4 Distribuci£³ dels estad£­stics ... Concepte intuitiu de mostra...

download 4 Distribuci£³ dels estad£­stics ... Concepte intuitiu de mostra aleat£²ria simple (m a s ) Distribuci£³

of 21

  • date post

    26-Apr-2020
  • Category

    Documents

  • view

    0
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of 4 Distribuci£³ dels estad£­stics ... Concepte intuitiu de mostra...

  • 4 Distribució dels estadístics mostrals

    4.1. Distribució de la mitjana mostral 4.2. La distribució t-Student 4.3. Intèrval de confiança 1-α per la µ 4.4. La llei de Chi-Quadrat 4.5. Distribució de la variança mostral 4.6. Intèrval de confiança 1-α per la σ2

    En acabar aquest tema seràs capaç de:

    1. Deduir la distribució de la mitjana mostral i de la variança mostral i saber identificar les seves implicacions.

    2. Calcular probabilitats sobre la mitjana o la variança mostral. 3. Estimar puntualment i per interval de confiança la mitjana i la

    variança de la població a partir de les dades d'una mostra. 4. Enumerar les característiques de les distribucions t-student,

    Chi-quadrat i F-Snedecor. 5. Demostrar com es distribueix la diferència de dos mitjanes o el

    quocient de dues variances.

  •  

  • Concepte intuitiu de mostra aleatòria simple (m a s )

    Distribució d’estadístics mostrals en m.a.s na

    Concepte intuitiu de mostra aleatòria simple (m.a.s.)

    st ria

    l d e

    B ar

    ce lo

    n

    Població Mostra

    En gi

    ny er

    ia In

    du s

    st ic

    a de

    l’ ET

    S d’

    E

    m.a.s.: Tot element de la població té la mateixa probabilitat de ser escollit per formar part de la mostra

    fe ss

    or s

    d’ es

    ta dí

    s

    Y1, Y2, ..., Yn són INDEPENDENTS

    © P

    ro f

    Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 2

    Distribució de mitjanes i variances

    � �yf

    na

    Població

    y

    Mostres aleatòries �

    st ria

    l d e

    B ar

    ce lo

    n y�

    1n1211 Y...,,Y,Y

    2n2221 Y...,,Y,Y

    2 1S 2 2S

    1Y�

    2Y�

    En gi

    ny er

    ia In

    du s 2n2221 ,,, 22

    st ic

    a de

    l’ ET

    S d’

    E

    KnK2K1 Y...,,Y,Y

    ?

    2 KS

    ?

    KY�

    fe ss

    or s

    d’ es

    ta dí

    s

    0 ?�?� 22 SS

    ?

    ?�?�

    ?

    © P

    ro f

    Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 3

    � 22 SS?�?� yy

    _______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________

    121

  • Exemple introductori: distribució de l’alçada de persones

    M t 1 M t 2 M di t l

    na

    Muestra 1 Muestra 2 Medias muestrales 183,7 171,9 170,9 178,5 188,5 172,8 160,0 168,3 169,5 171,9 176,4 168,8 176,6 173,0 171,1 160 0 171 0 171 1

    st ria

    l d e

    B ar

    ce lo

    n 160,0 171,0 171,1 174,3 161,8 172,5 160,0 169,2 170,4 170,1 169,0 170,5 170,1 177,6 170,7 160,3 165,5 172,4 165 5 171 7 169 6

    En gi

    ny er

    ia In

    du s 165,5 171,7 169,6

    172,3 181,9 ... 169,7 176,5 173,7 166,7 175,5 185,5 170,6 173,8 169,1 169,8 181,1 184,0 171,2 166,7 163,0 169,4

    st ic

    a de

    l’ ET

    S d’

    E , , , 166,3 153,8 170,4 174,0 186,5 168,7 173,4 167,9 170,7 171,6 176,0 173,6 174,0 171,0 168,2 173,2 177,5 171,5

    fe ss

    or s

    d’ es

    ta dí

    s

    162,2 165,7 170,7

    Mitjana = 170,9 Mitjana = 172,8

    © P

    ro f

    Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 4

    Exemple introductori: distribució de l’alçada de persones

    na

    Les mitjanes de mostres de 25 individus

    st ria

    l d e

    B ar

    ce lo

    n En

    gi ny

    er ia

    In du

    s

    160 170 180

    Els 25 valors d’una de les mostres

    st ic

    a de

    l’ ET

    S d’

