08 06 estimacion de parametros para dos muestras. diferencia de proporciones

ESTADÍSTICA. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y

CIENCIAS DE LA SALUD.

CAPÍTULO 8: ESTIMACIÓN DE

PARÁMETROS E INTERVALOS DE

CONFIANZA.

DIFERENCIA DE PROPORCIONES

POBLACIONALES (π1–π2).

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Diferencia de proporciones (π1–π2).

Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 133

8.9.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA ENTRE

PROPORCIONES DE DOS POBLACIONES.

Un intervalo de confianza aproximado de %100)1( para 21 , la diferencia entre

dos parámetros binomiales, está dada por

21 : 2

22

1

112/21

)1()1()(

n

pp

n

ppzpp

(58a)

2

22

1

112/2121

2

22

1

112/21

)1()1()(

)1()1()(

n

pp

n

ppzpp

n

pp

n

ppzpp

(58b)

donde

1

11

n

Xp (59a)

2

22

n

Xp (59b)

Intervalos de confianza de una cola para la diferencia de proporciones.

Es posible encontrar intervalos de confianza de una cola para aproximar 21

mediante una modificación simple de la ecuación (58b)

Un intervalo de confianza inferior aproximado del %100)1( es

21

2

22

1

1121

)1()1()(

n

pp

n

ppzpp (60a)

2

22

1

112121

)1()1()(

n

pp

n

ppzpp

(60b)

Un intervalo de confianza superior aproximado del %100)1( es

2

22

1

112121

)1()1()(

n

pp

n

ppzpp

(61)



Ejemplo 8.33.

Se considera cierto cambio en un proceso de fabricación de partes componentes. Se toman

muestras del procedimiento existente y del nuevo para determinar si éste tiene como

resultado una mejoría. Si se encuentra que 75 de 1500 artículos del procedimiento actual

son defectuosos y 80 de 2000 artículos del procedimiento nuevo también lo son, encuentre

un intervalo de confianza de 90% para la diferencia real en la fracción de defectuosos entre

el proceso actual y el nuevo.

Solución.

Procedimiento actual (1)

751 X

15001 n

Procedimiento nuevo (2)

802 X

20002 n

90.01

Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones.

21 : 2

22

1

112/21

)1()1()(

n

pp

n

ppzpp

(58a)

Valor 2/z .

4500.02

90.0

2

1

2

65.164.12/

z

645.12/ z

Proporción de éxitos en la muestra 1.

1

11

n

Xp (59a)



1500

751 p

05.01 p

Proporción de éxitos en la muestra 2.

2

22

n

Xp (59b)

2000

802 p

04.02 p

Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones.

21 :2000

)04.01(04.0

1500

)05.01(05.0645.1)04.005.0(

21 : 0117.001.0

21 :

0017.0

0217.0

0217.00017.0 21

Como el intervalo contiene el valor cero, no hay razón para creer que el nuevo

procedimiento producirá una disminución significativa en la proporción de artículos

defectuosos comparado con el método existente.

Ejercicios propuestos.

228. Se seleccionaron dos muestras de 400 tubos electrónicos, de cada una de dos líneas de

producción, A y B. De la línea A se obtuvieron 40 tubos defectuosos y de la B 80. Estime

la diferencia real en las fracciones de defectuosos para las dos líneas, con un coeficiente de

confianza de 0.90 e interprete los resultados.

Respuesta: a) 0356.01644.0 BA . Como el intervalo no contiene el valor

“cero”, hay razón para creer que la proporción de la línea A y de la línea B difieren

significativamente, pues el cero indica que pueden tener la misma proporción.



229. El decano registró debidamente el porcentaje de calificaciones D y F otorgadas a los

estudiantes por dos profesores universitarios de matemáticas. El profesor 1 alcanzó un 32%,

contra un 21% para el profesor II, con 200 y 180 estudiantes, respectivamente. Estime la

diferencia entre los porcentajes de calificaciones D y F otorgadas por los dos profesores.

Utilice un nivel de confianza del 95% e interprete los resultados.

Respuesta: a) 2255.00055.0 III . Como el intervalo contiene el valor “cero”, no

hay razón para creer que la proporción del profesor I y del profesor II difieren

significativamente, pues el cero indica que pueden tener la misma proporción.

230. [RV] Una muestra aleatoria de 300 funcionarios reveló que el 85% ve regularmente un

determinado programa de televisión. De otra muestra aleatoria de 200 funcionarios, el 66%

manifestó que veían el programa regularmente. Construir el intervalo de confianza del 98%

para la diferencia entre las dos proporciones poblacionales.

