Παράγωγοι, συμβολισμοί

Αν Y=f(X) μια παραγωγίσιμη συνάρτηση του Χ οι συμβολισμοί

YDXfDdX

Xdf

dX

dYXfY XX ),(,

)(,),(',

είναι αποδεκτοί συμβολισμοί της παραγώγου της Υ.

• Σχετικός ρυθμός μεταβολής= κατά κεφαλήν ρυθμός μεταβολής.

12

12

XX

YY

X

Y

0limdY Y

dX Xx

dX

dY

Y

1

•Μέσος ρυθμός μεταβολής =

Η ακρίβεια αυξάνει όσο μειώνεται το διάστημα Χ2-Χ1. Του διαστήματος αυτού τείνοντος στο μηδέν ο ρυθμός μεταβολής που υπολογίζουμε είναι ο

•Απόλυτος ρυθμός μεταβολής=

Αν Υ=f(X) συνεχής συνάρτηση σε διάστημα που περιλαμβάνει το σημείο Χ0 , ο απόλυτος ρυθμός μεταβολής στο σημείο Χ0 είναι η παράγωγος της f στο δεδομένο σημείο

2 1 1 1 1

2 1

2

7 7

N N N N NN

t t t

rt

tN ce rNrcecedt

dN rtrt )'(

rdt

dN

N

1

00

0 NcceN

1 0 0 0

1ln(22 l 2 )n( )r rN N e N N e r

dN

N dt

ln(2)dN

Ndt

•Έστω ότι ο πληθυσμός Ν των μικροβίων σε μια καλλιέργεια διπλασιάζεται κάθε εβδομάδα.

Ο μέσος ημερήσιος ρυθμός μεταβολής είναι

Αν

•Για βήμα χρόνου μιας εβδομάδας

•Στην αρχή του χρόνου (t=0) ισχύει ότι

Αν c,a,k σταθερές, ισχύουν τα παρακάτω

21

2

1

2

1

1

1

1)'(tan,

1

1)'(cos,

1

1)'(sin

)sin()'cos(),cos()'sin(,)(

1)'(,

1)'(

)()'(,)'(,)'(,)'(,0)'(

XX

XX

XX

XXXXaXLn

XLogX

XLn

aLnaaeekXXaaXc

a

XXXXkk

Κανόνες παραγώγισης

Αν a,b σταθερές και f(x),g(x) παραγωγίσημες συναρτήσεις ισχύουν οι παρακάτω κανόνες

)('))((')))'(((

)]([

)(')')(

1(

)]([

)(')()()(')')(

)((

)()(')(')())'()((

)(')('))'()((

2

2

xgxgfxgf

xf

xf

xf

xg

xgxfxgxf

xg

xf

xgxfxgxfxgxf

xbgxafxbgxaf

Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης

dZ

dZ

dY dY

dX dX

Αν γνωρίζω το

dt

dW

W

1

και θέλω να βρω το

dt

dH

H

1

Ισχύει ότι

dt

dW

dW

dH

dt

dH

άρα πρέπει να βρω το

dW

dH

Έστω ότι 75.05.0 WH

4

1

8

3 W

dW

dH

dt

dWW

dt

dW

dW

dH

dt

dH 4

1

8

3

.

dt

dW

Wdt

dWW

dt

dWW

Wdt

dWW

Hdt

dH

H

1

4

3

4

3

8

3

5.0

1

8

311 14

1

4

34

1

Χρήση παραγώγων στα προβλήματα μεγιστοποίησης- ελαχιστοποίησης

Παράδειγμα: Περίφραξη ορθογωνίου τμήματος αγρού στο σύνορο ποταμού με περιορισμένου μήκους συρματόπλεγμα

Ζητούμενο : Μέγιστο εμβαδόν

Συνάρτηση κριτήριο: Ε=ΧΥ

Περιορισμός: L=2X+Y άρα Υ=L-2Χ

Ε=Χ(L-2Χ), Για πια τιμή του Χ το Ε μεγιστοποιείται;

Ε’=L-4X E’=0 όταν Χ=L/4 (ακρότατο)Ε’’=-4 (μέγιστο)

Μεγιστοποίηση κέρδους από καλλιέργεια

• Συλλογιστική• Το μεικτό κέρδος είναι ανάλογο του βάρους του εκτρεφόμενου ζώου

τη στιγμή της πώλησης. • Το βάρους των ζώων αυξάνει αρχικά αλλά στη συνέχεια

σταθεροποιείται• Το κόστος εκτροφής περιλαμβάνει ένα αρχικό κόστος αγοράς

νεαρών ζώων και το ημερήσιο κόστος που είναι ανάλογο του χρόνου εκτροφής

• Καθαρό κέρδος = Μεικτό κέρδος –Συνολικό κόστος• Αν σταματήσω την καλλιέργεια νωρίς τα ζώα δεν θα έχουν κερδίσει

