1.2.2 Cas général d’une perpendiculaire commune 

Quand deux droites sont orthogonales Une perpendiculaire commune à deux droites orthogonales est contenue dans le plan passant par l’une des droites et perpendiculaire à l’autre. Dans ce plan, elle passe par le point de percée de l’autre droite et est perpendiculaire à la première droite.

Quand deux droites sont gauches quelconques 1. Une perpendiculaire commune à deux droites gauches est perpendiculaire aux plans parallèles 

les contenant. 2. Elle est dans le plan passant par l’une des droites et perpendiculaire aux plans parallèles. 3. Elle passe par le point de percée de l’autre droite dans ce plan et dans le même plan elle est 

perpendiculaire à la première droite. 

1.2.3 Critères de perpendicularité d’une droite et d’un autre plan Une condition nécessaire et suffisante de perpendicularité d’une droite et d’un plan est que la droite soit perpendiculaire ou orthogonale à deux droites sécantes du plan.

1.2.4 Unicité de la perpendiculaire commune Il n’y a qu’une seule perpendiculaire commune à deux droites gauches.

Π1 et π2 sont deux plans parallèles contenant respectivement les droites D1 et D2. D est la perpendiculaire commune à D1 et D2. On suppose qu’il existe une seconde perpendiculaire commune aux droites D1 et D2, D’. La droite A et une droite parallèle à D1 dans π2 passant par l’intersection de D’ et π2. Si D’ est perpendiculaire à D1 et D2, D’ serait perpendiculaire à A puisqu’elle est perpendiculaire à D1 et que D1 est parallèle à A. Comme D’ est perpendiculaire à A et à D2, on

peut dire que D’ est perpendiculaire à π2, tout comme D. D et D’ sont donc parallèles puisqu’elles sont perpendiculaires au même plan. Puisque D et D’ sont parallèles et toutes deux perpendiculaires aux droites D1 et D2, et que D et D’ ne sont pas confondues, on peut en conclure que le plan contenant D et D’ contiendrait aussi les droites D1 et D2 et donc que celles –ci seraient coplanaires, ce qui n’est pas le cas. En résumé : Si D est perpendiculaire à D1 et D2, et que π1 est parallèle à π2, D est perpendiculaire à π1 et π2. De même pour D’. D et D’ sont dès lors parallèles, puisqu’elles sont perpendiculaires aux même plans. Puisque D et D’ sont toutes deux perpendiculaires à D1 et D2, et que D et D’ sont toutes deux parallèles sans être confondues, D1 et D2 doivent alors être parallèles.

1.2.5 Distance entre deux droites gauches La distance entre les points d’intersection de deux droites gauches avec leur perpendiculaire commune est la plus petite parmi les distances entre deux points quelconques appartenant respectivement à ces deux droites.

D1 et D2 sont deux droites gauches, π1 et π2 sont les deux plans parallèles contenant ces droites, D est la perpendiculaire commune de ces droites. D’ est une droite sécante quelconque reliant D1 à D2 avec d1 et a comme intersections. Le triangle ad1d2 est un triangle rectangle car d1d2 est perpendiculaire à ad2, donc |ad1| > |d1d2|. o2d2 est parallèle à o1d1, et o1d1 est parallèle à o2d2. On a donc un parallélogramme. De là, on peut déduire que |o1o2|=|d1d2|. Dès lors |ad1|>|o1o2|.

2.4 Définitions 

2.4.1 Coordonnées d’un point P dans l’espace Le point P a pour coordonnées un triplet (XP,YP,ZP) où Xp est l’abscisse d’un point P repérée sur l’axe OX, Yp est l’ordonnée du point P repérée sur l’axe OY, Zp est la cote du point P repérée sur l’axe OZ.

2.4.2 Composantes du vecteur AB où A (XA,YA,ZA) et B (XB,YB BB,ZB). Le vecteur AB a pour composantes le triplet (XB - X

B

B A, YBB - YA, ZB - ZB A).

2.4.3 Distance d’un point P (XP,YP,ZP) à l’origine du repère O (dans un repère orthonormé) 2 2P P POP X Y Z= + + 2

2.4.4 Distance entre deux points P (XP,YP,ZP) et Q (XQ,YQ,ZQ) (dans un repère orthonormé)

( ) ( ) ( )2 2

Q P Q P Q PPQ X X Y Y Z Z= − + − + −2

Remarque : Critère de perpendicularité Soit A (XA,YA,ZA) et B (XB,YB BB,ZB). B

( ) ( ) ( )

A B A B A B

2 2 2

2 2 2A B A B A B

2 2 2 2 2 2A A A B B B A B A B A B

A B A B A B

AOB est rectangle en O X X +Y Y +Z Z =0Demo :