231. [RV] En una encuesta de opinión pública se consulta a 400 hombres y 600 mujeres

acerca de un proyecto municipal. El 75% de los hombres y el 70% de las mujeres

expresaron su aprobación al proyecto. Construir el intervalo de confianza del 89% para la

diferencia entre las dos proporciones poblacionales.

232. [RV] De una muestra aleatoria de 150 universitarios 105 dijeron que en alguna parte

del universo tenía que haber vida. De otra muestra aleatoria de 210 jóvenes de la misma

edad pero que no eran universitarios, 120 dijeron lo mismo. Construir el intervalo de

confianza del 95% para la diferencia entre las dos proporciones poblacionales.

233. [RV] Un equipo de botánicos infectó 200 plantas con cierta enfermedad. Luego trató a

la mitad de las plantas con un químico A y la otra mitad con un químico B. de las plantas

tratadas con el producto A, 75 sobrevivieron y de las tratadas con el producto B, 64

sobrevivieron. Construir el intervalo de confianza del 90% para BA .

234. [MR] Se usan dos tipos diferentes de máquinas de moldeado por inyección para hacer

piezas de plástico. Una pieza se considera defectuosa si presenta una merma excesiva o está

decolorada. Se seleccionan dos muestras aleatorias, cada una de tamaño 300, y se

encuentran 15 piezas defectuosas en la muestra de la máquina 1, mientras que se



encuentran 8 piezas defectuosas en la muestra de la máquina 2. Construya un intervalo de

confianza de 95% para la diferencia de las dos proporciones de piezas defectuosas.

235. [MR] En una muestra aleatoria de 500 adultos residentes del condado Maricopa se

encontró que 385 estaban a favor de aumentar el límite de velocidad a 75 mph, mientras

que en otra muestra de 400 adultos residentes del condado Pima se encontró que 267

estaban a favor de aumentar el límite de velocidad. Construya un intervalo de confianza de

95% para la diferencia de las dos proporciones. Proponga una interpretación práctica de

este intervalo.

236. [JF] Un médico desea estimar la diferencia entre la proporción de hombres y mujeres,

en edad madura, que fuman en exceso y que desarrollan un cáncer pulmonar en los

siguientes cinco años. Para ello selecciona dos muestras, una de hombres y otra de mujeres

verificando las condiciones anteriores. Los datos son los siguientes:

Nº fumadores Enfermos de cáncer

Hombres 100 85

Mujeres 110 60

Calcule un intervalo de confianza al 95% para la diferencia entre las proporciones de

enfermos. Y cuáles son los límites para el intervalo de confianza al nivel de 99%?

Respuesta. 4210.01881.0 21 , 4576.01515.0 21 .

237. Un artículo relacionado con la salud, reporta los siguientes datos sobre la incidencia de

disfunciones importantes entre recién nacidos con madres fumadoras de marihuana y de

madres que no la fumaban:

Usuaria No usuaria

Tamaño muestral 100 85

Número de disfunciones 110 60

Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la diferencia de proporciones.

Respuesta. 0211.00063.0 21 .

238. [MR] En una muestra aleatoria de 1500 teléfonos domésticos de Phoenix en 1990, se

encontró que 387 de los números no estaban en el directorio telefónico. En una muestra

aleatoria de 1200 teléfonos tomada el mismo año en Scottsdale se encontró que 310 no

aparecían en el directorio.



a) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la diferencia de las dos proporciones y

use este intervalo de confianza para determinar si existe alguna diferencia estadísticamente

significativa en las proporciones de los números que no aparecen en el directorio entre las

ciudades.

b) Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la diferencia de las dos proporciones y

use este intervalo de confianza para determinar si existe una diferencia estadísticamente

significativa en las proporciones de los números que no aparecen en el directorio entre las

dos ciudades.

c) Suponga que se duplican todos los números de la descripción del problema. es decir, 774

residentes de 3000 muestreados en Phoenix y 620 residentes de 2400 de Scottsdale, tenían

números telefónicos que no aparecían en el directorio. Repita los incisos a) y b) y comente

el efecto sobre los resultados de aumentar el tamaño de la muestra sin cambiar las

proporciones.

239. [SW] Se tiene que 132 de 200 votantes del distrito A favorecen a un candidato dado

para la elección del Senado y 90 de 150 votantes del distrito B se expresan a favor de este

mismo candidato. Obtenga un intervalo de confianza de 99% para 21 , la diferencia

entre las proporciones reales de votantes de los dos distritos favorables al candidato.

