν είναι σημείο της ευθείας ΑΔ με τετμημένη x΄,

να αποδειχθεί ότι η ΝΡ διέρχεται από σημείο ανεξάρτητο του x΄.

52. Δίνονται τα σημεία Α(-4, 0) και Β(0, 6). Από το μέσο του ΑΒ διέρχεται μία ευθεία (ε) η

οποία τέμνει τον άξονα χ΄χ στο Κ και τον ψ΄ψ στο Λ.

Να βρεθεί η εξίσωση της (ε) αν (ΟΚ) = 2(ΟΛ).

53. Να βρεθεί εξίσωση ευθείας η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και μαζί με τις ευθείες

ζ: x + ψ = α και η: x = 0 σχηματίζει τρίγωνο με εμβαδόν ίσο με

54. Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που είναι παράλληλη στην ζ: 2x +3ψ + 1 = 0 και σχηματίζει με

τους άξονες τρίγωνο εμβαδού ίσου με 3.

55. Οι εξισώσεις δύο διαδοχικών πλευρών ρόμβου είναι ψ = 2x + 4 και 3ψ = – x – 2. Αν το σημείο

Α(4, 6) είναι μία κορυφή του, να βρεθούν οι συντεταγμένες των άλλων κορυφών του.

56. Μία πλευρά ρόμβου βρίσκεται στην ευθεία ε: 5x + 7ψ = 1 και μία κορυφή του στο Α(3, -2).

Αν μία διαγώνιος του βρίσκεται στην ευθεία ζ: x + 1 = 3ψ, να βρεθούν οι συντεταγμένες των

άλλων κορυφών του.

57. Να βρεθούν οι εξισώσεις ευθειών οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(2, 7) και η απόστασή

τους από το σημείο Β(1, 2) είναι ίση με 5.

58. Δίνονται οι ευθείες

α) Να υπολογίσετε την τιμή του λ, ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες

β) Να βρείτε την τιμή του μ, ώστε οι παράλληλες ευθείες να έχουν απόσταση ίση με

59. Θεωρούμε τα σημεία Α(0, 1), Β(-2, 1) και Γ(1, 1). Να βρεθεί ένα σημείο Μ, ώστε τα τρίγωνα

ΜΟΑ και ΜΒΓ να είναι ισοσκελή με κορυφή το σημείο Μ.

60. Θεωρούμε τις ευθείες

Να δείξετε ότι οι ευθείες αυτές σχηματίζουν τρίγωνο, του οποίου το ορθόκεντρο ανήκει σε

σταθερή ευθεία.

61. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α(6,6), Β(-3, 0) και Γ(3μ-1, 2μ+3).

α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής Γ

β) Να δειχθεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι σταθερό.

62. Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων

αν γνωρίζουμε ότι η ευθεία

διέρχεται από το κοινό σημείο των ευθειών ζ: x + ψ – 1 = 0

και η: 2x – ψ + 4 = 0.

B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ


ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

Κωνικές τομές


ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Α. Στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

1. Ο κύκλος (χ-α)2

+(ψ-β)2

=α2

ι) εφάπτεται στον χ΄χ, ιι) εφάπτεται στον ψ΄ψ, ιιι) διέρχεται από το

Α(α,0), ιv) διέρχεται από το Β(0,β).

2. Οι κύκλοι C 1 : (χ-1)2

+ψ2

=1, C 2 : χ2

+(ψ-2)2

=4 i) εφάπτονται εσωτερικά, ii) εφάπτονται

εξωτερικά, iii) τέμνονται, iv) δεν έχουν κοινά σημεία.

3. Δίνονται οι κύκλοι C 1 : (χ-1)2

+ (ψ-2)2

=9, C 2 : (χ+1)2

+ (ψ+2)2

=9. Το σημείο Α(1,0) είναι:

i) εσωτερικό και των δύο κύκλων, ii) εξωτερικό και των δύο κύκλων, iii) εσωτερικό του ενός και

εξωτερικό του άλλου, iv) τίποτα από αυτά.

4. Η ευθεία ε: ψ = χ-2 και ο κύκλος C: χ2

+ ψ2

= 4

i) εφάπτονται, ii) τέμνονται, iii) δεν έχουν κοινά σημεία.

5. Ο κύκλος με παραμετρικές εξισώσεις χ = 3συνφ, ψ = 3ημφ, φ[ 0,2π ) και η ευθεία

(ε): ψ = χ – 3, i) εφάπτονται, ii) τέμνονται, iii) δεν έχουν κοινά σημεία.

6. Ο κύκλος χ2

+ ψ2

= 9 και η έλλειψη

i) εφάπτονται, ii) τέμνονται, iii) δεν έχουν κοινά σημεία.

7. Η Β(0,β) είναι μία κορυφή της έλλειψης C: και Ε΄, Ε οι εστίες της.

Στο τρίγωνο ΒΕ΄Ε είναι: i) ΒΕ > β, ii) ΒΕ = α, iii) ΒΟ = α – γ

8. Στη διπλανή παραβολή C: ψ 22 pχ, με εστία το Ε

και διευθετούσα την ευθεία (δ), είναι : i) ΑΒ = p, ii) AB >p, iii) AB = 2p.

9. Στην παραβολή ψ 22 px, το σημείο Μ( p/2, 2p) βρίσκεται:

i) στο εσωτερικό της, ii) στο εξωτερικό της, iii) πάνω σε αυτήν.

10. Δίνεται ο κύκλος με παραμετρικές εξισώσεις: χ=3συνφ, ψ=3ημφ φ[ 0,2π). Το σημείο Α(2,5) είναι

: ι) εσωτερικό του κύκλου, ιι) εξωτερικό του κύκλου, ιιι) σημείο του κύκλου.


+ (ψ-β)2

= ρ2

, ρ > 0, εφάπτεται στους δύο άξονες συντεταγμένων.

Είναι τότε: i) α = β = ρ, ii) α = β = 0, iii)

1925

22

yx

12

2

2

2

a

x

a

ΚΚΩΩΝΝΙΙΚΚΕΕΣΣ ΤΤΟΟΜΜ ΕΕΣΣ



12. Ο κύκλος (χ-α) (2 ψ-β) 2 ρ2

, ρ > 0 διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων. Είναι τότε :

i) α2

+β 2 ρ2

, ii) α = β= 0, iii) α = β = ρ

B. Να ελέγξετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς και ποιες ψευδείς:

1. Ο κύκλος χ2

+(ψ-1)2

= 9 έχει το κέντρο του στον άξονα χ΄χ

2. Η έλλειψη 12625

22

yx

έχει τις εστίες στον άξονα χ΄χ

3. Η υπερβολή 1169

22

xy

έχει τις κορυφές της στον άξονα ψ΄ψ.

4. Η παραβολή χ2

=2py έχει τη διευθετούσα της κάθετη στον άξονα χ΄χ.

5. Το σημείο Μ(1,2) βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου (χ-2)2

+(ψ+3)2

=4.

6. H έλλειψη 1925

22

yx

και η υπερβολή 179

22

yx

έχουν ίδιες εστίες.

Γ. Να απαντήσετε στις ερωτήσεις:

1. Είναι δυνατόν από το σημείο Α(2,2) να αχθεί εφαπτομένη προς τον κύκλο (χ-1)2

+(ψ-3)2

=16;

2. Να βρεθεί το κέντρο του κύκλου, που περνά από τα σημεία Ο(0,0), Α(0,α) και Β(β,0) όπου

α > 0, β > 0

3. Θεωρούμε τα σημεία Μ(α, α), Κ(α, -α), Λ(-α, -α), Ν(-α, α), με 0a .Τα σημεία αυτά:

Ι) ανήκουν στον ίδιο κύκλο, ΙΙ) είναι κορυφές τετραγώνου, ΙΙΙ) είναι κορυφές ορθογωνίου.

4. Θεωρούμε τον κύκλο χ2

+ψ2

=2. Τι παριστάνει η εξίσωση χ+ψ=2 ;

5. Η σχέση (χ-α)2

+(ψ-β)2 2p παριστάνει: Ι) κύκλο, ΙΙ) εξωτερικό κύκλου και κύκλο, αν 0 , ΙΙΙ)

εξωτερικό κύκλου, αν 0 , ΙV) είναι αδύνατη, αν ρ=0.


+(ψ-β)2

= β2

, α β, εφάπτεται:

Ι) στον ψ΄ψ, ΙΙ) στην ευθεία ψ = χ, ΙΙΙ) στον χ΄χ.

7. Οι εξισώσεις χ = α + ρσυνθ, ψ = β +ρημθ, με θ[0,2π] παριστάνουν:

Ι) ευθεία, ΙΙ) κύκλο, ΙΙΙ) ζεύγος ευθειών.



