1-22المعادلات التفاضلية -1

1

دالت التفاضلية ااملع -1

: مفاهيم عامة -1)،متعلقة بهyودالة جمهولة،xتربط بني متغري مستقلعالقة ،بتعرف املعادلة التفاضلية: 1تعريف )( )xy ϕ=، اومشتقا

.من خمتلف الرتب :2تعريف

.بأا رتبة أكرب مشتق فيها،لية تعرف رتبة املعادلة التفاض - أ .بأا درجة املشتق األكرب رتبة فيها ،تعرف درجة املعادلة التفاضلية - ب

:هو nالشكل العام للمعادلة التفاضلية من الرتبة :1نتيجة ( )A ( )( ) 0,........,,, =′′′ nyyyyxF

)،xيف جمهولة دالة yو ،ℜn+2من Ωنطاق معرفة علىدالة معلومة Fحيث )( )xy ϕ=معرفة على جمال،Iمنℜ. : مثال

xyyyاملعادلة - أ sin2 ) :أي ،′′′+′+= ) xyyyyyyyxF sin2,,,, −+′+′′′=′′′′′′ .معادلة تفاضلية من الرتبة الثالثة هي) املعادلة - ب ) 02 =′+′′ yy، أي: ( ) ( )2,,, yyyyyxF ′+′′=′′′

.معادلة من الرتبة الثانيةهي ) املعادلة - ج ) 012 =+′′y، أي: ( ) ( ) 1,,, 2 +′′=′′′ yyyyxF

.معادلة من الرتبة الثانية والدرجة الثانيةهي )ن املعادلة التفاضليةإنقول :3تعريف )Aأي ،إذا كانت حملولة بالنسبة للمشتق األكرب رتبة فيها،تكتب بالشكل العادي

:تكتب من الشكل ( )B ( ) ( )( )1,......,,, −′= nn yyyxfy

.Iاال من xو، ℜn+1من Dدالة معلومة يف نطاق fحيث)،yالدالة :4تعريف )( )xy ϕ=، الاملعرفة على اI ا حل للمعادلةإ، نقول( )B، إذا حققت الشروط التالية:

) - أ )xϕ ستمرار اقابلة للتفاضل بn مرة علىI ،أي: ( )IC n∈ϕ. ) - ب ) ( ) ( ) ( )( ) DxxxxIx n ∈′→∈∀ −1.,,.........,, ϕϕϕ ) - ج )xϕ حتول املعادلة( )B إىل متطابقة أي:

PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

http://www.pdffactory.com

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )xxxxfxIx nn 1.,,.........,, −′=→∈∀ ϕϕϕϕ )بنفس الطريقة يعرف حل املعادلة )A.

)املعادلة : 5تعريف )Aإذا كان الطرف األيسر منها كثري حدود من الدرجة األوىل بالنسبة للدالة ة خطية،تسمى معادل)ومجيع مشتقاا ، yاهولة )nyyy ,,........., :أي هي معادلة من الشكل، ′′′

( )C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfyxayxayxa nnn =+++ − ..........1

10 naaafحيث ,.....,,, .ℜمن Iدوال معلومة على جمال 10

: إنشاء املعادلة التفاضلية -2 : إنشاء عن طريق جمموعة منحنيات .2-1

:املعرفة باملعادلة التالية ، yxoلتكن جمموعة املنحنيات يف املستوي ( )1 ( ) 0,.......,,,,, 21 =∈ ncccyxIx ψ

ثابت إختياري nمتعلقة بـ )عتبار اب )ncccxy ,.......,,, 21ϕ=

)نشتق )1،n بة لـ مرة بالنسx حنصل على( )1+n حنسب من .معادلةn معادلة قيمةnccc ,.....,, و xبداللة 21y االدرجةحنصل على معادلة تفاضلية من ،ونعوض يف املعادلة األخرى،ومشتقاn ،أي من الشكل:

( )( ) 0,.......,,, =′′′ nyyyxF )املعادلة: n=1حالة - ) : تكتب من الشكل1( ) 0,, =cyxψ

:املعادلة التالية ،جند xنشتق مرة بالنسبة لـ ( )( ) ( )( ) ( ) Ixcxccxxccxx yx ∈∀=′′+′ ,0,,,,,,, ϕϕψϕψ :من اجلملة cحبذف الثابت

( )( ) ( )

=′′+′=

0,,,,0,,

ycyxcyxcyx

yx ψψψ

) األوىل الرتبةحنصل على معادلة من ) 0,, =′yyxF ) : 1مثال ) 0,, 222 =−+= ayxcyxψ

022 ،جندxنشتق بالنسبة لـ =′+ yyx :ل اجلملة حب

=′+=−+

0220222

yyxayx



3

:حنصل على املعادلة التفاضلية التاليةyxy y≠0 حيث، ′=−

) :2مثال ) ( ) 0,,, 2 =−−=≥ cxycyxcx ψ 022 جند xبالنسبة لـ نشتق =−−′ cxy

)ل اجلملة حب )( )

−=′−=

cxycxy

2

2

yy :التفاضلية التالية حنصل على املعادلة 2=′ ، 0≥y ) : 3مثال ) nn

nnn cxcxcxcycccyx ++++−= −

−−1

22

1121 .......,.....,,,,ψ

) :حنصل على املعادلة التفاضلية التاليةبنفس الطريقة يف املثالني السابقني، ) 0=ny ...هلندسية، الفيزيائية إنشاء عن طريق بعض املسائل ا. 2-2

.نربط اجلسم بنابض،)ال يوجد إحتكاك(موضوع فوق سطح أملس،mليكن جسم كتلته:1مثال حسب، xاجلسم يف اجلهة املعاكسة لنقطة التثبيت مسافة حنرك

،xمتناسبة مع املسافة Fخيضع إىل قوة mاجلسمقانون هوك kxFأي .انظر الشكل ااور.للنابضثابت املرونة kحيث،=maFمن ناحية ثانية حسب القانون الثاين لنيوتن x :أي ،تسارعالaحيث ،=

dtxda ′′== 2

2

kxxm :نستنتج أن ومنه =′′

) :،ونكتبالثانية الرتبةهي معادلة تفاضلية من و ) 0,,, =−′′=′′′ kxxmxxxtF )كنتل : 2مثال )xy ϕ=1حيث كل مماس له يقطع املستقيم الذي معادلته،منحىن معادلة=y يف نقطة فاصلتها

)أوجد . تساوي ضعف فاصلة نقطة التماس )xϕ. )لتكن - )yxM ميل املماس يف هذه النقطة هو .نقطة على املنحىن ,

dxdyy :ومنه معادلة املماس هي ، ′=

∗ ( )xXdxdyyY −=−

)حيث )YX, نقطة كيفية واقعة على املماس. Y ، xX=1عندما ):تكتب كالتايل ∗ ومنه ،=2 ) yxxxyy ′=−′=− )،أي21 ) 01,, =−+′=′ yyxyyxF

)حبل املعادلة السابقة جند ،هي معادلة تفاضلية من الرتبة األوىل و )xϕ . :املعادلة التفاضلية من الرتبة األوىل -3

:ادلة من الشكل املعادلة التفاضلية من الرتبة األوىل هي كل مع، 1فقرة1من التعريف :1تعريف



4

( )1 ( ) 0,, =′yyxF ∋⊃ℜحيث Ix وF دالة معرفة على نطاقΩ 3منℜ وy يف جمهولة دالةx،( )( )xy ϕ=.

:،نكتب1فقرة 3التعريف يف كماأو يف الشكل العادي ( )2 ( )yxfy ,=′

.2ℜمن Dة معرفة على نطاق دال fحيث )املعادلة :1مالحظة :أي إذا كتبت من الشكل، ′yو yخطية بالنسبة لـ Fتكون خطية إذا كانت 1(

( )3 ( ) ( )xbyxadxdy

+= )حيث )xa و( )xb الامعرفت نادالتن على نفس اI .

)املعادلة : 2مالحظة :عالقة بني تفاضلني، أي ميكن كتابتها على شكل 2( ( )4 ( )dxyxfdy ,=

)وعليه أحيانا تعطى املعادلة الشكل يف 2( ( )5 ( ) ( ) 0,, =+ dyyxQdxyxP

)لةلداا: 2تعريف )xϕحيثIx∈، تكون حال للمعادلة( : إذا حققت الشروط التالية ،2() - أ )xϕ أيقابلة للتفاضل بإستمرار،: ( )IC1∈ϕ

) - ب )( ) DxxIx ∈→∈∀ ϕ, ) - ج )xϕ حتول املعادلة( ): أي ،إىل متطابقة 2( ) ( )( )xxfx ϕϕ ,=′

)العالقة :1نتيجة ) 0, =yxφ حيثIx∈ ،تسمى حال للمعادلة( )ةأو تكامل للمعادل،يف الشكل الضمين 1( إذا ،1()،xكدالة يف yكانت تعرف )( )xy ϕ=، حتقق الشروط أ ، ب ، ج.

: دراسة املعادلة التفاضلية يف الشكل العادي 3-1 : لتكن املعادلة التفاضلية التالية

( )yxfy ,=′ )أي املعادلة رقم .2ℜمن Dمستمرة على نطاق وحيدة القيمة دالة fحيث، 2(

: و الشاذ ،احلال العام ، اخلاص 3-1-1)سألة كوشي للمعادلةتعرف م :1تعريف )،بأا املسألة اليت تبحث يف وجود حل2( )xϕ للمعادلة( : حيقق الشرط 2(

( ) 00 yx =ϕ. ) : يكتب هذا احلل يف الشكل )00 ,, yxxy ϕ=

.الشرط يسمى الشرط اإلبتدائي



5

)الدالة : 2عريف ت )cx,ϕ،( )( )cxy ,ϕ=، حيثc ستمرار بالنسبة لـاثابت كيفي القابلة للتفاضل بx، ا إنقول)حل عام للمعادلة : شروط التالية إذا حققت ال Dيف النطاق 2(

)املعادلة - أ )cxy ,ϕ= قابلة للحل بالنسبة لـc، من أجل كل أي( )yx, منD جند: ( )yxc ,ψ= )الدالة - ب )cx,ϕ للمعادلة تعترب حال( .أ املعرفة يف cمن أجل كل قيمة من قيم 2(

)معرفة احلل العام :1نتيجة )cx,ϕ، بتدائيإتؤدي إىل حل مسألة كوشي بالنسبة ألي شرط( )00 , yx. )الصيغةنعوض هذا الشرط يف بالفعل، )cxy ,ϕ= حنصل على: ( )cxy ,00 ϕ=

)ومنه جند )000 , yxc ψ= )كوشي هو يكون حل مسألة هعليو )0,cxy ϕ= ، أو نكتب :( )00 ,, yxxy ϕ=

)احلل )0,cxy ϕ= ، يسمى احلل اخلاص للمعادلة( )2. )يعرف احلل اخلاص للمعادلة : 2نتيجة )بأنه احلل الذي ينتج من احلل العام ،2( )cxy ,ϕ=، بإعطاءc قيمة معينة،

)اإلبتدائيأي هو احلل الذي حيقق الشرط ) ( )00000 ,,, yxyxc ψ= ، أي هو حل مسألة كوشي. )عرف احلل الشاذ للمعادلة ي : 3تعريف cستخراجه من احلال العام بإعطاء الثابت ابأنه أي حل هلا ال ميكن ،2(

.قيمة معينة23xy :لتكن املعادلة التالية :1مثال =′ )الدالة )cx,ϕ حيث ( ) cxcxy +== 3,ϕهي حل عام للمعادلة،

cxyألن املعادلة += )، cقابلة للحل بالنسبة لـ 3 )( )3, xyyxc −==ψ. )الدالة ،cومن أجل كل قيم )cxy ,ϕ= تكون حال للمعادلة( :على سبيل املثال الاحلصر.2(

.......2,2;1,1;,0 333 ++==−=−=== xycxycxyc )اخلاص الذي حيقق الشرط اد احللجيإ ) ( )2,1, 00 =yx:

1123عندنا000 =−=−= xyc 13،ومنه يكون += xy هو احلل اخلاص املطلوب.

