ww

w.strobl-f.de/grund100.pdf

10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10Bogenma 10

Erklarung

Winkel konnen gemessen werden im Gradma (Vollwinkel = 360) oder im Bogenma (Voll-winkel = 2).

Letzteres hat seinen Namen daher, die Bogenlange, die der Winkel auseinem Kreis mit Radius 1 ausschneidet, als Ma fur den Winkel zu ver-wenden.

Wegen des Kreisumfangs 2r = 2 (fur r = 1) ist dementsprechend

360 = 2

&%'$

b

1

Beispiele fur Umrechnungen

Gradma Bogenma: 17 ist 17360

des Vollwinkels, also 17 = 17360 2.

Bogenma Gradma: 3

ist3

2=

1

6des Vollwinkels, also

3= 60.

Merke auswendig: 2

= 90.

Taschenrechner und Gradma/Bogenma

Bei Verwendung der trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan ist der Taschenrechner zu-vor je nach Bedarf auf Gradma oder Bogenma einzustellen (siehe Bedienungsanleitungdes Taschenrechners, bei manchen z. B. mit den Tasten MODE 4/MODE 5 oder durch wie-derholtes Drucken einer DRG-Taste). Im Display des Taschenrechners wird dies meist durchRAD beim Bogenma und DEG (oder nichts) beim Gradma angezeigt.

Beispiel: Im Gradma ist sin 45 = 12

2 0,71, im Bogenma sin

4= 1

2

2 0,71.

Wann Bogenma, wann Gradma?

Dies hangt naturlich von der Situation und der Aufgabenstellung ab. Sofern nichts anderesverlangt ist, kann man sich an folgenden Anhaltspunkten orientieren:

Geometrische Berechnungen an Dreiecken und Vierecken: Gradma.

Wenn das -Zeichen in der Aufgabenstellung vorkommt: Gradma.

Wenn in verwendeten Formeln oder der Aufgabenstellung vorkommt: Bogenma.

Beim Zeichnen von Funktionsgraphen, wenn nichts anderes verlangt ist: Bogenma.

In der Physik bei Formeln zur Kreisbewegung und zu Schwingungen, z. B.y = a sint: Bogenma.

ww

w.strobl-f.de/grund101.pdf

10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10Polynomdivision 01

Beispiel 1:(x3 4x2 + 10x 12)

Dividend

: (x 2) Divisor

Die Polynome werden wenn nicht schon geschehen nach fallenden Potenzen geordnet.Man beginnt mit der Division der hochsten Potenzen von Dividend und Divisor, hier alsox3 : x. Das Ergebnis (hier x2) schreibt man rechts vom Gleichheitszeichen an; dieses Ergeb-nis multipliziert man mit dem Divisor (hier also x2 (x 2) = x3 2x2) und notiert diesunter dem Dividenden.

Bis jetzt steht also da: (x3 4x2 + 10x 12) : (x 2) = x2 . . .x3 2x2

Da jetzt subtrahiert werden muss (hier(x3 2x2) = x3 + 2x2), istes zweckmaig, die Vorzeichen durchdaruberschreiben zu andern und dannzu rechnen:

(x3 4x2 + 10x 12) : (x 2) = x2 . . .x3 + 2x2

Man rechnet

4x2+2x2=2x2 nachste Stelle herunterholen

2x2 + 10x

Das Verfahren wird nun fortgesetzt(hochste Potenzen dividieren:2x2 : x = 2x anschreiben, dannmit Divisor multiplizieren: 2x x =2x2 und 2x (2) = +4x notie-ren), dann steht da:

(x3 4x2 + 10x 12) : (x 2) = x2 2x . . .x3 + 2x2 2x2 + 10x 2x2 + 4x

Wieder werden die Vorzeichen ge-andert, die entsprechende Rechnungdurchgefuhrt (hier 10x 4x = 6x),die nachste Stelle heruntergeholt undabermals das ganze Verfahren durch-gefuhrt, bis dasteht:

(x3 4x2+ 10x 12) : (x 2) = x2 2x+ 6x3 + 2x2 2x2 + 10x+ 2x2 4x

6x 12 6x+ 12

0

Bleibt Rest 0, so ist die Polynomdivision ist aufgegangen.

