derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

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´ Algebras seriais sem ciclos truncadas s˜ ao derivadamente equivalentes a ´ algebras de incidˆ encia de posets Claudiano Henrique da Cunha Melo Universidade Federal de Minas Gerais 10 de setembro de 2021 Claudiano Henrique da Cunha Melo ´ Algebras seriais sem ciclos truncadas s˜ ao derivadamente equivalen

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Algebras seriais sem ciclos truncadas saoderivadamente equivalentes a algebras de

incidencia de posets

Claudiano Henrique da Cunha Melo

Universidade Federal de Minas Gerais

10 de setembro de 2021

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Notacoes

k - corpo algebricamente fechado

Λ - k-algebra serial sem ciclos truncada

mod Λ - categoria de Λ-modulos a direita finitamente gerados

Db(Λ) - categoria derivada limitada de mod Λ

Kb(proj Λ) - categoria homotopica de complexos limitados deΛ-modulos projetivos finitamente gerados

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Notacoes

k - corpo algebricamente fechado

Λ - k-algebra serial sem ciclos truncada

mod Λ - categoria de Λ-modulos a direita finitamente gerados

Db(Λ) - categoria derivada limitada de mod Λ

Kb(proj Λ) - categoria homotopica de complexos limitados deΛ-modulos projetivos finitamente gerados

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k - corpo algebricamente fechado

Λ - k-algebra serial sem ciclos truncada

mod Λ - categoria de Λ-modulos a direita finitamente gerados

Db(Λ) - categoria derivada limitada de mod Λ

Kb(proj Λ) - categoria homotopica de complexos limitados deΛ-modulos projetivos finitamente gerados

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k - corpo algebricamente fechado

Λ - k-algebra serial sem ciclos truncada

mod Λ - categoria de Λ-modulos a direita finitamente gerados

Db(Λ) - categoria derivada limitada de mod Λ

Kb(proj Λ) - categoria homotopica de complexos limitados deΛ-modulos projetivos finitamente gerados

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Notacoes

k - corpo algebricamente fechado

Λ - k-algebra serial sem ciclos truncada

mod Λ - categoria de Λ-modulos a direita finitamente gerados

Db(Λ) - categoria derivada limitada de mod Λ

Kb(proj Λ) - categoria homotopica de complexos limitados deΛ-modulos projetivos finitamente gerados

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Objetivos

Construir o complexo inclinante TΛ.

Definir o poset SΛ.

Mostrar que EndDb(Λ) TΛ e isomorfa a algebra de incidencia doposet Sop

Λ .

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Objetivos

Construir o complexo inclinante TΛ.

Definir o poset SΛ.

Mostrar que EndDb(Λ) TΛ e isomorfa a algebra de incidencia doposet Sop

Λ .

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Objetivos

Construir o complexo inclinante TΛ.

Definir o poset SΛ.

Mostrar que EndDb(Λ) TΛ e isomorfa a algebra de incidencia doposet Sop

Λ .

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Algebras seriais

Uma algebra Λ e dita serial a direita se todo Λ-modulo a direitaprojetivo indecomponıvel e unisserial.

Em [ASS], podemos encontrar o seguinte teorema, que da umaimportante caracterizacao destas algebras, em relacao ao seucarcas.

Teorema

Uma k-algebra basica A e serial a direita se, e somente se, paratodo vertice a de seu carcas QA, existir no maximo uma flecha quecomeca em a.

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Algebras seriais

Uma algebra Λ e dita serial a direita se todo Λ-modulo a direitaprojetivo indecomponıvel e unisserial.

Em [ASS], podemos encontrar o seguinte teorema, que da umaimportante caracterizacao destas algebras, em relacao ao seucarcas.

Teorema

Uma k-algebra basica A e serial a direita se, e somente se, paratodo vertice a de seu carcas QA, existir no maximo uma flecha quecomeca em a.

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Algebras seriais

Uma algebra Λ e dita serial a direita se todo Λ-modulo a direitaprojetivo indecomponıvel e unisserial.

Em [ASS], podemos encontrar o seguinte teorema, que da umaimportante caracterizacao destas algebras, em relacao ao seucarcas.

Teorema

Uma k-algebra basica A e serial a direita se, e somente se, paratodo vertice a de seu carcas QA, existir no maximo uma flecha quecomeca em a.

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Algebras seriais

Em [DrozdKirichenko] podemos encontrar o seguinte resultado.

Teorema

Uma algebra conexa A e serial a direita se e somente se o seucarcas QA ou e uma arvore com um unico poco ou possui umunico ciclo tal que, quando removidas as flechas deste ciclo, restauma uniao disjunta de arvores cujos pocos sao vertices deste ciclo.

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Algebras seriais

Figura: Exemplo

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Algebras seriais

Figura: Exemplo

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Caracterizacao

Figura: Exemplo

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Algebras r -truncadas

Dada uma algebra de caminhos quocientada por um ideal A =kQI,

dizemos que A e r -truncada se I e o ideal gerado por todos oscaminhos de comprimento r ≥ 2 em kQ, ou seja, se I = ⟨Qr ⟩.

Exemplo

Λ = Λ(10, 3) :

0 1oo 2oo 3oo 4oo 5oo 6oo 7oo 8oo 9oo

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Algebras r -truncadas

Dada uma algebra de caminhos quocientada por um ideal A =kQI,

dizemos que A e r -truncada se I e o ideal gerado por todos oscaminhos de comprimento r ≥ 2 em kQ, ou seja, se I = ⟨Qr ⟩.

Exemplo

Λ = Λ(10, 3) :

0 1oo 2oo 3oo 4oo 5oo 6oo 7oo 8oo 9oo

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Algebras r -truncadas

Dada uma algebra de caminhos quocientada por um ideal A =kQI,

dizemos que A e r -truncada se I e o ideal gerado por todos oscaminhos de comprimento r ≥ 2 em kQ, ou seja, se I = ⟨Qr ⟩.

Exemplo

Λ = Λ(10, 3) :

0 1oo 2oo 3oo 4oo 5oo 6oo 7oo 8oo 9oo

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Algebras seriais sem ciclos truncadas

Λ e serial a direita sem ciclos r -truncada

⇒ Q possui um unicopoco a0 ∈ Q0

Para cada vertice a ∈ Q0, a = a0, ∃! caminho ωa : a→ a0 em Q

ωa = unuq . . . u1

onde cada ui e maximal nao nulo em Λ

Notacoes: r∗ = r − 1, q = q(ω) e s = s(ω) os numeros inteirosnao-negativos tais que

n = ℓ(ω) = qr∗ + s

onde 0 < s ≤ r∗.

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Algebras seriais sem ciclos truncadas

Λ e serial a direita sem ciclos r -truncada ⇒ Q possui um unicopoco a0 ∈ Q0

Para cada vertice a ∈ Q0, a = a0, ∃! caminho ωa : a→ a0 em Q

ωa = unuq . . . u1

onde cada ui e maximal nao nulo em Λ

Notacoes: r∗ = r − 1, q = q(ω) e s = s(ω) os numeros inteirosnao-negativos tais que

n = ℓ(ω) = qr∗ + s

onde 0 < s ≤ r∗.

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Algebras seriais sem ciclos truncadas

Λ e serial a direita sem ciclos r -truncada ⇒ Q possui um unicopoco a0 ∈ Q0

Para cada vertice a ∈ Q0, a = a0, ∃! caminho ωa : a→ a0 em Q

ωa = unuq . . . u1

onde cada ui e maximal nao nulo em Λ

Notacoes: r∗ = r − 1, q = q(ω) e s = s(ω) os numeros inteirosnao-negativos tais que

n = ℓ(ω) = qr∗ + s

onde 0 < s ≤ r∗.

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Λ e serial a direita sem ciclos r -truncada ⇒ Q possui um unicopoco a0 ∈ Q0

Para cada vertice a ∈ Q0, a = a0, ∃! caminho ωa : a→ a0 em Q

ωa = unuq . . . u1

onde cada ui e maximal nao nulo em Λ

Notacoes: r∗ = r − 1, q = q(ω) e s = s(ω) os numeros inteirosnao-negativos tais que

n = ℓ(ω) = qr∗ + s

onde 0 < s ≤ r∗.

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Algebras seriais sem ciclos truncadas

Λ e serial a direita sem ciclos r -truncada ⇒ Q possui um unicopoco a0 ∈ Q0

Para cada vertice a ∈ Q0, a = a0, ∃! caminho ωa : a→ a0 em Q

ωa = unuq . . . u1

onde cada ui e maximal nao nulo em Λ

Notacoes: r∗ = r − 1, q = q(ω) e s = s(ω) os numeros inteirosnao-negativos tais que

n = ℓ(ω) = qr∗ + s

onde 0 < s ≤ r∗.

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Algebras seriais sem ciclos truncadas

Λ e serial a direita sem ciclos r -truncada ⇒ Q possui um unicopoco a0 ∈ Q0

Para cada vertice a ∈ Q0, a = a0, ∃! caminho ωa : a→ a0 em Q

ωa = unuq . . . u1

onde cada ui e maximal nao nulo em Λ

Notacoes: r∗ = r − 1,

q = q(ω) e s = s(ω) os numeros inteirosnao-negativos tais que

n = ℓ(ω) = qr∗ + s

onde 0 < s ≤ r∗.

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Algebras seriais sem ciclos truncadas

Λ e serial a direita sem ciclos r -truncada ⇒ Q possui um unicopoco a0 ∈ Q0

Para cada vertice a ∈ Q0, a = a0, ∃! caminho ωa : a→ a0 em Q

ωa = unuq . . . u1

onde cada ui e maximal nao nulo em Λ

Notacoes: r∗ = r − 1, q = q(ω)

e s = s(ω) os numeros inteirosnao-negativos tais que

n = ℓ(ω) = qr∗ + s

onde 0 < s ≤ r∗.

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Algebras seriais sem ciclos truncadas

Λ e serial a direita sem ciclos r -truncada ⇒ Q possui um unicopoco a0 ∈ Q0

Para cada vertice a ∈ Q0, a = a0, ∃! caminho ωa : a→ a0 em Q

ωa = unuq . . . u1

onde cada ui e maximal nao nulo em Λ

Notacoes: r∗ = r − 1, q = q(ω) e s = s(ω) os numeros inteirosnao-negativos tais que

n = ℓ(ω) = qr∗ + s

onde 0 < s ≤ r∗.

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Algebras seriais sem ciclos truncadas

Λ e serial a direita sem ciclos r -truncada ⇒ Q possui um unicopoco a0 ∈ Q0

Para cada vertice a ∈ Q0, a = a0, ∃! caminho ωa : a→ a0 em Q

ωa = unuq . . . u1

onde cada ui e maximal nao nulo em Λ

Notacoes: r∗ = r − 1, q = q(ω) e s = s(ω) os numeros inteirosnao-negativos tais que

n = ℓ(ω) = qr∗ + s

onde 0 < s ≤ r∗.

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Complexo inclinante TΛ

Λ - algebra serial sem ciclos r -truncada, definimos

Ta : Pa0

u1 // Pt(u2)

u2 // Pt(u3)

u3 // . . . // Pt(uq )

uq // Ps(uq )

un // Pa ,

onde Pa0 esta no grau 0; e Ta0 = Pa0 .

Defina TΛ =⊕a∈Q

Ta

Definicao

Seja T um objeto de Kb(proj Λ). Dizemos que T e um complexoinclinante de Λ se ele satisfaz as condicoes (1) e (2) a seguir.

(1) HomDb(Λ)(T ,T [i ]) = 0 para todo i = 0;

(2) add(T ) gera Kb(proj Λ) como categoria triangulada.

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Complexo inclinante TΛ

Λ - algebra serial sem ciclos r -truncada, definimos

Ta : Pa0

u1 // Pt(u2)

u2 // Pt(u3)

u3 // . . . // Pt(uq )

uq // Ps(uq )

un // Pa ,

onde Pa0 esta no grau 0; e Ta0 = Pa0 .

Defina TΛ =⊕a∈Q

Ta

Definicao

Seja T um objeto de Kb(proj Λ). Dizemos que T e um complexoinclinante de Λ se ele satisfaz as condicoes (1) e (2) a seguir.

(1) HomDb(Λ)(T ,T [i ]) = 0 para todo i = 0;

(2) add(T ) gera Kb(proj Λ) como categoria triangulada.

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Complexo inclinante TΛ

Λ - algebra serial sem ciclos r -truncada, definimos

Ta : Pa0

u1 // Pt(u2)

u2 // Pt(u3)

u3 // . . . // Pt(uq )

uq // Ps(uq )

un // Pa ,

onde Pa0 esta no grau 0; e Ta0 = Pa0 .

Defina TΛ =⊕a∈Q

Ta

Definicao

Seja T um objeto de Kb(proj Λ). Dizemos que T e um complexoinclinante de Λ se ele satisfaz as condicoes (1) e (2) a seguir.

(1) HomDb(Λ)(T ,T [i ]) = 0 para todo i = 0;

(2) add(T ) gera Kb(proj Λ) como categoria triangulada.

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Complexo inclinante TΛ

Λ - algebra serial sem ciclos r -truncada, definimos

Ta : Pa0

u1 // Pt(u2)

u2 // Pt(u3)

u3 // . . . // Pt(uq )

uq // Ps(uq )

un // Pa ,

onde Pa0 esta no grau 0; e Ta0 = Pa0 .

Defina TΛ =⊕a∈Q

Ta

Definicao

Seja T um objeto de Kb(proj Λ). Dizemos que T e um complexoinclinante de Λ se ele satisfaz as condicoes (1) e (2) a seguir.

(1) HomDb(Λ)(T ,T [i ]) = 0 para todo i = 0;

(2) add(T ) gera Kb(proj Λ) como categoria triangulada.

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Complexo inclinante TΛ

Λ - algebra serial sem ciclos r -truncada, definimos

Ta : Pa0

u1 // Pt(u2)

u2 // Pt(u3)

u3 // . . . // Pt(uq )

uq // Ps(uq )

un // Pa ,

onde Pa0 esta no grau 0; e Ta0 = Pa0 .

Defina TΛ =⊕a∈Q

Ta

Definicao

Seja T um objeto de Kb(proj Λ).

Dizemos que T e um complexoinclinante de Λ se ele satisfaz as condicoes (1) e (2) a seguir.

(1) HomDb(Λ)(T ,T [i ]) = 0 para todo i = 0;

(2) add(T ) gera Kb(proj Λ) como categoria triangulada.

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Complexo inclinante TΛ

Λ - algebra serial sem ciclos r -truncada, definimos

Ta : Pa0

u1 // Pt(u2)

u2 // Pt(u3)

u3 // . . . // Pt(uq )

uq // Ps(uq )

un // Pa ,

onde Pa0 esta no grau 0; e Ta0 = Pa0 .

Defina TΛ =⊕a∈Q

Ta

Definicao

Seja T um objeto de Kb(proj Λ). Dizemos que T e um complexoinclinante de Λ se ele satisfaz as condicoes (1) e (2) a seguir.

(1) HomDb(Λ)(T ,T [i ]) = 0 para todo i = 0;

(2) add(T ) gera Kb(proj Λ) como categoria triangulada.

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Complexo inclinante TΛ

Λ - algebra serial sem ciclos r -truncada, definimos

Ta : Pa0

u1 // Pt(u2)

u2 // Pt(u3)

u3 // . . . // Pt(uq )

uq // Ps(uq )

un // Pa ,

onde Pa0 esta no grau 0; e Ta0 = Pa0 .

Defina TΛ =⊕a∈Q

Ta

Definicao

Seja T um objeto de Kb(proj Λ). Dizemos que T e um complexoinclinante de Λ se ele satisfaz as condicoes (1) e (2) a seguir.

(1) HomDb(Λ)(T ,T [i ]) = 0 para todo i = 0;

(2) add(T ) gera Kb(proj Λ) como categoria triangulada.

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Complexo inclinante TΛ

Λ - algebra serial sem ciclos r -truncada, definimos

Ta : Pa0

u1 // Pt(u2)

u2 // Pt(u3)

u3 // . . . // Pt(uq )

uq // Ps(uq )

un // Pa ,

onde Pa0 esta no grau 0; e Ta0 = Pa0 .

Defina TΛ =⊕a∈Q

Ta

Definicao

Seja T um objeto de Kb(proj Λ). Dizemos que T e um complexoinclinante de Λ se ele satisfaz as condicoes (1) e (2) a seguir.

(1) HomDb(Λ)(T ,T [i ]) = 0 para todo i = 0;

(2) add(T ) gera Kb(proj Λ) como categoria triangulada.

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Algebras de Nakayama

Exemplo

Λ = Λ(10, 3) :

0 1oo 2oo 3oo 4oo 5oo 6oo 7oo 8oo 9oo

T0 = P0

Ti = P0// Pi ; i = 1, 2

Tj = P0// P2

// Pj ; j = 3, 4...

T9 = P0// P2

// P4// P6

// P8// P9

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Algebras de Nakayama

Exemplo

Λ = Λ(10, 3) :

0 1oo 2oo 3oo 4oo 5oo 6oo 7oo 8oo 9oo

T0 = P0

Ti = P0// Pi ; i = 1, 2

Tj = P0// P2

// Pj ; j = 3, 4...

T9 = P0// P2

// P4// P6

// P8// P9

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Complexo inclinante TΛ

Note que os somandos do complexo TΛ geram Kb(proj Λ).

Isto segue das sequencias exatas curtas de complexos

0 −→ Pi [−(qi + 1)] −→ Ti −→ Tqi r∗ −→ 0

para todo i .

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Complexo inclinante TΛ

Note que os somandos do complexo TΛ geram Kb(proj Λ).

Isto segue das sequencias exatas curtas de complexos

0 −→ Pi [−(qi + 1)] −→ Ti −→ Tqi r∗ −→ 0

para todo i .

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Complexo inclinante TΛ

Note que os somandos do complexo TΛ geram Kb(proj Λ).

Isto segue das sequencias exatas curtas de complexos

0 −→ Pi [−(qi + 1)] −→ Ti −→ Tqi r∗ −→ 0

para todo i .

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Complexo inclinante TΛ

Exemplo

0

��P9[−5]

��

P9

��T9

��

P0//

��

P2//

��

P4//

��

P6//

��

P8//

��

P9

T8

��

P0// P2

// P4// P6

// P8

0

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Complexo inclinante TΛ

Agora precisamos apenas mostrar que Hom(TΛ,TΛ[i ]) = 0 sei = 0.

O vertice 0 e um poco ⇒ ∄ morfismo Px −→ P0 para nenhumx ∈ Q0 \ {0}. Portanto, Hom(TΛ,TΛ[i ]) = 0 para todo i < 0.

Ti : P0// Px

//

∄��

. . .

Tj [−1] : P0// . . .

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Complexo inclinante TΛ

Agora precisamos apenas mostrar que Hom(TΛ,TΛ[i ]) = 0 sei = 0.

O vertice 0 e um poco

⇒ ∄ morfismo Px −→ P0 para nenhumx ∈ Q0 \ {0}. Portanto, Hom(TΛ,TΛ[i ]) = 0 para todo i < 0.

Ti : P0// Px

//

∄��

. . .

Tj [−1] : P0// . . .

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Page 45: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Complexo inclinante TΛ

Agora precisamos apenas mostrar que Hom(TΛ,TΛ[i ]) = 0 sei = 0.

O vertice 0 e um poco ⇒ ∄ morfismo Px −→ P0 para nenhumx ∈ Q0 \ {0}.

Portanto, Hom(TΛ,TΛ[i ]) = 0 para todo i < 0.

Ti : P0// Px

//

∄��

. . .

Tj [−1] : P0// . . .

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Complexo inclinante TΛ

Agora precisamos apenas mostrar que Hom(TΛ,TΛ[i ]) = 0 sei = 0.

O vertice 0 e um poco ⇒ ∄ morfismo Px −→ P0 para nenhumx ∈ Q0 \ {0}. Portanto, Hom(TΛ,TΛ[i ]) = 0 para todo i < 0.

Ti : P0// Px

//

∄��

. . .

Tj [−1] : P0// . . .

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Complexo inclinante TΛ

Agora precisamos apenas mostrar que Hom(TΛ,TΛ[i ]) = 0 sei = 0.

O vertice 0 e um poco ⇒ ∄ morfismo Px −→ P0 para nenhumx ∈ Q0 \ {0}. Portanto, Hom(TΛ,TΛ[i ]) = 0 para todo i < 0.

Ti : P0// Px

//

∄��

. . .

Tj [−1] : P0// . . .

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Complexo inclinante TΛ

Por outro lado, como Λ e r -truncada, nao existe morfismoP0 −→ Pj para nenhum j ≥ r .

Portanto, segue queHom(TΛ,TΛ[i ]) = 0 para todo i ≥ 2.

Ti : P0//

∄��

. . .

Tj [2] : P0// Pr∗

// Pj// . . .

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Page 49: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Complexo inclinante TΛ

Por outro lado, como Λ e r -truncada, nao existe morfismoP0 −→ Pj para nenhum j ≥ r . Portanto, segue queHom(TΛ,TΛ[i ]) = 0 para todo i ≥ 2.

Ti : P0//

∄��

. . .

Tj [2] : P0// Pr∗

// Pj// . . .

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Page 50: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Complexo inclinante TΛ

Por outro lado, como Λ e r -truncada, nao existe morfismoP0 −→ Pj para nenhum j ≥ r . Portanto, segue queHom(TΛ,TΛ[i ]) = 0 para todo i ≥ 2.

Ti : P0//

∄��

. . .

Tj [2] : P0// Pr∗

// Pj// . . .

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Page 51: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Complexo inclinante TΛ

Por fim, o caso i = 1.

Se existir um morfismo de complexos nao nulo φ : Ti → Tj [1]

Ti : P0

~~

//

��

Pr∗

}} ��

// . . .

Tj [1] : P0// Pr∗

// Pj// . . .

mostramos como construir uma homotopiah : Ti → Tj = Tj [1][−1] entre o morfismo de complexos φ e omorfismo nulo. Portanto, HomDb(Λ)(Ti ,Tj [1]) = 0.

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Page 52: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Complexo inclinante TΛ

Por fim, o caso i = 1.

Se existir um morfismo de complexos nao nulo φ : Ti → Tj [1]

Ti : P0

~~

//

��

Pr∗

}} ��

// . . .

Tj [1] : P0// Pr∗

// Pj// . . .

mostramos como construir uma homotopiah : Ti → Tj = Tj [1][−1] entre o morfismo de complexos φ e omorfismo nulo. Portanto, HomDb(Λ)(Ti ,Tj [1]) = 0.

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Page 53: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Complexo inclinante TΛ

Por fim, o caso i = 1.

Se existir um morfismo de complexos nao nulo φ : Ti → Tj [1]

Ti : P0

~~

//

��

Pr∗

}} ��

// . . .

Tj [1] : P0// Pr∗

// Pj// . . .

mostramos como construir uma homotopiah : Ti → Tj = Tj [1][−1] entre o morfismo de complexos φ e omorfismo nulo. Portanto, HomDb(Λ)(Ti ,Tj [1]) = 0.