AOB est rectangle en 0

X X Y Y Z Z

X Y Z X Y Z 2X X 2Y Y 2Z ZX X +Y Y +Z Z =0

AB OA OB

Δ ⇔

Δ ⇔ = +

− + − + − =

+ + + + + − − − =⇒

0

2.4.5 Produit scalaire de deux vecteurs Dans le plan, le produit scalaire de deux vecteurs de même origine est égal au produit scalaire du premier vecteur par le vecteur-projection orthogonale du second vecteur sur le premier. Dans l’espace, on choisit comme représentants de deux vecteurs, ceux de même origine et qui sont donc situés dans un même plan. Alors la définition du produit scalaire de deux vecteurs dans le plan reste valable dans l’espace.

- Si les deux vecteurs sont parallèles et de même sens, leur produit scalaire est égal au produit de leurs longueurs.

' '. .OAOA OA OA=

- Si les deux vecteurs sont parallèles et de sens contraire, leur produit scalaire est égal à

l’opposé du produit de leurs longueurs. ' '. .OAOA OA OA= −

- Si les deux vecteurs sont orthogonaux, leur produit scalaire est nul.

'. 0OA OA =

Si les deux vecteurs forment un angle α, leur produit scalaire est égal au produit de

leurs longueurs et du cosinus de leur angle. ' '. . .cOAOA OA OA osα=

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme du produit des premières composantes, du produit des deuxièmes composantes et du produit des troisièmes composantes des deux vecteurs.

( ) ( )' 'Soit r,s,t et u,v,w : . . . .OA OA OAOA r u s v t w= + + Démonstration de la formule du produit scalaire : Dans un repère de l’espace, on a 3 vecteurs de base :

1

2

3

sur OX

sur OY de longueur 1

sur OZ

e

e

e

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

( ) ( )

1 2 3

'1 2 3

'1 2 3 1 2 3

2

1 1 2 1 32

2 1 2 2 3

OA . . .

OA . . .

OA.OA . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . .

.

r e s e t e

u e v e w e

r e s e t e u e v e w e

r u e r v e e r w e e

s u e e S v e s w e e

t

= + +

= + +

= + + + +

= + + +

+ + +2

3 1 3 2 3. . . . . . .u e e t v e e t w e+ +

( ) ( )

1 2 3

'1 2 3

'1 2 3 1 2 3

2 2

1 1 2 1 3 2 1 2 2 3

OA . . .

OA . . .

OA.OA . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

r e s e t e

u e v e w e

r e s e t e u e v e w e

r u e r v e e r w e e s u e e S v e s w e e t

= + +

= + +

= + + + +

= + + + + + +2

3 1 3 2 3. . . . . . .u e e t v e e t w e+ +

1 2 1 3 2 32 2 2

1 2 3

'

Or vu que . 0, . 0 et . 0,

on peut supprimer les produits où ils apparaissent. Et vu que 1,on peut aussi les simplifier,dès lors, on obtient :

OA.OA

e e e e e e

e e e

= = =

= = =

. . . Somme des produits des composantesr u s v t w= + + →

Propriété du produit scalaire : 1° Distributivité par rapport à l’addition des vecteurs

( )

( ). . .

. .

AB CD MN AB MN CD MN

MN AB CD MN AB MN CD

+ = +

+ = +

2° Associativité mixte pour tout réel r, ( ) ( ). . .r AB CD r AB CD=

3° Symétrie . .AB CD CD AB= 4° Positivité

2

0AB >

1) Equations d’une droite 1) Equation vectorielleA et B points données définissent les droites AB Le point P est un point quelconque de la droite AB

éq. vectorielle

| . AB P AP k AB k⎧ ⎫⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

∈

2) Equation paramétriques

( )( )( )

A

B

A X ; ;

X ; ;

; ;

A A

B B

Y Z

B Y Z

P X Y Z

vecteur directeur

.

OP OA AP

OP OA k AB

= +

= +

On passe aux composantes des vecteurs (X ;Y ;Z) = (XA,YA,ZA) + k (XB - XB A, YBB - YA, ZB - ZB A)

( )( )( )

A B AX

Aparamètre=k

Système d'équations paramétriques de la droite

X X

A B A

A B

X k

AB Y Y k Y Y

Z Z k Z Z

⎧ = + −⎪

≡ = + −⎨⎪ = + −⎩

3) Equations cartésiennes On élimine le paramètre k

( )

( )

( )

