1Γ ΜΑΘ 1.3 - to-frontistirio.grto-frontistirio.gr › wp-content › uploads › 2017 › 02 ›...

Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

α (β+γ)=α β+α γ. . .

∆=δ π+υ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑα +β<0x

Πολλές φορές συναντάμε γινόμενα των οποίων όλοι οι παράγοντες είναι ίσοι.

Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν έδρας κύβου και τον όγκο του, για διάφορες τιμές της ακμής του.

Ο κύβος είναι ένα γεωμετρικό

στερεό σώμα με επίπεδες επι-φάνειες που έχουν σχήμα τε-τραγώνου και λέγονται έδρες.

Ακμή είναι το ευθύγραμμο

τμήμα που ενώνει δύο έδρες.

Το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο Ε = α α. Επομένως, το εμβαδόν έδρας κύβου ακμής α δίνεται από τον τύπο Ε = α α.

Δυνάμεις φυσικών αριθμών 1.3

ακμή

ακμή

έδρα

Κεφάλαιο 1ο

4

Ο όγκος του κύβου είναι ίσος με το γινόμενο των ακμών που εκφράζουν το μήκος, το πλάτος και το ύψος του.

Επειδή οι ακμές του κύβου είναι ίσες μεταξύ τους, αυτό εκφράζεται σύντομα με τον τύπο: Ο (κύβου) = α α α (ή Vκύβου = α α α, όπου V ο διεθνής συμβολισμός του ό-

γκου (αρχικό της λέξης Volume = όγκος).

Εφαρμόζοντας τους τύπους υπολογισμού του εμβαδού έδρας και όγκου κύβου, βρί-σκουμε ότι:

Για ακμή α = 2 είναι: Ε = 2 2 = 4 τ.μ. και V = 2 2 2 = 8 κ.μ.

Για ακμή α = 3 είναι: Ε = 3 3 = 9 τ.μ. και V = 3 3 3 =27 κ.μ.

Για ακμή α = 4 είναι: Ε =4 4 = 16 τ.μ. και V = 4 4 4 = 64 κ.μ.

Για ακμή α = 5 είναι: Ε = 5 5 =25 τ.μ. και V = 5 5 5 = 125 κ.μ.

…………

Παρατηρούμε ότι, γενικά, για να υπολογίσουμε το εμβαδόν μιας έδρας κύβου (τετρα-γώνου), πολλαπλασιάζουμε δύο ίσους αριθμούς και για να υπολογίσουμε τον όγκο ενός κύβου πολλαπλασιάζουμε τρεις ίσους αριθμούς. Δηλαδή, υπολογίζουμε γινό-μενα αποτελούμενα από δύο και τρεις αντίστοιχα, ίσους παράγοντες.

Ας δούμε ένα ακόμη παράδειγμα....

Αναρωτηθήκατε ποτέ πόσοι είναι οι δυνατοί τετραψήφιοι κωδικοί pin ενός κινη-τού τηλεφώνου; Δεν είναι δύσκολο να τους υπολογίσουμε.

Έστω λοιπόν ένας τετραψήφιος κωδικός pin Α Β Γ Δ

Προφανώς, στη θέση Α μπορεί να μπει καθένας από τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, …,9 οι οποίοι είναι συνολικά 10.

Για κάθε μία από τις 10 αυτές επιλογές για τη θέση Α, υπάρχουν 10 επιλογές για τη θέση Β. Δηλαδή, μόνο για τα δύο πρώτα ψηφία υπάρχουν 10 10 = 100 επιλογές.

Πράγματι, αν στη θέση Α μπει το 0, υπάρχουν 10 επιλογές (0 -9) για τη θέση Β. Αν στη θέση Α μπει το 1, υπάρχουν 10 επιλογές (0 -9) για τη θέση Β, κ.ο.κ.

Οπότε όλες οι δυνατές περιπτώσεις είναι + + + = ⋅ =10 φορές

10 10 ... 10 10 10 100


5

Με την ίδια λογική, για κάθε μία από τις 100 δυνατές επιλογές για τις θέσεις Α και Β, υπάρχουν 10 επιλογές για τη θέση Γ. Δηλαδή, μόνο για τα τρία πρώτα ψηφία, υπάρ-χουν 10 10 10 = 100 10 = 1000 επιλογές.

Τελικά, επειδή για κάθε μία από τις 1000 δυνατές επιλογές για τις θέσεις Α, Β και Γ υπάρχουν 10 για τη θέση Δ, για ένα τετραψήφιο κωδικό pin υπάρχουν 10 10 10 10 = 1000 10 = 10000 επιλογές.

Και πάλι είχαμε να υπολογίσουμε ένα γινόμενο αποτελούμενο από 4 ίσους παράγο-ντες.

Θα μπορούσαμε να συνεχίζουμε να δίνουμε παραδείγματα στα οποία θα εμφανίζο-νταν γινόμενα οσωνδήποτε μεταξύ τους παραγόντων. Δεν θα είχε κάποιο ιδιαίτερο νόημα είμαστε σίγουροι αφενός ότι υπάρχουν και αφετέρου ότι μπορούμε να τα κα-τασκευάσουμε. Από έναν αριθμό παραγόντων και πέρα, είναι εύκολο να αντιληφθού-με τις δυσκολίες που θα συναντούσαμε για να τα γράψουμε (και κατόπιν, βέβαια, να τα υπολογίσουμε).

Τα μαθηματικά είναι γνωστό ότι διακρίνονται (ή αν προτιμάτε, πρέπει να διακρίνο-νται) από ακρίβεια, σαφήνεια, λιτότητα και κομψότητα στην έκφραση (στη μαθηματι-κή, όχι στη λεκτική ερμηνεία της). Αυτό απαιτεί και επιβάλλει την εκτεταμένη χρήση ορισμών και εννοιών, που συχνά συνοδεύονται και από τα αντίστοιχα σύμβολα. Το αποτέλεσμα είναι η μεγιστοποίηση των μαθηματικών εκφραστικών δυνατοτήτων, η οποία μπορεί ταυτόχρονα να γίνει δίκοπο μαχαίρι για όποιον δεν αποκωδικοποιεί σωστά όρους και σύμβολα (γι’ αυτό προσοχή και εγρήγορση!!!).

Στην περίπτωση ενός γινομένου ίσων παραγόντων, εισάγουμε την έννοια της δύνα-μης συνοδευόμενη από τον αντίστοιχο συμβολισμό.

Δηλαδή ν

ν φορές

α α α α...α= ⋅ ⋅14243

Το σύμβολο αν διαβάζεται επίσης «α στη νιοστή» ή «α στη ν».

Ονομάζουμε δύναμη με βάση το (φυσικό) αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό ν (ν > 1) και συμβολίζουμε με αν το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με α.


6

Ορίζουμε επιπλέον ότι α1 = α, για κάθε (φυσικό) α-ριθμό α (καθώς επίσης και α0 = 1, για κάθε α διά-φορο του μηδενός, όπως θα δούμε σε επόμενο κεφά-λαιο, προς το τέλος αυτής της χρονιάς).

Μπορεί να φαίνεται παράδοξος ο ορισμός των δυνάμεων α1 και α0, αφού για να έχουμε γινόμενο χρειαζόμαστε τουλάχιστον 2 παράγοντες!!! Καθώς όμως θα ε-μπλουτίζουμε τις γνώσεις μας πάνω στους αριθμούς, στις δυνάμεις και στις πρά-ξεις με αυτές, θα γίνει φανερή τόσο η αναγκαιότητα της συμπλήρωσης του ορι-σμού κατά τον τρόπο αυτό, όσο και η λογική του.

Μετά και την επέκταση του ορισμού της δύναμης για εκθέτη οποιονδήποτε φυ-σικό, προφανώς ισχύει: 1ν =1, για κάθε ν φυσικό. ∆ηλαδή όλες οι δυνάμεις του 1 είναι ίσες με 1.

Επίσης είναι: 0ν = 0, για κάθε φυσικό ν ≠ 0. ∆ηλαδή όλες οι (διάφορες της μηδενικής) δυνάμεις του 0 είναι ίσες με 0.

Το σύμβολο 00 δεν έχει νόημα (δεν ορίζεται η μηδενική δύναμη του μηδε-νός. Σε επόμενο κεφάλαιο, θα γίνει φανερό και το γιατί).

Ενδιαφέρον επίσης, παρουσιάζουν και οι δυνάμεις του 10. Είναι:

101 = 10 (1 μηδενικό)

102 = 10 10 = 100 (2 μηδενικά)

103 = 10 10 10 = 1000 (3 μηδενικά)

.....

και γενικά 10ν = 1000……………0

ν μηδενικά ∆ηλαδή:

Για να σχηματίσουμε μια οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε το 1, και δεξιά του τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης.

Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα γινόμενο ίσων παραγόντων, ακριβώς όπως το γινόμενο είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα άθροισμα ίσων προσθετέων.

Έτσι, η δύναμη ακ εκφράζει το γινόμενο κ παραγόντων ίσων με α, ενώ το γινό-μενο κ α εκφράζει το άθροισμα κ προσθετέων ίσων με α. ∆ηλαδή είναι:


7

κ

κ φορές

α α α...α α⋅ ⋅ =14243 , αλλά κ φορές

α α α... α κ α+ + + = ⋅1442443

Πρέπει λοιπόν να είμαστε πολύ προσεκτικοί και να μην τα μπερδεύουμε.

Πράγματι ένα πολύ συνηθισμένο λάθος που γίνεται κατά τον υπολογισμό δυνά-μεων είναι να πολλαπλασιάσουμε τη βάση με τον εκθέτη. Προσοχή λοιπόν!!!

Για παράδειγμα είναι: 43 = 4 4 4 = 64 ΠΟΤΕ 34 4 3 12= ⋅ =

Υπάρχει η περίπτωση ένα γινόμενο να αποτελείται από δύο ή και περισσότε-ρους διαφορετικούς παράγοντες που ο ένας τουλάχιστον επαναλαμβάνεται (τουλάχιστον δύο φορές). Τότε, το γινόμενο αυτό μπορεί να γραφεί ως γινόμενο αριθμού με δύναμη ή γινόμενο δυνάμεων. Για παράδειγμα:

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ 3

3 φορές4 5 5 5 4 5 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅3 5

5 φορές3 φορές6 6 6 2 2 2 2 2 6 2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅2 3 4 3 2

2 φορές 4 φορές3 φορές 3 φορές 2 φορές2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 2 3 4 5 6

Προφανώς, όπως μπορούμε να γράψουμε ένα γινόμενο ίσων παραγόντων με τη μορφή δύναμης, έτσι μπορούμε να αναλύσουμε μια δύναμη σε γινόμενο (ίσων) παραγόντων και να μπορέσουμε να την υπολογίσουμε. Για παράδειγμα:

73 =7 7 7 = 49 7 =343

45 = 4 4 4 4 4 =16 16 4 =256 4 = 1024

αφού, σύμφωνα με την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, μπο-ρούμε να αντικαταθιστούμε παράγοντες με το γινόμενό τους (ή να αναλύουμε ένα παράγοντα σε γινόμενο).

Ειδικά για τη δεύτερη και τρίτη δύναμη ενός αριθμού α (α2 και α3 αντίστοιχα) έχουν καθιερωθεί, επιπλέον, κάποιες ιδιαίτερες ονομασίες.

Κατά κανόνα, λοιπόν τη δύναμη α2 την αποκαλούμε α στο τετράγωνο (εκτός των ονομασιών «δεύτερη δύναμη» και «α στη δευτέρα»).

Η ονομασία αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι η δύναμη α2 εκφράζει το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α.

