2n de BATXILLERAT

Jvsirerol 2012

Ø ENERGIA I TREBALL Ø FORCES VARIABLES

Matemàtiques per a la física.

2

1. Treball realitzat per una força variable . La definició que hem donat de treball en el curs passat, únicament és vàlida

quan la força que actua sobre el cos és constant i l’angle que formen la força i el desplaçament també ho és. WAB= FAB . Δr . cosα

En aquest apartat ens plantegem calcular el treball realitzat per una força

que no sigui constant. El problema que ens trobem és que no podem aplicar l’equació anterior i hem de buscar una nova expressió per calcular el treball en aquests casos.

En primer lloc, recordarem un procediment per calcular el treball que sempre és vàlid. El procediment consisteix en representar gràficament la component tangencial de la força com a variable depenent respecte al desplaçament com variable independent i calcular l’àrea que queda entre la gràfica i l’eix d’abscisses. Aquesta àrea sempre és igual al treball realitzat per la força. Per comprovar que això funciona bé, començarem pel cas més senzill, el cas d’una força constant, FAB, que realitza un treball al llarg d’un desplaçament, Δx, i veurem, tal i com mostra la figura adjunta, que efectivament es compleix que:

Figura 4

Ara, anem a fer una aplicació a una força variable. Com a primera aplicació

escollim el procés de comprimir, a velocitat constant i molt lentament sense que hi hagi increment d’energia cinètica, un cos contra una molla. D’aquesta manera, ens assegurem que la força que fem noltros sobre el cos és igual i de sentit contrari a la força que fa la molla sobre el cos al llarg de tot el recorregut, tal i com mostra la figura.

Figura 5

En un gràfic on representa com varia la component tangencial de la força amb el desplaçament, l’àrea compresa entre el gràfic i l’eix

abscisses sempre és igual al treball realitzat per la força.

3

Escollim aquest cas perquè la força que fa la molla té una expressió matemàtica d’aspecte agradable. Efectivament, suposarem que la molla compleix la Llei de Hooke i , per tant, l’expressió matemàtica de la força ve donada per:

• Força que fa la molla sobre el cos: Fm = - k x i • La força que fem noltros, Fa, sobre el cos serà: Fa = k x i

On “k” és una constant que dóna compte de la duresa de la molla i “x” és el desplaçament de la molla respecte a la seva posició d’equilibri. El signe negatiu ens indica que la força que fa la molla sobre el cos sempre és de sentit contrari al del desplaçament provocat per la força exterior (Amb el criteri de signes de la figura anterior, la força aplicada que fem noltros i el desplaçament són positius i la força que fa la molla tindria signe negatiu. Cal remarca que, com sempre, els signes de les forces i desplaçaments depenen únicament del nostre criteri de signes). També és important adonar-se que la força que fa la molla i, conseqüentment, la que hem de fer noltros per comprimir la molla, augmenten de forma directament proporcional al desplaçament de la molla. Per calcular el treball repetim el mateix procediment anterior. Anem a representar la gràfica “força tangencial - desplaçament”. En aquest cas la força té la mateixa direcció i sentit que el desplaçament i, per tant, la força ja és tangencial. Fem la representació gràfica de comprimir la molla des de la posició d’equilibri, x = 0, fins una distància, x = d .

Figura 6

El treball que realitzem noltros amb la nostra força aplicada,, al llarg de desplaçament, d, ve donat per àrea que queda entre la gràfica i l’eix d’abscisses. Aquesta àrea és molt fàcil de trobar, ja que es tracta d’un triangle rectangle. Per

tant, el treball que hem realitzat és igual a: W kd=12

2 . Aquest treball dóna positiu,

ja que la força aplicada i el desplaçament tenen el mateix sentit. Lògicament el treball realitzat per la molla tindrà signe contrari, ja que la força

de la molla té sentit contrari al desplaçament. Moltes vegades trobarem aquesta expressió així:

W = ±12k ! x2

On “x” representa el que s’ha estirat o comprimit la molla. El signe depèn de si la força té o no el mateix sentit que el desplaçament.

