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2

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3

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x x x

x x x

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= = +

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∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆

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, ( )

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12

2

2 2 2

v u a t v u v

y v t y u t a t

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y y y y y y

y y y

y y y

= + = +

= = +

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∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆

, ( )

, ( )

12

12

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2 2 2

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4

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≈Ÿ°∫Õ≈≈Ÿ°Àπ÷Ëß∂Ÿ°¬‘ßÕÕ°‰ª„πÕ“°“»®“°æ◊Èπ√–¥—∫¥â«¬§«“¡‡√Á«¢π“¥ 20 m/s ∑Ì“¡ÿ¡ 60 Õß»“ °—∫

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4. ≈Ÿ°∫Õ≈°√–∑∫æ◊Èπ¥â«¬§«“¡‡√Á«¢π“¥‡∑à“‰√ ·≈–∑Ì“¡ÿ¡‡∑à“‰√°—∫·π«√–¥—∫

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5

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12

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§«“¡‡√Á«µâπ„π·π«¥‘Ëß¡’§à“ u uy = = = × =sin sinθ 20 60 20

32

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¢÷Èπ ∆t §◊Õ‡«≈“∑’Ë∑Ì“„À⧫“¡‡√Á«„π·π«¥‘Ë߇¥‘¡ uy = 10 3 m s ¡’§à“≈¥≈߇ªìπ»Ÿπ¬å¥â«¬Õ—µ√“ 10 Àπ૬ (m/s)

µàÕ«‘π“∑’ π—Ëπ§◊Õ ∆t = =10 310

3m s

m s s2 ¥—ßπ—Èπ≈Ÿ°∫Õ≈≈Õ¬Õ¬Ÿà°≈“ßÕ“°“»π“π 2 2 3∆t = s

3. √–¬–∑“ß®“°®ÿ¥∑’ˬ‘ßÕÕ°‰ª∂÷ß®ÿ¥∑’˵°§◊Õ√–¬–°“√°√–®—¥ R µ“¡·π«πÕπ∑’ˇ§≈◊ËÕπ∑’ˉ¥â„π‡«≈“ 2 3 s

¥â«¬§«“¡‡√Á«µ“¡·π«πÕπ ux = 10 m s §ßµ—«

¥—ßπ—Èπ ≈Ÿ°∫Õ≈µ°Àà“ß®“°®ÿ¥∑’ˬ‘߇∑à“°—∫ R u tx= = × =2 10 2 3 20 3∆ m m

§«“¡ Ÿß H ∑’Ë≈Ÿ°∫Õ≈¢÷Èπ‰ª‰¥â Ÿß ÿ¥§◊Õ√–¬–°“√°√–®—¥ Ÿß ÿ¥µ“¡·π«¥‘Ëß®“°µÌ“·Àπàß∑’ˬ‘߉ª¬—ß®ÿ¥∑’Ë

§«“¡‡√Á«µ“¡·π«¥‘Ë߇ªìπ»Ÿπ¬å ´÷Ëß¡’§à“‡∑à“°—∫§«“¡‡√Á«‡©≈’ˬ§Ÿ≥°—∫‡«≈“∑’Ë„™â¢÷Èπ‰ª∂÷ß®ÿ¥ Ÿß ÿ¥

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y= =+( )

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23 15 m m

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πÕ°®“°π—Èπ ®“°¢âÕ —߇°µ¢â“ß∫π ‡√“ √ÿª‰¥â«à“ ∑’Ë√–¥—∫§«“¡ Ÿß‡∑à“°—𠧫“¡‡√Á«µÕπ¢“¢÷Èπ·≈–µÕπ¢“

≈ß®–¡’¢π“¥‡∑à“°—π ∑Ì“¡ÿ¡°—∫·π«√–¥—∫‡∑à“°—π ·µà«à“µÕπ¢“¢÷Èπ‡ªìπ¡ÿ¡‡ß¬ ¢≥–∑’Ë¢“≈߇ªìπ¡ÿ¡°â¡ ∑Ì“„Àâ°“√

‡§≈◊ËÕπ∑’Ë¢“¢÷Èπ·≈–¢“≈ß ¡¡“µ√°—π (¥Ÿ√Ÿª°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë)

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6

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‡§√◊ËÕß∫‘π≈Ì“Àπ÷Ëß°Ì“≈—ß∫‘πÕ¬Ÿà„π·π«√–¥—∫¥â«¬§«“¡‡√Á«§ßµ—«¢π“¥ 120 m s ∑’Ë’§«“¡ Ÿß 1500 m ¢≥–