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Page 54: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Complexo inclinante TΛ

Por fim, o caso i = 1.

Se existir um morfismo de complexos nao nulo φ : Ti → Tj [1]

Ti : P0

~~

//

��

Pr∗

}} ��

// . . .

Tj [1] : P0// Pr∗

// Pj// . . .

mostramos como construir uma homotopiah : Ti → Tj = Tj [1][−1] entre o morfismo de complexos φ e omorfismo nulo.

Portanto, HomDb(Λ)(Ti ,Tj [1]) = 0.

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Page 55: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Complexo inclinante TΛ

Por fim, o caso i = 1.

Se existir um morfismo de complexos nao nulo φ : Ti → Tj [1]

Ti : P0

~~

//

��

Pr∗

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// . . .

Tj [1] : P0// Pr∗

// Pj// . . .

mostramos como construir uma homotopiah : Ti → Tj = Tj [1][−1] entre o morfismo de complexos φ e omorfismo nulo. Portanto, HomDb(Λ)(Ti ,Tj [1]) = 0.

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Page 56: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Complexo inclinante TΛ

Assim, concluımos que TΛ e um complexo inclinante.

Passamos agora para a construcao do poset SΛ.

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Page 57: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Complexo inclinante TΛ

Assim, concluımos que TΛ e um complexo inclinante.

Passamos agora para a construcao do poset SΛ.

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Page 58: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Poset SΛ

Definimos RΛ ⊆ Q0 × Q0 da seguinte maneira:

RΛ = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | o morfismo 1P0 estende-separa um morfismo de HomDb(Λ)(Ti ,Tj)}.

Definimos tambem os conjuntos

RΛ,0 = {(i , i) | i ∈ Q0};RΛ,1 = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | i < j , qj = qi};RΛ,2 = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | i < j , qj = qi + 1, si < sj};RΛ,3 = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | i < j , qj > qi + 1, r∗ nao divide i};RΛ,4 = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | j < i , r∗ divide j}.

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 59: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Poset SΛ

Definimos RΛ ⊆ Q0 × Q0 da seguinte maneira:

RΛ = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | o morfismo 1P0 estende-separa um morfismo de HomDb(Λ)(Ti ,Tj)}.

Definimos tambem os conjuntos

RΛ,0 = {(i , i) | i ∈ Q0};RΛ,1 = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | i < j , qj = qi};RΛ,2 = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | i < j , qj = qi + 1, si < sj};RΛ,3 = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | i < j , qj > qi + 1, r∗ nao divide i};RΛ,4 = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | j < i , r∗ divide j}.

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Page 60: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Poset SΛ

Definimos RΛ ⊆ Q0 × Q0 da seguinte maneira:

RΛ = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | o morfismo 1P0 estende-separa um morfismo de HomDb(Λ)(Ti ,Tj)}.

Definimos tambem os conjuntos

RΛ,0 = {(i , i) | i ∈ Q0};RΛ,1 = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | i < j , qj = qi};RΛ,2 = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | i < j , qj = qi + 1, si < sj};RΛ,3 = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | i < j , qj > qi + 1, r∗ nao divide i};RΛ,4 = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | j < i , r∗ divide j}.

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Page 61: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Poset SΛ

Definimos RΛ ⊆ Q0 × Q0 da seguinte maneira:

RΛ = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | o morfismo 1P0 estende-separa um morfismo de HomDb(Λ)(Ti ,Tj)}.

Definimos tambem os conjuntos

RΛ,0 = {(i , i) | i ∈ Q0};RΛ,1 = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | i < j , qj = qi};RΛ,2 = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | i < j , qj = qi + 1, si < sj};RΛ,3 = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | i < j , qj > qi + 1, r∗ nao divide i};RΛ,4 = {(i , j) ∈ Q0 × Q0 | j < i , r∗ divide j}.

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Page 62: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Poset SΛ

Para cada (i , j) ∈4⊔

k=0RΛ,k vamos definir um morfismo

φi ,j ∈ HomDb(Λ)(Ti ,Tj) que estende o morfismo 1P0 .

• Caso (i , j) ∈ RΛ,0: Neste caso j = i e φi ,j := 1Ti.

• Caso (i , j) ∈ RΛ,1: Neste caso i < j e qj = qi , entao o morfismoφi ,j : Ti −→ Tj e representado abaixo. Note que j − i = sj − si .

P0αr∗//

1P0��

Pr∗αr∗//

1Pr∗��

P2r∗αr∗

//

1P2r∗��

. . .αr∗// Pqi r∗

αsi //

1Pqi r∗

��

Pi

αj−i

��P0

αr∗// Pr∗

αr∗// P2r∗

αr∗// . . .

αr∗// Pqi r∗

αsj // Pj

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Page 63: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Poset SΛ

Para cada (i , j) ∈4⊔

k=0RΛ,k vamos definir um morfismo

φi ,j ∈ HomDb(Λ)(Ti ,Tj) que estende o morfismo 1P0 .

• Caso (i , j) ∈ RΛ,0: Neste caso j = i e φi ,j := 1Ti.

• Caso (i , j) ∈ RΛ,1: Neste caso i < j e qj = qi , entao o morfismoφi ,j : Ti −→ Tj e representado abaixo. Note que j − i = sj − si .

P0αr∗//

1P0��

Pr∗αr∗//

1Pr∗��

P2r∗αr∗

//

1P2r∗��

. . .αr∗// Pqi r∗

αsi //

1Pqi r∗

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Pi

αj−i

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αr∗// Pr∗

αr∗// P2r∗

αr∗// . . .

αr∗// Pqi r∗

αsj // Pj

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Page 64: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Poset SΛ

Para cada (i , j) ∈4⊔

k=0RΛ,k vamos definir um morfismo

φi ,j ∈ HomDb(Λ)(Ti ,Tj) que estende o morfismo 1P0 .

• Caso (i , j) ∈ RΛ,0: Neste caso j = i e φi ,j := 1Ti.

• Caso (i , j) ∈ RΛ,1: Neste caso i < j e qj = qi , entao o morfismoφi ,j : Ti −→ Tj e representado abaixo.

Note que j − i = sj − si .

P0αr∗//

1P0��

Pr∗αr∗//

1Pr∗��

P2r∗αr∗

//

1P2r∗��

. . .αr∗// Pqi r∗

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αr∗// Pqi r∗

αsj // Pj

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Page 65: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Poset SΛ

Para cada (i , j) ∈4⊔

k=0RΛ,k vamos definir um morfismo

φi ,j ∈ HomDb(Λ)(Ti ,Tj) que estende o morfismo 1P0 .

• Caso (i , j) ∈ RΛ,0: Neste caso j = i e φi ,j := 1Ti.

• Caso (i , j) ∈ RΛ,1: Neste caso i < j e qj = qi , entao o morfismoφi ,j : Ti −→ Tj e representado abaixo. Note que j − i = sj − si .

P0αr∗//

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αr∗// Pqi r∗

αsj // Pj

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Page 66: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Poset SΛ

• Caso (i , j) ∈ RΛ,2: Neste caso i < j , qj = qi + 1 e si < sj , entaoo morfismo φi ,j : Ti −→ Tj e representado abaixo.

Note quej − i = r∗ + sj − si > r∗.

P0αr∗//

1P0��

Pr∗αr∗//

1Pr∗��

P2r∗αr∗

//

1P2r∗��

. . .αr∗// Pqi r∗

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1Pqi r∗

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Pi0 //

αr∗−si

��

0

0

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αr∗// Pr∗

αr∗// P2r∗

αr∗// . . .

αr∗// Pqi r∗

αr∗// Pqj r∗

αsj // Pj

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Page 67: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Poset SΛ

• Caso (i , j) ∈ RΛ,2: Neste caso i < j , qj = qi + 1 e si < sj , entaoo morfismo φi ,j : Ti −→ Tj e representado abaixo. Note quej − i = r∗ + sj − si > r∗.

