128

10.6 Die elastische Linie des Biegeträgers (Biegelinie) 10.6.1 Die Differentialgleichung der Biegelinie

l∆

MM

s∆

ρ

ue

ϕ

x∆

w∆

Abb. 10.6.1: Zur Herleitung der Differentiallinie der Biegelinie.

Wir wollen den Verlauf der Biegelinie eines (geraden) Trägers ermitteln, d.h. ein Verfahren zur Berechnung seiner Durchbiegung als Funktion der aufgeprägten Lasten, seiner Quer-schnittsform und seiner Einspannungs- bzw. Lagerbedingungen angeben. Zu diesem Zweck werden wir zuerst versuchen, die Krümmung eines Balkenelements mathematisch zu beschrei-ben, um dann durch Integration längs des jeweiligen Balkens eine Aussage über seine globale Durchbiegung zu erhalten. Betrachten wir also zunächst einmal ein Balkenelement, wie in der Abbildung 10.6.1 dargestellt. Wir notieren, dass für die untere Randfaser gilt:

yy

u

uyu I

MewM ==σ

,. (10.6.1)

Andererseits gilt nach HOOKE:

llEu

∆=σ . (10.6.2)

Durch Kombination beider Gleichungen und unter Beachtung der Ähnlichkeitsrelation:

ρ

=∆=ϕ le

lu

(10.6.3)

lässt sich für das Inverse des Radius des lokalen Schmiegekreises ρ an das Balkenelement, also für die Krümmung κ , die folgende Gleichung aufstellen:

κ==ρ yyEI

M1 . (10.6.3)

Andererseits lässt sich für die Krümmung einer in der Form ( )xww = gegebenen ebenen Kur-ve (hier konkret die Durchbiegung) schreiben:

( )( ) 2/321 w

w

′+

′′=κ . (10.6.4)

Dass diese Gleichung gilt, folgt unmittelbar aus der anschaulichen Grunddefinition, wonach die Krümmung nichts anderes ist als die Änderung des Neigungswinkels α pro Bogenlänge s , also formelmäßig:

129

xsx

sx

xs dddd

dd

dd

dd α=α=α=κ , (10.6.5)

wobei wir gemäß der Kettenregel erweitert haben. Nach den Grundregeln der Differentialrech-nung dürfen wir im vorliegenden Fall schreiben:

( ) ⇒α==′ tandd

xww (10.6.6)

( )[ ] ( )[ ] ( )( ) ( )22

2

1dd

dd

cossin1

ddtan

ddtan

dd

ww

xxxxw

′+′′

=α⇒

α

αα+=αα

α=α=′′ .

Weiterhin folgt aus Abbildung 10.6.1 mit dem Lehrsatz des PYTHAGORAS:

( ) ( ) ( ) ( )2222 1dd wxsswx ′+=⇒∆=∆+∆ . (10.6.7)

Setzt man nun die Gleichungen (10.6.5) und (10.6.6) in (10.6.4) ein, so folgt die Behauptung. Als Differentialgleichung der Biegelinie entsteht somit:

( )( ) yyEI

M

w

w =′+

′′2/321

. (10.6.8)

Dabei haben wir, wie oben bereits angedeutet, mit dem Symbol ( )xww = die Durchbiegung des Balkens in z –Richtung bezeichnet

z

x

x1α

2α

F

( )xM

( )xww = Abb. 10.6.2: Zum Vorzeichen in der Differentialgleichung für die Biegelinie.

Bevor wir uns mit der Lösung dieser gewöhnlichen, nichtlinearen Differentialgleichung zwei-ter Ordnung befassen, wollen wir das Vorzeichen für den Verlauf der Biegelinie festlegen. Es ergibt sich aus der Festlegung des Biegemomentes und der ( )zx , -Koordinaten. Betrachte da-zu die Abbildung 10.6.2. Interpretiert man die Krümmung als Änderung des Winkels α wie gezeichnet, so resultiert eine positive Krümmung aus einem negativem Moment, und wir müs-sen schreiben:

( )( ) yyEI

M

w

w −=′+

′′2/321

. (10.6.9)

