ΗΥ120 ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ
-
Upload
gail-porter -
Category
Documents
-
view
33 -
download
6
description
Transcript of ΗΥ120 ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ
ΗΥ120 ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ
Συναρτησεις Boole
Παρασταση Λογικων Μεταβλητων με Διαγραμματα Venn
x x x
(a) Λογικο 1 (b)Λογικο 0
(c) μεταβλητη x (d) x
x
Παρασταση Λογικων Μεταβλητων με Διαγραμματα Venn (2)
x y
z
x
x y x y
(e) (f)
(g) (h)
x y x y +
x y z + x y
y
Επαληθευση της επιμεριστικης ιδιοτητας
• x y
z
x y
z
x y
z
x y
z
x y
z
x y
z
x x y
x y x + z x y z +
(a) (d)
(c) (f)
x z y z + (b) (e)
Επαληθευση της σχεσης xy + xz = xy+xz+yz
x y x + z
x y
z
x y
x y
z
x z
y
z
x
y
z
x
x y x + z y z +
x y
z
y x
z
x y
z
x y
y z
x z
Προτεραιοτητα Πραξεων
• Οι πραξεις στις εκφρασεις Boole εκτελουνται με την ακολουθη σειρα:
• Πραξεις εντος παρενθεσεων
• ΝΟΤ
• AND
• OR
• Π.χ.
• ΟΡΙΣΜΟΙ:
• Δυαδικη μεταβλητη = μεταβλητη που παιρνει τιμες 0 ή 1
• Συναρτηση Boole: Μια εκφραση με δυαδικες μεταβλητες που συνδεονται με δυαδικες πραξεις. Π.χ.
zyxyxz )(
zyxF
Συναρτησεις Boole
• Οι συναρτησεις Boole μπορουν να περιγραφουν:– Mε μια αλγεβρικη εκφραση, εστω n μεταβλητων
– Με εναν πινακα αληθείας: • Ο πινακας αληθειας συναρτησης με n μεταβλητες εχει 2n γραμμες (ολες τις
δυνατες n-αδες bits).
• Σε καθε γραμμη του πινακα αληθειας η συναρτηση παιρνει την τιμη 0 ή 1.
– Με λογικες πυλες (λογικο κυκλωμα)
– Με το συνολο των ελαχιστορων της
– Με το συνολο των μεγιστορων της
• Μια συναρτηση Boole μπορει να εχει πολλες εκφρασεις:– Οι εκφρασεις αυτες ειναι ισοδυναμες
– Προσπαθουμε να βρουμε την απλουστερη δυνατη εκφραση (ελαχιστοποιηση συναρτησης)
– Υπαρχουν διαφορα κριτηρια ελαχιστοποιησης
Αλγεβρικοι μετασχηματισμοι συναρτησεων Boole
• Απλοποιηση της εκφρασης :
οροι γινομενου
• Η συναρτηση ειναι σε μορφη αθροισματος γινομενων.
• Προσπαθουμε να βρουμε συναρτηση που να ειναι αθροισμα του μικροτερου δυνατου αριθμου γινομενων με τους λιγοτερους ορους
• Ελαχιστοποιουμε...