Beispiel 2: Division mit Rest(Den Vorzeichenwechsel moge der Leser mit Farbstift in den jeweils unterstrichenen Zeilen selbst vornehmen)

(2x5 + 6x4 x3 + 4x2 70) : (x+ 3) = 2x4 x2 + 7x 21 7x+ 3

2x5 + 6x4 0 x3 + 4x2 Man denke sich 0 x x3 3x2

7x2

7x2 + 21x 21x 70 21x 63

7 3

ww

w.strobl-f.de/grund102.pdf

10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10Gleichungen hoheren Grades 2

Beispiel: x4 4x2 2x = x3

1. Schritt: Gleichung nach 0 auflosen: x4 x3 4x2 2x = 02. Schritt: Falls die Konstante fehlt, x ausklammern: x(x3 x2 4x 2) = 0Das Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, also: x1 = 0 oder . . .

3. Schritt: x3 x2 4x 2 = 0Losung

erraten (siehe unten): x2 = 1

Polynomdivision durch

x minus Losung

( Grundwissen 10. Klasse: Polynomdivision; den dort er-

klarten Vorzeichenwechsel moge der Leser mit Farbstift in den

jeweils unterstrichenen Zeilen selbst vornehmen)

(x3 x2 4x 2) : (x+ 1) = x2 2x 2x3 + x2

2x2 4x2x2 2x

2x 2 2x 2

0Die Polynomdivision muss aufgehen, andernfalls hat man beim Raten der Losung oder beider Polynomdivision einen Fehler gemacht.

Also ist x3x24x2 = (x+1)(x22x2),und dieser Ausdruck ist 0, wenn x2 = 1 oderx2 2x 2 = 0 ist.

Das Verfahren (Losung erraten, Polynomdivision) wird so lange durchgefuhrt, bis sich eineGleichung ergibt, die mit einem Standardverfahren gelost werden kann (quadratische Glei-chung).

4. Schritt: Lose die quadratische Gleichung: x2 2x 2 = 0x3/4 = 1

1 + 2 = 1

3

Die Losungen sind also: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1 +

3, x4 = 1

3

Eine Gleichung n-ten Grades (hier 4. Grades) kann bis zu n Losungen haben.

Faktorzerlegung: x4 x3 4x2 2x = x(x+ 1)(x (1 +

3))(x (1

3))(Faktoren

x minus Losung; hier sieht man nochmal, dass das Produkt 0 ist, wenn einer der

Faktoren 0 ist)

Spezialfalle Mehrfache Losungen sind entsprechend zu kennzeichnen. Beispiel:

x3 + 4x2 11x+ 6 = 0 ()

x1 = 1. Polynomdivision (x3 + 4x2 11x+ 6) : (x 1) = x2 + 5x 6.x2/3 = 2,5

6,25 + 6, also x2 = 1, x3 = 6. Somit

x1/2 = 1 doppelte Losung, x3 = 6 einfache Losung,

Faktorzerlegungx3 + 4x2 11x+ 6 = (x 1)2(x+ 6)

Bleibt im 3. Schritt eine quadratische Gleichung ohne Losung, so ist keine weitereFaktorzerlegung moglich. Beispiel: x3 2x2 + x 2 = (x 2)(x2 + 1)

Zum Erraten einer LosungKandidaten sind die Teiler der Konstanten. In () kommen also 1, 2, 3, 6 in Frage.(Denn: Beim umgekehrten Ausmultiplizieren der Faktorzerlegung erkennt man, dass die Konstante das Produkt der Losungen ist).

In speziellen Situationen (z. B. Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen, Hinweise im Text einer Prufungsaufgabe) kann es vorkommen,

dass eine Losung schon bekannt ist.

ww

w.strobl-f.de/grund103.pdf

10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10Rechnen mit Potenzen 03

Bezeichnungen: ax heit Potenz, a Basis, x Exponent

Bedeutung: ax = a a . . . a x Stuck gleiche Faktoren

Allgemeine Rechenregeln:

Multiplizieren bei gleicher Basis: ax ay = ax+y. Beispiel: a2 a3 = a5

Multiplikation/Division bei gleichem Exponenten: ax bx = (ab)x; axbx

= (ab)x

Potenzen potenzieren: (ax)y = axy. Beispiel: (35)2 = 35 35 = 310

Negative Exponenten sagen:Ich stehe im Nenner: ax =

1

axBeispiel: ms1 = m

s

Umgekehrt ergeben sich oft bequeme Rechnungen, wenn man anstelle eines Nenners einenAusdruck mit negativem Exponenten schreibt: a

5

a2= a5 a2 = a3

Bruche als Exponenten sagen:Ich bin eine Wurzel: a

1n = na

Beispiele:x

12 =x

x32 = (x3)

12 =

x3 =

x2 x = x

x oder x

32 = (x

12 )3 =

xxx = x

x oder

x32 = x1+

12 = x1 x 12 = x

x

Umgekehrt lassen sich Wurzeln oft bequemer als Potenzen weiterverarbeiten, z. B.3a 6a

a=

a13 a

16 a

12 = a0 = 1

Vorsicht:

Summen/Differenzen (z. B. a5 a7) konnen nicht zusammengefasst werden.Sondern: Gemeinsame Faktoren ausklammern, eventuell binomische Formeln suchen,sonst stehen lassen. Beispiel: a5 a7 = a5(1 a2) = a5(1 + a)(1 a).

Bei Summen/Differenzen (z. B. (a+ b)3, (x 1) 14 ) nicht einzeln potenzieren!Sondern: Ausmultiplizieren (binomische Formeln): (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3,

oder zusammenfassen:[(x 1) 14 ]2

x 1= (x 1)

12 (x 1)

12 = (x 1)1 = 1

x1 ,

sonst stehen lassen.

Zehnerpotenzenverwendet man zur Angabe sehr groer oder sehr kleiner Zahlen (z. B. 103 = 1000 hat 3Nullen; 3,5 103 = 3,5 1

103= 0,0035: Kommaverschiebung um 3 Stellen).

Manche Taschenrechner zeigen Zehnerpotenzen im Display z. B. so an: 1,404 ; dies mussaber mit

10 hoch auf das Papier geschrieben werden: 1,4 104.

Umgekehrt: Eingabe einer Zehnerpotenz mit dem Taschenrechner: Meist Exp- oder EE-Taste. Beispiele:73 Millionen = 73 106 = 7,3 107: Tippe 7,3 Exp 71012 = 1 1012: Tippe 1 Exp 12 +/ (Display: 112 )Je nach Taschenrechner kann man die Anzeige von Zehnerpotenzen mit gewissen Tastenkombinationen andern,z. B. MODE 9 oder ENG oder FSE, siehe Bedienungsanleitung des Taschenrechners.

ww

w.strobl-f.de/grund104.pdf

10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10Losen von Gleichungen (10. Klasse) 04

In manchen Fallen sind zusatzliche Umformungen (z. B. Klammern ausmultiplizieren, Terme zusammenfassen)oder Substitutionen (bei mehrfachem Vorkommen eines Rechenausdrucks) erforderlich.

Typ Name Losungsverfahren Beispiel8 + 5x = 0 Linear xe auf eine Seite 5x = 8; x = 8

5

811x10x2 =5x

Quadrati-scheGleichung

Alles auf eine Seite;Formelx1/2 =

bb24ac

2a

10x2 + 16x 8 = 0x1/2 =

16

162410(8)210 ;

x1 = 2; x2 = 0,48 10x2 = 0 Rein-

quadratischNach x2 auflosen.0, 1 oder 2 Losungen!

x2 = 810

; x =

0,8

x2 = x2 2x Keine Kon-stante

Alles auf eine Seite;x ausklammern

2x2 2x = 0; x(2x 2) = 0;x1 = 0, x2 = 1

1x 2 = 5

8+5xBruch-gleichung

Mit HN multiplizieren.Definitionsmenge!

D = IR\{0;85};

8 + 5x 2x(8 + 5x) = 5x;x1 = 2, x2 = 0,4

x

1 x2 = 1 Wurzel-gleichung

Definitionsmenge!Wurzel isolieren;quadrieren; Probe!

1 x2 = x1;D = [1; 1]

1 x2 = x2 2x+ 1x1 = 0 pppppppppppppppppppp?; x2 = 1

Weitere Sonderformen und Genaueres siehe grund91.pdf10x4 + 6x3 24x2 + 8x = 0