8. Πως θα βρούμε την εξίσωση του κύκλου που περνά :

α) από ένα σημείο

β) από δύο σημεία που δεν είναι αντιδιαμετρικά

γ) από τρία σημεία

9. Πως συνδέονται οι ευθείες (ε): χ+2ψ=5, (ε΄): 2χ-ψ=5, με τον κύκλο χ2

+ψ2

=5 ;

10. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(2+3συνθ, 5+3ημθ), όπου θ μεταβλητή γωνία, είναι:

Ι) ευθεία, ΙΙ) κύκλος, ΙΙΙ) τόξο κύκλου.

11. Είναι σωστός ή λάθος ο ισχυρισμός ότι η εξίσωση της παραβολής ψ2

= 2px, με p > 0 αποτελεί

συνάρτηση ;

12. Ομοίως για την χ2

=2py ;

13. Είναι σωστός ή λάθος ο ισχυρισμός ότι αν η εστία της παραβολής Ε έχει συντεταγμένες (0,p/2), τότε

είναι ψ0 ;

14. Αν p είναι η παράμετρος της παραβολής, τότε ο p παριστάνει :

Ι) την απόσταση της εστίας από την κορυφή

ΙΙ) την απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα

ΙΙΙ) την τετμημένη της εστίας.

15. Αν ρ είναι η παράμετρος της παραβολής, τότε η διευθετούσα έχει εξίσωση :

Ι) ψ = -ρ/2, ΙΙ) χ = -ρ/2.

16. Δίνεται η παραβολή ψ2

=2ρχ, (ρ>0) και το σημείο Α(1,2). Τότε :

Ι) το σημείο Α ανήκει στην παραβολή, ΙΙ) το σημείο Α δεν ανήκει στην παραβολή,

ΙΙΙ) το σημείο Α ανήκει στην παραβολή, μόνο αν ρ=2.

17. Μία παραβολή με άξονα συμμετρίας τον χ΄χ και ρ = 1/2 έχει εξίσωση:

Ι) ψ2

= χ, ΙΙ) χ2

=8ψ, ΙΙΙ) ψ2

=1/2 χ.

18. Μία παραβολή που έχει άξονα συμμετρίας τον χ΄χ και περνά από το σημείο Α(-2,3) έχει εξίσωση : Ι)

χ2

=-9/2ψ, ΙΙ) ψ2

=-9/2χ, ΙΙΙ) ψ2

=9χ.

19. Είναι σωστό ή λάθος ότι για την εξίσωση της παραβολής ψ2

=2ρχ, με ρ>0 ισχύουν:

Ι) 0x , y ΙΙ) 0y , x ΙΙΙ) χ < 0, ψ > 0

20. Είναι σωστό ή λάθος ότι αν το σημείο Μ(α ,β) ανήκει στην παραβολή ψ2

=2ρχ, τότε το σημείο

Μ΄(α,-β) ανήκει στην παραβολή ;

21. Θεωρούμε την παραβολή ψ2

=2ρχ , ρ > 0. Θεωρούμε και τα σημεία της Α(6ρ, 12 ρ2

),

Β(6ρ, - 12 ρ2

). Τότε το τρίγωνο ΟΑΒ είναι: Ι) ορθογώνιο, ΙΙ) ισοσκελές, ΙΙΙ) ισόπλευρο.



22. Αν μία παραβολή έχει κορυφή Ο(0,0) και διευθετούσα την ευθεία 2χ+4=0, τότε η εξίσωσή της

είναι : Ι) ψ2

= 8χ, ΙΙ) χ2

= 8ψ, ΙΙΙ) ψ2

= -8χ.

23. Ποιες συναρτήσεις προκύπτουν από την εξίσωση της έλλειψης ;

24. Αν το σημείο Μ(2,1) της έλλειψης έχει την ιδιότητα (ΜΕ΄) + (ΜΕ) =8, όπου Ε΄, Ε οι εστίες της,

τότε είναι: ι) α = 4, β= 3

2 ιι) α = 2, β = 3 ιιι) τα α, β δεν υπολογίζονται.

25. Η έλλειψη με α β περιέχεται: ι) σε ρόμβο, ιι) σε τετράγωνο, ιιι) σε ορθογώνιο.

26. Είναι σωστό ή λάθος ότι η εξίσωση: 13)5( 2

2

2

2

yx παριστάνει έλλειψη ;

27. Η υπερβολή δεν έχει κέντρο συμμετρίας. Σωστό ή λάθος ;

28. Η υπερβολή τέμνει τον άξονα ψ΄ψ. Σωστό ή λάθος ;

29. Η ευθεία βχ-αψ=0 και η υπερβολή 12

2

2

2

y

a

x έχουν κοινά σημεία. Σωστό ή λάθος ;

30. Η έλλειψη 114

22

yx

και η υπερβολή 12

22

yx

έχουν τις ίδιες εστίες. Σωστό ή λάθος;

31. Τι μπορεί να σημαίνει μία ισότητα της μορφής 19422

a α > 0, β> 0;



ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρείτε την εξίσωση κύκλου που έχει κέντρο Κ(2,-1) και κόβει από την ευθεία 3χ-4ψ=-10 χορδή

μήκους 6.

2. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(2,-6), Β(1,7) και το κέντρο του

είναι σημείο της ευθείας 3χ+2ψ=0.

3. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που τέμνει την ευθεία 2χ-ψ+6=0 στα σημεία Α(2,10),

Β(-2,2) και την ευθεία χ+ψ=8 στα Γ(1,7) και Δ(-3,11).

4. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(3,2), Β(7,6) και εφάπτεται στον

άξονα χ΄χ.

5. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου χ 922 y , η οποία :

Ι) Είναι παράλληλη στην ευθεία ψ=2χ-1.

ΙΙ) Είναι κάθετη στην ευθεία ψ= -1/3χ+2.

ΙΙΙ) Διέρχεται από το σημείο Α(2,4).

6. Δίνεται ο κύκλος κ: χ 066222 yxy . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του

κύκλου, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ε: 3χ-4ψ+5=0.

7. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος εφάπτεται της ευθείας ε: 2χ-ψ+4=0 στο σημείο Α(3,10)

και διέρχεται από το Β(7,2).

8. Δίνεται η εξίσωση :

,02/12

924

222 yxyx .

Ι) Να δείξετε ότι για κάθε παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την

ακτίνα.

ΙΙ) Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία βρίσκονται τα κέντρα των κύκλων για κάθε

ΙΙΙ) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι εφάπτονται σε δύο σταθερές ευθείες, των οποίων να βρείτε τις

εξισώσεις.

9. Δίνεται η εξίσωση χ2

+ψ2

-4αχ+10βψ+4α2

+16β2

=0, (1) με β 0 .

Ι) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο.

ΙΙ) Να δείξετε ότι το σημείο Α( )2,2 a ανήκει στον κύκλο.

ΙΙΙ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του αντιδιαμετρικού του Α.

10. Να δείξετε ότι η εξίσωση (χ-α)(χ-β) + (ψ-γ)(ψ-δ) = 0 παριστάνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο

τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Α(α, γ), Β(β, γ), Γ(β, δ), Δ(α, δ) και ότι οι ΑΓ και ΒΔ είναι

διάμετροι του κύκλου.



11. Δίνονται δύο κύκλοι που διέρχονται από το σημείο Α(14,2) έχουν τα κέντρα τους στην ευθεία

χ-2ψ=0 και εφάπτονται στον άξονα χ΄χ.

Να βρείτε: ι) Τις εξισώσεις τους ιι) Την εξίσωση της άλλης κοινής εφαπτομένης τους.

12. Δίνεται ο κύκλος κ: 522 yx και το σημείο Α(3,1). Να βρείτε :

Ι) Τη θέση του σημείου Α ως προς τον κύκλο.

ΙΙ) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων από το Α προς τον κύκλο.

ΙΙΙ) Τη γωνία των εφαπτομένων.

13. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις ευθείες ε: 2χ-3ψ+6=0, ε΄: -4χ+6ψ+24=0 και

το ένα από τα σημεία επαφής είναι το Α(3,4).

14. Δίνεται ο κύκλος 1622 yx και το σημείο Α(2,1). Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του

κύκλου που έχει μέσο το Α.

15. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, από τα οποία οι εφαπτόμενες προς τον κύκλο κ:

222 yx είναι κάθετες.

16. Δίνεται ο κύκλος κ: 036422 yxyx και η ευθεία ε: ψ=χ+2.

Ι) Να δείξετε ότι η ευθεία ε τέμνει τον κύκλο.

ΙΙ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου της χορδής που ορίζει η ευθεία στον κύκλο.

17. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις ευθείες ε: χ-2ψ+4=0 και ε΄: 2χ-ψ-8=0 και

διέρχεται από το σημείο Α(4,-1).

18. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τα σημεία

Α(-2,5), Β(4,-1) είναι σταθερός και ίσος με 3.

19. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου κ: 222 yx , που διέρχονται

από το σημείο Α(α, β) με a .

20. Από το σημείο Μ(-3,-8) φέρνουμε τις εφαπτόμενες στον κύκλο κ: 082822 yxyx και

έστω Α, Β τα σημεία επαφής.

Ι) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων ΜΑ, ΜΒ.

ΙΙ) Να βρείτε το μήκος των ΜΑ, ΜΒ.

ΙΙΙ) Αν Κ το κέντρο του κύκλου, να δείξετε ότι η ΜΚ είναι μεσοκάθετη στο ΑΒ



21. Δίνεται ο κύκλος κ: .0,222 yx Για τυχαίο σημείο Α(χ΄,ψ΄) του κύκλου θεωρούμε το

σημείο Β(χ΄0), που αποτελεί την ορθή προβολή του Α στον χ΄χ , και στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ

θεωρούμε σημείο Μ τέτοιο ώστε

,

AB

MB 0 < β < α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του

σημείου Μ όταν το Α γράφει τον κύκλο κ.

21. Δίνεται η εξίσωση κ: 022 yxyx (1) και η ευθεία ε: ψ = χ + 3 (2).

Ι) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο.

ΙΙ) Να βρείτε τα ,ώστε η ευθεία να τέμνει τον κύκλο κ.

ΙΙΙ) Να εξετάσετε αν υπάρχει , ώστε η χορδή που ορίζεται από την τομή της ( ε )

και του ( κ ) να φαίνεται από την αρχή των αξόνων υπό ορθή γωνία.

22. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο σημείων του επιπέδου, των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από δύο

σταθερά σημεία είναι σταθερός και διαφορετικός της μονάδας.

23. Δίνεται η εξίσωση 04622 yyx (1).

Ι) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε .

ΙΙ) Να δείξετε ότι οι κύκλοι που παριστάνει η (1) διέρχονται από δύο σταθερά σημεία.

ΙΙΙ) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής αυτών των κύκλων.

24. Δύο κινητά αναχωρούν την ίδια στιγμή από ένα σημείο Κ(2,-1) ενός κύκλου, κινούνται δε επί του

κύκλου με αντίθετη φορά. Αν οι ταχύτητές τους είναι αντίστοιχα 46m/sec και 32m/sec, να βρεθεί

μετά πόσα λεπτά από την αναχώρησή τους θα συναντηθούν για πρώτη φορά. Δίνεται ότι ο κύκλος

περνά από τα σημεία Λ(-2,-3) και Μ(-1,4).

25. Θεωρούμε ένα χάπι κυκλικής διατομής με εξίσωση .1022 yx Με μία λαβίδα κρατάμε το χάπι.

Αν η κορυφή της λαβίδας έχει συντεταγμένες (4,2), να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα δύο

σκέλη της λαβίδας.

26. Η πόλη Ρωμανία που κατασκευάζεται στη Θράκη θα έχει μία σύγχρονη ρυμοτομία. Συγκεκριμένα

θα έχει 300 κάθετους και 200 οριζόντιους δρόμους. Στη διασταύρωση της 60ης με την 20η οδό

έχει προγραμματιστεί να ανοίξει ένα σχολείο. Θέλουμε να ανοίξουμε ένα άλλο σχολείο σε

απόσταση 100 και άνω μέτρων από το πρώτο.

Ι) Να περιγραφεί η περιοχή που μπορούμε να αναζητήσουμε τη στέγη.

ΙΙ) Η διασταύρωση της 65ης

με την 30η οδό προσφέρεται;



27. Σε ένα δοκιμαστικό σωλήνα υπάρχουν μικροοργανισμοί, οι οποίοι με την προσθήκη ενός φαρμάκου

ελαττώνονται συνεχώς. Έστω ψ ο αριθμός των μικροοργανισμών αυτών και χ ο χρόνος μείωσης

του αριθμού αυτού σε ημέρες. Αν χ = α / συνφ, ψ = εφφ όπου α σταθερά και φ γωνία έτσι ώστε

φ [0, π/2) (π/2, 3π/2) (3π/2, 2π], τότε:

Ι) Να καθοριστεί η καμπύλη που διαγράφει το φαινόμενο.

ΙΙ) Να προσδιοριστεί το α αν μετά 100 ημέρες οι μικροοργανισμοί είναι 1010 .

ΙΙΙ) Να βρεθεί ο αριθμός των μικροοργανισμών 1000 ημέρες μετά από την προηγούμενη

παρατήρηση.

28. Θεωρούμε έναν πληθυσμό από 1999 μυρμήγκια. Κάθε μυρμήγκι χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό

n=1,2,3,…,1999 και κινείται επάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Οχψ διαγράφοντας μία τροχιά με

εξίσωση: (χ-1)2

+ ψ2

= 2n ( χ+ψ-1). Να δειχθεί ότι:

Ι) η τροχιά κάθε μυρμηγκιού είναι κύκλος και να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου του.

ΙΙ) κατά την κίνησή τους όλα τα μυρμήγκια διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Α ( που είναι η

φωλιά τους). Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α;

ΙΙΙ) οι τροχιές όλων των μυρμηγκιών εφάπτονται της ευθείας χ+ψ-1=0 στο σημείο Α.

29. Υποθέτουμε ότι σε ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων Οχψ , στο σημείο Ο βρίσκεται ο πυρήνας

ενός ατόμου και ότι τα ηλεκτρόνια διαγράφουν τροχιές, που καθορίζονται από τις εξής εξισώσεις :

χ = n συνφ και ψ = n ημφ , όπου n = 1,2,3,… και φ (0, 2π).

Ι) Να δειχθεί ότι τα ηλεκτρόνια διαγράφουν κύκλους, των οποίων να καθοριστούν το κέντρο

και η ακτίνα.

ΙΙ) Να δειχθεί ότι οι κύκλοι αυτοί δεν έχουν κοινό σημείο.

ΙΙΙ) Να εξετασθεί αν ο κύκλος, που αντιστοιχεί στην τιμή n =10 τέμνει την ευθεία χ+ψ-1=0.



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

1. Α. Δίνονται τα διανύσματα 1,2 1,0 με Ο την αρχή των αξόνων. Βρείτε την

εξίσωση του κύκλου με κέντρο το σημείο Α, που διέρχεται από το Β.

Β. Δίνονται οι γραμμές με εξισώσεις :

2 2 2 2

1 2: 2 0 : 2 0 0, ,C C .

α) Να αποδείξετε ότι οι γραμμές είναι κύκλοι

β) Να βρείτε τα κέντρα τους Κ, Λ και τις ακτίνες τους

γ) Να αποδείξετε ότι τέμνονται σε δύο σημεία Α και Β , τα οποία και να βρείτε

δ) Να αποδείξετε ότι οι γωνίες 1 2 1 2

είναι ορθές.

2. Α. Δίνονται τα σταθερά σημεία Α (-α ,0) και Β (α ,0) και το μεταβλητό σημείο Μ (χ ,ψ) του

επιπέδου, τέτοιο ώστε 1

. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ.

Β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από το σημείο Α (2, 0)

και εφάπτονται εξωτερικά στον κύκλο με εξίσωση 2 2 4 0

3. Α. Δίνεται η υπερβολή 2 2

116 9

. Αν οι εφαπτόμενές της στις κορυφές Α και Α΄ τέμνουν την

ασύμπτωτη με θετικό συντελεστή διεύθυνσης στα σημεία Γ , Γ΄:

α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των Γ και Γ΄

β) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου με διάμετρο Γ Γ΄

γ) Να δείξετε ότι ο παραπάνω κύκλος διέρχεται από τις εστίες της έλλειψης 2 2

1169 144

.

Β. Δίνονται οι κύκλοι με εξισώσεις :

2 2 2 22 2

1 2: 2 3 15 : 3 3

και η ευθεία με εξίσωση : :3 4 2 0 , 0 .

α) Να βρείτε τις αποστάσεις των κέντρων των κύκλων από την ευθεία ως συνάρτηση του α

β) Να βρείτε το α αν η ευθεία εφάπτεται του πρώτου κύκλου

γ) Για την τιμή του α που βρήκατε, να εξετάσετε αν η ευθεία εφάπτεται στον δεύτερο κύκλο και στη

συνέχεια βρείτε τη σχετική θέση των δύο κύκλων.

4. Δίνονται οι γραμμές με εξίσωση : 2 2 2: 2 8 17 9 0 ,

α) Να δείξετε ότι για κάθε πραγματικό λ , οι γραμμές παριστάνουν κύκλους, οι οποίοι είναι όλοι ίσοι

β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων

γ) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι εφάπτονται δύο ευθειών, των οποίων τις εξισώσεις να βρείτε.



5. Δίνεται η έλλειψη 2

2: 1 : 1 ,2

c ί

.

