Y

X

L

O

3. 2. Pendiente de una recta.

Definición 3. 3.

Se llama Angulo de Inclinación

α de una recta L, al que se forma entre el eje

X en su dirección positiva y la recta L,

cuando esta se considera dirigida hacia

arriba (0º ≤ α ≤ 180º).

Definición 3.4.

Se denomina Pendiente de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación α. Se denota por

m. Es decir m = tg α.

Nota. 3.3.

De las propiedades de la función tangente se deduce que:

a) Toda recta paralela al eje X (o bien perpendicular al eje Y) tiene pendiente cero, ya que

en este caso α = 0º y tg 0º = 0.

b) Toda recta perpendicular al eje X (o bien paralela al eje Y) no tiene pendiente, ya que en

este caso α = 90º y tg 90º no está definida.

Teorema 3.3.

Si P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta.

Entonces la pendiente de L es m L = 12

12

xx

yy

−

− con P1 = x1 ≠ x2

Demostración.

Sea α el ángulo de inclinación de la recta L. (ver Fig. 3.5)

Como las rectas BP1 y 21 AA son paralelas

entonces ∠ α = ∠ P2 P1 B (ángulos

correspondientes).

En el triángulo rectángulo P1 B P2 se tiene:

m = tg α = BP

BP

1

2 = 12

12

xx

yy

−

−; x 1 ≠ x 2

Nota 3.4.

a) El valor de m dado por el teorema 3.3 no está definido para x 1 = x 2; este caso corresponde a

una recta paralela al eje Y, de la que se observó anteriormente, no tiene pendiente.

α X

Y

P1

P2

A1 A2

B

α

b) El orden en que se toman las coordenadas para calcular la pendiente de una recta no tiene

importancia, ya que:

12

12

xx

yy

−

− =

21

21

xx

yy

−

−; x 1 ≠ x 2

Ejemplo 3.5.

Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (– 4, – 2) y (– 5, – 3). También

hallar el ángulo de inclinación.

Solución.

m = 45

23

+−

+− =

1

1

−

− = 1. Además ∠ α = TG

-1 (1) = 45º.

Teorema 3.4.

Un ángulo θ formado por dos rectas se determina por tg θ =12

12

1 mm

mm

+

−con m2m1 ≠ –1. Donde m1

es la pendiente de la recta Inicial L1 y m2 es la pendiente de la recta Terminal L2, del ángulo θ.

Demostración.

Por geometría elemental en triángulo ABC se

tiene que α2 = α1 + θ (un ángulo exterior de un

triángulo es igual a la suma de los dos ángulos

interiores opuestos). Luego: θ =α2 – α1, entonces

tg θ = tg (α2 – α1) = 12

12

1 αα

αα

tgtg

tgtg

+

−=

12

12

1 mm

mm

+

−,

m2 m1 ≠ – 1 ya que m2 = tg α2 y m1 = tg α1

Ejemplo 3.6.

Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45º. La recta inicial pasa por los puntos (– 2, 1) y

(9, 7) y la recta final pasa por el punto (3, 9) y el punto A cuya abscisa es – 2. Hallar la ordenada

de A.

Solución.

m1 = )2(9

37

−−

−=

11

6 ⇒ g θ = tg 45º = 1 =

2

2

11

61

11

6

m

m

+

−

, despejando se tiene: m2 = 5

17. Por

Teorema 3.3, m2 = )2(3

9

−−

− y =

5

9 y−. Luego,

5

9 y− =

5

17 ⇒ y = – 8.

X

Y

θ

0 A B

C

α1 α2

L2 L1

Corolario 3.1.

Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.

Demostración.

Sean L1 y L2 dos rectas, de pendientes m1 y m2 respectivamente y θ el ángulo formado por ellos.

⇒) Si L1 L2 entonces θ = 0º o θ = 180º, luego tg θ = 12

12

1 mm

mm

+

− = 0, m2m1 ≠ – 1, entonces,

m2 – m1 = 0 ⇒ m2 = m1.

⇐ ) Si m1 = m2 entonces tg θ = 2

10

0

m+

⇒ tg θ = 0 ⇒ θ = 0º o θ = 180º, luego L1 L2.

Corolario 3.2.

Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es – 1.

