11 Fluidoestatica

TEMA V:Fluidostatica

CAPITULO 11

Fluidostatica

11.1. Ecuaciones generales

Las soluciones mas sencillas, en principio, de las ecuaciones de Navier-Stokes (9.1)-(9.7)son aquellas correspondientes a un fluido en reposo (~v = 0), o soluciones fluidostaticas. Si enalgun sistema de referencia (inercial o no) ~v = 0, esas ecuaciones se reducen a:

t= 0 , (11.1)

p+ ~fm = 0 , (11.2)

e

t= (KT ) +Qr , (11.3)

e = e(T, p) , p = p(, T ) , K = K(T ) . (11.4)

La ecuacion de continuidad nos dice que, si el fluido esta en reposo, la densidad solo puedeser funcion de la posicion. La ecuacion de cantidad de movimiento es un balance entre lasfuerzas de presion y las fuerzas masicas. Estas ultimas son, en ausencia de campos electricos omagneticos, suma de las fuerzas gravitatorias y de las fuerzas de inercia debidas al movimientodel sistema de referencia en el caso de que este no sea inercial [ecuacion (7.3)]:

~fm = ~g ~ao d~

dt ~x ~ (~ ~x) , (11.5)

donde las fuerzas de Coriolis no aparecen debido a que ~v = 0. La ecuacion de la energa esun balance entre la conduccion de calor, la variacion local de la energa interna y el calorpor radiacion, siendo similar a la ecuacion de la energa interna para un solido. Si cv y Kfuesen constantes y Qr = 0, esta ecuacion sera la ecuacion de difusion (9.13). Por ultimo lascondiciones iniciales y de contorno deben ser compatibles con ~v = 0.

11.2. Condiciones de equilibrio

La ecuacion (11.2) establece que las fuerzas masicas por unidad de volumen, ~fm, derivande un potencial, siendo este igual a p. Por tanto, no toda fuerza masica es compatible con

142 MECANICA DE FLUIDOS. R Fernandez Feria y J. Ortega Casanova

un fluido en reposo. La condicion que deben verificar estas fuerzas se obtienen sin mas quetomar el rotacional de (11.2):

(~fm) = ~fm + ~fm = 0 . (11.6)Multiplicando escalarmente por ~fm, se tiene la condicion general para ~fm:

~fm ~fm = 0 . (11.7)Dado que U 0 para cualquier funcion escalar U , una condicion suficiente para que larelacion (11.7) se satisfaga es que ~fm derive de un potencial U , ~fm = U . Conformandonoscon esta ultima condicion suficiente y teniendo en cuenta las fuerzas masicas (11.5), estas sepueden escribir como U si la velocidad angular del sistema de referencia no depende deltiempo, pues el termino d~/dt~x no se puede escribir como un gradiente, siendo el potencialde fuerzas masicas

U = ~g ~x+ ~ao ~x (~ ~x)2/2 .1 (11.8)Tengase en cuenta que la aceleracion ~ao podra ser una funcion del tiempo.

La ecuacion (11.7) es la condicion general que deben verificar las fuerzas masicas paraque pueda existir equilibrio mecanico (~v = 0) en un fluido. Sin embargo, un fluido puedeestar en equilibrio mecanico sin que exista equilibrio termico, siempre que la distribucionde temperaturas satisfaga la ecuacion (11.3) y la densidad no vare con el tiempo. Pero estono es suficiente, puesto que la solucion de las ecuaciones (11.1)-(11.4) puede ser inestable.Es decir, aunque las distribuciones de , p y T satisfagan (11.1)-(11.4) junto con condicionesde contorno e iniciales compatibles, es necesario que estas distribuciones cumplan ciertos re-quisitos adicionales para que sean estables, ya que si el equilibrio fuese inestable aparecerancorrientes (~v 6= 0) que tenderan a uniformizar la temperatura (a equilibrar termicamente elfluido). Por tanto, el estudio de la estabilidad de las soluciones fluidostaticas es esencialcuando el equilibrio mecanico no este emparejado con un equilibrio termico, pero esteproblema no sera abordado en esta introduccion a la fluidostatica.

