Susceptibilité à Q: électrons libres

Dielectric function in various dimensions: Above we have treated the dielectric function for athree-dimensional parabolic band. Similar calculations can be performed for one- and two-dimensional systems. In general, the static susceptibility is given by

χ0(q,ω = 0) =

− 12πq

ln����s + 2s− 2

���� , 1D

− 12π

�1−

�1− 4

s2

�θ(s− 2)

�, 2D

− kF

2π2

�1− s

4

�1− 4

s2

�ln

����s + 2s− 2

����

�

(3.65)

where s = q/kF . Interestingly χ0(q, 0) has a singularity at q = 2kF for all dimensionalities.The singularity becomes weaker as the dimensionality is increased. In one dimension, there isa logarithmic divergence, in two dimensions there is a kink, and in three dimensions only thederivative diverges. Later we will see that these singularities may lead to instabilities of themetallic state, in particular for the one-dimensional case.

0

F

!( ,0)q

!(0,0)

3D

2D

1D

q

1

0 2k

Fig. 3.6: Lindhard functions for different dimensions. The lower the dimension the strongerthe singularity at q = 2kF .

3.3 Lattice vibrations - phonons in metals

The atoms in a lattice of a solid can vibrate around their equilibrium positions. We will describein the following by treating the lattice as a continuous elastic medium. This approximation issufficient to obtain some of the essential features of the interaction between lattice vibrationsand electrons, in particular screening effects. The approach is limited, however, to mono-atomicunit cells because the internal structure of a unit cell is neglected.

3.3.1 Vibration of a isotropic continuous medium

When an elastic medium is deformed an infinitesimal volume element d3r around the point r isgenerally moved to a different point r�(r). The deformation may be described by defining thedisplacement field u(r) = r�(r)− r at any point of the (undeformed) medium. In general, u isalso a function of time. In the simplest form of an isotropic medium the elastic energy for smalldeformations is given by

Eel =λ

2

�d3r {∇ · u(r, t)}2 (3.66)

54

Effet de la dimensionalité: bande parabolique

!!0 (Q)!!0 (Q = 0)

Q

Susceptibilité à Q: interactions

H = H0 +U nj!nj

"

j# HZ = ! g

j" µBm

!"j.B!"

j

mQ =1N

mjj! e"iQ

!". j"

HZ = !gµBBQ

Nmj

j" eiQ

!". j"

modèle Hubbard Zeeman

terme de Hubbard en champ moyen

B!"

j =1NBQe

iQ!". j"

u"z = !gµBBQm!Q

HCMU = !2U mi m

i" +E0

= !2U m!k mkk" +E0

Réponse linéaire: réponse à la composante de Fourier k=Q

HCMQ = H0 ! 2Um!Q mQ ! gµBBQm!Q +E0= H0 !m!Q 2U mQ + gµBBQ"# $%+E0

mQ = m!Qavec:

champ effectif M!"!

Q = gµB mQ

HCMU = !

2UN

m!k!1mk!2ei(k!1+k!2 ). j!

j,k1,k2

" +E0

équation d’auto-cohérence

instabilité si 2U !!0 (Q) =1

Le problème en intéraction se réduit à un problème d’électrons libres soumis à un champ effectif

MQ = !0 (Q)Beff (MQ )

MQ 1!2U!0 (Q)gµB( )2

"

#$$

%

&''= !0 (Q)BQ

HQ = H0 !MQ

2U MQ

gµB( )2+BQ

"

#$$

%

&''+E0

Beff

électrons libres

!Q =!0 (Q)

1! 2U!0 (Q)gµB( )2

!!Q =!!0 (Q)

1! 2U !!0 (Q)

susceptiblité en intéraction:

!! = !(gµB )

2

susceptibilité réduite

Susceptibilité à Q: instabilité

instabilité magnétique: emboîtement

!k = !2t cos(ka)

cas emboîtement parfait !k+Q = !!k

!k+Q = !2t cos(ka+" ) = 2t cos(ka)si Q =!a

!0 (Q) = ! d"k#("k )f (!"k )! f ("k )