    E Els 25 valors d una de les mostres

    Hi ha més dispersió en els valors individuals que en

    fe ss

    or s

    d’ es

    ta dí

    s Hi ha més dispersió en els valors individuals que en les mitjanes mostrals

    © P

    ro f

    Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 5

    _______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________

    122

    lrodero Texto escrito a máquina 4.1 Distribució de la mitjana mostral

  • Exemple introductori: distribució de l’alçada de persones na

    Distribució de l’alçada mitjana de mostres de tamany 25

    st ria

    l d e

    B ar

    ce lo

    n

    25

    Y25 ~ N(170; 1,6)

    En gi

    ny er

    ia In

    du s 20

    15

    Distribució d’alçades individuals

    Y ~ N(170; 8)

    st ic

    a de

    l’ ET

    S d’

    E

    10

    5

    fe ss

    or s

    d’ es

    ta dí

    s

    2.01.91.81.71.61.51.4

    0

    Altura

    © P

    ro f

    Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 6

    Si i (Y Y Y Y ) d

    Distribució de la mitjana mostral

    � ��;�N~Y

    na

    Sigui (Y1, Y2, Y3, ..., Yn) una m.a.s. de

    Com que sóc una c.l. de v.a. que segueixen una normal també� �i Y++Y+Y1=Y=Y �

    � ��;�N ~ Y

    st ria

    l d e

    B ar

    ce lo

    n segueixen una normal, també sóc normal

    � �n21i Y+...+Y+Yn = n = Y �

    En gi

    ny er

    ia In

    du s

    Esperança matematica de Y

    ��������� )...( n 1)Y(E

    n cops

    st ic

    a de

    l’ ET

    S d’

    E n

    Variança de Y n cops

    fe ss

    or s

    d’ es

    ta dí

    s

    nn )...(

    n 1)Y(V Y

    2 222

    2

    � �� � �

    © P

    ro f

    Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 7

    _______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________

    123

  • Distribució de mitjanes i variances

    � �yf

    na

    Poblacióm.a.s. (tamany n)

    Fins i tot si

    � �yf

    st ria

    l d e

    B ar

    ce lo

    n Fins i tot si les dades

    originals no 11n1211 YY...,,Y,Y � YYYY �

    En gi

    ny er

    ia In

    du s segueixen

    una normal, les mitjanes

    22n2221 YY...,,Y,Y �

    st ic

    a de

    l’ ET

    S d’

    E

    sí (a partir d’un cert

    valor de n),

    KKnK2K1 YY...,,Y,Y � � �

    � � �

    n �;�N ~ Y

    fe ss

    or s

    d’ es

    ta dí

    s valor de n), pel teorema

    central del límit

    n

    © P

    ro f

    Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 8

    límit�

    _______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________

    124

  • Activitat: Cas Mercamona (1ª part)

    Mercamona produeix sacs de terra per a gats amb un pes que es distribueix segons una llei N(10kg; 0.25kg) on els sacs passen un estricte control de qualitat. El control consisteix en prendre una mostra de 4 sacs a l’atzar de cada lot produït i pesar-los. Es produeix un lot cada hora, així es van recollint mostres de 4 sacs cada hora.

    Quina és la probabilitat de que el pes promig dels quatre sacs estigui per sobre de 10.38 kg.?

    I la probabilitat de que més d’una mitjana del pes dels quatre sacs de 5 mostres consecutives estigui per sota de 9.755 Kg o per sobre de 10.245 Kg?

    _______________________________________________________________________Mètodes estadístics de l'enginyeria I / Estadística_______________________________________________________

    125

  • Distribució de la mitjana mostral

    na

    és el millor estimador puntual de Y �

    El barret indica que

    � �

    � � �

    n �;�N ~ Y

    Y=�̂

    st ria

    l d e

    B ar

    ce lo

    n és un estimador

    Per què?

    Y=�

    En gi

    ny er

    ia In

    du s Per què?

    1. És no esbiaixat. � � � = YE

    st ic

    a de

    l’ ET

    S d’

    E

    2. És consistent � � 0 = n

    �lim = YVlim 2

    nn ����

    fe ss

    or s

    d’ es

    ta dí

    s ©

    P ro

    f

    Mètodes estadístics de l’enginyeria I / Estadística. Distribució d’estadístics mostrals 12

    La distribució t-Student

    Jo em vaig

    na

    Jo em vaig inventar la distribució t-Student

    � � � �

    �Y�

    1;0N ~ �

    �-Y = Z �;�N~Y