Θυμηθείτε: Το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο:

Ε = α α = α2


8

Λιγότερο συχνά, τη δύναμη α3 την αποκαλούμε «α στον κύβο» (εκτός των ονομασιών «τρίτη δύναμη» και «α στην τρίτη»).

Η ονομασία αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι η δύναμη α3 εκφράζει τον όγκο

κύβου πλευράς α .

Θυμηθείτε: Ο όγκος κύβου ακμής a δίνεται από τον τύπο: V = a a a = a3

♦ Αριθμητική παράσταση

π.χ. 3 · 42 – 8 : 2 + 5 · (7 + 3)– 9 (12 : 4 – 2) · 5 + 7 · (8 – 5)2 - 2

Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης ορίζεται μονοσήμαντα (δηλαδή σε κάθε α-ριθμητική παράσταση αντιστοιχεί μόνο μία τιμή). Επομένως, όταν υπολογίζουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης, οφείλουμε, εκτός από το να κάνουμε σωστά τις πράξεις, να τις κάνουμε και με μια συγκεκριμένη, προσυμφωνημένη σειρά, ώστε να καταλήγουμε όλοι πάντα στο ίδιο αποτέλεσμα.

Όπως ακριβώς, ο Κώδικας Οδικής Κυκλοφορίας ορίζει ποιο αυτοκίνητο έχει προ-τεραιότητα σε μια διασταύρωση ανάλογα με την περίπτωση (απουσία σήμανσης, ύπαρξη ειδικής σήμανσης, εισαγωγή σε κυκλική πορεία, κ.λπ.) έτσι για να υπολογί-σουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης εκτελούμε τις πράξεις σύμφωνα με την παρακάτω:

Τιμή της αριθμητικής παράστασης λέγεται το αποτέλεσμα που βρίσκουμε όταν εκτελέσουμε τις πράξεις που σημειώνονται.

Αριθμητική παράσταση είναι μια σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων (πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασια-σμού, διαίρεσης) και στην οποία πιθανόν να υπάρχουν και παρενθέσεις.


9

♦ Προτεραιότητα των πράξεων

Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρεν-θέσεις με την παραπάνω σειρά.

Πράξεις με την ίδια προτεραιότητα (πολλαπλασιασμοί – διαιρέσεις και προ-σθέσεις - αφαιρέσεις) γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά.

Όταν έχουμε μόνο προσθέσεις ή μόνο πολλαπλασιασμούς, μπορούμε να τις/ τους εκτελέσουμε με όποια σειρά θέλουμε, λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αντί-στοιχα.

Θα εκτελέσουμε τις πράξεις στις αριθμητικές παραστάσεις που αναφέραμε προη-γουμένως και θα υπολογίσουμε την τιμή τους. Θα ονομάσουμε την πρώτη αριθμητική παράσταση με Α και τη δεύτερη με Β.

Α = 3 · 42 – 8 : 2 + 5 · (7 + 3) – 9

= 3 · 42 – 8 : 2 + 5 · 10 – 9 Κάνουμε την πράξη της παρένθεσης

= 3 · 16 – 8 : 2 + 5 · 10 – 9 Υπολογίζουμε τη δύναμη: 42 = 4 · 4 = 16

= 48 – 4 + 50 – 9 Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις

= 44 + 50 – 9 Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις

= 94 – 9 με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά

= 85

Η τιμή της αριθμητικής παράστασης Α είναι 85

Δυνάμεις

Πολλαπλασιασμοί – διαιρέσεις

Προσθέσεις – αφαιρέσεις

1ο:

2ο:

3ο:


10

Β = (12 : 4 – 2) · 5 + 7 · (8 – 5)2 – 2

= (3 – 2) · 5 + 7 · (8 – 5)2 – 2 Κάνουμε πράξεις στις παρενθέσεις, πρώτα κάνουμε τη διαίρεση

= 1 · 5 + 7 · 32 – 2 και μετά τις αφαιρέσεις

= 1 · 5 + 7 · 9 – 2 Υπολογίζουμε τη δύναμη: 32 = 3 · 3 = 9

= 5 + 63 – 2 Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς

= 68 – 2 Κάνουμε την πρόσθεση

= 66 Κάνουμε την αφαίρεση

Η τιμή της αριθμητικής παράστασης Β είναι 66.

Να γίνουν οι πράξεις α) (2 · 3)2, β) (23)2

Πρώτα θα γίνουν οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις και έπειτα θα υ-πολογίσουμε τις δυνάμεις.

Λύση

Κάνουμε πρώτα τις πράξεις που είναι μέσα στις παρενθέσεις και έπειτα υπολογίζουμε τη δύναμη που προκύπτει:

α) (2 · 3)2 = 62 = 6 · 6 = 36

β) (23)2 = (2 · 2 · 2)2 = (4 · 2)2 = 82 = 8 · 8 = 64

1


11

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α = 15 : 3 + 23 · 5 – 42 : 8

Ακολουθούμε τη σειρά των πράξεων.

1. ∆υνάμεις

2. Πολλαπλασιασμοί - διαιρέσεις με τη σειρά από αριστερά προς δεξιά

3. Προσθέσεις - αφαιρέσεις με τη σειρά από αριστερά προς δεξιά.

Λύση

Α = 15 : 3 + 23 · 5 – 42 : 8

= 15 : 3 + 8 · 5 – 16 : 8 υπολογίζουμε πρώτα τις δυνάμεις: 23 = 2 ·2 ·2 = 4 · 2 = 8 και 42 = 4 · 4 = 16

= 5 + 40 – 2 κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις

= 45 – 2 κάνουμε την πρόσθεση

= 43 κάνουμε την αφαίρεση

2


12

Με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή τσέπης υπολογίστε τις παρακάτω δυνά-μεις:

112 =

1112 =

11112 =

Χωρίς τη βοήθεια του ηλεκτρονικού υπολογιστή τσέπης, μπορείτε να υπολογίσε-τε τις παρακάτω δυνάμεις;

111112 =

1111112 =

11111112 =

Η Λύση βρίσκεται στο τέλος του τεύχους.


13

Ονομάζουμε δύναμη με βάση το (φυσικό) αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθ-μό ν (ν > 1) και συμβολίζουμε με αν το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με α.

Δηλαδή ν

ν φορές

α α α α...α= ⋅ ⋅14243

Ορίζουμε επιπλέον ότι α1 = α, για κάθε (φυσικό) αριθμό α (καθώς επίσης και α0 = 1, για κάθε α διάφορο του μηδενός).

1ν =1, για κάθε ν φυσικό. Δηλαδή όλες οι δυνάμεις του 1 είναι ίσες με 1.

0ν = 0, για κάθε φυσικό ν ≠ 0. Δηλαδή όλες οι (διάφορες της μηδενικής) δυνά-μεις του 0 είναι ίσες με 0.

Το σύμβολο 00 δεν έχει νόημα (δεν ορίζεται η μηδενική δύναμη του μηδε-νός).

10ν = 1000……0

ν μηδενικά

Δηλαδή:

Για να σχηματίσουμε μια οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε το 1, και δεξιά του τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης.

Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα γινόμενο ίσων παραγόντων, ακριβώς όπως το γινόμενο είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα άθροισμα ίσων προσθετέων.

κ

κ φορές

α α α...α α⋅ ⋅ =14243 , αλλά κ φορές

α α α... α κ α+ + + = ⋅1442443

Τη δύναμη α2 την αποκαλούμε α στο τετράγωνο (εκτός των ονομασιών «δεύτε-ρη δύναμη» και «α στη δευτέρα»).

Τη δύναμη α3 την αποκαλούμε «α στον κύβο» (εκτός των ονομασιών «τρίτη δύ-ναμη» και «α στην τρίτη»).

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε


14

Αριθμητική παράσταση είναι μια σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων (πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, δι-αίρεσης) και στην οποία πιθανόν να υπάρχουν και παρενθέσεις.

Τιμή της αριθμητικής παράστασης λέγεται το αποτέλεσμα που βρίσκουμε όταν εκτελέσουμε τις πράξεις που σημειώνονται.

Προτεραιότητα πράξεων

Όταν εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση, πρέπει να τηρούμε την εξής σειρά:

1. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις

2. Εκτελούμε πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις

3. Εκτελούμε προσθέσεις και αφαιρέσεις.

Αν υπάρχουν παρενθέσεις εκτελούμε πρώτα τις πράξεις σ’ αυτές με την ίδια σει-ρά.

Όταν πρόκειται για πράξεις με την ίδια προτεραιότητα (προσθέσεις - αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις), τις εκτελούμε, από αριστερά προς τα δεξιά. Κατ’ εξαίρεση, όταν έχουμε μόνο προσθέσεις ή μόνο πολλαπλασιασμούς, μπορούμε να τις εκτελέσουμε με όποια σειρά θέλουμε, λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αντίστοιχα.


15

1. Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

i) Έστω α και ν φυσικοί με ν > 1. Το σύμβολο αν ονομάζεται……………… με ………………… α και ………………… ν και εκφράζει το ……………………………………………….

ii) Επεκτείνοντας τον ορισμό της δύναμης για εκθέτη οποιονδήποτε φυσικό διαφορετικό του μηδενός, ορίζουμε επιπλέον ότι: α1 = ……

iii) Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα ……………………… ίσων …………………………, ακριβώς όπως το γινόμενο είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα ……………………… ίσων ……………………….

iv) Συνηθίζουμε να αποκαλούμε τη δεύτερη δύναμη ενός αριθμού α «…………… …………………………… », επειδή το α2 εκφράζει ……………………………………….…………….

v) Η τρίτη δύναμη ενός αριθμού α αποκαλείται επίσης «………………………» επει-δή το α3 εκφράζει ………………………………………….

vi) Για να σχηματίσουμε οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε τη μονάδα και δεξιά της ………………………………………………………………… .

vii) Ισχύει: 1ν =……, για κάθε ν φυσικό και 0ν = …… για κάθε ν φυσικό ………………………………………… του μηδενός.

2. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της αριστερής στήλης με τα στοιχεία της δε-ξιάς.

3 3 3 2 2 ● ● 32 + 23

3 3 3 + 2 2 ● ● 2 32 + 3 22

3 3 + 3 2 2 ● ● 33 22

3 3 + 2 2 2 ● ● 32 + 3 22

3 3 2 2 2 ● ● 33 + 22

2 3 3 + 3 2 2 ● ● 32 23


16

3. Να συμπληρώσετε τα τετράγωνα με τους κατάλληλους αριθμούς, ώστε να ι-σχύουν οι ισότητες:

i) 105 + 7 104 + 102 + 3 =1 9 3

ii) 8 104 + 103 + 2 10 = 4 iii) 7 10 + 103 + 10 + 5 = 7 4 2

4. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις:

Σ Λ

i) Στη δύναμη 32 η βάση είναι το 2 και ο εκθέτης το 3 ii)

Ισχύει (5+1) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

25 -12

< 52 + 1

iii) Η δύναμη 84 εκφράζει το γινόμενο 4 παραγόντων ίσων με 8. iv) Κάθε αριθμός που τελειώνει σε ένα ή περισσότερα μηδενικά

μπορεί να γραφεί ως γινόμενο με παράγοντα μία τουλάχιστον δύναμη του 10.

v) Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να εκφράσουμε το άθροισμα ίδιων (ίσων) προσθετέων.