DBCDCBAABDABC
CDB
BCDBACDBCDBADBCDCBBA
DBCDCAAABDBCDCBAAB
DBCDCBACABDBBACDCBAABC
DADBCDCBAABCDBCDCBAABDABC
)(
))((
)1(
)(
f
(a) «Αθροισμα γινομενων» f = x1x2 + x1x2 + x1x2
f
(b) Υλοποιηση ελαχιστου κοστους f = x1 + x2
x 2
x 1
x 1
x 2
πινακας αληθειας συναρτησης f
Δυο υλοποιησεις μιας συναρτησης
x1x2
x1x2
x1x2
Πινακας αληθειας της συναρτησης x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3
313222311132
321321321321
)()( xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxf
f
(a)Ελαχιστοποιημενη υλοποιηση ως αθροισμα γινομενων
f
(b) Ελαχιστοποιημενη υλοποιηση ως γινομενο αθροισματων
x1
x2
x3
x2
x1x3
x2x3
x3x1
x1+x3
x3+x2
Πινακας Αληθειας ελεγκτη φωτισμου τριων δρομων
x1x2
x3
321321
321321
xxxxxx
xxxxxxf
f
Υλοποιηση του ελεγκτη φωτισμου τριων δρομωνσε μορφη αθροισματος γινομενων
x 1 x 2 x 3
Υλοποιηση του ελεγκτη φωτισμου τριων δρομωνσε μορφη γινομενου αθροισματων
f
x 1
x 2
x 3
Ελαχιστοποιηση Συναρτησεων Boole
Ελαχιστοροι και μεγιστοροι συναρτησης
Θεωρουμε n μεταβλητες {x1, x2,…, xn} και τις συμπληρωματικες τους
Ονομαζουμε ελαχιστορους τα γινομενα Α1Α2…Αn οπου
- Υπαρχουν 2n ελαχιστοροι (minterms ή standard products) Ονομαζομε μεγιστορους τα αθροισματα Α1+Α2+...+Αn οπου:
- Υπαρχουν επισης 2n μεγιστοροι (Maxterms ή standard sums)
},...,,{ 21 nxxx
kkk xήxA
kkk xήxA
Οι ελαχιστοροι και μεγιστοροι δυο μεταβλητων
x y m0=x´y´ m1= x´y m2= xy´ m3=xy F m1+m2
0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 1 1
1 0 0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 0 1 0 0
x y M0=x+y M1=x+y´ M2=x´+y M3=x´+y´ F M0M3
0 0 0 1 1 1 0 0
0 1 1 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 0 0 0
Μk=mk´
Οι ελαχιστοροι και μεγιστοροι τριων μεταβλητων
Mk = mk´
Ελαχιστοροι και μεγιστοροι
• Συμβολισμοι:
• Ελαχιστορος mk = γινομενο μεταβλητων ή συμπληρωματων τους το οποιο γινεται 1 για εκεινο τον συνδυασμο τιμων των μεταβλητων που διδει τον αριθμο k σε δυαδικη μορφη.– Παραδειγμα: n=3 μεταβλητες x,y,z => m0=x´y´z´ (=1 για xyz=000=010)
m3=x´yz (=1 για xyz=011=310), m6=xyz´ (=1 για xyz=110=610)
• Μεγιστορος Μk =αθροισμα μεταβλητων ή των συμπληρωματων τους το οποιο γινεται 0 για εκεινο τον συνδυασμο τιμων των μεταβλητων που διδει τον αριθμο k σε δυαδικη μορφη.– Παραδειγμα: n=3 μεταβλητες x,y,z=> M0=x+y+z (=0 για xyz=000=0)
M3=x+y´+z´(=0 για 011=3), M6=x´+y´+z (=0 για 110=6).
• Βασικη σχεση Μk=mk´ και mk=Mk´
– Παραδειγμα: m3= x´yz =(x+y´+z´)´ = Mk´
Βασικες Ιδιοτητες των ελαχιστορων και μεγιστορων
• Μk = mk´
• Καθε συναρτηση γραφεται – σαν αθροισμα των ελαχιστορων «της» ή
– σαν γινομενο των μεγιστορων «της».
• Ενας ελαχιστορος «ανηκει» σε μια συναρτηση αν γινεται 1 με ενα συνδυασμο τιμων των μεταβλητων με τον οποιον και η συναρτηση γινεται 1.
