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Introducción al Análisis de Fourier

Conceptos básicos

Dr. Wilfrido Gómez Flores

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Funciones periódicas

Una función periódica satisface

f(t) = f(t+ T ) (1)

para todo valor de t, donde T es el periodo de la función.

2 3 4

-1

-0.5

0.5

1

2 3 4

-1

-0.5

0.5

1

Funciones trigonométricas seno y coseno, ambas con periodo T = 2π, talque sin(t+ 2π) = sin t y cos(t+ 2π) = cos t.

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Funciones periódicas

Para una función periódica f(t) con periodo T , la función f(kt) tiene periodoTk. Por ejemplo, el periodo de sin(2t) es 2π

2= π. Ú

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Funciones periódicas

El periodo fundamental T0 de f(t) es el valor positivo más pequeño

de T para el cual se satisface (1); de modo que

f(t) = f(t+ nT0), n = 0,±1,±2, · · · . (2)

Función periódica de�nida por sin3(t) + cos(t).

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Funciones periódicas

Ejemplo 1: encontrar el periodo

de la función f(t) = (10 cos t)2:

f(t) = (10 cos t)2,

= 100 cos2 t,

= 1001

2(1 + cos 2t), a

= 50 + 50 cos 2t.

-2 - 0 2

20

40

60

80

100

Una constante es una función periódica para cualquier valor de T , y

el periodo de cos 2t es π; por tanto, el periodo de f(t) es π.

acos2A = 12(1 + cos 2A)

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Funciones periódicas

Ejemplo 2: encontrar el periodo de la función f(t) = cos t3 +cos t

4 :

cost

3+ cos

t

4= cos

1

3(t+ T ) + cos

1

4(t+ T ) .

Dado que cos(t+ 2πm) = cos t:

T

3= 2πm y

T

4= 2πn, m, n ∈ Z.

Entonces, T = 6πm = 8πn. Por

tanto, cuando m = 4 y n = 3a se

tiene el mínimo valor de T , de mo-

do que T0 = 24π.

-24 -18 -12 -6 0 6 12 18 24

-2

-1

1

2

aSolución de la ecuación lineal diofántica homogénea 6m− 8n = 0.

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Frecuencia

Frecuencia es el número de oscilaciones de una función periódica por

unidad de tiempo:

f =1

T. (3)

1 Hz

2 Hz

3 Hz

Función senoidal con diferentes frecuencias en un intervalo de 1 s. Launidad de medida es el hertz (Hz).

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Frecuencia

La frecuencia angular ω es la razón de cambio del desplazamiento

angular θ durante la oscilación (o rotación):

dt= ω = 2πf =

T. (4)

Onda senoidal en función de la frecuencia angular ω. La frecuencia angular semide comúnmente en radianes por segundo (rad/s). Ú

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Paridad de una función

Funciones (a) par, f(t) = f(−t), y (b) impar, f(−t) = −f(t).

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Paridad de una función

Funciones pares típicas.

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Paridad de una función

Funciones impares típicas.

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Paridad de una función

la función f(t) = t2 + 1 es par:

f(−t) = (−t)2 + 1,

= (−1 · t)2 + 1,

= (−1)2 · t2 + 1,

= 1 · t2 + 1,

= t2 + 1,

= f(t).

La función f(t) = t3 es impar:

f(−t) = (−t)3,

= (−1 · t)3,

= (−1)3 · t3,

= −1 · t3,

= −1 · f(t),

= −f(t).

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Paridad de una función

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Funciones ortogonales

Dos vectores x,y ∈ Rn son orto-

gonales o perpendiculares si

x · y = ‖x‖ ‖y‖ cos π2= 0,

donde ‖·‖ es la norma del vector.Ú

Una función se considera la generalización de un vector; por tanto,

dos funciones f1(t) y f2(t) son ortogonales en el intervalo a < t < b

si

〈f1, f2〉 =∫ b

af1(t)f2(t) dt = 0. (5)

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Funciones ortogonales

f1(t) = t2 y f2(t) = t3 son

ortogonales entre −1 y 1:

〈f1, f2〉 =∫ 1

−1f1(t)f2(t) dt,

=

∫ 1

−1t2 · t3 dt,

=t6

6

∣∣∣∣1−1

,

=1

6

[16 − (−1)6

],

=1

6(1− 1) ,

= 0.