!2"k"

au demi-remplissage: EF=0 et T=0K !0 (Q)!"!0 (Q) = 2d"k#("k )2"k"k>0

!

instabilité magnétique à Q pour U arbitraire si emboîtement parfait et densité d’état non-nulle au niveau de Fermi

ex 1D et saut premier voisin:

Liaison fortes 1D

ε

k

!!0 (Q) = !f (""k+Q )! f ("

#k )

""k+Q !"#kk

$

Emboitement des surfaces de Fermi

44 LECTURE 4. ITINERANT ELECTRONS

ky

kx

(a) ky

kx

(b)

kx

(c)

Figure 4.2: Possible scenarios for nesting in 2D. (a) Typical,

circular Fermi surface, for which a given wavevector only cou-

ples isolated points on the Fermi surface. (b) Half filling, so

(±π,±π)/alattice wavevector generically leads to nesting. (c)

Fermi surface in which a region is nested, so that the same spin-

density-wave wavevector couples many points on the Fermi surface

4.3 Reduction of interaction for strongcorrelations

The other main objection to mean field theory ferromagnetism is that,

as discussed in lecture 1, interactions that are strong enough to favour

ferromagnetism should also be strong enough to distort the wavefunction.

What we have done in our mean field theory is like first order perturbation

theory, we must therefore now consider the next order effect, which means

mixing of wavefunctions.

We will proceed in two steps, first considering the changes of wave-

function for two electrons, and then using the method found in this simple

problem to discuss the many electron case.

Two-particle scattering matrix

We consider the same Hamiltonian as always, but choose yet another way

to rewrite the interaction term for convenience:

Hint =U

V

�

q

nq↑n−q↓, nqσ =

�

k

a†k+qσakσ.

We are interested in the possible energetic gain of a ferromagnetic state,

and although for two particles the ground state is a singlet, to understand

ferromagnetic type wavefunctions we should instead consider triplet wave-

!k+Q = !!k•  clef: emboîtement autour de EF

Cas 2D:

•  souvent plusieurs bandes au niveau de Fermi: emboîtement entre

bandes différentes

•  vecteurs d’onde d’instabilité contrôlé la topologie de la surface de Fermi

Phase onde de densité de spin

n!j =n2+"(! )m0 cos(Q

!". j")

terme de Hubbard champ moyen HCMU =U n!j n j

!! !U nj! nj

!!

j"

j,!"

!Un 2

4!m0

2 (1+ cos(2Q!". j"))

2j"

=U nj! n2+"(!! )m0 cos(Q

!". j")

"

#$

%

&'

j,!( !U

n 2

4!m2

0 cos2(Q!". j")

"

#$$

%

&''j

(

champ moyen: potentiel périodique du à l’autre population de spins

les électrons « up » sont sous l’effet d’un potentiel périodique dus aux électrons « down »

HUCM =U nj

! n2!"(! )m0 cos(Q

!". j")

"

#$

%

&'

j,!( +E0

description de la phase onde densité de spin à Q

onde de densité de spin sinusoidale

VQ ( j)

! =! /"!(!) = +1!(!) = "1

= !UNn 2

4!m02

2

"

#$$

%

&''= E0

nouvelle ZB

Phase onde de densité de spin

nouvelle périodicité: nouvelle zone de Brillouin

repliement de bandes sur la nouvelle ZB

HCM = !kck+ck

k! + nj

"VQ ( j)j,"! +E0

interaction entre les bandes: croisement évité

gain en énergie si demi-remplissage (EF=0)

Cas 1D AF: périodicité 2a

nouvelle zone de Brillouin: k ! "!2a, !2a

#

$%&

'(

!k = !2t cos(ka)

repliement

dispersion de départ

k ±Q! k

!Um0

N!(" )cos(Q

!". j")ck1

+ck2ei j".(k"1!k"2 )

k1k2 , j,!" +E0

Phase onde de densité de spin

HUCM =U

n21N

ck1+ck2e

i j!.(k!1!k!2 )

k1k2

"j,!"

nj = cj+cj =

1N

ck1+ck2e

i j!.(k!1!k!2 )

k1k2

"

calculs des nouvelles bandes dans l’espace k

=Un2

ck+ck

k,!!