17

1. Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

i) Έστω α και ν φυσικοί με ν > 1. Το σύμβολο αν ονομάζεται δύναμη με βάση α και εκθέτη ν και εκφράζει το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με α.

ii) Επεκτείνοντας τον ορισμό της δύναμης για εκθέτη οποιονδήποτε φυσικό δια-φορετικό του μηδενός, ορίζουμε επιπλέον ότι: α1 = α.

iii) Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα γινόμενο ίσων πα-ραγόντων, ακριβώς όπως το γινόμενο είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα άθροισμα ίσων προσθετέων.

iv) Συνηθίζουμε να αποκαλούμε τη δεύτερη δύναμη ενός αριθμού α «α στο τε-τράγωνο», επειδή το α2 εκφράζει το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α.

v) Η τρίτη δύναμη ενός αριθμού α αποκαλείται επίσης «α στον κύβο» επειδή το α3 εκφράζει τον όγκο κύβου ακμής α.

vi) Για να σχηματίσουμε οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε τη μο-νάδα και δεξιά της τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης.

vii) Ισχύει: 1ν =1, για κάθε ν φυσικό και 0ν =0 για κάθε ν φυσικό διαφορετικό/ μεγαλύτερο του μηδενός.

2. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της αριστερής στήλης με τα στοιχεία της δεξιάς.

3 3 3 2 2 ● ● 32 + 23

3 3 3 + 2 2 ● ● 2 32 + 3 22

3 3 + 3 2 2 ● ● 33 22

3 3 + 2 2 2 ● ● 32 + 3 22

3 3 2 2 2 ● ● 33 + 22

2 3 3 + 3 2 2 ● ● 32 23


18

3. Να συμπληρώσετε τα τετράγωνα με τους κατάλληλους αριθμούς, ώστε να ισχύουν οι ισότητες:

i) 1 105 + 7 104 + 9 102 + 3 =1 7 0 9 0 3

ii) 8 104 + 4 103 + 2 10 =8 4 0 2 0

iii) 7 106 + 4 103 + 2 101 + 5 = 7 0 0 4 0 2 5

4. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις:

Σ Λ

i) Στη δύναμη 32 η βάση είναι το 2 και ο εκθέτης το 3 ii)

Ισχύει (5+1) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

25 -12

< 52 + 1

iii) Η δύναμη 84 εκφράζει το γινόμενο 4 παραγόντων ίσων με 8. iv) Κάθε αριθμός που τελειώνει σε ένα ή περισσότερα μηδενικά

μπορεί να γραφεί ως γινόμενο με παράγοντα μία τουλάχιστον δύναμη του 10.

v) Η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να εκφράσουμε το άθροισμα ίδιων (ίσων) προσθετέων.

Χ

Χ

Χ

Χ

Χ


19

Δραστηριότητα 1η

Από πόσα τετράγωνα αποτελούνται τα τέσσερα πρώτα σχήματα και από

πόσους κύβους τα επόμενα τρία;

Στα τέσσερα πρώτα σχήματα, κάθε γραμμή αποτε-λείται από τον ίδιο αριθμό τετραγώνων.

Επομένως, για να βρούμε από πόσα τετράγωνα α-ποτελείται κάθε σχήμα, αρκεί να πολλαπλασιάσου-με το πλήθος των τετραγώνων κάθε γραμμής με το πλήθος των γραμμών του σχήματος.

Στα τρία τελευταία σχήματα, κάθε σειρά αποτελεί-ται από τον ίδιο αριθμό κύβων.

Επομένως, για να βρούμε από πόσους κύβους απο-τελείται κάθε σχήμα, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το πλήθος των κύβων κάθε σειράς με το πλήθος των σειρών του σχήματος.


20

Το σχήμα 1 αποτελείται από δύο γραμμές κάθε μία από τις οποίες αποτελείται από δύο τετράγωνα. Συνεπώς, το σχή-μα (1) αποτελείται συνολικά από 2 2 =4 τετράγωνα (όπως μπορούμε εύκολα να επαληθεύσουμε μετρώντας τα).

Το σχήμα 2 αποτελείται από τρεις γραμμές κάθε μία από τις οποίες αποτελείται από τρία τετράγωνα. Συνεπώς, το σχήμα 2 αποτελείται συνολικά από 3 3 =9 τετράγωνα.

Το σχήμα 3 αποτελείται από τέσσερις γραμμές κάθε μία από τις οποίες αποτελείται από τέσσερα τετράγωνα. Συ-νεπώς, το σχήμα 3 αποτελείται συνολικά από 4 4 = 16 τετράγωνα.

Το σχήμα 4 αποτελείται από πέντε γραμμές κάθε μία από τις οποίες αποτελείται από πέντε τετράγωνα. Συνεπώς, το σχήμα 4 αποτελείται συνολικά από 5 5 = 25 τετράγωνα

Το σχήμα 5 αποτελείται από δύο σειρές (στρώσεις) κύβων. Κάθε σειρά κύβων αποτελείται από 2 2 =4 κύβους (αφού κάθε σειρά αποτελείται από 2 γραμμές με 2 κύβους η κάθε μία). Συνεπώς, το σχήμα 5 απο-τελείται συνολικά από 2 2 2 = 8 κύβους.

(5)

1η γραμμή

πλάτος

μήκος

ύψος

2η γραμμή

1η γραμμή 2η γραμμή 3η γραμμή

1η γραμμή2η γραμμή3η γραμμή4η γραμμή

1η γραμμή2η γραμμή3η γραμμή4η γραμμή5η γραμμή


21

Το σχήμα 6 αποτελείται από τρεις σειρές (στρώσεις) κύβων. Κάθε σειρά κύβων αποτελείται από 3 3 = 9 κύβους (αφού κάθε σειρά αποτελείται από 3 γραμ-μές με 3 κύβους η κάθε μία). Συνεπώς, το σχήμα 6 αποτελείται συνολικά από 3 3 3 = 27 κύβους

(6)

Το σχήμα 7 αποτελείται από τέσσερις σειρές (στρώσεις) κύβων. Κάθε σειρά κύβων αποτελείται από 4 4 = 16 κύβους (αφού κάθε σειρά αποτελείται από 4 γραμμές με 4 κύβους η κάθε μία). Συνεπώς, το σχήμα 7 αποτελείται συνολικά από 4 4 4 = 64 κύβους

(7)

Λαμβάνοντας ως μονάδα μέτρησης επιφά-

νειας το και ως μονάδα όγκου του προφανώς οι αριθμοί που βρήκαμε παραπά-νω εκφράζουν το εμβαδόν των σχημάτων (1) – (4) και τον όγκο των σχημάτων (5) – (7) , τα οποία είναι τετράγωνα και κύβοι αντίστοιχα.

∆ηλαδή, το εμβαδόν τετραγώνου είναι ίσο με το γινόμενο 2 ίσων αριθμών και ο όγκος του κύβου είναι ίσος με το γινόμενο 3 ίσων αριθμών. Γι’ αυτό, άλλωστε, και έχει επικρατήσει η δεύτερη δύνα-μη ενός αριθμού α να ονομάζεται και τετράγωνο του α και η τρίτη δύναμη ενός αριθμού α να ονομάζεται και κύβος του α.


22


Ο Κωστάκης, η Ρένα και ο Δημήτρης έκαναν τις πράξεις στην αριθμητική πα-ράσταση: 8 (2 3+4 6)+5 (7+7 9) + 10 και βρήκαν ο καθένας διαφορετικό απο-τέλεσμα. Ο Κωστάκης βρήκε 1.312, η Ρένα 600 και ο Δημήτρης 180.

Βρες ποιο από τα τρία αποτελέσματα είναι το σωστό.

Μπορείς να μαντέψεις με ποια σειρά έκανε ο καθένας τις πράξεις;

Διατύπωσε έναν κανόνα για την προτεραιότητα που πρέπει να τηρούμε, όταν κάνουμε πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση.

Από το δημοτικό γνωρίζουμε ότι στις αριθμητικές παρα-στάσεις, οι πράξεις γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά με μια ορισμένη σειρά:

α) πρώτα πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις και

β) μετά προσθέσεις και αφαιρέσεις.

Αν υπάρχουν παρενθέσεις, κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά.

Βρες ποιο από τα τρία αποτελέσματα είναι το σωστό.

Για να βρούμε ποιο από τα τρία αποτελέσματα είναι σωστό, πρέπει να εκτελέσουμε μόνοι μας τις πράξεις με τη σωστή σειρά. Στην αριθμητική παράσταση που δίνεται παρατηρούμε ότι υπάρχουν παρενθέσεις, πολλαπλασιασμοί και προσθέσεις.

Από το δημοτικό γνωρίζουμε ότι στις αριθμητικές παραστάσεις, οι πράξεις γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά με μια ορισμένη σειρά:

α) πρώτα πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις και

β) μετά προσθέσεις και αφαιρέσεις.

Αν υπάρχουν παρενθέσεις, κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά.


23

Όταν υπάρχουν μόνο προσθέσεις (ή μόνο πολλαπλασιασμοί) λόγω της αντιμεταθετι-

κής και της προσεταιριστικής ιδιότητας, της πρόσθεσης (αντίστοιχα, του πολλαπλασια-σμού) μπορούμε να τις εκτελέσουμε με ό-ποια σειρά θέλουμε.

Σε ό,τι αφορά πράξεις με την ίδια προτεραιότητα (πρόσθεση – αφαίρεση και πολλαπλασιασμός – διαίρεση) εργαζόμαστε από α-ριστερά προς τα δεξιά.

Μετά τις παραπάνω παρατηρήσεις, είμαστε έτοιμοι να υπολογίσουμε την τιμή της αριθμητικής παράστασης. Είναι:

( ) ( )8 2 3 4 6 5 7 7 9 10⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅

8 6 24 5 7 63 10⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= ⋅ + + ⋅ + +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς στις πα-

ρενθέσεις

8 30 5 70 10= ⋅ + ⋅ + Εκτελούμε τις προσθέσεις στις παρενθέσεις

240 350 10= + + Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς

590 10= + Εκτελούμε την πρώτη από αριστερά πρόσθεση

600= Εκτελούμε την πρόσθεση

Από τη στιγμή που έμειναν μόνο προσθέ-σεις, μπορούσαν να γίνουν με οποιαδήποτε σειρά (και όχι υποχρεωτικά από αριστερά προς τα δεξιά) λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας.


24

Μπορείς να μαντέψεις με ποια σειρά έκανε ο καθένας τις πράξεις;

Ο Κωστάκης

Ενώ ξεκίνησε, όπως έπρεπε, με τον υπολογισμό των παρενθέσεων, μέσα στις πα-ρενθέσεις δεν ακολούθησε τη σωστή σειρά των πράξεων. Δηλαδή, και στις δύο πα-ρενθέσεις, πρόσθεσε πρώτα τους αριθμούς που βρίσκονται αριστερά και δεξιά του «+» και κατόπιν εκτέλεσε τους πολλαπλασιασμούς.

Βέβαια, όταν δεν υπήρχαν πια παρενθέσεις, συνέχισε την εκτέλεση των πράξεων με τη σωστή σειρά, δηλαδή εκτέλεσε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και στο τέλος έκανε και τις προσθέσεις.

Ο Κωστάκης, δηλαδή, υπολόγισε αντί της αριθμητικής παράστασης που δίνεται την ακόλουθη:

( ) ( )8 2 3 4 6 5 7 7 9 10⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⋅

( ) ( )8 2 7 6 5 14 9 10= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + Υπολογίζουμε την παρένθεση που βρίσκεται σε καθεμιά από τις αγκύλες. Οι παρενθέσεις φεύγουν και οι αγκύλες γίνονται παρενθέσεις.

( )8 14 6 5 126 10= ⋅ ⋅ + ⋅ + Στην πρώτη (αριστερή) από τις παρενθέσεις, εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς, από αρι-στερά προς τα δεξιά.

