Signali i sistemi – Laboratorijska vežba 3

18

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

3.1. Teorijska osnova

Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu FTttt +≤≤ 00 . Tada se može definisati:

,)(1][ 20

0

dtetxT

kX tkfjTt

tF

F

Fπ−

+

∫=

gde je ./1 FF Tf = Koeficijenti X[k] nazivaju se koeficijenti Furijeovog reda ili spektralni koeficijenti signala x(t). Celobrojna promenljiva k predstavlja redni broj harmonika osnovne učestanosti fF. Na ovaj način se signal razlaže na harmonijske komponente, čime se može vršiti dodatna analiza signala. Furijeov koeficijent za k = 0, X[0], predstavlja srednju vrednost signala x(t) na intervalu FTttt +≤≤ 00 :

dttxT

XFTt

tF∫+

=0

0

)(1]0[

Pomoću Furijeovih koeficijenata X[k] može se predstaviti funkcija x(t) na intervalu FTttt +≤≤ 00 odgovarajućim redom

TtttekXtxk

tkfj F +≤≤= ∑+∞

−∞=00

2 ,][)( π

koji se naziva Furijeov razvoj funkcije x(t) u red, ili kraće, Furijeov red. Signali tkfj FekX π2][ se nazivaju harmonijske komponente signala, ili kraće harmonici.

Izvan intervala FTttt +≤≤ 00 , prethodni red ne opisuje funkciju x(t) u opštem slučaju. Van ovog intervala vrednosti koje se dobijaju ovim redom će biti jednake vrednostima funkcije x(t) samo ukoliko je ta funkcija periodična, pri čemu širina intervala FT predstavlja celobrojni umnožak osnovnog perioda funkcije x(t). Stoga su Furijeovi redovi najvecu primenu upravo i našli u analizi vremenski kontinualnih periodičnih funkcija.

Ukoliko postoji beskonačno mnogo ne nultih Furijeovih koeficijenata, prilikom proračuna vrednosti funkcije x(t) u okviru intervala od interesa, u realnom slučaju uzima se samo konačan broj članova u razvoju u red. Samim tim se umesto Furijeovog razvoja kao dovoljno dobra aproksimacija funkcije ponekad uzima tzv. N-ta parcijalna suma Furijeovog reda ili prekinuti Furijeov razvoj:

TtttekXtxN

Nk

tkfjN

F +≤≤= ∑−=

002 ,][)( π

Signali i sistemi – Laboratorijska vežba 3

19

3.2. Zadaci

Zadatak 1 - Razvoj signala u Furijeov red na zadatom intervalu

Dat je signal ( ) 10cos(100 )x t tπ= ⋅ .

a) Primenom simboličkog paketa naći kompleksne koeficijente razvoja date funkcije na intervalu

( 7.5ms,7.5ms)t = − .

b) U dva prozora jedne slike, pomoću komande stem prikazati moduo i fazu koeficijenata X[k] za .1010 ≤≤− k

c) U dva prozora jedne slike, pomoću komande plot prikazati moduo i fazu koeficijenata X[k] za .5050 ≤≤− k

d) U četiri prozora jedne slike, nacrtati dve periode signala )(txN koji odgovara N-toj parcijalnoj sumi Furijeovog reda za N = 10, N = 30, N = 300 i .∞→N

e) U tri prozora jedne slike, nacrtati dve periode signala lim ( ) ( )N N MMe x t x t

→∞= − , gde je ( )Kx t K-ta

parcijalna suma Furijeovog reda signala ),(tx za N = 10, N = 30, N = 300.

