1. Bevezetés a waveletekhez (folytatás)

Speciálkurzus 2009 tavasz

2

Matematikai alapok (folytatás)

• Lineáris algebra, lineáris tér

• Függvényterek, ortogonalitás

• Fourier transzformáció, DFT, FFT

• Lineáris rendszerek, konvolúció

• Sztochasztikus jelek spektrálanalízise, PSD

3

Fourier transzformáció

A folytonos Fourier transzformáció (CFT)

ω a körfrekvencia, t az idő, az integrálás az f(t) jel ill. F(ω) transzformált teljes értelmezési tartományára vonatkozik

4

CFT, frekvencia változóAz ω helyett a ν frekvencia változóval szimmetrikus

egyenleteket kapunk:

ω = 2πν

5

Ablakfüggvény, CFTA Π(t) ablakfüggvény CFT-je a sinc(f) függvény (most f a

frekvencia):

ω = 2πf

6

CFT, tulajdonságoklinearitás:

eltolás (fázis változás):

7

Fourier transzformált nagysága és fázisa

nagyság és fázis:

F(ω) = nagyság{F(ω)} e-i fázis{F(ω)}

I(ω) = nagyság{F(ω)2}

Φ(ω) = fázis{F(ω)}

Φ(ω)

Re

Im

F(ω)

√I(ω

)

8

Konvolúció tétel

a konvolúció CFT-je a tényező függvények CFT-inek szorzata

9

Lineáris időinvariáns rendszerek

a rendszert jellemzi a g(t) impulzusválasz vagy a G(ω) frekvencia átviteli függvény.

bemeneti jel kimeneti jel

rendszer

10

Diszkrét Fourier transzformáció, DFT

Mintavételezés hatása a spektrumban (‘aliasing’, átlapolódás)

11

DFT, mintavételezési tétel

A mintavételezési frekvencia legalább kétszerese legyen a jelben előforduló legnagyobb frekvenciának (Nyquist frekvencia). Ekkor nincs átlapolódás:

12

Mintavételezett ablak, Dirichlet kernelA Π(t) ablakfüggvényt mintavételezzük – a transzformáltja a

sinc(f) függvény analógiája – a Dirichlet kernel (magfüggvény). A frekvencia folyamatos (0, 0.5) között

13

DFT, véges jelsorozat

A mintavételezett jelsorozat térben korlátozott kiterjedésű – ez egy levágó ablak alkalmazásának felel meg.

Eredmény: spektrális ‘szivárgás’, a spektrum elkenődése

14

DFT transzformált pár

N db. mintát veszünk a jelből mind az idő- mind a frekvencia tartományban. Ez a diszkrét Fourier transzformáció:

1,,1,0

1,,1,0

1

0

1

0

NneFf

NkefF

N

k

Tinkkn

N

n

Tinknk

Műveletigény:

N2 db. komplex szorzás, N(N – 1) db. komplex összeadás

15

FFT, 2D DFTMűveletigény: A diszkrét transzformáció műveletigénye csökkenthető

~N2 -ről, N log2N –re: ez a gyors Fourier transzformáció (FFT)

Két dimenzió esetén először az adattömb sorait, majd az eredmény oszlopait transzformáljuk: 2D FFT

16

Sztochasztikus folyamatok, idősorok, stacionaritás

Sztochasztikus folyamat – realizációk

E{xn} : realizációkra vett átlag

17

Stacionárius folyamatok, ergodicitás

Stacionárius folyamat: statisztikai jellemzők t-től nem függnek

pl. az átlag: xxE n

Tágabb értelemben stacionárius folyamat (WSS): statisztikai jellemzők csak az idő eltolástól (t – τ )

függnek

Ergodikus folyamat: a realizációkra vett átlagot helyettesíthetjük az idő szerinti átlagokkal

18

Fehérzaj (WN) A fehérzaj kifejezés nem ír le egyértelműen egy

sztochasztikus folyamatot!