8 84 5 126 10= ⋅ + ⋅ + Υπολογίζουμε και την τελευταία παρένθεση.

672 630 10= + + Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς

1302 10= + Εκτελούμε τις προσθέσεις από τα αριστερά προς τα δεξιά (βέβαια, όχι απαραιτήτως, έτσι, αφού, πλέον έχουμε μόνο προσθέσεις).

=1312 Εκτελούμε την τελευταία πρόσθεση

Ο Δημήτρης

Ο Δημήτρης αγνόησε εντελώς τις παρενθέσεις και εργάστηκε σαν να μην υπήρχαν. Υπολόγισε δηλαδή την αριθμητική παράσταση:

8 2 3 4 6 5 7 7 9 10⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅

16 3 24 35 63 10= ⋅ + + + + Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς

48 24 35 63 10= + + + + Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό που απέμεινε

=......

= 180

Εκτελούμε τις προσθέσεις με όποια σειρά θέλου-με, λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιρι-στικής ιδιότητας της πρόσθεσης.


25

Διατύπωσε έναν κανόνα για την προτεραιότητα που πρέπει να τηρούμε, όταν κάνουμε πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση.

Προφανώς, επειδή η δύναμη είναι ένας σύντομος τρόπος για να γράψουμε ένα γι-νόμενο ίσων παραγόντων (δηλαδή είναι σαν να έχουμε ένα γινόμενο σε παρέν-θεση) θα προηγείται σε σχέση με τον πολλαπλασιασμό ακριβώς όπως ο πολλα-πλασιασμός προηγείται σε σχέση με την πρόσθεση.

Συνοψίζοντας, όταν εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση, πρέ-πει να τηρούμε την εξής σειρά:


2. Εκτελούμε πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις

3. Εκτελούμε προσθέσεις και αφαιρέσεις.

Αν υπάρχουν παρενθέσεις εκτελούμε πρώτα τις πράξεις σ’ αυτές με την ίδια σειρά.

Όταν πρόκειται για πράξεις με την ίδια προτεραιότητα (προσθέσεις - αφαιρέ-σεις, πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις), τις εκτελούμε, από αριστερά προς τα δεξιά. Κατ’ εξαίρεση, όταν έχουμε μόνο προσθέσεις ή μόνο πολλαπλασια-σμούς, μπορούμε να τις εκτελέσουμε με όποια σειρά θέλουμε, λόγω της αντι-μεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης και του πολ-λαπλασιασμού αντίστοιχα.


26

Στον υπολογισμό μιας δύναμης πρέπει να ξεχωρίζουμε ποιος είναι ο ρόλος της βά-σης και ποιος του εκθέτη.

Η βάση μας δείχνει ποιος είναι ο παράγοντας του γινομένου που επαναλαμβά-νεται ενώ ο εκθέτης πόσες φορές επαναλαμβάνεται αυτός ο παράγοντας.

Για παράδειγμα στη δύναμη 53 ο αριθμός 5 είναι η βάση, δηλαδή ο παράγοντας του γινομένου και ο αριθμός 3 είναι ο εκθέτης που μας δείχνει ότι πρέπει να πάρουμε τον παράγοντα τρεις φορές.

Δηλαδή η δύναμη 53 γράφεται 5 · 5 · 5.

∆εν πρέπει ποτέ στον υπολογισμό μιας δύναμης να παίρνου-με το γινόμενο της βάσης με τον εκθέτη, δηλαδή η δύναμη αν δεν είναι ίση με α · ν.

Όταν έχουμε να υπολογίσουμε μία δύναμη του 10 γράφουμε τη μονάδα και δεξιά τόσα μηδενικά όσος είναι ο εκθέτης της δύναμης.

π.χ. 107 = 10.000.000 (ο εκθέτης είναι το 7 άρα γράφουμε επτά μηδενικά)

Όταν έχουμε να υπολογίσουμε μία δύναμη του 1 πρέπει να θυμόμαστε ότι οποιοσδήποτε και αν είναι ο εκθέτης, η δύναμη θα ισούται πάντα με 1.

Δηλαδή 1ν = 1, όπου ν οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός.

Αριθμητική παράσταση είναι ένα σύνολο αριθμών που συνδέονται με τις πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης.

Αν κάνουμε (σωστά) τις πράξεις σε μία αριθμητική παράσταση με τη σωστή σει-ρά, τότε θα βρούμε έναν αριθμό που λέγεται τιμή της παράστασης.

Προσοχή


27

Σε μία αριθμητική παράσταση πρώτα κάνουμε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις, αν υπάρχουν, με την κατάλληλη σειρά και ύστερα κάνουμε τις υπόλοιπες πρά-ξεις.

Η σειρά που ακολουθούμε είναι η εξής:

- πρώτα υπολογίζουμε τις δυνάμεις,

- έπειτα κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις, με τη σειρά από τ’ αριστερά προς τα δεξιά,

- στο τέλος κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις με τη σειρά, από τ’ αριστε-ρά προς τα δεξιά.


28

Να υπολογιστούν το τετράγωνο, ο κύβος, η τέταρτη, η πέμπτη και η έκτη δύναμη του αριθμού 10. Τι παρατηρείτε;

Νιοστή δύναμη του α ονομάζεται το γινόμενο α α α ... α, που έχει ν παράγοντες (ν ≥ 2) ίσους με το α (και συμβολίζε-ται με αν).

Τετράγωνο ενός αριθμού ονομάζεται η δεύτερη δύναμη του αριθμού.

Κύβος ενός αριθμού ονομάζεται η τρίτη δύναμη του αριθ-μού.

Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό επί 10, 100, 1000,.... γράφουμε στο τέλος του αριθμού τόσα μηδενικά όσα έχει κάθε φορά ο παράγοντας 10, 100, 1000.....

Σύμφωνα με τον ορισμό δύναμης αριθμού έχουμε:

102 = 10 10 α2 = α α (2 παράγοντες ίσοι με α)

= 100 για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10, αρκεί να συ-μπληρώσουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό.

103 = 10 10 10 α3 = α α α (3 παράγοντες ίσοι με α)

= 102 10 Εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασι-ασμού α α = α2

=100 10 10 2 = 100 (υπολογίστηκε προηγουμένως)

=1000 για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10, αρκεί να συ-μπληρώσουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό.

1.


29

104 = 10 10 10 10 α4 = α α α α ( 4 παράγοντες ίσοι με α)

=103 10 Εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολ-λαπλασιασμού α α α =α3

=1000 10 103 = 1000 (υπολογίστηκε προηγουμένως)

= 10000 για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10, αρκεί να συμπληρώσουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό.

105 = 10 10 10 10 10 α5 = α α α α α ( 5 παράγοντες ίσοι με α)

=104 10 Εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού α α α α = α4

= 10000 10 104 = 10000 ( υπολογίστηκε προηγουμένως)


106 = 10 10 10 10 10 10 α6 = α α α α α α

= 105 10 Εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα

= 100000 10 105 = 100000 (υπολογίστηκε προηγουμένως)


Παρατηρούμε ότι κάθε μία από τις δυνάμεις του 10 που υπολογίσαμε, έχει τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης.

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι: για να σχηματίσουμε μια οποιαδήποτε δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε το 1, και δεξιά του τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης.


30

Να εκτελεστούν οι πράξεις:

α) (2 5)4 + 4 (3 +2)2 β) (2 +3)3 - 8 32

Για να υπολογίσουμε την τιμή μιας αριθμητικής παρά-στασης, εκτελούμε τις πράξεις με την ακόλουθη σειρά:


2. Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις

3. Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις

Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πρά-ξεις στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά.

Ακολουθούμε τη σειρά των πράξεων:

α)

( ) ( )4 2

4 2

2 5 4 3 2

10 4 5

10000 4 25

10000 100

10100

⋅ + ⋅ +

= + ⋅

= + ⋅

= +

=

Εκτελούμε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις

Υπολογίζουμε τις δυνάμεις

Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς

Εκτελούμε την πρόσθεση

β)

( )3 2

3 2

2 3 8 3

5 8 3

125 8 9

125 72

53

+ − ⋅

= − ⋅

= − ⋅

= −

=

Εκτελούμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση

Υπολογίζουμε τις δυνάμεις 53 = 5 5 5= 125 και 32 = 3 3 = 9

Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό

Εκτελούμε την αφαίρεση

2.


31

Να γραφεί το ανάπτυγμα του αριθμού 7.604 με χρήση των δυνάμεων του 10.

Για να γράψουμε το ανάπτυγμα του αριθμού 7.604 με χρήση των δυνάμεων του 10, θα δηλώσουμε την αξία του κάθε ψη-φίου με:

1ο βήμα: Λέξεις

2ο βήμα: Αριθμούς

3ο βήμα: ∆υνάμεις του 10

(Πολλαπλασιαζόμενο πάντα με τον αριθμό κάθε ψηφίου).

Έχουμε τον αριθμό 7.604

Βήμα 1ο: Δηλώνουμε την αξία του κάθε ψηφίου, με λέξεις.

7 χιλιάδες + 6 εκατοντάδες + 0 δεκάδες + 4 μονάδες

Βήμα 2ο: Αντικαθιστούμε τις λέξεις με αριθμούς.

7 1000 + 6 100 + 0 10 + 4 1

Βήμα 3ο: Αντικαθιστούμε τους αριθμούς με δυνάμεις του 10.

7 103 + 6 102 + 0 101 + 4

Επειδή :

το 1000 έχει τρία μηδενικά, είναι: 1000 = 103

το 100 έχει δύο μηδενικά, είναι: 100 = 102

το 10 έχει 1 μηδενικό, είναι: 10 = 101

Η αναπτυγμένη μορφή σε δυνάμεις του 10 του αριθμού 7.604 είναι:

7 103 + 6 102 + 0 101 + 4

3.


32

Συμπλήρωσε στον πίνακα τα τετράγωνα και τους κύβους των αριθμών

α 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25

α2

α3

Τετράγωνο του αριθμού α ονομάζεται η δεύτερη δύναμη του α. Είναι: α2 = α α.

Κύβος του αριθμού α ονομάζεται η τρίτη δύναμη του α. Είναι: α3 = α α α.

Για α = 8

Υπολογίζουμε το τετράγωνο του 8 Υπολογίζουμε τον κύβο του 8

α2 = 82

= 8 8

= 64

α2 = α α

Κάνουμε τον πολ-λαπλασιασμό

α3 = 83

= 8 8 8

= 64 8

=512

α3 = α α α

Κάνουμε τους πολ-λαπλασιασμούς από αριστερά προς τα δεξιά.

1.


