2.- Hallar, si existe, el límite siguiente: limcos

, ,x y

xy senxx y( ) → ( )

−

+0 0

12 2

a f.

Mediante infinitésimos equivalentes el límite equivale a: lim, ,x y

x y x

x y( ) → ( ) +0 0

2 2

2 2

2d i. Y ahora

pasando a coordenadas polares se tiene:

lim cos sen cos lim cos senρ ρ

ρ α αρ αρ

ρ α α→ →

= =0 0

4 2 2

23 3 2

20 .

_______________________________________________________________________

3.- Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad en el origen de:

( )2 2, ( , ) (0,0)

sen( , )0, ( , ) (0,0)

xy si x yx yf x y

si x y

≠ += =

Solución: La función no es continua en el origen como puede comprobarse, tras usar infinitésimos

equivalente, porque los límites direccionales dependen de la dirección:

( ) ( )2

2 2 2 2 22 2 2 20 0; lim lim

1sen 1x xy mx

xy xy xy mx mx y x y mx y x m→ →

=

≈ = =+ + ++ +

y por tanto la función no es diferenciable en el origen. Para hallar las derivadas parciales en el origen, mediante la definición, se obtiene fácilmente que ambas son cero. O

4.- Estudiar en el origen y en función de los valores del parámetro k ( 0k > ) la continuidad y la existencia de derivadas parciales de la función:

( )2 2 ( , ) (0,0)( , )

0 ( , ) (0,0)

kxysi x yf x y x ysi x y

≠= + =

Para estudiar la continuidad empleamos la expresión en polares del límite:

( ) ( )

( ) ( )2

2, 0,0 0

cos senlim , lim

kk

x y r

rf x y

r→ →=

α α. Para que sea continua el límite anterior ha de ser

igual a 0, y por tanto 1k ≥ .

Para hallar la derivada parcial respecto de x en el origen utilizamos la definición:

( ) ( ) ( )0 0

0,0 0,0

0,0 lim lim 0h t

f h fdf hdx h h→ →

−= = = . Y lo mismo ocurre para la otra derivada

parcial. O

6.- Estudiar en el origen la continuidad, existencia de derivadas direccionales y dife-renciabilidad de la función:

2 2( , ) (0,0)

( , )0 ( , ) (0,0)

x y si x yf x y x y

si x y

− ≠= + =

La función no es continua en el origen como puede comprobarse porque los límites reiterados no son iguales:

2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0

lim lim lim 1; lim lim lim 1x y x y x y

x y x x y yx y x x y y→ → → → → →

− − −= = = = −

+ +

y por tanto no es diferenciable en el origen. Para hallar las derivadas direccionales en el origen utilizamos la definición de derivada direccional:

( ) ( ) ( ) 2

0 0 0

cos sen0,0 cos sen0,0 lim lim limv t t t

t tf tv f tD f

t t t

α αα α

→ → →

−− −

= = =

Que no existe. O

7.- Estudiar la existencia de derivadas parciales y la diferenciabilidad en el origen de la función:

2 2( , ) (0,0)

( , )0 ( , ) (0,0)

x y si x yf x y x y

si x y

+ ≠= + =

Por definición de derivadas parciales en un punto, resulta:

( )2

0 0

0100,0 lim lim

h h

hf hx h h

δδ → →

+

+= = que no existe. Del mismo modo, tampoco existe

la otra derivada parcial en el origen. Por tanto la función no puede ser diferenciable en el origen.

En la siguiente función se pide estudiar la continuidad en el origen, la existencia de derivadas parciales en el origen y la diferenciabilidad en el origen: