1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

ΚΟΥΒΕΛΟΓΙΑΝΝΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ


1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΟΥΒΕΛΟΓΙΑΝΝΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Η Εξίσωση αx + βy = γ

Λύση της Γραμμικής Εξίσωσης αx + βy = γ Κάθε ζευγάρι αριθμών που επαληθεύει μία γραμμική εξίσωση λέγεται λύση της

γραμμικής εξίσωσης

Παράδειγμα 1 Να εξετάσετε αν τα παρακάτω ζεύγη (x, y) αποτελούν λύσεις της γραμμικής

εξίσωσης: x y 1

i) 0, 1 ii) (0,1) iii) (2,1)

Λύση

0 1 1 ισχύει Το ζεύγος 0, 1 επαληθεύει την εξίσωση

Το ζεύγος 0, 1 αποτελεί λύση της εξίσωσης.

0 1 1 δεν ισχύει Το ζεύγος (0,1) δεν επαληθεύει την εξίσωση.

Το ζεύγος (0,1) δεν αποτελεί λύση της εξίσωσης.

2 1 1 ισχύει Το ζεύγος (2,1) επαληθεύει την εξίσωση

Το ζεύγος (2,1) αποτελεί λύση της εξίσωσης.

Αν β 0 , τότε

α γy x

β β

αx βy γ βy αx γ

Αν β 0 , τότε

αx 0y γ

α 0 άρα έχουμε:

γx

α

αΣυντελεστής Διεύθυνσης: λ

β

γΣημείο τομής με τον y'y: 0,

β

Συντελεστής Διεύθυνσης: Δεν ορίζεται

Η ευθεία είναι //y'y

γΣημείο τομής με τον x'x: ,0

α

Αν α 0 , τότε β 0 άρα έχουμε:

0x βy γ γ

yβ

Συντελεστής Διεύθυνσης: λ 0

γΣημείο τομής με τον y'y: 0,

β

Ο

y

x

Ο

y

x

Ο

y

x

γ

β

γ

α

γ

β

2

Γραμμικό Σύστημα 2x2

Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις: 1 1 1 2 2 2

α x β y γ και α x β y γ

και ζητάμε τις κοινές λύσεις αυτών, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα

«γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους» ή, πιο σύντομα, ένα

«γραμμικό σύστημα 2x2».

Τότε γράφουμε:

1 1 1

2 2 2

α x β y γ

α x β y γ

Περιπτώσεις Λύσεων Γραμμικού Συστήματος Για τις λύσεις ενός γραμμικού συστήματος έχουμε τις εξής περιπτώσεις:

Μία μοναδική λύση Ένα κοινό σημείο μεταξύ

των δύο ευθειών που

περιγράφουν οι εξισώσεις

Καμία λύση (αδύνατο) Κανένα κοινό σημείο

μεταξύ των δύο ευθειών

που περιγράφουν οι

εξισώσεις

Άπειρες λύσεις (αόριστο) Οι δύο ευθείες που

περιγράφουν οι εξισώσεις

ταυτίζονται.

Ο

y

x

Κ

Ο

y

x

Ο

y

x


Επίλυση με την Μέθοδο της Αντικατάστασης

Μέθοδος 1) Λύνουμε την μία εξίσωση ως προς τον ένα άγνωστο.

2) Αντικαθιστούμε στην δεύτερη εξίσωση, αυτόν τον άγνωστο με την παράσταση

που βρήκαμε.

3) Λύνουμε την δεύτερη εξίσωση.

4) Αντικαθιστούμε στην πρώτη εξίσωση την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε από

την δεύτερη και επιλύουμε ως προς τον άλλο άγνωστο.

Παράδειγμα 2

Να επιλύσετε το σύστημα: x 2y 6

3x 4y 8

με τη μέθοδο της αντικατάστασης.

Λύση

x 2y 6

3 2y 6 4y 6y 4y 8 18

x 2 1 6x 2y 6 x 4

10y 10 y 1y 1

x 2y 6x 2y 6 x 2y 6

3x 4y 8 6y 18 4y 8

Άρα η λύση είναι x, y 4, 1

*Μπορούμε όμως να κάνουμε και επαλήθευση τοποθετώντας τα x και y στις

εξισώσεις:

4 2 1 6 4 2 6 ισχύει

3 4 4 1 8 12 4 8 ισχύει

Άρα πράγματι το ζεύγος x, y 4, 1 είναι λύση

4

Επίλυση με την Μέθοδο των Αντίθετων Συντελεστών

Μέθοδος 1) Επιλέγουμε τον άγνωστο που θα απαλείψουμε.

2) Πολλαπλασιάζουμε τις δύο εξισώσεις με αριθμούς τέτοιους, ώστε να προκύψουν

αντίθετοι συντελεστές σε αυτόν τον άγνωστο.

3) Προσθέτουμε κατά μέλη και προκύπτει μία εξίσωση με ένα άγνωστο. Λύνουμε

λοιπόν το ισοδύναμο σύστημα αυτής της εξίσωσης και της πιο απλής από τις

προηγούμενες.


Να επιλύσετε το σύστημα x 2y 6

3x 4y 8

με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών.

Λύση

( )x 2y 6 2 2x 4y 125x 20

3x 4y 8 1 3x 4y 8

Μαζί με την εξίσωση που δημιουργήθηκε επιλέγουμε και μία ακόμη από τις

προηγούμενες (την πιο απλή).

5x 20 x 4 x 4 x 4

x 2y 6 4 2y 6 2y 4 6 y 1

Άρα η λύση του συστήματος όπως βγήκε και με την άλλη μέθοδο είναι:

x, y 4, 1


Γραφική Επίλυση Συστήματος

Μέθοδος 1) Σχεδιάζουμε σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων τις γραφικές παραστάσεις

των δύο εξισώσεων.

2) Το σημείο τομής παριστάνει την λύση του συστήματος

● Αν δεν υπάρχει σημείο τομής το σύστημα είναι αδύνατο

● Αν οι γραφικές παραστάσεις ταυτίζονται, τότε έχουμε άπειρες λύσεις.


Να επιλύσετε γραφικά το προηγούμενο σύστημα x 2y 6

3x 4y 8

Λύση Κατασκευάζουμε πίνακες τιμών για να μας βοηθήσουν να σχεδιάσουμε τις ευθείες:

x 2y 6

x 0 6

y 3 0

3x 4y 8 x 0 4

y 2 1

Άρα η λύση είναι το κοινό σημείο των ευθειών x, y 4,1

Ο

y

x 4

1

6

Η Ορίζουσα 2x2

Η παράσταση α β

γ δ ονομάζεται ορίζουσα 2x2 και αναλύεται ως εξής:

α βαδ βγ

γ δ

Επίλυση – Διερεύνηση με την μέθοδο των Οριζουσών

Έστω ότι έχουμε το 2x2 γραμμικό σύστημα 1 1 1

2 2 2

α x β y γ

α x β y γ

Τότε λέμε ότι οι ορίζουσες του συστήματος είναι:

1 1

1 2 2 1

2 2

α β D α β α β

α β

1 1

x 1 2 2 1

2 2

γ β D =γ β γ β

γ β

1 1

y 1 2 2 1

2 2

α γ D =α γ α γ

α γ

Οπότε βασιζόμενοι σε αυτές τις ορίζουσες έχουμε ότι:

1 1 1

2 2 2

yx

α x β y γTo γραμμικό σύστημα :

α x β y γ

DD Aν D 0, έχει μοναδική λύση την x, y ,

D D

Αν D 0, είναι αδύνατο (δεν έχει λύση) ή αόριστο (έχει άπειρο πλήθος λύσεων)




3x 4y 8

με τη μέθοδο των οριζουσών.

Λύση

1 2

D 1 4 3 2 10 03 4

(Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση)

x

6 2D 6 4 8 2 40

8 4

y

1 6D 1 8 3 6 10

3 8

Οπότε η λύση του συστήματος θα είναι:

yX

DD 40 10x, y , , 4, 1

D D 10 10



2x 4y 12


Λύση

1 2

D 1 4 2 2 02 4

(Άρα το σύστημα θα είναι αδύνατο ή αόριστο)

x

6 2D 6 4 12 2 0

12 4

y

1 6D 1 12 2 6 0

2 12

*Παρατηρούμε ότι οι αντίστοιχοι συντελεστές των αγνώστων έχουν τον ίδιο λόγο.

