Mathematische Probleme, SS 2019 Montag 1.7

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§4 Spharische Trigonometrie

4.4 Geographische Koordinaten

ϕM

N

P

λ

2M

N

α

β

γ

c

ab

P2

P1

ϕ

Langengrad λ und Breitengrad ϕ Abstand auf Großkreis

Wir betrachten wieder eine Kugel, die wir uns diesmal als die Erdkugel vorstellen.Wir wollen die Punkte auf K durch Koordinaten beschreiben. Eine Gerade durch denMittelpunkt M der Kugel sei vorgegeben, im Fall der Erde nimmt man hierfur dieRotationsachse der Erde. Die beiden Schnittpunkte der Achse mit K sind die bei-den Pole, einen nennen wir Nordpol N , den anderen den Sudpol S. Die Großkreisedurch Nord- und Sudpol, heißen dann die Langenkreise, oder Meridiane. Einer vondiesen wird willkurlich als Nullmeridian ausgewahlt, im Fall der Erde wurde hierfurder durch Greenwich laufende Meridian gewahlt. Die erste geographische Koordinateλ eines Punktes P ist nun der Langengrad, dies ist der Winkel den der Meridian durchP mit dem Nullmeridian bildet. Dabei zahlen wir die ostliche Richtung als positiv, alsomit steigenden Langengrad. Statt eines Vorzeichens wird ublicherweise der Zusatz

”E“

fur”ostlich“ und

”W“ fur

”westlich“ verwendet, d.h. ein Langengrad von 17◦ E meint

den Meridian 17◦ ostlich des Nullmeridians wahrend 17◦ W den Meridian 17◦ westlichdes Nullmeridians bezeichnet. Wird nichts weiter angegeben so ist in diesem Skriptimmer die positive, also ostliche, Richtung gemeint.

Die Ebene senkrecht auf der Achse durch M schneidet die Kugel K in einem Groß-kreis der der Aquator genannt wird, die Ebene heißt entsprechend die Aquatorebene.Die zweite Koordinate eines Punktes P ist nun der Breitengrad ϕ, d.h. der Winkelden MP mit der Aquatorebene bildet. Die Punkte konstanten Breitengrades bilden

21-1

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einen zum Aquator parallelen Kleinkreis, einen sogenannten Breitenkreis. Die nordli-che Richtung interpretieren wir beim Breitengrad als die positive Richtung und diesudliche entsprechend als die negative Richtung. Wie beim Langengrad wird dies auchbeim Breitengrad ublicherweise nicht durch ein Vorzeichen angegeben sondern durchdie Zusatze

”N“ fur

”nordlich“ und

”S“ fur

”sudlich“. Liegt keine weitere Angabe vor

so ist in diesem Skript immer die nordliche Richtung gemeint.Fur die folgenden Beispiele schauen wir uns zwei Punkte an, den Punkt

P1 ist Kiel mit λ1 = 10◦08′, ϕ1 = 54◦20′,

und den Punkt

P2 ist Peking mit λ2 = 116◦28′, ϕ1 = 39◦54′.

Die Nachkommastellen bei solchen geographischen Koordinaten werden traditionell se-xagesimal zur Basis 60 dargestellt, d.h. 28′ meint 28/60 Grad, weitere Nachkommastel-len werden dann mit mehreren Strichen markiert. In dezimales Gradmaß umgerechnetsind auf vier Nachkommastellen

λ1 = 10, 1333◦, ϕ1 = 54, 3333◦, λ2 = 116, 4666◦, ϕ2 = 39, 9◦.

Angenommen wir haben zwei Punkte P1 mit Koordinaten λ1, ϕ1 und P2 mit Koor-dinaten λ2, ϕ2. Um den Abstand dieser beiden Punkte auszurechnen, betrachte desspharische Dreieck P1P2N mit Seiten wie im obigen Bild markiert. Gesucht ist die Sei-te c. Setzen wir den Meridian durch P2 bis zum Aquator fort, so entstehen insgesamt90◦ und der Teil zwischen P2 und dem Aquator ist dabei der Breitengrad ϕ2, also habenwir

a =π

2− ϕ2 und analog b =

π

2− ϕ1.