130

Diese Gleichung gilt auch für große Krümmungen, ist aber für kaum einen Belastungsfall eines Trägers geschlossen zu integrieren. Im folgenden wollen wir von der Voraussetzung ausgehen, dass die Verformungen klein gegenüber der Balkenlänge sind. Die erste Ableitung der Biegeli-nie, also die Trägerneigung w′ , ist ein Maß für die Verformung. Mithin resultiert aus Glei-chung (10.6.9):

yyEI

Mw −=′′ . (10.6.10)

Diese Differentialgleichung lässt sich einfach integrieren. Es entsteht:

43d d CxCxxEIMw

yy++

−= ∫ ∫ (10.6.11)

Für die Neigung der Biegelinie erhält man entsprechend:

3d tan CxEIMw

yy+−=′=ϕ ∫ . (10.6.12)

Die Integrationskonstanten folgen aus physikalisch sinnvollen Randbedingungen. So muss z.B. die Durchbiegung eines gelagerten oder eingespannten Balken am Lager oder am Ein-spannende verschwinden. Ein Beispiel soll das Vorgehen erläutern.

10.6.2 Beispiel: Der eingespannte Balken Betrachte die in Abbildung 10.6.3 dargestellte Situation eines einseitig eingespannten Balkens. Wir wollen annehmen, dass das Produkt yyEI längs des Balkens konstant ist.

l

( ) 0const qxq ==

Abb. 10.6.3: Zur Festlegung der Randbedingungen beim eingespannten Balken.

Indem wir die folgenden Randbedingungen fordern (feste Einspannung am linken Balkenen-de):

( ) ( ) 00,00 ==′== xwxw (10.6.13)

entsteht als Lösung:

( ) ( ) ( )

.36

,d d

23

43

−

=

⇒−−=++

−= ∫ ∫

lx

lx

EIFlw

xlFxMCxCxxEI

xMwyy (10.6.14)

10.6.3 Beispiel: Träger auf zwei Stützen Betrachte den in Abbildung 10.6.4 dargestellten, beidseitig unterstützten Balken unter Wirkung der Querlast F im linken Auflagerabstand a , dessen Biegelinie gesucht ist. Wie gezeichnet wählen wir, aus rechentechnischen Gründen, zwei Koordinatensysteme, genannt x und x , die

131

vom linken Balkenende bzw. von der Krafteinleitungsstelle aus gezählt werden. Entsprechend sind folgende Randbedingungen zu fordern:

( ) ( ) 0,00 ==== bxwxw , (10.6.15)

denn in Lagerpunkten muss die Durchbiegung ja verschwinden. Außerdem muss der stetige Anschluss der Durchbiegung an der Krafteinleitungsstelle gesichert sein, was wir mit den fol-genden Übergangsbedingungen garantieren:

( ) ( ) ( ) ( )0,0 =′==′=== xwaxwxwaxw . (10.6.16)

Mithin besitzen wir vier Gleichungen zur Festlegung der vier Integrationskonstanten aus den aus Gleichung (10.6.8) folgenden Lösungen:

( ) [ ]axCxCxxEIMxw

yy,0,d d 43 ∈++

−= ∫ ∫ , (10.6.17)

( ) [ ]bxCxCxxEIMxw

yy,0,d d 43 ∈++

−= ∫ ∫ , (10.6.18)

die in die Momentenflächen der Form:

( ) ( ) Fl

abMb

xbMxMaxMxM =−== 000 ,, (10.6.19)

eingesetzt und anschließend integriert werden müssen. Lösung des resultierenden Gleichungs-systems liefert:

F

a b

x x( )

axMxM 0= ( )

bxbMxM −= 0F

labM =0

Abb. 10.6.4: Beidseitig unterstützter Balken unter Querlast.

( ) [ ]axalx

lb

lx

EIFablxw

yy,0,1

6

2∈

−+= (10.6.20)

und:

( ) [ ]bxlx

bx

lx

lx

lb

la

lb

la

EIFablxw

yy,0,322

6

22

∈

+

−

−−= . (10.6.21)

Eine qualitative Skizze dieser Lösung ist in Abbildung 10.6.5 zu sehen. Beachte die Gleichheit der Steigung an der Krafteinleitungsstelle.

132

( )axw =′ ( )0=′ xw

( )xw ( )xw

x xa b

Abb. 10.6.5: Zur Festlegung der Randbedingungen beim eingespannten Balken.