∑’˪≈àÕ¬∂ÿßÕ“À“√„ÀâÀ≈ÿ¥ÕÕ°¡“®“°‡§√◊ËÕß∫‘π ®ßÀ“

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2. √–¬–∑“ßµ“¡·π«πÕπ®“°µÌ“·Àπàß∑’˪≈àÕ¬∂÷ߵ̓·Àπàß∑’Ë∂ÿß°√–∑∫æ◊Èπ

„Àâ„™â g = 10 m s2

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§«“¡‡√Á«‡∑à“°—∫‡§√◊ËÕß∫‘π¥â«¬ §◊Õ‡∑à“°—∫ 120 m s „π·π«√–¥—∫ ·≈–¡’§«“¡‡√Á«„π·π«¥‘Ë߇∑à“°—∫»Ÿπ¬å ∂ÿßÕ“À“√

¡’§«“¡‡√Á«„π·π«πÕπ§ß∑’ˇæ√“–§«“¡‡√àß„π·π«πÕπ‡ªìπ»Ÿπ¬å ·µàµ°≈ß¡“„π·π«¥‘Ëߥ⫬՗µ√“‡√Á«∑’Ë¡’¢π“¥‡æ‘Ë¡¢÷Èπ

Õ¬à“ß ¡ËÌ“‡ ¡Õ §◊Õ∑ÿ° Ê «‘π“∑’®–¡’Õ—µ√“‡√Á«‡æ‘Ë¡¢÷Èπ 10 m s (§«“¡‡√àß¡’¢π“¥ g = 10 m s2 )

¢—ÈπµàÕ¡“‡√“§«√‡¢’¬π√Ÿª· ¥ß«‘∂’°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë¢Õß∂ÿßÕ“À“√ ‡π◊ËÕß®“°§«“¡‡√Á«µ“¡·π«¥‘Ëß¡’¢π“¥‡æ‘Ë¡

¢÷Èπ‡√◊ËÕ¬ Ê „π·µà≈–«‘π“∑’«—µ∂ÿ®–µ°≈ß¡“‡ªìπ√–¬–∑“ß∑’Ë¡“°¢÷Èπ ·≈–‡π◊ËÕß®“°§«“¡‡√Á«µ“¡·π«πÕπ§ßµ—« „π

·µà≈–√–¬–∑“ß 1 ‡¡µ√µ“¡·π«πÕπ «—µ∂ÿ®–µ°≈ß¡“‡ªìπ√–¬–∑“ß„π·π«¥‘Ëß∑’Ë¡“°¢÷Èπ Ê π—Ëπ§◊Õ‡ âπ∑“ß°“√

‡§≈◊ËÕπ∑’Ë®–‡ªìπ‡ âπ∑“ß∑’Ë™—π¡“°¢÷Èπ Ê

120 m s

1500 m

ªî¬æß…å  ‘∑∏‘§ß ¿“§«‘™“øî ‘° å §≥–«‘∑¬“»“ µ√å ¡À“«‘∑¬“≈—¬¡À‘¥≈

7

¢—ÈπµÕπµàÕ‰ª„π°“√§Ì“π«≥ ‡√“‡≈◊Õ°®ÿ¥Õâ“ßÕ‘ß·≈–∑‘»Õâ“ßÕ‘ß Õß∑‘»´÷Ëßµ—Èß©“°°—π ‡√“‡≈◊Õ°„Àâ∑‘» x

‡ªìπ∑‘»µ“¡·π«πÕπ‰ª∑“ߢ«“ ·≈–∑‘» y ‡ªìπ∑‘»µ“¡·π«¥‘Ëß≈ß¡“ ·≈–„ÀâµÌ“·Àπàß∑’˪≈àÕ¬∂ÿßÕ“À“√‡ªìπµÌ“·Àπàß

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¢—ÈπµÕπ∑’Ë Ì“§—≠Õ’°¢—ÈπµÕπÀπ÷Ëߧ◊Õ°“√µ—Èß™◊ËÕÀ√◊Õ —≠≈—°…≥å·∑π ‘Ëß∑’ˇ√“µâÕß°“√À“ °“√„™â —≠≈—°…≥å®–