2 4 12

21 2 6

. Αν πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση που έχει τους μικρότερους

συντελεστές με αυτό το λόγο έχουμε:

x 2y 6 2 2x 4y 12

2x 4y 12 1 2x 4y 12

Πρόκειται για την ίδια εξίσωση άρα το σύστημα είναι αόριστο και έχει άπειρες

λύσεις.

8

Θα βρούμε την μορφή αυτών των άπειρων λύσεων αν λύσουμε ως προς τον ένα

άγνωστο:

2x 4y 12 x 2y 6 x 2y 6

Τότε λέμε ότι οι λύσεις είναι της μορφής:

x, y 2y 6 , y , y

Όμως συνηθίζεται να μην χρησιμοποιούμε το γράμμα κάποιου από τους αγνώστους,

αλλά να βάζουμε κάποιο άλλο στην θέση του, δηλαδή τελικά θα λέγαμε:

Άπειρες λύσεις της μορφής: x, y 2κ 6 , κ , κ .



2x 4y 18


Λύση

1 2

D 1 4 2 2 02 4

(Άρα το σύστημα θα είναι αδύνατο ή αόριστο)

x

6 2D 6 4 18 2 12

18 4

y

1 6D 1 18 2 6 6

2 18

*Παρατηρούμε ότι ενώ οι αντίστοιχοι συντελεστές των αγνώστων έχουν τον ίδιο

λόγο, ο λόγος των σταθερών δεν είναι ίσος με αυτούς των αγνώστων.

2 42

1 2

, αλλά 18

36 .

Αν πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση που έχει τους μικρότερους συντελεστές με αυτό

το λόγο έχουμε:

x 2y 6 2 2x 4y 12

2x 4y 18 1 2x 4y 18

Από εδώ καταλαβαίνουμε ότι το σύστημα είναι αδύνατο. Αν όμως επιθυμούμε να το

δείξουμε με πιο σαφή τρόπο μπορούμε να αφαιρέσουμε τις εξισώσεις κατά μέλη

οπότε και θα προκύψει αδύνατη εξίσωση:

( )2x 4y 12

2x 2x 4y 4y 18 12 0 62x 4y 18

αδύνατο


Μέθοδος 1) Βρίσκουμε την ορίζουσα του συστήματος D.

2) Εξετάζουμε για ποιες τιμές της παραμέτρου είναι D = 0.

3) Για τις τιμές της παραμέτρου που είναι D 0 βρίσκουμε τη λύση του συστήματος.

4) Γι’ αυτές που είναι D = 0 αντικαθιστούμε μία – μία στο σύστημα και βρίσκουμε αν

είναι αδύνατο ή αόριστο.

Παράδειγμα 8 (Εφαρμογή 1 / σελ. 18 του σχολικού βιβλίου)

Να επιλύσετε το σύστημα: 2

λx y λ 1

λ x 2y λ

για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου

λ .

Λύση

2 2

2

λ 1D λ 2 λ 1 2λ λ λ λ 2

λ 2

D 0 λ λ 2 0 λ 0 ή λ 2

Για λ 0 και λ 2 έχουμε :

D 0 άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση.

x

λ 1 1D λ 1 2 λ 1 2λ 2 λ λ 2 λ 2

λ 2

2 2 3 2 3 2

y 2

2 2

λ λ 1D λ λ λ λ 1 λ λ λ λ 2λ

λ λ

λ λ 2 λ λ 2

Άρα η λύση θα είναι:

2

yxDD λ 2 λ λ 2 1

x, y , , , λD D λ λ 2 λ λ 2 λ

Για λ 0 έχουμε :

Το σύστημα γίνεται 2

0x y 0 1 y 1 y 1

2y 0 y 00 x 2y 0

αδύνατο

Για λ 2 έχουμε :

Το σύστημα γίνεται 2

2x y 2 1 2x y 1 2 4x 2y 2

4x 2y 2 1 4x 2y 22 x 2y 2

αόριστο

Λύνουμε μία εξίσωση για να δούμε τη μορφή των λύσεων:

2x y 1 y 1 2x

Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής: x, y κ , 1 2κ , κ

10

Επίλυση Γραμμικού Συστήματος 3x3

Μέθοδος 1) Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς ένα άγνωστο

2) Αντικαθιστούμε στις άλλες δύο

3) Λύνουμε το σύστημα αυτών των δύο εξισώσεων με τις μεθόδους που μάθαμε.