Der Winkel γ ist der Winkel zwischen den Meridianen durch P1 und P2, und da derLangengrad der Winkel zum Nullmeridian ist, folgt

γ = λ2 − λ1.

Damit haben wir genug Daten zusammen unser Dreieck zu berechnen. Mit dem Sei-tencosinussatz Satz 3 folgt

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ

= cos(π

2− ϕ2

)cos

(π

2− ϕ1

)+ sin

(π

2− ϕ2

)sin

(π

2− ϕ2

)cos γ

= sin ϕ1 sin ϕ2 + cos ϕ1 cos ϕ2 cos(λ2 − λ1).

Mit dieser Formel lassen sich Abstande von in Langengrad und Breitengrad gegebenenPunkten berechnen. In unserem obigen Beispiel Kiel–Peking wird

cos c ≈ 0, 395334 also c ≈ 1, 164365.

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Dies ist der Winkelabstand, um den metrischen Abstand zu kriegen mussen wir nochmit dem Radius unserer Kugel multiplizieren, also mit dem Erdradius R = 6371, 2kmund der Abstand Kiel–Peking langs des verbindenden Großkreises wird

|P1P2| = Rc ≈ 7418, 4km.

Auch die beiden Winkel α und β in unserem spharischen Dreieck P1P2N haben eineBedeutung. Unter dem Kurswinkel einer Kurve auf K in einem Punkt versteht manden Winkel zum durch den Punkt laufenden Meridian, dann sind α der Kurswinkel imStartpunkt P1 der Strecke P1P2 und β der Kurswinkel im Endpunkt P2, man nenntα den Abfahrts- und β den Ankunftswinkel. Wir konnen diese beispielsweise mit demspharischen Sinussatz Satz 6 berechnen, es ist sin c/ sin γ ≈ 0, 95716698 und somit

sin α =sin a

0, 95716698=

cos ϕ2

0, 95716698≈ 0, 80149562

und der Abfahrtswinkel wird α ≈ 53, 273162◦. Fur den Ankunftswinkel berechnen wiranalog β ≈ 37, 528888◦.

β

M

N

α

b

P1

aγ

P2

Beim Vorgehen uber den Sinussatz ist allerdings etwas Sorgfalt erforderlich da sich derSinus nur zwischen 0 und π/2 umkehren laßt, man muss also wissen ob der untersuchteWinkel großer oder kleiner als π/2 ist. Alternativ kann man α und β auch uber denSeitencosinussatz berechnen, dies ist zwar rechnerisch etwas unangenehmer fuhrt aller-dings immer zum Erfolg. Weiter wollen wir jetzt noch die geographischen Koordinatendes nordlichsten Punktes auf unserem Großkreis berechnen. Wir nennen diesen einmalP ∗ mit Langengrad λ∗ und Breitengrad ϕ∗. Im nordlichsten Punkt ist der Großkreisparallel zum Breitenkreis durch P ∗, also senkrecht auf dem Meridian durch P ∗, wirhaben also ein in P ∗ rechtwinkliges spharisches Dreieck P1P

∗N wobei N wieder furden Nordpol unserer Sphare steht. Seiten und Winkel in diesem Dreieck ergeben sichwie oben als

a =π

2− ϕ∗, b =

π

2− ϕ1 und γ = λ∗ − λ1.

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Der Winkel α ist der schon berechnete Abflugswinkel. Der spharische Sinussatz Satz 6liefert

cos ϕ1 = sin b =sin b

sin π2

=sin a

sin α=

cos ϕ∗

sin α,

also

cos ϕ∗ = sin α cos ϕ1 ≈ 0, 467327

und der Breitengrad unseres nordlichsten Punktes wird

ϕ∗ ≈ 62, 139061◦, d.h. ϕ∗ = 62◦08′.

Zur Berechnung des Langengrades von P ∗ verwenden wir den Winkelcosinussatz Satz5

cos α = sinπ

2sin(λ∗ − λ1) sin ϕ∗ − cos

π

2cos(λ∗ − λ1),

also

sin(λ∗ − λ1) =cos α

sin ϕ∗ ≈ 0, 67640677

und somit

λ∗ − λ1 ≈ 42, 563489◦, d.h. λ∗ ≈ 52, 698223◦ = 52◦41′.

