1o επαναληπτικο-διαγώνισμα-2016-2017-γλ-μαθ-κατ- apan

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com

1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ∆ΙΑΓΏΝΙΣΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

05/09/2016

Α̟αντήσεις

ΘΕΜΑ Α

Α1. Σχολικό βιβλίο, έκδοση 2016 – 2017, σελίδα 31



Α4. α. Σωστό

β. Λάθος

γ. Λάθος

δ. Σωστό

ε. Λάθος

ΘΕΜΑ Β

Β1. Πρέπει: − ≥ ⇔ ≥x 2 0 x 2

Άρα, [ )= + ∞fA 2,

Έστω [ )∈ +∞1 2x , x 2, µε ( ) ( )= ⇔ + − = + −1 2 1 2f x f x 3 x 2 3 x 2

⇔ − = −1 2x 2 x 2

⇔ − = −1 2x 2 x 2

⇔ =1 2x x

Άρα η f είναι 1 – 1, οπότε η f αντιστρέφεται.


Για τον υπολογισµό της αντίστροφης έχουµε:

( ) = ⇔ + − =f x y 3 x 2 y

⇔ − = −x 2 y 3

( )≥

⇔ − = −y 3

2x 2 y 3

( )⇔ = − + ≥2

x y 3 2, y 3

Άρα, είναι ( ) ( )− = − + ≥21f x x 3 2, x 3

Β2. Είναι: ( )

2 2 2

6 6 6

7 6 7 6 7 6lim lim lim

5 3 2 5 2 2→ → →

− + − + − += = =

− + − − − −x x x

x x x x x x

f x x xα

( )( )( )

( )( )→ →

− − − + = = − − + −x 6 x 6

x 1 x 6 x 2 2lim lim x 1 x 2 2

x 6

= ⋅ =5 4 20

Β3. Είναι: ( ) ( )−→ →

− −= =

− − − + − −

2 2

1 2x 4 x 4

x 16 x 16β lim lim

f x 11 8 x 3 2 11 8

→ →

− −= =

− + − − − −

2 2

2 2x 4 x 4

x 16 x 16lim lim

x 6x 9 9 8 x 6x 8

Αλλά, →x 4 οπότε − <2x 6x 0 άρα − = − +2 2x 6x x 6x

Άρα, ( )( )( )( )→ → →

− +− −= = =

− + − − − −− −

2 2

22x 4 x 4 x 4

x 4 x 4x 16 x 16β lim lim lim

x 6x 8 x 2 x 4x 6x 8

( ) ( )→

+ += = = −

− − − −x 4

x 4 4 4lim 4

x 2 4 2

Β4. Είναι: ( ) ( )≠ − ⇒ = −20 4 g 20 g 4 άρα η g δεν είναι 1 – 1.


ΘΕΜΑ Γ

Γ1. Είναι =fA R

Έστω ∈1 2x , x R µε ( ) ( ) ( ) ( )= ⇔ + = +ℓ ℓ1 2x x

1 2f x f x n 1 e n 1 e

⇔ + = +1 2x x1 e 1 e

⇔ =1 2x xe e

⇔ =1 2x x

Άρα η f είναι 1 – 1, οπότε η f αντιστρέφεται.

Γ2. Είναι =gA R , οπότε όταν ∈x R τότε και − ∈x R

Είναι: ( ) ( )−

−

−−− − −

− = = = = = − = −++ + ++

x

x x xx x

xx x x

x x

1 1 e1

e 1 1 e e 1e eg x g x1 1 ee 1 1 e 1 e1e e

άρα η g είναι περιττή

Γ3. Στη σχέση ( )( ) ( )=�h f x g x θέτουµε όπου x το ( )f x οπότε:

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )− −= ⇒ =1 1h f x g x h f f x g f x

( ) ( )( )−⇒ = �1h x g f x

Για τον υπολογισµό της αντίστροφης −1f έχουµε:

( ) ( )= ⇔ + =ℓxf x y n 1 e y

⇔ + =x y1 e e

⇔ = −x ye e 1

( )− >

>⇔ = − >ℓ

ye 1 0y

y 0x n e 1 , y 0

Άρα, είναι ( ) ( )− = − >ℓ1 xf x n e 1 , x 0


Για το πεδίο ορισµού της σύνθεσης −�

1g f είναι:

( )

( )( )

( )1f

1 1g

x A x 0,x 0,

f x A f x

−

− −

∈ ∈ +∞ ⇒ ⇒ ∈ +∞

∈ ∈ R

Άρα ( )hA 0,= + ∞

Είναι: ( )( ) ( )( )( )

( )

( )

( )

−

−

−− − −

−

− − − − −= = = = = = −

− ++ +

ℓ

ℓ�

x1

1 x

n e 1f x x x1 1 x

x xf x n e 1

e 1 e 1 e 1 1 e 2g f x g f x 1 2e

e 1 1 ee 1 e 1

Οπότε ( ) ( )−= − = + ∞x

hh x 1 2e , µε A 0,

Γ4. Έστω ( )∈ +∞1 2x ,x 0, µε − − − −< ⇔ − > − ⇔ > ⇔ − < −1 2 1 2x x x x

1 2 1 2x x x x e e 2e 2e

( ) ( )− −⇔ − < − ⇔ <1 2x x

1 21 2e 1 2e h x h x

Άρα, η h είναι γνησίως αύξουσα στο ( )0, + ∞

Για x > 0 είναι: ( ) ( )xe h

x 3x x 3xx 3x e e h e h e< ⇒ < ⇒ <1 1

1

Για x > 0 είναι: ( ) ( )xe h

2x 4x 2x 4x2x 4x e e h e h e< ⇒ < ⇒ <1 1

2

Με πρόσθεση κατά µέλη των 1 και 2 προκύπτει:

( ) ( ) ( ) ( )+ < +x 2x 3x 4xh e h e h e h e , για κάθε >x 0

ΘΕΜΑ ∆

∆1. Έστω ∈1 2x , x R µε ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )

== ⇒

− = −

1 2

1 2

1 2

f f x f f xf x f x

f x f x

( )( ) ( ) ( )( ) ( )+

⇒ − = − ⇒ =( )

1 1 2 2 1 2f f x f x f f x f x x x

Άρα η f είναι 1 – 1 στο R


∆2. Για x = 0 έχουµε ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )−

= + ⇒ = ⇒ =�

f 1 1

f f 0 0 f 0 f f 0 f 0 f 0 0

Αλλά ( )( ) ( ) ( ) ( )−

− − + = = ⇒ − − + = ⇒ = + −f 1 1

x x xf g x e x 1 0 f 0 g x e x 1 0 g x e x 1, για κάθε

∈x R

∆3. Πρέπει: ( )g x 0>

Ισχύει: ( ) 0g 0 e 0 1 0= + − =

Έστω ∈1 2x ,x R µε + <

< ⇒ ⇒ + − < + −− < −

1 2

1 2

x x ( )x x

1 2 1 2

1 2

e ex x e x 1 e x 1

x 1 x 1

( ) ( )⇒ <1 2g x g x

Άρα, η g είναι γνησίως αύξουσα στο R

Οπότε, ( ) ( ) ( )g

g x 0 g x g 0 x 0> ⇔ > ⇔ >1

Άρα, ( )hA 0,= + ∞

∆4. Η g είναι γνησίως αύξουσα στο R άρα γνησίως µονότονη στο Rόποτε είναι 1 – 1, άρα

αντιστρέφεται

Είναι: ( ) ( )( )− + −+ = ⇔ + = ⇔ + =21 x 1 2 1 2 2g e x 2 g g x 1 2 x 1 2

( )⇔ = ⇔ = − =2x 1 x 1 ή x 1

1o επαναληπτικο-διαγώνισμα-2016-2017-γλ-μαθ-κατ- apan

Education

Transcript of 1o επαναληπτικο-διαγώνισμα-2016-2017-γλ-μαθ-κατ- apan