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1 ÁNGULO 2 FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO 3 FUNCIÓN TANGENTE 4 VALORES DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS CONOCIDOS
5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
Existen expresiones algebraicas que contienen funciones trigonométricas, que para simplificarlas hay que conocer y usar sus propiedades, identidades y valores conocidos.
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OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Defina ángulo. Defina función acotada, función periódica, funciones trigonométricas para ángulos en general. Aplique las identidades trigonométricas básicas para determinar si ciertas expresiones
trigonométricas dadas son identidades o no. Represente en el plano cartesiano el gráfico de las funciones trigonométricas básicas.
1 ÁNGULO.
ÁNGULO es la abertura que existe entre 2 semirectas que tienen un punto común de intersección.
Esquemáticamente tenemos:
1.1 PATRÓN DE MEDIDA
La MEDIDA DE UN ÁNGULO es la cantidad de rotación que tiene que realizar el lado inicial para coincidir con el lado terminal.
Si consideramos la rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj diremos que el ángulo es POSITIVO; en cambio, si lo medimos en sentido horario diremos que el ángulo es NEGATIVO.
La medida de un ángulo se la expresa en:
GRADOS (patrón referencial); y/o
RADIANES (patrón de números reales)
Para realizar conversiones consideremos la equivalencia básica:
π=180 Radianes
Se lo puede denotar de la siguiente manera
También se suele emplear letras del alfabeto griego
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A manera de ejemplos, como derivación de esta equivalencia tenemos:
GRADOS RADIANES
30 6π
45 4π
60 3π
90 2π
150 6
5π 180 π 210
67π
270 2
3π 300
35π
330 6
11π 360 π2 135 120 225 315
2 FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO La regla de correspondencia para la función seno es xxf sen)( = , y para la función coseno xxf cos)( = , donde x denota un ángulo.
Para tabular valores de estas funciones, y realizar las gráficas respectivas, recurrimos a un círculo unitario, centrado en el origen.
Completar
Note que aquí la variable independiente “ x ” representa a un ángulo
En cada posición de giro del radio vector (ángulo “ x ”) , la ABCISA del vértice indica el valor del COSENO y la ORDENADA indica el valor del SENO. ¿POR QUÉ?
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Para las coordenadas del vértice del radio vector en ángulos (posición) estratégicos tenemos:
CONCLUSIONES:
IRxDomxDom == )(cos)(sen
Las gráficas son ONDAS SENOIDALES.
Sus gráficas presentan SIMETRÍA.
El seno es una función impar. Por tanto xx sen)sen( −=−
El coseno es una función par. Por tanto xx cos)cos( =−
Son FUNCIONES PERIÓDICAS, con período π2=T .
Una FUNCIÓN ES PERIÓDICA si y sólo si )()( xfTxf =±
Por tanto )sen()sen( xTx =± y )cos()cos( xTx =±
Son FUNCIONES ACOTADAS.
Una FUNCIÓN ES ACOTADA si y sólo si [ ]mxfnx ≤≤∀ )(
Note que [ ]1,1cos)(sen −=== xrgxrg , es decir:
1sen1 ≤≤− x ∧ 1cos1 ≤≤− x
π
ππ
π
ππ
ππ
2sen02
3sen1
sen0
22
3
2sen1
0sen0sen
2
0
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=xx
π
ππ
π
ππ
ππ
2cos12
3cos0
cos1
22
3
2cos0
0cos1cos
2
0
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=xx
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OPCIONAL Estas conclusiones son válidas para las funciones en su forma elemental, pero piense
cuales serían las características de las gráficas de:
xy sen2= . Generalice xAy sen= donde amplitudA ≡
)sen( 6π−= xy . Generalice para )sen( Φ±= xy donde desfase≡Φ
)2sen( xy = .