P0αr∗//

1P0��

Pr∗αr∗//

1Pr∗��

P2r∗αr∗

//

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. . .αr∗// Pqi r∗

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1Pqi r∗

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Pi0 //

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0

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αr∗// Pr∗

αr∗// P2r∗

αr∗// . . .

αr∗// Pqi r∗

αr∗// Pqj r∗

αsj // Pj

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Page 68: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Poset SΛ

• Caso (i , j) ∈ RΛ,3: Neste caso i < j , qj > qi + 1 e r∗ nao dividei , entao o morfismo φi ,j : Ti −→ Tj e representado abaixo.

Noteque, como r∗ nao divide i , temos r∗ − si > 0.

P0αr∗//

1P0��

Pr∗αr∗//

1Pr∗��

. . .αr∗// Pqi r∗

αsi //

1Pqi r∗

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Pi0 //

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αr∗// Pr∗

αr∗// . . .

αr∗// Pqi r∗

αr∗// P(qi+1)r∗

αr∗// P(qi+2)r∗

αr∗// . . .

αsj // Pj

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Page 69: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Poset SΛ

• Caso (i , j) ∈ RΛ,3: Neste caso i < j , qj > qi + 1 e r∗ nao dividei , entao o morfismo φi ,j : Ti −→ Tj e representado abaixo. Noteque, como r∗ nao divide i , temos r∗ − si > 0.

P0αr∗//

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αr∗// Pqi r∗

αr∗// P(qi+1)r∗

αr∗// P(qi+2)r∗

αr∗// . . .

αsj // Pj

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Page 70: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Poset SΛ

• Caso (i , j) ∈ RΛ,4: Neste caso j < i e r∗ divide j , entao omorfismo φi ,j : Ti −→ Tj e, em particular, o morfismo projecaorepresentado abaixo.

P0αr∗//

1P0��

Pr∗αr∗//

1Pr∗

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. . .αr∗// Pqj r∗

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1Pqj r∗

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0

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αr∗// Pqj r∗

0 // 00 // . . .

0 // 00 // 0

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Page 71: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Poset SΛ

• Caso (i , j) ∈ RΛ,4: Neste caso j < i e r∗ divide j , entao omorfismo φi ,j : Ti −→ Tj e, em particular, o morfismo projecaorepresentado abaixo.

P0αr∗//

1P0��

Pr∗αr∗//

1Pr∗

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. . .αr∗// Pqj r∗

αr∗//

1Pqj r∗

��

P(qj+1)r∗αr∗

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0

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. . .αr∗// Pqi r∗

αsi //

0

��

Pi

0

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αr∗// Pr∗

αr∗// . . .

αr∗// Pqj r∗

0 // 00 // . . .

0 // 00 // 0

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Page 72: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Poset SΛ

Lema

Vale a seguinte igualdade: RΛ =4⊔i=0

RΛ,i .

Lema

O conjunto Q0 com a relacao binaria RΛ e um poset.

Notacao:

(1) i ≤ω j ⇔ (i , j) ∈ RΛ para i , j ∈ Q0.

(2) SΛ := (Q0,≤ω).

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Page 73: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Poset SΛ

Lema

Vale a seguinte igualdade: RΛ =4⊔i=0

RΛ,i .

Lema

O conjunto Q0 com a relacao binaria RΛ e um poset.

Notacao:

(1) i ≤ω j ⇔ (i , j) ∈ RΛ para i , j ∈ Q0.

(2) SΛ := (Q0,≤ω).

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 74: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Poset SΛ

Lema

Vale a seguinte igualdade: RΛ =4⊔i=0

RΛ,i .

Lema

O conjunto Q0 com a relacao binaria RΛ e um poset.

Notacao:

(1) i ≤ω j ⇔ (i , j) ∈ RΛ para i , j ∈ Q0.

(2) SΛ := (Q0,≤ω).

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 75: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Morfismo induzido

Lema

Seja Λ =kQI

uma algebra de dimensao finita tal que

dimk eiΛej ≤ 1 para quaisquer i , j ∈ Q0.

Seja

P(a)α //

φ

��

P(b)

ψ��

P(c)β // P(d)

um diagrama de homomorfismos entre Λ-modulos projetivosindecomponıveis, onde a, b, c , d ∈ Q0.

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Page 76: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Morfismo induzido

Lema

Seja Λ =kQI

uma algebra de dimensao finita tal que

dimk eiΛej ≤ 1 para quaisquer i , j ∈ Q0. Seja

P(a)α //

φ

��

P(b)

ψ��

P(c)β // P(d)

um diagrama de homomorfismos entre Λ-modulos projetivosindecomponıveis, onde a, b, c , d ∈ Q0.

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 77: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Morfismo induzido

Lema

(1) Sejam α, β e ψ morfismos para os quais existe φ tal que odiagrama acima comuta e as composicoes sao nao-nulas(βφ = ψα = 0). Entao tal φ e unicamente definido por α, βe ψ.

(2) Sejam α, β e φ morfismos para os quais existe ψ tal que odiagrama acima comuta e as composicoes sao nao-nulas(βφ = ψα = 0). Entao tal ψ e unicamente definido por α, βe φ.

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 78: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Morfismo induzido

Lema

(1) Sejam α, β e ψ morfismos para os quais existe φ tal que odiagrama acima comuta e as composicoes sao nao-nulas(βφ = ψα = 0). Entao tal φ e unicamente definido por α, βe ψ.

(2) Sejam α, β e φ morfismos para os quais existe ψ tal que odiagrama acima comuta e as composicoes sao nao-nulas(βφ = ψα = 0). Entao tal ψ e unicamente definido por α, βe φ.

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Page 79: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras de Nakayama sem ciclos truncadas

Mostramos o seguinte resultado

Teorema

A algebra de endomorfismos EndDb(Λ)(TΛ) e isomorfa a algebra deincidencia de poset kSΛ. Alem disso, Λ e derivadamenteequivalente a kSop

Λ .

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 80: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras de Nakayama sem ciclos truncadas

Mostramos o seguinte resultado

Teorema

A algebra de endomorfismos EndDb(Λ)(TΛ) e isomorfa a algebra deincidencia de poset kSΛ. Alem disso, Λ e derivadamenteequivalente a kSop

Λ .

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 81: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras de Nakayama sem ciclos truncadas

Seja ψ = (ψk)k∈Z : Ti → Tj .

ψ0 ∈ EndΛ(P0)⇒ ψ0 = λ.1P0 para algum λ ∈ k.Segue do item (2) do lema anterior que ψ e unicamente definidopor ψ0.Por isso qualquer morfismo entre Ti e Tj e induzido por ψ0, logo eum multiplo do morfismo φi ,j .Portanto, o conjunto {φi ,j}(i ,j)∈R e uma k-base de EndDb(Λ)(TΛ).Logo, EndDb(Λ)(TΛ) e isomorfa a algebra de incidencia de posetkSop

Λ .

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 82: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras de Nakayama sem ciclos truncadas

Seja ψ = (ψk)k∈Z : Ti → Tj .ψ0 ∈ EndΛ(P0)⇒ ψ0 = λ.1P0 para algum λ ∈ k.

Segue do item (2) do lema anterior que ψ e unicamente definidopor ψ0.Por isso qualquer morfismo entre Ti e Tj e induzido por ψ0, logo eum multiplo do morfismo φi ,j .Portanto, o conjunto {φi ,j}(i ,j)∈R e uma k-base de EndDb(Λ)(TΛ).Logo, EndDb(Λ)(TΛ) e isomorfa a algebra de incidencia de posetkSop

Λ .