10.6.4 Anwendung auf statisch unbestimmte Systeme Betrachte die in Abbildung 10.6.6 dargestellte Situation eines beidseitig fest eingespannten Balkens unter Gleichstreckenlast, dessen Biegelinie gesucht ist. Für die in Gleichung (10.6.8) einzusetzende Momentenfläche findet man zunächst:

x

l

System ( ) 0qxq =

( )xw

lBiegelinie

Abb. 10.6.6 Zur Festlegung der Randbedingungen beim statisch unbestimmten System.

( ) ( ) 21

2

021 2dd CxCxqCxCxxxqxM ++−=++

−= ∫ ∫ . (10.6.22)

Entsprechend resultiert:

( )

++−−= 43

2

2

3

1

40

26241 CxCxCxCxq

EIxw

yy. (10.6.23)

Mithin müssen auch in diesem Problem vier Konstanten bestimmt werden, wofür man vier Gleichungen benötigt. Diese folgen aus der Tatsache, dass es sich an beiden Enden um eine feste Einspannung handelt, so dass dort der Funktionswert und die erste Ableitung der Durch-biegung verschwinden muss:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,0,00,00 ==′====′== lxwlxwxwxw . (10.6.24)

Auflösen dieser vier Gleichungen liefert als Endergebnis:

( )

+−

=

2240 21

24 lx

lx

lx

EIlqxw

yy (10.6.25)

und:

( ) ( )

−=

+−−=

lxlqxQ

lx

lxlqxM 21

2,661

120

240 , (10.6.26)

wobei auch noch der Querkraftverlauf angegeben wurde.

10.6.5 MOHRsche Analogie; eine praktische, rechnerisch-zeichnerische Methode zur Ermittlung der Biegelinie

133

In den folgenden Gleichungen sind jeweils Kraftgrößen formelmäßig entsprechenden Verfor-mungsgrößen gegenübergestellt:

Kraftgrößen: Verformungsgrößen:

( )xqq = ( )( )xEIxMw

yy−=′′ (10.6.27)

( ) ( )∫ +−= 1d CxxqxQ ( )3d Cx

EIxMwyy

+−=′ ∫ (10.6.28)

( ) ( ) 2d CxxQxM += ∫ 4d Cxww +′= ∫ (10.6.29)

oder:

( ) ( ) 21d d CxCxxxqxM ++−= ∫ ∫ ( )43d d CxCxx

EIxMwyy

++−= ∫ ∫ (10.6.30)

Man kann sagen, dass bis auf die Vorzeichen die Kraftgrößen Last, Querkraft und Biegemo-ment einerseits und die Verformungsgrößen Krümmung, Neigung und Durchbiegung anderer-seits, den gleichen mathematischen Aufbau besitzen. Es müssen daher auch die gleichen Ver-fahren zur Lösung der entsprechenden Aufgaben anwendbar sein. Begreift man also etwa fiktiv

die Größe ( )yyEIxM als „Belastung“ eines Balkens, so ist das daraus berechnete „Biegemoment“

die gesuchte Biegelinie ( )xw des Balkens.

Eine Schwierigkeit bei dieser auf den Mechaniker Otto MOHR zurückgehenden Analogie ist durch die beiden unbekannten Integrationskonstanten 3C bzw. 4C in Gleichung (10.6.30) be-

dingt. Der „Ersatzbalken“ mit der Belastung ( )yyEIxM muss nämlich nicht den gleichen Randbe-

dingungen genügen, wie der eigentliche Balken. Betrachte zur Illustration den unter Gleich-streckenlast stehenden, einseitig eingespannten Kragträger aus Abb. 10.6.3. Zum Beispiel ist die Querkraft ( )xQ an der Stelle 0=x sicherlich nicht Null, die korrespondierende Größe Steigung w′ verschwindet dort jedoch aufgrund der festen Einspannung.

