MA-1223Aljabar LinierRuang Eigen dan Diagonalisasi

Nilai Eigen dan Vektor EigenDefinisiMisalkan sebuah matriks Anxn dan x adalah vektor tak nol di Rn dan skalar merupakan skalar Rill sehingga memenuhi : A x = xdimana disebut nilai eigen sedangkan x disebut vektor eigenContohDiketahui matriks A = mempunyai vektor eigen x =yang bersesuaiandengan = -1. Kenapa?

Arti nilai eigen (Secara Geometri)Perhatikan A x = x, maka > 1, terjadi pembesaran vektor x 0

Cara mencari nilai eigenPerhatikan A x = x A x x = 0 (A I) x = 0 , dimana Inxn adalah matriks identitasKarena x adalah vektor tak nol, maka SPL Homogen ini akan punya solusi tak trivial jika dan hanya jika det(A-I)=0.det(A I)=0 adalah persamaan karakteristik . Nilai yang memenuhi persamaan tersebut disebut nilai eigen dari matriks A.

Cara mencari vektor eigenSetelah nilai eigen didapat, sebut saja . Vektor eigen yang bersesuaian dengan suatu nilai eigen tersebut merupakan vektor tak nol dalam ruang solusi dari SPL (A I) x = 0. Ruang solusi ini dinamakan ruang eigen dari A yang bersesuaian dengan nilai eigen .

Contoh:1. Diketahui Matriks A =Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari A!Tentukan basis ruang eigen A!2. Tentukan basis ruang eigen A =

DiagonalisasiDefinisi: Matriks kuadrat Anxn dikatakan dapat didiagonalkan (diagonalizable) jika terdapat matriks P yang mempunyai invers sehingga P1AP diagonal. Matriks P dinamakan matriks yang mendiagonalkan matriks A. Jika A adalah matriks nxn, maka pernyataan berikut ekivalen satu sama lain:A dapat didiagonalisasiA mempunyai n vektor eigen yang bebas linear

Langkah-langkah DiagonalisasiMisal Anxn, cara menentukan P:Tentukan n vektor eigen yang bebas linear, p1, p2, ,pnBentuk matriks P di mana vektor-vektor kolomnya adalah p1, p2, ,pnMatriks P akan mendiagonalkan A, yaitu P-1AP = D, di mana elemen diagonal dari matriks D adalah i, nilai eigen yang bersesuaian dengan pi

Diagonalisasi OrtogonalDefinisi: Matriks kuadrat Anxn dikatakan dapat didiagonalkan (diagonalizable) secara ortogonal jika terdapat matriks P sehingga PtAP (P-1AP) diagonal. Matriks P dinamakan matriks yang mendiagonalkan matriks A secara ortogonal. Jika A adalah matriks nxn, maka pernyataan berikut ekivalen satu sama lain:A dapat diagonalisasi ortogonalA mempunyai n vektor eigen yang ortonormalA adalah simetrik (A=At) Jika A matriks simetri,maka vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda akan ortogonal

Matriks SimetriDefinisi: Matriks A kuadrat kita namakan simetri jika A = At

Langkah-langkah Diagonalisasi OrtogonalMisal Anxn, cara menentukan P:Cari basis untuk masing-masing ruang eigen ATerapkan proses gram-schmidt ke masing-masing basis ini untuk mendapatkan basis ortonormal untuk setiap ruang eigen.Bentuk matriks P di mana vektor-vektor kolomnya adalah vektor-vektor basis yang dibangun dalam langkah 2, matriks ini akan mendiagonalkan A secara ortogonal

Penerapan Eigen pada Persamaan Diferensial

PendahuluanPada bagian ini kita telaah bagaimana memecahkan solusi sistem persamaan diferensial yang berbentuk Dimana y1=f1(x), y2=f2(x), , yn=fn(x) adalah fungsi yang akan ditentukan, dengan aij adalah konstanta-konstanta. Pada notasi matriks diatas dapat sebagai

atau secara lebih singkat Y = A Y

Langkah-langkah untuk memecahkan sistem Y =AYCari matriks P yang mendiagonalkan ABuatlah subtitusi Y = PU dan Y=PU untuk mendapatkan sistem diagonal yang baru U=DU, dimana D = P-1APPecahkan U = DUTentukan Y dari persamaan Y = PU

Contoh:Selesaikan sistem!y1 = y1 + y2 y2 = 4y1 2y2y1 = y1 + 4y2 y2 = 2y1 + 3y2y1 = y1 + 3y2 y2 = 4y1 + 5y2y1 = 4y1 + y3 y2 = 2y1 + y2 y3 = 2y1 + y3y1 = 4y1 + 2y2+ 2y3 y2 = 2y1 + 4y2+ 2y3 y3 = 2y1 + 2y2+ 4y3Pecahkan PD y y 6y=0 (Petunjuk: Misalkan y1=y, y2=y)Pecahkan PD y 6y+11y6y=0 (Petunjuk: Misalkan y1=y, y2=y, y3=y)} dengan kondisi awal y1(0) = 1, y2(0) = 6} dengan kondisi awal y1(0) = 0, y2(0) = 0} dengan kondisi awal y1(0) = 1, y2(0) = 1} dengan kondisi awal y1(0)=-1,y2(0)=1, y3(0)=0