5. παράγωγοι α' (2013)

Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2012-2013

-85-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Β’ ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ)

ΚΕΦ 2ο: Διαφορικός Λογισμός

Φυλλάδι555 1ο

§ 2.1 Η έννοια της παραγώγου

Σημαντικές παρατηρήσεις

1. Για να βρούμε τον παράγωγο αριθμό μιας συνάρτησης f σ’ ένα σημείο 0

x , προσέχουμε τα

εξής:

Το σημείο 0

x πρέπει να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Να υπάρχει διάστημα της μορφής 0 0α,x x ,β ή 0

α,x ή 0x ,β το οποίο να είναι υπο-

σύνολο του πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Η συνάρτηση να είναι συνεχής στο 0

x .

2. H έννοια της παραγώγου στο 0

x βρίσκει εφαρμογή στη φυσική αφού:

αν θεωρήσουμε x = S(t) τη συνάρτηση θέσης ενός κινητού τότε η στιγμιαία ταχύτητα τη

χρονική στιγμή 0

t δίνεται από τη σχέση 0 0

υ(t ) S (t ) , δηλαδή είναι η παράγωγος της συ-

νάρτησης θέσης.

Σχόλιο: Όταν ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο 0

t ισχύει 0

0

S t S t0

t t

,

οπότε είναι 0

υ(t ) 0 .

Ενώ, όταν το κινητό κινείται προς τα αριστερά κοντά στο 0

t ισχύει 0

0

S t S t0

t t

, οπότε

είναι 0

υ(t ) 0 .

Αντίστοιχα, προκύπτει ότι η επιτάχυνση α(t) ενός κινητού τη χρονική στιγμή 0

t δίνεται

από τη σχέση 0 0

α(t ) υ (t ) , δηλαδή είναι η παράγωγος της ταχύτητας.

Βασικές Προτάσεις (χωρίς απόδειξη)

1. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα 0

x , τότε είναι και συνεχής στο 0

x .

[Θεώρημα σελ. 217 σχολικού]

2. Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα 0

x τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη στο 0

x .

[Λόγω αντιθετοαντιστροφής του παραπάνω θεωρήματος]

Μέθοδοι

1. Αν ζητείται να εξετάσουμε αν μια συνάρτηση με κλάδους, απόλυτες τιμές κ.λ.π. είναι παρα-

γωγίσιμη στο σημείο που αλλάζει τύπο, τότε, βρίσκουμε τα πλευρικά όρια του λόγου μετα-

βολής και κάνουμε χρήση του ορισμού.

Φυλλάδιο 15ο


-86-

2. Αν ζητείται να εξετάσουμε αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ακραίο σημείο του

πεδίου ορισμού της, τότε, εργαζόμαστε με χρήση του ορισμού στο σημείο αυτό, δηλ, βρίσκου-

με το όριο του λόγου μεταβολής της στο σημείο αυτό.

3. Για να βρούμε παραμέτρους ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 0 f

x D

απαιτούμε

η f να είναι καταρχήν συνεχής στο 0

x και μετά

να υπάρχει το όριο του λόγου μεταβολής της στο 0

x το οποίο

να είναι πραγματικός αριθμός.

4. Αν ζητείται να δείξουμε ότι μια συνάρτηση, για την οποία δεν γνωρίζουμε τον τύπο της αλλά

μόνο κάποια ανισοτική σχέση που ικανοποιεί, είναι παραγωγίσιμη στο 0

x του πεδίου ορισμού

της, τότε:

βρίσκουμε την τιμή 0f x από τη δοσμένη σχέση θέτοντας όπου x το

0x .

Σχηματίζουμε το λόγο 0

0

f x f x

x x

μέσα στη δοσμένη ανισότητα.

Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των ορίων (π.χ. το κριτήριο παρεμβολής) και βρίσκουμε το

0

0

0x x0

f x f xlim f x

x x

.

5. Αν ζητείται να δείξουμε ότι μια συνάρτηση f, για την οποία δεν γνωρίζουμε τον τύπο της αλλά

μόνο κάποιες ιδιότητές της (π.χ. συναρτησιακές σχέσεις) και ότι είναι παραγωγίσιμη στο σημείο

α του πεδίου ορισμού της, είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της (δηλ. για κάθε 0

x ), τότε:

Βρίσκουμε το f α από τις δοσμένες σχέσεις

Έχουμε πλέον γνωστό ότι

x α

f x f αlim f α

x α

Παίρνουμε το λόγο 0

0

f x f x

x x

και βρίσκουμε το όριό του όταν

0x x χρησιμοποιώντας

το παραπάνω όριο. Αυτό γίνεται συνήθως κάνοντας αλλαγή μεταβλητής ώστε από

0x x να παίρνουμε h α . Ειδικά:

αν η συναρτησιακή σχέση είναι της μορφής f α β τότε κάνουμε την αλλαγή με-

ταβλητής 0

x x h , ενώ

αν η σχέση που δίνεται είναι της μορφής g α β τότε κάνουμε την αλλαγή μετα-

βλητής 0

xh, h 0

x .

6. Αν ζητείται να υπολογισθεί όριο που κρύβει όριο λόγου μεταβολής, εξετάζω αν το όριο που

δίνεται έχει τη μορφή

0

0

x x0

f x f xlim

x x

, όπου f κατάλληλη συνάρτηση οπότε κάνω χρήση του

ορισμού της παραγώγου και των κανόνων παραγώγισης.


-87-

Ασκήσεις [Όλες του σχολικού σελ.219-221]

1. Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμες οι συναρτήσεις

α) 2f(x) x x στα σημεία 0

x 1 και 0

x 2 .

β) ( ) 1 ν x1 2g x συ , x π,π , στο σημείο 0

x 0 .

2. Αν 2

α ημx , x 0f(x)

βx x 4 , x 0

, να βρείτε τα α, β ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο 0.

3. Αν

2

2

αx βx γ, x>1

f(x) x 1

x 2αx α , x 1

, να βρείτε τα α, β, γ ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο 0

x 1 .

4. Έστω με g(0) 1,g (0) 2 . Να βρείτε τα α, β ώστε η συνάρτηση 2g (x), x 0

f(x)αx β, x 0

,

να είναι παραγωγίσιμη στο 0

x 0 .

5. Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχή στο 1 και για κάθε x ισχύει η ισότητα:

3f x 3 x 2 x f x . Να βρείτε, αν υπάρχει, την παράγωγο της f στο σημείο x = 1 .

6. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο και συνεχής στο 0

x 1 και x 1

f(x) 2lim 3

x 1

, να

αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0

x 1 .

7. Αν f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο 0

x α , να βρείτε το x α

f(x) f(α)lim

x α

.

8. Aν η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 0

x α , να δείξετε ότι η συνάρτηση f x x) x( )α g(

είναι παραγωγίσιμη στο 0

x α αν και μόνον αν g(α) 0 .

9. Αν f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο 0

x 0 για τις οποίες ισχύει f(0) g(0) 0 και

( )x)f g(x για κάθε x , να δείξετε ότι f (0) g (0) .

10. Αν για κάθε x ισχύει f x 2) 1( )g(x με 0

g(x ) 1 και 0

g 0(x ) , να δείξετε ότι η f

είναι παραγωγίσιμη στο 0

x .

11. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο 0

x 1 και ισχύει f(1) g(1) και

2( ) ( )f x x g x x , x , να δείξετε ότι: f (1) g (1) 1 .

12. Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία έχει την ιδιότητα: 2 22x ημx f (x) 2x f(x) ημ x , για

κάθε x . Να δείξετε ότι f (0) 1 .

13. Aν για κάθε x ισχύει 2 2 6 3f (x) g (x) x 2x 1 και οι συναρτήσεις f, g είναι παρα-

γωγίσιμες στο σημείο 0

x 1 , να δείξετε ότι:

α) f( 1) g( 1) 0

β) 2 2

f ( 1) g ( 1) 9


-88-

14. Έστω συνάρτηση f : με f (1) 0 . Να δείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο

f(x 1) , x 2g(x)

f(3x 5) , x 2

είναι παραγωγίσιμη στο 2.

15. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0

x να δείξετε ότι:

α) 0 00h 0

f(x 2h) f(x )lim =2f (x )

h

β) 0 00h 0

f(x h) f(x 3h)lim = 4f (x )

h

γ) 0

0 00 0 0x x

0

x f(x) x f(x )lim f(x ) x f (x )

x x

δ) 0

0

0

xxx0

0 0 0x x0

e f(x) e f(x )lim e f(x ) x f (x )

x x

ε) 0 00 0h 1

ο

f(x h) f(x )1 f (x ) lim , x 0

x h 1

16. Έστω f συνάρτηση συνεχής στο 1, για την οποία ισχύει 2 3 3x f (x) 2f(x) x 1 , για κάθε

x . Nα δειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 1.

17. Θεωρούμε συνάρτηση f για την οποία ισχύει: 3f (x) f(x) x ημx , για κάθε x . Να

αποδείξετε ότι:

(i) f x x ημx , για κάθε x R .

(ii) Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0.

18. Θεωρούμε δύο συναρτήσεις f, g για τις οποίες ισχύει: 2 2 2 2f (x) g (x) x ημ x , για κάθε

x . Να αποδείξετε ότι:

α) f x x ημx και g x x ημx , x .

β) Οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο 0.

***********

19. Αν f : για την οποία ισχύουν ( ) ( )f x y f x f( )y 2xy για κάθε x,y και f(0) 0 .

Nα δείξετε ότι

α) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο .

β) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο α με f(α) 0 , τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο .

20. Αν f : , παραγωγίσιμη στο 0

x 0 για την οποία ισχύει

f(α β) f(α)συνβ f(β)συνα για κάθε α, β , να αποδείξετε ότι:

α) f(0) 0

β) f (x) f (0) συνx , για κάθε x .

21. Θεωρούμε συνάρτηση f : 0, 0, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:

f(x y) f(x) f(y) f(x) f(y) , για κάθε x,y . Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο

x 0 , να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο .


-89-

22. Δίνεται η συνάρτηση f τέτοια ώστε για κάθε x,y να ισχύει:

2 2f(x) y f(x y) f(x) y . Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 0

x .

23. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο , συνεχής στο 0

x 0 , η οποία ικανοποιεί τη σχέση

2 4xf(x) ημ x x για κάθε x . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

στο 0

x 0 .

24. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 1 με f (1) 2 , η οποία για κάθε x,y * ικανο-

ποιεί τη σχέση f(x y) f(x) f(y) (1) . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγω-

γίσιμη σε κάθε 0 0

0

2x *, με f (x )

x .

25. Έστω συνάρτηση f : παραγωγίσιμη στο 0

x 0 . Να αποδείξετε ότι

x 0

f(αx) f(βx)lim (α β) f (0)

x

, όπου α, β με α β .

26. Έστω μία συνάρτηση f η οποία για κάθε x,y ικανοποιεί τη σχέση

2

f(x) f(y) x y (1) . Να αποδείξετε ότι:

α) 2

f(x) f(y) x y για κάθε x,y .

β) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 0

x , 0

f (x ) 0 .

27. Έστω συνάρτηση f : (0, ) η οποία ικανοποιεί τη σχέση: f(y)f(x)

f(x y)y x

, για κά-

θε x,y 0 . Αν είναι f (1) 1 , να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε

0x (0, ) .

28. Έστω συνάρτηση f : ℝ∗ → ℝ τέτοια , ώστε f x y f x f y για κάθε *x,y .

α) Να αποδείξετε ότι f 1 0 .

β) Να αποδείξετε ότι x

f f x f yy

.

γ) Να αποδείξετε ότι 1

f f yy

.

δ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 , να αποδείξετε ότι θα είναι παραγωγίσιμη στο

κάθε α .

29. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0 με f ′(0) =1, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις:

f(x) 2 για κάθε x (1) και

f(x) 2f(y) 6

f(x y)f(y) 2

για κάθε x,y (2).

Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε0

x R , με 0 0

f (x ) f(x ) 2 .


-90-





§ 2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ –


1. Τα σύμβολα f (x) και f(x) είναι ταυτόσημα. Εκφράζουν και τα δύο την παράγωγο συνάρ-

τηση της f.

Όμως, δε συμβαίνει το ίδιο για τα σύμβολα 0

f (x ) και 0f(x ) .

Το 0

f (x ) εκφράζει την τιμή της παραγώγου της f στο σημείο 0

x , ενώ το 0f(x ) είναι 0, αφού

πρόκειται για παράγωγο σταθερού αριθμού 0f(x ) .

2. Η παράγωγος μιας συνάρτησης δεν είναι κατ’ ανάγκη μια συνεχής συνάρτηση.

3. Αν f παραγωγίσιμη σε σύνολο Α, δεν συμπεραίνεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο Α.

Πρώτα απαλλασσόμαστε από το απόλυτο

4. Αν f παραγωγίσιμη σε σύνολο Α, δεν συμπεραίνεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο Α.

5. Η συνάρτηση f(x) x έχει πεδίο ορισμού το 0, αλλά παραγωγίζεται στο 0, .

6. Αν υπάρχει η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f στο 0 f

x D (δηλαδή το (ν)

0f (x ) ), σημαί-

νει ότι η (ν 1)f είναι συνεχής στο 0

x και ορίζεται σε σύνολο της μορφής 0 0

(x θ,x θ) ή 0

(α,x ]

ή 0

[x ,β) , με θ 0 .

7. Προσοχή! Είναι διαφορετικοί οι συμβολισμοί (ν)f (x) (νιοστή παράγωγος) και νf (x) (νιοστή

δύναμη), αφού:

(ν) (ν 1)f (x) f (x) ενώ ν ν 1f (x) f (x) f(x) .



-91-

Ασκήσεις [Α’ 1,2,4,5 Β’ 1,2 σελ.227-228]

1. Να αποδείξετε ότι: x

x 0

e 1lim 1

x

.

2. Να αποδείξετε ότι: x 1

ln xlim 1

x 1

.

3. Έστω συνάρτηση f : τέτοια , ώστε f(x y) f(x) f(y) για κάθε x, y .

α) Να αποδείξετε ότι f(0) 0 .

β) Να αποδείξετε ότι f(x y) f(x) f(y) .

γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή.

δ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 , τότε η f είναι παραγωγίσιμη.

4. Αν για την συνάρτηση f: 0, ισχύει f(x y) f(x) f(y) , x,y (0, ) και

1 x1 x f(x)

x

, να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη.

5. Έστω f : συνάρτηση παραγωγίσιμη στο 0

x 1 με f(1) 1 και f (1) 1 . Να υπολο-

γίσετε τα όρια:

α)

2

x 1

f(x) 1lim

x 1

β) x 1

xf(x) 1lim

x 1

γ) x 1

xf(x) 1lim

x 1

6. Για τις συναρτήσεις f , g δίνονται

f συνεχής στο 0

x και όχι παραγωγίσιμη σ’ αυτό και

g παραγωγίσιμη στο 0

x .

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση (f g)(x) είναι παραγωγίσιμη στο 0

x , όταν και μόνο ό-

ταν 0

g(x ) 0 .

7. Δίνεται η συνάρτηση f : με τύπο 2x , x 0

f(x)συνx, x 0

α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f.

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0

x 0 .

γ) Να υπολογίσετε το όριο x 0

1lim

f (x) .


-92-





§ 2.3 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ


1. Οι κανόνες παραγώγισης ισχύουν για τις τιμές του x στις οποίες όλες οι συναρτήσεις

που εμφανίζονται παραγωγίζονται.

Σχόλιο: Οι κανόνες παραγώγισης εφαρμόζονται μόνο σε ανοικτά διαστήματα.

2. Αν θέλουμε να βρούμε την παράγωγο του αθροίσματος δύο παραγωγίσιμων συναρ-

τήσεων f, g στο 0

x , τότε γράφουμε 0 0 0

(f g) (x ) f (x ) g (x ) και όχι 0 0f(x ) g(x ) γιατί

0 0f(x ) g(x ) 0 ως παράγωγος της σταθερής συνάρτησης

0 0f(x ) g(x ) .