Man erkennt, dass zur Bestimmung der genannten Konstanten also stets ein anderes Ersatzsys-tem gesucht werden müsste. Dieser Schwierigkeit kann man jedoch wie folgt aus dem Wege

gehen: In der Gleichung für ( )xw ist der erste Teil, also das Integral ( ) xxEI

xMyy

d d∫ ∫− , die

durch die Krümmung vorgegebene Form der Biegelinie, welche von der Wahl der „Auflager“ nicht abhängt. Diese Krümmung kann damit auf jedes beliebige System aufgesetzt werden, das die Integration nicht stört, etwa Lager am Ende des Balkens. Der zweite Teil, also 43 CxC + , ist offenbar eine Gerade. In ihr werden die Randbedingungen des wirklichen Systems berück-sichtigt. Sie muss durch zwei Punkte (also zwei Lager) oder durch einen Punkt und eine Rich-tung (Einspannung) festgelegt werden. Die dazugehörige Linie ist die sogenannte Schlusslinie. Einfache Beispiele sollen das Vorgehen erläutern.

Otto MOHR (1835-1918) wurde in Wesselburen in Holstein geboren. Mit sechzehn Jahren besuchte er die Polytechnische Hochschule in Hannover und wurde nach seiner Graduierung Eisenbahningenieur in Hannover und Oldenburg. MOHR half mit, die ersten Stahltrassen für Schienenfahrzeuge in Deutschland zu planen und zu bauen. Im Alter von 32 Jahren war er ein wohlbekannter Ingenieur und wurde Professor am Stuttgarter Polytechnikum. Man sagt, dass MOHR auch ein ausgezeichneter Didakt war und seine Vorlesungen den Ingenieur-

134

nachwuchs begeisterten. Sein Schüler August FÖPPL, später selbst ein berühmter Mechaniker, spricht von MOHR als einem „Lehrer von Gottes Gnaden“. Und um TIMOSHENKO, einen weiteren Mechaniker, sprechen zu lassen: „The rea-son for his students’ interest in his lectures stemmed from the fact that he not only knew the subject thoroughly but had himself done much in the creation of the science which he presented.“ Im Jahre 1873 ging MOHR an die Technische Hochschule in Dresden, wo er bis zu seiner Emeritierung blieb.

10.6.6 Wahre Auflager und Ersatzlager sind identisch Betrachte die in Abbildung 10.6.7 dargestellte Situation eines durch Einzelkräfte belasteten Balkens auf zwei Stützen. Gesucht ist die Biegelinie, welche mit Hilfe der MOHRschen Analo-gie (näherungsweise) ermittelt werden soll.

In einem ersten Schritt wird mit den üblichen Methoden die wahre Momentenfläche ( )xM für dieses System ermittelt. Dieses ist noch nicht die Verteilung der Ersatzlast. Um diese zu erhal-ten, muss man noch durch den Faktor yyEI dividieren, der im vorliegenden Fall als konstant angenommen wird. Man erhält eine zur ursprünglichen Momentenfläche gestauchte, ähnliche Fläche.

Im Sinne der MOHRschen Analogie erinnert man sich nun, wie aus Querlasten Kräfte, also aus Krümmungen Neigungen werden. Die Lastverteilung ( )xq wurde durch Integration, also durch Vermessen der ausgefüllten Flächen (hier zwei Dreiecke und ein Trapez) zu einer äquivalenten Einzelkraft zusammengefasst, die im Schwerpunkt der entsprechenden Figur angesetzt wird. Dasselbe geschieht nun hier. Es entstehen fiktive Ersatzkräfte, genannt ( )aF , ( )bF und ( )cF , die sich physikalisch als Neigungswinkel oder, anders ausgedrückt, als Tangenten an die Bie-gelinie interpretieren lassen. Wie immer bei Winkeln sind sie im Bogenmaß anzugeben, d.h. sie sind einheitenfrei bzw. dimensionslos. Mit diesen Ersatzkräften bzw. Neigungswinkeln muss man nun die „Momentenfläche“ also die Durchbiegung ( )xw im Sinne einer Hüllkurve approximieren.

Dazu werden zuvor fiktive Auflager an den Enden des Ersatzbalkens eingeführt und, gemäß den Regeln des Kräfte- und Momentengleichgewichts, zwei Ersatzauflagerkräfte ( )AF und ( )BF errechnet. Damit lässt sich eine Ersatzmomentenfläche zeichnen, die wir nach unten abtragen (Berücksichtigung des Vorzeichens bei der Berechnung von ( )aM , ( )bM und ( )cM ), und welche es als Einhüllende erlaubt, die Biegelinie zu skizzieren. Die Ersatzmomen-te haben die Einheit einer Länge, und sie erlauben es, die Durchbiegung, also die Biegelinie, in Einheiten von Millimetern zu ermitteln.