33

Για α = 9


α2 = 92

= 9 9

= 81

α2 = α α

Κάνουμε τον πολλα-πλασιασμό

α3 =93

= 9 9 9

= 81 9

=729

α3 = α α α


Για α = 10


α2 = 102

= 10 10

= 100

α2 = α α


α3 = 103

= 10 10 10

= 100 10

= 1.000

α3 = α α α


Για α = 11


α2 = 112

= 11 11

= 121

α2 = α α


α3 = 113

= 11 11 11

= 121 11

= 1331

α3 = α α α


Για α = 12


α2 = 122

= 12 12

= 144

α2 = α α


α3 = 123

= 12 12 12

= 144 12

= 1728

α3 = α α α



34

Για α = 13


α2 = 132

= 13 13

= 169

α2 = α α


α3 = 133

= 13 13 13

= 169 13

= 2.197

α3 = α α α


Για α = 14


α2 = 142

= 14 14

= 196

α2 = α α


α3 = 143

= 14 14 14

= 196 14

= 2.744

α3 = α α α


Για α = 15


α2 = 152

= 15 15

= 225

α2 = α α


α3 = 153

= 15 15 15

= 225 15

= 3.375

α3 = α α α


Για α = 16


α2 = 162

= 16 16

= 256

α2 = α α


α3 = 163

= 16 16 16

= 256 16

= 4.096

α3 = α α α



35

Για α = 17


α2 = 172

= 17 17

= 289

α2 = α α


α3 = 173

= 17 17 17

= 289 17

= 4.913

α3 = α α α


Για α = 18


α2 = 182

= 18 18

= 324

α2 = α α


α3 = 183

= 18 18 18

= 324 18

= 5.832

α3 = α α α


Για α = 19


α2 = 192

= 19 19

= 361

α2 = α α


α3 = 193

= 19 19 19

= 361 19

= 6.859

α3 = α α α


Για α = 20


α2 = 202

= 20 20

= 400

α2 = α α


α3 = 203

= 20 20 20

= 400 20

= 8.000

α3 = α α α



36

Για α = 25


α2 = 252

= 25 25

= 625

α2 = α α


α3 = 253

= 25 25 25

= 625 25

= 15.625

α3 = α α α


Συμπληρώνουμε τον πίνακα:

α 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25

α2 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 625

α3 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859 8000 15625

Γράψε με τη μορφή των δυνάμεων τα γινόμενα:

α) 5 5 5 5 5 5 β) 8 8 8 8 8 8 6 6 6 γ) 1 1 1 1 1 1

δ)α α α α ε) x x x στ) 2 2 2 2 α α α

Για να γράψουμε με τη μορφή δύναμης ένα γινόμενο ίδιων παραγόντων, γράφουμε ως βάση της δύναμης τον ίδιο παράγοντα και ως εκθέτη της δύναμης το πλήθος των ίδιων παραγόντων.

Εάν το γινόμενο αποτελείται από τουλάχιστον δύο διαφορετικούς παράγοντες που επαναλαμβάνονται, εργαζόμαστε για καθέναν από αυτούς όπως περι-γράψαμε και πολλαπλασιάζουμε τις δυνάμεις.

α) 5 5 5 5 5 5

Πρόκειται για ένα γινόμενο 6 ίδιων παραγόντων ίσων με το 5. Επομένως:

2.


37

Βάση της δύναμης είναι ο επαναλαμβανόμενος (ίδιος) παράγοντας, δηλαδή το 5.

Εκθέτης της δύναμης είναι ο αριθμός που εκφράζει το πλήθος των ίδιων παραγό-ντων, δηλαδή το 6.

Συνεπώς είναι: ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 6

6 παράγοντες ίσοι με 55 5 5 5 5 5 5

β) 8 8 8 8 8 8 6 6 6

Θα εφαρμόσουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, για να γράψουμε με τη μορφή δύναμης καθένα από τα γινόμενα ίδιων (ίσων) παραγό-ντων που απαρτίζουν το γινόμενο που δίνεται. Είναι:

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅6 3

6 παράγοντες ίσοι με 8 3 παράγοντες ίσοι με 68 8 8 8 8 8 6 6 6 8 6

γ) 1 1 1 1 1 1

Πρόκειται για ένα γινόμενο 6 ίδιων παραγόντων ίσων με το 1. Επομένως:

Βάση της δύναμης είναι ο επαναλαμβανόμενος (ίδιος) παράγοντας, δηλαδή το 1.


Συνεπώς είναι: ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 6

6 παράγοντες ίσοι με 11 1 1 1 1 1 1

δ) α α α α

Πρόκειται για ένα γινόμενο 4 ίδιων παραγόντων ίσων με το α. Επομένως:

Βάση της δύναμης είναι ο επαναλαμβανόμενος (ίδιος) παράγοντας, δηλαδή το α.


Συνεπώς είναι: ⋅ ⋅ ⋅ = 4

4 παράγοντες ίσοι με αα α α α α

ε) x x x

Πρόκειται για ένα γινόμενο 3 ίδιων παραγόντων ίσων με το x. Επομένως:

Βάση της δύναμης είναι ο επαναλαμβανόμενος (ίδιος) παράγοντας, δηλαδή το x.


38


Συνεπώς είναι: ⋅ ⋅ = 3

3 παράγοντες ίσοι με xx x x x

στ) 2 2 2 2 α α α

Θα εφαρμόσουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, για να γράψουμε με τη μορφή δύναμης καθένα από τα γινόμενα ίδιων (ίσων) παραγό-ντων που απαρτίζουν το γινόμενο που δίνεται. Είναι:

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅4 3

4 παράγοντες 3 παράγοντες ίσοι με 2 ίσοι με α

2 2 2 2 α α α 2 α

Υπολόγισε τις δυνάμεις: 21, 22 , 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210.

Θα εφαρμόσουμε τον ορισμό. Είναι:

14243ν

ν παραγοντες

α α α α...α= ⋅ ⋅ , για ν > 1.

Επιπλέον, ορίζουμε α1 = α, για κάθε α φυσικό.

Υπολογίζουμε τις δυνάμεις:

21 =2 εξ ορισμού είναι α1 = α, για κάθε α φυσικό. 22 2 2 4= ⋅ = 32 2 2 2= ⋅ ⋅ = 22 2 4 2 8⋅ = ⋅ =

42 2 2 2 2= ⋅ ⋅ ⋅ = 32 2 8 2 16⋅ = ⋅ = 52 2 2 2 2 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 42 2 16 2 32= ⋅ = ⋅ = 62 2 2 2 2 2 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 52 2 32 2 64= ⋅ = ⋅ = 72 2 2 2 2 2 2 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 62 2 64 2 128⋅ = ⋅ = 82 2 2 2 2 2 2 2 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 72 2 128 2 256⋅ = ⋅ =

3.


39

92 2 2 2 2 2 2 2 2 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 82 2 256 2 512⋅ = ⋅ = 102 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 92 2 512 2 1024= ⋅ = ⋅ =

Βρες τα τετράγωνα των αριθμών: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 και 90.

Τετράγωνο ενός αριθμού ονομάζεται η δεύτε-ρη δύναμη του αριθμού. Αφού εφαρμόσουμε τον ορισμό της δύναμης (α2 = α α), θα αναλύσου-με καθέναν από τους ίσους παράγοντες του γι-νομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10. Κα-τόπιν εφαρμόζοντας την αντιμεταθετική και προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, θα ομαδοποιήσουμε τους ίδιους παράγοντες, για να εκμεταλλευτούμε τις γνωστές δυνάμεις του 10.


Αφού εφαρμόσουμε τον ορισμό της δύναμης (α2 = α α), θα αναλύσουμε καθέναν από τους ίσους παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10.

102 = 10 10 α2 = α α

=100 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 10 συμπλη-ρώνουμε στο τέλος του αριθμού ένα μηδενικό.

202 = 20 20 α2 = α α

=2 10 2 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10.

=2 2 10 10 εφαρμόζουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα.

4.


40

= 4 100 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα.

= 400 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 100 συ-μπληρώνουμε στο τέλος του αριθμού δύο μηδενικά.

302 = 30 30 α2 = α α





402 = 40 40 α2 = α α





502 = 50 50 α2 = α α





602 = 60 60 α2 = α α




41



702 = 70 70 α2 = α α





802 = 80 80 α2 = α α





902 = 90 90 α2 = α α






42

Βρες τους κύβους των αριθμών: 10, 20, 30, 40, 50.

Κύβος ενός αριθμού ονομάζεται η τρίτη δύ-ναμη του αριθμού. Αφού εφαρμόσουμε τον ο-ρισμό της δύναμης (α3 = α α α), θα αναλύ-σουμε καθέναν από τους ίσους παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10. Κατόπιν με πολλαπλές εφαρμογές της α-ντιμεταθετικής και προσεταιριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού, θα ομαδοποιήσουμε τους ίδιους παράγοντες, για να εκμεταλλευτού-με τις γνωστές δυνάμεις του 10.


Αφού εφαρμόσουμε τον ορισμό της δύναμης (α3 = α α α), θα αναλύσουμε καθέναν από τους ίσους παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10.

103 = 1000 Για να υπολογίσουμε μια δύναμη του 10, αρκεί να γράψουμε το 1 και δεξιά του τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης.

203 = 20 20 20 α3 = α α α

= 2 10 2 10 2 10 αναλύουμε καθέναν από τους (ίσους) παράγοντες του γινομένου σε γινόμενο με παράγοντα το 10.

= 2 2 2 10 10 10 εφαρμόζουμε πολλαπλά την αντιμεταθετική ιδιότητα για να ομαδοποιήσουμε τους ίσους παράγοντες.

= 4 2 103 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα, α α α =α3.

= 8 1000 εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. Υπολογί-ζουμε τη δύναμη 103 = 1000

= 8000 Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 1000, συμπληρώνουμε στο τέλος του αριθμού 3 μηδενικά.

5.


43

303 = 30 30 30 α3 = α α α





= 27000 για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 1000, συμπληρώνουμε στο τέλος του αριθμού 3 μηδενικά.

403 = 40 40 40 α3 = α α α






503 = 50 50 50 α3 = α α α







44

Κάνε τις πράξεις: α) 3 52, β) 3 52+2, γ) 3 52+22, δ) 3 5+22, ε) 3 (5+2)2.

Για να υπολογίσουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστα-σης, εκτελούμε τις πράξεις με την ακόλουθη σειρά:





α) ( )23 5 3 5 5⋅ = ⋅ ⋅ Αναλύουμε τη δύναμη σε γινόμενο παραγόντων για να

την υπολογίσουμε. Η παρένθεση μπαίνει για να υποδεί-

ξει ότι προηγείται ο πολλαπλασιασμός που εκφράζει τον

υπολογισμό της δύναμης.

3 25= ⋅ Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό στην παρένθεση

75= Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό

β) 3 52+2 = 3 (5 5) + 2 Αναλύουμε τη δύναμη σε γινόμενο παραγόντων για

να την υπολογίσουμε. Η παρένθεση μπαίνει για να

υποδείξει ότι προηγείται ο πολλαπλασιασμός που

εκφράζει τον υπολογισμό της δύναμης.

= 3 25 + 2 Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό στην παρένθεση

= 75 + 2 Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό

= 77 Εκτελούμε την πρόσθεση

γ) 3 52+22 =3 (5 5)+2 2 Αναλύουμε τις δυνάμεις σε γινόμενο παραγόντων

για να την υπολογίσουμε. Η παρένθεση μπαίνει για

να υποδείξει ότι προηγείται ο πολλαπλασιασμός

που εκφράζει τον υπολογισμό της δύναμης.

6.


45

= 3 25 + 4 Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς που εκφρά-

ζουν τον υπολογισμό των δυνάμεων

= 75 + 4 Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό


δ) 3 5 +22=3 5+ 2 2 Αναλύουμε τη δύναμη σε γινόμενο παραγόντων για

να την υπολογίσουμε.

= 15 + 4 Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς


ε) 3 (5 +2)2=3 72 Εκτελούμε την πρόσθεση στην παρένθεση

= 3 ( 7 7) Αναλύουμε τη δύναμη σε γινόμενο παραγόντων για

να την υπολογίσουμε. Η παρένθεση μπαίνει για να

υποδείξει ότι προηγείται ο πολλαπλασιασμός που

εκφράζει τον υπολογισμό της δύναμης.

