ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. 19+ ΜΕΛΟΣ Ο.Ε.Φ.Ε

thanasiskopadis.blogspot.com

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Β΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

1ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ (3h)

ΘΕΜΑ A

Α1. Αν αr

= (χ1 , ψ1) και βr

= (χ2 , ψ2) δυο διανύσµατα του

καρτεσιανού επιπέδου , να γράψετε τις συντεταγµένες των

παρακάτω διανυσµάτων: αr

+ βr

και λ αr

+ µ βr

,µε λ,µ

πραγµατικούς αριθµούς. 3 µονάδες

A2. Αν Α(χ1 , ψ1) και Β(χ2 , ψ2) δυο σηµεία του καρτεσιανού

επιπέδου και (χ , ψ) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ , να

αποδείξετε ότι: χ = 2

χχ 21 +

και ψ = 2

ψψ 21 +

7 µονάδες

A3. Αν Α(χ1 , ψ1) και Β(χ2 , ψ2) δυο σηµεία του καρτεσιανού

επιπέδου , να γράψετε τις σχέσεις που δίνουν τις συντεταγµένες

του διανύσµατος →

AB και την απόσταση (ΑΒ) των σηµείων Α και Β.

3 µονάδες

Α4. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων αr

, βr

;

4 µονάδες

Α5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την

ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ).

α. Αν αr↑↓ β

r

, τότε αr

· βr

= - αr· β

r

Σ Λ

β. Αν αr

= -3 βr

, τότε αr= -3 β

r

Σ Λ

γ. Αν λ αr

= λ βr

, τότε αr

= βr

Σ Λ

δ. Αν αr

= (ηµθ , συνθ) , τότε αr= 1 Σ Λ

8 µονάδες

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. 19+ ΜΕΛΟΣ Ο.Ε.Φ.Ε

thanasiskopadis.blogspot.com

ΘΕΜΑ Β

∆ίνονται τα διανύσµατα αr

= ( 1 , 2 ) και βr

= ( 2 , 3 ).

Β1. Να αποδείξετε ότι τα αr

και βr

δεν είναι συγγραµµικά

6 µονάδες

Β2. Να υπολογίσετε το µέτρο του διανύσµατος γr

= 5 αr

-3 βr

7 µονάδες

Β3. Να βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει το γr

µε τον άξονα χ΄χ

5 µονάδες

Β4. Να βρείτε τις συντεταγµένες του διανύσµατος προβαrβr

7 µονάδες

ΘΕΜΑ Γ

Αν αr

, βr

δυο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου για τα

οποία ισχύει ότι:

2 αr

+ 3 βr

= (4 , -2) και

αr

- 3 βr

= (-7, 8)

Γ1. Να δείξετε ότι αr

= (-1 , 2) και βr

= (2 , -2)

8 µονάδες

Γ2. Να βρεθεί ο πραγµατικός αριθµός κ ώστε τα διανύσµατα

κ αr

+ βr

και 2 αr

+ 3 βr

να είναι κάθετα. 9 µονάδες

Γ3. Να γραφεί το διάνυσµα γr

= (3 , -1) ως γραµµικός

συνδυασµός των αr

και βr

.

8 µονάδες

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. 19+ ΜΕΛΟΣ Ο.Ε.Φ.Ε

thanasiskopadis.blogspot.com

ΘΕΜΑ ∆

Έστω αr

, βr

δυο διανύσµατα για τα οποία ισχύει αr=2 ,

βr

=3 και ( αr

, βr

) = 3

2π. Έστω επίσης τρίγωνο ΑΒΓ µε

→

AB = 2 αr

- βr

και →

AΜ = 3 αr

+ βr

, όπου ΑΜ η διάµεσος του.

∆1. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόµενο αr

· βr

5 µονάδες

∆2. Να εκφράσετε το διάνυσµα →

AΓ ως γραµµικό συνδυασµό των

αr

, βr

. 5 µονάδες

∆3. Να βρείτε το µήκος της διαµέσου ΑΜ 8 µονάδες

∆4. Να δείξετε ότι η γωνία των →

AΜ και αr

είναι 6π

7 µονάδες

(ΘΕΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε. 2006)

Καλή Επιτυχία

Θανάσης Σ. Κοπάδης

Μαθηµατικός

Μέλος Ε.Μ.Ε