Generalice para xy ωsen= donde angularafrecuenci≡ω Finalmente, las reglas de correspondencia de la función seno y de la función coseno
pueden ser generalizadas de la siguiente forma:
))(sen( Φ±= xAy ω donde Tπω 2
= entonces ωπ2
=T
))(cos( Φ±= xAy ω Ejercicios Propuestos 1 GRAFIQUE: 1. )(xseny −= 2. )sen( xy −= 3. )(xseny = 4. xy sen= 5. 1)(2
3+−= πxseny
3 FUNCIÓN TANGENTE
La función tangente se define como xxxy tg
cossen
==
Por tanto su gráfica tendrá asíntotas verticales en 0cos =x . Es decir en ,...2,1,0;
2)12( =−±= nnx π
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CONCLUSIONES:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ =−±−= ,...2,1,0;
2)12()(tg nnIRxDom π
IRxrg =)(tg . Por tanto, no es una función acotada
Es una función periódica, con período π=T . Entonces Tπω =
Es una función impar. Por tanto xx tg)tg( −=− En general, la regla de correspondencia sería ))(tg( Φ±= xAy ω
OPCIONAL: Ejercicio Propuesto 2
GRAFICAR: 1. )(xtgy −= 2. )( xtgy −= 3. xy tg= 4. )(xtgy = 5. xy tg= 6. )(
3π−= xtgy
4 VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS CONOCIDOS
Con ciertos ángulos el estudiante puede concebir estrategias básicas para solucionar situaciones prácticas. Para otros ángulos no nos preocuparemos mayormente, porque bastará sólo con emplear una calculadora.
Ubiquemos en una tabla los valores del seno, coseno y tangente para los ángulos que ya definimos anteriormente y además también para los ángulos de 30°, 45° y 60°, que justificaremos luego.
x xsen xcos xtg 0 0 1 0
306=
π 21
23
33
454=
π 22
22 1
603=
π 23 2
1 3
902=
π 1 0 ∞
180=π 0 1− 0 270
23
=π 1− 0 ∞
3602 =π 0 1 0
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La trigonometría está íntimamente ligada a la geometría. Para obtener los valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60° podemos emplear un triángulo rectángulo. El teorema de Pitágoras es de mucha ayuda.
4.1 Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo (triángulo que tiene un ángulo recto(90°)), el cuadrado de la longitud de su hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de las longitudes sus catetos.
Es decir: 222 bac +=
4.2 Funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo Para el triángulo rectángulo anterior tenemos:
sen Hipotenusa
opuestoLadox = cax =sen
cosHipotenusa
adyacenteLadox = cbx =cos
tgadyacenteLadoopuestoLadox =
bax =tg
También se definen las Cofunciones de la siguiente manera:
COSECANTE : ac
xx ==
sen1csc
SECANTE:
bc
xx ==
cos1sec
COTANGENTE:
ab
xx ==
tg1cot
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4.3 Funciones trigonométricas para 45 , 30 y 60 .
Para 45 empleamos un triángulo rectángulo de catetos iguales. Digamos 1== ba , entonces aplicando en Teorema de Pitágoras tenemos que 211 22 =+=c
Para 30° y 60° empleamos un triángulo equilátero (triángulo de lados de
igual medida y por ende, ángulos de igual medida (60°) ). Digamos 2=l
Ejercicio resuelto
La operación ( )45cos45sen30sen45tg460csc30tg260sen 2 +−−+ da
como resultado: a) 4
9 b) 49− c) 1 d) 0 e) -1
SOLUCIÓN: Reemplazando los valores de funciones trigonométricas para los ángulos, tenemos:
49
41233
434
632
43
42
2114
23
332
43
22
22
2114
3233
223
12
11
2
12
−=−
=−=−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
///+=
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
//
+−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
/
RESPUESTA: Opción "b"
Para ÁNGULOS MAYORES A 90° Y MENORES A 360°, podemos considerar lo siguiente:
2145sen = ó
2245sen =
2145cos = ó
2245cos =
145cos45sen45tg =°°
=
⇒
2130sen =
2360sen =
2330cos =
2160cos =
33
3130tg == 360tg =
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1. Regla del cuadrante:
Cuadrante x I 20 π<< x )()( xfxf =
II ππ << x2 )()( xfxf −±= π
III 23 ππ << x )()( π−±= xfxf IV ππ 23 2 << x )2()( xfxf −±= π
El signo se lo escoge de acuerdo a la siguiente regla:
2. Regla de los signos
Cuadrante x xsen , xcsc xcos , xsec xtg , xc tg I 20 π<< x + + + II ππ << x2 + - - III 23 ππ << x - - + IV ππ 23 2 << x - + -
Entonces las funciones trigonométricas POSITIVAS en los
respectivos cuadrantes son:
Ejemplo 1
Para calcular 135sen , debemos considerar que: 1. En ángulo es del segundo cuadrante, por tanto su seno es positivo.