Sustituyendo (11.8) en la ecuacion de cantidad de movimiento (11.2) se tiene

p+ U = 0 . (11.9)Esta expresion establece que las superficies equipotenciales (U = constante) en un fluidoen reposo son tambien superficies isobaras (p = constante). Ademas, estas superficies sontambien de densidad constante, puesto que = (p/U)t. Otra consecuencia es que unfluido en reposo es barotropo, es decir 1

dp es una diferencia exacta, dw, siendo w la

funcion de barotropa. En efecto, de (11.9) se tiene p = p(U, t), y de la relacion anteriorpara la densidad, = (U, t) [pero la dependencia U(t) debe ser tal que 6= (t)], de dondep depende de la posicion solo a traves de la densidad, p = p(, t), y viceversa, = (p). Portanto,

1

p = w , w

p dp(p)

. (11.10)

Fsicamente, si el fluido no fuese barotropo, los gradientes de presion no seran paralelos alos gradientes de densidad y las fuerzas de presion produciran un par distinto de cero en

1Se deja como ejercicio para el alumno la comprobacion de que U es igual a (11.5) sin el termino de aceleracionangular. Para la comprobacion del ultimo termino hay que hacer uso de (2.63).

CAPITULO 11. FLUIDOSTATICA 143

r

h

z

z (r)

p

o

s

a

R

Figura 11.1: Equilibrio mecanico de un lquido en un recipiente que gira.

relacion al centro de gravedad las partculas fluidas, que originaran una componente de giroen las mismas (vorticidad en el fluido), dejando de estar en reposo. En terminos de la funcionde barotropa (11.10), la ecuacion (11.9) se escribe:

(w + U) = 0 , w + U = C(t) , (11.11)

donde C(t) es una constante de integracion que en general depende del tiempo y que vienefijada por las condiciones de contorno.

11.3. Hidrostatica

En el caso de un lquido ( = constante), la ecuacion anterior queda

p+ U = C(t) . (11.12)

Si la unica fuerza masica presente es la gravitatoria, ~g = g~ez, la distribucion de presioneshidrostatica es:

p+ gz = constante. (11.13)

As, por ejemplo, la presion en el interior de un deposito con una altura H de lquido y abiertoa la atmosfera sera p = pa + g(H z), donde pa es la presion atmosferica y z se mide desdeel fondo del deposito.

Como otro ejemplo sencillo, considerese un deposito cilndrico (de radio R) quegira con velocidad angular constante alrededor de su eje de simetra. Transcurrido untiempo suficiente para que el lquido adquiera un movimiento solidario con el recipiente, la


distribucion de presion de equilibrio en un sistema de referencia que se mueva con el recipientesera, de acuerdo con (11.12) y (11.8):

p+ gz 2r2/2 = constante = pa + gzs(r) 2r2/2 , (11.14)donde la constante se ha evaluado en la superficie libre del lquido zs(r) (ver figura 11.1). Esdecir,

p = pa + g[zs(r) z] . (11.15)Aplicando (11.14) al punto de la superficie libre en el eje (z = ho, r = 0), se tiene

pa + gho = pa + gzs(r) 2r2/2 , (11.16)que proporciona la ecuacion de la superficie libre en funcion de ho:

zs(r) = ho +1

2

2

gr2 . (11.17)

La constante ho se obtiene a partir del volumen V del lquido:

V =

R0

dr2pirzs(r) = piR2ho

(1 +

2R2

4gho

), ho =

V

piR2

2R2

4g. (11.18)

11.4. Fuerza sobre un cuerpo sumergido. Principio de Arqumedes

Consideremos un cuerpo solido de volumen V y superficie S sumergido en un fluido enequilibrio mecanico. La fuerza (de presion) que el lquido ejerce sobre la superficie del solidoes:

~F = S

p~nds = V

pdV = V

~fmdV , (11.19)

donde se ha aplicado el Teorema de Gauss y se ha hecho uso de (11.2). La fuerzaesta dirigida en sentido opuesto a las fuerzas masicas. Suponiendo que las fuerzas masicasson exclusivamente gravitatorias, se tiene

~F = g~ez

V

dV = gM~ez , M V

dV ; (11.20)

es decir, un cuerpo sumergido en un fluido en reposo esta sometido a una fuerza (empuje)que es igual al peso del fluido que desaloja el cuerpo, en sentido opuesto a la accion de lagravedad (Principio de Arqumedes). En el caso de un lquido, M = V . Para que elcuerpo permanezca en reposo (y, por tanto, el fluido), esta fuerza debe estar equilibrada conel peso del mismo. Ademas, el momento de las fuerzas de presion que el fluido ejerce sobreel cuerpo debe estar tambien equilibrado. Este momento, en relacion a un punto fijo ~xo, vale