4

Si la gràfica “força – desplaçament” no té una aspecte tan “amable” com en el cas de la força de la molla, és més difícil calcular el treball i necessitarem altres recursos per fer el càlcul de l’àrea i així trobar el treball. Imaginem una força que la seva component tangencial, entre x1 i x2, té l’aspecte de la gràfica de la figura 7:

Figura 7 Figura 8 Per aquest cas no tenim una manera fàcil de calcular l’àrea de la figura de l’esquerra, el treball, però els matemàtics tenen un truc per solucionar aquests problemes. El truc consisteix en dividir l’àrea en rectangles tan petits com sigui necessari per poder calcular la seva àrea amb la fórmula habitual, base per alçada, i sigui una bona aproximació (Us podeu preguntar: Quan petits han d’ésser els rectangles?. Si fa falta infinitament petits. Què vol dir infinitament petits?, millor ho pregunteu al/ la professor/a de matemàtiques). Això implica, a la vegada, dividir el desplaçament del cos en fragments infinitament petits, tant que sigui vàlida l’aproximació que la força en aquest interval és constant i poder aplicar tranquil·lament la nostra definició de treball. Veure la figura de la dreta del dibuix anterior. Així, el treball infinitament petit, dWi, realitzat al llarg del desplaçament infinitament petit, dxi, per la força , Fi, vindrà donat per: dWi = Fi. dxi El valor d’aquest treball infinitesimal és igual al valor de l’àrea del rectangle de la figura. Per calcular el treball total, és a dir, l’àrea total, és necessari fer la suma de tots els infinits rectangles, dWi, prèviament calculats. W(Total) = Àrea total = dW1 + dW2 + dW3 + ....... + dWi + ... infinits termes Aquest procediment pot semblar molt complicat però es poden aconseguir bones aproximacions fent un número raonable de rectangles ( fer el problema número 2). A més, les matemàtiques disposen d’una potent eina que permet calcular exactament el valor d’aquestes àrees si coneixem com varia la força amb el desplaçament. És a dir, si coneixem “F(x)”. Aquesta eina és la integral, en el nostre cas, la integral definida.

W total dW dW dW dW F x dxi ix

x

( ) ..... .... ( )= + + + + = =∞

∑ ∫1 21 1

2

5

A continuació teniu algunes de les integrals immediates més usuals en Física elemental. A Segon de Batxillerat les integrals que surten a Física són molt fàcils i el que és important és el concepte d’integral i saber quan hi ha que aplicar-lo. Si la integral és definida i té límits, desapareix la constant d’integració i el resultat de la integral s’ha d’avaluar en el punt final i restar-li el valor trobat en el punt inicial. Veure l’exemple – 1, que teniu més endavant. 2. Recordem les relacions “treball – energia” de 1r Batxillerat.

AQUESTES RELACIONS SÓN SEMPRE VÀLIDES.

RESUM DE LES RELACIONS ENTRE TREBALL I ENERGIA:

• Tan  sols  té  sentit  parlar  d’Energia  Potencials  (gravitatòria,  elàstica,  elèctrica,  ...)  en  els  processos  en  què  realitza  treball  una  Força  Conservativa.  La  relació  existent  entre  els  dos  és:    

• El  Treball  realitzat  per  una  Força  Resultant  sobre  un  cos,  sigui  

conservativa  o  no,  sempre  és  igual  a  la  variació  de  l’Energia  Cinètica  del  cos:    

• En  un  Sistema  Conservatiu  les  úniques  forces  que  realitzen  treball  

són  les  conservatives.  En  els  sistemes  conservatius  tan  sols  es  produeixen  transformacions  entre  l’energia  potencial  i  la  cinètica  però  l’energia  mecànica  total  és  manté  constant:    

            o      bé          

• Un  sistema  tan  sols  pot  variar,  guanyar  o  perdre,  la  seva  energia  

mecànica  si  sobre  ell  realitzen  treball  forces  no  conservatives:                                                                                      

1a:

2a: ;

3a:

4ta: 5è: 6a:

6

Exemple - 1: L’estat inicial que mostra la figura està format per tres masses iguals, calcular la distància màxima “h” que baixarà el cos del centre quan es deixi en llibertat el sistema.