AB A

B A

AB A

B A

AB A

B A

plan

A A

B A B A B

eq du plan

X Xk X XX XY Yk Y YY YZ Zk Z ZZ Z

A

A

X X Y Y Z ZABX X Y Y Z Z

β

α

⎧ −= ≠⎪ −⎪

⎪ −= ≠⎨ −⎪

⎪ −= ≠⎪

−⎩

− − −≡ = =

− − − Équation cartésienne d’AB

Exemple : 1) A (0;2;2) et B (3;1;0) ( )3; 1; 2 vecteur directeurAB − −

Eq. Vect. : .AP k AB=

Eq. Para. : 322 2

x ky kz k

=⎧⎪ = −⎨⎪ = −⎩

Eq. Cart. :

(1)

(3)(2)

223 2

2 12 6 6 3

x zAB y

x y z

−≡ = − =

≡ = − = − ( )( )

23

23 2

3 6 0 1

2 3 6 0 2

x yAB

x z

x yAB

x z

π

π

⎧ = −⎪⎪≡ ⎨ −⎪ =⎪⎩⎧ + − =⎪≡ ⎨

+ − =⎪⎩

ou

( ) ( )( ) (

1 2

1 2

0;2;0 3;0;0

6;0;0 0;0;2

OY OX

OX OZ

π π

π π

= =

= = )

 2) Equations d’un plan 

1) Equation vectorielle

. .

et sont les vecteurs directeurs

AB k AB h AC

AB AC

π ≡ = +

2) Equations paramétriques ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

A A A B A B A B A C A C A C A

A B A C A

A B A C A

A B A C A

A B A C A

A B A C A

A B A C A

X-X ; Y-Y ; Z-Z . X -X ;Y -Y ;Z -Z . X -X ;Y -Y ;Z -Z

X-X X -X X -X

Y-Y Y -Y Y -Y

Z-Z Z -Z Z -Z

X X X -X X -X

Y Y Y -Y Y -Y éq. paramétriq

Z Z Z -Z Z -Z

k h

k h

k h

k h

k h

k h

k h

π

π

= +

⎧ = +⎪

≡ = +⎨⎪ = +⎩⎧ = + +⎪

≡ = + +⎨⎪ = + +⎩

( )( )

ues du plan

X

Y

Z

k h

k h

k h

π

π

⎧ +⎪

≡ = + +⎨⎪ +⎩

( ) ( )( )( )

A

A

A

X

Y

Z

= +

= + Coord. d’1 composante des pt connu vecteurs directeurs du plan 3) En éliminant les paramètres h et k,On obtient une équation du premier degré à 3 inconnues qui est l’équation du plan. OU En développant un déterminant que l’on égalise à 0, on obtient une équation premier

degré à 3 inconnues qui est aussi l’équation cartésienne du plan. - -- -- -

A B A C A

A B A C A

a B A C A

X X X X X XY Y Y YY Y

Z Z Z Z Z

−−−Z

= 0

1 pt comp. de 2 vect. direc

(on égalise à 0 car la colonne 1 est combinaison linéaire des deux autres (comme on l’a dit au point 2) )

de pi 0ac by cz dπ ≡ + + + =

Exemple : ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1;0;0 0;1;0 0;0;1Eq. para :

1 -1 1 10 1 0

0 0 1

Eq. cart :x-1 1 1

1 0 0 01 0

1 00 1

A B C

x k h x k hy k h y k

z hz k h

x z yy

x y zz

⎧ = + + = − −⎧⎪ ⎪= + + ⇒ =⎨ ⎨⎪ ⎪ == + + ⎩⎩

− −= − + + + + =

= + + − =

4) Vecteur normale du plan π( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

0 1

; ; . . . 0 2

3 : 1 2 : 0

; ; ; ;

; ;

P P P P P P

P P P

P P P

ax by cz d

P x y z a x b y c z d

a x x b y y c z z

PR x x y y z z où R x y z est un pt qcq de

V a b c

π

π

π

≡ + + + =

∈ ⇔ + + + =

− − + − + − =

− − −

( )3 exprime que le produit scalaire est nulle

( )

0 (produit scalaire)

; ; est un vecteur orthogonal à tous les vecteurs du plan .Il s'appelle le vecteur normal du plan

PR V

V PR

V a b c π

π

− =

⊥

Exemple :

( )

( )

A (2;3;-1)

Vect. normal de = 1; 1;32 3 0

: 4 3 3 02 3 2 0

Vx y x d

A dx y x

π

2d

π

ππ

∈

−

≡ − + + =

∈ − + − + =

− + + =π= → ≡Remarque : Deux plans parallèle

3) Distance d’un point à un plan 

ont même vecteur normal.

( ) ( )( )

0

; ; d , ?