Zu diesem Zweck gilt es noch, die korrekte Schlusslinie zu finden. Im vorliegenden Fall sind wahre Auflager und Ersatzauflager identisch. Die Schlusslinie ist die Horizontale durch die Punkte A und B .

135

( )aF ( )bF ( )cF

( )AF ( )BF

( )aM( )bM

( )cM

A B

1F 2F

a

( )xM

1M2M

EIM /1EIM /2

[ ]kNm

( ) EIxM /[ ]1/m

[ ]−

[ ]m

( )xw

Abb. 10.6.7: Ermittlung der Biegelinie mit Hilfe der MOHRschen Analogie

bei einem Balken auf zwei Stützen.

10.6.7 Schlusslinie als geneigte Gerade Betrachte die in Abbildung 10.6.8 dargestellte Situation.

Die Berechnung erfolgt bis zur Konstruktion der Schlusslinie analog zum vorherigen Beispiel. Die Schlusslinie ergibt sich aus der Forderung, dass die Verschiebung in den wahren Lagern verschwinden muss. Es resultiert eine ansteigende Gerade, gegenüber der die Durchbiegung, wie angedeutet, auszumessen ist. Rechts vom rechten Lager ist diese negativ, links davon po-sitiv.

136

a

( ) EIxM /[ ]1/m

( )aF ( )bF

( )AF ( )BF

( )aM

( )bM

( )xw

[ ]−

Fa/EI−

lF

[ ]m

fest

fest

A B

Abb. 10.6.8: Ermittlung der Biegelinie mit Hilfe der MOHRschen Analogie

bei einem Balken auf zwei Stützen.

10.6.7 Ein Zahlenbeispiel Wir untersuchen nun die in Abbildung 10.6.9 dargestellte Situation: Ein Balken ist am linken Ende in einer Wand eingespannt und wird mit Hilfe eines Kräftepaares belastet. Wir notieren für die Ersatzkräfte und –momente die nachfolgenden Werte. Aufgrund der Geometrie (Recht-ecks- bzw. Dreiecksfläche) ergibt sich:

( ) 3100,2 −⋅=aF , ( ) 31075,0 −⋅=bF . (10.6.31)

Kräfte- und Momentengleichgewicht am Ersatzträger erfordert, dass:

( ) ( ) 33 1064,110175,05,20,25,3

1 −− ⋅=⋅⋅+⋅=AF , (10.6.32)

( ) ( ) 33 1011,11064,175,00,2 −− ⋅=⋅−+=BF .

Für die Ersatzmomente folgt somit:

( ) mm64,1m11064,1 3 =⋅⋅= −aM , ( ) mm11,1m11011,1 3 =⋅⋅= −

bM . (10.6.33)

Einfache geometrische Überlegungen (Strahlensatz) liefern dann im Zusammenhang mit der eingezeichneten Schlusslinie die in der Abbildung eingetragenen Werte für die Durchbiegung am Ende.

137

( )bM( )aM

( )BF( )AF

( )bF( )aF

1m1,5m1m

( ) EIxM /

[ ]-3101/m ⋅

( )xM

0,1−

5,1−

1,5m2m

1kN

[ ]−

75,5Schlußlinie

[mm]

1kN

( )xw

[kNm]

A B

Abb. 10.6.9: Ermittlung der Biegelinie mit Hilfe der MOHRschen Analogie

bei einem eingespannten Balken.

10.6.8 Zusammenfassung: Auffinden der Biegelinie mit Hilfe der MOHR schen Analogie

Der Gang der Berechnung wird aus Abbildung 10.6.10 deutlich. Um den Gang der Rechnung nochmals zu wiederholen (zu den römischen Ziffern vergleiche die Abbildung):

• Für ein System mit gegebenen Lasten, vorgegebener Einspannung und gegebenenfalls abstuften Trägern (das „wahre“ System) ist die Biegelinie gesucht :Schritt (I).

• Zeichne die Momentenfläche des wahren Systems: Schritt (II).

