3. COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DE FORCES I. Mécanique

3 Composition et décomposition de forces

3.1 Composition de forces

Si un corps est soumis à plusieurs forces F1, F2, ..., FN (en même temps), l’effet résultant estle même que si on n’avait qu’une seule force ΣF , appelée résultante.

On appelle (force) résultante la force correspondant à la somme vectorielle de tous lesvecteurs forces qui s’appliquent à un corps.

!

F = F1 + F2 + ...+ FN

Pour trouver la résultante ΣF de deux forces F1 et F2, on peut :

— soit translater les vecteurs tel que l’origine du deuxième vecteur soit placée à l’extrémitédu premier (ou inversement). Si on relie l’origine du premier vecteur à l’extrémité dudeuxième vecteur, on obtient la résultante :

F1

F2

F1

F2

ΣF

Figure I.3 – Addition de deux forces - Méthode 1

— soit dresser le parallélogramme des forces :

c’est le parallélogramme qui a comme côtés les deux forces à additionner. La résultantecorrespond à la diagonale.

13

3. COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DE FORCES I. Mécanique

F1

F2

F1

F2

ΣF

Figure I.4 – Addition de deux forces - Méthode 2

Attention !En général, la norme de la résultante ΣF n’est pas égale à la somme des normes descomposantes F1 et F2 :

||ΣF || = ΣF

Cas particulier : Addition de deux forces de directions perpendiculaires

F1

F2

ΣF

Figure I.5 – Addition de deux forces perpendiculaires

Dans ce cas, on peut facilement calculer la norme de la résultante en se servant du théorèmede Pythagore :

||ΣF || ="

F12 + F2

2

Cas particulier : Addition de deux forces de mêmes direction et sensSi les deux forces F1 et F2 ont même sens et des directions parallèles, alors la norme de larésultante ΣF est égale à la somme des normes des forces composantes :

||ΣF || = F1 + F2

14

3. COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DE FORCES I. Mécanique

F1

F2

F1 F2

ΣF

Figure I.6 – Addition de deux forces de même sens

Cas particulier : Addition de deux forces opposées

F1

F2

F1

F2ΣF

Figure I.7 – Addition de deux forces opposées

Si les deux forces F1 et F2 ont des directions parallèles, mais des sens opposés, alors la normede la résultante ΣF est égale à la valeur absolue 2 de la différence des normes des forces com-posantes :

||ΣF || = |F1 − F2|

3.2 Décomposition de forces

Dans les chapitres suivants, il est souvent avantageux de remplacer une force F par deux forcesF1 et F2, dont l’action combinée est identique à celle de F . Les forces F1 et F2 sont alors lescomposantes de la résultante F :

F = F1 + F2

Afin de déterminer les composantes d’une force F , il faut d’abord judicieusement choisir lesdirections suivant lesquelles on va la décomposer. Ensuite, on trace des rayons suivant ces di-rections en partant de l’origine de F . On construit alors le parallélogramme dont la diagonaleest F . Les côtés de ce parallélogramme constituent les composantes F1 et F2.

2. Rappel : une norme est par définition toujours positive

15

3. COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DE FORCES I. Mécanique

Exemple :

F

directions de décomposition

F

F

F1

F2

Figure I.8 – Décomposition d’une force selon deux directions quelconques

Cas particulier : Décomposition selon deux directions perpendiculaires.

FF1

F2α

Figure I.9 – Décomposition d’une force selon deux directions perpendiculaires

16

3. COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DE FORCES I. Mécanique

Si les deux composantes ont des directions perpendiculaires, on peut facilement calculer leursnormes si on connaît la norme F de la résultante et l’angle α qu’elle fait avec l’horizontale.

En effet, on a :

cosα =F2

F⇐⇒ F2 = F · cosα

De même :

sinα =F1

F⇐⇒ F1 = F · sinα

17