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 83: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras de Nakayama sem ciclos truncadas

Seja ψ = (ψk)k∈Z : Ti → Tj .ψ0 ∈ EndΛ(P0)⇒ ψ0 = λ.1P0 para algum λ ∈ k.Segue do item (2) do lema anterior que ψ e unicamente definidopor ψ0.

Por isso qualquer morfismo entre Ti e Tj e induzido por ψ0, logo eum multiplo do morfismo φi ,j .Portanto, o conjunto {φi ,j}(i ,j)∈R e uma k-base de EndDb(Λ)(TΛ).Logo, EndDb(Λ)(TΛ) e isomorfa a algebra de incidencia de posetkSop

Λ .

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 84: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras de Nakayama sem ciclos truncadas

Seja ψ = (ψk)k∈Z : Ti → Tj .ψ0 ∈ EndΛ(P0)⇒ ψ0 = λ.1P0 para algum λ ∈ k.Segue do item (2) do lema anterior que ψ e unicamente definidopor ψ0.Por isso qualquer morfismo entre Ti e Tj e induzido por ψ0, logo eum multiplo do morfismo φi ,j .

Portanto, o conjunto {φi ,j}(i ,j)∈R e uma k-base de EndDb(Λ)(TΛ).Logo, EndDb(Λ)(TΛ) e isomorfa a algebra de incidencia de posetkSop

Λ .

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 85: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras de Nakayama sem ciclos truncadas

Seja ψ = (ψk)k∈Z : Ti → Tj .ψ0 ∈ EndΛ(P0)⇒ ψ0 = λ.1P0 para algum λ ∈ k.Segue do item (2) do lema anterior que ψ e unicamente definidopor ψ0.Por isso qualquer morfismo entre Ti e Tj e induzido por ψ0, logo eum multiplo do morfismo φi ,j .Portanto, o conjunto {φi ,j}(i ,j)∈R e uma k-base de EndDb(Λ)(TΛ).

Logo, EndDb(Λ)(TΛ) e isomorfa a algebra de incidencia de posetkSop

Λ .

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Page 86: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras de Nakayama sem ciclos truncadas

Seja ψ = (ψk)k∈Z : Ti → Tj .ψ0 ∈ EndΛ(P0)⇒ ψ0 = λ.1P0 para algum λ ∈ k.Segue do item (2) do lema anterior que ψ e unicamente definidopor ψ0.Por isso qualquer morfismo entre Ti e Tj e induzido por ψ0, logo eum multiplo do morfismo φi ,j .Portanto, o conjunto {φi ,j}(i ,j)∈R e uma k-base de EndDb(Λ)(TΛ).Logo, EndDb(Λ)(TΛ) e isomorfa a algebra de incidencia de posetkSop

Λ .

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Page 87: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras de Nakayama sem ciclos truncadas

Teorema de Rickard [Rickard1989]

Teorema

Γ, Λ - k-algebras

Db(Γ) ≃tr Db(Λ)⇐⇒ Γ ≃ End(T )op

onde T ∈ Kb(proj Λ) e um complexo inclinante.

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Page 88: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras de Nakayama sem ciclos truncadas

Teorema de Rickard [Rickard1989]

Teorema

Γ, Λ - k-algebras

Db(Γ) ≃tr Db(Λ)⇐⇒ Γ ≃ End(T )op

onde T ∈ Kb(proj Λ) e um complexo inclinante.

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Page 89: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Descricao de SΛ

Definicao

Para l ,m, n, s ∈ N tais que m ≤ l e s < l ,

vamos denotar porV (l ,m, n, s) o poset definido no conjunto de elementos

{ai , bj , ck | 1 ≤ i ≤ l , 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n}

e com ordem parcial definida pelas seguintes regras:

(1) xi ≤ xj se, e somente se, i ≤ j para x ∈ {a, b, c};(2) ai < cj e bk < cj para todos i , j , k;

(3) ai < bi+k para todos i e todos k ≥ 1;

(4) bi < ai+t para todos i e todos t ≥ s.

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Page 90: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Descricao de SΛ

Definicao

Para l ,m, n, s ∈ N tais que m ≤ l e s < l , vamos denotar porV (l ,m, n, s) o poset definido no conjunto de elementos

{ai , bj , ck | 1 ≤ i ≤ l , 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n}

e com ordem parcial definida pelas seguintes regras:

(1) xi ≤ xj se, e somente se, i ≤ j para x ∈ {a, b, c};(2) ai < cj e bk < cj para todos i , j , k;

(3) ai < bi+k para todos i e todos k ≥ 1;

(4) bi < ai+t para todos i e todos t ≥ s.

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Page 91: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Descricao de SΛ

Definicao

Para l ,m, n, s ∈ N tais que m ≤ l e s < l , vamos denotar porV (l ,m, n, s) o poset definido no conjunto de elementos

{ai , bj , ck | 1 ≤ i ≤ l , 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n}

e com ordem parcial definida pelas seguintes regras:

(1) xi ≤ xj se, e somente se, i ≤ j para x ∈ {a, b, c};

(2) ai < cj e bk < cj para todos i , j , k;

(3) ai < bi+k para todos i e todos k ≥ 1;

(4) bi < ai+t para todos i e todos t ≥ s.

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Page 92: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Descricao de SΛ

Definicao

Para l ,m, n, s ∈ N tais que m ≤ l e s < l , vamos denotar porV (l ,m, n, s) o poset definido no conjunto de elementos

{ai , bj , ck | 1 ≤ i ≤ l , 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n}

e com ordem parcial definida pelas seguintes regras:

(1) xi ≤ xj se, e somente se, i ≤ j para x ∈ {a, b, c};(2) ai < cj e bk < cj para todos i , j , k;

(3) ai < bi+k para todos i e todos k ≥ 1;

(4) bi < ai+t para todos i e todos t ≥ s.

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Page 93: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Descricao de SΛ

Definicao

Para l ,m, n, s ∈ N tais que m ≤ l e s < l , vamos denotar porV (l ,m, n, s) o poset definido no conjunto de elementos

{ai , bj , ck | 1 ≤ i ≤ l , 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n}

e com ordem parcial definida pelas seguintes regras:

(1) xi ≤ xj se, e somente se, i ≤ j para x ∈ {a, b, c};(2) ai < cj e bk < cj para todos i , j , k;

(3) ai < bi+k para todos i e todos k ≥ 1;

(4) bi < ai+t para todos i e todos t ≥ s.

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Page 94: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Descricao de SΛ

Definicao

Para l ,m, n, s ∈ N tais que m ≤ l e s < l , vamos denotar porV (l ,m, n, s) o poset definido no conjunto de elementos

{ai , bj , ck | 1 ≤ i ≤ l , 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n}

e com ordem parcial definida pelas seguintes regras:

(1) xi ≤ xj se, e somente se, i ≤ j para x ∈ {a, b, c};(2) ai < cj e bk < cj para todos i , j , k;

(3) ai < bi+k para todos i e todos k ≥ 1;

(4) bi < ai+t para todos i e todos t ≥ s.

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Page 95: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Exemplo

Exemplo

O poset V (5, 3, 2, 3) tem o seguinte diagrama de Hasse:

a1 //

��

a2 //

��

a3 // a4 // a5

c1 // c2

b1 //

99

b2 //

99

b3

44

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Page 96: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Descricao de SΛ

Vamos definir os seguintes subconjuntos de {0, 1, . . . , n − 1}, oconjunto dos vertices de

−→A n.

C := {i ∈ {0, 1, . . . , n − 1} | r∗ divide i},A := {i ∈ {0, 1, . . . , n − 1} | qi e par e i /∈ C},B := {i ∈ {0, 1, . . . , n − 1} | qi e ımpar e i /∈ C}.

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Page 97: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Descricao de SΛ

Vamos definir os seguintes subconjuntos de {0, 1, . . . , n − 1}, oconjunto dos vertices de

−→A n.