∑Ì“„Àâ‡√“ “¡“√∂‡¢’¬π‡ß◊ËÕπ‰¢¢Õß ‘Ëß∑’ˇ√“µâÕß°“√À“„π√Ÿª¢Õß ¡°“√‰¥â

‡Àµÿ°“√≥å∑’ˇ√“ π„®¡’ Õ߇Àµÿ°“√≥å§◊Õ

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„Àâ O ‡ªìπµÌ“·ÀπàßÕâ“ßÕ‘ß∑’˪≈àÕ¬∂ÿßÕ“À“√ ·≈– A ‡ªìπµÌ“·Àπàß∑’Ë∂ÿßÕ“À“√°√–∑∫æ◊Èπ

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¥—ßπ—Èπ x yo o m m= =0 0, ·≈– yA m = 1500

‡√“µâÕß°“√À“ xA

„π°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë®“° O ‰ª A «—µ∂ÿ¡’°“√°√–®—¥µ“¡∑‘» x ¥â«¬§«“¡‡√Á«§ß∑’ˇ∑à“°—∫§«“¡‡√Á«µâπ ux

¥—ßπ—Èπ ∆ ∆x u txO A O A→ →=

„π¢≥–‡¥’¬«°—π«—µ∂ÿ¡’°“√°√–®—¥„π∑‘» y ¥â«¬§«“¡‡√àߧß∑’Ë·≈–¥â«¬§«“¡‡√Á«µâπ‡∑à“°—∫»Ÿπ¬å„π™à«ß‡«≈“‡¥’¬«°—π

¥—ßπ—Èπ ∆ ∆ ∆ ∆y u t a t g ty yO A O A O A O A→ → → →= + = + +12

2 12

20( ) ( )( )

·∑π§à“ ∆y y yO A A o m m→ = − = − =1500 0 1500 ·≈– g = 10 m s2 ‡√“®–‰¥â«à“

1500 1012

2 m m s2O A= × →( )∆t

À√◊Õ ∆tO A s s s→ = = =300 10 3 17 3.

π—Ëπ§◊Õ ‡«≈“∑’Ë„™âµ—Èß·µàª≈àÕ¬®π°√–∑—Ëß∂ÿßÕ“À“√°√–∑∫æ◊Èπ¡’§à“‡∑à“°—∫ 17.3 s

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∆xO A m s s m→ = × =( ) .120 17 3 2076

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8

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9

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12

12

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10

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02

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2 2

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g= 2 sinα

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11

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2

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α

α

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12

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0 12

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À√◊Õ ∆tu

g= −2 sin( )

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β

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13

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2( ) ·∑π

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g

u

g

u

g

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= − − − −[ ]

= −

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cos( sin )

sin( )cos

sin( )cos

cos( )cos sin( )sin

sin( )coscos

α β α ββ

β α ββ

α ββ

α β β α β β

α β αβ

2 2

2

2

12

2

2

2

2

2

√–¬–‰°≈ ÿ¥µ“¡æ◊Èπ‡Õ’¬ß

‚¥¬°“√„™â‡Õ°≈—°…≥åµ√’‚°≥¡‘µ‘ 2sin cos sin( ) sin( )A B A B A B= + + − ·≈– sin( ) sin− = −β β

‡√“ “¡“√∂‡¢’¬π√–¬–∑“ßµ“¡æ◊Èπ‡Õ’¬ß„πÀ—«¢âÕ‰¥â«à“

22

2

2

2

2

u

g

u

g

sin( )coscos cos

sin( ) sinα β α

β βα β β− = − −[ ]

‡π◊ËÕß®“°Õ—µ√“‡√Á«µâπ u ·≈–¡ÿ¡ β ‡ªìπ ‘Ëß∑’Ë∂Ÿ°°Ì“Àπ¥¡“ ¥—ßπ—Èπ√–¬–µ“¡æ◊Èπ‡Õ’¬ß¡’§à“ Ÿß ÿ¥‡¡◊ËÕ

sin( )2α β− ¡’§à“¡“° ÿ¥ §◊Õ‡¡◊ËÕ 22

α β π− = À√◊Õ α π β= +4 2

·≈– √–¬–‰°≈ ÿ¥µ“¡æ◊Èπ‡Õ’¬ß¡’§à“‡∑à“°—∫ u

g

u

g

2

2

2

11cos

sinsinβ

ββ

−[ ] =+[ ]

