08 02 estimacion de parametros para una sola muestra. proporciones

ESTADÍSTICA. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y

CIENCIAS DE LA SALUD.

CAPÍTULO 8: ESTIMACIÓN DE

PARÁMETROS E INTERVALOS DE

CONFIANZA.

PROPORCIÓN POBLACIONAL (π).

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Proporción poblacional (π).

Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 68

8.4.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN DE UNA

POBLACIÓN.

Sea p la proporción observada de éxitos en una muestra aleatoria de n observaciones

procedentes de una población con una proporción de éxitos. Entonces, si n es grande, un

intervalo de confianza del %100)1( para la proporción poblacional viene dado por:

: n

ppzp

)1(2/

(29a)

n

ppzp

n

ppzp

)1()1(2/2/

(29b)

Intervalos de confianza de una cola para la proporción.

Es posible encontrar intervalos de confianza de una cola para aproximar p mediante

una modificación simple de la ecuación (29b)

Un intervalo de confianza inferior aproximado del %100)1( es

n

ppzp

)1( (30a)

n

ppzp

)1( (30b)

El intervalo de confianza es: 1)1(

n

ppzp .

Un intervalo de confianza superior aproximado del %100)1( es

n

ppzp

)1( (31)

El intervalo de confianza es: n

ppzp

)1(0

.

En la práctica, cuando se habla de un intervalo de confianza inferior, se está refiriendo al

límite inferior del intervalo de confianza, pero la porción de la gama de valores en la recta

real que le corresponde a

realmente es la superior. De la misma manera, cuando se habla

de un intervalo de confianza superior, se está refiriendo al límite superior del intervalo de

confianza, pero la gama de valores de

realmente es la inferior.



Ejemplo 8.14. Intervalo de confianza para la proporción de una población.

Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias

para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos

compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500

reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas. Encuentre un

intervalo de confianza de 90% para la proporción de los reproductores de discos compactos

de la población que no pasarán todas las pruebas.

Solución.

Tamaño de la muestra: 500n

Éxito: El reproductor falla.

Número de éxitos en la muestra: 15x

Nivel de confianza: 90.01

Intervalo de confianza para la proporción.

: n

ppzp

)1(2/

(29a)

Estimador de la proporción.

n

xp

500

15p

03.0p

Se verifica la aplicabilidad del modelo.

51503.0500 pn

5485)03.01(500)1( pn

Valor 2/z .

4500.02

90.0

2

1

2

65.164.12/

z



645.12/ z


: 500

)03.01(03.0645.103.0

: 0125.003.0

:

0175.0

0425.0

0425.00175.0

Con un nivel de confianza de 90% se puede afirmar que la proporción de los reproductores

de discos compactos defectuosos en la población está entre 0.0175 y 0.0425.

Una segunda de expresar el intervalo de confianza para la proporción es

n

ppzp

n

ppzp

)1()1(2/2/

y efectuar los cálculos en dicha forma. En

este ejemplo escribiremos:

n

ppzp

n

ppzp

)1()1(2/2/

500

)03.01(03.0645.103.0

500

)03.01(03.0645.103.0

0125.003.00125.003.0

Resultando:

0425.00175.0

Finalmente, una tercera forma de expresar el intervalo de confianza para la proporción es

pzp 2/ , para lo cual es necesario determinar el error estándar de las proporciones:

n

ppp

)1(

500

)03.01(03.0 p

007629.0p




: 007629.0645.103.0

: 0125.003.0

:

0175.0

0425.0

0425.00175.0

El profesor indicará la forma más conveniente de trabajo, o el estudiante lo decidirá

siempre y cuando tenga la libertad de elección.

Ejercicios propuestos.

118. Se probó una muestra aleatoria de 400 cinescopios de televisor y se encontraron 40

defectuosos. Estime el intervalo que contiene, con un coeficiente de confianza de 0.90, a la

verdadera fracción de elementos defectuosos.

Respuesta: 1247.00753.0 .

119. Tomada, al azar, una muestra de 120 estudiantes de una Universidad, se encontró que

54 de ellos hablaban inglés. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de

confianza para estimar la proporción de estudiantes que hablan el idioma ingñés entre los

estudiantes de esa Universidad.

Respuesta: 5247.03753.0 .

120. [JF] En una determinada población se toma una muestra al azar de 256 personas. De

esta muestra, el 20% de las personas lleva gafas graduadas y el resto no. Calcule el

intervalo de confianza aproximado para la proporción poblacional de las personas que

llevan gafas graduadas para un nivel de confianza del 95%.

Respuesta: 2490.01510.0 .

121. En una muestra de 300 universitarios el 80% ha respondido que asiste semanalmente

al cine. Entre qué valores se encuentra, con un nivel de confianza del 95%, la proporción de

universitarios que acude todas las semanas al cine.

Respuesta: 8453.07547.0 .

122. El Ministerio de Educación y Cultura desea conocer el interés de los padres por la

introducción de la primera Lengua Extranjera en el Primer Curso de Primaria. Encuestados



1024 padres elegidos al azar, el 80% está a favor. ¿Cuál es el intervalo de confianza para el

porcentaje de los padres que están a favor de esta medida, con un nivel de confianza de

0.99?

Respuesta: 8322.07678.0 .

123. [JF] Se selecciona una muestra aleatoria simple de 600 familias a las que se les

pregunta si tiene computadora en casa, resultando que 240 contestan afirmativamente.