C := {i ∈ {0, 1, . . . , n − 1} | r∗ divide i},A := {i ∈ {0, 1, . . . , n − 1} | qi e par e i /∈ C},B := {i ∈ {0, 1, . . . , n − 1} | qi e ımpar e i /∈ C}.

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Page 98: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Descricao de SΛ

Sejam lΛ(A) := |A|,

lΛ(B) := |B| e lΛ(C) := |C|.Se considerarmos a ordem natural existente em {0, 1, . . . , n − 1},temos as seguintes bijecoes que respeitam a ordem natural em Zpara A, B e C:

A ←→ {a1, a2, . . . , alΛ(A)},B ←→ {b1, b2, . . . , blΛ(B)},Cop ←→ {c1, c2, . . . , clΛ(C)}.

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Page 99: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Descricao de SΛ

Sejam lΛ(A) := |A|, lΛ(B) := |B|

e lΛ(C) := |C|.Se considerarmos a ordem natural existente em {0, 1, . . . , n − 1},temos as seguintes bijecoes que respeitam a ordem natural em Zpara A, B e C:

A ←→ {a1, a2, . . . , alΛ(A)},B ←→ {b1, b2, . . . , blΛ(B)},Cop ←→ {c1, c2, . . . , clΛ(C)}.

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Page 100: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Descricao de SΛ

Sejam lΛ(A) := |A|, lΛ(B) := |B| e lΛ(C) := |C|.

Se considerarmos a ordem natural existente em {0, 1, . . . , n − 1},temos as seguintes bijecoes que respeitam a ordem natural em Zpara A, B e C:

A ←→ {a1, a2, . . . , alΛ(A)},B ←→ {b1, b2, . . . , blΛ(B)},Cop ←→ {c1, c2, . . . , clΛ(C)}.

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Page 101: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Descricao de SΛ

Sejam lΛ(A) := |A|, lΛ(B) := |B| e lΛ(C) := |C|.Se considerarmos a ordem natural existente em {0, 1, . . . , n − 1},temos as seguintes bijecoes que respeitam a ordem natural em Zpara A, B e C:

A ←→ {a1, a2, . . . , alΛ(A)},B ←→ {b1, b2, . . . , blΛ(B)},Cop ←→ {c1, c2, . . . , clΛ(C)}.

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Page 102: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Descricao de SΛ

Sejam lΛ(A) := |A|, lΛ(B) := |B| e lΛ(C) := |C|.Se considerarmos a ordem natural existente em {0, 1, . . . , n − 1},temos as seguintes bijecoes que respeitam a ordem natural em Zpara A, B e C:

A ←→ {a1, a2, . . . , alΛ(A)},B ←→ {b1, b2, . . . , blΛ(B)},Cop ←→ {c1, c2, . . . , clΛ(C)}.

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Page 103: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Descricao de SΛ

Teorema

Seja Λ = Λ(n, r) uma algebra de Nakayama truncada e TΛ ocomplexo inclinante definido acima. EntaokSΛ ≃ kV (lΛ(A), lΛ(B), lΛ(C), r∗).

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Page 104: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Descricao de SΛ - Exemplo

Λ = Λ(12, 3) :

0 1oo 2oo 3oo 4oo 5oo 6oo 7oo 8oo 9oo 10oo 11oo

SopΛ tem o seguinte diagrama de Hasse:

1 5oo 9oo

zz

10

ee

yy

8oo 6oo 4oo 2oo 0oo

3 7oo

ZZ

11oo

[[

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Page 105: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Descricao de SΛ - Exemplo

Λ = Λ(12, 3) :

0 1oo 2oo 3oo 4oo 5oo 6oo 7oo 8oo 9oo 10oo 11oo

SopΛ tem o seguinte diagrama de Hasse:

1 5oo 9oo

zz

10

ee

yy

8oo 6oo 4oo 2oo 0oo

3 7oo

ZZ

11oo

[[

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Page 106: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Descricao de SΛ - Exemplo

Λ = Λ(12, 3) :

0 1oo 2oo 3oo 4oo 5oo 6oo 7oo 8oo 9oo 10oo 11oo

SopΛ tem o seguinte diagrama de Hasse:

1 5oo 9oo

zz

10

ee

yy

8oo 6oo 4oo 2oo 0oo

3 7oo

ZZ

11oo

[[

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Page 107: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Descricao de SΛ - Exemplo

Λ = Λ(12, 3) :

0 1oo 2oo 3oo 4oo 5oo 6oo 7oo 8oo 9oo 10oo 11oo

SopΛ tem o seguinte diagrama de Hasse:

1 5oo 9oo

zz

10

ee

yy

8oo 6oo 4oo 2oo 0oo

3 7oo

ZZ

11oo

[[

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Page 108: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras seriais a direita sem ciclos truncadas

Seja Λ uma algebra serial a direita truncada e a0 o vertice quecorresponde ao seu unico poco.

Seja {b1, . . . , bm} o conjunto de todas as fontes de Q.

Vamos denotar por Λbi a algebra r -truncada com carcas Q(bi ) quecorresponde ao poset Ubi , onde Ubi = {a ∈ Q0 | a ≥ bi}.

Λbi e uma algebra de Nakayama r -truncada.

Construımos para cada i a relacao RΛi⊆ Q(bi )×Q(bi ) ⊆ Q0×Q0.

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Page 109: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras seriais a direita sem ciclos truncadas

Seja Λ uma algebra serial a direita truncada e a0 o vertice quecorresponde ao seu unico poco.

Seja {b1, . . . , bm} o conjunto de todas as fontes de Q.

Vamos denotar por Λbi a algebra r -truncada com carcas Q(bi ) quecorresponde ao poset Ubi , onde Ubi = {a ∈ Q0 | a ≥ bi}.

Λbi e uma algebra de Nakayama r -truncada.

Construımos para cada i a relacao RΛi⊆ Q(bi )×Q(bi ) ⊆ Q0×Q0.

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 110: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras seriais a direita sem ciclos truncadas

Seja Λ uma algebra serial a direita truncada e a0 o vertice quecorresponde ao seu unico poco.

Seja {b1, . . . , bm} o conjunto de todas as fontes de Q.

Vamos denotar por Λbi a algebra r -truncada com carcas Q(bi ) quecorresponde ao poset Ubi

, onde Ubi = {a ∈ Q0 | a ≥ bi}.

Λbi e uma algebra de Nakayama r -truncada.

Construımos para cada i a relacao RΛi⊆ Q(bi )×Q(bi ) ⊆ Q0×Q0.

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 111: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras seriais a direita sem ciclos truncadas

Seja Λ uma algebra serial a direita truncada e a0 o vertice quecorresponde ao seu unico poco.

Seja {b1, . . . , bm} o conjunto de todas as fontes de Q.

Vamos denotar por Λbi a algebra r -truncada com carcas Q(bi ) quecorresponde ao poset Ubi , onde Ubi = {a ∈ Q0 | a ≥ bi}.

Λbi e uma algebra de Nakayama r -truncada.

Construımos para cada i a relacao RΛi⊆ Q(bi )×Q(bi ) ⊆ Q0×Q0.

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Page 112: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras seriais a direita sem ciclos truncadas

Seja Λ uma algebra serial a direita truncada e a0 o vertice quecorresponde ao seu unico poco.

Seja {b1, . . . , bm} o conjunto de todas as fontes de Q.

Vamos denotar por Λbi a algebra r -truncada com carcas Q(bi ) quecorresponde ao poset Ubi , onde Ubi = {a ∈ Q0 | a ≥ bi}.

Λbi e uma algebra de Nakayama r -truncada.

Construımos para cada i a relacao RΛi⊆ Q(bi )×Q(bi ) ⊆ Q0×Q0.