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Funciones ortogonales

• En general, un conjunto de funciones de valor real

{φ0(t), φ1(t), φ2(t), . . .} es ortogonal en el intervalo [a, b] si

satisface

〈φm, φn〉 =∫ b

aφm(t)φn(t) dt =

{0 m 6= n

rn m = n(6)

• En particular, las funciones {1, cosω0t, cos 2ω0t, . . . , cosnω0t,

. . . , sinω0t, sin 2ω0t, . . . , sinnω0t, . . .} forman un conjunto de

funciones ortogonales en el intervalo −T/2 < t < T/2, donde

ω0t|t=±T/2 =2π

T

(±T2

)= ±π. (7)

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Funciones ortogonales∫ T/2

−T/2cos(mω0t) dt = 0, para m 6= 0 (8)

∫ T/2

−T/2sin(mω0t) dt = 0, para todo valor de m (9)

∫ T/2

−T/2cos(mω0t) cos(nω0t) dt =

{0 m 6= n

T/2 m = n 6= 0(10)

∫ T/2

−T/2sin(mω0t) sin(nω0t) dt =

{0 m 6= n

T/2 m = n 6= 0(11)

∫ T/2

−T/2sin(mω0t) cos(nω0t) dt = 0, para todo valor de m y n (12)

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Funciones ortogonales

Veri�car que el conjunto {1, cosω0t, cos 2ω0t, . . . , cosnω0t, . . .} es

ortogonal en el intervalo [−T/2, T/2] para (8) con m 6= 0:

〈φ0, φm〉 =∫ T/2

−T/2φ0(t)φm(t) dt,

=

∫ T/2

−T/2cos(0) cos(mω0t) dt,

=

∫ T/2

−T/2cos(mω0t) dt,

=1

mω0sin(mω0t)|T/2−T/2 ,

=1

mω0[sin(πm)− sin(−πm)] ,

= 0.

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Funciones ortogonales

Veri�car que el conjunto {1, cosω0t, cos 2ω0t, . . . , cosnω0t, . . .} es

ortogonal en el intervalo [−T/2, T/2] para (10) con m 6= n:

〈φm, φn〉 =∫ T/2

−T/2φm(t)φn(t) dt =

∫ T/2

−T/2cos(mω0t) cos(nω0t) dt,

=1

2

∫ T/2

−T/2{cos[(m+ n)ω0t] + cos[(m− n)ω0t]}dt,

=1

2

sin[(m+ n)ω0t]

(m+ n)ω0

∣∣∣∣T/2−T/2

+1

2

sin[(m− n)ω0t]

(m− n)ω0

∣∣∣∣T/2−T/2

,

=1

2

1

(m+ n)ω0{sin[π(m+ n)]− sin[−π(m+ n)]}+

+1

2

1

(m− n)ω0{sin[π(m− n)]− sin[−π(m− n)]},

= 0.

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Funciones ortogonales

Veri�car que el conjunto {1, cosω0t, cos 2ω0t, . . . , cosnω0t, . . .} no

es ortogonal en el intervalo [−T/2, T/2] para (10) con m = n 6= 0:

〈φm, φm〉 =∫ T/2

−T/2φ2m(t)dt,

=

∫ T/2

−T/2cos2(mω0t) dt,

=1

2

∫ T/2

−T/2[1 + cos(2mω0t)] dt,

=1

2t|T/2−T/2 +

1

4mω0sin(2mω0t)|T/2−T/2 ,

=T

2+

1

4mω0[sin(2πm)− sin(−2πm)] ,

=T

2.

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Funciones ortogonales

Veri�car que el conjunto {1, cosω0t, cos 2ω0t, . . . , cosnω0t, . . . ,

sinω0t, sin 2ω0t, . . . , sinnω0t, . . .} es ortogonal en el intervalo

[−T/2, T/2] para (12) con m 6= n:

〈φm, φn〉 =∫ T/2

−T/2φm(t)φn(t) dt =

∫ T/2

−T/2sin(mω0t) cos(nω0t) dt,

=1

2

∫ T/2

−T/2{sin[(m+ n)ω0t] + sin[(m− n)ω0t]} dt,

= −1

2

cos[(m+ n)ω0t]

(m+ n)ω0

∣∣∣∣T/2−T/2

− 1

2

cos[(m− n)ω0t]

(m− n)ω0

∣∣∣∣T/2−T/2

,

= −1

2

1

(m+ n)ω0{cos[π(m+ n)]− cos[−π(m+ n)]}+

−1

2

1

(m− n)ω0{cos[π(m− n)]− cos(−π(m− n))} = 0.

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Funciones ortogonales

Veri�car que el conjunto {1, cosω0t, cos 2ω0t, . . . , cosnω0t, . . . ,

sinω0t, sin 2ω0t, . . . , sinnω0t, . . .} es ortogonal en el intervalo

[−T/2, T/2] para (12) con m = n 6= 0:

〈φm, φm〉 =∫ T/2

−T/2φm(t)φm(t) dt,

=

∫ T/2

−T/2sin(mω0t) cos(mω0t) dt,

=1

2

∫ T/2

−T/2sin(2mω0t) dt,

= − 1

4mω0cos(2mω0t)|T/2−T/2 ,

= − 1

4mω0[cos(2πm)− cos(−2πm)] = 0.

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Funciones ortogonales

(a) Funciones ortogonales seno y coseno con m 6= n y (b) área resultantedel producto de ambas funciones.

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