Übungen zur Physik III im WS 2008

www.kbraeuer.de Tübingen, den 10.11.2008

5. Aufgabenblatt

Aufgabe 15) 1-D Wellengleichung für Gitarrensaite (7 Pkte)

Eine Gitarrensaite schwingt frei zwischen Steg und Wirbel. Die Stärke der rücktreibenden Kraft aufgrund der Saitenspannung wird durch das Elastizitätmodul η angegeben. Die Auslenkung an jeder Stelle und zu jeder Zeit wird durch das so genannte Verschiebungsfeld u(x,t) beschrieben. Die Gleichungen lauten

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

Massen- Elastizitäts- 2. Ableitungdichte modul nach

Verschiebung Auslenkung : ,Wellengleichung: , ,

Randbedingungen: 0, , 0

: Abstand zwischen Wirbel und Steg

x

u x tu x t u x t

u t u L t

L

ρ η ′′=

= =

(5-1)

Wegen den Randbedingungen eignet sich zur Lösung dieser partiellen Differentialgleichung ein

( ) ( ) ( )Separationsansatz: ,u x t v x w t= ⋅ (5-2)

a) Trennen Sie die Variablen, indem Sie die Wellengleichung in (5-1) durch v(x)w(t) teilen. Über-legen Sie sich, dass nun die Ausdrücke links und rechts des Gleichheitszeichens konstant sein müssen. Geben Sie zunächst ohne Berücksichtigung der Randbedingungen die allgemeinen Lö-sungen der zwei so entstandenen gewöhnlichen Differentialgleichungen an.

b) Berücksichtigen Sie, dass die Saite weder am Wirbel noch am Steg sich 'verschieben' oder aus-schlagen kann. Wie hängen die möglichen Wellenlängen kn und die Winkelgeschwindigkeiten ωn mit dem Elastizitätsmodul η und der Massendichte ρ zusammen?

c) Geben Sie die allgemeinste Lösung für die Wellengleichung mit den Randbedingungen in (5-1) an.

d) Wie ist eine Saite mit

Massendicht: 2 /Länge: 75

g mL cmρ ==

(5-3)

für den Kammerton a'=440 Hz zu spannen? Durch abgreifen verkürzt man die Schwinglänge der so gespannten Saite auf L'. Wie groß muss L' sein, damit der Ton um eine Oktave höher (a'') erklingt?

Abgabe: Mo 17.11.08, 12.30 Uhr, D-Bau, Briefkasten neben Eingang

Aufgabe 16) Phasengeschwindigkeit (3Pkte)

Ein spezielle Lösung von (5-1) in Aufgabe 15 ist

( ) ( ) ( ), sin sin , mit , und n n n n n nnu x t k x t k k nLπ ηω ω

ρ⋅

= ⋅ = = ∈ (5-4)

a) Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich die Knoten der Amplitude in x-Richtung?

b) Um den Zusammenhang mit der Wellenphase herzustellen, kann man etwa mit ( ) ( )1

2sin ia iaia e e−= − zu einer Überlagerung ( ) ( )( ), ,n m mu x t x tψ ϕ=∑ mehrerer Wellen mit

definierten Phasenfunktionen ( ),m x tϕ kommen. Wie groß sind deren Phasengeschwindigkeiten?

Aufgabe 17) Lagrange-Gleichung der 2. Art und das Teilchen auf dem Kreiskegel Wir betrachten nochmals das Punktteilchen auf der Innenseite eines Kreiskegels. Koordinaten und Kräfte sind wie in Aufgabe 6.

Schritt 1: Geben Sie kinetische und potentielle Energie T und V in Zylinderkoordinaten an

Schritt 2: Bestimmen Sie die Transformation ( ),r r r φ= zu den generalisierten Koordinaten für die Zwangsbe-dingung ( ), , cotg r z r zφ α= −

Schritt 3: Geben Sie die Lagrange-Funktion L=T-V des Prob-lems in den generalisierten Koordinaten an

(5 Pkte)

Schritt 4: Bestimmen Sie die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen der 2. Art

Aufgabe 18) Geschwindigkeitsabhängige Potentiale und virtuelle Arbeit (5 Pkte)

a) Für die Transformation ( )1,..., ,fr r q q t= nach generalisierten Koordinaten qi wurde in der

Vorlesung gezeigt:

1. Schritt: ... mit Kettenregel

undi i i i

r

r r r d rq q q dt q

=

∂ ∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂ (5-5)

Rechnen Sie das nach.

b) N Teilchen im dreidimensionalen Raum sollen s Nebenbedingungen unterliegen. Es gelten die

( )1 33 Transformationsgleichungen ,..., ,i i N sN r r q q t−= (5-6)

( ) ( ) ( )( )ˆDas Potential , , , , , , ,V q q t V r q t r q q t t≡ (5-7)

hängt von den Teilchenkoordinaten, den Geschwindigkeiten und der Zeit ab.

( ) ( )3

1 1

ˆ ˆ, , , ,Beweisen Sie:

i

N s N

j ij ij j i i

F

V q q t V q q td dq V V rq dt q r dt r

δ δ−

= =

≡

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ (5-8)

Nennen Sie ein Beispiel für ein solches, von der Teilchengeschwindigkeit abhängiges Potential.