2. 2245sen)135180sen(135sen ==°−°=
Ejemplo 2
Para calcular 210cos , debemos considerar que: 1. Es un ángulo del tercer cuadrante, por tanto su coseno es negativo.
2. 23)30cos()180210cos(210cos −=−=°−°−=
Donde
tgsec,csc,tgcos,sen,c
f==
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Ejemplo 3 Para calcular °300tg , debemos considerar que: 1. Es un ángulo del cuarto cuadrante, por tanto su tangente es negativa. 2. 3)60tg()300360tg(300tg −=−=°−°−=
Ejercicios Propuestos 3 Calcular:
1. °120cos 2. °150tg 3. °225sen 4. °240tg 5. °315cos
Para ÁNGULOS SUPERIORES A 360° , considere el criterio de la función periódica, es decir: )2()( πnxfxf −= . Donde " n " es un número natural, lo suficiente para llevar a " x " a un ángulo entre 0° y 360°, y luego aplicar las reglas anteriores.
Ejemplo 1 Para calcular °405sen , debemos considerar que:
( )
22405sen
45sen405sen45sen360405sen405sen
=
=⇒=−=
Ejemplo 2 Para calcular °1125tg , debemos considerar que:
11125tg45tg))360(31125tg(1125tg =⇒=°−°=
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Ejemplo 3 Para calcular °480cos , debemos considerar que: 1. °=°−° 120cos)360480cos( . 2. 2
160cos)120180cos(120cos −=°−=°−°−=° Ejercicios propuestos 4
Calcular: 1. °1080cos 2. °495tg 3. °1050sen
Si el ÁNGULO ES NEGATIVO se puede emplear uno de los siguientes métodos:
1. El criterio de simetría, es decir )sen()sen( xx −=− , xx cos)cos( =− y xx tg)tg( −=− . Y el resto de manera
semejante a lo que ya se ha explicado.
2. Llevarlo a un ángulo entre 0° y 360°, )2()( πnxfxf +−=−
Ejemplo Para calcular )30sen(− , podemos considerar que:
2130sen)30sen( −=°−=°− ; o considerar que,
21330sen)36030sen()30sen( −=°=°+°−=°−
5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Existen expresiones trigonométricas que son válidas para cualquier valor de x .
Del círculo unitario que nos sirvió para definir a la función seno y
a la función coseno, tenemos que: 1cossen 22 =+ xx (JUSTIFÍQUELO)
De aquí, al despejar tenemos que: xx 22 cos1sen −=
xx 22 sen1cos −=
Además se puede demostrar que:
yxyxyx sencoscossen)sen( +=+
yxyxyx sencoscossen)sen( −=−
yxyxyx sensencoscos)cos( −=+
yxyxyx sensencoscos)cos( +=−
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De aquí se deriva que:
Si hacemos xy = en las identidades para la suma de seno y coseno, resulta:
Si hacemos 2xx = en 1cos22cos 2 −= xx y en xx 2sen212cos −= ; y luego
despejamos, entonces resulta que:
Ejercicio resuelto 1
Calcular )75sen( SOLUCIÓN: Una opción sería emplear la identidad yxyxyx sencoscossen)sen( +=+
( )4
13221
22
23
22
30sen45cos30cos45sen)3045sen()75sen(
+=
+=
+=+=
Ejercicio resuelto 2
Al simplificar la expresión: ( )xxxx
sen1coscossen1 2
+−+ se obtiene:
a) xsen b) xcos c) xtg d) 1 e) 0
yxyx
yxyxyx
tgtg1tgtg
)cos()sen()tg(
−+
=++
=+
yxyxyx
tgtg1tgtg)tg(
+−
=−
xxx cossen22sen =
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
−
=
xx
xxx
2
2
22
sen211cos2
sencos2cos
2cos1
2cos xx +
±=
2cos1
2sen xx −
±=
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SOLUCIÓN : Reemplazando la identidad xx 22 cossen1 += en la expresión dada, tenemos:
xxx
xxxx
xxxxxx
xxxx
tgcossen
)sen1(cos)1(sensen
)sen1(coscossencossen
)sen1(coscossen1 2222
=
=
++
=
+−++
=+−+
RESPUESTA: opción "c"
Ejercicio resuelto 3 ¿Qué expresión se debe colocar en lugar de " x ", para que:
xAA
AA 2
sen1cos
sen1cos
=−
++
se convierta en una identidad?