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 113: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras seriais a direita sem ciclos truncadas

Seja Λ uma algebra serial a direita truncada e a0 o vertice quecorresponde ao seu unico poco.

Seja {b1, . . . , bm} o conjunto de todas as fontes de Q.

Vamos denotar por Λbi a algebra r -truncada com carcas Q(bi ) quecorresponde ao poset Ubi , onde Ubi = {a ∈ Q0 | a ≥ bi}.

Λbi e uma algebra de Nakayama r -truncada.

Construımos para cada i a relacao RΛi⊆ Q(bi )×Q(bi ) ⊆ Q0×Q0.

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 114: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras seriais a direita sem ciclos truncadas

Defina agora

RΛ :=m∪i=1

RΛi.

Lema

O conjunto Q0 com a relacao binaria RΛ e um poset.

Teorema

A algebra de endomorfismos EndDb(Λ)(TΛ) e isomorfa a algebra deincidencia de poset kSop

Λ . Alem disso, Λ e derivadamenteequivalente a kSop

Λ .

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Page 115: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras seriais a direita sem ciclos truncadas

Defina agora

RΛ :=m∪i=1

RΛi.

Lema

O conjunto Q0 com a relacao binaria RΛ e um poset.

Teorema

A algebra de endomorfismos EndDb(Λ)(TΛ) e isomorfa a algebra deincidencia de poset kSop

Λ . Alem disso, Λ e derivadamenteequivalente a kSop

Λ .

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 116: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras seriais a direita sem ciclos truncadas

Defina agora

RΛ :=m∪i=1

RΛi.

Lema

O conjunto Q0 com a relacao binaria RΛ e um poset.

Teorema

A algebra de endomorfismos EndDb(Λ)(TΛ) e isomorfa a algebra deincidencia de poset kSop

Λ . Alem disso, Λ e derivadamenteequivalente a kSop

Λ .

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 117: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras de incidencia de posets

Vantagens:

Objetos mais combinatorios

Varias equivalencias dentro desta classe:

Mutacoes [Lad2010]

Mutacoes generalizadas

Equivalencia de Ladkani [Lad2008,B]

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Page 118: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras de incidencia de posets

Vantagens:

Objetos mais combinatorios

Varias equivalencias dentro desta classe:

Mutacoes [Lad2010]

Mutacoes generalizadas

Equivalencia de Ladkani [Lad2008,B]

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 119: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras de incidencia de posets

Vantagens:

Objetos mais combinatorios

Varias equivalencias dentro desta classe:

Mutacoes [Lad2010]

Mutacoes generalizadas

Equivalencia de Ladkani [Lad2008,B]

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Page 120: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras de incidencia de posets

Vantagens:

Objetos mais combinatorios

Varias equivalencias dentro desta classe:

Mutacoes [Lad2010]

Mutacoes generalizadas

Equivalencia de Ladkani [Lad2008,B]

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 121: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras de incidencia de posets

Vantagens:

Objetos mais combinatorios

Varias equivalencias dentro desta classe:

Mutacoes [Lad2010]

Mutacoes generalizadas

Equivalencia de Ladkani [Lad2008,B]

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 122: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras de incidencia de posets

Vantagens:

Objetos mais combinatorios

Varias equivalencias dentro desta classe:

Mutacoes [Lad2010]

Mutacoes generalizadas

Equivalencia de Ladkani [Lad2008,B]

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Page 123: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras seriais a direita sem ciclos truncadas hereditariaspor partes

Teorema de Happel:

Se H e uma k-categoria hereditaria, abeliana, conexa, com espacosde morfismos e extensoes de dimensao finita, e com algum objetoinclinante

H ≃der mod H para alguma k-algebra hereditaria de dimensaofinita H

ou

H ≃der coh X para alguma reta projetiva com pesos X

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Page 124: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras seriais a direita sem ciclos truncadas hereditariaspor partes

Teorema de Happel:

Se H e uma k-categoria hereditaria, abeliana, conexa, com espacosde morfismos e extensoes de dimensao finita, e com algum objetoinclinante

H ≃der mod H para alguma k-algebra hereditaria de dimensaofinita H

ou

H ≃der coh X para alguma reta projetiva com pesos X

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 125: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras seriais a direita sem ciclos truncadas hereditariaspor partes

Teorema de Happel:

Se H e uma k-categoria hereditaria, abeliana, conexa, com espacosde morfismos e extensoes de dimensao finita, e com algum objetoinclinante

H ≃der mod H para alguma k-algebra hereditaria de dimensaofinita H

ou

H ≃der coh X para alguma reta projetiva com pesos X

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 126: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras seriais a direita sem ciclos truncadas hereditariaspor partes

Teorema de Happel:

Se H e uma k-categoria hereditaria, abeliana, conexa, com espacosde morfismos e extensoes de dimensao finita, e com algum objetoinclinante

H ≃der mod H para alguma k-algebra hereditaria de dimensaofinita H

ou

H ≃der coh X para alguma reta projetiva com pesos X

Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

Page 127: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras seriais a direita sem ciclos truncadas hereditariaspor partes

Geigle e Lenzing ([GL 1987])

Db(coh X(p, λ)) ≃tr Db(mod C (p, λ))

Ladkani, em [Lad2008] mostrou o seguinte resultado.

Teorema

Seja Λ uma algebra canonica do tipo (p, λ) sobre um corpoalgebricamente fechado. Entao Λ e derivadamente equivalente auma algebra de incidencia de poset se e somente se o numero depesos de p e igual a 2 ou 3.

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Page 128: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras seriais a direita sem ciclos truncadas hereditariaspor partes

Geigle e Lenzing ([GL 1987])

Db(coh X(p, λ)) ≃tr Db(mod C (p, λ))

Ladkani, em [Lad2008] mostrou o seguinte resultado.

Teorema

Seja Λ uma algebra canonica do tipo (p, λ) sobre um corpoalgebricamente fechado. Entao Λ e derivadamente equivalente auma algebra de incidencia de poset se e somente se o numero depesos de p e igual a 2 ou 3.

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Page 129: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras seriais a direita sem ciclos truncadas hereditariaspor partes

Geigle e Lenzing ([GL 1987])

Db(coh X(p, λ)) ≃tr Db(mod C (p, λ))

Ladkani, em [Lad2008] mostrou o seguinte resultado.

Teorema

Seja Λ uma algebra canonica do tipo (p, λ) sobre um corpoalgebricamente fechado. Entao Λ e derivadamente equivalente auma algebra de incidencia de poset se e somente se o numero depesos de p e igual a 2 ou 3.

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Page 130: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Algebras seriais a direita sem ciclos truncadas hereditariaspor partes

Geigle e Lenzing ([GL 1987])

Db(coh X(p, λ)) ≃tr Db(mod C (p, λ))

Ladkani, em [Lad2008] mostrou o seguinte resultado.

Teorema

Seja Λ uma algebra canonica do tipo (p, λ) sobre um corpoalgebricamente fechado. Entao Λ e derivadamente equivalente auma algebra de incidencia de poset se e somente se o numero depesos de p e igual a 2 ou 3.

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Page 131: derivadamente equivalentes a ´algebras de incidˆencia de ...

Referencias bibliograficas

[ASS] Assem, Ibrahim and Simson, Daniel and Skowronski, Andrzej - Elements of the representation theory ofassociative algebras. Vol. 1 Cambridge University Press (2006).

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[GL1987] Geigle, W.; Lenzing, H. - A class of weighted projective curves arising in representation theory offinite-dimensional algebras. In: Singularities, representation of algebras, and vector bundles (Lambrecht, 1985),Lecture Notes in Math., vol. 1273, Springer, Berlin, pp. 265-297, (1987).

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Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets

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Claudiano Henrique da Cunha Melo Algebras seriais sem ciclos truncadas sao derivadamente equivalentes a algebras de incidencia de posets