Demostración.

Sean L1 y L2 dos rectas, de pendientes m1 y m2 respectivamente y θ el ángulo formado por ellos.

⇒) Si L1 ⊥ L2 entonces θ = 90º, luego del Teorema 3.4., en términos de la cotangente, se tiene

que: cot θ = 12

121

mm

mm

−

+ = 0; m 1 ≠ m 2 (cot 90º = 0º) entonces 1 + m2m1 = 0 ⇒ m2m1 = – 1.

⇐) Si m2m1 = – 1 ⇒ cot θ = 12

0

mm − = 0; entonces θ = 90º, luego L1 ⊥ L2.

Ejemplo 3.7.

Sea el triángulo isósceles de vértices P = (– 1, 4), Q = (0, 1) y R = (2, 5). Verificar que la recta

que une P y el punto medio de la base QR , es perpendicular a QR .

Solución.

-5 5x

5

-5

y

Q

P

R

M

Sea M el punto medio de QR entonces

sus coordenadas son:

xm = 2

20 + = 1; ym =

2

15 + = 3, luego

pendiente de PM es m1 = 2

1

)1(1

43 −=

−−

−

Pendiente de QR es m2 = 02

15

−

−= 2.

Como m2m1 = – 1 entonces PM y QR

son perpendiculares.

Ejemplo 3. 8.

Verificar si los tres puntos P = (– 1, – 5), Q = (1, 3) y R = (7, 12) son colineales (es decir están

en una misma recta).

Solución.

La recta PQ tiene pendiente m1 = )1(3

)5(3

−−

−− = 4. Si R esta en la recta PQ , la recta RQ debe

coincidir con ella de modo que deben tener la misma pendiente.

La pendiente de recta RQ es m2 = 17

312

−

− =

2

3. Como m 1 ≠ m 2 se tiene P, Q, y R no son

colineales.

Ejemplo 3.9.

Verificar por medio de pendientes que los cuatro puntos A = (6, 2), B = (8,6), C = (4, 8) y

D = (2, 4) son los vértices de un rectángulo.

Solución.

Considerando el cuadrilátero de lados AB , BC , DC y AD como en la figura se tiene:

-5 5

5

-5

A

B

C

D

Entonces:

mAB = 68

26

−

− = 2 mBC =

68

26

−

− =

2

1−

mDC = 24

48

−

− = 2 mAD =

62

24

−

− =

2

1−

Como: mAB = mDC entonces AB DC

mBC = mAD entonces BC AD

mAB. mBC = – 1 entonces AB ⊥ BC

mDC. mAD = – 1 entonces DC ⊥ AD

Luego el cuadrilátero tiene lados opuestos paralelos

y los lasos adyacentes perpendiculares, por lo que

se concluye que ABCD es un rectángulo.

Ejercicios Propuestos.

1. Determinar el ángulo de inclinación de las rectas que pasan por los siguientes pares de

puntos.

a) (4, 6) y (1, 3) b) ( 3 , 2) y (0, 1) c) (2, 3 ) y (1, 0) d) (2, 4) y (– 2, 4)

2. Si los puntos (3, 0); (4, 5) y (6, 2) son los vértices de un triángulo. a) Verificar que es un

triángulo rectángulo. b) Calcular el área del triángulo. c) Calcular los ángulos interiores del

triángulo.

3. La recta L1 forma un ángulo de 60º con la recta L2. Si la pendiente de L2 es 1 determinar

la pendiente de L1.

4. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45º. La recta inicial pasa por los puntos

(– 3, 2) y (8, 6) y la recta final pasa por los puntos (2, 8) y el punto A cuya ordenada es – 7.

Hallar la abscisa de A.

5. Demostrar que los puntos (2, 2), (5, 6), (9, 9) y (6, 5) son los vértices de un rombo, sus

diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.

6. Si la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (– 1, – 1) es perpendicular a la recta que pasa

por (– 4, 1) y (k, – 3). Hallar k.

7. Usando el concepto de pendiente de una recta, demuestre en cada caso siguiente que los

tres puntos A, B y C son colineales.

a) A = (– 6, 6), B = (– 1, 3) y C = (4, 5) b) a) A = (1, – 13), B = (2,– 7) y C = (– 1, 2)