~M = S

p~n (~x ~xo)ds = V

[p(~x ~xo)]dV

= V

p (~x ~xo)dV = V

~fm (~x ~xo)dV . (11.21)


Si ~fm = g~ez,~M = g~ez

V

(~x ~xo)dV = gM~ez (~xcm ~xo) , (11.22)donde ~xcm es el centro de masa del cuerpo sumergido si su volumen lo ocupase el fluidoque desaloja. Este momento debe estar equilibrado con el momento del peso del solido (queesta aplicado en su centro de masa) con respecto a ~xo para que el cuerpo permanezca enreposo.

11.5. Equilibrio de gases. Atmosfera estandar

En el caso de un gas ideal bajo la accion de la gravedad, la ecuacion (11.11) se puedeescribir:

U + w = gz +

p dp

= gz +Rg

pTdp

p= constante. (11.23)

Como p, y T solo dependen de z, es mas facil utilizar la forma original de la ecuacion decantidad de movimiento (es decir, derivar con respecto a z la ecuacion anterior):

g +RgT

p

dp

dz= 0 , (11.24)

que integrada proporcionap

po= exp

[ gRg

z0

dz

T (z)

]. (11.25)

Luego para conocer la distribucion de presion en equilibrio mecanico se debe conocer ladistribucion de temperatura, la cual debe satisfacer la ecuacion (11.3) junto con condicionesde contorno apropiadas.

Un ejemplo tpico lo constituye el aire de la atmosfera supuesto en reposo. En sus capasmas cercanas al suelo el aire se calienta, principalmente por conduccion de calor desde elsuelo y, en menor medida, por radiacion solar directa, aunque esta ultima es mas importanteen las capas altas de la atmosfera. Para los calculos fluidostaticos, sin embargo, no se sueleresolver la ecuacion (11.3) para la temperatura, sino que se supone una distribucion T (z)obtenida experimentalmente, siendo la correspondiente a la denominada atmosfera estandarla representada en la figura 11.2.

Desde un punto de vista practico, la capa mas importante es la troposfera o capa mascercana al suelo, donde se supone que, en primera aproximacion, el perfil de temperatura eslineal:

T = To z , (11.26)siendo To = 288 K y = 6,5 K/km en la atmosfera estandar. Sustituyendo en (11.25), setiene la distribucion de presiones

p

po=

(To zTo

)g/Rg; (11.27)

y, de la ecuacion de estado,

o=

(To zTo

)g/Rg1, (11.28)


150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 2900

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

T (K)

z (km

)

Troposfera

Estratosfera

Mesosfera

11 km

20 km

32 km

48 km

Figura 11.2: Distribucion de temperatura en la atmosfera estandar.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.20

5

10

15

20

25

30

35

p (atm) , (kg /m3 )

z (km

)

Figura 11.3: Distribucion de presion (lnea contnua) y densidad (lnea discontnua) en la atmosfera estandar.


siendo po = 1 atm, o = po/RgTo = 1,25 kg/m3. De forma analoga se hallaran las

distribuciones de presion y densidad en las restantes capas de la atmosfera estandar utilizandolos perfiles de temperatura de la figura 11.2 (ver figura 11.3).

La expresion (11.28) proporciona un criterio estatico de estabilidad de la atmosfera: paraque sea estable, la densidad debe disminuir con la altura, pues en caso contrario las fuerzasde flotabilidad originaran un movimiento vertical; es decir,

g

Rg 1 > 0 o < g

Rg' 34,9 K/km . (11.29)