Der bisher betrachtete Großkreis gibt uns zwar die kurzeste Verbindung zweier Punk-te, er hat aber den Nachteil das sich langs dieses Großkreises der Kurswinkel, also derWinkel zu den Meridianen, standig andert. Hat man eine Seekarte bei der die Meri-diane als vertikale Geraden und die Breitenkreise als waagerechte Geraden abgebildetwerden, so ist es einfacher den Kurs, zumindest abschnittsweise, durch Geradenstuckein dieser Karte zu bestimmen, auf diese Weise entstehen auf der Erdkugel Kurven diealle Meridiane in einem konstanten Winkel α treffen. Man nennt solche Kurven Lox-odrome, oder genauer Loxodrome mit Kurswinkel α. Wir wollen jetzt bestimmen wiedie Koordinaten der Punkte auf solch einer Loxodrome aussehen.

N

ϕM

r

R

P

QR cos

R dds

α

ϕ

ϕ

(λ,ϕ)

(λ+d

d λ

λ,ϕ+d ϕ)

P

P’

Radius eines Breitenkreises Loxodromengleichung

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Als eine Hilfsgroße benotigen wir den eukldischen Radius r des Breitenkreises zumBreitengrad ϕ. Bezeichne M wieder den Erdmittelpunkt, P einen Punkt auf dem Brei-tenkreis und N den Mittelpunkt des Breitenkreises. Dann haben wir das bei N recht-winklige Dreieck MNP dessen Winkel bei M gleich π/2−ϕ ist, und in diesem Dreiecksind |MP | = R der Erdradius und NP das gesuchte r. Wir erhalten

cos ϕ = sin(π

2− ϕ

)=

r

R,

also hat unser Breitenkreis den Radius r = R cos ϕ. Die Gleichung der Loxodromeleiten wir jetzt eher heuristisch auf

”infinitesimalen Weg“ her. Sei P ein Punkt auf der

Loxodrome mit den geographischen Koordinaten (λ, ϕ). Ein kleines Stuck ds weiterauf der Loxodrome wird dann der Punkt P ′ mit Koordinaten (λ+dλ, ϕ+dϕ) erreicht.Wir betrachten das oben rechts gezeigte Dreieck PQP ′ mit |PP ′| = ds, der Abstand|QP ′| ist der Abschnitt des Meridians durch Q zur Differenz dϕ der Breitengerade, also|QP ′| = R dϕ, und |PQ| ist schließlich der Abschnitt des Breitenkreises zum Breiten-grad ϕ zur Differenz dλ der Langengerade, also |PQ| = R cos ϕ dλ da der Radius diesesBreitenkreises gleich R cos ϕ ist. Bei infinitesimalen ds konnen wir uns das DreieckPQP ′ euklidisch denken und erhalten

sin α = cos(π

2− α

)=

R cos ϕ dλ

dsund cos α = sin

(π

2− α

)=

R dϕ

ds,

wobei α der konstante Kurswinkel der Loxodrome zu den Meridianen ist. Hieraus ergibtsich weiter

tan α =sin α

cos α= cos ϕ

dλ

dϕ, also

dλ

dϕ=

tan α

cos ϕ

und somit wird

λ = tan α ·∫

dϕ

cos ϕ.

Zur Berechnung dieses Integrals substituiere

x = sin ϕ alsodx

dϕ= cos ϕ sowie cos ϕ dϕ = dx,

und erhalte∫dϕ

cos ϕ=

∫1

cos2 ϕcos ϕ dϕ =

∫1

1 − sin2 ϕcos ϕ dϕ =

∫dx

1 − x2

=1

2

∫ [1

1 − x+

1

1 + x

]dx =

1

2ln

1 + x

1 − x=

1

2ln

1 + sin ϕ

1 − sin ϕ.