Αντίστοιχη προσοχή δίνουμε αν θέλουμε να βρούμε την παράγωγο του γινομένου ή

του πηλίκου ή της σύνθεσης δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

3. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0

x του πεδίου ορισμού της,

δεν σημαίνει ότι και η f g , η f g ή η f

g δεν είναι παραγωγίσιμη στο

0x . Η εξέταση της

παραγωγισιμότητας στο 0

x σε οποιαδήποτε από τις παραπάνω συναρτήσεις γίνεται με

την βοήθεια του ορισμού.

4. Μπορεί δύο συναρτήσεις f, g να μην είναι παραγωγίσιμες σε ένα σημείο 0

x του πεδίου

ορισμού τους και η συνάρτηση f g ή f g ή f

g να είναι παραγωγίσιμη στο

0x .

Παράδειγμα:

Οι συναρτήσεις x x 0

f x0 x 0

, x x x 0

g xx x 0

δεν είναι παραγωγίσιμες στο

σημείο 0

x 0 , ενώ η συνάρτηση f g έχει τύπο (f g)(x) x και είναι παραγωγίσιμη στο

0x 0 .



-93-

5. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε την παράγωγο συνάρτηση μιας συνάρτησης f ορισμένης

στο Α, θα δουλεύουμε ως εξής:

i) Με κανόνες παραγώγισης θα υπολογίζουμε την f ′ , στα ανοικτά διαστήματα του πε-

δίου ορισμού της f .

ii) Εκεί που κλείνει το πεδίο ορισμού Α της f ή στα σημεία που αλλάζει ο τύπος της , θα

δουλεύουμε πάντα με τον ορισμό της παράγωγου σε σημείο 0

x , για να βλέπουμε αν

ορίζεται στη θέση αυτή παράγωγος , οπότε το σημείο αυτό του Α της f , θα ανήκει

στο πεδίο ορισμού της παραγώγου συνάρτησης , στην αντίθετη περίπτωση δεν θα

ανήκει στο πεδίο ορισμού της παραγώγου συνάρτησης.

Σχόλιο: Δεν βρίσκουμε ποτέ το πεδίο ορισμού της παραγώγου συνάρτησης από τον τύπο.

6. Αν για τις συναρτήσεις f ,g ισχύει ότι f(x) g(x) τότε f (x) g (x) . Ενώ αν f (x) g (x)

δεν σημαίνει απαραίτητα ότι f(x) g(x) .

7. Αν μια συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ, αντιστρέφεται και η 1f παραγωγίσιμη

στο f(Δ) με f (x) 0, x f(Δ) , τότε:

1

1

1f x , x f Δ

f f x

Απόδειξη:

Για κάθε x f(Δ) ισχύει 1f f (x) x επομένως:

1 1 1f f x x f f x f x 1

1

1

1(f ) (x) , x f(Δ)

f f (x)

(1) .

Η σχέση (1) εξασφαλίζει ότι, αν 0 0

f(x ) y και 0

f (x ) 0 , τότε

1

0

0

1(f ) (y )

f x

.

Βασικές Προτάσεις (με απόδειξη)

1. Αν μία συνάρτηση f είναι άρτια και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, τότε η f ′ εί-

ναι περιττή.

2. Αν μία συνάρτηση f είναι περιττή και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, τότε η f ′

είναι άρτια.

******

Σχόλιο: Ακολουθούν πίνακες με παραγώγους συναρτήσεων και κανόνες παραγώγι-

σης, κατά παράβαση ης γενικής αρχής ότι συνήθως δεν εμφανίζεται στα

φυλλάδια θεωρία που υπάρχει μέσα στο σχολικό βιβλίο.

Αυτό γίνεται, κυρίως, για να υπάρχουν συγκεντρωμένα σε ένα μέρος όλοι οι

τύποι και τα αντίστοιχα πεδία ορισμού για να διευκολύνεται το διάβασμα

των μαθητών.


-94-

( ΠΙΝΑΚΑΣ Ι )

Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων

Συνάρτηση f fA Παράγωγος f΄

Διάστημα που

παραγωγίζεται

η f΄

1) f(x) c (c) 0

2) f(x) x (x) 1

3) νf(x) x , ν {0,1}

ν ν 1(x ) ν x

4) κ *f(x) x , κ

* κ κ 1(x ) κ x *

5) αf(x) x , α [0, ) , αν α 0 ,

(0, ) , αν α 0 α α 1(x ) α x

[0, ) , αν α 1 ,

(0, ) , αν α 1

6) f(x) lnx (0, ) 1

(ln x)x

(0, )

7) f(x) logx (0, ) 1

(log x)x ln10

(0, )

8) f(x) ln x * 1

(ln x)x

*

9) f(x) x [0, ) 1x

2 x

(0, )

10) xf(x) e x x(e e)

11) xf(x) α , α 0 x x(α ) α lnα

12) f(x) ημx (ημx) συνx

13) f(x) συνx (συνx) ημx

14) f(x) εφx

fA {x / συνx 0}

π{x / x κπ ,κ }

2

2

2

1(εφx)

συν x(1 εφ x)

f f

A A

15) f(x) σφx f

A {x / ημx 0}

{x / x κπ,κ }

2

2

1(σφx)

ημ x

(1 σφ x)

f f

A A

16) 1

f(x)x

*

2

1 1

x x

*

17) f(x) x 1, x 0

x1, x 0

*


-95-

Ειδική περίπτωση: παραγώγιση της συνάρτησης ν μ *f(x) x , ν,μ .

Αν μ είναι περιττός αριθμός, τότε η συνάρτηση γράφεται: μ

νf(x) x με f

A [0, ) .

Αν μ είναι άρτιος αριθμός, τότε η συνάρτηση γράφεται:

μ

μ ν

νμ

ν

( x) , x 0f(x) x

x , x 0

με f

A .

Στη συνέχεια, παραγωγίζουμε τον κάθε κλάδο στο αντίστοιχο ανοιχτό διάστημα και

ελέγχουμε αν είναι παραγωγίσιμη στο άκρο ή στο σημείο αλλαγής του τύπου.

Προσοχή! Η συνάρτηση μ

νf(x) x με μ άρτιο, είναι διαφορετική από την ν μg(x) x , αφού

fA [0, ) ενώ

gA .

( ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙ )

Κανόνες Παραγώγισης

(αφορά συναρτήσεις παραγωγίσιμες σε ένα διάστημα Δ)

1) Παράγωγος αθροίσματος (f g) (x) f (x) g (x)

2) Παράγωγος γινομένου

αριθμού επί συνάρτηση (λ f) (x) λ f (x)

3) Παράγωγος γραμμικού

συνδυασμού συναρτήσεων 1 1 2 2 κ κ 1 1 2 2 κ κ

(λ f λ f ... λ f ) (x) λ f (x) λ f (x) ... λ f (x)

4) Παράγωγος γινομένου

(f g) (x) f (x) g(x) f(x) g (x) αλλά και

(f g h) (x) f (x) g(x) h(x) f(x) g (x) h(x) f(x) g(x) h (x)

(για περισσότερες των 3 παραγόντων-συναρτήσεων ομαδοποιούμε

και ακολουθούμε τους προηγούμενους κανόνες)

5) Παράγωγος πηλίκου 2

f (x) g(x) f(x) g (x)f(x)

g g (x)

( ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙΙ )

Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης

Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο g(Δ), τότε και

η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει:

(f g) (x) f (g(x)) g (x) ή αλλιώς f(g(x)) f (g(x)) g (x)

Αν u g(x) , τότε: f(u) f (u) u

Αν y f(u) και u g(x) , τότε: dy dy du

dx du dx (κανόνας της αλυσίδας) και γενικά


-96-

Αν 1 2 3 κ

y f(u (u (u (....u (x)....))))) , τότε: κ1 2

1 2 3

dudu dudy dy...

dx du du du dx

( ΠΙΝΑΚΑΣ ΙV )

Παράγωγοι βασικών συνθέτων συναντήσεων

Αν η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιμη, τότε

έχουμε:

Αν u f(x) ,όπου f είναι παραγωγίσιμη

συνάρτηση, τότε έχουμε:

1) ν ν 1f (x) ν f (x) f (x), ν {0,1} 1) ν ν 1u ν u u , ν {0,1}

2) f (x)f(x) , f(x) 0

2 f(x)

2) u

u , u 02 u

3) ημf(x) συνf(x) f (x) 3) ημu συνu u

4) συνf(x) ημf(x) f (x) 4) συνu ημu u

5) 2 2

1 f (x)εφf(x) f (x)

συν f(x) συν f(x)

5) 2 2

1 uεφu u

συν u συν u

6) 2 2

1 f (x)σφf(x) f (x)

ημ f(x) ημ f(x)

6) 2 2

1 uσφu u

ημ u ημ u

7) f(x) f(x)e e f (x)

7) u ue e u

8) 1 f (x)

ln f(x) f (x)f(x) f(x)

8) 1 u

ln u uu u

9) α

f (x)log f(x)

f(x) lnα

9) α

ulog u

u lnα

10) f(x) f(x)α α lnα f (x)

10) u uα α lnα u

11) λ λ 1f (x) λ f (x) f (x), f(x) 0, λ {0,1} 11) λ λ 1u λ u u , u 0, λ {0,1}

Προσοχή! Αν g(x)φ(x) [f(x)] με f(x) 0 , τότε γράφουμε g(x) lnf(x)φ(x) e και παραγωγίζουμε

g(x) g(x) lnf(x) g(x) lnf(x) g(x)φ (x) [f(x)] e e g(x) lnf(x) [f(x)] g(x) lnf(x) ...

Σχόλιο:

Το πεδίο ορισμού της παραγώγου των παραπάνω συναρτήσεων προκύπτει εύκολα παρα-

τηρώντας τον αντίστοιχο τύπο.

Ωστόσο, ο έλεγχος της ύπαρξης παραγώγου σε άκρα διαστημάτων γίνεται απαραίτητα με

τον ορισμό.


-97-

Ασκήσεις [Α’ 1,2,3,4,6,12,13,14,15 Β’ 7,9 σελ.238-240]

1. Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων:

α) x ημx συνxe lnx

f x , g x x ημx , h x ,x 1 1 εφx1 x

β) x

1 ημx 2 ημxlnx 2x 1f x , g x , h x , φ x

1 συνx x 2 1 ημx e

γ) 2 22 x x x 1 x x 1 ef(x) x 2 2 e x

δ) xxημxx συνx 3π

f(x) x , x 0, g(x) (ημx) , x 0, , h(x) (x 1) , x 1, φ(x) 3 , x2

ε) 2 2

x 1f(x) ημ ημ x , x 0, g(x) log (ημx), x (1,2) (2,π), h(x) ημ(συν x)συν(ημ x)

2. Βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων κάνοντας χρήση του συμβολι-

σμού Leibniz (κανόνας της αλυσίδας):

α) φ(x) ln(ημx), x (0,π)

β) 4 2k(x) συν (3x 1)

3. Αφού πρώτα υπολογίσετε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων, να βρείτε τις

παραγώγους αυτών:

α) xf(x) (e 1)ln(x 1)

β) 2g(x) ln(1 x )

γ) xe e

h(x)(2x 1)ln x

4. Nα βρεθεί το πεδίο ορισμού των παραγώγων των συναρτήσεων:

α) 3f(x) x

β) 5 2g(x) x

γ) 3 x

1h(x)

2 5

5. Nα βρεθεί η παράγωγος της f στο σημείο 0

x όταν: f(x) x ημx και 0

x 0 .

6. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία 3 1f (x) xf ημ(πx)

x

για

κάθε x 0 . Nα βρείτε την f (1) .

7. Aν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και περιττή, τότε να βρείτε:

α) την f (0) και

β) την g (0) , όταν f (0) =1 και g(x) f(x)ημx f(ημx)

8. Αν f(x)=2

2

συν x

1+ημ x, να βρείτε το

π πf 3f

4 4

.


-98-

9. Nα αποδείξετε ότι:

α) Αν 2f x x lnx , τότε 22f(x) xf (x) x 0

β) Αν x

xy

e , τότε

dyx x 1 y 0

dx

γ) Αν xy e ημx συνx , τότε xy 2y 2e συνx 0

10. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε για κάθε x να ισχύει:

f(2x 3) f(x) . Δείξτε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο 0

x 3

είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.

11. Aν 64 27

( )ημ

f xx συνx , να δείξετε ότι υπάρχει σημείο

0

πx 0,

2

για το οποίο 0

f 0(x ) .

12. Aν 2f(x) x και g(x) x ,

α) Εξετάστε αν ισχύει η σχέση (g f) (1) g f(1) f (1) και βρείτε την (g f) (1) .

β) Εξετάστε αν ισχύει η σχέση (g f) (0) g f(0) f (0) . Υπάρχει η (g f) (0) ;

*****

13. Να βρεθεί πολυώνυμο P(x) τέτοιο ώστε για κάθε x να ισχύει: 2

P x 4P x και

P(0) 4 .

14. α) Αν Ρ(x) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού ν 2 , να αποδείξετε ότι ο 2

x –ρ είναι παρά-

γοντάς του αν και μόνο αν ο ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου καθώς και της παραγώ-

γου του. Δηλαδή, 2

Ρ x x – ρ π x Ρ ρ Ρ΄ ρ 0 .

β) Να αποδείξετε ότι το 2

x – 1 είναι παράγοντας του πολυωνύμου

ν 1 ν–1 2 2f x νx – x – ν 1 x ν – ν 2 , ν Ν με ν ≥ 2.

γ) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε το πολυώνυμο

4 2 Ρ x x α – 4 x α β – 1 x 3β – 4 να διαιρείται από το 2

x 2 .

15. Έστω το πολυώνυμο 3 2f x x αx βx γ με ρίζες 1 2 3

ρ ,ρ ,ρ διαφορετικές μεταξύ

τους. Να αποδείξετε ότι :

i) 1 2 3

f x 1 1 1

x ρ x ρ x ρf x

για κάθε

1 2 3x ρ ,ρ ,ρ

ii)

31 2

1 2 3

ρρ ρ0

f ρ f ρ f ρ

iii) 1 2 3

f 0 β1 1 1

ρ ρ ρ γf 0

iv)

1 2 3

22

2 2 2 2

f 0 f 0 β 2αγ1 1 1

f 0 f 0ρ ρ ρ γ

*****


-99-

16. Να βρείτε τα αθροίσματα:

α) x 2x 3x νx

1 S 1 e e e e

β) x 2x 3x νx

2S e 2e 3e νe , ν Ν .

17. Αν η συνάρτηση f : , είναι παραγωγίσιμη και ισχύει y xf(x y) e f(x) e f(y) α

(1), για κάθε x,y,α , να δειχθεί:

α) f(0) 0 και

β) xf (x) f(x) f (0)e , για κάθε x .

18. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση *f : τέτοια ώστε f(xy) f(x) f(y) για κάθε *x,y R και f (x) 0 . Δείξτε ότι:

α) yf (x)

f (y) x

και β) f (1) f ( 1) 0

19. Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : , για την οποία ισχύει:

f (0) 1 και f(x y) f(x y) 2f(x)f(y) για κάθε x, y .

Να αποδείξετε ότι: f (x) f(x) για κάθε x .

[Υπολογισμός της f(ν) με επαγωγή]

20. Να δείξετε ότι:

α) Αν 1

f(x)x

τότε ν

(ν)

ν 1

( 1) ν!f )x(

x

, και

β) Αν f(x) ημx τότε (ν) νπ( ) ημ +x

2f x

, ν

γ) Αν xf(x) xe , τότε (ν) xf (x) e (x ν) .

21. Θεωρούμε την πολυωνυμική συνάρτηση ν ν–1

ν ν–1 1 0f x α x α x α x α , με

0 1 ν–1 να ,α , ,α ,α και

να 0 .

Να αποδείξετε ότι (ν)

νf (x) ν! α και (κ)f (x) 0 για κ ν .