α) Να δείξετε ότι η ευθεία τέμνει πάντα την έλλειψη σε δύο σημεία

β) Αν Κ, Λ τα κοινά σημεία της ε με την c, να βρείτε την εξίσωση της ε, όταν

90ο .

6. Α. Θεωρούμε την παραβολή c: 2 5 και το σημείο Μ (2,-3) .

α) Να δείξετε ότι το Μ είναι εσωτερικό σημείο της παραβολής

β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που τέμνει την παραβολή στα σημεία Α, Β και το Μ είναι το

μέσο του ΑΒ.

Β. Δίδεται η παραβολή 2 8 . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των χορδών της

παραβολής, οι οποίες είναι παράλληλες στην ευθεία με εξίσωση ε: ψ = 2 χ +3.

7. Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οχψ. Στο Ο έχουμε τοποθετήσει έναν προβολέα και στο

σημείο Α (2, 1) ένα εμπόδιο. Φωτίζουμε το Α και το φως ανακλώμενο τέμνει τον άξονα χ΄χ στο Β

και σχηματίζει με τον χ΄χ γωνία 135ο . Να βρείτε:

α) Το σημείο Β

β) Το σημείο Μ της ΑΒ που δέχεται τον ισχυρότερο φωτισμό

γ) Τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΟΜΒ.

8. Θεωρούμε τα σημεία Μ (λ, μ) και τις ευθείες :

1 2: 5 5 0 , : 5 5 0 , ,

Αν οι ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ.

9. α) Δίνεται η εξίσωση 2 2 22 3 6 3 4 0 , (1).

Για ποιο λ η (1) είναι εξίσωση κύκλου;

β) Θεωρούμε την εξίσωση 2 2 11 0 ,

2 4

(2).

ι) Να δείξετε ότι για κάθε μ η (2) είναι εξίσωση κύκλου

ιι) Οι κύκλοι με εξίσωση την (2) διέρχονται από δύο σταθερά σημεία, από τα οποία το ένα είναι

το κέντρο του κύκλου του α) ερωτήματος

ιιι) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον χ΄χ η κοινή χορδή του β) ερωτήματος.

10. Θεωρούμε τον κύκλο με κέντρο Κ (-1,0) που διέρχεται από το σημείο 1 3

,2 2

.

α) Να βρείτε:

ι) Την εξίσωση του κύκλου

ιι) Την εφαπτομένη ε του κύκλου στο Α.

β) Αν η ε διέρχεται από την εστία της παραβολής, που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα

συμμετρίας τον θετικό ημιάξονα Οχ, τότε:

ι) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής

ιι) Αν η διευθετούσα της παραβολής τέμνει τον κύκλο στα σημεία Μ, Ν, να βρείτε το εμβαδόν του

τριγώνου ΑΜΝ.



11. Δίνεται η παραβολή c: 2

1 22 , 0 : , : ,p p ί .

α) Να δείξετε ότι οι ευθείες τέμνουν την παραβολή σε σημεία Α, Β συμμετρικά ως προς τον χ΄χ

β) Να βρείτε το λ, όταν η ΑΒ διέρχεται από την εστία της c.

γ) Όταν το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ γίνεται μέγιστο, να αποδείξετε ότι οι ευθείες είναι κάθετες.

( Ο η αρχή των αξόνων )

12. Δίνεται η έλλειψη 2 2 25

: 1 :25 9 4

c ί

.

α) Να αποδείξετε ότι η ε δεν έχει κοινά σημεία με την c.

β) Ευθεία ζ με συντελεστή διεύθυνσης λ, διέρχεται από την εστία Ε (γ, 0) της έλλειψης και τέμνει

την ε στο σημείο Μ. Η Β (0,β) είναι μία κορυφή της c. Να βρείτε το λ, όταν:

ι) Ο κύκλος με διάμετρο ΒΜ διέρχεται από το Ε.

ιι) Ο κύκλος με διάμετρο ΕΜ διέρχεται από το Β.

ιιι) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα λ, των παραπάνω ερωτημάτων

ιv) Αν η ευθεία ζ τέμνει την ευθεία ε, στην περίπτωση (ι) στο σημείο Κ και στην περίπτωση

(ιι) στο σημείο Λ, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΕΚΛ.

13. Τα σταθερά σημεία Ε΄ , Ε είναι σημεία του χ΄χ , συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων, με

2 5΄ . Σημεία Μ του επιπέδου ικανοποιούν τις σχέσεις:

2 22

4 (1) 24 (2)΄ ΄

α) Να δείξετε ότι τα σημεία Μ ανήκουν σε δύο κωνικές τομές, των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις.

β) Αν 2 2

0 0 0 0, 9 .ί ό

14. Κύκλος c έχει το κέντρο του στον θετικό ημιάξονα Οχ και η ακτίνα του είναι ρ.

Η ευθεία ε: ψ = 2 χ είναι ασύμπτωτη της υπερβολής 2 2

1 2: 1

16c

και εφάπτεται του κύκλου c.

Να βρείτε τις εξισώσεις των 1,c c και τα κοινά τους σημεία.

15. Δίνεται η εξίσωση : 2 21 1 , (1).

α) Για τις διάφορες τιμές του λ, να βρείτε το είδος της γραμμής που εκφράζει η (1).

β) Στην περίπτωση που η (1) είναι εξίσωση υπερβολής, να βρείτε την εξίσωσή της και το εμβαδόν

του ορθογωνίου της βάσης, όταν οι ασύμπτωτες σχηματίζουν γωνία 60ο .

16. Δίνονται τα σημεία 1 ,2 , 0,2 .

α) (*) Να αποδείξετε ότι τα σημεία κινούνται σε κύκλο με εξίσωση : 2 2

1 2 1

β) Να βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου, που άγονται από το Ο (0,0) προς τον κύκλο

γ) Αν Α, Β τα σημεία επαφής, να υπολογίσετε το ,

και στη συνέχεια το εμβαδόν

του τριγώνου ΚΑΒ

δ) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής με κορυφή Ο (0,0), άξονα συμμετρίας τον χ΄χ και εστία

το σημείο τομής της ευθείας ΑΒ με τον χ΄χ.



17. Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή 2 2: 16c με εστίες στον άξονα χ΄χ.

α) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων, που διέρχεται από τις κορυφές

της υπερβολής

β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου (c΄), στο σημείο του Γ με τετμημένη 1 2

και τεταγμένη 1 0 .

γ) Έστω Μ το σημείο τομής της εφαπτομένης του κύκλου στο Γ με τον άξονα χ΄χ. Από το Μ

φέρουμε παράλληλη στον ψ΄ψ , που τέμνει τον ένα κλάδο της υπερβολής στα σημεία Δ και Ε. Να

αποδείξετε ότι ο κύκλος με διάμετρο ΔΕ διέρχεται από το Γ.

18. Δίνονται τα διανύσματα : 1,2 4 2, 3 , .

Α. Να βρείτε το χ , ώστε

Β. Για τη μεγαλύτερη τιμή του χ , που βρήκατε προηγουμένως,

ι) να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο τη ΓΔ

ιι) να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου στα Γ, Δ

ιιι) αν Β το σημείο τομής της εφαπτομένης στο Γ με τον ψ΄ψ και Α το σημείο τομής της

εφαπτομένης στο Δ με τον χ΄χ , να βρεθεί η εξίσωση και η εκκεντρότητα της έλλειψης με

κέντρο την αρχή των αξόνων και μία κορυφή στον άξονα ψ΄ψ το Β και μία στον χ΄χ το Α.

19. Δίνεται το σημείο 0 0, .

α) Αν το σημείο Ρ κινείται σε κύκλο με εξίσωση 2 2: 4c , να δείξετε ότι το σημείο Μ (χ ,ψ)

με 0 0

3 1

2 2 , κινείται σε έλλειψη (c΄) της οποίας να βρείτε την εκκεντρότητα.

β) Αν Ε, Ε΄ τα σημεία τομής του κύκλου (c) με τον άξονα χ΄χ, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

σημείων Α (χ ,ψ) του επιπέδου, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεών τους

από τα Ε, Ε΄ είναι ίση με 1.

γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης του β) ερωτήματος, η οποία είναι

κάθετη στο διάνυσμα 5,1 .

20. Δίνεται η εξίσωση : 2 2 2 2 2 4 4 0 , * (1)

α) Να δείξετε ότι παριστάνει πάντα κύκλο

β) Για λ = – 2 να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης, η οποία έχει εστίες τα σημεία στα οποία ο κύκλος

τέμνει τον άξονα ψ΄ψ και μήκος μικρού άξονα τη διάμετρο του κύκλου

γ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής με κέντρο την αρχή των αξόνων, εστίες στον άξονα ψ΄ψ,

ασύμπτωτη παράλληλη στο διάνυσμα 4, 2 και εστιακή απόσταση ίση με το μήκος του

μεγάλου άξονα της έλλειψης.