= 3 49 Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό στην παρένθεση

= 147 Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό

Η ανάλυση της δύναμης σε γινόμενο παρα-γόντων για τον υπολογισμό της (και ο υπο-λογισμός της) πρέπει να γίνεται στο «πρό-χειρο» και να αντικαθίσταται η δύναμη απ’ ευθείας με το αποτέλεσμά της.

Επειδή, στη λύση της άσκησης, μπήκε ως ενδιάμεσο βήμα για κα-λύτερη κατανόηση και εμπέδωση, όπου χρειαζόταν, μπήκε σε πα-ρένθεση ώστε να προηγηθεί η εκτέλεση του πολλαπλασιασμού που αφορά στον υπολογισμό της δύναμης, (αφού έτσι πρέπει σύμ-φωνα με την προτεραιότητα των πράξεων) παρότι λόγω της προ-σεταιριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού δε θα διαφοροποι-ούσε το αποτέλεσμα η μη χρήση παρένθεσης.


46

Κάνε τις πράξεις: α) 32+33+23+24, β) (13-2)4

+ 5 32.






= ⋅ ⋅ ⋅ ≥ν

ν παράγοντεςα α α .... α, ν 2

Σύμφωνα με την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλα-σιασμού μπορούμε να αντικαθιστούμε παράγοντες με το γινόμενό τους (ή να αναλύουμε ένα παράγοντα σε γινόμε-νο).

Ομοίως, σύμφωνα με την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης μπορούμε να αντικαθιστούμε προσθετέους με το άθροισμά τους (ή να αναλύουμε ένα προσθετέο σε άθροισμα).

α) 2 3 3 43 3 2 2+ + +

3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ Αναλύουμε τις δυνάμεις σε γινόμενο

παραγόντων για να τις υπολογίσουμε

9 9 3 4 2 4 4= + ⋅ + ⋅ + ⋅ Μπορούμε να αντικαθιστούμε παράγο-

ντες με το γινόμενό τους (προσεταιρι-

στική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού)

9 27 8 16= + + + Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς

36 24= + Μπορούμε να αντικαθιστούμε προσθε-

τέους με το άθροισμά τους (προσεται-

ριστική ιδιότητα της πρόσθεσης)

60= Εκτελούμε την πρόσθεση

7.


47

β) ( )4 213 2 5 3− + ⋅

4 211 5 3= + ⋅ Εκτελούμε την αφαίρεση στην παρένθεση

( )11 11 11 11 5 3 3= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ Αναλύουμε τις δυνάμεις σε γινόμενο παραγό-

ντων για να τις υπολογίσουμε. Η παρένθεση

μπαίνει για να υποδείξει ότι προηγείται ο πολ-

λαπλασιασμός που εκφράζει τον υπολογισμό

της δύναμης

121 121 5 9= ⋅ + ⋅ Μπορούμε να αντικαθιστούμε παράγοντες με

το γινόμενό τους (προσεταιριστική ιδιότητα του

πολλαπλασιασμού). Εκτελούμε τον πολλα-

πλασιασμό στην παρένθεση.

14641 45= + Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς

14686= Εκτελούμε την πρόσθεση.

Βρες τις τιμές των παραστάσεων: α) (6+5)2 και 62+52, β) (3+6)2 και 32+62. Τι παρατηρείς;

Για να υπολογίσουμε την τιμή μιας αριθμητικής πα-ράστασης, εκτελούμε τις πράξεις με την ακόλου-θη σειρά:


2. Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαι-ρέσεις


Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά.

8.


48

α) ( )2

2

6 5

11

11 11

121

+

=

= ⋅

=

ενώ 2 26 5

6 6 5 5

36 25

61

+

= ⋅ + ⋅

= +

=

Εκτελούμε την πρόσθεση στην παρένθεση

Αναλύουμε τη δύναμη σε γινόμενο σύμφωνα με τον ορισμό α2 = α α.


Αναλύουμε τις δυνάμεις σε γινόμενο σύμφωνα με τον ορισμό α2 = α α.



β) ( )2

2

3 6

9

9 9

81

+

=

= ⋅

=

ενώ 2 23 6

3 3 6 6

9 36

45

+

= ⋅ + ⋅

= +

=

Εκτελούμε την πρόσθεση στην παρένθεση

Αναλύουμε τη δύναμη σε γινόμενο σύμφωνα με τον ορισμό α2 = α α.


Αναλύουμε τις δυνάμεις σε γινόμενο σύμφωνα με τον ορισμό α2 = α α.



Όπως διαπιστώνουμε και από τα παραπάνω παρα-δείγματα είναι:

(α+β)2≠ α2 + β2

Όπως όμως θα μάθουμε σε επόμενο κεφάλαιο, για τον πολλαπλασιασμό, ισχύει η ιδιότητα:

(α β)2 = α2 β2


49

Γράψε πιο σύντομα τα παρακάτω αθροίσματα και γινόμενα:

α) α + α+ α β) α α α γ) x +x +x +x δ) x x x x

Το άθροισμα k (ίδιων) προσθετέων ίσων με α εκ-φράζεται από το γινόμενο κ α. Δηλαδή:

+ + + = ⋅κ προσθετέοι

α α .... α κ α

Το γινόμενο κ (ίδιων) παραγόντων ίσων με α εκ-φράζεται από τη δύναμη ακ. Δηλαδή: ⋅ ⋅ ⋅ = κ

κ παράγοντεςα α .... α α

α) α +α +α

Πρόκειται για το άθροισμα 3 (ίδιων) προσθετέων ίσων με α.

Το άθροισμα 3 (ίδιων) προσθετέων ίσων με α εκφράζεται από το γινόμενο 3 α. Συνεπώς είναι: α + α + α =3 α.

β) α α α

Πρόκειται για το γινόμενο 3 (ίδιων) παραγόντων ίσων με α.

Το γινόμενο 3 (ίδιων) παραγόντων ίσων με α εκφράζεται από τη δύναμη α3. Συνεπώς είναι: α α α = α3.

γ) x + x + x + x

Πρόκειται για το άθροισμα 4 (ίδιων) προσθετέων ίσων με x.

Το άθροισμα 4 (ίδιων) προσθετέων ίσων με x εκφράζεται από το γινόμενο 4 x. Συνεπώς είναι: x + x + x + x = 4x.

9.


50

δ) x x x x

Πρόκειται για το γινόμενο 4 (ίδιων) παραγόντων ίσων με x.

Το γινόμενο 4 (ίδιων) παραγόντων ίσων με x εκφράζεται από τη δύναμη x4. Συνεπώς είναι: x x x x = x4.

Γράψε τους αριθμούς: α) 34.720 β) 123.654 γ) 890.650 σε αναπτυγμένη μορφή με τη χρήση των δυνάμεων του 10.

Για να γράψουμε το ανάπτυγμα ενός αριθμού με χρήση των δυνάμεων του 10, θα δηλώσουμε την αξία του κάθε ψηφίου με:

1ο βήμα: Λέξεις

2ο βήμα: Αριθμούς

3ο βήμα: ∆υνάμεις του 10

(Πολλαπλασιαζόμενο πάντα με τον αριθμό κάθε ψηφίου).

α) 34.720 Βήμα 1ο: Δηλώνουμε την αξία κάθε ψηφίου με λέξεις.

3 δεκάδες χιλιάδες +4 χιλιάδες + 7 εκατοντάδες + 2 δεκάδες + 0 μονάδες.

Βήμα 2ο:Αντικαθιστούμε τις λέξεις με αριθμούς

3 10.000 + 4 1000 + 7 100 + 2 10 + 0 1

Βήμα 3ο: Αντικαθιστούμε τους αριθμούς με δυνάμεις του 10:

3 104 + 4 103 + 7 102 + 2 101

Επειδή:

το 10.000 έχει τέσσερα μηδενικά άρα είναι: 10.000 = 104

το 1.000 έχει τρία μηδενικά άρα είναι 1000= 103

το 100 έχει δύο μηδενικά, άρα είναι 100 = 102

το 10 έχει ένα μηδενικό άρα είναι 10= 101.

10.


51

β) 123.654 Βήμα 1ο: Δηλώνουμε την αξία κάθε ψηφίου με λέξεις

1 εκατοντάδα χιλιάδες + 2 δεκάδες χιλιάδες + 3 χιλιάδες + 6 εκατοντάδες + 5 δεκάδες + 4 μονάδες.

Βήμα 2ο: Αντικαθιστούμε τις λέξεις με αριθμούς

1 100.000 + 2 10000 + 3 1000 + 6 100 + 5 10 + 4 1


1 105 + 2 104 + 3 103 + 6 102 +5 101 + 4 1

Επειδή:

το 100.000 έχει πέντε μηδενικά άρα είναι: 100.000 = 105





γ) 890.650

Βήμα 1ο: Δηλώνουμε την αξία κάθε ψηφίου με λέξεις.

8 εκατοντάδες χιλιάδες + 9 δεκάδες χιλιάδες + 0 χιλιάδες + 6 εκατοντά-δες + 5 δεκάδες + 0 μονάδες.

Βήμα 2ο: Αντικαθιστούμε τις λέξεις με αριθμούς

8 100.000 + 9 10.000 + 0 1000 + 6 100 + 5 10 + 0 1


8 105 + 9 104 + 0 103 + 6 102 +5 101 + 0

Επειδή:

το 100.000 έχει πέντε μηδενικά άρα είναι: 100.000 = 105





Το γινόμενο 0 103 που ισούται με μηδέν (0) καθώς και το τελευταίο μηδενικό παραλείπονται.


52

Όπως είπαμε και στη θεωρία και θα αναφερ-θεί και σε επόμενο κεφάλαιο του σχολικού βιβλίου, είναι: 100 = 1, οπότε αν ο αριθμός που θέλουμε να γράψουμε σε αναπτυγμένη μορφή με τη χρήση των δυνάμεων του 10 έχει κ μονάδες, αυτές μπορούν να γραφούν με χρήση δύναμης του 10: κ 100.

Αντιστοίχισε τα αποτελέσματα που υπάρχουν στο δεύτερο πίνακα με το εξαγόμενο των πράξεων κάθε γραμμής του πρώτου πίνακα.

(1+2) (3 + 4) 20

1 (2+3 4) 21

(1 2+3) 4 9

1+(2+3) 4 14

Για να αντιστοιχίσουμε το σωστό αποτέλεσμα θα πρέπει να υπολογίσουμε τις αριθμητικές παραστάσεις του πρώτου πίνακα.






11.


53

( ) ( )1 2 3 4

3 7

+ ⋅ +

= ⋅

21=

Εκτελούμε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις (κάνουμε τις προ-

σθέσεις)


( )

( )

1 2 3 4

1 2 12

1 14

14

⋅ + ⋅

= ⋅ +

= ⋅

=

Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό μέσα στην παρένθεση



( )

( )

1 2 3 4

2 3 4

5 4

20

⋅ + ⋅

= + ⋅

= ⋅

=

Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό μέσα στην παρένθεση



( )1 2 3 4

1 5 4

1 20

21

+ + ⋅

= + ⋅

= +

=




Έχουμε την αντιστοίχιση:

(1+2) (3 + 4) 20

1 (2+3 4) 21

(1 2+3) 4 9

1+(2+3) 4 14


54

Αντιστοίχισε τα αποτελέσματα που υπάρχουν στο δεύτερο πίνακα με την αριθμητική παράσταση κάθε γραμμής του πρώτου πίνακα.

2 + 2 2 150

3 + 3 3 68

4 + 4 4 4 16

5 + 5 5 + 5 5 6

5 5 + 5 5 5 12

4 + 4 4 - 4 55

Για να αντιστοιχίσουμε το σωστό αποτέλεσμα θα πρέπει να υπολογίσουμε τις αριθμητικές πα-ραστάσεις του πρώτου πίνακα.