042 :لتكن املعادلة التالية : 2مثال =−′ yy ) احلل العام للمعادلة هو ) ( )2, cxcxy +== ϕ

يكون حال هعلي،وقيمة معينة cستخراجه من احلل العام بإعطاء الثابتاال ميكن ،لكنحل للمعادلة y=0الحظ أن .شاذا هلا

:املفهوم اهلندسي 3-1-2) ليكن )xϕ،( )( )xy ϕ=، حال للمعادلة( .Iعلى اال 2(



6

)يعرف املنحىن التكاملي للمعادلة :1تعريف )لاحلبأنه بيان ،2( )xϕيرمز له بالرمز ،وΓ. ( )( ) 2, ℜ⊂⊂∈=Γ DIxxx ϕ

مز ويرمز له بالر ،على حمور التراتيب Γبأنه مسقط ،)املنحىن الطوري للمعادلة(يعرف مدار املعادلة ، : 2تعريفΓP.ونكتب: ( ) IxxP ∈=Γ ϕ

)مير بالنقطة 0Γمسألة كوشي تعين إجياد منحىن تكاملي :1نتيجة )00 , yx. )املعادلة :2نتيجة )ي نقطةربط أتعالقة ،هندسيا تعين 2( )yxM )(،Dمن , )yxM ) Γتكامليالنحىن املواقعة على ,

:ونكتب.وميل املماس يف تلك النقطة ( )yxf

dxdytg ,==α

)نرسم يف كل نقطة )yxM )ميلها يساوي قطعة مستقيمة صغرية Dمن , )yxf .Mومنتصفها ,)أو حقل اإلجتاه للمعادلة Dتسمى حقل التوجيه على،جمموعة هذه املستقيمات الصغرية )أو للدالة 2( )yxf ,.

)أي اليت حتقق يف كل نقاطها ،اليت هلا نفس امليل Dجمموعة النقط من ) kyxf =,،k ىتساو ثابت ، تسمى خط .انظر الشكل السابق .امليل

:5نتيجة .يف كل نقطة من نقاطه ميس حقل التوجيهΓاملنحىن التكاملي-1يكون ،تكون املماسات يف كل نقطة من نقاطه مطابقة ملستقيم حقل التوجيه املرسوم يف تلك النقطةأي منحىن -2

)للمعادلة اتكاملي منحين )2. )للمعادلة Γالتكاملياملنحىن ميكن تصور -3 وتعيني نقاط وي امليل،وخطوط تسا، من خالل رسم حقل التوجيه،2(

.Γـ لالقيم القصوى ونقاط اإلنعطاف : مالحظة

، أي هو خط تساوي امليلy′=0ندسي ،هو اخلط الذي معادلتهنقط القيم القصوى إن وجدت، يكون حملها اهل -1)الذي معادلته ) 0, =yxf.

α

( )xy ϕ=

x

y

α

y



7

):أي y′′=0نقط اإلنعطاف إن وجدت،يكون حملها اهلندسي ،هو اخلط الذي معادلته -2 ) 0, =+dydfyxf

dxdf

xy : لتكن املعادلة التالية :1مثال =′ )ة،واملنحين التكاملي الذي ميربالنقطةالتكاملي اتاد الشكل التقرييب للمنحنيجياملطلب إ )1,1.

kxمنحنيات تساوي امليل هي املستقيمات اليت معدلتها = ......,.........1,

4,0,0 ±=±=== ktgktg π

αα .هو احملل اهلندسي للقيم القصوى x=0املستقيم y′′>0 يكون، x>0عندماو، y′<0يكون x<0عندما:الحظ

.انظر الشكل ااورcxyلمعادلة هوالعام ل احللمن ناحية ثانية +=

2

2

) ئيالشرط اإلبتداب بالتعويض ،جند الثابت1,1(21

=c

) ئياإلبتدا املنحين املطلب هو بيان احلل اخلاص الذي حيقق الشرط :،أي احلل1,1(21

2

2

+=xy

:وجود ووحدانية احلل : 3-1-3)لتكن املعادلة التفاضلية ) :أي املعادلة ،2( )yxfy ,=′

.قد يكون مغلقا Dالنطاق : حتققإذا ،yبالنسبة لـ لبشيتز حتقق شرط fن الدالةإنقول :1تعريف

( ) ( ) ( ) ( ) Dyxyxyykyxfyxf ∈∀−≤− 212121 ,,,,,, k لبشيتزثابت يسمى ثابت .

yfاملشتق إذا كان :1قضية :الشرط موجود وحيقق ′ ( ) Dyx ∈∀ , ، ( ) Myxfy ≤′ ,

M ثابت معني. .yبالنسبة لـ لبشيتزحتقق شرط fفإن

:نفرض أن :الربهان ( ) ( ) MyxfDyx y ≤′→∈∀ ,,

)نقطتني كيفيتنينطبق نظرية التزايدات املنتهية يف ) ( )12 ,,, yxyx منD جند 21 yy << ξ ، ( ) ( ) ( )( )2121 ,,, yyxfyxfyxf y −′=− ξ

101 ==−= kkk

x

y



8

)مبا أن ) Dx ∈ξ,،ه حسب الفرض نستنتجفإن: ( ) ( ) 2121 ,, yyMyxfyxf −≤−

)، yحتقق شرط لبشيتز بالنسبة لـ fأي أن )Mk =. .عكس القضية يف احلالة العامة غري صحيح :تنبيه ) الدالة :1مثال ) yyxf =,

)يف جوار النقطة )0,x ز ألنحتقق شرط لبشيت: ( ) ( ) 1,, ,212121 =−≤−=− kyyyyyxfyxf

)يف النقطة yلكن الدالة غري قابلة لالشتقاق اجلزئي بالنسبة لـ )0,0. )املعادلة التفاضلية : 2قضية )yxfy )،أي املعادلة′=, 0الشرط مع 2(

0yy

x أي مسألة كوشي ، =

( )

=

=′

00

,yy

yxfy

x

:تكافئ املعادلة التكاملية التالية ( ) ∗+= ∫

x

xdxyxfyy

0

,0 : الربهان

[ )كامل املعادلة ن ⇐[ ) :جند ،xإىل 0xمن xبالنسبة لـ ،2( )∫=x

x

x

xdxyxfy

00,

0عتبار الشرط اب0

yyx

) :جند ، = )∫+=x

xdxyxfyy

0

,0 [ جند xبالنسبة لـ ∗نشتق املعادلة التكاملية ⇒[

( ) ( ) )(,,0

Ayxfdxyxfyx

x

x=′

=′ ∫

جند ∗يف 0xبـ xنعوض ( ) )(, 00

0

00Bydxyxfyy

x

xx=+= ∫

مسألة كوشي حنصل على B)(و A)(من

( )

=

=′

00

,yy

yxfy

x

)كل حل ملسألة كوشي :1نتيجة ) 00

,, yyyxfyx

.والعكس صحيح ∗هو حل للمعادلة التكاملية ،′== :نظرية بيكار

:نطاقا معرفا كالتايلDليكن



9

( ) byyaxxyxD ≤−≤−ℜ∈= 002 ,/,

)حيث )00 , yx 2منثانيةنقطةℜ.

)إذا كانت )yxf :أي ،yوحتقق شرط لبشيتز بالنسبة لـ ،Dدالة مستمرة على , k ثابت لبشيتز ( ) ( ) 00,, yykyxfyxf −≤−

)للمعادلة فإنه )،أي املعادلة2( )yxfy )يوجد حل وحيد ،′=, )xy ϕ= على جمال[ ]hxhx +− 00 , yyالشرط االبتدائي حيقق

x=

0 :حيث ،

( )yxfMMbah

D,max,,min =

=

الشرط مفهوم :الربهان

=

Mbah ,min

)ميران بالنقطة ،−Mميلها يساوي CD،وMميلها يساوي ABنرسم قطعتني مستقيمتني )00 , yx. .Dفاصلة النقطة 1xو،Bفاصلة النقطة 2xلتكن :الحظ

Mbxx

Mbxx −=−=− 0102⇒

−=

02 xxbtgα

)مبا أن )yxfM ,max= فإنه ، ( ) Mxy ≤′ )أن كل املنحنيات التكاملية للمعادلةأي إن وجدت 2(

،CDوABحمصورة بني املستقيمني تكون

<>

BCMDAM 00 . انظر الشكل ااور.,

التكاملية فوقومنه حىت نضمن عدم خروج املنحنيات byyاملستقيم += byyأو حتت املستقيم،0 −= hxxhxأن تكون جيب 0

Mbh +≤≤−≤ 00, .

ahكون يجيب أن ،ااملنحىن التكاملي معرفوحىت يكون ≤. كون ي ومنه يف كل احلاالت جيب أن

=

Mbah ,min.

:برهان النظرية بطريقة املتتاليات التقريبية -1 : عندنا

( )( )∫+=⇔

=

= x

x

x

dxyxfyyyy

yxfdxdy

0

0

,,

0

0

21

00000

xxaxhxxhxax ++−−

by

y

by

+

+

0

0

0

BD

α

β A B



10

)ز هلا بالرمز اليت نرم للمعادلة التكاملية يبنبحث عن احلل التقريب )1. )دالة مستمرة،نأخذ كتقريب من الدرجة صفر )xϕ،( )( )xy ϕ=، متر بالنقطة( )00 , yx.

)نأخذها مثال الدالة ) 00 yx =ϕحيث،[ ]hxhxx +−∈ 00 ,. )هذا يعين أن العبارة )( )dxxxfy

x

x∫+0

00 ,ϕ ، معرفة جيدا كدالة يفx، نرمز هلا بالرمز( )x1ϕأي،: ( ) ( )( )∫+=

x

xdxxxfyx

0001 ,ϕϕ ]هذه الدالة معرفة على االحسب نظرية التكامل حده األعلى متغري، ]hxhx +− 00 ومستمرة ,

:وحتقق( ) 001 yx =ϕ

( )x1ϕ النسميها التقريب األول للحل على ا[ ]hxhx +− 00 , . :التراجعية التالية العالقة حنصل علىوهكذا

( ) ( )( ) ( )2......3,2,1,0

10 =+= ∫ − ndxxxfyxx

xnn ϕϕ

)دوال صل على متتاليةحن ،ومنهاليت حتدد كل التقريبات للحل ) 1≥nnϕالمعرفة ومستمرة على ا[ ]hxhx +− 00 ,. :نربهن أن

1- nΓ بيان الدالةnϕ ،,........2,1,0=n النطاق املغلق عنال خيرجACBD ،hxxhx +≤≤− 00. )املتتالية -2 ) 1≥nnϕ نتظامامتقاربة ب. ) ليةاية هذه املتتالية حل للمعادلة التكام -3 )1 . .املعادلة وحيدحل هذه -4) :أي أن نربهن أن -1 ) hxxbyxn ≤−≤− 00 ,ϕ ، ,........2,1,0=n

)التقريب واضح أن ) 00 yx =ϕ 1حيقق.

) مباأن ) ( )( )∫+=x

x

dxxxfyx0

001 ,ϕϕ

) فإن ) ( )( ) ( )( ) bMbMMhxxMdxxxfdxxxfyx

x

x

x

x

=≤≤−≤≤≤− ∫∫ 00001

00

,, ϕϕϕ

) مباأن ) ( )( )∫+=x

x

dxxxfyx0

102 ,ϕϕ و،( )( ) Dxx ∈1,ϕ

) فإن ) bMbMMhxxMyx =≤≤−≤− 002ϕ



11

وهكذا بالتراجع جند ( ) ......3,2,1,0 =≤− nbyxnϕ

)لربهان التقارب املنتظم للمتتالية -2 ) 1≥nnϕ كون السلسلة التالية ن: ( )3 ( ) ( ) ( ) ................ 112010 +−++−+−+ −nn ϕϕϕϕϕϕϕ

)حد منها هو احلد العام للمتتالية n+1لـمبا أن اموع اجلزئي ) 1≥nnϕ أي،: ( ) ( ) [ ]hxhxxS nnnn +−∈=−++−+= − 001010 ,,................. ϕϕϕϕϕϕ

)أن تقارب السلسلة ،هذا يعين حسب تقارب السالسل واملتتاليات )كافئ تقارب املتتاليةي3( ) 1≥nnϕ إىل نفس النهاية ) مباأن ) ( ) 001 xxMxx −≤−ϕϕفإنه بتطبيق لبشيتز جند، :

( ) ( )!2

20

001

00

xxkMdxxxkMdxxxk

x

x

x

x

−≤−≤−≤ ∫∫ ϕϕ( ) ( ) ( )( ) ( )( )∫ −≤−

x

x

dxxxfxxfxx0

0112 ,, ϕϕϕϕ

:ستعمال التراجع ينتج اب

( ) ( )!