Παράδειγμα 9 Να λύσετε το σύστημα:

2x y 3z 9

x 3y z 10

3x y z 8

Λύση

y 2x 3z 92x y 3z 9 y 2x 3z 9 y 2x 3z 9

x 3y z 10 x 3 2x 3z 9 z 10 x 6x 9z 27 z 10 7x 8z 17

3x y z 8 5x 2z 1 1 2z3x 2x 3z 9 z 8x

5

y 2x 3z 9 y 2x 3z 9y 2x 3z 9

1 2z 1 2z7 8z 17 5 7 5 8z 5 17 7 1 2z 40z 85

5 51 2z

1 2z 1 2z xx x 5

5 5

y 2 1 3 3 9y 2x 3z 9 y 2x 3z 9 y 2

7 14z 40z 85 z 3 z 3 z 3

1 2z x 1 x 11 2 3x x

5 5

Άρα η λύση του συστήματος είναι:

x, y,z 1,2, 3


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα με τη μέθοδο της αντικατάστασης και με τη

μέθοδο των αντίθετων συντελεστών.

α) 3x 7y 1

x 3y 1

β)

x 5 2y 12 0

2 7

x 6 y 68

3 2

γ)

x 1 y 4x 2 5x

2 3

3x 5y 8

δ)

x y y 3

2 3

3x y 6 0

ε)

2x 3y1

3 2

8x 18y 10

στ) 21x 14y 28

3x 2y 4

ζ)

x 1 y 21

2 3

3x 1y

2 4

η)

x x 1y

3 2 6

2 x y1

3 2

θ) 3 x 6 y 7

2 x 4 y 1

2) Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα με τη μέθοδο των οριζουσών:

α) 3x 2y 8

2x 3y 10

β)

5x 4y 5 1

x y 5

γ) x 2 3y 1

3x 6y 3 3

δ) 9x 6y 18

15x 10y 30

ε)

25x 15y 35

10x 6y 12

στ)

14x 7y 21

6x 3y 9

3) α) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία

1,4 , 2, 7 .

β) Να λύσετε την εξίσωση 2 2

2x 3y 1 4x y 5 0

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x 3y 1 4x y 5 0

4) Αν το σύστημα

2 1 x 4 y 1

2 x 2 y 2

έχει τη λύση x, y 1, 1 , να

βρείτε τα α, β.

5) Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα για τις διάφορες τιμές του λ:

α) λx y 1

10x 2y λ 1

β)

λx 2y 4

3x y 5

γ) 2

x y 2

x λ y 1 λ

δ)

x 5λ 4 y λ

2λ 1 x λ 4 y 2λ

ε) 2λ x y 1

x y 3

στ)

2λ 1 x y λ

2λx y 1

ζ) λx 2y λ 2

λx 2λy 2λ 1

η)

x λy 1

λx 3λy 2λ 3

12

θ)

2 2 2λ 1 x λ 1 y λ

λ 1 x λ 1 y λ

ι)

2 λ x y λ 3

5x λ 2 y 3 λ

6) Να βρείτε τις τιμές των , για τις οποίες το σύστημα:

2x 3y 6

3x y 2

έχει άπειρες λύσεις και στη συνέχεια να βρείτε τη μορφή των λύσεων αυτών.

7) Δίνεται το γραμμικό 2x2 σύστημα που έχει ορίζουσες x yD,D ,D . Aν το σύστημα

έχει μοναδική λύση την 0 0x , y και επιπλέον ισχύει:

2 2

x y x yD D D 2D 4D 5D ,

τότε να βρείτε τη λύση αυτή.

8) Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει: 2 2 2

x y xD D D 4D 2D 5 0

Να βρεθούν τα x, y.

9) Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει:

x yD D D και

x yD D 3D . Aν το σύστημα έχει μοναδική λύση, να βρεθεί

η λύση αυτή.

10) Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα:

α)

x y z 2

2y 3z 5

z 3

β)

3x 7y z 5

2x 4y z 2

3y z 2

γ)

x y 2z 3

2x y z 1

5x y 3z 2

δ)

x 2y 3z 0

2x 4y 5z 1

3x 5y z 3

11) Να βρείτε τα α,β ώστε τα συστήματα

αx 1 β y 3

βx α 1 y 13

και 2x 3y 8

3x 2y 7

να έχουν κοινή λύση.