Για να υπολογίσουμε την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης, εκτελούμε τις πράξεις με την ακό-λουθη σειρά:




2 2 2

2 4

6

+ ⋅

= +

=



3 3 3

3 9

12

+ ⋅

= +

=



12.


55

4 4 4 4

4 16 4

4 64

68

+ ⋅ ⋅

= + ⋅

= +

=




5 5 5 5 5

5 25 25

30 25

55

+ ⋅ + ⋅

= + +

= +

=




5 5 5 5 5

25 25 5

25 125

150

⋅ + ⋅ ⋅

= + ⋅

= +

=




4 4 4 4

4 16 4

20 4

16

+ ⋅ −

= + −

= −

=



Εκτελούμε την αφαίρεση

Έχουμε την αντιστοίχιση:

2 + 2 2 150

3 + 3 3 68

4 + 4 4 4 16

5 + 5 5 + 5 5 6

5 5 + 5 5 5 12

4 + 4 4 - 4 55


56


Χρησιμοποίησε μόνο τα σύμβολα των πράξεων: + και και τις παρενθέσεις «(« και «)» για να συμπληρώσεις τις γραμμές ώστε να προκύψουν σωστές ισότη-τες.

1 2 3 4 = 13

1 2 3 4 = 14

1 2 3 4 = 15

1 2 3 4 = 36

Αρχικά βρίσκουμε ποια αθροίσματα (ή ποια γινόμενα, σε περίπτωση που το αποτέλεσμα είναι σύνθετος α-ριθμός), δύο αριθμών μας δίνουν το επιθυμητό αποτέ-λεσμα και στη συνέχεια προσπαθούμε να βρούμε αν υπάρχει τρόπος να καταλήξουμε στους αριθμούς αυ-τούς ακολουθώντας τις οδηγίες της άσκησης.

1 2 3 4 = 13

Το 13 δεν μπορεί να προκύψει ως γινόμενο (είναι πρώτος αριθμός). Επομένως πρέπει να είναι άθροισμα που περιλαμβάνει τουλάχιστον ένα γινόμενο (αφού 1 + 2 +3 +4 = 10 < 13)

Είναι: 13= 1+ 12, αλλά δεν υπάρχει τρόπος με τη χρήση των συμβόλων «+», «-» και παρενθέσεων από τους αριθμούς 2, 3, 4 να προκύψει το 12


57

Είναι: 13 =2 +11 αλλά αν 1 2 =2 από τους αριθμούς 3 και 4 δεν προκύπτει το 11.

Είναι: 13= 3+10 αλλά αν 1+ 2= 3 από τους αριθμούς 3 και 4 δεν προκύπτει το 10.

Είναι: 13= 4+9 =9 + 4

Παρατηρούμε ότι: (1+2) 3 = 3 3 = 9

οπότε: (1 +2) 3 + 4 = 13 είναι η ζητούμενη λύση.

Συνεχίζοντας τη διερεύνηση όπως προηγουμένως καταλήγουμε ότι η λύση αυτή είναι μοναδική.

1 2 3 4 = 14

Το 14 μπορεί να γραφεί ως γινόμενο ως εξής: 2 7 = 14. Εύκολα λοιπόν πα-ρατηρούμε ότι μπορούμε να καταλήξουμε στο γινόμενο αυτό ως εξής:

(1 2) (3 +4) = 2 7 = 14

Στη συγκεκριμένη περίπτωση υπάρχει και δεύτερη λύση, αν γράψουμε το 14 ως άθροισμα γινομένων. Είναι: 14 = 2 + 12, αλλά 1 2 = 2 και 3 4 = 12. Ε-πομένως : 1 2 + 3 4 = 14

Η πρώτη παρένθεση θα μπορούσε να παρα-ληφθεί, χωρίς να αλλάξει το αποτέλεσμα. Μπαίνει, απλά, για να «δημιουργηθεί» ο πα-ράγοντας 2.

Το 14 μπορεί να γραφεί ως γινόμενο και ως εξής: 1 14 =14. Στο γινόμενο αυτό μπορούμε να καταλήξουμε ως εξής:

1 ( 2+ 3 4) = 1 (2 + 12) = 1 14 =14

1 2 3 4 = 15

Το 15 μπορεί να γραφεί ως γινόμενο των αριθμών 3 και 5. Αλλά, ενώ 1 + 2 =3, από τους 3 και 4 δεν μπορεί να προκύψει το 5. (Το 15 μπορεί να γραφεί και ως γινόμενο των αριθμών 1 και 15, αλλά το 15 δεν μπορεί να προκύψει μόνο από τους αριθμούς 2, 3 και 4).

Επομένως, το 15 πρέπει να γραφεί ως άθροισμα δύο προσθετέων, εκ των ο-ποίων, τουλάχιστον ο ένας οφείλει να είναι γινόμενο. Είναι: 1 + 14 =15.


58

Με τη βοήθεια και της προηγούμενης ισότητας βρίσκουμε:

1 + 2 (3+4) = 1 + 2 7 = 1 + 14 = 15

1 + (2 + 3 4) =1 + (2+12)= 1 + 14 = 15

Επιπλέον είναι: 3 + 12 =15, το οποίο μπορούμε εύκολα να σχηματίσουμε ως ε-ξής:

(1 + 2) + 3 4 =3 + 12 =15

(και πάλι η παρένθεση μπορεί να παραληφθεί, χωρίς να αλλάζει κάτι στο αποτέ-λεσμα).

Σκεπτόμενοι ανάλογα, εύκολα διαπιστώνουμε ότι δεν υπάρχει άλλη λύση.

1 2 3 4 = 36

Επειδή το 36 είναι αρκετά μεγάλο για να προκύψει ως άθροισμα, θα αναζητή-σουμε τη λύση στις αναλύσεις του 36 σε γινόμενο παραγόντων. Είναι: 1 36 =36, που απορρίπτεται, αφού από τους αριθμούς 2, 3, 4 δε μπορεί να προκύψει το 36.

Είναι: 2 18 = 36, που απορρίπτεται αφού αν 1 2 = 2, το 18 δε μπορεί να προ-κύψει από τους αριθμούς 3 και 4.

Είναι: 3 12 = 36.

Εύκολα βρίσκουμε ότι: (1 + 2) (3 4) = 3 12 = 36

Η δεύτερη παρένθεση μπορεί να παραληφθεί χωρίς να αλλάξει το αποτέλε-σμα. Απλά υποδεικνύει τον προσεταιρισμό των παραγόντων του γινομένου.

Η παράλειψη της δεύτερης παρένθεσης θα μας οδηγούσε στο γινόμενο:

(1 + 2) 3 4 = 3 3 4 = 9 4 = 36

αν εκτελούσαμε τους πολλαπλασιασμούς από τα αριστερά προς τα δεξιά.

Τέλος, το γινόμενο 6 6 = 36 δε μπορεί να σχηματιστεί από τους αριθμούς που έχουμε.


59


Συμπληρώστε τα μαγικά τετράγωνα.

20 18 26 1 3 9 18 36 72

17 27 25 23 18 24

14

Ένα τετράγωνο είναι μαγικό όταν το άθροισμα των αριθ-μών κάθε γραμμής, στήλης και διαγωνίου είναι το ίδιο.

Σε κάθε μαγικό τετράγωνο, θα υπολογίσουμε αρχικά το «μαγικό» κοινό άθροισμα από τη συμπληρωμένη γραμμή, στήλη ή διαγώνιο.

Στη συνέχεια, θα εντοπίζουμε, κάθε φορά, μια γραμμή, στήλη ή διαγώνιο που να της λείπει μόνο ο ένας από τους τρεις αριθμούς και θα τον υπολογίζουμε αφαιρώ-ντας από το «μαγικό» άθροισμα, το άθροισμα των δύο άλλων. Θα τον συμπληρώνουμε στο μαγικό τετράγωνο και θα συνεχίζουμε τη διαδικασία μέχρι να συμπληρω-θούν όλοι οι αριθμοί που λείπουν.

1ος πίνακας

ΣΤΗΛΕΣ

1 2 3

20 18 1

17 2

14 3 ΓΡΑΜΜΕΣ

Από τη συμπληρωμένη διαγώνιο υπολογίζουμε το κοινό άθροισμα οριζοντίως, καθέτως και διαγωνίως. Είναι: 20 + 17 + 14 = 51 («μαγικό» άθροισμα).


60

Μπορούμε τώρα να συμπληρώσουμε το τετράγωνο της 3ης στήλης. Είναι: 18+14 =32 51-32 =19

Οπότε στην τρίτη στήλη θα βάλουμε το 19.

Εφόσον βρήκαμε το 19 προσθέτουμε το 17 και το 19 της 2ης γραμμής:

17 + 19 =36

Αφαιρούμε από το 51 και έχουμε το άγνωστο τετραγωνάκι: 51 - 36 =15

Προσθέτουμε τους αριθμούς στην 1η στήλη: 20 + 15 =35

Αφαιρούμε από το 51 το 35: 51 -35 = 16

Προσθέτουμε τους αριθμούς στην 3η γραμμή 16 +14 =30

Αφαιρούμε από το 51 το 30 και έχουμε 51 - 30 =21

Προσθέτουμε τους αριθμούς στην 1η γραμμή και έχουμε 20 +18 =38

Αφαιρούμε από το 51 το 38 51 -38 =13

Συμπληρώνουμε το τετράγωνο

20 13 18

15 17 19

16 21 14


ΣΤΗΛΕΣ

1 2 3

26 1

27 25 23 2

3 ΓΡΑΜΜΕΣ

Προσθέτουμε τους αριθμούς στη 2η γραμμή για να βρούμε το «μαγικό» άθροισμα


61

27 +25 + 23 =75

Προσθέτουμε τους αριθμούς στην 1η στήλη 26 +27 =53

Αφαιρούμε από το 75 το 53 75-53=22

Προσθέτουμε τους αριθμούς στη διαγώνιο που ξεκινάει από τη 1η στήλη και έ-χουμε: 26 + 25 =51

Αφαιρούμε από το 75 το 51 = 24

Προσθέτουμε τους αριθμούς στην 3η γραμμή 22 +24 =46

Αφαιρούμε από το 75 το 46 75 -46 =29

Προσθέτουμε τους αριθμούς στη 2η στήλη και έχουμε: 25 +29 =54

Αφαιρούμε από το 75 το 54 και έχουμε 75 -54 =21

Προσθέτουμε τους αριθμούς στην 3η στήλη και έχουμε 23 +24 =47

Αφαιρούμε από το 75 το 47 και έχουμε: 75 -47 =28

Συμπληρώνουμε τον πίνακα

26 21 28

27 25 23

22 29 24


ΣΤΗΛΕΣ 1 2 3 1 3 9 1

18 2

3 ΓΡΑΜΜΕΣ

Προσθέτουμε τους αριθμούς στη 1η γραμμή 1 +3 +9 =13. Το τετράγωνο δεν είναι μαγικό επειδή στη 2η γραμμή υπάρχει ο αριθμός 18 ο οποίος υπερβαίνει το 13.


62

Στο τετράγωνο αυτό μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι για τους αριθμούς της 1ης γραμμής ισχύει:

3 = 3 1 και 9 = 3 3

δηλαδή ότι καθένας από τους δύο «τελευταίους» αριθμούς της γραμμής αυτής είναι τριπλάσιος του προηγούμενού του.

Επιπλέον είναι: 18 = 2 9,

δηλαδή ο αριθμός που βρίσκεται ακριβώς κάτω από το 9 είναι διπλάσιός του.