011 n

xxkMxx

nn

nn

−≤− −

−ϕϕ أو ،( ) ( )

−≤− − !

01 n

xxkkMxx

n

nn ϕϕ ، ......3,2,1=n

hxx مباأن ≤− : ،فإن 0

( )4 ( ) ( ) ( )!1 n

khkMxx

n

nn ≤− −ϕϕ مبا أن

( ) ( ) ( )=++++++ ........

!.............

!3!2

32

0 nkh

kMkh

kMkh

kMMhy

n

( )10 −+= khekMy ( ) ( ) ( )

++++++= ........

!.............

!3!2

32

0 nkhkhkhkh

kMy

n

)السلسلة فإن )∑∞

=

+1

0 !n

n

nkh

kMy متقاربة.

)ومنه،ومن )تقارب سالسل الدوال، السلسلة حسب نظرية ،4( ) [ ]∑∞

=+ −+

010

nnnx ϕϕϕ نتظام على اتكون متقاربة ب

]اال ]hxhx +− 00 ,. )هذا يعين أن املتتالية )( )xnϕ ال امتقاربة بنتظام على ا[ ]hxhx +− 00 ,.

)فإن اية املتتالية هي دالة مستمرة ،دوال مستمرة nϕمبا أن )xϕ العلى ا[ ]hxhx +− 00 ,. )نربهن أن -3 )xϕ حل للمعادلة التكاملية( )1.

)مبا أن )yxf :فإن Dنطاقالنتظام على امستمرة ب ,



12

( )( ) ( )( ) [ ]hxhxxxxfxxfu

nn +−∈→

∞→00 ,,,, ϕϕ

)دخال النهاية على اومنه ب :حنصل على 2(

( ) ( )( ) [ ]hxhxxdxxxfyxx

x

+−∈+= ∫ 000 ,,,0

ϕϕ

)حل للمعادلة ϕأي أن )1. )نالحظ مباأ ) byxn ≤− 0ϕ ،......3,2,1=nفإن، ( ) byx ≤− 0ϕ . أيϕ ال خيرج من النطاقACBD.

)حل للمعادلة التفاضلية ϕوبتايل الدالة )yxfy 0 حتقق الشرط، ′=,0

yyx

=،( )( )00 ,, yxxy ϕ= )،ϕ∗نرمز له بالرمز ،آخرفرض وجود حل ن: الوحدانية -4 )( )00 ,, yxxy ∗= ϕ . المعرف على ا

[ ]∗∗ +− hxhx 00 hhحيث ، , ≤∗. ∗ϕ حل يعين:

( ) ( )( ) ( )∗∗∗ ≤−+= ∫ hxxdxxxfyxx

x00 ,,

0

ϕϕ

:n=3,2,1......من أجلعندنا

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ∗−≤−≤− ∫∫∗

∗−

∗−

∗x

xn

x

xnn dxxxkdxxxfxxfxx ϕϕϕϕϕϕ 11

0

,,

) :من ناحية ثانية ) ( ) ( )( ) 00

0

, xxMdxxxfxxx

x

−≤≤− ∫ ∗∗ ϕϕϕ

:نستنتج∗من :جند n=1حالة -

( ) ( ) ( ) ( )( )!2

20

001

00

xxMkdxxxMkdxxxfkxx

x

x

x

x

−=−≤−≤− ∫∫ ∗∗ ϕϕϕϕ

) :جند n=2حالة - ) ( ) ( ).!3

302

2

xxMkxx

−≤− ∗ϕϕ

−≥∗ من أجل بالتراجع وهكذا hxx :حنصل على ،0

( )( ) ( )An

xxkkM

n

,!1

10

+

−=

+

( ) ( ) ( ).!1

10

+−

≤−+

∗

nxx

Mkxxn

nn ϕϕ

] ثابتة من xمباأنه من أجل كل ]hxhx +− 00 ) :ون،تك , )0

!0

∞→→

−n

n

nxxk

)دخال النهاية علىافإنه ب )Aحنصل على، :



13

( ) ( ) ∗

∞→

∗ ≤−→− hxxxxnn 0,0ϕϕ

)حسب وحدانية النهاية للمتتالية )xnϕ، ينتج: ∗≡ ϕϕ

) املتراجحة :2نتيجة ) ( ) ( )( )!1

10

+−

≤−+

nxxk

kMxx

n

n ϕϕ، حتدد خطأ التقريب،

:ص لطريقة التطبيق املق -2)فراغ الدوال Αليكن )xϕ الاملعرفة واملستمرة على ا [ ] 000 , Ihxhx حيث−+=

=

Mbah ,min

)وحتقق عليه ) byx ≤− 0ϕ. باملسافة Αنزود الفراغ

( ) ( ) ( ) Α∈−= ψϕψϕψϕ ,,max,0

xxdI

( )d,Α فراغ متري تام.

)واضح أنه إذا كانت الدالة )xϕ منΑ فإن العبارة:

( )( ) ( ) 000 ,,0

yxdxxxfyx

x

=+ ∫ ϕϕ

.Αتعرف دالة من :كالتايل Αيف Αمن Fومنه ميكن تعريف مؤثر

( )( )∫+=→

Α→Αx

xy dxxyxfyFy

F

0

,

:

0

.يف نفسه Αمن الفراغ التام Fأي املؤثر :صتطبيق مقل Αهن أن ربن

21من أجل , yyكيفيني منΑ، نضع 21 21 , yy FzFz ==

: الحظ

( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )21211121 ,,,00

yykhddxxyxykdxxyxfxyxfxzxzx

x

x

x

≤−≤−=− ∫∫

أي، kh>1من أجل هذا يعين مقلصk

h 1 .مقلص F،يكون املؤثر >

:أي ، له جد نقطة ثابتةتو تايلالوب ( ) yFyxy =Α∈=∃ ϕ!



14

) : أو نكتب ) ( )( )∫+=x

x

dxxxfyx0

,0 ϕϕ

)أي )xϕحل وحيد للمعادلة التفاضلية هو ومنه،∗حل وحيد للمعادلة التكاملية( )yxfy 0حيقق الشرط،′=,0

yyx

= :تبقى صحيحة إذا بدلنا شرط لبشيتز بالشرط نظرية بيكار ،)3-1- 3(حسب القضية األوىل من :3نتيجة

( ) Nyxfy ≤′ , يف طريقة املتتاليات التقريبية : 1مالحظة

( )1,min

=

Mbah

صيف طريقة التطبيق املقل ( )2,1,

<′

Mb

kah

]يف احلالة الثانية ميكن أن مندد احلل على اال ]hxhx +− 00 )هذا إذا كانت املعادلة ،, )yxfy حتقق شروط ′=,)النظرية يف جوار النقطة )( )hxhx ′+′+ 00 ,ϕ والنقطة، ( )hxhx ′+′− 00 ,.

) :2مثال ) 22, yxyxfy +==′ )ومنه ميكن أخذ أي نقطة،مبا أن الطرف األمين عبارة عن كثري حدود )00 , yx،ألنكشرط إبتدائيf حتقق شرط

)النظرية يف أي متوازي أضالع مركزه )00 , yx. )مثال إذا أخذنا :الحظ ) ( )0,0, 00 =yxفإنه يكون،:

( ) 1,1/, 2 ≤≤ℜ∈= yxyxD ، ( ) 2,max =yxfD

،21

21,1min,min =

=

=

Mbah

]يوجد حل وحيد على اال حسب النظرية، ومنه ]

−=−

21,

21,hh

: األوىل الرتبةعادالت التفاضلية من تكامل بعض أنواع امل: 3-1-4 :ت املنفصلة دالت ذات املتغرياااملع -1

املعادلة من الشكل ) )أ( ) ( )dyygdxxf =

.تسمى معادلة ذات متغريات منفصلةدوال مستمرة، ,fgحيث) :حنصل على )أ(بتكامل ) ( )∫∫ += cdxxfdyyg

) ،وهو- أ–لمعادلة تعرف التكامل العام لوهي عبارة ) 0,, =cxyψ .احلل العام من خالله جند( )cxy ,ϕ= )إذا كانت يف املعادلة )،أي املعادلة2( )yxfy ,=′، f تكتب كالتايل: ( ) ( ) ( )yfxfyxf 21, =



15

:ل أي املعادلة تكتب من الشك) - ’ أ- ) ( )yfxf

dxdy

21= . فإن نسميها معادلة تفاضلية ذات متغريات منفصلة

21نفرض أن - ’ أ –يف املعادلة , ffدوال مستمرة حيث ( ) 02 ≠yf ومنه نكتب،: ( ) ( )dxxfyf

dy1

2

=

) :املعادلة السابقة عبارة عن تساوي بني تفاضلني هذا يعين أن ) ( ) cdxxfyf

dy+= ∫∫ 1

2

:وهي عبارة من الشكل ∗ ( ) 0,, =cxyψ

.- ’ أ –العام للمعادلة وهو التكامل)، yبالنسبة لـ ∗إذا أمكن حل )( )cxy ,ϕ=فإن،( )cxy ,ϕ= أ –هو احلل العام للمعادلة ’-.

.يف عبارة احلل العام قيمة ثابتة cعطاء ااحلل اخلاص ينتج ب

)إلجياد احلل الذي مير بالنقطة :1مالحظة )00 , yx أينستعمل التكامل احملدود،: ( ) ( )∫∫ =x

x

y

y

dxxfyf

dy

00

12

) :وهذا ينتج من العبارة ) ( )∫∫ += cdxxfyf

dy1

2

0مع الشرط 0

yyx

c=0 :أي ،=+=0 : 1مثال ydyxdx

cydyxdxبالتكامل جند =+ 222 :أي، ∫∫ cyx =+

)مير بالنقطة الذي احلل اخلاصادجيإل 0 ،نستعمل التكامل احملدود1,0(1

00

=+ ∫∫ ydyxdxx

0122 ومنه يكون =−+ yx ، 122 :أي احلل اخلاص هو =+ yx 110 القيمة cعطاء الثابتاوهو نفسه احلل الناتج من احلل العام ب 22 =+=c

املعادلة من الشكل : 1نتيجة abc ) ثوابت ,, )cbyaxf

dxdy

++= cbyaxz : ذات متغريات منفصلة بالتحويل حتول إىل ++= مباأن:الربهان

dxdyba

dxdz

)،فإن =+ )zbfadxdz

)أي ، =+ ) dxzbfa

dz=

+

.وهي معادلة ذات متغريات منفصلة



16

yx لتكن املعادلة :2ال مثdxdy

+= 2

yxz ضع بو += ،يكون 2dxdyx

dxdz

+= : ،أي 2

zdxdz

+= dx،أو 2z

dz=

+2

. وهي معادلة ذات متغريات منفصلةcxz :بتكامل طريف املعادلة جند ln2ln xcez ،أي +=+ +−= 2.

xceyx: بالرجوع اىل املتغريات األصلية جند +−=+ 22،أي 22 −−= xcey x : املعادلة املتجانسة -2

)لتكن )yxf . 2ℜمن Dدالة معرفة على نطاق ,)من أجل كل حتققتإذا ، kمتجانسة من الدرجة fن إنقول : 1تعريف ) λλ :املعادلة <0,

( ) ( ) ...........2,1,0,,, == kyxfyxf kλλλ )كل دالة :2نتيجة )yxf تكون دالة يف املتغري ،متجانسة من الدرجة الصفر ,

xy.

)عندنا :الربهان ) ( )yxfyxf ,, =λλ بوضع

x1

=λ ،جند ( )yxfxyf ,,1 =

الحظ

xyf الشكل تكتب من ،1,

xy

ϕ، هذا يعين أن: ( )

=

xyyxf ϕ,

)بأا كل معادلة من الشكل ،تعرف املعادلة املتجانسة :2تعريف .دالة متجانسة من الدرجة الصفر fحيث ،2( :كل معادلة من الشكل يهاملعادلة املتجانسة :3نتيجة

)ب(

=

xyf

dxdy

zxyتغريات منفصلة بالتحويل مذات حتول إىل )ب(املعادلة :4نتيجةxyz == ,

مباأن بالفعل،dxdzxz

dxdy

) ، جند )ب(،فإنه بالتعويض ىف املعادلة =+ ) zzfdxdzx −=.