Solució 1: La massa del mig baixa i les dues laterals pujaran. La pèrdua d’energia potencial de la massa del mig serà igual a la que guanyaran les dues laterals. Es tracta d’un sistema conservatiu i per tant es complirà: !Ec +!Ep = 0 En aquest cas, si comparem l’estat inicial i el final no hi ha variació de l’energia cinètica, ja que en els dos estats Ec=0. Si la massa del mig baixa “h” cadascuna de les masses laterals pujarà “h’=D- l”. Per tant es complirà:

m ! g !h = 2 !m ! g !h ' on h ' = D! l = l2 + h2 ! l de la primera equació trobem que: “h’= h/2” ( resultat lògic si tenim en compte pugen dues masses, en baixa una i les masses són iguals)que substituint en la segona equació trobem

h2= l2 + h2 ! l i trobem per "h" h = 4

3 h =

43l

m m

m α

p

T

p p

h

l

D

l

7

Solució 2: Aquest problema també es pot fer calculant el treball fet per la tensió dels fils sobre la massa central. Aquest treball serà igual a la pèrdua d’energia potencial d’aquesta massa. Com una de les propietats de l’energia és que és una funció d’estat i es tracta d’un sistema conservatiu, el camí entre els dos estats no importa i podem escollir un procés que es realitzi a velocitat constant. En aquest cas podem assegurar que la tensió dels fils serà igual al pes dels cossos laterals: T =m ! g El treball que fa aquesta tensió no és constant al llarg del recorregut ja que l’angle entre tensió i el desplaçament de la massa central va canviant mentre el cos baixa. El treball fet per la tensió del fil mentre baixa el cos serà negatiu que d’aquesta força realitza treball la component que té sentit contrari al desplaçament del cos:

W T( ) = !2 T "sin! "dy0

h

# = !2 m " g "sin! "dy0

h

# = !2 "m " g sin! "dy0

h

#

En aquesta integral podem fer el canvi: sin! = yD=

yl2 + y2

i la integral queda.

W T( ) = !2 "m " g yl2 + y2

dy0

h

# que si fem el canvi de variable següent:

z = l2 + y2 ; llavors la seva diferencial serà: dz = 2 ! y !dy , que substituint en la

integral queda: W T( )!m " g z!12l2

l2+h2

# dz que és una integral immediata i dóna:

W T( ) = !2 "m " g z 12#$

%&l2l2+h2

= !2 "m " g l2 + y2( )12#

$'%&(0

h2

= !2mg l2 + y2( )12 ! l#

$'%&(

Aquest treball ha de ser igual a la pèrdua d’energia potencial del cos central, per tant: !Ep = Ep

f "Epi = "m # g #h ; igualant les dues equacions trobem:

!mgh = !2mg l2 + h2( )1

2 ! l"#$

%&' ( h

2+ l = l2 + h2( )

12 operant trobem: h = 4

3l

Evidentment, la resolució d’aquest problema és molt més fàcil per energies que calculant el treball.

8

Problemes: 1. La força resultant que actua sobre un cos

de 10 kg varia amb l’espai recorregut de la manera que indica la figura. Calcula el treball realitzat per la força i la velocitat del cos quan arriba als 15 m si el treball s’inverteix en donar energia cinètica al cos.

2. Representa la funció 2)( xxF = , entre els punts x m0 0 2= , i mx 0,11 = .

Calcula l’àrea emmarcada entre aquests dos punts, la corba de la gràfica i l’eix d’abscisses. Utilitza una partició que et permeti calcular l’àrea fent petits rectangles, com més petits siguin més exacte serà el resultat. Compara el resultat amb el valor exacte de la integral entre els dos valors d’x.

3. Utilitza la Llei de la gravitació de Newton que tens a continuació per calcular el

treball realitzat per la força gravitatòria quan dues masses “m1 i m2” ” passen d’estar separades una distancia “xo” a una distància final “x1”.

Fg =Gm1 !m2

x2=G !m1 !m2 ! x

"2

4. Les càrregues elèctriques s’atreuen o es rebutgen segons els signe d’elles. La

força existent entre dues càrregues ve donada per la Llei de Coulomb i que té un aspecte molt semblant al de la llei de gravitació de Newton però amb unes altres variables i constants. Calcula el treball que cal fer per atracar dues càrregues positives, que inicialment estan infinitament allunyades i que no hi ha força entre elles, fins una separació “x” finita. La llei de Coulomb ve donada per:

Fe = K !q1 !q2 ! x"2

5. Calcula el treball realitzat per la força gravitatòria de la Terra sobre un satèl·lit de

2000 kg de massa que es mou en una òrbita circular a 300 km sobre la superfície de la Terra. Suggeriment, fes un dibuix abans de començar el problema. Dades: Massa de la Terra 6,0x1024 kg, radi de la Terra 6400 km.