Με αυτή τη λογική, θα μπορούσαμε να συμπληρώσουμε το μαγικό τετράγωνο ως εξής:

δηλαδή, να συμπληρώσουμε τη 2η γραμμή με τα 2πλάσια των αριθμών της 1ης γραμμής και την 3η γραμμή με τα 2πλάσια των αριθμών της 2ης γραμμής.

Βέβαια, κατ’ αυτόν τον τρόπο το τετράγωνο που προκύπτει σε καμία περίπτω-ση δεν είναι μαγικό. Έχει όμως την ιδιότητα ότι σε κάθε γραμμή του, καθένας από τους δύο τελευταίους «αριθμούς» είναι τριπλάσιος του προηγούμενού του και σε κάθε στήλη, καθένας από τους δύο τελευταίους αριθμούς είναι διπλάσι-ος του προηγούμενού του.

1 3 9

2 6 18

4 12 36


ΣΤΗΛΕΣ 1 2 3


63

18 36 72 1

24 2

3 ΓΡΑΜΜΕΣ

Προσθέτουμε τους αριθμούς στη 1η γραμμή έχουμε: 18+36 +72 =126 (μαγικό άθροισμα)

Προσθέτουμε τους αριθμούς στην 3η στήλη έχουμε: 72+24 =96

Αφαιρούμε από το 126 το 96 και έχουμε: 126 -96 =30

Προσθέτουμε τους αριθμούς στη διαγώνιο από την 1η στήλη έχουμε: 18 +30 =48

Αφαιρούμε από το 126 το 48 και έχουμε 126 -48 =78

Προσθέτουμε τους αριθμούς στη 2η γραμμή έχουμε: 78 +24 =102

Αφαιρούμε από το 126 το 102 και έχουμε: 126 - 102 = 24

Προσθέτουμε τους αριθμούς στην 1η στήλη έχουμε 18 +24 =42

Αφαιρούμε από το 126 το 42 και έχουμε 126-42=84

Προσθέτουμε τους αριθμούς στη 2η στήλη έχουμε 36 + 78 =114

Αφαιρούμε από το 126 το 114 και έχουμε 126 - 114 =12

Συμπληρώνουμε το τετράγωνο

18 36 72

24 78 24

84 12 30


64

Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, μπο-ρούμε να παρατηρήσουμε ότι για τους αριθμούς της 1ης γραμμής ισχύει:

36 = 2 18 και 72 = 2 36

δηλαδή ότι καθένας από τους δύο «τελευταίους» αριθμούς της γραμμής αυτής είναι διπλάσιος του προηγούμενού του.

Επιπλέον είναι: 24 = 72: 3,

δηλαδή ο αριθμός που βρίσκεται ακριβώς κάτω από το 72 προκύπτει από τη διαίρεση του 72 με το 3.

Και πάλι με αντίστοιχη λογική θα μπορούσαμε να συμπληρώσουμε το μαγικό τετράγωνο ως εξής:

δηλαδή, να συμπληρώσουμε τη 2η γραμμή με τα πηλίκα που προκύ-πτουν από τη διαίρεση των αριθμών της 1ης γραμμής με το 3 και την 3η γραμμή με τα πηλίκα που προκύπτουν από τη διαίρεση των αριθμών της 2ης γραμμής με το 3.

Και πάλι, κατ’ αυτόν τον τρόπο το τετράγωνο που προκύπτει σε καμία περίπτωση δεν είναι μαγικό. Έχει όμως την ιδιότητα ότι σε κάθε γραμμή του, καθένας από τους δύο τελευταίους «αριθμούς» είναι διπλάσιος του προηγούμενού του και σε κάθε στήλη, καθένας από τους δύο τελευταί-ους αριθμούς προκύπτει από τη διαίρεση του προηγούμενού με το 3.

18 36 72

6 12 24

2 4 8


65

Λυμένες ασκήσεις

εκτός βιβλίου

1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω δυνάμεις:

α) (4 – 2)3 β) (4 + 2)3 γ) (4 · 2)3

Πρώτα θα γίνουν οι πράξεις μέσα στις παρεν-θέσεις και έπειτα θα υπολογίσουμε τις δυνά-μεις, (θα αναλύσουμε τις δυνάμεις σύμφωνα με τον ορισμό και θα εκτελέσουμε τους πολλα-πλασιασμούς από αριστερά προς τα δεξιά).

α) (4 – 2)3 = 23 = 2 · 2 · 2 = 4 · 2 = 8 Εκτελούμε την πράξη στην παρένθεση, αναλύ-ουμε τη δύναμη σε γινόμενο βάση του ορισμού και το υπολογίζουμε εκτελώντας τους πολλα-πλασιασμούς από τα αριστερά προς τα δεξιά.

β) (4 + 2)3 = 63 = 6 · 6 · 6 = 36 · 6 = 216 Εκτελούμε την πράξη στην παρένθεση, αναλύ-ουμε τη δύναμη σε γινόμενο βάση του ορισμού και το υπολογίζουμε εκτελώντας τους πολλα-πλασιασμούς από τα αριστερά προς τα δεξιά.

γ) (4 · 2)3 = 83 = 8 · 8 · 8 = 64 · 8 = 512 Εκτελούμε την πράξη στην παρένθεση, αναλύ-ουμε τη δύναμη σε γινόμενο βάση του ορισμού και το υπολογίζουμε εκτελώντας τους πολλα-πλασιασμούς από τα αριστερά προς τα δεξιά.

2. Να βρείτε τους αριθμούς στους οποίους αντιστοιχούν τα ακόλουθα ανα-πτύγματα:

i) 3 105 + 1 103 + 7

ii) 8 104 + 8 10

iii) 6 106 +9 105 + 4 102 + 2


66

Τα αντιμετωπίζουμε όπως οποιαδήποτε αριθμητική παράσταση. ∆ηλαδή, υπολο-γίζουμε πρώτα τις δυνάμεις, κατόπιν εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και στο τέλος τις προσθέσεις.

Λύση

i) 3 105 + 1 103 + 7

= 3 100000 + 1 1000 + 7 Υπολογίζουμε τις δυνάμεις. Είναι =v

v μηδενικά10 1 0.....0

= + +300000 1000 7 Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς

= 301000 + 7 Εκτελούμε την πρόσθεση


ii) 8 104 + 8 10

= 8 10000 + 8 10 Υπολογίζουμε τη δύναμη. Είναι v

ν μηδενικά

10 10.......0=

= +80000 80 Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς


iii) 6 106 + 9 105 + 4 102 + 2

= 6 1000000 + 9 100000 + 4 100 + 2 Υπολογίζουμε τις δυνάμεις. Είναι =v

v μηδενικά10 1 0.....0

= 6000000 + 900000 + 400 + 2 Εκτελούμε τους πολλαπλασια-σμούς


3. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: i) 3 [8: (3+1)]3 -2 5 ii) [(6+3)2 + 9]: (3 5)


67

Κάνουμε τις πράξεις με την ακόλουθη προτεραιότητα:

i) υπολογίζουμε τις δυνάμεις

ii) εκτελούμε πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις

iii) εκτελούμε προσθέσεις και αφαιρέσεις.

Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις στις παρενθέσεις (από τις εσωτερικές στις εξωτερικές) με την ίδια σειρά.

Λύση

i) 3 [8: (3+1)]3 -2 5

= 3 (8: 4)3 – 2 5 Εκτελούμε την πρόσθεση στην εσωτερική παρένθεση. Η αγκύλη γίνεται παρένθεση.

= 3 23 – 2 5 Εκτελούμε τη διαίρεση στην παρένθεση

= 3 8 – 2 5 Υπολογίζουμε τη δύναμη (23 = 2 2 2= 4 2=8)

= 24 – 10 Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς

= 14 Εκτελούμε την αφαίρεση

ii) [(6+3)2 + 9] : (3 5)

= (92 +9) : (3 5) Εκτελούμε την πρόσθεση στην εσωτερική παρένθεση. Η αγκύλη γίνεται παρένθεση.

= (81 + 9) : ( 3 5) Εκτελούμε τη δύναμη στην παρένθεση

= 90 : 15 Εκτελούμε τις πράξεις στις παρενθέσεις

= 6 Εκτελούμε τη διαίρεση

Σημείωση: Η παρένθεση (3 5) μπορούσε να υπολογιστεί από την αρχή


68

Να κάνετε τις πράξεις

α) 122 + 92 β) 1112 - 112 γ) 6,9652 – (6,965 · 6,965)

Να αναλύσετε τις δυνάμεις σε γινόμενα:

i) 53 ii) 32 iii) 25

Να γράψετε με τη μορφή δυνάμεων τα γινόμενα:

α) 3 3 3 3 4 4 4 β) 5 5 · x · x · x γ) x y y y y

Να γράψετε σε αναπτυγμένη μορφή, με τη βοήθεια δυνάμεων του 10, τους

αριθμούς:

α) 2427 β) 10507 γ) 425732 δ) 2049804

Να βρείτε τους αριθμούς στους οποίους αντιστοιχούν τα ακόλουθα αναπτύγ-

ματα:

i) 5 106 + 6 105 + 3 104 + 4 103 + 1 102 + 2 10 + 7

ii) 5 104 + 3 101 + 9

iii) 8 105 + 4 103 + 6 102 +1

Να γίνουν οι πράξεις:

α) (198 – 193)4 β) (9,81 – 5,81)5 γ) (25,32 – 25,22)3

Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:

Α = 15 : 5 – 23 : 4 + 5 · (12 + 32) – 6 · (4 – 1)2

7.

6.

5.

4.

3.

2.

1.


69

α) 225

β) 12.200

γ) 0

i) 5 5 5 ii) 3 3 iii) 2 2 2 2 2

a) 34 43 β) 52 x3 γ) xy4

α) 2427 =2 103 + 4 102 + 2 10 + 7

β)10.507 =104 +5 102 + 7

γ) 425.732 = 4 · 105 + 2 · 104 + 5 · 103 + 7 · 102 + 3 · 10 + 2

δ) 2049804 = 2 · 106 + 4 · 104 + 9 · 103 + 8 · 102 + 4

i) 5634127 ii) 50039 iii) 804601

α) 625

β) 1024

γ) 0,001

Α = 52

5.

2.

7.

6.

4.

3.

1.

Απαντήσεις στις άλυτες ασκήσεις


70

Με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή τσέπης βρίσκουμε εύκολα ότι:

112 = 121

1112 = 12321

11112 = 1234321

Παρατηρούμε ότι σε κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις, το τετράγωνο (δεύτερη δύναμη) ενός αριθμού που όλα τα ψηφία του είναι ίσα με το 1 σχηματί-ζεται γράφοντας στη σειρά όλους τους αριθμούς από το 1 έως τον αριθμό που εκφράζει το πλήθος των ψηφίων του αριθμού που υψώνεται στο τετράγωνο και στη συνέχεια κατ’ αντίστροφο τρόπο μέχρι το 1.

Έτσι, ο αριθμός αυτός «διαβάζεται» το ίδιο τόσο από τα αριστερά προς τα δε-ξιά, όσο και από τα δεξιά προς τα αριστερά.

Μετά τις παραπάνω παρατηρήσεις, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τις ζη-τούμενες δυνάμεις.

111112 = 123454321

1111112 = 12345654321

11111112 = 1234567654321

1Γ ΜΑΘ 1.3 - to-frontistirio.grto-frontistirio.gr › wp-content › uploads › 2017 › 02 ›...

Documents

Transcript of 1Γ ΜΑΘ 1.3 - to-frontistirio.grto-frontistirio.gr › wp-content › uploads › 2017 › 02 ›...