) يكون بفصل املتغريات ) zzfdz

xdx

−= ،( )( )zzfx ≠≠ .،وهي معادلة ذات متغريات منفصلة0,

)بتكامل طرفيها جند ) czzf

dzx lnln +−

= : أي ، ∫

( ) ( )∫−

+

= zzfdz

ezF/ ( ) ( )zcFcex zzfdz

==∫

−



17

بوضع xyz : جند ، =

=

xycFx .

)وهي عبارة من الشكل ) 0,, =cyxψ حبلها بالنسبة لـ،y، إن أمكن ،حنصل على احلل العام( )cxy ,ϕ=

لتكن املعادلة :3مثالxytg

xy

dxdy

+=

zxyبوضع : جند ، =dxdzxz

dxdy

+=

tgzzz :يف املعادلة يكون بالتعويضdxdzx ،أي +=+

xdxdz

zz

=sincos

cxz : وهي معادلة ذات متغريات منفصلة، بتكامل طرفيها جند lnlnsinln cxz ،أي =+ =sin بوضع

xyz cx: جند ، =

xy

=sin ، منه يكون وcxxy arcsin= . املعادلة من الشكل :1قضية

)’ب(

++++

=222

111

cybxacybxaf

dxdy

0,0 إذا كان املستقيمان 222111 =++=++ cybxacybxa : عتمدنا كمبدأ لإلحدثيات نقطة تقاطع املستقيمني اإذا ،حتول إىل متجانسة ،نيمتقاطع - أ

.حتول إىل معادلة ذات متغريات منفصلة ، نيمتوازي - ب :الربهان

)نفرض - أ )00 , yx ملستقيمنيانقطة تقاطع. :نعتمد التحويل التايل

∗ zyytxx +=+= 00 , dzdydtdx الحظ == ,

:،جند باالتعويض يف املعادلة( ) ( )( ) ( )

( )( )

++

=

++++++++

=

++++++++

=zbtazbta

fzbtacybxa

zbtacybxaf

czybtxaczybtxa

fdtdz

22

11

2220202

1110101

20202

10101

:ألن ، tو zوهي معادلة متجانسة بني

++

=

++

zbtazbta

fzbtazbta

f22

11

22

11

λλλλ

) :الشكل يكتب منحلها العام )11 ,ctz ϕ=



18

)من الشكل - ’ب-حنصل على احلل العام للمعادلة ∗عتماد اب )cxy ,ϕ=. 1221 :املستقيان متوازيان يكون - ب baba kومنه ، =

bb

aa

==1

2

2

1

:املعادلةتكافئ )’ب(املعادلة

( ) ( )ybxaFcybxak

cybxafdxdy

11211

111 +=

++

++=

ybxaz :ي معادلة حتول إىل خطية بوضع وه 11 += )املعادلة :4نتيجة ) ( ) 0,, =+ dyyxqdxyxp ناإذا كانت الدالت ،تكون متجانسةp وq متجانستني من نفس

.الدرجة)لتكن املعادلة :4مثال ) 022 =++ xydydxyx )الحظ ) ( ) xyyxqyxyxp =+= ,,, .أي أن املعادلة متجانسة ،الثانيةدالتان متجانستان من الدرجة ، 22

xzy ستعمل التحويلبا = ،( )xdzzdxdy :للمعادلة ،حنصل على=+( ) ( ) 02222 =+++ xdzzdxzxdxxzx

) ومنه ) 021 2 =++ zxdzdxz 221 : نحدف،نفصل املتغريات z

zdzx

dx+

.وهي معادلة ذات متغريات منفصلة ،=

)بتكامل طرفيها جند )221ln41ln z

cx

: أي ، =−+4 221 z

cx+

=

بوضع xyz : حنصل على =

22

2

2

4 xx

cy −±=

لتكن املعادلة : 5مثال 2

212

−+

+=

yxy

dxdy

02,01املستقيمان =−+=+ yxy يتقاطعان يف النقطة( ) ( )1,3, 00 −=yx zytx ستعمل التحويلاب +−=+= :حنصل على املعادلة املتجانسة ، 1,3

( )2

2

2zt

zdtdz

+=

tuzستعمال التحويل اب :حنصل على املعادلة التالية =( )2

2

12

uuu

dtdut

+=+

): بفصل املتغريات جند املعادلة )2

21uu

duutdt

++

.وهي معادلة ذات متغريات منفصلة ، =−arctguceut : بتكامل طرفيها جند 2−= .

3: األحداثي األول يكون بالرجوع اىل12

1 −+

−=+ x

yarctgucey .



19

:املعادلة اخلطية -3 :هي كل معادلة من الشكل ،املعادلة التفاضلية من الرتبة األوىل اخلطية :3تعريف

) )ج( ) ( )xfyxPdxdy

=+ .دوال مستمرة يف نفس اال fو Pحيث

:) املتغري تغيري( طريقة الغرانج، -1) :حنل املعادلة املتجانسة، أي املعادلة ) 0=+ yxP

dxdy

) :أن الحظ )dxxPy

dy−=

:كاملها جند بت .ريات منفصلةذات متغ معادلة وهي( )∫=

− dxxPcey

:من الشكل )ج(نبحث عن حل املعادلة ∗ ( ) ( )∫=

− dxxPexcy

) الحظ ) ( ) ( ) ( )∫−∫=−− dxxPdxxP

exPxcedxdc

dxdy

: ةاملعادل نجدف )ج(نعوض يف ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfexcxPexPxce

dxdc dxxPdxxPdxxP

=∫+∫−∫ −−−

): أي ) ( )xfedxdc dxxP

=∫− .

) :حبلها يكون ) ( ) ( )1cdxexfxc

dxxP+∫= ∫

:وهو،)ج(حنصل على حل املعادلة ∗بتعويض يف ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 ,cxdxexfeecexcy

dxxPdxxPdxxPdxxPϕ=∫∫+∫=∫= ∫

−−− هو جمموع احلل العام للمعادلة املتجانسة وحل خاص للمعادلة غري ، )ج(حل املعادلة غري املتجانسة : 5نتيجة

)،املتجانسة )01 =c. )إجياد احلل اخلاص )00 ,, yxxy ϕ=

)احلل اخلاص للمعادلة املتجانسة :2مالحظة )00 ,, yxxy ϕ= هو: ( )∫

=−

x

x

dttP

eyy 00

) نبحث عن احلل اخلاص )00 ,, yxxy ψ= من الشكل )ج(للمعادلة:

∗∗ ( )( )∫

=−

x

x

dttP

exzy 0



20

الحظ ( )

( ) ( )( )∫

−∫

=−−

x

x

x

x

dttPdttP

exPxzedxdz

dxdy

00 :نجد املعادلة ف )ج(نعوض يف

( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )xfexPxzexPxzedxdz

x

x

x

x

x

x

dttPdttPdttP

=∫

+∫

−∫ −−−

000

)ومنه املعادلة )( )∫

=−

x

x

dttP

exfdxdz

0

): جند احبله ) ( )( )

∫∫

+=x

x

dttP

dsesfyxz

s

x

0

00

) :،من الشكل)ج(حنصل على حل املعادلة ∗∗بتعويض يف )( ) ( )∫

∫+=

−

∫

x

x

s

x

dttPx

x

dttP

edsesfyy 0

0

00

)وهو احلل )00 ,, yxxy ψ=. :برنويل طريقة -2

:من الشكل )ج(عادلة نبحث عن حل للم ( )1 ( ) ( )xvxuy =

: الحظdxduv

dxdvu

dxdy

+= :نجد ف )ج(ض يف يعوبت

( )2 ( ) ( ) ( ) ( )xfxvxuxpdxduv

dxdvu =++

): حل من حلول املعادلة املتجانسة uخنتار ) 0=+ uxpdxdu

احللنأخذ مثال ( )3 ( ) ( )∫=

− dxxpexu

)بتعويض يف :ةجند املعادل 2(( ) ( )xfe

dxdv dxxp

=∫− :حبلها يكون

( )4 ( ) ( ) ( )∫ ∫+= dxexfcxv

dxxp )بتعويض )3 ،( ) يف 4( ) :،وهو)ج(جند احلل العام للمعادلة 1( ) ( ) ( )∫

∫+=

−

∫dxxpdxxp

edxexfcy .طة الطريقة السابقةاوهو نفسه احلل العام املتحصل عليه بواس



21

:العامل التكاملي طريقة -3)عامل لبا )ج(نضرب طريف املعادلة )∫ dxxp

e ةاملعادلنحصل على ف: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫=∫+∫ dxxpdxxpdxxp

exfyexpedxdy

:أي املعادلة( )

( ) ( )∫=

∫

dxxp

dxxp

exfdx

yed

)حنصل على هانكامل ) ( ) ( )∫ ∫+=∫ dxxpdxxp

exfcye ، أي :( ) ( ) ( )

∫+∫= ∫

− dxxpdxxpexfcey

.وهو نفس احلال العام املتحصل عليه بالطريقتني السابقتني :الشكل املعادلة من :2قضية

)ج( ( ) ( ) ( ) ( )xfxpygdxdyyg =+′

)حتول إىل خطية بالتحويل )ygz = عندنا: الربهان

( ) ( )dxdyyg

dxdzygz ′=⇒=

): جند )ج(ض يف يعوبت ) ( )xfxzPdxdz

=+ . خطيةوهي معادلة

برنويلاملعادلة :6نتيجة ( ) ( ) 1,0, ≠=+ nyxfyxp

dxdy n

nyzطة التحويل احتول إىل خطية بواس −= ): حيث ،)ج(ألا من الشكل ، 1 ) nyyg −= 1 معادلة ريكايت :3قضية

)ج( ( ) ( ) ( )xfyxqyxpdxdy

=++ 2 zyyحتول إىل معادلة برنويل بالتحويل += 1

).ج( للمعادلةحل خاص 1yحيث zyyعندنا : الربهان ′+′=′ 1 فنجد املعادلة) ج(نعوض يف

( )( ) ( )( ) ( )xfzyxqzyxpdxdz

dxdy

=+++++ 211

1



22

) :أي ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02 21

211

1 =++++

−++ zxqzyxqzxp

dxdzxfyxqyxp

dxdy

،فإن املعادلة السابقة تكتب من )ج( للمعادلةحل خاص 1yمباأن :الشكل

( ) ( )( ) ( ) 02 21 =+++ zxqzyxqxp

dxdz

)أي ) ( )( ) ( ) 212 zxqzyxqxp

dxdz

−=++ .وهي معادلة برنويل

لتكن املعادلة :6مثال ( )1 2

2 2x

ydxdy

−=

)الحظ ) ( ) ( )2

2,1,0x

xfxqxp −=−==

واضح أن x

y 1 .حل خاص للمعادلة =

باستعمال التحويل x

zy 12،أي =+

1xdx

dzdxdy

:حتول املعادلة إىل املعادلة التالية ،=−

2

2

2

111xx

zxdx

dz−

: أي، −=+

( )2 22 zzxdx

dz=−

. وهي معادلة برنويل باستعمال التحويل

zu 1

:،حتول املعادلة إىل املعادلة التالية =

( )3 12=−−

xu

dxdu

وهي معادلة خطية، معادلتها املتجانسة هي xu

dxdu 2

−=

2x: حبلها جند cu = .

)نبحث عن حل املعادلة :من الشكل 3(

( )4 ( ) ( )2xxcxu =

: مشتق العبارة األخرية هوdxdc

xxu

dxdu

2

12=+



23

)نعوض يف املعادلة 2x: حنصل على املعادلة 3(dxdc

−=

)حلها هو ) 1

3

3cxxc +−= .

)بتعوض يف ) : جند 4( ) 21

3 xcxxu )حل املعادلة وهو ، =−+ )3.

بالرجوع الىالتحويل z

u 1: ،جند =

31

21 x

xc

z)حل املعادلة وهو ، =− )2.

بالرجوع الىالتحويل x

zy 13: ، جند =+

1

231xc

xx

y−

)احلل العام للمعادلة وهو، =+ )1.

:التفاضلية التامة املعادلة -4 :لتكن املعادلة التالية

)) د( ) ( ) 0,, =+ dyyxqdxyxp qpحيث . Dدوال معرفة يف نفس النطاق ,)تامة، إذا كان الطرف األيسر هلا ،ميثل تفاضل تام لدالة ) د(نقول أن املعادلة : 4تعريف )yxF .Dيف النطاق ,

: إن وجد يعطى بالعبارة Fمعلوم أن التفاضل التام للدالة dy

yFdx

xFdF

∂∂

+∂∂

=

): احلل العام للمعادلة التامة :7نتيجة ) ( ) 0,, =+ dyyxqdxyxp ) : تعرفه العالقة التالية ) cyxF =,

+qdypdxدالة تفاضلها التام هو ، Fحيث معرفة ومستمرة مع مشتقات اجلزئية ,qpلوم أنه، إذا كانت الدوال مع: تذكري

yp

∂∂ ،

xq

∂فإن العبارة ،Dيف ∂

qdypdx+ تعترب تفاضال تاما لدالة ما،إذا وافقط إذا حتقق الشرط :xq

yp

∂∂

=∂∂ .