• Μια συναρτηση που αποτελειται απο το αθροισμα των ελαχιστορων mk , kI, (I ειναι το συνολο των δεικτων των ελαχιστορων που ανηκουν στην συναρτηση) συμβολιζεται οπως πιο κατω:
• Αν Ι´ ειναι το συμπληρωματικο συνολο του Ι τοτε:
Ik
kk IkmmF }|{
Ik
nk IIIImF },12,...,1,0{, 19
Βασικες Ιδιοτητες των ελαχιστορων και μεγιστορων
• Ομοιως μπορουμε να γραψουμε:
• Πραγματι εχουμε:
• Τελικα:
Ik
kIk
k MFMF ,
Ik Ikkk
Ikk MmmFF )(
Ik Ik
nkk MmF }12,...,2,1,0{,,
20
Κανονικες και προτυπες μορφες
• Κανονικες μορφες ειναι – τα αθροισματα ελαχιστορων,
F = m2+m4+m5+m6+m7
– τα γινομενα μεγιστορων
F = M0M2M4M5
• Προτυπες μορφες ειναι:– Τα αθροισματα γινομενων
F = y´+xy+x´yz´
– τα γινομενα αθροισματων
F = x(y´+z)(x´+y+z´+w)
–
Μετατροπη συναρτησης σε κανονικη μορφη
• Αθροισμα ελαχιστορων:
• Γινομενο μεγιστορων:
• Ετσι:
)7,6,5,4,2(
)()(
)()(
24567 mmmmmzyxzxyzyx
zyxzxyxyzzyxzxyzzyxzzxy
zyxzxyyxxyxxzyyyxzyxF
)1,3,6,7(''''' zyxyzxxyzxyzzxxyG
)0,2,4,5()')()('(
))('')('()')(')(''(
))()(')('())('('
402054 MMMMMMzyxzyxzyx
zyxzyxzyxzyxxzyyxzzyx
zyzxyxxxzxyxxyzxxyG
)0,2,4,5()1,3,6,7(G22
Αλλες Λογικες Πραξεις
• Με n μεταβλητες εχουμε 2n ελαχιστορους (και μεγιστορους).
• Ενας ελαχιστορος μπορει να ανηκει σε μια συναρτηση ή να μην ανηκει.
• Κατα συνεπεια υπαρχουν διαφορετικες συναρτησεις των n μεταβλητων:
Για n=1 εχουμε τις ακολουθες συναρτησεις
• n 2n x F0 F1 F2 F3
• 1 2 4 0 0 0 1 1
• 2 4 16 1 0 1 0 1
• 3 8 64 0 x x´ 1
• 4 16 4096 Συναρτησεις μιας μεταβλητης
n22
n22
Συναρτησεις των δυο μεταβλητων F(x,y)
• Υπαρχουν 16 διαφορετικες συναρτησεις με δυο μεταβλητες
x y F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
0 xy xy´ x x´y y xy x+y (x+y)´ xy y´ x´y x´ x+y´ (xy)´ 1
AND XOR OR NOR XNOR NAND
NOR: (xy)= (x+y)´ = x´y´ NOT-OR (ΟΥΤΕ)
NAND: (xy) = (xy)´ = x´+y´ NOT-AND
XOR: xy = xy´+x´y Exclusive OR (Αποκλειστικο Η)
XNOR (or XOR): xy = xy+x´y´ Exclusive NOR (Ισοδυναμιας)
Σημαντικες συναρτησεις δυο μεταβλητων
• ΟΝΟΜΑ ΣΥΜΒΟΛΟ (ΠΥΛΗ) Συναρτηση ορισμου• AND f = xy
• OR f = x+y
• NOT f = x´
• BUFFER f = x
• NAND f = (xy)´= (x´+y)´
• NOR f = (x+y)´= x´y´
• XOR f = xy = xy´+x´y
• XNOR f = xy = xy + x´y´
f x y
x f
f
y
x
x f
x
y f
f xy
xy f
xy 26
Οικουμενικοτητα των πυλων NOR και NAND
• Οι πυλες NAND και NOR ειναι οικουμενικες δηλαδη μπορουμε να ορισουμε την Αλγεβρα Boole με μια απο τις δυο συναρτησεις και μονο.