[Υπολογισμός της f-1]

22. Α. Έστω f : (α,β) R συνάρτηση, γνησίως μονότονη και συνεχής. Αν η f είναι παρα-

γωγίσιμη στο 0

x (α,β) με 0

f (x ) 0 και η 1f είναι συνεχής στο 0

f(x ) τότε:

η 1f παραγωγίζεται στο 0

f(x ) και ισχύει 1

0

0

1(f ) f(x )

f (x )

.

Β. Δίνεται η συνάρτηση xf(x) e x , να βρείτε τον αριθμό 1(f ) (1) .

23. Δίνεται η x 3f(x) e x x , x .

(i) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της 1f-

(ii) Αν γνωρίζουμε ότι η 1f- είναι παραγωγίσιμη στο 1fD - , να αποδείξετε ότι

1 1 (f ) (1)

2 .

24. Aν f(x) ημx , π π

x ,2 2

να αποδείξετε ότι 1

2

1(f ) (x) , x ( 1,1)

1 x

.


-100-





§ 2.1 - 2.3 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ


1. Η εφαπτομένης της γραφικής παράστασης f

C συνάρτησης f σε σημείο επαφής 0 0

Α(x ,y )

είναι ευθεία που διέρχεται από το σημείο 0 0 0 0

Α(x ,y ) (x ,f(x )) και έχει συντελεστή διεύ-

θυνσης την παράγωγο 0

f (x ) της f στο 0

x .

Επομένως, η εξίσωση της είναι: 0 0 0y f(x ) f (x )(x x )

Μεθοδολογία

ΓΕΝΙΚΗ ΟΔΗΓΙΑ:

Όταν ζητείται η εξίσωση εφαπτομένης μια συνάρτησης f , τότε:

α) Όταν γνωρίζουμε το σημείο επαφής 0 0

A(x ,f(x )) και η συνάρτηση είναι παραγω-

γίσιμη στο Α: η εξίσωση της εφαπτομένης προκύπτει άμεσα από τον τύπο.

β) Όταν δεν γνωρίζουμε το σημείο επαφής: το ορίζουμε εμείς, έστω 0 0

M(x ,f(x )) ,

γράφουμε την εξίσωση της εφαπτομένης στο 0

x , το οποίο 0

x βρίσκουμε ικανοποιώ-

ντας τις συνθήκες του προβλήματος.

ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ

1) Εφαπτομένη σε γνωστό σημείο Α(x0,f(x0)) της Cf. [Α’5 σελ 220, Α’7,B’1,11 σελ239]

α) Βρίσκουμε 0

f (x ) και 0

f(x ) .

β) Γράφουμε την εξίσωση 0 0 0

y f(x ) f (x )(x x ) .

2) Εφαπτομένη (που διέρχεται) από γνωστό σημείο Α, εκτός της Cf. [Α’10 σελ239]

α) Ονομάζουμε έστω 0 0

M(x ,f(x )) τo άγνωστο σημείο επα-

φής και γράφουμε την εξίσωση της εφαπτομένης στο Μ

(ε): 0 0 0

y y f (x )(x x ) .

(μοναδικός, επομένως, άγνωστος είναι το 0

x )

β) Μετά απαιτούμε η ευθεία ε να διέρχεται από το σημείο

Α.

γ) Υπολογίζουμε το 0

x και γράφουμε τέλος την εξίσωση

της ε.

3) Εφαπτομένη με γνωστό συντελεστή διεύθυνσης λ [Α’3 σελ 228, Α’8,9,B’2,6 σελ239]

α) Ονομάζουμε έστω 0 0

M(x ,f(x )) τo άγνωστο σημείο επαφής.

β) Τότε 0

λ f (x ) , οπότε το 0

x προσδιορίζεται.

γ) Γράφουμε, τέλος, την εξίσωση της ε.


άτιτλο-m

x0

M

ε

Cf

f(x0)

x0

M

ε

Cf

f(x0 )

Cg

g(x0)=

x0

M

ε

Cff(x0)

Cg

g(x0)

=

N

A

Bα

β

άτιτλο-r0

y=λx+β:

λx0+β


-101-

4) Ευθεία που εφάπτεται σε γραφική παράσταση [A’11, Β’2 σελ239]

Για να εφάπτεται η ευθεία ε : y λx β με την f

C πρέπει

να υπάρχει σημείο 0 0

M(x ,f(x )) της f

C για το οποίο ισχύ-

ουν συγχρόνως:

α) Το σημείο Μ να επαληθεύει την (ε), δηλαδή

0 0( )f x λx β .

β) Η κλίση της ευθείας (ε) να ισούται με την αντίστοιχη

της f

C , δηλαδή 0

f λ(x ) .

5) Κοινή εφαπτομένη γραφικών παραστάσεων σε κοινό τους σημείο [Β’3 σελ239]

Θεωρούμε 0 0

M(x ,f(x )) το κοινό σημείο επαφής. Οι γραφι-

κές παραστάσεις των f και g θα έχουν κοινή εφαπτομένη

στο σημείο με τετμημένη 0

x αν ισχύουν συγχρόνως:

α) 0 0

f(x ) g(x ) , δηλαδή το σημείο Μ είναι κοινό σημείο

των f

C και g

C , οπότε επαληθεύει τις y f(x) και

y g(x) , και

β) 0 0

f (x ) g (x ) , δηλαδή οι f

C και g

C έχουν παράλληλες

εφαπτόμενες.

Από τις σχέσεις αυτές υπολογίζουμε το 0

x και κατόπιν την εξίσωση της κοινής ε-

φαπτόμενης.

6) Κοινή εφαπτομένη γραφικών παραστάσεων σε διαφορετικά σημεία (α)

Ζητείται να βρούμε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτομένων

των γραφικών παραστάσεων των f και g.

Μια ευθεία (ε) θα είναι κοινή εφαπτομένη των f

C και g

C ,

αν υπάρχουν σημεία Α α,f( (α)) και Β β,g( (β)) για τα οποία

ισχύουν:

α) f (α) g (β)

β) Η εφαπτομένη της f

C στο Α α,f( (α)) , διέρχεται από το

Β β,g( (β)) .

Από τις παραπάνω εξισώσεις βρίσκω τα α, β και την εξίσωση της κοινής εφαπτομέ-

νης.

7) Κοινή εφαπτομένη γραφικών παραστάσεων σε διαφορετικά σημεία (β) [Β’4,10 σελ239]

Ζητείται να αποδείξουμε ότι η εφαπτόμενη (ε) της f

C σε συγκεκριμένο σημείο

Α α,f( (α)) εφάπτεται και στην g

C . Αρκεί να υπάρχει σημείο Β β,g( (β)) της g

C που

να ικανοποιεί τα παρακάτω:

α) f (α) g (β) και βρίσκουμε τα g

β A στα οποία η g

C δέχεται εφαπτόμενη πα-

ράλληλη στην (ε).

β) Κατόπιν βρίσκουμε τις εφαπτόμενες της g

C στα σημεία β και δείχνουμε ότι το

σημείο Α α,f( (α)) ανήκει σε μια από τις εφαπτόμενες που βρήκαμε.

άτιτλο-m

x0

M

ε

Cf

f(x0)

x0

M

ε

Cf

f(x0 )

Cg

g(x0)=

x0

MεCf

f(x0 )

Cg

g(x0)

=

N

A

B

α β

άτιτλο-r0

y=λx+β:

λx0+β

x0

M

ε

Cf

f(x0)

x0

M

ε

Cf

f(x0 )

Cg

g(x0)=

x0

MεCf

f(x0 )

Cg

g(x0)

=

N

A

B

α β

άτιτλο-r0

y=λx+β:

λx0+β

άτιτλο-m

x0

M

ε

Cf

f(x0)

x0

M

ε

Cf

f(x0 )

Cg

g(x0)=

άτιτλο-m

x0

M

ε

Cf

f(x0)

x0

M

ε

Cf

f(x0 )

Cg

g(x0)=

x0

MεCf

f(x0 )

Cg

g(x0) =

N

A

B

α β

άτιτλο-r0


-102-

Ασκήσεις

1. Δίνεται η συνάρτηση 2f(x) x x 3 και το σημείο Κ 0,–1 . Να βρείτε τις εφαπτόμενες

της f

C που άγονται από το Κ.