+=0حلل املعادلة التامة • qdypdx نتبع الطريقة التالية ،: مباأن

xq

yp

∂∂

=∂ :حتقق، و Dقابلة للتفاضل يف F،فإنه توجد دالة ∂

( ) ( )dyyxqdxyxpdyyFdx

xFdF ,, +=

∂∂

+∂∂

=

:أي ( )1 ( )yxp

xF ,=

∂∂



24

( )2 ( )yxqyF ,=

∂∂

)نكامل :، فنجد xبالنسبة لـ 1( ( )3 ( ) ( ) ( )∫ += ycdxyxpyxF ,,

( )yc دالة كيفية يفy نأخذها حتقق،( )2. )نشتق :، جندyبالسبة لـ 3(

( )4 ( ) ( )( ) ( )ycdxyxpyy

Fyxq ′+∂∂

=∂∂

= ∫ ,,

)من )جند 4( )yc بتعوضها يف ،( )حنصل على الدالة 3( )yxF , ) لتكن : 6مثال ) 3, 2 +−= yxyxq ،( ) 1, ++= yxyxp

الحظ xq

yp

∂∂

==∂∂ 1

)ومنه العبارة ) ( )dyyxdxyx 31 2 )، تعترب تفاضال تاما للدالة +++−+ )yxF : من الشكل, ∗ ( )ycxxyx

+++=2

2

( )∫ +++= ycdxyx 1( ) ( ) ( )∫ += ycdxyxpyxF ,,

)مباأن )yxqyF ,=

∂)، فإن ∂ ) 3

22

2

+−=

+++

∂∂ yxycxxyxy

): أي. ) 32 +−=′ yyc .

) :حبل املعادلة األخرية جند ) ( ) 1

3

12 3

33 cyycdyyyc ++

−=++−= ∫

)بتعويض )yc حنصل على صيغة الدالة ∗يفFوهي،: ( ) 1

32

332

, cyyxxyxyxF ++−++= ):ومنه احلل العام للمعادلة يعرف بالعالقة التالية ) 2, cyxF 3،أي العالقة =

32 182663 cyyxxyx =+−++ .عن طريق التكامل املنحين Fميكن إجياد الدالة :3مالحظة

)مباأن ) ( )dyyxqdxyxpdF ,, )،فإنه من أجل =+ )00 , yx ثابتة منD : يكون

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

∫∫∫∫∫ +=+=+=yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

pdxqdyqdypdxdyyxqdxyxpyxF,

,

,

,

,

,

,

,

,

, 0

0

000

0

0000

,,,

)املعادلة لتكن:7مثال ) ( ) 031 2 =+−+++ dyyxdxyx ). واضح أن املعادلة تامة ) ( )( )3,,1, 2 +−=++= yxyxqyxyxP،

): ،حتققFاملعادلة تامة، يعين وجود دالة ) ( )dyyxdxyxdF 31 2 +−+++=



25

)أي نطاق حيوي النقطة Dبأخذ فة ومستمرة مع دوال معر ,qPهذا ممكن ألن كل من(،0,0(yp

∂∂ ،

xq

∂ ).2ℜيف ∂

:يكون

yy

xyxx 332

32

+−++= ( )( )

( )

( )( )

( )

∫∫ +−++=yx

x

x

dyyxdxx,

0,

20,

0,0

31( ) ( ) ( )( )

( )

∫ +=yx

dyyxqdxyxpyxF,

0,0

,,,

cyyxyxx :ومنه احلل العام للمعادلة ، حيدد بالعبارة=+−++ 3

32

32

. : ت تامة حالة املعادلة ليس

)خنتار دالة )yxu uqdyupdxdF:حتقق F،بعد ضرا يف طريف املعادلة تنتج معادلة تامة، أي توجد دالة , += .،تسمى العامل التكاملي uالدالة

+=0حىت تكون املعادلة uqdyupdx جيب أن يتحقق ، حسب القضية السابقةتامة: ( ) ( )x

uqyup

∂∂

=∂

∂

:أي xqu

xuq

ypu

yup

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂ ، هذا يعين ∂

( )1

∂∂

−∂∂

=∂∂

−∂∂

yp

xqu

xuq

yup

.عادة ما يكون حلها أصعب من حل املعادلة األصلية. uوهي معادلة تفاضلية جزئية بالنسبة للدالة اهولة)لذا حلل املعادلة :نفترض بعض الفرضيات السهلة 1(

الحظ: xله عالقة فقط بـ uالعامل التكاملي -1 ( ) 0=

∂∂

⇒=yuxuu

)ومنه املعادلة : ، تكتب كالتايل 1(

( )2 q

xq

yp

dxdu

u

∂∂

−∂∂

=1

بعد تعويض xq

ypq

∂∂

∂∂ )بقيمها يف ,, )، إذا كان الطرف األمين للمعادلة 2( فقط ،فإنه ميكن إجياد xتابعا لـ 2(

.، و إال فهذا الفرض خاطئuالدالة الحظ : yله عالقة فقط بـ uل التكامليالعام -2

( ) 0=∂∂

⇒=xuyuu




26

( )3 p

yp

xq

dydu

u

∂∂

−∂∂

=1

بعد تعويض xq

ypp

∂∂

∂∂ )بقيمها يف ,, )، إذا كان الطرف األمين للمعادلة 3( فقط ،فإنه ميكن إجياد yتابعا لـ 3(

.، و إال فهذا الفرض خاطئuالدالة ): العامل التكاملي دالة يف متغري واحد -3 )zuu = z عادة تأخذ الشكل

........,, 222 yxyx −+,,,, 22

xyxyyxyx ±±

: عندناyz

dzdu

yu

xz

dzdu

xu

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂ ,


( )4 yzp

xzq

xq

yp

dzdu

u∂∂

−∂∂

⋅

∂∂

−∂∂

=1

)إذا كان الطرف األمين من املعادلة و إال فإنه ال ميكن إجياد عامل uفقط ،فإنه يوجد عامل تكاملي zتابعا لـ 4( .zتكاملي دالة يف

) د(التكاملية للمعادلة الدالة الناجتة عنه، فإن كل العوامل 0Fو ) د(عامال تكامليا للمعادلة 0uإذا كان : 8نتيجة ): تعطى بالعبارة ) ( ) ( )( )yxFyxuyxu ,,, 00 ϕ=

)حيث )zϕ دالة قابلة للتفاضل باستمرار. املعادلة لتكن: 8مثال

∗ ( ) 02sinsin 22 =+− ydyxdxyx :عندنا

( ) yyypyxyxp cossin2sin, 22 −=

∂∂

⇒−=

( ) yxqyxyxq 2sin2sin, =

∂∂

⇒=

.واضح أن املعادلة ليست تامة

: الحظxyx

yyyq

xq

yp

22sin

2sincossin2−=

−−=∂

∂−

∂∂



27

: فقط ،تعطى بالعالقة xيف u أن العامل التكاملي دالةهذا يعينxdx

duu

21−=

cxuحبل هذه املعادلة جند =+ ln2ln ، أي :( )2

1,x

yxu =.

)ي يف العامل التكامل ∗نضرب طريف املعادلة )2

1,x

yxu :، حنصل على=

02sinsin1 2

2

=+

− dy

xydx

xy

.وهي معادلة تامة ( ) yyyx

dxdyx cossincos3 2 −=

∗∗ ( ) xdyydxyyx =− cossincos3 2 ): واضح أن ) yyyxyyyx

xq

yp sinsincos3212cossincos23 22 −−=+−−=

∂∂

−∂∂

.أي املعادلة ليست تامة

tgy: من ناحية ثانيةp

xq

yp

2=∂∂

−∂∂

tgy :فقط ،تعطى بالعالقة yيف uهذا يعين أن العامل التكاملي دالةdydu

u21

=⋅

cyuحبل هذه املعادلة جند lncosln2ln ) :أي ، =−+ )y

yxu 2cos1, =

)يف العامل التكاملي ∗نضرب طريف املعادلة )y

yu 2cos1

)بإعتبار = )0cos 2 ≠y حنصل ،

:على

( ) 0cos

3 22 =−− dy

yxdxtgyx

. وهي معادلة تامة

π:نستثين من حلوهلا ،احللول من الشكلπ ky +=2

، Ζ∈k 0،أي حالةcos 2 =y .

): حتقق Fحللها نبحث على دالة ) 0cos

3 22 =−−= dy

yxdxtgyxdF

: الحظy

xyFtgyx

xF

22

cos,3 −=

∂∂

−=∂∂

): ومنه تكون ) ( ) ( ) ( )yxtgyxydxtgyxyxF ϕϕ +−=+−= ∫ 323,



28

) :من ما سبق نستنتج أن )( )y

xyxtgyxy 2

3

cos−=+−

∂∂

ϕ أي،( )y

xyy

x22 coscos

−=′+− ϕ

)جند ،حبل املعادلة األخرية ) cy =ϕ . بالتعويض يف صيغةFتكون، :( ) xtgyxyxF −= 3, cxtgyx: يعطى بالعالقة ∗∗وعليه احلل العام للمعادلة =−3

:سبة للمشتق ناملعادلة غري احمللولة بال -2.3 : اليةلتكن املعادلة التفاضلية الت

( ) ( )10,, =′yyxF )حيث الدالة )zyxF zyمعرفة ومستمرة مع املشتقات ,, FF ′′ .3ℜمن Dعلى نطاق ,

. ،إذا مل يكن هلا حل وحيد القيمة بالنسبة للمشتقغري حملولة بالنسبة للمشتقمى تس )1(املعادلة :1تعريف . )1(ندرس بعض األشكال للمعادلة

)إذا أمكن حل املعادلة -1 )ناتج إما معادلة، وإما عدة معادالت من الشكل،يكون ال′yبالنسبة لـ1( : ،أي1.3فقرة 2( ( ) kiyxfy i ,.......,1,, ==′

if ،kiحيث .،دوال وحيدة القيمة =1.......)ومنه املعادلة :من الشكل تكتب 1(

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0,...........,, 21 =−′−′−′ yxfyyxfyyxfy k )إذا كان ) 0,, =ii cyxψ التكامل العام للمعادلة( )yxfy i )،فإن التكامل العام للمعادلة ′=, :يعطى بالعالقة 1(

( ) ( ) ( ) 0,,.......,..........,0,,,0,, 2211 === kk cyxcyxcyx ψψψ ): لتكن املعادلة:1مثال ) ( ) 0222 =+′+−′ xyyyxy

): واضح أا تكتب من الشكل )( ) 02 =−′−′ yyxy

yyxy :ومنه يكون =′=′ )أي ، 2, ) ( ) yyxfxyxf == ,,2, 21 xecycxyمباأن +=+= 21

2 yyxyمها احلل العام لـ , =′=′ عام للمعادلة على التوايل ،فإن احلل ال 2,0,0: االصلية يعطى بالعالقة التالية 21

2 =−=−− + xecycxy . )املعادلة -2 ) من الشكل 1( ) 0=′yF :

∗ ( ) 0=′yF )حيث املعادلة ) 0=αFمتلك عدد جذور منته،.

)الحظ إذا كان )xy ϕ= حل للمعادلة، فإنه( )xy ϕ )تساوي أحد جذور املعادلة ′=′ ) 0=αFليكن مثال،β . cxyومنه ، β=′y: أي += β حيث ،c ثابت .



29

=βومنه يكون −x

cy 0: ،هذا يعين أن=

−

xcy

F

=0تعرفه الصيغة ∗وبالتايل احلل العام للمعادلة

−

xcy

F.

) لتكن املعادلة: 2 مثال ) 0=′yF حيث،( ) ( ) ( ) 357 +′+′−′=′ yyyyF =0باعتبار ما سبق احلل العام للمعادلة تعرفه الصيغة

−

xcy

F.