12) Σε ένα ξενοδοχείο με 167 κρεβάτια υπάρχουν 74 δίκλινα και τρίκλινα δωμάτια.

Να βρείτε το πλήθος των δίκλινων και των τρίκλινων δωματίων.

13) Να βρείτε για ποιον πραγματικό αριθμό λ οι παρακάτω ευθείες ταυτίζονται.

1 2

ε : x λy 1 και ε : λx 3λy 2λ 3


MH ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ορισμός

Μη γραμμικό σύστημα 2x2 ονομάζεται οποιοδήποτε σύστημα δύο ειξισώσεων

με δύο αγνώστους, το οποίο περιέχει τουλάχιστον μία μη γραμμική εξίσωση

(δηλαδή μία εξίσωση η οποία δεν μπορεί να αναχθεί στην μορφή αx + βy = γ,

όπου x, y είναι οι άγνωστοι και α, β ,γ είναι πραγματικές σταθερές)

Χρήσιμες Γνώσεις

2 2 2

Η εξίσωση x y ρ (ρ 0) παριστάνεται στο καρτεσιανό

σύστημα συντεταγμένων από ένα κύκλο με κέντρο Ο 0, 0

και ακτίνα ρ.

2

Η εξίσωση x αy (α 0) παριστάνεται στο καρτεσιανό

σύστημα συντεταγμένων από μία παραβολή με κορυφή

Ο 0, 0 και άξονα συμμετρίας τον άξονα y'y.

2

Η εξίσωση y αx (α 0) παριστάνεται στο καρτεσιανό

σύστημα συντεταγμένων από μία παραβολή με κορυφή

Ο 0, 0 και άξονα συμμετρίας τον άξονα x'x.

α Η εξίσωση xy α (α 0) y παριστάνεται στο

x

καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων από μία υπερβολή.

ρ

y

Ο x

y

Ο x

y

Ο x

14

Επίλυση Μη Γραμμικού Συστήματος

Μέθοδος

Εφόσον το γραμμικό σύστημα αποτελείται από μία γραμμική εξίσωση και

μία μη γραμμική εξίσωση, τότε λύνουμε την γραμμική εξίσωση ως προς

τον ένα άγνωστο και αντικαθιστούμε στην μη γραμμική εξίσωση.

Αν και οι δύο εξισώσεις είναι μη γραμμικές τότε θα πρέπει να επιστρατεύσουμε

μεθόδους όπως παραγοντοποίηση, θέσιμο, κλπ.

Προσοχή: Ένα μη γραμμικό σύστημα μπορεί να έχει και δύο ή περισσότερες λύσεις

χωρίς να είναι άπειρες στο πλήθος.


Να λυθεί το σύστημα: 2 2

x y 5

x y 25

Λύση

22 2 2 2 22

y 5 xx y 5 y 5 x y 5 x

x y 25 x 25 10x x 25 2x 10x 0x 5 x 25

y 5 x y 5 ή y 0

2x x 5 0 x 0 ή x 5

Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι:

x, y 0, 5 ή x, y 5, 0

Γεωμετρικά:

Η εξίσωση 2 2

x y 25 παριστάνεται από κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα

ρ = 5.

Η εξίσωση x + y = 5 είναι γραμμική και παριστάνεται από ευθεία που διέρχεται από

το (0,5) και το (5,0)

Οπότε οι λύσεις του συστήματος είναι τα κοινά σημεία αυτών των δύο καμπυλών.

Ο

y

x



Να λυθεί το σύστημα: x y 5

xy 6

Λύση

2

y 5 xy 5 x y 5 xx y 5 y 5 2 ή y 5 3

5 1xx 5 x 6xy 6 x 2 ή x 3x 5x 6 0

2 1

y 3 ή y 2

x 2 ή x 3


x, y 2, 3 ή x, y 3, 2

Η εξίσωση 6

xy 6 yx

παριστάνεται από μία υπερβολή στο 1ο και 3ο

τεταρτημόριο.

Η εξίσωση x y 5 y x 5 παριστάνεται από μία ευθεία.