2. Αν 2f(x) αlnx βx 3 , να βρείτε τα α,β R ώστε η ευθεία ε : 2x y 4 0 να είναι ε-

φαπτόμενη της f

C στο σημείο της A 1,f(1) .

3. Για την παραγωγίσιμη στο ℝ συνάρτηση f δίνεται ότι 3 2 3 4f(x) x f(x) 2x 4x για κά-

θε x . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f

C στο σημείο A 1,f(1) .

4. Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι: 2xlnx f(x) x x για κάθε x Δ . Να απο-

δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο 0

x 1 και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

της f

C στο σημείο M 1,f(1) .

5. Έστω η συνάρτηση 2f(x) x x 1 . Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του δια-

γράμματος f

C που διέρχεται:

α) από το σημείο (1,1)

β) από το σημείο (2,1) .

6. Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων 2f(x) x 4x 33 , 2g(x) x 1 .

7. Δίνεται η συνάρτηση f με 3 2f(x) x αx – 2x 5 και η ευθεία (ε) : 2x y 1 .

α) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η ευθεία (ε) να είναι εφαπτόμενη της

γραφικής παράστασης της f και να βρείτε το σημείο επαφής.

β) Να βρείτε τα υπόλοιπα κοινά σημεία της (ε) με την f

C .

8. Δίνονται οι συναρτήσεις x–1f(x) x e και 3 2g(x) x 3x 5x . Να αποδείξετε ότι η εφα-

πτόμενη της f

C στο σημείο A 1,f(1) , εφάπτεται και της g

C .

9. Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων 2f(x) 2x x και 2g(x) x 4x 1 .

10. Θεωρούμε συνάρτηση f και την ευθεία με εξίσωση y 2x 1 η οποία εφάπτεται της f

C

στο σημείο με τετμημένη 1 . Να υπολογίσετε το όριο 2

x 1

f (x) 1lim

x 1

.

11. Δίνεται η συνάρτηση 2f(x) x 2κx 6κ 7 , με κ .

α) Να δείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του κ, η γραφική παράσταση της f διέρχεται

από σταθερό σημείο.

β) Να βρείτε τις τιμές του κ, για τις οποίες η f

C εφάπτεται στον άξονα x΄x.


-103-





§ 2.4 Ρυθμός Μεταβολής


1. Έστω συνάρτηση y f(x) παραγωγίσιμη στο 0

x .

Ρυθμός μεταβολής του y ως προς x στο σημείο 0

x λέγεται η παράγωγος 0

f (x ) και

Ρυθμός μεταβολής του y ως προς x λέγεται η παράγωγος f ′(x).

2. Αν δύο μεγέθη x,y συνδέονται με την σχέση y f(x) και f παραγωγίσιμη συνάρτηση ως

προς x, τότε:

α) Αν το y αυξάνεται ως προς x με ρυθμό α, εννοούμε f (x) α 0 .

β) Αν το y μειώνεται ως προς x με ρυθμό α, εννοούμε f (x) α 0 .

[Κίνηση υλικού σημείου]

3. Έστω σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και ας είναι S S(t) η τετμημένη του σώμα-

τος αυτού τη χρονική στιγμή t. H συνάρτηση S καθορίζει τη θέση του σώματος τη χρονική

στιγμή t και ονομάζεται συνάρτηση θέσης του κινητού.

4. Ο ρυθμός μεταβολής της S ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή 0

t είναι η παράγωγος 0

S (t )

, της S ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή 0

t , λέγεται (στιγμιαία) ταχύτητα του κινητού

τη χρονική στιγμή 0

t και συμβολίζεται με 0

υ(t ) . Είναι δηλαδή 0 0=(t ) υ(tS ) .

Απλούστερα, ταχύτητα είναι η παράγωγος του διαστήματος ως προς το χρόνο , δηλαδή

υ(t) S (t) .

5. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή 0

t είναι η παρά-

γωγος 0

υ (t ) , της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή 0

t , λέγεται (στιγμιαία)

επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή 0

t και συμβολίζεται με 0

α(t ) .

Είναι, δηλαδή, 00 0

α t =( S) = υ ( ) (tt ) .

Απλούστερα, επιτάχυνση είναι η παράγωγος της ταχύτητας ως προς το χρόνο, ή η δεύ-

τερη παράγωγος του διαστήματος ως προς το χρόνο. Δηλαδή α(t) υ (t) S (t) .

6. Επί πλέον, ισχύουν τα εξής:

α) Αν S(t) 0 , τότε το κινητό βρίσκεται στην αρχή των αξόνων.

β) Αν S(t) 0 , τότε το κινητό βρίσκεται επί του θετικού άξονα.

γ) Αν S(t) 0 , τότε το κινητό βρίσκεται επί του αρνητικού άξονα.

δ) Αν S(t) 1 , τότε το κινητό κινείται προς τα δεξιά (θετική φορά).

ε) Αν S(t) 2 , τότε το κινητό κινείται προς τα αριστερά (αρνητική φορά).

στ) Αν υ(t) S (t) 0 , τότε έχουμε κίνηση προς τα δεξιά.



-104-

ζ) Αν υ(t) S (t) 0 , τότε έχουμε κίνηση προς τα αριστερά.

η) Αν υ(t) S (t) 0 , τότε έχουμε μηδενισμό της ταχύτητας.

θ) Αν υ(t) S (t) 1 , τότε έχουμε κίνηση επιταχυνόμενη.

ι) Αν υ(t) S (t) 2 , τότε έχουμε κίνηση επιβραδυνόμενη.

ια) Αν α(t) S (t) 0 , τότε έχουμε κίνηση επιταχυνόμενη.

ιβ) Αν α(t) S (t) 0 , τότε έχουμε κίνηση επιβραδυνόμενη.

ιγ) Αν α(t) S (t) 0 , τότε έχουμε μηδενισμό της επιτάχυνσης.

ιδ) Αν α(t) S (t) 1 , τότε έχουμε αύξηση της επιτάχυνσης.

ιε) Αν α(t) S (t) 2 , τότε έχουμε μείωση της επιτάχυνσης.

[Οικονομικά μεγέθη]

7. Στην οικονομία, το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη (έσοδα) Ε και το κέρδος Ρ εκφράζονται

συναρτήσει της ποσότητας x του παραγόμενου προϊόντος.

8. Η σχέση που συνδέει τις παραπάνω συναρτήσεις είναι: ( ) ( ) ( )–P t Ε t K t (1), ενώ ισχύουν και

τα παρακάτω:

Η παράγωγος 0

Κ (x ) παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους Κ ως προς την ποσότη-

τα x, όταν 0

x x και λέγεται οριακό κόστος στο 0

x .


E (x ) παριστάνει το ρυθμό μεταβολής της είσπραξης Ε ως προς την ποσό-

τητα, x όταν 0

x x και λέγεται οριακή είσπραξη στο 0

x .


P (x ) παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κέρδους P ως προς την ποσότητα

x, όταν 0

x x και λέγεται οριακό κέρδος στο 0

x .

9. Από την (1) προκύπτει ότι: ( ) ( ) (– ) P t Ε t K t .

10. Ακόμη, υπάρχουν και οι ακόλουθες έννοιες:

Μέσο κόστος παραγωγής της ποσότητας x ενός προϊόντος, είναι μ

K(x)K (x)

x .

Μέση είσπραξη (μέσο έσοδο) της ποσότητας x ενός προϊόντος, είναι μ

E(x)E (x)

x .

Μέσο κέρδος της ποσότητας x ενός προϊόντος, είναι μ

P(x)P (x)

x .

[Σύνθετες συναρτήσεις]

11. Αν το y είναι συνάρτηση του x [ y y(x) ] και το x είναι συνάρτηση του t ( x x(t) ), τότε το y

είναι τελικά συνάρτηση του t [ y(t) y(x(t)) ].

12. Γενικά στα προβλήματα ρυθμού μεταβολής κάνουμε χρήση του τύπου (g f) (x) g f(x) f (x)

αν και ο κανόνας της αλυσίδας dy dy du

dx du dx , με y g(u) και u f(x) , έχει ευρύτερη εφαρμογή.