:أي الصيغة التالية

0357

=+−

+

−

−

−

xcy

xcy

xcy

)املعادلة -3 ) من الشكل 1( ) 0, =′yxF : ∗ ( ) 0, =′yxF

)نضع ∗حلل ) ( )tytx ψϕ =′= . وسيط t، حيث , :الحظ

( ) ( ) ( ) ( ) cdtttydtttdydxydy +′=⇒=⇒′= ∫ ϕψϕψ حبل اجلملة

( )( ) ( )

′=

=

∫ dttty

tx

ϕψ

ϕ

.جند التكامل العام يف الشكل الوسيطي): من الشكل ∗إذا كتبت :1مالحظة )yfx ′= tyبوضع )،تكون ′= )tfx = .

): من ناحية ثانية عندنا )tftdxydy )، أي أن =′=′ )∫ +′= cdttfty

حبل اجلملة

( )( )

+′=

=

∫ cdttfty

tx ϕ

.جند التكامل العام يف الشكل الوسيطي) تكن املعادلةل :3مثال ) 13 −′−′= yyx

tyبوضع )،تكون ′= ) 13 −−== tttfx ومنه اجلملة



30

( )

+−=−=

−−=

∫ cttdttty

ttx

24313

12

42

3

. حتدد التكامل العام يف الشكل الوسيطي)املعادلة -4 ) من الشكل 1( ) 0, =′yyF :

∗ ( ) 0, =′yyF )نضع )ty ϕ= ،( )ty ψ=′ :الحظ

( )( )

( )( )∫ +′

=⇒′

=′

=⇒′= cdtttxdt

tt

ydydxdxydy

ψϕ

ψϕ

حبل اجلملة

( )( )

( )

=

+′

= ∫ty

cdtttx

ϕψϕ

.جند التكامل العام يف الشكل الوسيطي): كالتايل ∗إذا كتبت املعادلة: 2مالحظة )ygy ′= tyبوضع )،تكون ′= )tgy = .

dxydyمن ناحية ثانية مباأن )، فإن =′ )t

dttgydy

dx′

=′

): ،أي أن = )∫ +

′= cdt

ttgx

حبل اجلملة

( )

( )

=

′= ∫

tgy

dtttg

x

.جند التكامل العام يف الشكل الوسيطي) لتكن املعادلة :4مثال ) ( ) 535 +′+′+′= yyyy

tyبوضع 535،تكون ′= +++= ttty :ومنه نستنتج أن

( ) dtt

ttdtttt

ydydx

++=

++=

′=

135135 324

ctttx: وبالتايل تكون +++= ln2

34

5 24



31

حبل اجلملة

+++=

+++=

5

ln2

34

5

35

24

ttty

ctttx

. جند التكامل العام يف الشكل الوسيطي)احلالة العامة -5 ) 0,, =′yyxF :

:نستعمل التحويل الوسيطي التايل ( ) ( ) ( ) dxydyvuyvuyvux ′==′== ,,,,,, ζψϕ

): الحظ )

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ dv

vdu

uvudv

udu

uϕϕ

ζψψ ,

: ومنه يكون ( )

( )v

vuv

uuvu

dudv

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

=ϕ

ζψ

ψϕζ

,

,

.وهي معادلة جزئية من الرتبة األوىل .منيز بعض احلاالت

: yاملعادلة حملولة بالنسبة لـ - أ ( ) yvxuyxfy ′==′= ,,,

pyxxبوضع =′= ): ،تكون , )pxfy و =,

dxdp

pf

xfp

dxdp

pf

xf

dxdydp

pfdx

xfdy

∂∂

+∂∂

=⇒∂∂

+∂∂

=⇒∂∂

+∂∂

=

): حبل املعادلة األخرية جند ) 0,, =cpxφ :ومنه احلل العام يعطى وسيطيا باجلملة

( )( )

==pxfy

cpx,

0,,φ

): ، أي xاملعادلة حملولة بالنسبة لـ - ب )yyfx ′= ,

pyyyبوضع =′= ): ،تكون , )pyfx و =,

dydp

pf

yf

pdp

pf

dyyf

pdydxydy∂∂

+∂∂

=⇒

∂∂

+∂∂

=⇒′=1

): نكامل املعادلة األخرية جند ) 0,, =cpyφ : يا بـ ومنه التكامل العام للمعادلة يعرف وسيط



32

( )( )

==pyfx

cpy,

0,,φ

)معادلة الغرانج : 5مثال ) ( )yyxy ′+′= ψϕ pyبوضع : يكون ′=

∗ ( ) ( ) ( )dxdpp

dxdppxpp ψϕϕ ′+′+=

: أي

≠ 0

dxdp ،( )( ) ( ) ( )ppx

dpdxpp ψϕϕ ′−′=−

، xوهي معادلة خطية بالنسبة لـ dpdx . مبكاملتها حنصل على( ) 0,, =cpxφ أو( ) ( )( )pBcpAx +=

: التكامل العام ملعادلة الغرانج يعطى وسيطيا بـ ومنه ( )

( ) ( )

+==

ppxycpx

ψϕφ 0,,

=0حالة dxdp :

)نستنتج أن ∗من )pp ϕ= .

)الحظ إذا كان للمعادلة ) 0=− ppϕ جذور حقيقية،ipki λ== ,,.......,1 :بالتعويض يف معادلة الغرانج جند

( ) ( )( )iiii kixy λϕλλψλ ==+= ....,,.........1, )معادلة كلريو : 6مثال )yyxy ′+′= ψ

)الحظ أا حالة خاصة من معادلة الغرانج ،بوضع )yy ′=′ ϕ الة عندما ، أي احل( )pp ϕ= .pyبوضع ) :،جند ′= )pxpy ψ+=

:يكونxنشتق العبارة األخرية بالنسبة لـ( )

dxdpp

dxdpxpp ψ ′++=

)بفرض ) 0≠′+ px ψ حنصل على املعادلة،( )( ) 0=′+dxdppx ψ

cpحلها هو ): هذا يعين أن، = )ccxy ψ+= .وهو احلل العام ملعادلة كلريو

)حالة ) 0=′+ px ψ أي ، :( )px ψ ′−= :اجلملة



33

( )( ) ( )

=

′−=ptxPy

pxψ

ψ

.تعرف احلل الشاذ وسيطيا 32 لتكن املعادلة :7مثال yyxy ′−′=

py بوضع 32 :جند ، ′= pxpy −= : نشتقها فنحصل على

dxdpp

dxdpxpp 2322 −+=

نقسم على dxdp ،

≠ 0

dxdp 232 :جند px

dpdxp +−=

2: حبلها تكون21

43 p

pc

x +=

:ومنه احلل العام تعرفة اجلملة

+=

−=

43

22

21

3

ppcx

pxpy

: املعادالت التفاضلية من الرتبة الثانية -4): تكتب املعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية يف شكلها العام كالتايل ) 0,,, =′′′ yyyxF

: ويف شكلها العادي كالتايل ( )1 ( )yyxFy ′=′′ ,,

)مسألة كوشي للمعادلة )تكمن يف إجياد حل 1( )xy ϕ= للمعادلة( )مير بنقطة 1( )00 , yx 0مبيل يساويy′. )إذا كانت :)الوجود والوحدانية(نظرية )yyxf و حتقق شرط لبشيتز بالنسبة لـ 3ℜمن Dمستمرة يف نطاق ,,′

yy )من أجل كل نقطة ، فإنه ′, )000 ,, yyx )يعرف حل واحد للمعادلة 0x، يف جوار ما لـ Dداخلية لـ ′ )1 : حيقق الشرط

00 00, yyyy xx ′=′=

: شي التالية أي يوجد حل واحد ملسألة كو

( )

′=′

=

′=′′

0

0

0

0

,,

yy

yy

yyxfy

x

x

)نقول إن املعادلة :1تعريف . ′yو yدالة خطية بالنسبة لـfمعادلة خطية، إذا كانت 1( : تكتب املعادلة اخلطية عادة من الشكل -



34

( )A ( ) ( ) ( )xfyxqyxpy =+′+′′ )نقول عن املعادلة )A ا متجانسة، إذا كانتإ( ) 0=xf أي ، :

( )B ( ) ( ) 0=+′+′′ yxqyxpy fpqإذا كانت الدوال :1نتيجة )، فإن املعادلةℜمستمرة على جمال معني من ,, )A حتقق شرط نظرية الوجود

.الوحدانية : خلطية واملتجانسة ذات املعامالت املتغرية املعادلة من الرتبة الثانية ا 4-1 : املعادلة املتجانسة 4-1-1

( )B ( ) ( ) 0=+′+′′ yxqyxpy ℜمن Iدوال مستمرة على جمال ,pqحيث

]الطرف األيسر يرمز له بالرمز ] [ ]yLyL =2 ( ) ( )•+

•+

•≡ xq

dxdxp

dxdL 2

2

مؤثر تفاضلي خطي من الرتبة الثانية Lأي

] -: واضح أن ] [ ] [ ]22112211 yLyLyyL αααα +=+ - ( )xy ϕ= حل للمعادلة( )B يعين حل للمعادلة ،[ ] 0=yL.

)إذا كانا : 1نظرية ) ( )xyxy 12 , ϕϕ )حلني للمعادلة == )B فإن الدالة،( ) ( )xcxcy 2211 ϕϕ حيث =+12 , cc بت كيفية، تكون حال للمعادلةثوا( )B.

يستنتج من العالقة :الربهان [ ] [ ] [ ]22112211 yLyLyyL αααα +=+

12حيث ,αα ثوابت كيفية. )الدالتان :1تعريف ) ( )xx 12 ,ϕϕ الاملعرفتان على اI منℜما مترابطتان خطيا علىنقول إ ،I إذا حتقق وجود ،12ثابتني ,αα،

>∑

=

2

1

2 0i

iα حيققان ، :( ) ( ) 02211 =+ xx ϕαϕα

021إذا حتققت الصيغة السابقة فقط يف حالة == αα ، 21نقول إن ,ϕϕ مستقلتان خطيا. 21إذا كانت : 1نتيجة ,ϕϕ مترابطتني خطيا علىIما متناسبتان عليه والعكسفإ ،. 01يف حالة : مثال ≠α يكون :( )

( ) cxx

=−=2

1

2

1

αα

ϕϕ ،c ثابت

21تكون الدالتان : 2نتيجة ,ϕϕ مستقلتني خطيا علىI إذا كانت ،c≠2

1

ϕϕ والعكس ،.



35

21إذا كانت الدالتان :2تعريف ,ϕϕ قابلتني لالشتقاق علىIهلما على) الرونسكيان (ونسكي أو ، فإن حمدد رI :يعرف كالتايل

( ) ( ) 122121

2121 , ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕ ′−′=′′

== wxw

21إذا كانت :2نظرية ,ϕϕ دالتني قابلتني لإلشتقاق ومترابطتني خطيا علىI فإن،: ( ) 0=→∈∀ xwIx

21 :الربهان ,ϕϕ مترابطتان خطيا يعين : ( ) ( ) 02211 =+ xx ϕαϕα ( ) /0, 2

221 >+αα ℜ∈∃ 21,αα

01بفرض أن ≠α . ) :الحظ ) ( )xx 2

1

21 ϕ

αα

ϕ )يعين هذا، =− ) ( )xx 21

21 ϕ

αα

ϕ ′−=′

)نعوض يف )xw جند:

( ) 022

2

2

222

2

=′′−

−=

ϕϕαα

ϕϕαα

xw

21إذا كانا : 3نظرية ,ϕϕ حلني للمعادلة( )B حيثpq, دوال مستمرة على جمالI0، فإنه من أجل كلx ثابتة منI ،( )xw هلما حتقق الصيغة التالية:

( ) ( )( )∫−

=x

xdttP

exwxw 00

21عندنا :الربهان ,ϕϕ حالن للمعادلة( )B يعين: 0,0 222111 =+′+′′=+′+′′ ϕϕϕϕϕϕ qpqp

): الحظ ) ( ) 022211112 =+′+′′×++′+′′×− ϕϕϕϕϕϕϕϕ qpqp )ومنه ) ( ) 021212121 =′−′+′′−′′ ϕϕϕϕϕϕϕϕ p أي أن ،( ) ( ) ( ) 0,, 2121 =+′ ϕϕϕϕ wxpwx

.wوهي معادلة تفاضلية من الرتبة األوىل بالنسبة لـ )نوجد احلل اخلاص هلا الذي حيقق الشرط ) 00 wxw =

:، عندنا w≠0يف هذه احلالة

( ) ( )( )∫

=⇒−=⇒−=′ −

x

x

dxxP

cewdxxpw

dwxpww

0 :بالتعويض بالشرط االبتدائي جند



36

( ) ( )( )∫

=−

x

x

dxxP

exwxw 00

) :3نتيجة )( ) ( )

=∈∀⇒=∈∃ 0,011 xwIxxwIx

)تكون حلول املعادلة :4نظرية )B علىI ستمرة مستقلة خطيا ،إذا وفقط إذا كانت ذات املعامالت امل( )xw هلما .Iختتلف عن الصفر على

عندنا :الربهان ( )( ) ( )( )0,011 =∈∀⇒=∈∃ xwIxxwIx

[ 21نفرض أن : ⇐[ ,ϕϕ حالن للمعادلة( )Bمستقالن خطيا :نفرض أنه

( ) 000 =∈∃ xwIx :نشكل اجلملة التالية

∗ ( ) ( )( ) ( )

=′+′=+

00

022011

022011

xxxx

ϕαϕαϕαϕα

12حيث ,αα ثوابت جمهولة. )هو ∗حمدد اجلملة ) 00 =xw متلك حال غري معدوم أي ∗أي أن اجلملة:

( ) ( ) 0/, 202

201

022

011 >+== αααααα

) الدالة 1حسب النظرية ) ( ) ( )xxx 2021

01 ϕαϕαϕ )، حل للمعادلة =+ )B .