; ; ;

p p p

p

p

p

ax by cz d

P x y z P

R x y z PR

x x ka

PR y y kb

z z kc

π

π

π

≡ + + + =

=

∩

⎧ = +⎪

≡ = +⎨⎪ = +⎩

 

    

( ) ( ) ( )

( )² ² ² 0

² ² ²

² ² ²

p p p

p p p

p p p

p p p

R a x ka b y kb c z kc d

ax ka by kb cz kc d

k a b c ax by cz d

ax by xz dk

a b c

π∈ ⇔ + + + + + + =

+ + + + + + =

+ + = − − − −

− − − −=

+ +

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

2 2 2

2

; ;

² ² ²

² ² ²

; .² ² ²

;² ² ²

p p p

p p p

d P d P R

ka kb kc

k a b c

k a b c

ax by xz dd P a b c

a b c

ax by xz dd P

a b c

π

π

π

=

= + +

= + +

= + +

− − − −

² ² ²= + ++ +

− − − −=

+ +

Exemple ( )

( )( )22 2

2 3 2 0 P 2;1;5

4 4,142 3 1

x y z

d P

π

π

≡ − + − =

= =+ − +

4) Condition de parallélisme et de perpendicularité ou orthogonalité entre 2 droites, 2 plans, 1 droite et 1 plan. 

( ) ( )

( ) ( )

( )

1) , , V , ,

// V : V . , , . , ,

. . 0; 0; 0

.

Les composantes des vecteurs et V sont proportio

U r s t u v w

U k k Uu v w k r s t

u k rr s tou v k s ou k u v wu v w

w k t

U

⇔∃ ∈ =

=

=⎧⎪ = = = = ≠ ≠ ≠⎨⎪ =⎩

nnelles

2) U V U.V 0 produit scalaire est nul r.u+s.v+t.w=0

⊥ ⇔ =

1) Condition de parallélisme   1°) Entre deux plans : 

( )( )

1 1

2 2

1 2

0 U , ,

' ' ' ' 0 V ', ', '

// U // V' ' '

ax by cz d a b c

a x b y c z d a b ca b ca b c

π π

π π

π π

≡ + + + = ⊥

≡ + + + = ⊥

⇔ ⇔ = =

 

   2°) Entre deux droites 

( )

( )

1 1

2

1 2

U ; ; vect. direct. de d

; ;

// U //

a a au u u

u u u

b b bv v v

v v v

u u u

v v v

x x y y z zd x y zx y z

x x y y z zd V x y zx y z

x y zd d Vx y z

− − −≡ = =

− − −≡ = =

⇔ ⇔ = =

 

    

  3°) Entre une droite et un plan 

( )

( )1 1

0 V , ,

U ; ; vect. direct. de d

// V U 0

a a au u u

u u u

u u u

produit scalaire nul

ax by cz d a b cx x y y z zd x y z

x y z

d ax by cz

π π

π

≡ + + + = ⊥

− − −≡ = =

⇔ ⊥ ⇔ + + =

 

2) Condition de perpendicularité ou d’orthogonalité   1°) Entre deux pl ns a

( )( )

1 1

2 2

1 2

0 U , ,

' ' ' ' 0 V ', ', '

U V ' ' ' 0

ax by cz d a b c

a x b y c z d a b c

aa bb cc

π π

π π

π π

≡ + + + = ⊥

≡ + + + = ⊥

⊥ ⇔ ⊥ ⇔ + + =

 

   2°) Entre deux droites 

( )

( )

1 1

2 2

1 2

1 2

U ; ; vect. direct. de d

; ; vect. direct. de d

U 0Remarque :Pour prouver que d et d sont perpendiculaires, il

a a au u u

u u u

b b bv v v

v v v

u v u v u v

x x y y z zd x y zx y z

x x y y z zd V x y zx y z

d d V x x y y z z

− − −≡ = =

− − −≡ = =

⊥ ⇔ ⊥ ⇔ + + =

faut alors prouver qu'elles sont coplanaires

 

   3°) Entre une droite et un plan 

( )

( )

0 V , ,

U ; ; vect. direct. de d

V // U

a a au u u

u u u

u u u

ax by cz d a b cx x y y z zd x y z

x y za b cdx y z

π π

π

≡ + + + = ⊥

− − −≡ = =

⊥ ⇔ ⇔ = =

 

 Positions relatives de trois plans 3 plans parallèles distincts = O→ S2 plans parallèles distincts et 1 sécant = O→ S3 plans sécants sur une même droite infinités simple de solutions (livre ouvert)→

3 plans confondus infinité double de solution3 plans sécants sur un point singleton

3 plans sécants 2 à 2 suivant des droites parallèles = O

→→ =

→

SS (la tente)