Treball forces variables

download Treball forces variables

of 10

  • date post

    10-Aug-2015
  • Category

    Education

  • view

    722
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Treball forces variables

  1. 1. ENERGIA I TREBALL FORCES VARIABLESMatemtiques per a la fsica.2n de BATXILLERATJvsirerol2012
  2. 2. 1. Treball realitzat per una fora variable . La definici que hem donat de treball en el curs passat, nicament s vlidaquan la fora que actua sobre el cos s constant i langle que formen la fora iel desplaament tamb ho s.WAB= FAB . r . cosEn aquest apartat ens plantegem calcular el treball realitzat per una foraque no sigui constant. El problema que ens trobem s que no podem aplicarlequaci anterior i hem de buscar una nova expressi per calcular el treball enaquests casos.En primer lloc, recordarem un procediment per calcular el treball quesempre s vlid. El procediment consisteix en representar grficament lacomponent tangencial de la fora com a variable depenent respecte aldesplaament com variable independent i calcular lrea que queda entre lagrfica i leix dabscisses. Aquesta rea sempre s igual al treball realitzat perla fora. Per comprovar que aix funciona b, comenarem pel cas ms senzill,el cas duna fora constant, FAB, que realitza un treball al llarg dundesplaament, x, i veurem, tal i com mostra la figura adjunta, queefectivament es compleix que: Figura 4En un grfic on representa com varia la component tangencial de la fora amb el desplaament, lrea compresa entre el grfic i leix abscisses sempre s igual al treball realitzat per la fora.Ara, anem a fer una aplicaci a una fora variable. Com a primera aplicaciescollim el procs de comprimir, a velocitat constant i molt lentament sense que hihagi increment denergia cintica, un cos contra una molla. Daquesta manera, ensassegurem que la fora que fem noltros sobre el cos s igual i de sentit contrari a lafora que fa la molla sobre el cos al llarg de tot el recorregut, tal i com mostra lafigura.Figura 52
  3. 3. Escollim aquest cas perqu la fora que fa la molla t una expressi matemticadaspecte agradable. Efectivament, suposarem que la molla compleix la Llei deHooke i , per tant, lexpressi matemtica de la fora ve donada per: Fora que fa la molla sobre el cos: Fm = - k x i La fora que fem noltros, Fa, sobre el cos ser: Fa = k x iOn k s una constant que dna compte de la duresa de la molla i x s eldesplaament de la molla respecte a la seva posici dequilibri. El signe negatiu ensindica que la fora que fa la molla sobre el cos sempre s de sentit contrari al deldesplaament provocat per la fora exterior (Amb el criteri de signes de la figura anterior,la fora aplicada que fem noltros i el desplaament sn positius i la fora que fa la molla tindriasigne negatiu. Cal remarca que, com sempre, els signes de les forces i desplaaments depenennicament del nostre criteri de signes). Tamb s important adonar-se que la fora quefala molla i, conseqentment, la que hem de fer noltros per comprimir la molla,augmenten de forma directament proporcional al desplaament de la molla.Per calcular el treball repetim el mateix procediment anterior. Anem a representarla grfica fora tangencial - desplaament. En aquest cas la fora t la mateixadirecci i sentit que el desplaament i, per tant, la fora ja s tangencial. Fem larepresentaci grfica de comprimir la molla des de la posici dequilibri, x = 0, finsuna distncia, x = d . Figura 6 El treball que realitzem noltros amb la nostra fora aplicada,, al llarg dedesplaament, d, ve donat per rea que queda entre la grfica i leix dabscisses.Aquesta rea s molt fcil de trobar, ja que es tracta dun triangle rectangle. Per 1tant, el treball que hem realitzat s igual a: W = kd 2 . Aquest treball dna positiu, 2ja que la fora aplicada i el desplaament tenen el mateix sentit. Lgicament el treball realitzat per la molla tindr signe contrari, ja que la forade la molla t sentit contrari al desplaament. Moltes vegades trobarem aquesta expressi aix:1 W = k ! x22On x representa el que sha estirat o comprimit la molla. El signe depn de si lafora t o no el mateix sentit que el desplaament. 3
  4. 4. Si la grfica fora desplaament no t una aspecte tan amable com en elcas de la fora de la molla, s ms difcil calcular el treball i necessitarem altresrecursos per fer el clcul de lrea i aix trobar el treball.Imaginem una fora que la seva component tangencial, entre x1 i x2, tlaspecte de la grfica de la figura 7: Figura 7 Figura 8Per aquest cas no tenim una manera fcil de calcular lrea de la figura delesquerra, el treball, per els matemtics tenen un truc per solucionar aquestsproblemes. El truc consisteix en dividir lrea en rectangles tan petits com siguinecessari per poder calcular la seva rea amb la frmula habitual, base per alada,i sigui una bona aproximaci (Us podeu preguntar: Quan petits han dsser els rectangles?. Sifa falta infinitament petits. Qu vol dir infinitament petits?, millor ho pregunteu al/ la professor/a dematemtiques). Aix implica, a la vegada, dividir el desplaament del cos en