240. Dos marcas de refrigeradores A y B tienen (ambos) una garantía de un año. En una

muestra aleatoria de 50 refrigeradores de la marca A, 12 se descompusieron antes de

terminar el periodo de garantía. Una muestra aleatoria de 60 refrigeradores de la marca B

reveló también 12 descomposturas durante el periodo de garantía. Estimar la diferencia real

entre las proporciones de fallas durante el periodo de garantía con un coeficiente de

confianza de 0.98.

241. [MA] Se selecciona una muestra aleatoria de 500 trabajadores dedicados a tareas de

investigación y desarrollo durante el año pasado. De ellos, 178 ganan más de $ 72 000

anuales. De 450 empleados del área estudiados en el año actual, 220 ganan más de $ 72 000

por año.



a) Sea que 1 y 2 denotan la proporción de trabajadores del área de investigación y

desarrollo que ganaron más de $ 72 000 anuales en los años previo y actual,

respectivamente. Calcule estimaciones puntuales de 1 , 2 y 21 .

b) Determine un intervalo de confianza de 95% para 21 .

c) ¿Le sorprendería la afirmación de que la proporción de trabajadores de investigación y

desarrollo que ganan más de $ 72 000 anuales es la misma en este año y el pasado?

Explique su respuesta con base en el intervalo de confianza calculado en el inciso b).

d) ¿Qué tamaño de muestra común debe tomarse de las poblaciones de trabajadores del área

de investigación y desarrollo de los años actual y pasado para estimar 21 a no más de

0.02 con confianza de 90%?

242. [MA] En concreto superplastificado se produce mediante la adición de sustancias

químicas al concreto normal para hacerlo más fluido, de modo que pueda colocarse con

mayor facilidad. Suponga que una muestra de 50 nuevos proyectos de construcción en el

área Dallas – Fort Worth indica que en 15 de ellos se usa este tipo de concreto. Otra

muestra de 60 nuevos proyectos en el área de Boston revela que en 15 se usa el concreto

superplastificado.

a) Sean 1 y 2p las proporciones de nuevos proyectos de construcción en Dallas – Fort

Worth y Boston, respectivamente, en las que se usa el concreto superplastificado. Calcule

estimaciones puntuales de 1 , 2 y 21 .

b) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para 21 .

c) ¿Le sorprendería la afirmación de que la proporción de proyectos en Dallas – Fort Worth

en los que se usa este tipo de concreto es claramente mayor que en el área de Boston?

Explique su respuesta con base en el intervalo de confianza determinado en el inciso b).

243. [MA] Se realiza un estudio del mercado de computadoras. Se extraen muestras

aleatorias de usuarios de las dos marcas líderes de servidores. El propósito del estudio es

estimar la proporción de usuarios de cada población que usa o le gustaría usar el sistema de

oficina pequeña que produce el fabricante del servidor. Se obtiene los datos siguientes:

Tipo I Tipo II



2001 n 1902 n

621 x 762 x

a) Encuentre estimaciones puntuales de 1 , 2 y 21 .

b) Determine un intervalo de confianza de 90% para 21 .

c) ¿Le sorprendería la afirmación de que 21 ? Explique su respuesta con base en el

intervalo de confianza del inciso b).

Determinación del tamaño de las muestras requerido para la estimación de la

diferencia de proporción de dos poblaciones.

Para una distribución muestral de diferencia de proporciones el error está dado por

2

22

1

112/

)1()1(

n

pp

n

ppz

(60)

En esta ecuación se pueden presentar dos casos:

- Los tamaños de muestra son iguales ( nnn 21 ).

- Los tamaños de muestra son diferentes ( 21 nkn ).

Para el primer caso se eleva al cuadrado la ecuación (50) y se despeja n.

2

2211

2

2/ )]1()1([

ppppzn

(61)

Para el segundo caso se pondrá una 1n en función 2n : 21 nkn y se despeja 2n :

2

2211

2

2/

2

)]1()1([

k

ppkppzn

(62)

Ejemplo 8.34. Cálculo del tamaño muestral para estimar la diferencia de proporciones

de dos poblaciones con una determinada precisión.

Una compañía de productos alimenticios contrató a una empresa de investigación de

mercadotecnia, para muestrear dos mercados, I y II, a fin de comparar las proporciones de

consumidores que prefieren la comida congelada de la compañía con los productos de sus

competidores. No hay información previa acerca de la magnitud de las proporciones 1 y



2 . Si la empresa de productos alimenticios quiere estimar la diferencia dentro de 0.04, con

una probabilidad de 0.95, ¿cuántos consumidores habrá que muestrear en cada mercado?