αρκετό βάρος • Αν συνεχίσω την καλλιέργεια πέραν ενός σημείου τα ζώα θα

κερδίζουν βάρους με μικρό ρυθμό ενώ τα έξοδα εκτροφής θα αυξάνουν συνεχώς

Μεγιστοποίηση κέρδους από καλλιέργεια

• Αρχικό κόστος αγοράς γόνου= Κα Ευρώ /άτομο

• Το αρχικό βάρος κάθε ατόμου είναι W0

• Μεταβολή βάρους με το χρόνο • ημερήσιο κόστος εκτροφής ανά άτομο Κε

• Τιμή πώλησης Ε Ευρώ το κιλό • Μεικτό κέρδος • Συνολικά έξοδα

• Καθαρό κέρδος

0( ) mttW a W a e

0( ( ) )mttEW E a W a e

a eK K t

0( ( ) )mt a eE a W a e K K t

0( ( ) )mt a eE a W a e K K t

0

0

( ( ( ) ) ) 'mta e

mt mt mte

E a W a e K K t

mEae mEW e mEae K

0mt

emEW e K

0 00

0mt mt mt ee e

KmEW e K mEW e K e

mEW

0

0

ln

ln e

e

Kmt

mE

K

mW

mEWt

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

RR fn

),...,( 21 nxxxfY

),( YXfZ

22),( XYYXfZ

Z

X

Y

Χ=α =σταθερά, τότε 22),( aYYafZ

παραβολή που έχει ελάχιστο στο σημείο Χ=α, Υ=0, Ζ= -α2

Υ=α =σταθερά, τότε 22),( XaaXfZ

παραβολή που έχει μέγιστο στο σημείο Χ=0, Υ=α, Ζ= α2

Αν Ζ =σταθερά-8.0

-8.0

-6.0

-6.0

-4.0

-4.0

-2.0

-2.0

0

0

2.0

2.0

4.0

4.0

6.0

6.0

8.0

8.0

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

Y

XΖ=2

444 22222 XYXYXY

-3-2

-10

12

3 -3-2

-10

12

3

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18Z

YX

1.8

3.6

5.4

7.2

9.0

11

11

11

11

13

1313

13

14

14 14

14

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

Y

X

22),( XYYXfZ

2 2 2 2 2( )Z a a Y X Y X a

Ισοσταθμικές καμπύλες (contour lines)

Μερική παράγωγος• Συμβολίζει την μεταβολή της εξαρτημένης

μεταβλητής Υ όταν μεταβάλλεται μία από τις ανεξάρτητες μεταβλητές, των υπολοίπων θεωρουμένων σταθερών

• Αν Ζ=f(X,Y)

X

Z

Y

Z

Μερικές παράγωγοι

22),( XYYXfZ

XXX

XY

X

Z220

)( 22

YY

XY

Y

Z2

)( 22

Ασκήσεις

11 1 2 1 2( , ) (1 )

Nf N N N aN

K

2 1 2 2 1( , ) ( 1)f N N N bN

1 1

1 2

2 2

1 2

f f

N N

f f

N N

Υπολογίστε τις μερικές παραγώγους

Ταχύτητα μεταβίβασης σήματος από νευρώνες

r

R

X=r/R

0<X<1

Ταχύτητα διάδοσης σήματος σε μονωμένους αγωγούς

U=-aX2LnX

a=σταθερά

Σε ποια τιμή Χ μεγιστοποιείται η ταχύτητα ;

Στους άξονες των νευρώνων Χ=0.6 περίπου

Αόριστο ολοκλήρωμα

Η ολοκλήρωση είναι αντίστροφη διαδικασία της παραγώγισης

( ) ( )d

f X dX f X cdX

Κανόνες ολοκλήρωσης

)()( )('' xfxf exfe

cedxexf xfxf )()()('

2 2 2 221 1 12 ( ) '2 2 2

x x x xxe dx xe dx x e dx e C

ln( ( ) ' '( ) / ( )f x f x f x

'( ) / ( ) ln( ( ) )f x f x dx f x c 2

22 2

2 (1 ) 'ln(1 )

1 1

x xdx dx x c

x x

1)()(')')(( nn xfxnfxf

cxfdxxfxnf nn )()()(' 1

5 5 5 61(1 ) 1(1 ) (1 ) '(1 ) (1 )

6x dx x dx x x dx x c

Μέθοδος αλλαγής μεταβλητής

)('))(())((' xgxgfxgf

cxgfdxxgxgf ))(()('))((

Ολοκλήρωση κατά παράγοντες

( ) ( ) ' ( ) '( ) '( ) ( )f x g x f x g x f x g x

( ( ) '( ) '( ) ( )) ( ) ( )f x g x f x g x dx f x g x c