fragmentsinfinitament petits, tant que sigui vlida laproximaci que la fora en aquestinterval s constant i poder aplicar tranquillament la nostra definici de treball.Veure la figura de la dreta del dibuix anterior.Aix, el treball infinitament petit, dWi, realitzat al llarg del desplaamentinfinitament petit, dxi, per la fora , Fi, vindr donat per:dWi = Fi. dxiEl valor daquest treball infinitesimal s igual al valor de lrea del rectangle de lafigura. Per calcular el treball total, s a dir, lrea total, s necessari fer la suma detots els infinits rectangles, dWi, prviament calculats.W(Total) = rea total = dW1 + dW2 + dW3 + ....... + dWi + ... infinits termesAquest procediment pot semblar molt complicat per es poden aconseguir bonesaproximacions fent un nmero raonable de rectangles ( fer el problema nmero 2). Ams, les matemtiques disposen duna potent eina que permet calcular exactament elvalor daquestes rees si coneixem com varia la fora amb el desplaament. s adir, si coneixem F(x). Aquesta eina s la integral, en el nostre cas, la integraldefinida.x2 W (total ) = dW1 + dW2 +.....+dWi +.... = dWi = F ( x)dx1x1 4
  5. 5. A continuaci teniu algunes de les1a:integrals immediates ms usuals enFsica elemental. A Segon deBatxillerat les integrals que surten a2a:;Fsica sn molt fcils i el que simportant s el concepte dintegral isaber quan hi ha que aplicar-lo.3a:Si la integral s definida i t lmits,desapareix la constant dintegraci i el4ta:resultat de la integral sha davaluaren el punt final i restar-li el valortrobat en el punt inicial. Veure5:lexemple 1, que teniu ms endavant.6a:2. Recordem les relacions treball energia de 1r Batxillerat. RESUM DE LES RELACIONS ENTRE TREBALL I ENERGIA: Tan sols t sentit parlar dEnergia Potencials (gravitatria, elstica, elctrica, ...) en els processos en qu realitza treball una Fora Conservativa. La relaci existent entre els dos s: El Treball realitzat per una Fora Resultant sobre un cos, sigui conservativa o no, sempre s igual a la variaci de lEnergia Cintica del cos: En un Sistema Conservatiu les niques forces que realitzen treball sn les conservatives. En els sistemes conservatius tan sols es produeixen transformacions entre lenergia potencial i la cintica per lenergia mecnica total s mant constant: o b Un sistema tan sols pot variar, guanyar o perdre, la seva energia mecnica si sobre ell realitzen treball forces no conservatives: AQUESTES RELACIONS SN SEMPRE VLIDES.5
  6. 6. Exemple - 1:Lestat inicial que mostra la figura est format per tres masses iguals, calcular ladistncia mxima h que baixar el cos del centre quan es deixi en llibertat elsistema.llhm TDpp mm pSoluci 1:La massa del mig baixa i les dues laterals pujaran. La prdua denergia potencial dela massa del mig ser igual a la que guanyaran les dues laterals. Es tracta dunsistema conservatiu i per tant es complir: !Ec + !E p = 0En aquest cas, si comparem lestat inicial i el final no hi ha variaci de lenergiacintica, ja que en els dos estats Ec=0.Si la massa del mig baixa h cadascuna de les masses laterals pujar h=D- l. Pertant es complir:m ! g ! h = 2 ! m ! g ! honh = D ! l = l 2 + h 2 ! lde la primera equaci trobem que: h= h/2 ( resultat lgic si tenim en comptepugen dues masses, en baixa una i les masses sn iguals)que substituint en la segonaequaci trobem 4 h = l 2 + h2 ! l i trobem per "h" h = 4h= l 2 3 3 6
  7. 7. Soluci 2:Aquest problema tamb es pot fer calculant el treball fet per la tensi dels fils sobrela massa central. Aquest treball ser igual a la prdua denergia potencial daquestamassa.Com una de les propietats de lenergia s que s una funci destat i es tracta dunsistema conservatiu, el cam entre els dos estats no importa i podem escollir unprocs que es realitzi a velocitat constant. En aquest cas podem assegurar que latensi dels fils ser igual al pes dels cossos laterals: T = m!gEl treball que fa aquesta tensi no s constant al llarg del recorregut ja que langleentre tensi i el desplaament de la massa central va canviant mentre el cos baixa. Eltreball fet per la tensi del fil mentre baixa el cos ser negatiu que daquesta forarealitza treball la component que t sentit contrari al desplaament del cos:h hh W (T ) = !2 # T " sin ! " dy = !2 # m " g " sin ! " dy = !2 " m " g # sin ! " dy0 00yyEn aquesta integral podem fer el canvi: sin ! = =i la integral queda.D l + y2 2h y W (T ) = !2 " m " g # dy que si fem el canvi de variable segent:0 l 2 + y2z = l 2 + y 2 ; llavors la seva diferencial ser: dz = 2 ! y ! dy , que substituint en la l 2 +h 21integral queda: W (T ) ! m " g #z ! 2 dz que s una integral immediata i dna: l2l 2 +h 2 h2#1 2%#1 %W (T ) = !2 " m " g # z 2 % 2 1 = !2 " m " g (l 2 + y 2 ) ( = !2mg (l 2 + y 2 ) ! l (2$ &l$ &0 $ &Aquest treball ha de ser igual a la prdua denergia potencial del cos central, per tant:!E p = E pf " E p = "m # g # h ; igualant les dues equacions trobem:i"1%h14!mgh = !2mg $(l 2 + h 2 ) ! l( + l = (l 2 + h 2 ) operant trobem: h = l 22# &23Evidentment, la resoluci daquest problema s molt ms fcil per energies quecalculant el treball.7