1. ki redovi Zadacipoincare.matf.bg.ac.rs/~jelenak/I/5-7 cas.pdf · Poluprenik konvergencije...
2
5-7. AS 1. Numeriki redovi Zadaci: 1. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju redova ( ) ∞ = ∈ + 1 , 1 ln k k R k α α . 2. Stepeni redovi 1. Stepeni red je red oblika .... 2 2 1 1 0 + + + = ∞ = x a x a a x a k k k 2. Poluprenik konvergencije stepenog reda je dat sa k k k k k k a a a r 1 lim lim 1 ∞ → + ∞ → = = . Za ( ) r r x , - ∈ stepeni red apsolutno konvergira, za ( ) ( ) +∞ ∪ ∞ - ∈ , , r r x stepeni red divergira a u krajevima intervala r x ± = posebno ispitujemo konvergenciju. 3. Osobine stepenih redova – za svako ( ) r r x , - ∈ važi (a) ∞ = ∞ = + ∞ = + = = x k k k k x k k k k k k t a dt t a dt t a 0 0 0 1 0 0 1 , (b) ( ) ∞ = ∞ = - ∞ = = ′ = ′ 0 1 1 0 k k k k k k k k k x ka x a x a . 4. Važe sledei razvoji 1. , ) 1 ln( 1 ∞ = - = - k k k x x [ ) 1 , 1 - ∈ x , 2. ( ) , 1 ) 1 ln( 1 1 ∞ = - - = + k k k k x x ( ] 1 , 1 - ∈ x , 3. ∞ = = 0 , ! k k x k x e R x ∈ , 4. ( ) ( ) ∞ = + + - = 0 1 2 , ! 1 2 1 sin k k k k x x R x ∈ , 5. ( ) ( ) ∞ = - = 0 2 , ! 2 1 cos k k k k x x R x ∈ , 6. ( ) , 1 0 k k x k x ∞ = = + α α R x ∈ gde je R ∈ α i ( ) ( ) 1 0 , ! 1 ... 1 = + - ⋅ ⋅ - = α α α α α k k k . Zadaci: 1. Odrediti oblast konvergencije i nai sumu reda
Transcript of 1. ki redovi Zadacipoincare.matf.bg.ac.rs/~jelenak/I/5-7 cas.pdf · Poluprenik konvergencije...
5-7. �AS
1. Numeri�ki redovi Zadaci:
1. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju redova ( )�∞
=
∈+1
,1lnk
k
Rk
αα.
2. Stepeni redovi 1. Stepeni red je red oblika
....22
110 +++=�
∞
=
xaxaaxak
kk
2. Polupre�nik konvergencije stepenog reda je dat sa
kk
kk
k
k aaa
r1
limlim1
∞→+
∞→== .
Za ( )rrx ,−∈ stepeni red apsolutno konvergira, za ( ) ( )+∞∪∞−∈ ,, rrx stepeni red divergira a u krajevima intervala rx ±= posebno ispitujemo konvergenciju. 3. Osobine stepenih redova – za svako ( )rrx ,−∈ važi
(a) � � ���∞
=
∞
=
+∞
= +==�
�
���
�x
k k
k
k
xk
kk
kk k
tadttadtta
0 0 0
1
00 1,
(b) ( )� ��∞
=
∞
=
−∞
=
=′=′��
���
�
0 1
1
0 k k
kk
kk
k
kk xkaxaxa .
4. Važe slede�i razvoji
1. ,)1ln(1�
∞
=
−=−k
k
kx
x [ )1,1−∈x ,
2. ( ) ,1)1ln(1
1�∞
=
−−=+k
kk
kx
x ( ]1,1−∈x ,
3. �∞
=
=0
,!k
kx
kx
e Rx ∈ ,
4. ( ) ( )�∞
=
+
+−=
0
12
,!12
1sink
kk
kx
x Rx ∈ ,
5. ( ) ( )�∞
=
−=0
2
,!2
1cosk
kk
kx
x Rx ∈ ,
6. ( ) ,10
k
k
xk
x �∞
=���
����
�=+
αα Rx ∈ gde je R∈α i ( ) ( )
10
,!
1...1 =���
����
�+−⋅⋅−=���
����
� αααααk
kk
.
Zadaci: 1. Odrediti oblast konvergencije i na�i sumu reda
(a) ( )�∞
=+
1
1k
kxkk (b) �∞
=
+1
2
!2
k
kxk
k (c) ( ) ( )�
∞
=+�
�
���
� ++
−1
11
11
k
kk xkk
(d) �∞
=+
11
2
4kk
k
kx
3. Odrediti oblast konvergencije i sumu reda ( )�∞
= −1 12
k
kk
xkk
a zatim na osnovu toga na�i
sumu reda ( )�∞
= −1 11
k kk.
4. Razviti funkciju u Maklorenov stepeni red i odrediti oblast konvergencije dobijenog reda
(a) ( ) xxxf 3sin 2= (b) ( )( ) ( )xx
xxf
2111
2
2
+++= (c) ( ) ( )21ln xxxf ++=
5. Razviti funkciju u Tejlorov stepeni red i odrediti oblast konvergencije dobijenog reda
(a) ( )2
1+
=x
xf u okolini ta�ke 30 =x
(b) ( ) ( )234ln xxxf −+= u okolini ta�ke 20 =x . Doma�i 1. Odrediti oblast konvergencije i na�i sumu reda
(a) ( )
�∞
=
−0 3
2
kk
kx, (b) ( )�
∞
=
+
−0
12
251
kk
kk x
, (c) ( )
�∞
=
+0 5
1
kk
kxk,
(d) ( ) ( )�∞
=
−
−−
1
21
121
k
kk
kkx
, (e) ( )( )�∞
=−+
0
31k
kkk xk .
2. Odrediti oblast konvergencije i sumu reda ( )�∞
=
−−1
12 2k
kxk a zatim na osnovu toga na�i
sumu reda ( )
�∞
=−
−−1
1
21
31
kk
k k.
3. Odrediti oblast konvergencije i sumu reda ( )
�∞
=
++
−−
1
122
1
1412
k
kk
xk
a zatim na osnovu toga
na�i sumu reda ( )
( )�∞
=
+
−−
12
1
4141
kk
k
k.
5. Razviti funkciju u Maklorenov stepeni red i odrediti oblast konvergencije dobijenog reda
(a) ( ) 2
2xe
xxf = , (b) ( ) 3 21ln xxf += , (c) ( )
( )211+
=x
xf ,
(d) ( ) 52
23
55
lnxx
xxf−+= .
6. Razviti funkciju u Tejlorov stepeni red i odrediti oblast konvergencije dobijenog reda (a) ( ) )3ln( xxf −= u okolini ta�ke 20 =x
(b) ( ) xexf 3= u okolini ta�ke 10 =x .
![) and K · f1(1285)! a0(980)ˇ decay: formalism Vertices: f1 K (K 1) K (K).. it1 = igf1C1ϵ ϵ′ gf1 = 7555 MeV, evaluated as the residue at the pole of T = [1 VG] 1V for K K c:c:](https://static.fdocument.org/doc/165x107/5f08d6ad7e708231d423f7ef/-and-k-f11285-a0980-decay-formalism-vertices-f1-k-k-1-k-k-it1-.jpg)