6. Calcula el treball necessari per comprimir una molla, de constant k= 900 N/m, 20

cm des de la posició d’equilibri. Quin seria el treball realitzat per la força de la molla?.

9

3. Relacions Treball – Energia quan les forces són variables. Quan les forces no són constants la relació que hem trobat entre l’energia potencial i la seva força associada és exactament la mateixa, però el treball ja no el podem trobar amb un senzill producte escalar i hem de recórrer al càlcul d’una integral. En aquest cas la relació ens queda:

∫−=−=Δ1

0

.)(r

rcp rdFFWE

Si el moviment es realitza en una sola dimensió l’equació es redueix a:

∫−=−=Δ1

0

.)(x

xccp dxFFWE

Aquestes equacions també ens remarquen que el que realment està definit és la variació o diferència d’energies potencials entre dos punts i no l’energia potencial absoluta en un punt, tal i com comentarem l’any passat. En aquest curs veurem altres forces conservatives i, per tant, altres energies potencials.

Les equacions que acabem de veure relacionen l’energia potencial

amb la seva força associada a través d’una integral, però també existeix una expressió diferencial que relaciona les dues magnituds i que permet trobar la força a partir del coneixement de l’expressió de l’energia potencial.

En l’expressió del treball infinitament petit realitzat al llarg d’un desplaçament també infinitament petit, dW=F.dx, podem suposar que aquest treball provoca una variació infinitament petita de l’energia potencial, (-dEp), sempre que la força sigui conservativa. Així tindrem:

Per una banda que, dW= - dEp ; i per l’altra que dW=Fc.dx , per tant:

dEp = !!F "d!x = !Fx "dx ; així : Fx = !

dEp

dx

Aquesta última equació ens permet trobar l’expressió de la força conservativa a partir del seu potencial associat sempre que coneguem com varia el potencial amb “x”, és a dir, sempre que coneguem Ep= f(x). És important veure que mentre l’energia potencial és una magnitud escalar, la seva variació al llarg de l’espai és una magnitud vectorial (és a dir, podem representar aquesta variació per un vector ja que té direcció i sentit ), en aquest cas, igual i de signe contrari a la seva força conservativa associada. Les variacions de magnituds escalars amb el desplaçament rebem el nom de Gradients, però compte!!, aquests gradients seran iguals a forces, tan sols, quan les magnituds escalars siguin potencials. Per exemple, un gradient de temperatures és una magnitud vectorial però no és igual a cap força.

10

Exemple - 2:

De dedueix l’expressió de la força d’una molla que compleix la llei de Hooke, a partir de l’expressió de l’energia potencial d’una la molla, !! =

!!!!!.

Solució: Tan sols cal aplicar l’expressió que acabem de

trobar: Fx = !dEp

dx, és ha dir és suficient calcular

de derivada de l’expressió del potencial respecte de la seva variable “x”. Substituïm Ep ;

F = !ddx

12K " x2

#

$%

&

'(= !K " x aquesta és

l’expressió buscada. Problemes:

7. Comprova que l’energia potencia gravitatòria, Ep=mgh, i el pes, p=mg, també

compleixen les relacions entre forces conservatives i les energies potencials. 8. Un cos es troba sotmès a una força unidimensional que té associada una energia

potencial de la forma E Kxp =12

2 , on K= 500 N/m. Si l’energia del cos és 25 J,

calcula: a. L’expressió de la força associada al potencial. b. Representa gràficament l’expressió de l’energia potencial. c. L’amplitud del moviment del cos.

9. Calcula el treball necessari per comprimir una molla de constant, k=600 N/m, des

de la posició d’equilibri fins el punt x= -15 cm. Calcula també la variació d’energia potencial del sistema.

10. Una partícula que es mou en una sola dimensió té una energia potencial que ve

donada per, E xkx

p ( ) = −3

3, on “k” és una constant.

a. Calcula l’expressió de la força que actua sobre la partícula. b. Representa sobre uns mateixos eixos les gràfiques de l’energia potencial i

de la força. c. Hi algun valor d’ics pel qual la força sobre la partícula sigui nul·la?. d. Com és la força que actua sobre la partícula si la desplacem de la posició

d’equilibri en sentit negatiu?. I si ho fem en sentit positiu?.

11. Troba l’expressió de l’energia potencial associada a la força de gravitació de Newton.