Este criterio no es una condicion suficiente para que la atmosfera sea estable, ya que si fueseas, la atmosfera estandar sera siempre estable, lo cual, evidentemente, no es cierto. El estudiode la estabilidad de la atmosfera requiere considerar la estabilidad dinamica, o estabilidadfrente a pequenas perturbaciones de la distribucion de equilibrio anterior, perturbaciones quesiempre estan presentes en la atmosfera. De todas formas, el criterio anterior nos da una ideadel grado de estabilidad de la atmosfera: cuanto mas pequena sea la constante , mas establesera. Por ejemplo, en condiciones de inversion termica ( < 0), lo cual ocurre a veces en lasproximidades del suelo en ciertos nucleos urbanos donde los niveles de contaminacion sonmuy altos, la atmosfera se hace muy estable, con lo que los gases contaminantes permanecenanclados en la ciudad. Otro ejemplo significativo de estabilidad lo constituye la estratosfera,donde es marcadamente negativo (ver figura 11.2), siendo, por tanto, extraordinariamenteestable, y de ah su nombre: el aire de la estratosfera esta estratificado, sin apenas mezcla deunas capas con otras (esta se produce casi exclusivamente por difusion, no por conveccion).Por ello es tan peligroso que algunos agentes contaminantes lleguen a la estratosfera.

Referencias.

L.D. LANDAU y E.M. LIFSHITZ, 1987. Captulo I.

J.M.WALLACE y P.V. HOBBS, 1977. Captulo 1.

F.M. WHITE, 2004. Captulo 2.

Ejercicios de fluidoestatica

Ejemplo resuelto

La figura 11.4 muestra el esquema de un acelerometro muy sencillo y barato. Consta deun tubo en forma de U que contiene un lquido de densidad ; las variaciones del nivel hconstituyen una medida de la aceleracion a. Obtener la relacion entre h y a suponiendo queD L. Pueden hacerse las marcas en el tubo en forma de multiplos lineales de a? Comentelas principales desventajas de este diseno.

L

L/2

h

D

a

Figura 11.4

Solucion.Utilizando coordenadas (x, z), donde x tiene la direccion de la aceleracion a, la ecuacion

(11.12), junto con (11.8), se escribe

p+ U = p+ gz + ax = constante . (11.30)

La constante se obtiene aplicando esta ecuacion a cualquiera de las dos superficies libres dellquido, donde la presion es la atmosferica (pa). Si se toma el origen de coordenadas en laesquina inferior izquierda del tubo en U , suponiendo despreciable el diametro del conducto(D L), la aplicacion de esta ecuacion a las dos superficies libres proporciona

pa + g

(L

2+ h

)= pa + g

(L

2 h)

+ aL , (11.31)

de donde se obtiene una relacion entre a y h:

h =aL

2g. (11.32)


Esta relacion es lineal, por lo que, efectivamente, la distancia entre las marcas en el tubosera proporcional a los incrementos de la aceleracion.

El principal inconveniente de este diseno es que la superficie libre no es exactamente unplano horizontal. Si D no fuese muy pequeno, habra que tener en cuenta la inclinacion dela superficie libre en relacion a la horizontal. Por otro lado, la tension superficial provocauna curvatura de la superficie libre, mas acusada cuanto mas pequeno sea D. Para tener unamedida precisa habra que tener en cuenta ambos efectos.

Otra cuestion relevante, si queremos medir aceleraciones que varan temporalmente, esel tiempo de respuesta del acelerometro, que tiene que ser pequeno en relacion al tiempocaracterstico de variacion de la aceleracion. Para estimar el tiempo de respuesta hay queestudiar el movimiento del lquido en el interior del tubo, y no solo tener en cuenta lafluidostatica de los estados finales. El movimiento de un fluido en un conducto en susdiferentes regmenes se considerara a lo largo de este curso.

Problemas propuestos

1. Un camion cisterna transporta un volumen V de un lquido de densidad . Debido a unimprevisto, el conductor tiene que frenar hasta pararse cuando viaja a una velocidadvo. Como consecuencia de ello, el lquido ejerce una fuerza F sobre la pared frontal deltanque que lo contiene, que se quiere calcular. Suponiendo que la frenada ocurre conaceleracion constante en un tiempo tf , que el tanque es un paraleleppedo de longitudl, altura h y anchura e, que el lquido no llena completamente el tanque, existiendosobre el un gas a presion po, y que el lquido adquiere la nueva disposicion de equilibriorespecto al tanque en un tiempo mucho menor que tf , se pide:

a) Posicion de la superficie libre del lquido durante la frenada. Supongan que lquidono toca la pared superior del tanque.

b) Fuerza ejercida sobre la pared frontal del tanque (la presion exterior es pa).