21. Δίνονται τα διανύσματα : 6,8 9, 12

α) Να δείξετε ότι είναι αντίρροπα

β) Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης που έχει ημιάξονες τα μέτρα των διανυσμάτων και μεγάλο

άξονα στον ψ΄ψ

γ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης, που διέρχεται από το σημείο Κ (20,0) και

σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα χ΄χ.



22. Δίνονται τα σημεία Α (-1,2), Β (-3,1), Γ (3,-2) και Δ (4,-1).

α) Να αναλύσετε το διάνυσμα σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες η μία να

έχει τη διεύθυνση του AB .

β) Να δείξετε ότι η γραμμή που διαγράφουν τα σημεία Μ (χ ,ψ) του επιπέδου για τα οποία ισχύει ότι

0 , είναι κύκλος του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.

γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου, που είναι κάθετη στο διάνυσμα

AB

u .

23. Δίνεται σημείο Α(4,0) και ευθεία ε: χ = 1. Σημείο Ρ (χ ,ψ) κινείται στο επίπεδο έτσι ώστε

,΄ , όπου Α΄ η προβολή του Ρ στην ευθεία ε. Να δείξετε ότι το σημείο Ρ

ανήκει σε μια συγκεκριμένη γραμμή, την οποία να ορίσετε, όταν:

α) θ = 0 και β) θ = π/3

24. Δίνεται η εξίσωση : 2 2 22 2 ln ln 4ln , 0

α) Για ποιες τιμές του θ η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο; Να βρεθεί το κέντρο και ακτίνα

του.

β) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του θ, ώστε η ευθεία (ζ): χ = ψ – 4 να εφάπτεται του κύκλου.

25. Δίνεται η εξίσωση 2 2 3 4 (1)

α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.

β) Να βρεθούν οι εφαπτόμενες του κύκλου, που διέρχονται από την αρχή των αξόνων.

γ) Θεωρούμε την υπερβολή 2 2

2 2

2 21 2.

Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β

ώστε οι ασύμπτωτες της υπερβολής να είναι οι ευθείες του β) ερωτήματος.

26. Θεωρούμε τον κύκλο 2 2: 4 : 2 5.c ί

α) Να δείξετε ότι ο κύκλος και η ευθεία δεν έχουν κοινό σημείο.

β) Από ένα σημείο Μ της ευθείας ε, φέρνουμε τις εφαπτόμενες στον κύκλο και ονομάζουμε Α και

Β τα σημεία επαφής. Να δείξετε ότι, όταν το σημείο Μ διαγράφει την ευθεία ε, η ευθεία ΑΒ

διέρχεται από ένα σταθερό σημείο.

27. (*) Θεωρούμε την παραβολή 2 6 και την ευθεία 2χ – ψ +3 = 0. Να βρείτε τις συντεταγμένες

του σημείου της παραβολής, του οποίου η απόσταση από την ευθεία είναι η ελάχιστη δυνατή.

Ποια είναι η ελάχιστη αυτή απόσταση;

28. (*) Από ένα σημείο Μ άγονται δύο εφαπτόμενες της έλλειψης 2 2

116 4

και η ευθεία που

διέρχεται από τα σημεία επαφής έχει εξίσωση 2 χ – 3 ψ – 4 =0. Να βρείτε τις συντεταγμένες του Μ.

29. Μια ευθεία ε με συντελεστή διεύθυνσης * στρέφεται γύρω από το σημείο Ρ (2 p, 0 ) και

τέμνει την παραβολή 2 2p στα σημεία Α, Β. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ

φαίνεται από την κορυφή Ο υπό ορθή γωνία. Συμβαίνει το ίδιο αν η ευθεία δεν έχει συντελεστή

διεύθυνσης;



30. Έστω Α, Β σημεία της παραβολής 2 8 , ώστε η ευθεία ΑΒ να διέρχεται από την εστία της. Να

δείξετε ότι οι εφαπτόμενες της παραβολής στα Α, Β είναι κάθετες.

31. Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής της έλλειψης 2 2: 4 9 36c η οποία έχει μέσον το σημείο

Μ (2,1).

32. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων, που εφάπτονται του άξονα χ΄χ , εφάπτονται

εξωτερικά του κύκλου 2 2: 4c και βρίσκονται στο 1

ο τεταρτημόρο.

33. Δίνονται οι κύκλοι 2 2 2 2

1 2: 1 : 4 0c c

και η ευθεία : , , .

α) Να βρείτε τις αποστάσεις των κέντρων των δύο κύκλων από την ευθεία

β) Για ποιες τιμές των λ, β , η ευθεία είναι κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων;

γ) Να αποδείξετε ότι οι κοινές εφαπτόμενες των δύο κύκλων τέμνονται στον άξονα χ΄χ και να βρείτε

την οξεία γωνία των ευθειών αυτών.

34. Έστω η παραβολή 2 4 και μια ευθεία ε που διέρχεται από την εστία Ε της παραβολής και την

τέμνει στα σημεία Α, Β. Έστω επιπλέον Γ, Δ οι προβολές των Α, Β πάνω στη διευθετούσα της

παραβολής και Μ το μέσο του ΓΔ.

α) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Μ ως συνάρτηση της τεταγμένης του

σημείου Α

β) Να αποδείξετε ότι η αρχή των αξόνων είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του τραπεζίου ΑΒΔΓ

γ) Να αποδείξετε ότι η γωνία ΑΜΒ είναι ορθή και ότι το ΜΕ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΜΒ

δ) Να αποδείξετε ότι η γωνία ΓΕΔ είναι ορθή και να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου

τμήματος ΜΕ συναρτήσει της τεταγμένης του Α.

35. Μια μεταβλητή ευθεία : , 0 τέμνει την παραβολή 2: 4c στα σημεία Α, Β.

α) Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ είναι: 2

2 2,

β) Να βρείτε την εξίσωση της καμπύλης πάνω στην οποία κινείται το Μ, όταν:

ι) λ = 1 και το β μεταβάλλεται

ιι) β = 0 και το λ μεταβάλλεται.

36. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σημείο Α (0,1) και εφάπτεται της

παραβολής 2:c στο σημείο Β (2,4). ( Δηλαδή έχει με την παραβολή στο σημείο Β την ίδια

εφαπτομένη ).

37. Θεωρούμε τον κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 2 2 και το ευθύγραμμο τμήμα

με άκρα Α (4,0) και Β (0,4). Αν το σημείο Μ διαγράφει το τμήμα ΑΒ, να βρεθεί το τόξο που

διαγράφει το σημείο Μ΄ της ημιευθείας ΟΜ, για το οποίο ισχύει: 2( ) ( )΄

38. Δίνονται οι ημιευθείες ψ = λ χ και ψ = – λ χ με λ, χ > 0 και μια ευθεία ε η οποία τις τέμνει στα

σημεία Α και Β.

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β, ως συνάρτηση του μέσου Μ του

ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ

β) Να δείξετε ότι όταν η ευθεία ε κινείται έτσι ώστε το τρίγωνο ΟΑΒ να έχει σταθερό εμβαδόν ίσο



με 2 , τότε το σημείο Μ διαγράφει τον ένα κλάδο μιας υπερβολής.

39. Δίνεται κύκλος με εξίσωση 2 2 2 2 0 , . Να προσδιοριστεί ο λ, ώστε η ευθεία

με εξίσωση 2 χ – ψ + 3 = 0 να ορίζει πάνω στον κύκλο χορδή, η οποία να φαίνεται από την αρχή των

αξόνων υπό ορθή γωνία.

40. Α. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των χορδών του κύκλου με εξίσωση

2 2 4 0 , που η μία άκρη τους είναι η αρχή των αξόνων.

Β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών της παραβολής 2 4 , που έχουν

συντελεστή διεύθυνσης λ = 1.

41. (*) Θεωρούμε ένα τόξο έλλειψης που οι συντεταγμένες των άκρων του είναι Α (16,9) και Β (-16,9).

Αν οι εφαπτόμενες στα σημεία αυτά είναι κάθετες, να βρεθεί η εκκεντρότητα της έλλειψης.

42. Να αποδείξετε ότι η γωνία των ασύμπτωτων μιας υπερβολής με εκκεντρότητα ε = 2, είναι π/3.

43. Θεωρούμε ένα πληθυσμό από 1999 μυρμήγκια. Κάθε μυρμήγκι χαρακτηρίζεται από τον αριθμό

n = 1,2,3,…,1999 και κινείται πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Οχψ διαγράφοντας μια τροχιά με

εξίσωση: 2 21 2 1n

Να αποδείξετε ότι:

α) η τροχιά κάθε μυρμηγκιού είναι κύκλος και να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του

β) κατά τη κίνησή τους όλα τα μυρμήγκια διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Α (που είναι η φωλιά

τους ) και να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του Α

γ) οι τροχιές όλων των μυρμηγκιών εφάπτονται της ευθείας ε: χ = ψ – 1 = 0 στο σημείο Α.

