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10. Vorlesung EPI. Mechanik

7. Schwingungen(freie, gedämpfte und erzwungene Schwingung,Resonanz, Schwebung)

Versuche:Pendel mit zwei LängenSandpendel ohne/mit Dämpfungerzwungene Schwingung mit ω < ω0, ω = ω0, ω > ω0 („Texastower“)„Tacoma Bridge“ Filmzwei gekoppelte Pendel


SchwingungenSchwingung: räumlich und zeitlich wiederkehrender (=periodischer) VorgangZu besprechen:•ungedämpfte freie Schwingung•gedämpfte freie Schwingung•erzwungene gedämpfte Schwingung

FR = −Dx

M a = −Dx

Ungedämpfte freie SchwingungenBeispiel Federpendel(a) in Ruhe(b) gespannt: Auslenkung xRückstellkraft der Feder

(c) losgelassen

Bewegung erfolgt nach den bekannten Gesetzen:

(2. Newtonsches Axiom)

7. 7. 7. 7. SchwingungenSchwingungenSchwingungenSchwingungen

a)

b)

c)


Hier werden wir mal differenzieren:

a =dv

dt v =dx

dtergibt a =

d2x

dt 2

(mit unseren Differenzen ∆ könnten wir auch schreiben:

a =∆v

∆tv =

∆x

∆tergibt a =

∆∆x

∆t

∆t

Mit diesen Ableitungen erhalten wir aus dem 2. Newtonschen Axiomeine neue Gleichung:

Md2x

dt 2 + Dx = 0(*)

ist eine Differentialgleichung. Die Lösung muß eine Funktion x(t) sein,deren 2. Ableitung proportional zur Funktion selber ist.

;

;


Lösungsansatz: (**)

x t( )= A0 cos ω0 t + ϕ0( )

„harmonische Schwingung“x(t) ≡ momentane AuslenkungA0 = maximale Auslenkung = maximale Amplitude

φ(t): = ω0t + φ0=Phase der Schwingung, wobei Anfangsphase φ0beliebig.

0dt

d ω=ϕ= Kreisfrequenz

T

1

2f 0

0 =π

ω=→ ist Frequenz der Schwingung.

T ist die Periode der Schwingung

(Sinusfunktion wäre auch möglich.)


Setzen wir (**) in (*) ein und verwenden, dassd(sin(ω 0t)

dt= ω0 cos(ω0t)

undd(cos(ω 0t)

dt= −ω0 sin(ω0t)

ist, so erhalten wir:

-Mω02 cos(ω0t + ϕ0) + D cos(ω0t + ϕ0) = 0. Daraus folgt:

ω0 =D

M

Maximalamplitude A0 ist beliebig und hängt nur von der Anfangsbedingungab. Graphische Darstellung der Lösung:

Wenn die Kraft auf einen Körper proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage ist, vollführt er eine harmonische Schwingung.

x(t) =A0 cos(ωt + φ0)= A0 cos(φ(t))


Anderes Beispiel: SchwerependelIdealfall „mathematisches Pendel“: Punktmasse m, Faden masselos

(sonst: „physikalisches Pendel“)

Die Schwerkraft FG= mg wird zerlegt in F´ (wird durch Fadenspannung FFaden kompensiert) und Ftangential = =sin α·mg ≈ α · mg (kleine Auslenkung).Diese bewirkt eine Beschleunigung d2x/dt2 = ℓ·d2α/dt2:

m·ℓ·d2α/dt2 = α·m·g (Newton II), d2α/dt = (g/ℓ)·αLösung: α = α0 ·cos ωt

Einsetzen in obige Differenzialgleichung ergibt:

ω=

Die Schwingungsdauer T = 2π/ω =2π hängt also

nicht von der Masse ab, nur von der Fadenlänge.

l

g

g

l

F´ = -FFaden

Bogenstrecke dx = ℓ·α,

2

2

2

2

dt

d

dt

xd α⋅= l


Gedämpfte SchwingungZusätzlich zur Rückstellkraft (-D·x) wirkt eine Reibungskraft (-γ·v=- γ·dx/dt)z.B. Stokesche Reibung bei Schwingung in Flüssigkeit oder Gas.Kräftegleichung (Differentialgleichung)

0Dxdt

dx

dt

xdM

2

2

=+

γ+

Ansatz: x(t) = A0e-δt cos(ω t + φ0)

Diese Funktion erfüllt die Gleichung und ergibt δ=γ/(2M) und ω = 220

2

M

D δ−ω=δ−

Im Vergleich mit der ungedämpften Schwingung (s.o., )ist die Schwingung langsamer und nimmt exponentiell ab.