:يكون∗من ناحية ثانية حسب اجلملة

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0

0

020201

010

020201

010

=′+′=′=+=

xxxxxx

ϕαϕαϕ

ϕαϕαϕ

0,0: حتقق الشرط ϕأي 00

=′= xx ϕϕ ):حسب نظرية الوجود والوحدانية جند .وهو نفس الشرط الذي حيققه احلل املعدوم يف نفس النقطة ) 0=xϕن أي :

( ) ( ) Ixxx ∈=+ ,02021

01 ϕαϕα

12هذا مناف لكون ,ϕϕ مستقلة خطيا ،ومنه: ( ) 0≠→∈∀ xwIx

[ ): عندنا ⇒[ ) 0≠→∈∀ xwIx 12إذا فرضنا أن ,ϕϕ مترابطتان خطيا، أي:

( ) 0/0,, 221122

2121 =+>+ℜ∈∃ ϕαϕααααα



37

02نضع مثال ≠α 1: الحظ

2

121

2

12 ϕ

αα

ϕϕαα

ϕ ′−=′⇒−=

): ومنه يكون ) 01

2

11

12

11

=′−′

−=

ϕαα

ϕ

ϕαα

ϕxw

)وهذا مناف لكون ) 0≠xw . 12وبالتايل احلالن ,ϕϕ مستقالن خطيا. 12إذا كانا :5نظرية ,ϕϕ الحلني مستقلني خطيا على اI للمعادلة( )B ذات املعامالت املستمرة ،فإن الدالة:

∗ ( ) ( ) ( )xcxcxy 2211 ϕϕϕ +== 12حيث ,cc ثوابت كيفية ،هي حل عام للمعادلة( )B.

:الدالة 1من النظرية :الربهان ∗ ( ) ( ) ( )xcxcx 2211 ϕϕϕ += )هي حل للمعادلة )B.

12لربهان أنه حل عام يكفي أن نربهن ،أن كل احللول اخلاصة تستخرج منه، باعطاء الثوابت ,cc قيم معينة. 00ليكن 00

, yyyy xx .،شرطا ابتدائيا كيفيا =′=′12نثبت أنه ميكن إجياد قيم للثوابت ,cc حل للمعادلة ∗من خالهلا تصبح الدالة( )B حيقق الشرط :

00 00, yyyy xx .، أي حل خاص =′=′

نشكل اجلملة

∗∗ ( ) ( )( ) ( )

′+′=′+=

0220110

0220110

xcxcyxcxcy

ϕϕϕϕ

12حيث ,cc ثوابت جمهولة )حمدد اجلملة ) 00 ≠xw 0، أي اجلملة متلك حال واحدا نرمز له بالرمز

22011 , cccc ==

): فنجد ∗نعوض هذا يف الصيغة ) ( ) ( )xcxcx 2021

01 ϕϕϕ +=

) الدالة 1حسب النظرية ) ( ) ( )xcxcx 2021

01 ϕϕϕ )، حل للمعادلة=+ )B.

): نستنتج أن∗∗من ) ( ) 0000 , yxyx ′=′= ϕϕ )ومنه الدالة ) ( ) ( )xcxcx 2211 ϕϕϕ )هي احلل العام للمعادلة =+ )B.

′′−=0 لتكن املعادلة :1مثال yy )واضح أن الدالتني ) ( ) xx exex −== 21 , ϕϕ حالن للمعادلة



38

: من ناحية ثانية

( ) 2−=−

=−

−

xx

xx

eeee

xw

. أي أما مستقالن خطياxx: حسب النظرية السابقة احلل العام هو ececy −+= 21

)احلل العام للمعادلةميكن معرفة :1قضية )B يف حالة معرفة حل خاص واحد( )x1ϕ هلا. )نضع :الربهان ) ( )xzxy 1ϕ= : الحظ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xzxxzxxzxy ′′+′′+′′=′′ 111 2 ϕϕϕ ،( ) ( ) ( ) ( )xzxxzxy ′+′=′ 11 ϕϕ

)نعوض يف املعادلة )Bفنجد،: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 02 111111 =′′++′′++′+′′ xzxxxpxxzxzxxqxxpx ϕϕϕϕϕϕ

): أي ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 02 111 =′′++′′ xzxxxpxxz ϕϕϕ . zوهي معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية يف

)نستعمل التحويل ) ( )xuxz :لتخفيض رتبة املعادلة ،فنحصل على ′= ( ) ( ) ( ) ( ) 02 11

1 =+

+ xdxduxxp

dxd

xu ϕϕϕ

): ومنه ) ( ) ( )[ ] ( ) 02 111 =++ xdudxxxpdxu ϕϕϕ ): وبالتايل حنصل على املعادلة ) 02

1

1 =++ududxxp

dϕϕ

): بتكاملها جند ) cdxxpu lnln2ln 1 +−−= ∫ϕ ) : أي ) ( )∫=

− dxxPe

cxu 2

1

2

ϕ

.ثابت كيفي 2cحيث)هذا يعين أن ) ( )∫=′ − dxxP

ecxz 21

2

ϕ): ومنه يكون ، ) ( )

∫ +∫=−

121

2 cdxec

xzdxxP

ϕ

)بتعويض يف العبارة ) ( )xzxy 1ϕ= جند،:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )xcxcxcdxx

excydxxP

11221121

12 ϕϕϕϕ

ϕ +=+

∫= ∫

−

) :حيث ) ( )( )

( )∫∫

=−

dxx

exxdxxP

21

12 ϕϕϕ



39

12بسهولة نتأكد من أن ,ϕϕ مستقلني خطيا. :املعادلة غري ااملتجانسة 4-1-2 : املعادلة التالية كنتل

( )A ( ) ( ) ( ).xfyxqyxPy =+′+′′ fpqحيث .ℜمن Iدوال مستمرة على جمال ,,)احلل العام للمعادلة :1نظرية )A هو عبارة عن جمموع حل خاص هلا مع احلل العام للمعادلة،( )B.

)ن نفرض أ :الربهان )x∗ϕ حل خاص للمعادلة( )A )و ) ( ) ( )xcxcx 2211 ϕϕϕ )حل عام للمعادلة =+ )B

)نربهن أن الدالة ) ( ) ( )xxx ∗+= ϕϕψ حل عام للمعادلة( )A )نربهن أن -1 )xψ حل للمعادلة( )A

)نشتق )xψ فنجد: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxx ″

+′′=′′′+′=′ ∗∗ ϕϕψϕϕψ ,

)نعوض يف املعادلة )B حنصل على :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]=++

′+

′+″+

″ ∗∗∗ xxxqxxxpxx ϕϕϕϕϕϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxxqxxpxxxqxxpx =+=

+

′+

″++′+′′= ∗∗∗ 0ϕϕϕϕϕϕ

)أي أن )xψ حل للمعادلة( )A. )نربهن أن أي حل خاص يستخرج من احلل -2 )xψ :

)ليكن )x∗1ϕ حل خاص كيفي للمعادلة( )A ،

∗∗نربهن أن الفرق −ϕϕ1 حل للمعادلة( )B [ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) −

+

′+

″=−+−+− ∗∗∗∗∗∗∗∗∗ xxqxPxqxP 111111 ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0=−=

+

′+

″− ∗∗∗ xfxfxxqxxPx ϕϕϕ

0يوجد ومنه فهو حل خاص أي22

011 , cccc ) :حيث == ) ( ) ( ) ( )xcxcxx 2

021

011 ϕϕϕϕ +=− ∗∗

): أي ) ( ) ( ) ( )xcxcxx 2021

011 ϕϕϕϕ ++= ∗∗

)هذا يعين أنه ينتج من عبارة )xψ 0بوضع22

011 , cccc ==.



40

)للمعادلة ϕ∗ميكن إجياد احلل اخلاص : 1قضية )A إذا عرف احلل العام ،( )xϕ للمعادلة( )B وذلك باستعمال طريقة، .تغيري الثوابت

)ليكن : الربهان ) ( ) ( )xcxcx 2211 ϕϕϕ += ،)21 ,cc حال عاما للمعادلة ) ثوابت كيفية ،( )B. :من الشكل ϕ∗ث عن احلل اخلاص نبح

∗ ( ) ( ) ( ) ( )xxcxxcy 2211 ϕϕ += 21حيث ,cc دوال جمهولة يفx حتقق( ) ( ) ( ) ( ) 02211 =′+′ xxcxxc ϕϕ :فنجد ∗نشتق

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxcxxcxxcxxcxxcxxcy 221122221111 ϕϕϕϕϕϕ ′+′=′+′+′+′=′ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxcxxcxxcxxcy 22221111 ϕϕϕϕ ′′+′′+′′+′′=′′

)نعوض يف )A فنحصل على: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxxcxxcxxqxpxxcxxqxpxxc

=′′+′′++′+′′++′+′′

2211

22221111

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

): أي ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxxcxxc =′′+′′ 2211 ϕϕ 12ألن ,ϕϕ حلول للمعادلة( )B.

:حنل اجلملة التالية

∗∗ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=′′+′′=′+′

xfxxcxxcxxcxxc

2211

2211 0ϕϕϕϕ

)حمدد اجلملة هو ) 0≠xw 12، ألن ,ϕϕ مستقلتان خطيا، ومنه اجلملة متلك حال واحدا،هو: ( ) ( ) ( ) ( )xxcxxc 2211 , ςς =′=′

( ) ( )xx 21 , ςς دوال معلومة ومستمرة علىI . ومنه: ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +=+= 222111 , αςας dxxxcdxxxc

21حيث ,αα ثوابت كيفية. :فنجد ∗نعوض يف

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdxxxxdxxxy 22221111 ϕαςϕϕαςϕ +++= ∫∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxdxxxdxxxx 22112211 ϕαϕαςϕςϕψ +++= ∫∫

)وهو حل عام للمعادلة )A. 021حلل اخلاص هلا نضع للحصول على ا == αα جند:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +=∗ dxxxdxxxx 2211 ςϕςϕϕ



41

) :ومنه ) ( ) ( ) ( )2211, ϕαϕαϕϕϕψ +=+= ∗ xxx xyy لتكن املعادلة :1مثال =−′′ .

′′−=0عندنا احلل العام للمعادلة املتجانسة yy هو: ( ) xx ececx −+= 21ϕ xyyنبحث عن احلل اخلاص للمعادلة ) :،من الشكل ′′−= ) ( ) ( ) xx excexcx −∗ += 21ϕ

) :حيث ) ( ) 021 =′+′ −xx excexc :هي ∗∗اجلملة

( ) ( )( ) ( )

=′−′

=′+′−

−

xexcexcexcexc

xx

xx

21

21 0

) :حبلها جند ) xxexc −=′21

1 ، ( ) xxexc +−=′21

2

): ومنه يكون ) ( ) xexxc −+−= 121

1 ، ( ) ( ) xexxc 121

2 −−= )نعوض يف صيغة )x∗ϕ جند:

( ) ( ) ( ) xeexeexx xxxx −=

−−+

+−= −−∗ 1

211

21

ϕ

xyyومنه احلل العام للمعادلة :هو ′′−= ( ) ( ) ( ) xx ececxxxx 21 ++−=+= ∗ ϕϕψ

)إذا كان الطرف األمين للمعادلة :2قضية )A من الشكل: ( ) ( ) ( )xfxfxf 21 += ]: أي ] ( ) ( )xfxfyL 21 +=

∗إذا كان 1ϕ ، ∗

2ϕ حل خاص للمعادلة[ ] ( )xfyL 1= ، [ ] ( )xfyL ∗∗∗على التوايل، فإن =2 += 21 ϕϕϕ حل)خاص للمعادلة )A.