19

Sztochasztikus folyamatok spektrálanalízise

• Penc, KGO permanens GPS állomás magassági koordináta adatsora (cm)

20

Fourier transzformált nem létezik Diszkrét idősor spektruma (–½, ½) intervallumra:

n

ifnnexfX 2)( –½ ≤ f ≤ ½

az alábbi módon állíthatjuk vissza:

2/1

2/1

2)( dfefXx ifnn

xn most sztochasztikus folyamat – a FT nem létezik!

21

... helyette van a PSD (teljesítmény spektrum) egy keskenysávú sáváteresztő szűrő

Sx(f) a jel PSD (teljesítmény sűrűség) spektruma

0f

)*var()(00 xdffS fx

2

2)(2

1lim)(

T

T

iftT

Tx dtetx

TEfS

egyébként

TtTtxtxT 0

)()(

22

PSD másik definíciója Sx(f ) az Rx(t) autokorreláció Fourier transzformáltja:

inverz transzformáltját véve:

dtetRtRFfS iftxxx

2)()()(

dfefStR iftxx

2)()(

2)var()()()0( xx xtxtxER

23

Fehérzaj PSD

a fehérzaj autokovariancia függvénye a Dirac-féle delta függvény (disztribúció) számszorosa, s2(t)

a PSD:

2222 )()()( sdtetsdtetRfS iftift

WW

a folytonos fehérzaj fizikai értelemben fikció – nincs végtelen energiájú sztochasztikus folyamat!

24

Szűrt folyamat PSD-je

a konvolúciós szűrés egyenlete szerint a szűrt y(t) jel:

)()()( txtgty ahol g(t) a szűrő impulzus átviteli függvénye (magfüggvénye)

Ha ismerjük Sx(f )-et, akkor számíthatjuk Sy(f )-t

)()()(2

fSfGfS xy

25

Idősor PSD-jediszkrét Fourier transzformációk határértéke

22

2

1lim)(

N

Nn

ifnn

Nx exE

NfS

Alternatív definíció az autokovariancia függvény segítségével:

N

Nn

ifnxx enRfS 2)()( –½ ≤ f ≤ ½

26

Spektrum (PSD) becslése adatok alapján

a sztochasztikus folyamatból nem végtelen, hanem csak N db. mintával rendelkezünk

• a valódi spektrum helyett egy olyan spektrumot kapunk, amely a valódi spektrum és a Dirichlet-féle magfüggvény konvolúciója – az egzakt dekonvolúció (kijavítás) lehetetlen

végső soron egy olyan függvényt akarunk meghatározni, amely több ismeretlentől függ mint ahány mérésünk van ez inverz feladat, rosszul kondicionált!

A megfelelő közelítést adó eljárás megtalálása jó hozzáértést és tapasztalatot kíván

27

Spektrum (PSD) periodogram becslése

torzítatlan, de inkonzisztens becslés

2

0

21)(ˆ

N

n

ifnnx ex

NfS

2)()](ˆvar[ fSfS xx

a becslés szórása Sx(f )2, azaz megegyezik magával a becsléssel!

28

Spektrum (PSD) periodogram becslése

29

Spektrum becslésének paraméteres és nemparaméteres módszerei

• Yule-Walker egyenletek

• Maximum Entropy Spectral Estimation (MESE)

• Welch módszer (szekció átlagolás)

• Multitaper módszer

30

Spektrum becslésének paraméteres és nemparaméteres módszerei

62 Hz-es szinuszhullám, amelynek amplitúdója –75 dB.

31

Spektrum becslésének paraméteres és nemparaméteres módszerei

Átlagolás nélküli és Welch-féle szekció átlagolással meghatározott spektrumok

32

Spektrum becslésének paraméteres és nemparaméteres módszerei

Welch-féle ablakfüggvénnyel meghatározott spektrum és adaptív DPSS multitaper spektrum