M/D0 =ω=ω

Versuch Sandpendelmit Styroporplatte

„Einhüllende“ e-δt mit „Dämpfungs-faktor“ δ


Starke DämpfungObige Lösung gilt für schwache Dämpfung (ω0 > δ). Bei stärkererDämpfung schwingt das System nicht mehr, sondern „kriecht“zum Nullpunkt.

Anwendungen desaperiodischenGrenzfalls:Stoßdämpfer,Anzeigegeräte

0m

D 2 >δ−

0m

DKriechfall 2 <δ−

0m

D 2 =δ−

(gedämpfte Schwingung)


Erzwungene (gedämpfte) Schwingung

Treibende periodische Kraft mit Kreisfrequenz ωωωωx1(t)

x(t)

x1(t) x(t)

Bewegungsgleichung:

)tcos(FDxdt

dx

dt

xdM 12

2

ω⋅=+

γ+


Lösung x(t) = A2·cos(ωt – φ2) für t >> Einschwingzeit

Nach Einschwingvorgang verblüffend einfach:• Schwingung mit anregender Frequenz ω ω ω ω • Amplitude und Phase abhängig von relativer Anregungsfrequenz

(und Dämpfung)

Maximale Auslenkung Phasenverschiebung φ2 gegenüber der Auslenkung der Anregung

kleine Dämpfung

große Dämpfung

220

2

2tan

ω−ωγω=ϕ


Das Phänomen ResonanzBei erzwungenen Schwingungen reichen kleine Kräfte aus, um mit der Zeit sehr große Amplituden zu erzeugen.Voraussetzung: Antriebsfrequenz ganz nahe an Resonanzfrequenz ω0 und schwache Dämpfung.→ Auto mit kaputten Stoßdämpfern

(siehe Diagramm auf voriger Seite)

(d.h. Schwingung läuft der Kraft um 90° = π/2hinterher)


Anharmonische periodische VorgängeViele periodische Vorgänge kann man nicht durch eine einzelne Sinus- oder Kosinusfunktion beschreiben, obwohl die Bewegung einen definierte Periode (T = 1/f0 = 2π/ω0) besitzt.

Mathematisch kann man aber beweisen (Fourier-Theorem), dass ein periodi-scher Vorgang durch eine Summe (Überlagerung) von (i. A.) sehr vielen harmo-nischen Teilschwingungen (sin(ωnt), cos(ωnt) mit ωn=n · ω0) beschrieben werdenkann:

x t( )= a0 + a1 cos ω0 t( )+ a 2 cos 2 ⋅ω0t( )+ ... b1 sin ω0t( )+ b2 sin 2 ⋅ω 0t( )+ ...

Fourieranalyse: Zerlegung einer periodischen Funktion in diese Teilschwingungen


Überlagerung von Schwingungen ähnlicher Frequenz

5 Perioden

5.5 Perioden

führt zu Amplitudenmodulationen bzw. Schwebungen


Versuch: gekoppelte Pendel

Durch die schwache Federkopplung wirkt eine erzwingende Kraft F2auf das zunächst ruhende Pendel. Nach mehreren Schwingungen nimmt die Amplitude von x1(t) ab, während m2 mit wachsender Amplitudeschwingt, bis m1 still steht. Dann wiederholt sich der Vorgang in umgekehrterRichtung, d.h. die Schwingungsenergie wechselt periodisch von Pendel 1zu Pendel 2. Jedes Pendel vollführt somit eine Schwebung. Diese läßt sich als Überlagerungvon 2 Schwingungen mit leicht verschiedenen Frequenzen darstellen. → sogenannte „Eigenschwingungen“.


Gekoppelte Oszillatoren

Überlagerung beider Schwingungs-moden ergibt Schwebung:

Oszillation wechselt von einem Pendel zum anderen

z.B. 2 Schwerependel mit zwischengespannter Feder.Es gibt zwei Schwingungsmoden („Eigenschwingungen“):

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