Primer za ).100sin()( ttx π= % signal x(t)=sin(100pi *t) syms t k % simbolicke konstante T = 15/1000; w = 2*pi/T; Ck=(1/T)*int(sin(100*pi*t)*exp(-j*w*k*t),t,-T/2, T/2) % rezultat simbolicke integracije se iskopira u program % odredjivanje koeficijenata c[k] za -300<=k<=300 k = -10:1:10; ck = 2^(1/2)*(-3+4*i.*k + 3*exp(2*i*pi.*k) +4*i*exp(2*i*pi.*k).*k)./exp(i*pi.*k)./pi./(16.*k.^2-9); % Ima smisla crtati samo dvadesetak koeficijenata pomocu %komande stem ro = abs(ck); fi = angle(ck); subplot(2,1,1) stem(k,ro); title('moduo koeficijenata') subplot(2,1,2) stem(k,fi); title('faza koeficijenata') pause close all; % brisanje definicija svih varijabli: k,ck k = -50:1:50;

Signali i sistemi – Laboratorijska vežba 3

20

ck = 2^(1/2)*(-3+4*i.*k+3*exp(2*i*pi.*k) +4*i*exp(2*i*pi.*k).*k)./exp(i*pi.*k)./pi./(16.*k.^2-9); % Ima smisla crtati samo dvadesetak koeficijenata pomocu % komande stem ro = abs(ck); fi = angle(ck); subplot(2,1,1) plot(k,ro); axis tight; grid on title('moduo koeficijenata') subplot(2,1,2) plot(k,fi); axis tight; title('faza koeficijenata'), grid on pause % za N->beskonacno dobija se periodicno produzenje osnovne % periode rezolucija crtanja=1000 tacaka=>dt=2T/1000 dt = 2*T/1000; t = -T:dt:T; x = sin(100*pi.*t).*((t>-T/2)&(t<T/2))+sin(100*pi.*(t+T)).*(t<- T/2)+sin(100*pi.*(t-T)).*(t>T/2); k = -10:1:10; ck10 = 2^(1/2)*(-3+4*i.*k+3*exp(2*i*pi.*k) +4*i*exp(2*i*pi.*k).*k)./exp(i*pi.*k)./pi./(16.*k.^2-9); k1 = -30:1:30; ck30 = 2^(1/2)*(-3+4*i.*k1+3*exp(2*i*pi.*k1)+ 4*i*exp(2*i*pi.*k1).*k1)./exp(i*pi.*k1)./pi./(16.*k1.^2-9); k2 = -300:1:300; ck300 = 2^(1/2)*(-3+4*i.*k2+3*exp(2*i*pi.*k2) +4*i*exp(2*i*pi.*k2).*k2)./exp(i*pi.*k2)./pi./(16.*k2.^2-9); Nmax = length(t); x10 = zeros(1,Nmax); % N-ta parcijalna suma N=10 x30 = zeros(1,Nmax); % N-ta parcijalna suma N=30 x300 = zeros(1,Nmax); % N-ta parcijalna suma N=300 Index_od_t=1; for t = -T:dt:T for n = 1:1:21

x10(Index_od_t)=x10(Index_od_t)+ck10(n)*exp(i*k(n)*w*t); end for n=1:1:61

x30(Index_od_t)=x30(Index_od_t)+ck30(n)*exp(i*k1(n)*w*t); end for n=1:1:601 x300(Index_od_t)=x300(Index_od_t)+ck300(n)*exp(i*k2(n)*w*t); end Index_od_t = Index_od_t+1;

end t = -T:dt:T; subplot(2,2,1)

Signali i sistemi – Laboratorijska vežba 3

21

plot(t,x); axis tight; grid subplot(2,2,2) plot(t,x10); axis tight; grid subplot(2,2,3) plot(t,x30); axis tight; grid subplot(2,2,4) plot(t,x300); axis tight; grid pause e10 = abs(x-x10); % greske e30 = abs(x-x30); e300 = abs(x-x300); subplot(3,1,1) plot(t,e10); axis tight; grid on subplot(3,1,2) plot(t,e30); axis tight; grid on subplot(3,1,3) plot(t,e300); axis tight; grid on

Rezultat simboličke integracije: Ck = 2^(1/2)*(3+4*i*k+3*exp(i*pi*k)^2 +4*i*exp(i*pi*k)^2*k)/exp(i*pi*k)/pi/(16*k^2-9)

Dobijeni grafici:

Signali i sistemi – Laboratorijska vežba 3

22

Slika 3.1. Grafički prikazi dobijeni priloženim Matlab programom