• Πραγματι με την συναρτηση NOR μπορουμε να ορισουμε τις βασικες συναρτησεις AND, OR και NOT: x y = (x+y)´– NOT: x´=(x+x)´ x´ = xx– AND: xy = (x´)´·(y´)´=(x´+y´)´ xy = (xx )(yy)
– OR: x+y = ((x + y)´)´ x+y = (xy) (xy)
• Ομοιως με την συναρτηση NΑΝD μπορουμε να ορισουμε τις βασικες συναρτησεις AND, OR και NOT: x y= (xy)´– NOT: x´=(xx)´ x´ = xx– ΟR: x+y = (x´y´)´ x+y = (x x ) (y y)
– AND: xy = ((x y)´)´ xy = (x y) (x y)
Γραφικη παρουσιαση
Μη επιμεριστικοτητα των NAND και NOR
• Θα δειξουμε οτι οι πραξεις NAND και NOR ειναι μη επιμεριστικες, δηλαδη οτι (x y) z x (y z) και οτι (x y) z x (y z):
• (x y) z = (xy)´ z = ((xy)´ z)´= xy+z´
• x (y z) = x (yz)´ = (x(yz)´)´ = x´ + yz xy+z´
• Oμοιως:
• (x y) z = (x+y)´ z = ((x+y)´+z)´ = (x+y)z´ = x z´+y z´
• x (y z) = x (y+z)´ = (x+(y+z)´)´= x´(y+z) = x´y+x´z x z´+y z´
• Η μη επιμεριστικοτητα των δυο αυτων πραξεων αποκλειει την συνθεση πυλων NAND και NOR με χρηση πυλων δυο εισοδων (οπως συμβαινει π.χ. με τις πυλες AND και OR πολλων εισοδων)
• Ετσι x•y•z = x• (y•z) ενω δεν υπαρχει παρομοια σχεση για την NOR
Αλλες Ιδιοτητες των NAND και NOR
• Η πραξη NAND ειναι εκεινη της οποιας η πυλη υλοποιειται ευκολωτερα στις διαφορες οικογενειες Ολοκληρωμενων Κυκλωματων (Integrated Circuits –Ics), και αποτελει την βαση για την υλοποιηση των αλλων πυλων.
• Αν μια συναρτηση ειναι στην μορφη "αθροισμα γινομενων" τοτε υλοποιειται πολυ ευκολα με πυλες ΝAND, αντικαθιστωντας απλα τις πυλες AND και OR με πυλες NAND.
xyz´
xyz´
zy´
zy´
f f
xyz´+zy´ = ((xyz´)´·(zy´)´)´ Κανονας DeMorgan
Οι πραξεις XOR και XNOR ειναι αντιμεταθετικες και επιμεριστικες
• Πραγματι ειναι αντιμεταθετικες , διοτι:• xy = xy´+x´y και yx =yx´+y´x = xy´+x´y => xy = yx , και• xy = xy + x´y´ και yx= yx+ y´x´= xy + x´y´ => xy = yx
• Βασικη Ιδιοτητα: xy=(xy)´ και xy = (xy)´(xy)´= (xy´+x´y)´ = (x´+y)(x+y´) = x´x + x´y´+yx+yy´=xy +x´y´= xy
• Ειναι επιμεριστικες διοτι:• x(yz)=x(yz´+y´z) = x´(yz´+y´z)+x(yz´+y´z)´= = x´yz´+ x´y´z+x(yz+y´z´) = x´yz´+ x´y´z +xyz +xy´z´• (xy)z = (xy´+x´y)z = (xy´+x´y)z´+ (xy´+x´y)´z = = xy´z´+x´yz´+(xy + x´y´)z= xy´z´+x´yz´+xyz + x´y´z Αρα x(yz)= (xy)z = xyz