Die Loxodromen zum Kurswinkel α haben also die Gestalt

λ = λ0 +tan α

2ln

1 + sin ϕ

1 − sin ϕ

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mit einer Konstanten λ0. Wollen wir den Kurswinkel α der Loxodrome durch zweiPunkte P1 mit Koordinaten (λ1, ϕ1) und P2 mit Koordinaten (λ2, ϕ2) bestimmen, sohaben wir die beiden Gleichungen

λ1 = λ0 +tan α

2ln

1 + sin ϕ1

1 − sin ϕ1

,

λ2 = λ0 +tan α

2ln

1 + sin ϕ2

1 − sin ϕ2

,

fur λ0 und α, also

λ0 = λ1 −tan α

2ln

1 + sin ϕ1

1 − sin ϕ1

und die zweite Gleichung wird zu

λ2 = λ1 +tan α

2ln

(1 + sin ϕ2)(1 − sin ϕ1)

(1 + sin ϕ1)(1 − sin ϕ2),

also ist der Kurswinkel α bestimmt als

cot α =1

2(λ2 − λ1)ln

(1 + sin ϕ2)(1 − sin ϕ1)

(1 + sin ϕ1)(1 − sin ϕ2).

Auch die Bogenlange der verbindenden Loxodrome L konnen wir dieser Uberlegungentnehmen, schreiben wir das Linienelement als

ds =R

cos αdϕ,

so wird die Lange zu

`(L) =R

cos α(ϕ2 − ϕ1).

Wir schauen uns dies konkret am Beispiel der Verbindung Kiel–Peking an, Kiel hattedie Koordinaten λ1 = 10◦08′, ϕ1 = 54◦20′ und Peking war λ2 = 116◦28′, ϕ2 = 39◦54′.Langs eines Großkreises hatten wir den Abstand von 7418, 4 km berechnet. Setzen wirdiese Koordinaten in unsere Loxodromenformel ein, so mussen wir daran denken dasλ1, λ2 im Bogenmaß verwendet werden mussen, also λ1 = 0, 176859 und λ2 = 2.032726und der Kurswinkel α wird

cot α = 0, 269416 · ln(0, 47380384) = −0, 201243

also α = −1, 372205 = −78, 62◦, wobei dies alles gerundete und keine exakten Wertesind. Fur den Abstand langs der Loxodrome brauchen wir auch die Breitengrade imBogenmaß als ϕ1 = 0, 948295, ϕ2 = 0, 696386 und erhalten mit einem Erdradius vonR = 6371, 2 km den Loxodromenabstand von 8135, 11 km, diese Strecke ist also ummehr als 700 km langer als der Weg uber den Großkreis.

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4.5 Berechnung der Tageslange

In diesem Abschnitt wollen wir als eine weitere Anwendung der spharischen Trigo-nometrie die Berechnung der Tageslange durchfuhren. Angenommen wir haben eineKugel E mit Mittelpunkt M und Radius R > 0 die von einer Lichtquelle in der Entfer-nung S beleuchtet wird. Denken wir uns der Einfachheit halber das alle Lichtstrahlenvom Mittelpunkt der Quelle ausgehen, so bilden wir einen Kegel mit Spitze in S dertangential an der Kugel anliegt, und der beleuchtete Teil unserer Sphare ist dann dasInnere des Kleinkreises in dem der Kegel die Kugel beruhrt. Dieser Kleinkreis bildetmit MS einen Winkel φ und lesen wir den Cosinus von φ im unten links gezeigtenrechtwinkligen Dreieck ab, so ergibt sich

cos φ =R

S.

Sind nun E die Erde und unsere Lichtquelle die Sonne, so ist R der Erdradius R =6371, 2 km und S ist der Abstand zur Sonne. Der genaue Wert von S hangt von derJahreszeit ab, der kleinste auftretende Wert sind S = 147 099 000 km. Fur den Winkel φergibt sich φ ≈ 89, 997599◦, und fur alle praktischen Zwecke sind dies 90◦. Am Ende derletzten Sitzung hatten wir begonnen die Berechnung der

”geometrischen Tageslange“

in Abhangigkeit von Jahreszeit und Breitengrad durchzufuhren. Wir hatten uns bereitsuberzeugt das wir zumindest naherungsweise davon ausgehen konnen das immer aufeiner Halfte der Erdoberflache Tag ist wahrend auf der anderen Halfte Nacht ist.

φ S

RH

M

δ0Äquator

Ekliptik

F

Lichtquelle Ekliptik

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