Ο

y

x

16


Να λυθεί το σύστημα: 2 2

xy 6

x y 13

Λύση

22 2

2 4 22

2

2 2 2

6 6y 6y

xy 6 yx xx

36x y 13 6x 13 x 36 13x 0x 13

xx

6y6 66

y yyxx xx

13 25ω 9 ή ω 4ω 13ω 36 0 x 9 ή x 4ω

2 1

y 2 ή y 2 ή y 3 ή y 3

x 3 ή x 3 ή x 2 ή x 2

Άρα οι λύσεις είναι:

x, y 3, 2 ή x, y 3, 2 ή x, y 2, 3 ή x, y 2, 3

Η πρώτη εξίσωση παριστάνει υπερβολή στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο

Η δεύτερη εξίσωση κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ 13

Ο

y

x



Να λύσετε το σύστημα:

x 2 y 1 0

2x 3 3y 5 0

Λύση

x 2 y 1 0 x 2 0 ή y 1 0

2x 3 3y 5 02x 3 3y 5 0

x 2 ή y 1 x 2 ή y 1

2 2 3 3y 5 0 ή 2x 3 3 1 5 0 7 3y 5 0 ή 8 2x 3 0

x 2 ή y

x 2 ή y 1

15 3

3y 5 0 ή 2x 3 0 y ή x3 2


5 3

x, y 2, ή x, y , 13 2



2 2

2 2

3x y 2

8x 3y 17

Λύση

2 22 2 2 2 2 2

2 22 2 2 2 2 2

2 2

2

y 3x 23x y 2 y 3x 2 y 3x 2

8x 3 3x 2 178x 3y 17 8x 9x 6 17 8x 9x 6 17

y 3x 2

x 11 αδύνατη

Άρα το σύστημα είναι αδύνατο.

18



3 51

x 2 y 3

2 15

x 2 y 3

Λύση

Πρώτα θα πρέπει να πάρουμε περιορισμούς:

x 2 0 και y 3 0

x 2 και y 3

3 5 3 51 x 2 y 3 x 2 y 3 x 2 y 3

x 2 y 3 x 2 y 3

2 1 2 15 x 2 y 3 x 2 y 3 5 x 2 y 3

x 2 y 3 x 2 y 3

y 3 3 x 2 5 x 2 y 3 3y 9 5x 10 xy 3x 2y 6

2y 6 x 2 5xy 15x 10y 30y 3 2 x 2 5 x 2 y 3

2x 5y xy 5

16x 12y 5xy

2 2

5 10x 25y 5xy 25 26x 13y 13

38 16x 12y 5xy 38 2x 5y xy 51

y 2x 1 y 2x 12x y 1

2x 5 2x 1 x 2x 1 5 2x 5 2x 1 x 2x 1 52x 5y xy 5

y 2x 1 y 2x 1

2x 10x 5 2x x 5 2x 9x 10

5y 2x 1 y 2 1 ή y 2 2 1

29 1

100 xx ή x 22 2

4

y 4 ή y 3

5x ή x 2

2

Άρα οι λύσεις είναι:

5

x, y , 4 ή x, y 2, 32

Όμως η δεύτερη απορρίπτεται άρα μοναδική λύση η 5

x, y , 42


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Να λύσευε το σύστημα

2

2

x y

y x

και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα.

2) Να λύσετε το σύστημα: 2

3x y 1

x xy 14

3) Να λύσετε το σύστημα:

2

2

y5xy 6y 0

2

y x 5x 6

4) Αν κάθε δύο απέναντι πλευρές ενός τετραγώνου αυξηθούν κατά 2m και 3m

αντίστοιχα, προκύπτει ένα ορθογώνιο, το οποίο μαζί με το τετράγωνο έχουν

εμβαδόν 281m . Να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου.

5) Για τις διάφορες τιμές του λ να προσδιορίσετε το πλήθος των κοινών

σημείων των γραμμών με εξισώσεις 2 2x y 25 και y x λ . Ποια είναι τα

κοινά σημεία σε κάθε περίπτωση;

6) Δίνονται η ευθεία με εξίσωση y λx 5 και η παραβολή 2y 3x όπου λ .

Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραβολή έχει:

i) Ένα κοινό σημείο με την ευθεία.

ii) Δύο κοινά σημεία με την ευθεία.

1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Documents

Transcript of 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