électrons dans un potentiel périodique HUCM =U nj

! n2!"(! )m0 cos(Q

!". j")

"

#$

%

&'

j,!( +E0

= !Um0

2N!(" )ck1

+ck2 (ei j!.(k!1!k!2!Q"!)

k1k2 j,!" + ei j

!.(k!1!k!2+Q"!) )

= !Um0

2!(" ) ck

+ck!Q + ck+ck+Q"# $%

k,"&

HUCM =

U n2

ck+ck

k,!! "

Um0

2"(! ) ck+Q

+ ck + ck+ck+Q#$ %&

k,!! +E0

couplage entre états k et k+Q

Phase onde de densité de spin

dk = ck+Q

HUCM =

U n2

ck+ck

k,!

NZB

! + dk+dk "Um0 "(! ) dk

+ck + ck+dk#$ %&

k,!

NZB

! +E0

nouvelle zone de Brillouin (NZB): 2 fois plus petite dans le cas AF (commensurable)

H = !kck+ck +!k+Qdk

+dkk,"

NZB

! +HUCM +E0

Hk! = Ekck+ck +Ek+Qdk

+dk !Um0"(! ) dk+ck + ck

+dk"# $%

Hamiltonien total

opérateur « bande-repliée »

Ek = !k +U n2

Ek+Q = !k+Q +U n2 2 bandes d’électrons libres et un terme de couplage

HUCM =

U n2

ck+ck

k,!! "

Um0

2"(! ) ck+Q

+ ck + ck+ck+Q#$ %&

k,!! +E0

= Hk! +E0k,!

NZB

!

Phase onde de densité de spin

Hk! = Ekck+ck +Ek+Qdk

+dk !Um0"(! ) dk+ck + ck

+dk"# $%

on peut diagonaliser dans l’espace des ck, dk

H =Ek !Um0!(" )

!Um0!(" ) Ek+Q

"

#

$$

%

&

''

Hk! =!+H! avec

! k = (ck,dk )

(Ek !!)(Ek+Q !!)! Um0( )2 = 0

!± =12Ek +Ek+Q ± Ek +Ek+Q( )2 + 4 Um0( )2 ! 4EkEk+Q"#$

%&'

Ek !Ek+Q( )2 + 4 Um0( )2

énergies propres: λ

! 2 !!(Ek +Ek+Q )+EkEk+Q ! Um0( )2 = 0

Gap d’onde de densité de spin

!± =12Ek +Ek+Q ± Ek !Ek+Q( )2 + 4 Um0( )2"#$

%&'

Ek = !k +U n2

Ek+Q = !k+Q +U n2

nouvelles bandes

!k = !!k+Q !± =U n2

± "k2 + Um0( )2Emboîtement parfait:

au niveau de Fermi(en εκ=0 pour le demi-remplissage)

!k = !+ "!" = 2 " 2k + Um0( )2Gap de l’onde de densité de spin

!0 = 2Um0

paramètre d’ordre

onde de densité de spin

!k = !2t cos(ka)

Δ0

Cas 1D AF: périodicité 2a

•  Si emboîtement parfait et demi-remplissage: isolant

•  Généralement imparfait : métal

!± =U n2

± "k2 + Um0( )2

!0 = 2Um0Phase ordonnée

exemple d’ondes de densité de spin

χ0(q) =�

Kµν

[f(�Kν)− f(�K−qµ)]

�K−qµ − �Kν + iδ· |�Kν|eiqr|K− qµ�|2 .

q

Iχ0(q) ≥ 1 .

q

q

EF

d

Γ H

Γ H

Chrome: bande d demi-remplie TN=311K

Bon emboîtement

exemple d’ondes de densité de spin système multibandes 2D: supraconducteur au Fer (BaFe2As2)

susceptibilité χ(Q) (calcul)

coupe à EF (photoémission)

exemple d’ondes de densité de spin

aimantation

résistivité

chaleur spécifique

métallique !

aimantation faible

exemple d’ondes de densité de spin destruction partielle de la surface de Fermi

Coexistence supraconductivité et onde de densité de spin