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3. COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DE FORCES I. Mécanique 3 Composition et décomposition de forces 3.1 Composition de forces Si un corps est soumis à plusieurs forces F 1 , F 2 , ..., F N (en même temps), l’eet résultant est le même que si on n’avait qu’une seule force Σ F , appelée résultante. On appelle (force) résultante la force correspondant à la somme vectorielle de tous les vecteurs forces qui s’appliquent à un corps. F = F 1 + F 2 + ... + F N Pour trouver la résultante Σ F de deux forces F 1 et F 2 , on peut : — soit translater les vecteurs tel que l’origine du deuxième vecteur soit placée à l’extrémité du premier (ou inversement). Si on relie l’origine du premier vecteur à l’extrémité du deuxième vecteur, on obtient la résultante : F 1 F 2 F 1 F 2 Σ F Figure I.3 – Addition de deux forces - Méthode 1 — soit dresser le parallélogramme des forces : c’est le parallélogramme qui a comme côtés les deux forces à additionner. La résultante correspond à la diagonale. 13

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3. COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DE FORCES I. Mécanique

3 Composition et décomposition de forces

3.1 Composition de forces

Si un corps est soumis à plusieurs forces F1, F2, ..., FN (en même temps), l’effet résultant estle même que si on n’avait qu’une seule force ΣF , appelée résultante.

On appelle (force) résultante la force correspondant à la somme vectorielle de tous lesvecteurs forces qui s’appliquent à un corps.

!

F = F1 + F2 + ...+ FN

Pour trouver la résultante ΣF de deux forces F1 et F2, on peut :

— soit translater les vecteurs tel que l’origine du deuxième vecteur soit placée à l’extrémitédu premier (ou inversement). Si on relie l’origine du premier vecteur à l’extrémité dudeuxième vecteur, on obtient la résultante :

F1

F2

F1

F2

ΣF

Figure I.3 – Addition de deux forces - Méthode 1

— soit dresser le parallélogramme des forces :

c’est le parallélogramme qui a comme côtés les deux forces à additionner. La résultantecorrespond à la diagonale.

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3. COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DE FORCES I. Mécanique

F1

F2

F1

F2

ΣF

Figure I.4 – Addition de deux forces - Méthode 2

Attention !En général, la norme de la résultante ΣF n’est pas égale à la somme des normes descomposantes F1 et F2 :

||ΣF || = ΣF

Cas particulier : Addition de deux forces de directions perpendiculaires

F1

F2

ΣF

Figure I.5 – Addition de deux forces perpendiculaires

Dans ce cas, on peut facilement calculer la norme de la résultante en se servant du théorèmede Pythagore :

||ΣF || ="

F12 + F2

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Cas particulier : Addition de deux forces de mêmes direction et sensSi les deux forces F1 et F2 ont même sens et des directions parallèles, alors la norme de larésultante ΣF est égale à la somme des normes des forces composantes :

||ΣF || = F1 + F2

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3. COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DE FORCES I. Mécanique

F1

F2

F1 F2

ΣF

Figure I.6 – Addition de deux forces de même sens

Cas particulier : Addition de deux forces opposées

F1

F2

F1

F2ΣF

Figure I.7 – Addition de deux forces opposées

Si les deux forces F1 et F2 ont des directions parallèles, mais des sens opposés, alors la normede la résultante ΣF est égale à la valeur absolue 2 de la différence des normes des forces com-posantes :

||ΣF || = |F1 − F2|

3.2 Décomposition de forces

Dans les chapitres suivants, il est souvent avantageux de remplacer une force F par deux forcesF1 et F2, dont l’action combinée est identique à celle de F . Les forces F1 et F2 sont alors lescomposantes de la résultante F :

F = F1 + F2

Afin de déterminer les composantes d’une force F , il faut d’abord judicieusement choisir lesdirections suivant lesquelles on va la décomposer. Ensuite, on trace des rayons suivant ces di-rections en partant de l’origine de F . On construit alors le parallélogramme dont la diagonaleest F . Les côtés de ce parallélogramme constituent les composantes F1 et F2.

2. Rappel : une norme est par définition toujours positive

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3. COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DE FORCES I. Mécanique

Exemple :

F

directions de décomposition

F

F

F1

F2

Figure I.8 – Décomposition d’une force selon deux directions quelconques

Cas particulier : Décomposition selon deux directions perpendiculaires.

FF1

F2α

Figure I.9 – Décomposition d’une force selon deux directions perpendiculaires

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3. COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DE FORCES I. Mécanique

Si les deux composantes ont des directions perpendiculaires, on peut facilement calculer leursnormes si on connaît la norme F de la résultante et l’angle α qu’elle fait avec l’horizontale.

En effet, on a :

cosα =F2

F⇐⇒ F2 = F · cosα

De même :

sinα =F1

F⇐⇒ F1 = F · sinα

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