• Zeichne die reduzierte Momentenfläche des wahren Systems, indem Du durch die lo-kalen Steifigkeiten yyEI dividierst. Zeichne Ersatzlager an die Trägerenden: Schritt (III).

• Berechne aus den Teilflächen der reduzierten Momentenfläche Ersatzlasten und setze diese in den Schwerpunkt der Teilflächen. Ermittle die Ersatzlagerkräfte für Ersatzla-ger an den Trägerenden unter Wirkung der Ersatzkräfte: Schritt (IV).

• Zeichne mit Hilfe aller Ersatzkräfte die Ersatzmomentenfläche, es entstehen Tangen-ten an die zukünftige Biegelinie. Konstruiere die Schlusslinie unter Berücksichtigung der wahren Lagerung: Schritt (V).

• Messe die Durchbiegung gegenüber der Schlusslinie aus.

138

Bemerkung: Die Ermittlung der Ersatzkräfte kann auch rein zeichnerisch erfolgen (etwa mit Hilfe des Seilecks). Merke außerdem, dass bei abgestuften Trägern die Ersatzmomentenfläche am Übergang zwischen den Steifigkeiten springt.

( )aF ( )bF ( )cF ( )dF

( )AF ( )BF

FA B

1EI 2EI 1EI

l

EIM /

1l

( )I

( )II

( )III

( )IV

( )V

(VI

Abb. 10.6.10: Ablauffolge bei der MOHRschen Analogie.

10.6.9 Ermittlung von Verformungen mit Hilfe des Superpositionsprin-zips

Mit Hilfe des im Rahmen der hier vorgestellten linearen Theorie erster Ordnung gültigen Su-perpositionsprinzips gelingt es, Biegelinien von Tragbalken zu finden, indem:

a) Lastfälle überlagert werden.

b) Systeme aneinandergefügt werden.

FF 0q0q

l

0qw

Fwα 0qα Fαw

8

20lq

= +

,0 Fq www += Fq ααα +=

0

139

Abb. 10.6.11: Auffinden von Biegelinien durch Superposition von Lastfällen.

F F

l

h hFhM =

1w1w hw ϕ=2hw ϕ=2

ϕ

= +

= +

Abb. 10.6.12: Auffinden von Biegelinien durch Superposition von Systemen.

Ein Beispiel zu beiden Arten von Problemen findet sich in den Abbildungen 10.6.11 und 10.6.12.

10.6.10 Schiefe Biegung (Begriff der Hauptträgheitsachsen) Es sei daran erinnert, dass bei der Berechnung der Durchbiegung dem Flächenträgheitsmoment

yyI eine fundamentale Rolle zukommt. Betrachte z.B. einen Rechteckquerschnitt, wie in Ab-bildung 10.6.13 dargestellt. Interessieren wir uns für die Durchbiegung um die eingezeichnete y -Achse, so ist für die Bestimmung der Biegelinie das Trägheitsmoment yyI maßgeblich, bei

Biegung um die z -Achse entsprechend das Flächenträgheitsmoment zzI . Beide Größen be-rechnen sich für Rechteckprofile wie folgt:

12

d3

2 bhAzIA

yy == ∫ , 12

d3

2 hbAyIA

zz == ∫ . (10.6.29)

Da sich die Maße b und h unterscheiden, sind auch beide Trägheitsmomente verschieden groß, und entsprechend resultiert bei gleicher Kraft eine unterschiedliche Durchbiegung. Be-trachten wir nun beliebige zueinander senkrecht stehende Biegeachsen, genannt ζ und η , die durch den Schwerpunkt S des Bauteiles laufen, siehe Abbildung 10.6.16.

z

z

b

h

ζ

S Sα yααsinx

y

z

y

ζη

η

η

Abb. 10.6.13: Zum Begriff der Hauptträgheitsachsen bei Rechteck-

und beliebigem Querschnitt.