( Εξετάσεις 1999 – ΘΕΜΑ 4ο )

44. Α. Δίνεται η εξίσωση 2 2 6 8 0 , , *ό .Να δείξετε ότι για κάθε τιμή των

λ, μ η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο.

Β. Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς μ, λ ισχύει η σχέση 3 μ + 2 λ = 0.

α) Να δείξετε ότι, όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση 2 2 6 8 0 για τις

διάφορες τιμές των λ, μ, έχουν τα κέντρα τους σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των

αξόνων.

β) Να βρείτε τα μ, λ έτσι, ώστε αν Α, Β είναι τα σημεία τομής του αντίστοιχου κύκλου με την

ευθεία χ + ψ +2 = 0, να ισχύει ότι 0

γ) Για τις τιμές των μ, λ που βρήκατε στο ερώτημα β να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου

ΑΟΒ.


45. Δίνεται παραβολή με εξίσωση 2 4 . Να βρείτε:

α) Την εστία Ε και την διευθετούσα της δ

β) Τις ευθείες που διέρχονται από την εστία Ε και απέχουν από το Ο (0,0) απόσταση ίση με 2

2



γ) Την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής, που είναι παράλληλη στην ευθεία ψ = χ – 1.


46. Δίνεται η εξίσωση 2 2 2 2 1 0 , 0 2

α) Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του θ η εξίσωση είναι κύκλος και να βρείτε το κέντρο του Κ και

την ακτίνα του ρ

β) Αν θ = π/2, βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Μ (1,2)

γ) Να δείξετε ότι για κάθε θ, τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο

Ο (0,0) και ακτίνα ρ = 1.


47. Δίνονται δύο κωνικές τομές :

η παραβολή 2 2p και η έλλειψη

2 2 24 2 3 , 0.p p

α) Να αποδείξετε ότι οι εστίες της έλλειψης είναι τα σημεία 3 3

0, 0,2 2

p p΄

.

β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής Κ και Λ των δύο κωνικών τομών, είναι τα σημεία

, ,2 2

p pp p

γ) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των δύο κωνικών τομών στο σημείο ,2

pK p

είναι κάθετες.


48. Σε ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς Οχψ με Μ (χ ,ψ) παριστάνουμε τα σημεία μιας περιοχής.

Στο Κ (12,6) είναι τοποθετημένος ένας πομπός κινητής τηλεφωνίας.

Η λήψη σε ένα σημείο της περιοχής θεωρείται “ πολύ καλή ”, αν αυτό βρίσκεται στον κυκλικό δίσκο

που ορίζεται από τον κύκλο 1c , ο οποίος έχει κέντρο το Κ και ακτίνα 1 10 , ενώ η λήψη

θεωρείται “ καλή ”, αν το σημείο είναι εξωτερικό του 1c και εσωτερικό του κύκλου 2c , που γράφεται

με κέντρο Κ και ακτίνα 2 4.

α) Να γράψετε τις εξισώσεις των δύο κύκλων

β) Να εξετάσετε αν η λήψη στα σημεία Α (10,7) και Β (9,4) είναι “ καλή ” ή “ πολύ καλή ”

γ) Ένας αυτοκινητόδρομος της περιοχής (θεωρούμενος ως ευθεία) έχει εξίσωση χ – ψ – 1 = 0.

Nα εξετάσετε αν υπάρχει τμήμα του αυτοκινητόδρομου, στο οποίο η λήψη είναι:

“ καλή ” ή “ πολύ καλή ”.

( ΘΕΜΑ 4ο Προσομοίωσης )

49. Έστω ν θετικός ακέραιος.

Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε 2 2 3 5ί

Β. Δίνεται η εξίσωση 2 2

12 5 3

(1). Να αποδείξετε ότι:

α) Για ν = 1 η εξίσωση (1) παριστάνει ισοσκελή υπερβολή. Να βρείτε τις εστίες της και να



γράψετε την εκκεντρότητα και τις εξισώσεις των ασύμπτωτων της.

β) Για κάθε 2 η εξίσωση (1) παριστάνει έλλειψη που οι εστίες της βρίσκονται στον χ΄χ.


50. Να σχεδιάσετε τον κύκλο C , που έχει κέντρο το σημείο Κ (0,1) και ακτίνα ρ = 2. Δίδεται επίσης

σημείο Μ (α ,β) εσωτερικό του κύκλου C.

Α. Να αποδείξετε ότι:

(ι) Οι συντεταγμένες του σημείου Μ επαληθεύουν τη σχέση: 22 1 4

(ιι) Η ευθεία χ = 2 εφάπτεται στον κύκλο C

Β. Δίνεται η εξίσωση: 2 ( 2) 2 ( 1) 2 0 (1), ό

(ι) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία

(ιι) Θεωρούμε τα σημεία 0 0 0, 2 , τα οποία δεν ανήκουν σε ευθεία με εξίσωση της

μορφής της (1). Να βρείτε το γεωμετρικό τους τόπο.


51. Η πίστα ενός παγοδρομίου είναι εφοδιασμένη με ένα σύστημα αξόνων Οχψ. Δύο παγοδρόμοι Μ και

Ν κινούνται πάνω στην πίστα. Η πορεία του παγοδρόμου Μ είναι η ευθεία ε: χ – ψ + 4α = 0 ,

ενώ οι συντεταγμένες του παγοδρόμου Ν (χ ,ψ) ικανοποιούν τις σχέσεις:

2 2 0 .t t t

Α. ι) Να αποδείξετε ότι ο παγοδρόμος Ν κινείται σε παραβολή, της οποίας να προσδιορίσετε την

παράμετρο, την εστία και τη διευθετούσα.

ιι) Να εκφράσετε τις συντεταγμένες κάθε σημείου της παραβολής με τη βοήθεια του ψ.

Β. Να αποδείξετε ότι οι δύο παγοδρόμοι δε θα συγκρουστούν.

Γ. Να βρείτε το σημείο της διαδρομής του Ν, το οποίο απέχει τη μικρότερη απόσταση από τη

διαδρομή του Μ.

Δ. Να υπολογίσετε την απόσταση αυτή.

52. Ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ παριστάνει ένα δρόμο που συνδέει τις δύο πλευρές μιας χαράδρας. Ο

δρόμος ΑΒ στηρίζεται σε μια γέφυρα ΓΟΔ που έχει το σχήμα παραβολής ( Ο το μέσο του ΑΒ, το

οποίο αποτελεί το κέντρο των αξόνων, τα σημεία Γ, Δ συμμετρικά του άξονα της γέφυρας ψ΄ψ ). Η

εστία της παραβολής είναι 20m και απέχει από κάθε πλευρά της χαράδρας 10m.

α) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που παριστάνει τη γέφυρα

β) Να βρείτε πόσο απέχουν τα σημεία στήριξης Γ και Δ της γέφυρας από τον δρόμο ΑΒ

γ) Στο σημείο Α, αρχή του δρόμου υπάρχει ένα αυτοκίνητο. Να βρείτε πόσο απέχει από την εστία

της γέφυρας.

δ) Αν μετά τη γέφυρα υπάρχει ένα τούνελ σχήματος ημιέλλειψης, του οποίου το ύψος είναι ίσο με

την απόσταση της διευθετούσας της παραβολής ΓΟΔ από το δρόμο ΑΒ και το πλάτος του είναι

το μισό του ύψους του, να βρείτε την εξίσωση της ημιέλλειψης που παριστάνει το τούνελ.

53. Για την υπερβολή με εξίσωση 2 2

2 21

ισχύει ότι γ = 2α .

α) Να γράψετε τις εξισώσεις των ασύμπτωτων της υπερβολής

β) Να αποδείξετε ότι η οξεία γωνία αυτών είναι ίση με 60ο .

54. Δίνονται η ευθεία ε: 5χ + 3ψ +2 = 0 και ο κύκλος 2 2: 2 0c που τέμνονται στα Μ, Ν.

α) Να δείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό λ, η εξίσωση 2 2 2 5 3 2 0



παριστάνει κύκλο, ο οποίος διέρχεται από τα σημεία Μ και Ν.

β) Να δείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων, που βρήκατε, ανήκουν σε ευθεία της οποίας να βρείτε την

εξίσωση.

55. Από το σημείο Μ (-3,-8) φέρουμε τις εφαπτόμενες στον κύκλο 2 2 8 2 8 0 .

Έστω Α, Β τα σημεία επαφής.

α) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων

β) Να υπολογίσετε τα μήκη των ΜΑ, ΜΒ

γ) Αν Κ το κέντρο του κύκλου, να δείξετε ότι η ΜΚ είναι μεσοκάθετη της ΑΒ.

56. Δίδονται δύο κύκλοι που διέρχονται από το σημείο Α (14,2), έχουν τα κέντρα τους στην ευθεία με

εξίσωση ψ = 1/2 χ και εφάπτονται στον άξονα χ΄χ. Να βρείτε:

α) Τις εξισώσεις των δύο κύκλων

β) Την εξίσωση της άλλης κοινής εφαπτομένης.

57. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος:

α) Διέρχεται από τα σημεία Ο (0,0) , Α (8,0) και εφάπτεται της ευθείας ε: ψ = -2

β) Εφάπτεται των αξόνων Οχ, Οψ και της ευθείας ε: 3χ + 4ψ – 12 = 0

58. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου, των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από

δύο σταθερά σημεία, είναι σταθερός και διάφορος του 1. ( Απολλώνιος Κύκλος )

59. Να βρείτε εξίσωση κύκλου με κέντρο Κ (2,-1), ο οποίος αποκόπτει από την ευθεία με εξίσωση

ε: 3χ – 4ψ + 10 = 0 χορδή μήκους 6.

60. Από το σημείο Μ (2,3) φέρουμε τις εφαπτόμενες ΜΑ και ΜΒ του κύκλου 2 2 4 . Να βρείτε

την εξίσωση της χορδής ΑΒ.

61. Να βρείτε εξίσωση κύκλου ο οποίος εφάπτεται στις ευθείες ε: χ – 2ψ + 4 = 0 , ζ: 2χ – ψ – 8 = 0 και

διέρχεται από το σημείο Α (4, -1).

62. Δίνονται αντίστοιχα οι εξισώσεις c, ε: 2 2 0, 0 3 .

α) Να δείξετε ότι η c είναι κύκλος

β) Να βρείτε τον λ, ώστε η ε να τέμνει τον κύκλο

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει λ, ώστε η χορδή που ορίζεται από την τομή της ε και του c, να φαίνεται

από την αρχή των αξόνων υπό ορθή γωνία.

63. Τι παριστάνει γραφικά η εξίσωση:

2 2

9 , , 0

64. Α). Δίνεται παραβολή με εξίσωση 2: 12c και το σημείο Μ (3,2)

α) Να βρεθεί η θέση του Μ ως προς την παραβολή

β) Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής που έχει μέσο το Μ.

Β). Δίνεται η υπερβολή με εξίσωση 2 2 45 5

: 1 ,9 4 8 4

c ί

. Να βρείτε την

εξίσωση της χορδής ΜΝ της υπερβολής, η οποία δεν είναι παράλληλη στον ψ΄ψ, που έχει μέσο

το σημείο Ρ.



65. Α) Έστω 2 2

2 2ˆ: 1.c

90

ο να υπολογίσετε το πηλίκο γ/α.

Β) Έστω 2 2

2 2: 1c

. Να βρείτε το πηλίκο γ/α, αν γνωρίζετε ότι η ασύμπτωτη

σχηματίζει γωνία 120ο με τον άξονα χ΄χ .

66. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής, η οποία έχει ασύμπτωτες τις διχοτόμους των γωνιών των

αξόνων και διέρχεται από το σημείο Μ (3,1).

67. Α) Να βρεθούν τα σημεία της υπερβολής 2 2 1x , που έχουν ελάχιστη απόσταση από το Α(0,1).

Β) Να βρεθούν τα σημεία της υπερβολής 2 2 10 , που έχουν ελάχιστη απόσταση από το Α(0,4)

68. Δίνονται οι κωνικές τομές 2 2 2 2

1 2: 4 4 : 2 2c c . Να αποδείξετε ότι έχουν τις

ίδιες εστίες και ότι τέμνονται κάθετα.

69. Η εφαπτόμενη της υπερβολής 2 2

2 21

σε τυχαίο σημείο της Μ, τέμνει τον άξονα χ΄χ στο

σημείο Ν. Αν Σ είναι η προβολή του Μ στον χ΄χ , να δείξετε ότι : 2

70. Να βρείτε την οξεία γωνία των ασύμπτωτων της υπερβολής 2 2 23 3

71. Α). Να βρείτε εξίσωση παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον

χ΄χ, όταν:

α) έχει εστία : ι) Ε (2,0) και ιι) Ε (-2,0)

β) έχει διευθετούσα : ι) χ = 1 και ιι) χ = -3

γ) διέρχεται από το σημείο Α (1,6)

Β). Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής με κορυφή την αρχή των αξόνων, η οποία διέρχεται από

τα σημεία Α (-2,6) και Β (2,6).

72. Δίνεται η παραβολή 2: 2c και η ευθεία (ε) που διέρχεται από την εστία Ε και δεν είναι

παράλληλη στον άξονα ψ΄ψ. Αν η (ε) τέμνει την (c) στα σημεία 1 1 1 2 2 2( , ) ( , ) , να

υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

1 2 1 2 1 2 1 2) ) ) )v

73. Δίνεται η παραβολή 2 2 και έστω τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΑΒ που είναι εγγεγραμμένα στην

παραβολή ( Ο η αρχή των αξόνων, ̂ 90ο ).Να δείξετε ότι οι υποτείνουσες ΑΒ των τριγώνων

διέρχονται από σταθερό σημείο, που βρίσκεται πάνω στον άξονα της παραβολής.

74. Να εγγράψετε τετράγωνο στην έλλειψη με εξίσωση 2 2

125 9

.

75. Να βρείτε σημείο Μ της έλλειψης 2 2

ˆ1 ,16 4

ώ

90ο .



76. Δίνεται η έλλειψη 2 2

2 2: 1c

. Τυχαία ευθεία (ε) διέρχεται από την εστία Ε΄ και τέμνει τη (c)

στα σημεία Μ και Ν. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΜΝΕ έχει σταθερή περίμετρο.

77. Α) Δύο παράλληλες ευθείες τέμνουν μια έλλειψη. Να δείξετε ότι τα μέσα των χορδών που ορίζονται

και το κέντρο της έλλειψης είναι συνευθειακά σημεία.

Β) Ευθεία (ε) τέμνει την υπερβολή 2 2

2 2: 1c

στα σημεία Μ, Ν και τις ασύμπτωτές της στα

σημεία Ρ, Σ. Να δείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΜΝ και ΡΣ έχουν το ίδιο μέσο.

78. Α). Να βρείτε εξίσωση υπερβολής με εστίες στον άξονα ψ΄ψ και κέντρο την αρχή των αξόνων, η

οποία διέρχεται από το σημείο 2 10

1,3

και έχει ασύμπτωτες τις ευθείες 2

3

Β). Ομοίως, όταν έχει ασύμπτωτες τις διχοτόμους των γωνιών των αξόνων και διέρχεται από το

σημείο Μ (3,1).

79. Δίνεται η παραβολή 2 12 . Να βρείτε τα α, β ώστε η έλλειψη

2 2

2 21

να έχει μια εστία

που να συμπίπτει με την εστία της παραβολής και να διέρχεται από το σημείο Μ (0,4).

80. Η ευθεία (ε): ψ = m x +c, τέμνει την υπερβολή c: 2

2

4

σε δύο σημεία Α και Β.

α) Να δείξετε ότι οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ είναι ανεξάρτητες του λ.

β) Αν Μ (6,2), να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε).

81. Δίνονται οι υπερβολές 2 2 2 2

1 22 2 2 2: 1 : 1c c

(συζυγείς ). Να δείξετε ότι για τις

εκκεντρότητες τους ικανοποιείται η σχέση: 2 2 2 2

1 2 1 2

82. Έστω έλλειψη 2 2: 5 9c και η ευθεία (ε) 2 χ +5ψ = 20. Να βρείτε το σημείο της (c), που

απέχει τη μικρότερη απόσταση από την ευθεία (ε).

83. Δίνονται τα μεταβλητά σημεία Α και Β, που κινούνται πάνω στους άξονες Οχ, Οψ αντίστοιχα, ώστε

ΟΑ + ΟΒ = 2. Να δείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΟΑΒ διέρχεται από δύο

σταθερά σημεία, τα οποία και να βρείτε.

84. Έστω ο κύκλος με εξίσωση 2 2 6. Να βρεθεί σημείο Ρ του κύκλου, στο 1

ο τεταρτημόριο,

ώστε η εφαπτόμενη του κύκλου στο Ρ να τέμνει τους ημιάξονες Οχ, Οψ στα σημεία Α και Β

αντίστοιχα, ώστε: 2 .

85. Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση 2 2: 10c και η ευθεία ε: ψ = 2 χ. Αν Ρ είναι τυχαίο σημείο του

κύκλου και 1 2 3, , οι προβολές του Ρ στις ευθείες χ΄χ, ψ΄ψ, ε αντίστοιχα, να δείξετε ότι το

εμβαδόν του τριγώνου 1 2 3 είναι σταθερό.



86. Έστω ο κύκλος με εξίσωση 2 2 25 και το σημείο του Α (3,4). Αν Μ μεταβλητό σημείο

του κύκλου και το σημείο Ρ της ΑΜ ώστε 16 , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του

σημείου Ρ. ( Υπόδειξη: 1 1, αντιδιαμετρικό σημείο του Α )

87. Να βρείτε τη συνθήκη που πρέπει να ικανοποιούν οι πραγματικοί Α, Β, Γ, ώστε ο κύκλος

2 2: 0c

α) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων

β) να έχει το κέντρο του: ι) στον ψ΄ψ , ιι) στην ευθεία ψ = χ

γ) να εφάπτεται ταυτόχρονα στους δύο άξονες

δ) να έχει ακτίνα ίση με 1

ε) Αν 2 4 0 , να δείξετε οτι ο (c) τέμνει τον χ΄χ σε δύο σημεία Κ, Λ, και στη συνέχεια να

υπολογίσετε το .

88. Δίνονται τα σημεία 2, 2 ,2 , .

α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων

β) Αν 2 22 ,2 , 2 ,2 , , είναι δύο σημεία της προηγούμενης καμπύλης, να

δείξετε ότι αν η ευθεία ΑΒ διέρχεται από την εστία της, τότε: 4 1

γ) Αν ΟΒ, ΟΓ είναι δύο χορδές της καμπύλης του α) ερωτήματος, ώστε η γωνία ˆ = 90ο ,να

δείξετε ότι η ΒΓ διέρχεται από σταθερό σημείο.

89. Α. Η εφαπτομένη σε τυχαίο σημείο Μ της παραβολής 2 2 τέμνει τον χ΄χ στο σημείο Τ. Αν

Η είναι η προβολή του Μ πάνω στον χ΄χ, να δείξετε ότι ΟΤ = ΟΗ.

Β. Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες από οποιοδήποτε σημείο της διευθετούσας της παραβολής

2 2 , είναι κάθετες μεταξύ τους.

90. Α. Να βρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων, που εφάπτονται στον κύκλο με εξίσωση 2 2 25 στο

σημείο Α (3,4) και έχουν ακτίνα 10.

Β. Σημείο Μ κινείται έτσι ώστε, το μήκος της εφαπτομένης από το σημείο αυτό προς τον κύκλο

2 2 9 να ισούται με την απόσταση του από το σημείο Α (6,6). Να βρείτε το γεωμετρικό

τόπο των σημείων Μ.

91. Δίνεται ο κύκλος 2 2: 8c και το σημείο Ρ ( ημθ, 4 – συνθ ), όπου θ πραγματικός αριθμός.

α) Να δείξετε ότι το Ρ είναι εξωτερικό σημείο του (C) για κάθε θ.

β) Αν ΡΑ, ΡΒ είναι οι εφαπτόμενες από το Ρ προς τον κύκλο, να βρεθεί η ευθεία ΑΒ

γ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος όλων των σημείων Ρ.

92. Δίνεται κύκλος με κέντρο Κ (3,2) , ακτίνα ρ = 2 και το σημείο του Α (5,5).

α) Να δείξετε ότι ο κύκλος εφάπτεται του άξονα χ΄χ

β) Να δείξετε ότι το σημείο Α είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου και να βρείτε τις εφαπτόμενες

του κύκλου, που άγονται από το Α.

γ) Αν ΑΒΓ είναι το τρίγωνο που σχηματίζεται από τις παραπάνω εφαπτόμενες και τον άξονα χ΄χ,

να βρείτε τα σημεία στα οποία οι διχοτόμοι των οξειών γωνιών του ΑΒΓ τέμνουν τις απέναντι

πλευρές του.

δ) Να βρείτε την αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι δύο παραπάνω διχοτόμοι.



93. Δίνεται η εξίσωση 2 2 6 4 0 , .

α) Να υπολογίσετε το κ, ώστε η παραπάνω εξίσωση να παριστάνει κύκλο C

β) Να υπολογίσετε το κ, ώστε ο C να έχει ακτίνα ρ = 1

γ) Αν Μ (4,2), να δείξετε ότι το Μ είναι εξωτερικό σημείο του C, για την τιμή του κ που

προσδιορίσατε στο (β) ερώτημα

δ) Να δείξετε ότι από το Μ άγονται δύο εφαπτόμενες του C

ε) Να υπολογίσετε το συνημίτονο της οξείας γωνίας των δύο αυτών εφαπτόμενων.

94. α) Να δείξετε ότι το σημείο 22 ,4 ,t t t κινείται σε παραβολή C, της οποίας να

προσδιορίσετε την εξίσωση, την εστία και τη διευθετούσα.

β) Να βρείτε την εξίσωση της χορδής ΑΒ της παραβολής C, που έχει ως μέσο το σημείο Ν (2,-1).

γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C, που είναι παράλληλη στη χορδή ΑΒ.

95. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του λόγου

όλων των σημείων του επιπέδου, που ικανοποιούν την

εξίσωση: 2 2

3 3 6 .

96. Δίνεται σταθερό σημείο Α και ευθεία (ε), ώστε το σημείο να μην ανήκει σε αυτήν. Είναι ΣΩΣΤΟ ή

ΛΑΘΟΣ ότι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων που περνούν από το Α και εφάπτονται

στην (ε) είναι παραβολή;

97. Δίνεται η υπερβολή 2 2

: 116 9

και ένα τυχαίο σημείο της 1 1, διαφορετικό από τις

κορυφές της. Έστω ευθεία (ε΄) κάθετη στην εφαπτομένη της υπερβολής (υ) στο Μ και Γ, Δ τα

σημεία τομής της (ε΄) με τους άξονες χ΄χ, ψ΄ψ αντίστοιχα.

α) Να βρείτε την εξίσωση της (ε΄), αν θεωρήσουμε ως γνωστό το σημείο Μ.

β) Να βρείτε τα σημεία Γ, Δ.

γ) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του μέσου Ν της ΓΔ, είναι μία υπερβολή (υ΄).

δ) Να δείξετε ότι οι υπερβολές (υ) και (υ΄) έχουν ίδια εκκεντρότητα.

98. Α) Δίνεται ευθεία (ε): χ – ψ + λ = 0 και σημείο 2 ,0 . Να δείξετε ότι το συμμετρικό του Μ ως

προς την (ε) κινείται σε παραβολή.

Β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων 3 3

4 , , 0 2 , ,2 2

99. Α) Η εφαπτομένη της 2

1 : 4 σε σημείο της Ρ, εκτός της κορυφής της, τέμνει την

2

2 :8

στα σημεία Α, Β. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του μέσου Μ της ΑΒ, είναι

παραβολή.

Β) Δίνεται κύκλος με εξίσωση 2 2: 3 100C

Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων, που εφάπτονται εσωτερικά στον

(C) και διέρχονται από το σημείο Λ (3,0), είναι έλλειψη.

Γ) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, των οποίων η απόσταση από την ευθεία με



εξίσωση 2 χ – 8 = 0, είναι διπλάσια από την (ΜΕ), όπου Ε (1,0).

100. (*) Δίνεται η έλλειψη με εξίσωση 2 24 4

α) Αν η ευθεία ψ = m x + c εφάπτεται της έλλειψης, να δείξετε ότι: 2 24m c

β) Αν οι εφαπτόμενες της έλλειψης που άγονται από το σημείο 1 1, έχουν εξίσωση ψ = m x +c

να δείξετε ότι ισχύει: 2 2 2

1 1 1 11 2 4 0m m

γ) Αν οι εφαπτόμενες της έλλειψης που άγονται από το σημείο Ρ είναι κάθετες μεταξύ τους, να

δείξετε ότι το σημείο Ρ ανήκει στον κύκλο με εξίσωση 2 2 5.

101. Δίνεται η παραβολή 2 4 .

α) Αν 1 1 1 2 2 2, , , είναι δύο σημεία της, τέτοια ώστε 1 2 4 3 , να δείξετε ότι:

ι) η ευθεία 1 2 σχηματίζει σταθερή γωνία με τον άξονα χ΄χ

ιι) το μέσο Μ του τμήματος 1 2 κινείται παράλληλα προς τον άξονα Οχ

β) Να δείξετε ότι μια ευθεία είναι εφαπτόμενη της παραβολής, αν έχει εξίσωση της μορφής

(ε) : 1

mxm

γ) Ποια μορφή πρέπει να έχουν οι εξισώσεις δύο εφαπτόμενων της παραβολής που είναι κάθετες

μεταξύ τους;

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B...

Documents

Transcript of ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B...