2. Una presa tiene una parte superior vertical, de 2 m desde la superficie libre del agua, yel resto, hasta el suelo, su profundidad sigue la ley z = 2+10

x, donde z es la distancia

vertical (en metros) desde la superficie libre del agua y x la distancia horizontal (enmetros) perpendicular a la parte superior de la presa. La profundidad total de la presadesde la superficie libre del agua es de 32 m. Se pide:

a) Fuerza resultante que el agua ejerce sobre la presa por unidad (metro) de longitudde la presa.

b) Distancia de la presa a la que la direccion de esta fuerza resultante intersecta lasuperficie libre.

3. Un globo meteorologico relleno con hidrogeno tiene una masa total, incluyendo la carga,de 6 kg. Suponiendo que el globo permanece esferico, con 3 m de diametro, hastaque altura ascendera en una atmosfera isoterma si la temperatura es de 20o C y lapresion en el suelo de 101,3 kN/m2?


4. Un cono de acero (densidad 0 = 7,5)2 de semiangulo = 10o y radio de la base R = 0,1

permanece en equilibrio en la interfaz entre una masa de mercurio (1 = 13,56) y otrade agua [2 = 1; ver figura 11.5(a)]. Cuanto vale la altura h sumergida en mercurio?

!"#$ !%#$

A B n dx dy ds A B

fm = g a0 d

dt x ( x) 2 v

x0 a0 fn = n

e1 e2 e3 fn(x, t) n x

q1 q2 q3 qn

d0 n1

R V2

L Fx Fy V2 = u2ex + v2ey

A1 A2 v1, 1, p1 v2, 2, p2

Go Gc Q As Vs pa ps s

x y z V pa Ta S(x) = 0 Tp T = Tp ,v = 0

z x V Fr mg v X

x y V u(y) = V y/h h

r x D/2

p1 p2 f D L

0 1 2 h R D H

A B n dx dy ds A B

fm = g a0 d

dt x ( x) 2 v

x0 a0 fn = n


q1 q2 q3 qn

d0 n1

R V2


A1 A2 v1, 1, p1 v2, 2, p2



z x V Fr mg v X


r x D/2

p1 p2 f D L

0 1 2 h R D H

A B n dx dy ds A B

fm = g a0 d

dt x ( x) 2 v

x0 a0 fn = n


q1 q2 q3 qn

d0 n1

R V2


A1 A2 v1, 1, p1 v2, 2, p2



z x V Fr mg v X


r x D/2

p1 p2 f D L

0 1 2 h R D H

A B n dx dy ds A B

fm = g a0 d

dt x ( x) 2 v

x0 a0 fn = n


q1 q2 q3 qn

d0 n1

R V2


A1 A2 v1, 1, p1 v2, 2, p2



z x V Fr mg v X


r x D/2

p1 p2 f D L

0 1 2 h R D H

A B n dx dy ds A B

fm = g a0 d

dt x ( x) 2 v

x0 a0 fn = n


q1 q2 q3 qn

d0 n1

R V2


A1 A2 v1, 1, p1 v2, 2, p2



z x V Fr mg v X


r x D/2

p1 p2 f D L

0 1 2 h R D H

A B n dx dy ds A B

fm = g a0 d

dt x ( x) 2 v

x0 a0 fn = n


q1 q2 q3 qn

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R V2


A1 A2 v1, 1, p1 v2, 2, p2



z x V Fr mg v X


r x D/2

p1 p2 f D L

0 1 2 h R D H

A B n dx dy ds A B

fm = g a0 d

dt x ( x) 2 v

x0 a0 fn = n


q1 q2 q3 qn

d0 n1

R V2


A1 A2 v1, 1, p1 v2, 2, p2



z x V Fr mg v X


r x D/2

p1 p2 f D L

0 1 2 h R D H

A B n dx dy ds A B

fm = g a0 d

dt x ( x) 2 v

x0 a0 fn = n


q1 q2 q3 qn

d0 n1

R V2


A1 A2 v1, 1, p1 v2, 2, p2



z x V Fr mg v X


r x D/2

p1 p2 f D L

0 1 2 h R D H

Figura 11.5

5. Un cono flota en agua con su vertice hacia abajo y su eje perpendicular a la superficielibre [figura 11.5(b)]. Si el diametro de la base del cono es D, su altura H y su densidades s veces la del agua (s < 1; la densidad del aire es despreciable), demostrar que paraque el cono permanezca en equilibrio estable se tiene que verificar

H

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