)عندنا :الربهان ) ( ) ( ) ( )xfLxfL 1122 , == ∗∗ ϕϕ ): الحظ ) [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )xfxfxfLLLL =+=+=+= ∗∗∗∗∗

212121 ϕϕϕϕϕ )أي ) ( )xfL =∗ϕ أي أن ،∗ϕ حل خاص لـ( )A

:املعادلة من الرتبة الثانية اخلطية ذات املعامالت الثابتة 4-2 :املعادلة املتجانسة 4-2-1

: عادلة التفاضلية التالية لتكن امل ( )B 0=+′+′′ qyypy

.ثوابت معلومة ,qpحيث



42

xeyعددا مركبا أو حقيقيا،فإن الدالة λإذا كانت: 1قضية λ= تكون حال للمعادلة( )Bإذا وفقط إذا كانت،λ : جذرا للمعادلة اجلربية التالية

∗ 02 =++ qpλλ الحظ :الربهان

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) xxxxx eqpeqepeeL λλλλλ λλ ++=+′

+″

= 2 ]أي أن ] 00 2 =++⇔= qpeL x λλλ

02جذر للمعادلة λ⇔) حل xeλ: ( وبالتايل =++ qpλλ )ميزة للمعادلة تسمى املعادلة امل ∗املعادلة )B. : 1نظرية

)حقيقية خمتلفة ، ∗إذا كانت جذور املعادلة املميزة -1 )21 λλ )، فإن احلل العام للمعادلة ≠ )B هو: ( ) xx ececx 21

21λλϕ +=

)منطبقة ∗إذا كانت جذور املعادلة املميزة -2 )λλλ == )، فإن احلل العام للمعادلة 21 )B هو: ( ) xx ececx λλϕ 21 +=

βαλβαλβمركبة ∗دلة املميزة إذا كانت جذور املعا -3 ii −=+=≠ 21 ،فإن احلل العام للمعادلة 0,,( )Bهو :

( ) ( )xcxcexy x ββϕ α sincos 21 +== : الربهان

12لتكن -1 ,λλ حسب القضية السابقة الدالتان . ∗جذرين حقيقيني خمتلفني للمعادلة: ( ) ( ) xx exex 21

21 , λλ ϕϕ )مها حالن للمعادلة == )B. )من ناحية ثانية )

( )( ) ce

xx x ≠= − 12

1

2 λλ

ϕϕ 12،أي أن ,ϕϕ لعام هو مستقالن خطيا ،ومنه احلل ا:

( ) ( ) ( ) xx ececxcxcx 21212211

λλϕϕϕ +=+=

λ،عندنا -2

−=

2p

λ أي أن الدالة ∗،جذر للمعادلة املميزة،( ) xp

ex 21

−=ϕ حل للمعادلة( )B .

.ثاين يكون مستقال خطيا معهنبحث عن حل :،احلل الثاين هو 1.4.1حسب القضية اخلاصة بذلك أخر فقرة

( ) ( )( )

xxp

px

pxxppdx

xexedxeeedx

xexx λ

ϕϕϕ ====

−

−

−−∫−

∫∫ 2221

12



43

): ومنه احلل العام هو ) xx xececx λλϕ 21 += βαλβαλحالة اجلذرين مركبني -3 ii −=+= 21 ,.

) الحظ أن ) ( ) ( )xixixxi ececececx βαβαλλϕ −+ +=+= 4343

21 )حل عام للمعادلة )B 43حيث , cc ثوابت مركبة كيفية.

حل مركب، نبحث عن احلل احلقيقي iϕاحلل )واضح أنه إذا كانت :1مالحظة ) ( )xivxuy )حال للمعادلة =+ )Bفإن كال من الدالتني ،( ) ( )xuxv حل ,)للمعادلة )B.

βαλ عندنا من أجل i+=1 الدالة( )xiey βα . حل =+)مباأن ) xiexexixey xxx ββββ ααα sincossincos xeyفإن كال من الدالتني ، =+=+ x βα sin2 = ,cos1 xey x βα= حل للمعادلة( )B ومها مستقالن خطيا،.

βαλنفس الشيء من أجل i−= جند كال من الدالتنيxeyxey xx ββ αα sin,cos 43 )حال للمعادلة ==− )A .مستقالن خطيا ومها

43لكن احللني , yy 21مرتبطان مع احللني , yy. 12ومنه القيمتان املركبتان ,λλ تولدان دالتني مستقلتني خطيا

xeyxey xx ββ αα sin,cos 21 == ) وعليه يكون احلل العام للمعادلة )A هو:

( ) xecxecx xx ββϕ αα sincos 21 += :1مثال

02 لتكن املعادلة -1 =′+′′ yy :الحظ

2,002 212 −==⇒=+ λλλλ

21 مباأن , λλ حقيقيان خمتلفان ،فإن( ) ( ) xexx 221 ,1 −== ϕϕ حلول للمعادلة.

.واضح أما مستقالن خطيا ): هذا يعين أن احلل العام هلا هو ) xeccx 2

21−+=ϕ

096 لتكن املعادلة -2 =+′−′′ yyy :الحظ

( ) 30396 2122 ==⇒=−=+− λλλλλ



44

21 مباأن , λλ حقيقيان متساويان ،فإن( ) ( ) xx xexex 32

31 , == ϕϕ حالن للمعادلة مستقالن خطيا.

): هذا يعين أن احلل العام هلا هو ) xx xececx 32

31 +=ϕ .

02 لتكن املعادلة - 3 =+′′ yky :الحظ

ikk ±=⇒=+ 2,122 0 λλ

21 مباأن , λλ مركبان ،فإن( ) ( ) kxxkxx sin,cos 21 == ϕϕ حالن للمعادلة مستقالن خطيا. ): أن احلل العام هو هذا يعين ) kxckxcx sincos 21 +=ϕ .

: املعادلة غري املتجانسة 4-2-2 ( )A ( )xfqyypy =+′+′′

pq, ابت معينة و ثوf الدالة مستمرة على اI منℜ )معلوم أن احلل العام للمعادلة )A هو :( ) ( ) ( )xxx ϕϕψ += ∗

)حيث )xϕ حل عام للمعادلة( )B و( )x∗ϕ حل خاص للمعادلة( )A .( )xϕ معلومة طريقة إجياده. .ميكن إجياده بطريقة تغيري الثوابت ϕ∗شكل

ϕ∗هناك حاالت خاصة إلجياد - ) لى شكل كثري حدود ،الطرف األمين للمعادلة ع -1 ) ( )xPxf n= حيث،:

( ) nnnn

n axaxaxaxP ++++= −−

11

10 ............... .nكثري حدود من الدرجة

) :يف هذه احلالة نبحث عن احلل اخلاص من الشكل ) ( ) rn xxQx =∗ϕ

)حيث )xQn ن نفس درجة كثري حدود م( )xPn وr عدد جذور املعادلة املميزة املساوية للصفر. 12 لتكن املعادلة :1مثال +=′+′′ xyy

02معلوم أن احلل العام للمعادلة املتجانسة =′+′′ yyهو ، :( ) xeccx 221

−+=ϕ )نبحث عن )x∗ϕ من الشكل( ) ( ) r

n xxQx =∗ϕ 1,1،حيث == rn. ) :أي من الشكل ) ( )xbaxx +=∗ϕ

142 :بعد اإلشتقاق والتعويض يف املعادلة جند +=++ xbaxa : حبل اجلملة

==+

1412

aba

: جند21,

41

== ba



45

): ومنه يكون ) xxxxx21

41

21

41 2 +=

+=∗ϕ

): وبالتايل ) xeccxxx 221

2

21

41 −+++=ψ

)الطرف األمين للمعادلة من الشكل -2 ) ( )xPexf nxα= حيث ،nP كثري حدود من الدرجةn.

) :نبحث عن احلل اخلاص من الشكل ) ( ) xrn exxQx αϕ =∗

)حيث )xQn كثري حدود من نفس درجةn و،r املميزة املساوي لـ عدد جذور املعادلةα. xxeyy لتكن املعادلة: 2مثال =+′−′′ 34

0342املعادلة املميزة هي =+− λλ 3,1،ومنه 21 == λλ ): وبالتايل احلل العام للمعادلة املتجانسة يكون ) xx ececx 3

21 +=ϕ ) ص من الشكل نبحث عن احلل اخلا ) ( ) xr

n exxQx αϕ 1,1,1حيث ، ∗= === rn α أي،: ( ) ( ) xx ebxaxxebax +=+= 2 ( )x∗ϕ

xbaax: نشتق ونعوض يف املعادلة فنحصل على =−+− 224 : حبل اجلملة

=−=−

02214ba

a

: جند41,

41

−=−= ba

): ومنه يكون ) ( ) xexxx +−=∗ 2

41

ϕ

): وبالتايل ) ( ) ( ) ( ) xxx ececexxxxx 321

2

41

+++−=+= ∗ ϕϕψ )الطرف األمين من الشكل -3 ) xbxaxf ββ sincos أعداد معلومة ,baحيث ، =+

) :نبحث عن احلل اخلاص من الشكل ) ( ) rxxBxAx ββϕ sincos +=∗ .βiاوية لـ عدد جذور املعادلة املميزة املس rمعامالت جمهولة ،و ,ABحيث xyy لتكن املعادلة :3مثال sin=+′′

012املعادلة املميزة هي =+λ ومنه،i±=2,1λ

): وبالتايل احلل العام للمعادلة املتجانسة يكون ) xcxcx sincos 21 +=ϕ 1,1عندنا == rβ.

) نبحث عن احلل اخلاص من الشكل ) ( )xxBxAx sincos +=∗ϕ ، ,0: نشتق ونعوض يف املعادلة فنجد

21

=−= BA



46

): ومنه يكون ) xxx cos21

−=∗ϕ

) :وبالتايل احلل العام هو ) ( ) ( ) xcxcxxxxx sincoscos21

21 ++−=+= ∗ ϕϕψ ): ن الشكلالطرف األمين م -4 ) ( ) ( )[ ]xxPxxPexf mn

x ββα sincos += nmحيث PP على التوايل ,nmكثري حدود من الدرجة ,

) :نبحث عن احلل اخلاص من الشكل ) ( ) ( )[ ]xxQxxQexx xr ββϕ α sincos 21 +=∗ 12حيث ,QQ كثري حدود من الدرجةs ، ( )nms ,max=و،r عدد جذور املعادلة املميزة املساوية لـiB+α. xeyy لتكن املعادلة :4مثال x cos3 2=−′′

012املعادلة املميزة هي =−λ ، 1,1ومنه 21 −== λλ

): وبالتايل احلل العام للمعادلة املتجانسة يكون ) xx ececx −+= 21ϕ )مباأن ) ( ) 3,3 == xPxP mn 0،فإن=s .

iiمباأن +=+ 2βα ، 0ة ،فإن ال ميثل حل للمعادلة املميز=r .) :وعليه يكون شكل احلل اخلاص من الشكل ) ( )xBxAex x sincos2 +=∗ϕ

): نشتق ونعوض يف املعادلة جند ) ( ) xxABxBA cos3sin42cos42 =−++ : حبل اجلملة

=+−=+

024342

BABA جند ،

53,

103

== BA

): ومنه يكون )

+=∗ xxex x sin

53cos

1032ϕ

) :وبالتايل احلل العام هو ) ( ) ( ) xxx ececxxexxx −∗ ++

+=+= 21

2 sin53cos

103

ϕϕψ

∗إذا كان:1نتيجة1ϕ حال خاصا للمعادلة( )xfqyyPy ∗و ، ′′+′+=1

2ϕ للمعادلة اخاص حال( )xfqyyPy ∗∗∗فإن ، ′′+′+=2 += 21 ϕϕϕ حل خاص للمعادلة( ) ( )xfxfqyyPy 21 +=+′+′′



1-22المعادلات التفاضلية -1

Documents

Transcript of 1-22المعادلات التفاضلية -1