Elettromagnetismo stazionario

Conclusioni

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm(versione del 13-2-2007)

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Campo elettrico stazionario

● Equazioni per il campo elettrico

● Equazioni di legame materiale per un mezzo lineare isotropo

All’interno dei conduttori il campo elettrico può essere determinato studiando il campo di corrente

All’esterno dei conduttori (σ = 0) le equazioni coincidono con quelle del campo elettrostatico

0ˆ =⋅∫Γ

dltE

∫∫ ρ=⋅VS

ˆ dVdS cnDcρ=⋅∇ D

0=×∇ E

EJ σ=

ED ε=

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Densità di carica nei conduttori

● All’interno di un conduttore in condizioni stazionarie i vettori D E e Jsoddisfano le equazioni

● Se il conduttore è omogeneo si ottiene

All’interno di un conduttore omogeneo la densità volumetrica di caricaè sempre nulla

● A differenza del caso elettrostatico, in presenza di correnti stazionarie questa proprietà vale solo se il mezzo è omogeneo

cρ=⋅∇ D

JE =σ

ED ε=

0=⋅∇ J

( ) 0=⋅∇σε

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σε

⋅∇=ε⋅∇=ρ JJ

Ec

4

Interfaccia tra due mezzi conduttori

t1E t2E

n2En1E

n1J n2J

t1Jt2J

1J

1E 2E

2J

1E

2E

1J

2J

tt

nn

EE

JJ

21

21

==

2

2

1

1

2211

σ=

σ

σ=σ

tt

nn

JJ

EECondizioni di continuità:

linee di flusso di J

1σ 2σ

5

Interfaccia tra due mezzi conduttori

● La condizione di continuità per la densità di corrente richiede che sia verificata la relazione

In generale la componente ortogonale di D non può essere continua

Sulla superficie di separazione tra due mezzi aventi conducibilitàdiversa deve essere presente una distribuzione superficiale di carica con densità σc tale che

nn EE 2211 σ=σ

nnnnc EEDD 112212 ε−ε=−=σ

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Interfaccia tra un conduttore e un dielettrico

● Nel dielettrico (σ = 0) la densità di corrente è nulla

Dalle condizioni di continuità deriva che nel conduttore J deve essere tangente alla superficie

● Nel conduttore E è parallelo a J, quindi è tangente alla superficie

La superficie del conduttore non è equipotenziale

Dato che la componente tangente di E deve essere continua, nel dielettrico E non è ortogonale alla superficie di separazione

EC

EDt

EDEDn

0

0

==σ

J

0≠σJ

7

Interfaccia tra un conduttore e un dielettrico

● Nel conduttore E e D sono tangenti alla superficie

La componente di D normale alla superficie di separazioneè discontinua

Sulla superficie del conduttore deve essere presente una distribuzione di carica con densità

EC

EDt

EDEDn

0

0

==σ

J

0≠σJ

DnDDnc ED ε==σ

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Campo elettrico all’esterno dei conduttori

● Si assume ρc = 0 all’esterno dei conduttori

● Come nel caso del campo elettrostatico, il potenziale soddisfa l’equazione di Laplace

● In questo caso le condizioni alcontorno sono diverse dato chei conduttori non sono equipotenziali

● A differenza di quanto avvienenel caso elettrostatico, sono presenti anche linee di campoche collegano due punti dello stesso conduttore

0V2 =∇

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Proprietà delle superfici corrispondenti

● Si considera un tubo di flusso di D che inizia e termina sulla superficie di un conduttore omogeneo percorso da corrente

● Si assume che all’esterno del conduttore sia ρc = 0

● Anche in questo caso vale la proprietà delle superfici corrispondenti: le cariche sulle superfici terminali sono uguali e di segno opposto

● La proprietà deriva dal fatto che è nullo il flusso di D attraverso la superficie chiusa formata dalla superficie laterale del tubo di flusso e dalle due superfici Σ1 e Σ2 interne al conduttore (e quindi la carica totale racchiusadalla superficie deve essere nulla)

4342143421Q

dS

Q

dSS

c

S

c

−

σ−=σ ∫∫21

2211

10

Proprietà delle superfici corrispondenti

● Il flusso di D attraverso la superficie laterale è nullo perchè D ètangente alla superficie