 —߇°µ«à“„π°√≥’π’È¡ÿ¡∑’˧«“¡‡√Á«µâπ∑Ì“°—∫·π«¥‘Ëß´÷Ëߧ◊Õ π α2

− ¡’§à“‡∑à“°—∫ α β− ´÷Ë߇ªìπ¡ÿ¡√–À«à“ß

§«“¡‡√Á«µâπ°—∫æ◊Èπ‡Õ’¬ß ¥—ßπ—Èπ∑‘»§«“¡‡√Á«µâπ∑’Ë„Àâ√–¬–µ“¡æ◊Èπ‡Õ’¬ß‰°≈ ÿ¥§◊Õ∑‘»∑’Ë·∫àߧ√÷Ëß¡ÿ¡√–À«à“ß·π«¥‘Ëß°—∫

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β

u

O

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α − β

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14

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‡√“À“ ¡°“√∑’Ë∫Õ°‡ âπ∑“ß°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë¢Õß‚æ√‡®°‰∑≈å¿“¬„µâ·√ß‚πâ¡∂à«ßÕ¬à“߇¥’¬« ‚¥¬°“√°Ì“®—¥

µ—«·ª√‡«≈“√–À«à“ß ¡°“√∑’Ë„ÀâµÌ“·Àπàßµ“¡·°ππÕπ·≈–·°π¥‘Ëß

u

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„Àâ®ÿ¥°Ì“‡π‘¥‡ªìπµÌ“·Àπàß∫πæ◊Èπ∑’ˬ‘ß‚æ√‡®°‰∑≈åÕÕ°‰ª ·≈–‡√‘Ë¡®—∫‡«≈“‡¡◊ËÕ¬‘ß‚æ√‡®°‰∑≈å ‡√“®–‰¥â«à“

x u t= ×cosθ ·≈– y u t gt= × −sinθ 12

2

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yu

ux g

x

u= × −sin

cos cosθθ θ

12

2

2 2 À√◊Õ y xu

g x= × − ×tan secθ θ12 2

2 2

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15

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°“√∫√√¬“¬°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë·∫∫À¡ÿπ‚¥¬„™â¡ÿ¡

æ‘®“√≥“«ß≈âÕÀ√◊Õ«—µ∂ÿÕ◊Ëπ„¥°Á‰¥â ÷ËßÀ¡ÿπ‰ª‡ªìπ¡ÿ¡ 30o √Õ∫·°π Ê Àπ÷Ëߥ—ß√Ÿª¢â“ß≈à“ß

30o

‡√“ “¡“√∂∫Õ°°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë¢Õß«—µ∂ÿ‰¥âßà“¬ Ê ‚¥¬°“√∫Õ°¡ÿ¡∑’ËÀ¡ÿπ‰ª‡æ’¬ß§à“‡¥’¬« ·µà∂Ⓡ√“„™â°“√‡§≈◊ËÕπ∑’ˇ™‘ß

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¥—ßπ—Èπ‡√“µâÕß√Ÿâ«‘∏’°“√∫√√¬“¬°“√‡§≈◊ËÕπ∑’˥⫬¡ÿ¡·≈–‡¢’¬π°Æ°“√‡§≈◊ËÕπ∑’˵à“ßÊ „π√Ÿª¢Õß¡ÿ¡

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16

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‡√“∫Õ°°“√À¡ÿπ¥â«¬°“√°√–®—¥‡™‘ß¡ÿ¡ „π°“√∫Õ°°“√°√–®—¥‡™‘ß¡ÿ¡ ‡√“®–µâÕß∫Õ° 1. ·°πÀ¡ÿπ 2.

¡ÿ¡∑’ËÀ¡ÿπ‰ª 3. ∑‘»°“√À¡ÿπ

·°πÀ¡ÿπ§◊Õ·π«‡ âπµ√ß∑’Ë«—µ∂ÿÀ¡ÿπ√Õ∫ ‡¡◊ËÕ«—µ∂ÿÀ¡ÿπ Õπÿ¿“§∑’ËÕ¬Ÿà∫π·°πÀ¡ÿπ®–‰¡à‡§≈◊ËÕπ∑’Ë

‡√“®Ì“‡ªìπµâÕß∫Õ°∑‘»°“√À¡ÿπ«à“«—µ∂ÿÀ¡ÿπ∑«π‡¢Á¡π“Ãî°“À√◊Õ∑«π‡¢Á¡π“Ãî°“ ‡æ√“–∂Ⓡ√“∫Õ°·µà¢π“¥

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17

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22

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18

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19

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20

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25

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