13. Στο dy

dx, το x δηλώνει ανεξάρτητη μεταβλητή και στη γενική περίπτωση δηλώνει συνάρτηση.

14. Συνάρτηση είναι και το dy

dx όπου x , y είναι οι μεταβλητές της συνάρτησης από την οποία

προήλθε.


-105-

Μέθοδοι

1. Πως λύνουμε προβλήματα ρυθμού μεταβολής

Αναγνωρίζουμε τις μεταβλητές του προβλήματος

Επισημαίνουμε τους ρυθμούς μεταβολής που δίνονται και αυτούς που ζητούνται

Βρίσκουμε τύπους που συνδέουν τις μεταβλητές του προβλήματος

Εφαρμόζουμε τον κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης ( ή τον κανόνα της αλυ-

σίδας)

2. Κίνηση σημείου σε καμπύλη

Οι συντεταγμένες του σημείου Μ(x,y) της καμπύλης φ(x,y) 0 είναι συναρτήσεις του χρό-

νου t. Έτσι:

Η εξίσωση της καμπύλης γράφεται φ x(t),y( (t)) 0 .

Παραγωγίζουμε την σχέση ως προς t.

3. Προβλήματα που οι συναρτήσεις x ,y συνδέονται με κάποια σχέση

Είναι δυνατόν η σχέση αυτή να λύνεται ως προς y ή να μη λύνεται ως προς y ή να λύνεται με

περισσότερους από έναν τύπους ως προς y, όπως για παράδειγμα είναι οι 2y 2px , 2 2x y 1 . Τότε, συνήθως,

α) Εκφράζουμε τις συναρτήσεις με μια κοινή μεταβλητή t: x x(t) , y y(t)

β) Παραγωγίζουμε την σχέση ως προς t.

Λυμένα παραδείγματα

[Το «κλασικό» πρόβλημα της σκάλας]

Μία σκάλα μήκους 3 m είναι τοποθετημένη σ' έναν τοίχο. Το κάτω μέρος

Β γλιστράει στο δάπεδο με ρυθμό 0,1 m/sec. Την στιγμή που η κορυφή

της σκάλας απέχει από το δάπεδο 2,5 m να βρείτε:

α) Τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ.

β) Την ταχύτητα πτώσης του Α.

Λύση:

Αρχικά, σημειώνουμε πως τα μεγέθη x, y, θ μεταβάλλονται όλα συναρ-

τήσει του χρόνου t. Συνεπώς είναι: x(t),y(t) και θ(t) , και επιπλέον x (t) 0,1 m / sec .

α) Ζητούμενο είναι το θ (t) .

Ψάχνω μια σχέση που να συνδέει τη γωνία θ με όσο το δυνατόν μόνο γνωστά μεγέθη.

Ισχύει x 1 1 1

συνθ συνθ(t) x(t) συνθ(t) x(t) ημθ(t) θ (t) x(t)x (t) θ (t) ...3 3 3 3

β) Ζητούμενο είναι το y (t) .

Μια σχέση που συνδέει τις μεταβλητές μου είναι 2 2x y 9 [Π. Θεώρημα στοΟΑΒ].

http://1.bp.blogspot.com/-rBWrhtRvE1s/TVzUXBIkaJI/AAAAAAAAAUo/s3_PYYFbmVA/s1600/%CF%83%CE%BA%CE%B1%CE%BB%CE%B1.JPG


-106-

Άρα, έχουμε: 2 2 0 00

0

x (t ) x(t )x (t) y (t) 9 x (t) x(t) y (t) y(t) 0 y (t )

y(t )

, όπου

0t η χρονι-

κή στιγμή όπου 0

y(t ) 2,5m . άρα και 2

0 0x(t ) 9 y (t ) ... 2,75 .


-107-

Ασκήσεις [Όλες του σχολικού σελ.243-245]

1. Η θέση ενός κινητού πάνω σε άξονα κατά την χρονική στιγμή t δίνεται από την συ-

νάρτηση θέσης S με 3 2S(t) 2t 21t 60t 3 όπου S σε μέτρα και t σε sec. Να βρείτε:

α) Την αρχική ταχύτητα του κινητού.

β) Σε ποιες χρονικές στιγμές μηδενίζεται η ταχύτητα.

γ) Πότε η ταχύτητα του κινητού είναι ίση με 24 m/sec.

δ) Ποια χρονική στιγμή η επιτάχυνση του είναι 18 m/sec2.

ε) Ποιες χρονικές στιγμές το κινητό αλλάζει κατεύθυνση κίνησης.

στ) Να βρεθούν τα χρονικά διαστήματα στα οποία μειώνεται το μέτρο της ταχύτητας

του κινητού.

2. Το κόστος παραγωγής Κ(x) και η τιμή πώλησης Π(x), x μονάδων ενός βιομηχανικού

προϊόντος δίνονται από τις συναρτήσεις 3 21Κ x x 20x 600x( ) 1000

3 και x(x)Π 420

αντιστοίχως.

α) Nα αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους μηδενίζεται όταν ο ρυθμός

μεταβολής του κόστους και ο ρυθμός μεταβολής της πώλησης είναι ίσοι.

β) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους μηδενίζεται όταν το

μέσο κόστος είναι ίσο με το οριακό κόστος.

γ) Να βρείτε πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους (x) (xP Π –) )K(x είναι θετικός.

3. Η ολική επιφάνεια ενός κύβου αυξάνεται με ρυθμό 22 cm / sec . Τη στιγμή κατά την ο-

ποία η ακμή του κύβου είναι 1,8 m, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του όγκου του κύβου.

4. Να δειχθεί ότι η απόλυτη τιμή ενός μεγέθους p(t) αυξάνει αν και μόνον αν

p(t) p (t) 0 .

5. Ένα κινητό κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση 2 2x y 1 . Καθώς περνάει από το

σημείο Α1 3

,2 2

, η τεταγμένη y ελαττώνεται με ρυθμό 3 μονάδες ανά sec.

Nα βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης x κατά την χρονική στιγμή που το κι-

νητό διέρχεται από το σημείο Α.

6. Κατά μήκος των πλευρών Οx και Οy μιας ορθής γωνίας κινούνται τα σημεία Α και Β

αντίστοιχα έτσι ώστε (ΟΑ) (ΟΒ) 12cm . Την χρονική στιγμή 0

t κατά την οποία το κι-

νητό Α κινείται με ταχύτητα 8cm/sec και απέχει από το Ο απόσταση (ΟΑ) 3cm να

βρείτε:

α) Tην ταχύτητα με την οποία κινείται το Β

β) Tον ρυθμό μεταβολής της απόστασης (ΑΒ)

Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2012-2013-1-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής ΚατεύθυνσηςΒ’ ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ)



§2.1 - §2.4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως αληθείς (Α) ή ψευδείς (Ψ)1. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της, όταν υπάρ-

χει το όριο0

0x x

0

f(x) f(x )lim

x x

.

2. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα εσωτερικό σημείο 0x του πεδίου ορισμού

της, τότε0

00 x x

0

f(x) f(x )f (x ) lim

x x

.

3. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα εσωτερικό σημείο 0x του πεδίου ορισμού της,

όταν υπάρχουν τα όρια0

0

x x0

f(x) f(x )lim

x x

,0

0

x x0

f(x) f(x )lim

x x

και είναι πραγματικοί αριθμοί.

4. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της, τότε είναι

συνεχής στο σημείο αυτό.5. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της, τότε δεν εί-

ναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.6. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της, τότε

0

0 00 h x

f(x h) f(x )f (x ) lim

h

.

7. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της, τότε η f

είναι συνεχής στο σημείο αυτό.8. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x , τότε ορίζεται πάντα η εφαπτομένη της fC στο

σημείο της 0 0x ,f(x ) .

9. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει 0f (x ) 0 , τότε η εξίσωση της ορι-

ζόντιας εφαπτομένης της fC στο 0 0x ,f(x ) είναι η y 0 .

10. H εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της 0 0A x ,f(x ) , δεν έχει άλλο

κοινό σημείο με την fC .