Solución.

Error de estimación: 04.0

Nivel de confianza: 95.01

Se asume que ambas muestras son de igual tamaño, pues no especifican lo contrario.

?n

Tamaño de la muestra.

2

2211

2

2/ )]1()1([

ppppz

n

(61)

Puesto que no hay información previa acerca de la magnitud de las proporciones 1 y 2 ,

se asume 5.01 p y 5.02 p .

Valor 2/z .

4750.02

95.0

2

1

96.12/ z

Tamaño de la muestra.

2

2

)04.0(

)]5.01(5.0)5.01(5.0[)96.1( n

5.1200n

Se requieren al menos 1201 consumidores de cada mercado I y II.

Ejercicios propuestos.

244. Se tienen que seleccionar muestras aleatorias independientes de nnn 21

observaciones de cada una de dos poblaciones binomiales, 1 y 2. Si se desea estimar la

diferencia entre los dos parámetros binamiales, exacta dentro de 0.05, con una probabilidad

de 0.98, ¿qué tan grande tendría que ser n? No se tiene información anterior acerca de los

valores de 1 y 2 , pero se quiere estar seguro de tener un número adecuado de

observaciones en la muestra.



Respuesta: 1083n .

245. [MA] Se realizará un estudio para estimar la diferencia en las proporciones de

productos defectuosos fabricados por los trabajadores de una línea en montaje en dos turnos

distintos. ¿Qué tamaño de muestra común debe usarse para estimar tal diferencia a no más

de 0.04 con confianza de 90%?

246. [MA] Un grupo de ingenieros automotrices desea comparar el funcionamiento de su

nuevo automóvil de seis cilindros y tracción delantera con el viejo modelo de cuatro

cilindros. Sean 1 y 2 las proporciones de automóviles con problemas de motor durante

las primeras 5 000 mi de uso de los dos modelos, en el orden de su mención. ¿Qué tamaño

muestral común debe usarse para estimar 21 a no más de 0.05 con confianza de 90%?

247. [MA] Un sistema de iluminación programable está en fase de diseño. Su propósito es

reducir los costos de consumo de electricidad en edificios. En última instancia, el sistema

incluirá el uso de numerosos transmisores – receptores. Se consideran dos tipos. En las

pruebas de vida útil, se obtienen los datos siguientes sobre el número de fallas en los

transmisores – receptores de cada tipo:

Tipo I Tipo II

1001 n 1002 n

21 x 42 x

a) Encuentre estimaciones puntuales de 21 , la diferencia entre las tasas de falla de los

dos tipos de transmisores - receptores.

b) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para 21 .

c) ¿Puede afirmarse que 21 con base en el intervalo del inciso b) Explique su

respuesta.

d) ¿Es el intervalo del inciso b) suficientemente angosto para formarse una idea del valor

real de 21 ? ¿Qué tamaño muestral común es necesario para estimar 21 a no más

de 0.01 con confianza de 95%?

248. [MA] Se espera que las computadoras tengan una función cada vez más importante en

el control de las actividades delictivas durante los años por venir. En 1983, el FBI tenía un



sistema no computarizado, Ident, que contenía los expedientes de miles de personas en todo

Estados Unidos. Una muestra aleatoria de 500 expedientes revela que apenas 70% de ellos

tiene información sobre la resolución del caso. Ello resulta desafortunado, ya que cerca de

un tercio de los casos es desestimado finalmente. Si la desestimación no fuera parte del

expediente, personas inocentes podrían quedar señaladas.

a) Suponga que se diseña y pone en uso un nuevo sistema computarizado de historiales

delictivos. Se selecciona una muestra aleatoria de tamaño 500 de los casos registrados en el

nuevo sistema. De ellos, se descubre que 410 abarcan la información sobre la resolución del

caso. Estime la proporción de casos del nuevo sistema que contiene esa información.

b) Estime la diferencia entre las proporciones del viejo sistema Ident y el nuevo sistema

computarizado (reste el primero del segundo).

c) Determine un intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre las proporciones.

d) ¿Sería correcto afirmar que el nuevo sistema es superior a Ident, en el sentido de que

contiene más información sobre “la resolución del caso”? Explique su respuesta con base

en el intervalo de confianza del inciso c).

e) ¿Qué tamaño muestral común debe seleccionarse de los archivos del sistema Ident y el

nuevo sistema computarizado para estimar 21 a no más de 0.03 con confianza de

95%?

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