a) Acsc c) Asen e) Acos b) AA cossen d) Atg
SOLUCIÓN: Despejando " x " en la igualdad dada, tenemos:
AxAAx
AAx
xAAA
xAAAAAAAA
xAAAAAA
xAA
AA
coscos
coscossen1
2)sen1)(sen1(
cos2
2)sen1)(sen1(
cossencossencoscos
2)sen1)(sen1(
)sen1(cos)sen1(cos
2sen1
cossen1
cos
2
2
=
=
−=
/=
−+/
=−+
++−
=−+
++−
=−
++
RESPUESTA: Opción "e"
Ejercicios Propuestos 5
1. La expresión xxcxcx
tgtgtgtg
−+ , es idéntica a:
a) x2csc b) x2sec c) x2sen d) x2cos e) x2tg
2. Una expresión idéntica a x
xxx2
2
cos11cossen2sen
−
−+ es:
a) xx cossen + b) xsen2
c) x2cos1−
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d) 1cos2 −x e) xx cos2sen −
3. La expresión x
xx
xsen
cos1cos1
sen ++
+ es equivalente a:
a) xsec21
b) xtg3 c) xcsc2 d) xcos e) xc tg4
4. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
4cos8 πx ?
a) ( )xx sencos2 − b) ( )xx cossen2 − c) ( )xsen12 + d) ( )xx cossen2 + e) ( )xcos12 −
5. La expresión: 2
csctg1
sencos2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+
αα
ααc
es idéntica a:
a) αtg2 b) -1 c) αtg2 c d) 1 e) αtg
6. Una expresión idéntica a x
xxx2
2
sen11sencos2sen
−
−+ es:
a) xx cossen +
b) x2sen1− c) xsen2 d) xx cos2sen − e) 1sen2 −x 7. ¿Cuál de las siguientes igualdades es una identidad?
a) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=−2
cossencos 22 xxx
b) xx 22 sec1tg −=
c) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=+2
cos2cos1 2 xx
d) xxx cossen2sen2 =
e) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π+=
2cossen xx
Misceláneos 1. Una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela:
a) 21
35cos =π
b) 33
67tg =π
c) π= 8cos0cos
d) 63 cossen ππ =
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e) ( )[ ]xxgxxx coscottgcos =+∀
2. La expresión xxxx
2cos2sen12cos2sen1
−+++ es IDÉNTICA a:
a) xsen b) xcos c) xsec d) xcot e) xtg
3. Sean “ x ” y “ y ” números reales. Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela: a) ( ) CosySenxSenxCosyyxSen −=+
b) 2
2 SenxCosyxSen =
c) xSenxCos 22 1+=
d) x
xxSen2cos1
2+
=
e) xSenxCosxCos 222 −=
4. El valor de Δ para que la expresión x
x
x cos
sen11tg
=
−
+Δ sea una IDENTIDAD es:
a) xcos b) xsec c) xsen
d) x2cos e)1
5. La expresión xxxx
2cos2sen12cos2sen1
−+++ es idéntica a:
a) xsen b) xcos c) xtg d) gxcot e) xsec
6. El valor de la expresión: 12
3cot1
4cos
6sen
4cos
6sen
−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π+
π⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π−
π
es:
a)31
− b) 12− c) 3− d)123
− e)123
7. SIMPLIFICANDO xx
xxcos2sencos4cos3 3
−−
, se obtiene:
a) xx cossen + b) xcos21− c) 1sen2 +x
d) xsen2 − e) xx sencos −
8. La expresión xxx
x coscossen1tg
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ es idéntica a:
a) tg x b) tg x +1 c) ctgx d)ctgx - 1 e)1
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9. La expresión 2
tg1cscsec
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
xxx es IDÉNTICA a:
a) x2cot
b) x2sec
c) x2csc
d) x2sen
e) x2cos
10. La expresión ( )( )[ ]xxx cotcsccos1 +− es IDÉNTICA a: a) xsen− b) xcsc c) xcsc− d) xsen e) xcos−
11. El VALOR de 60cot.45tg
30sec.60tg.45sen , es:
a) 6
b)3
32
c)3
7
d) 32
e)3
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