● Per dimostrare che il flusso di D attraverso Σ1 e Σ2 è nullo si osserva che è nullo il flusso di J attraverso la superficie chiusa formate da Σ1 e S1 e la superficie chiusa formata da Σ2 e S2 (dato che J è solenoidale)

● J è tangente alle superfici S1 e S2 deve essere nullo il flusso di Jattraverso Σ1 e Σ2

● Il conduttore è lineare e omogeneoD è proporzionale a J

Quindi anche il flusso di Dattraverso Σ1 e Σ2 è nullo

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Effetti capacitivi e induttivi associati a un circuito

● Sulla superficie di un conduttore percorso da corrente è presente una distribuzione superficiale di carica

Alla superficie del conduttore si appoggiano dei tubi di flusso di Dsulle cui sezioni terminali si loca-lizzano cariche uguali e opposte

Questi tubi di flusso costituisconodei condensatori elementari

● La corrente nel circuito genera un campo magnetico

Un circuito elettrico è sempre concatenato con tubi di flusso di B

D

B

i

12

D

B

i

Effetti capacitivi e induttivi associati a un circuito

● In condizioni stazionarie è possibile studiare il campo di corrente prescindendo dalla presenza di un campo elettrico e di un campo magnetico all’esterno del conduttore

● Noti il potenziale e la corrente nel conduttore si possono determinare il campo magnetico e la distribu-zione della carica sulla superficie

● In regime variabile le equazioni che governano il campo elettrico e il campo magnetico all’esterno del conduttore sono accoppiate con le equazioni del campo di corrente

In queste condizioni il comportamento del circuito è influenzato anche dalla presenza di effetti induttivi e capacitivi

13

Elettromagnetismo stazionario - riepilogo

)(

0

0

iEEJ

J

E

+σ==⋅∇=×∇

HB

Β

JH

μ==⋅∇=×∇0

ED

D

E

ε==⋅∇=×∇0

0

eRi = VC

Q=Ci=ΦR

B D

J

Ei

+Q

−Q

σ ≠ 0

σ = 0

Legge diHopkinson

Legge di Ohm

Equazione delcondensatore

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Elettromagnetismo stazionario - riepilogo

● Resistenza

● Riluttanza

● Capacità

∫∫∫

∫

Γ

Γ

σ===

00

0

SS

ABAB

dSdldldl

JdS

Edl

i

VR AB

∫∫∫

∫

Γ

Γ

ε===

00

01

SS

AB

AB dSdldldl

DdS

Edl

Q

V

CAB

∫∫∫

∫

Γ

Γ

μ==

Φψ

=0

0

0

SS

ABAB

dSdl

dldl

BdS

HdlABR

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Induttori e condensatori

● Normalmente i circuiti elettrici sono realizzati in modo che gli effetti induttivi e capacitivi siano significativi solo all’interno di determinate regioni che corrispondono a componenti detti induttori e condensatori

Proprietà che a rigore dovrebbero essere associate all’intero circuito possono essere attribuite a singoli componenti

● All’interno di un induttore i valori di B sono molto maggiori rispetto a quelli assunti all’esterno

Il flusso di B concatenato con il circuito è praticamente determinato dai soli contributi dei flussi negli induttori

● All’interno di un condensatore i valori di D sono molto maggiori rispetto a quelli assunti all’esterno

La densità di carica sulla superficie del conduttore assume valori significativi solo sulle armature dei condensatori

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Esempio

Induttore

Generatore

Condensatore

Resistori

0≠Β

0

0

≅≅

D

Β

0≠D0≠σc

0≅σc

Conduttoreideale

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Induttori e condensatori in regime stazionario

● Se il conduttore può essere considerato ideale, la tensione dell’induttore è nulla

In regime stazionario un induttore equivale a un cortocircuito

● Dato che le armature del condensatore sono separate da un dielettrico, la corrente nel condensatore è nulla

In regime stazionario un condensatore equivale a un circuito aperto

● In regime stazionario è possibile determinare le correnti degli induttori e le tensioni dei condensatori studiando circuiti formati solo da componenti resistivi

Per gli induttori, dai valori delle correnti si possono ricavare i flussi di induzione magnetica

Per i condensatori, dai valori delle tensioni si possono ricavare le cariche

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Esempio

21

2

21

RR

RVv

RR

Vi

GC

GL

+=

+=

C

L

CvQ

Li

==Φ

Φ Q+

Q−