140

Man kann analog zu den vorhergehenden Gleichungen Flächenträgheitsmomente um diese Achsen definieren, etwa so:

∫η=ζζA

AI d2 , ∫ ζ=ηηA

AI d2 (10.6.30)

Diese Trägheitsmomente werden sich natürlich je nach Winkelstellung α mehr oder weniger stark von den zuvor genannten Trägheitsmomenten yyI und zzI unterscheiden. Natürlich gibt es eine Winkelstellung, nämlich °90 , wo sie mit diesen übereinstimmen. Mehr noch, es wird eine Winkelstellung geben, unter der maximale bzw. minimale Werte für das Flächenträg-heitsmoment herauskommen, genannt minI und maxI . Die dazugehörigen Achsen werden Hauptträgheitsachsen des Querschnittes genannt.

Wenden wir uns wieder dem Rechteckquerschnitt zu. Ohne einen Beweis zu führen, erscheint es zumindest einleuchtend, dass es sich bei der x - bzw. der y -Achse um die Hauptträgheits-achsen dieses Profil handelt. Man darf allgemein feststellen:

Bei symmetrischen Querschnitten ist die Symmetrieachse eine Hauptträgheitsachse. Die Hauptträgheitsachsen stehen stets aufeinander senkrecht.

Ebenfalls ohne Beweis sei folgender Sachverhalt vermerkt. Definiere den sogenannten „Träg-heitsradius“ i zum Flächenträgheitsmoment I wie folgt:

AiI 2= . (10.6.31)

Insbesondere gilt somit im Fall des Rechteckprofils:

bA

IihA

Ii zz

zyy

y 121 ,

121= === (10.6.32)

Berechnet man nun in analoger Weise die Trägheitsradien αi für alle Winkel α und trägt die-selben unter α+°90 auf, so erhält man als Bild eine Ellipse, die sogenannte Trägheitsellipse: Abbildung 10.6.14.

α

αimini maxi

Abb. 10.6.14: Die Trägheitsellipse.

S

F F F F

S S S

'F

141

Abb. 10.6.15: Zum Begriff der geraden Biegung.

Wir klären als nächstes den Begriff der geraden Biegung. Hierunter versteht man den Fall, dass die Biegung aus Lasten resultiert, die in einer Hauptachse wirken. Die Abbildung 10.6.15 zeigt solche Fälle für verschiedene Querschnittsprofile.

yy

y y

α

αF

F

S SyF

z

z

z

zF

Abb. 10.6.16: Zum Begriff der schiefen Biegung

Bei der schiefen Biegung hingegen geht die Wirkungslinie der Last zwar weiterhin durch den Schwerpunkt des Trägers, allerdings ist sie unter einem Winkel α gegenüber einer der Haupt-achsen geneigt: Siehe Abbildung 10.6.16. Zur Berechnung der Spannungen und der Durchbie-gung zerlegen wir die Last in zu den Hauptträgheitsachsen parallele Komponenten und lassen dieselben in Richtung der Hauptachsen angreifen. In Abbildung 10.6.17 ist das Vorgehen für den in der Wand eingespannten Doppel-T-Träger aus Abbildung 10.6.16 illustriert. Man beachte zweierlei. Erstens: Die Gesamtspannungen werden durch Addition der Spannungen aus beiden Teilproblemen ermittelt, dabei sind die Vorzeichen zu berücksichtigen. Zweitens liegt die Nulllinie der Spannungen i.a. nicht senkrecht zur Lastrichtung.

Bei in y - und z -Richtung gleichgelagerten Systemen, also so wie hier z.B. beim eingespann-ten Doppel-T-Profil, lässt sich die gesamte Durchbiegung w durch vektorielle Addition der Durchbiegungen der in y - bzw. z -Richtung errechneten Teildurchbiegungen bestimmen: Ab-bildung 10.6.16. Man beachte, dass w senkrecht zur Spannungsnulllinie steht, d.h. ebenfalls nicht in Lastrichtung zeigt.

142

( )α= cosFFz

S

S

1

1

2

2

34

yF

oey y

zz

aa43 ,σσ

aa21 ,σσ

S

1 2

34

( )α= sinFFy

e

z

bb41 ,σσ bb

32 ,σσ

S

1 2

34

ba111 σ+σ=σba

111 σ+σ=σ

ba444 σ+σ=σ

ba333 σ+σ=σ

bb32 ,σσ

F

α

ϕ

yw

zww

4

Abb. 10.6.17: Berechnung der Biegespannungen beim durch schiefe Biegung belasteten Doppel-T-Träger