11. Για μια συνάρτηση f ισχύει 3 2xf (x) (x 1) e . Τότε η fC στο σημείο A 1,f(1) δέχεται οριζό-

ντια εφαπτομένη.12. Για να εφάπτεται η fC στον άξονα x x , θα πρέπει: 0f(x ) 0 και 0f (x ) 0 .

13. Αν μια ευθεία (ε) έχει μόνο ένα σημείο τομής με τη γραφική παράσταση της f , τότε είναιοπωσδήποτε εφαπτόμενη αυτής.



14. Αν η f παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ, 0x Δ και 0x είναι μια λύση της εξίσωσης f (x) 1 0

τότε στο 0x η εφαπτόμενη της fC είναι παράλληλη προς την διχοτόμο y x της 1ης και 3ης

γωνίας των αξόνων.15. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας σταθερής συνάρτησης σε οποιοδήποτε ση-

μείο της, συμπίπτει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.16. Αν οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων τέμνονται, τότε στο κοινό τους σημείο δέχο-

νται κοινή εφαπτομένη.17. Η συνάρτηση 2012f(x) x έχει διαφορετική κλίση σε κάθε σημείο της.

18. Υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 2013f(x) x

στα οποία η fC έχει τον ίδιο ρυθμό μεταβολής.

19. Αν f(x) g(x) για κάθε x (α,β) και f παραγωγίσιμη στο (α,β) , τότε η g παραγωγίσιμη στο

(α,β) και f (x) g (x) για κάθε x (α,β) .

20. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη για κάθε x , τότε η f (x) είναι συνεχής

συνάρτηση για κάθε x .21. Αν η f : είναι άρτια και παραγωγίσιμη, τότε η f είναι περιττή.22. Αν ο αριθμός 0x είναι διπλή ρίζα της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x) , τότε το 0x είναι ρίζα

της f (x) .

23. Αν f,g : Δ , Δ διάστημα και το 0x Δ ώστε η συνάρτηση f g να είναι παραγωγίσιμη στο

0x , τότε η f και η g είναι παραγωγίσιμες στο 0x .

24. Αν f,g : Δ , Δ διάστημα και το 0x Δ ώστε η συνάρτηση f να είναι παραγωγίσιμη στο 0x

και η g να μην είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε η f g δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0x .

25. Η ρητή συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη.26. Αν xf(x) x , x 0 , τότε η f είναι παραγωγίσιμη με xf (x) x (1 ln x), x 0 .

27. Αν 3f (x) 4x , τότε 4f(x) x 5, x .

28. Αν f παραγωγίσιμη στο 0x και η g δεν παραγωγίζεται στο 0g(x ) , τότε η g f δεν παραγωγί-

ζεται στο 0x .

29. Αν f,g : Δ , Δ διάστημα και 0x Δ ώστε οι συναρτήσεις f, g να είναι παραγωγίσιμες στο

0x , τότε η f g είναι παραγωγίσιμη στο 0x .

30. Αν f,g : Δ , Δ διάστημα και 0x Δ ώστε οι συναρτήσεις f, g να μην είναι παραγωγίσιμες

στο 0x , τότε η f g δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0x .

31. Αν f,g : Δ , Δ διάστημα και 0x Δ ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο 0x , 0f(x ) 0 και

f g παραγωγίσιμη στο 0x , τότε η g παραγωγίσιμη στο 0x .

32. Αν f,g : Δ , Δ διάστημα και 0x Δ ώστε οι συναρτήσεις f g παραγωγίσιμες στο 0x με,

0g(x ) 0 τότε, η fg

παραγωγίσιμη στο 0x .


33. Αν μια συνάρτηση g δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0x και η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο

0g(x ) , τότε η f g δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0x .

34. Η συνάρτηση f με f(x) 1 x είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της.

35. Η συνάρτηση f μεx

1f(x)2

είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύειx

1f (x) ln 22

.

36. Αν f : παραγωγίσιμη, τότε η συνάρτηση h με 2h(x) f (x) ημf(x) είναι παραγωγίσιμη.

37. Αν μια συνάρτηση f είναι πολυωνυμική ν 1 βαθμού, τότε η f είναι επίσης πολυωνυμική ν-οστού βαθμού.

38. Αν f (x) 2ημ2x , τότε ισχύει πάντα f(x) συν2x 1 .

39. Η συνάρτηση f με1xf(x) x , x 0 είναι παραγωγίσιμη στο 1 με f (1) 1 .

40. Αν f,g : παραγωγίσιμες με f f(x) g (x), x , τότε f f (1) (f g )(1) .

41. Αν f : παραγωγίσιμη με f ημx συνx, x , τότε 2f(ημx) συν x, x .

42. Αν f(x) ημx , τότε f (x) f(x) x, x .

43. Αν 2f(x) ln(x 1) , τότε f (0) 1 .

44. Αν η πολυωνυμική συνάρτηση f έχει το ρ διπλή ρίζα, τότε η f ΄ έχει το ρ απλή ρίζα.

45. Αν 0f (x ) 0 , τότε 0

0

f(x) f(x )0

x x

για κάθε x κοντά στο 0x .

46. Ανh 0

f(3 h) f(3)lim 10h

, τότε f (3) 10 .

47. Είναι πf(x) συν 3

. Άρα πf (x) ημ3

.

48. Για την f ισχύει ότι f (3) 5 , τότε θα είναι f (3) (5) 0

49. Είναιx 5

d(x 5) 5dx

.

50. Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ, τότε η f ′ είναι συνεχήςστο Δ.

51. Η συνάρτηση 2012 ,x 3f x

2013 ,x 3

είναι παραγωγίσιμη στο , με f (x) 0 .

52. Αν η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε 0 0 0(f g) (x ) f (x ) g (x )

53. Ο ρυθμός μεταβολής μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης στο 0x του πεδίου ορισμού της, ισού-

ται με την παράγωγό της στο 0x .

54. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης, της γραφικής παράστασης μιας παραγωγίσι-μης συνάρτησης στο 0x του πεδίου ορισμού της, ισούται με το ρυθμό μεταβολής της συνάρ-

τησης στο 0x .

55. Ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος που διανύει ένα κινητό, ως προς το χρόνο, εκφράζειτην επιτάχυνση του κινητού.


56. Ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος που διανύει ένα κινητό, ως προς το χρόνο, εκφράζειτη ταχύτητα του κινητού.

57. Αν Κ είναι η συνάρτηση που εκφράζει το κόστος της παραγωγής x μονάδων ενός προϊόντοςτότε, το όριο

0x xlim K(x)

εκφράζει το οριακό κόστος στο 0x .

58. Ο ρυθμός μεταβολής της επιφάνειας ενός κύκλου ως προς την ακτίνα του ισούται με τηνπερίμετρο του κύκλου.

59. Ένα κινητό κινείται κατά μήκος του ενός άξονα και υ(t) είναι η ταχύτητα του κινητού τηνχρονική στιγμή t. Παρακάτω είναι η γραφική παράσταση της υ(t) . Τότε

α) Όταν t 0,4 το κινητό κινείται προς τα δεξιά.

β) Όταν t 2 το κινητό είναι ακίνητο.γ) Όταν t 4 το κινητό αλλάζει φορά κίνησης.δ) Όταν t 6 το κινητό έχει επιτάχυνση μηδέν.ε) Όταν t 8 το κινητό αλλάζει φορά κίνησης δεξιά προς αριστερά.στ) Όταν t 2,6 το κινητό επιβραδύνει.

Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών

1. Σε ποιο από τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ είναι η

παράγωγος της συνάρτησης f ίση με 0.

Α: στο Κ Β: στο Λ

Γ: στο Μ Δ: στο Ν

Ε: στο Ξ

y

xO

K

ΛΜ

Ν

Ξ

2. Η ευθεία (ε) είναι εφαπτομένη της καμπύλης

( )y f x στο σημείο (– , )Σ 1 1 . Τότε (– ) f 1

Α: 1 Β: – 1

Γ: 2 Δ: – 2

Ε: κανένα από τα προηγούμενα

y

xO

y=f(x)2

1

-1-2

ε

Σ

5. παράγωγοι α' (2013)

Education

Transcript of 5. παράγωγοι α' (2013)