Obtener un intervalo de confianza al nivel del 95% para estimar la proporción real de

familias que poseen computadora.

Respuesta: 4392.03608.0 .

124. En un estudio de 300 accidentes de automóvil en una ciudad específica, 60 tuvieron

consecuencias fatales. Con base en esta muestra, construya un intervalo del 95% de

confianza para aproximar la proporción de todos los accidentes automovilísticos que en esa

ciudad tienen consecuencias fatales.

Respuesta: 2453.01547.0 .

125. [RV] En una encuesta para verificar las aptitudes de los empleados ante el boletín

mensual se les pidió a 500 empleados de una organización nacional que indicaran con qué

frecuencia leían el boletín de noticias. De los 500, trescientos setenta y cinco (375)

informaron que leían todas las ediciones. Construir el intervalo de confianza del 95% para

la proporción real de los que leen todas las ediciones.

Respuesta: 7880.07120.0 .

126. [RV] Una muestra aleatoria de 500 semillas de caraota es seleccionada y se encuentra

que 86 de ellas no germinaron. Busque un intervalo de confianza del 99% para la

proporción de semillas que no germinan.

Respuesta: 7880.07120.0 .

127. [RV] De una muestra aleatoria simple de 300 entrevistados sacados de una población

grande de adultos, el 55% informó que su deporte favorito era el fútbol. Construir un

intervalo de confianza del 97% para la proporción real de los que consideran el fútbol como

su deporte favorito.

Respuesta: 6123.04877.0 .



128. [RV] De una muestra elegida al azar de 400 adultos sacada de una población grande

resultó que 240 dieron una respuesta negativa de la pregunta: ¿Cree Usted que la policía

debe arrestar a los borrachos de los barrios sólo por la embriaguez? Construir el intervalo

de confianza del 92% para la proporción real de los que opinan afirmativamente.

Respuesta: 4429.03571.0 .

129. [SW] Se hace un estudio para determinar la proporción de votantes de una comunidad

cuantificable que favorecen la construcción de una planta generadora de energía nuclear. Si

se tiene que sólo 140 de 400 votantes seleccionados al azar favorecen el proyecto, obtenga

un intervalo de confianza de 95% de la proporción de todos los votantes de esta comunidad

que se expresan a favor del proyecto.

Respuesta: 3967.03033.0 .

130. El director de una empresa televisiva quiere determinar el porcentaje de hogares de la

ciudad que tiene más de 1 televisor. Una muestra aleatoria de 500 hogares reveló que en

275 hay 2 ó más aparatos. ¿Cuál es el intervalo de confianza del 90% para la proporción de

hogares con 2 ó más televisores?

131. Se desea determinar un intervalo de confianza con nivel de confianza del 99% para la

proporción de amas de casa que compran sólo una vez a la semana. Se sabe que en una

muestra aleatoria simple de 400 amas de casa sólo 180 afirmaron comprar una vez a la

semana.

Respuesta: 5141.03859.0 .

132. En una encuesta a 360 alumnos de un centro, elegidos al azar, resultaron 190 a favor

de la política del actual equipo directivo. ¿Cuál es el intervalo de confianza, con nivel del

95% para la proporción de alumnos que apoyan a esta dirección?

Respuesta: 5793.04762.0 .

133. De una muestra aleatoria de 2100 personas de una población hay 630 que leen un

determinado diario. Calcular el intervalo de confianza para la proporción poblacional para

un nivel de confianza del 99%.

Respuesta: 3258.02742.0 .



134. Preguntadas 100 personas de cierta ciudad, elegidas al azar, si leen el periódico al

menos una vez a la semana, sólo 49 han contestado que sí. Encuentre un intervalo de

confianza, con un nivel de confianza del 99%, para la proporción de personas de esa ciudad

que leen el periódico al menos una vez a la semana.

Respuesta: 5262.02738.0 .

135. De una muestra de 400 jóvenes de 25 años, elegidos al azar, sólo 60 no vivían con sus

padres. Determine un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 95%, para el

porcentaje de jóvenes que no viven con sus padres a los 25 años.

Respuesta: 1850.01150.0 .

136. Se lanza una moneda 100 veces y se obtiene 62 cruces. ¿Cuál es el intervalo de

confianza para la proporción de cruces con un 99% de nivel de confianza?

Respuesta: 7450.04950.0 .

137. En una encuesta realizada a 2000 propietarios de automóviles en la ciudad de Maturín,

800 manifestaron la intención de cambiar el auto en el próximo año. Construya un IC del

90% para la proporción de todos los propietarios de autos de Maturín que pretenden

cambiar su automóvil en el próximo año.

Respuesta: 4180.03820.0 .

138. Es común utilizar aceros inoxidables en las plantas químicas para manejar fluidos

corrosivos. Sin embargo, estos aceros tienen especial susceptibilidad al agrietamiento por

corrosión causada por esfuerzos en ciertos entornos. En una muestra de 295 fallas de

aleaciones de acero que ocurrieron en refinerías de petróleo y plantas petroquímicas en

Japón durante los últimos 10 años, 118 se debieron a agrietamiento por corrosión causada

por esfuerzos y a fatiga de corrosión. Establezca un intervalo de confianza de 95% para la

verdadera proporción de fallas de aleaciones causadas por agrietamiento por corrosión

debido a esfuerzos.

Respuesta: 4559.03441.0

139. Para estimar el número de ranas que hay en un estanque procedemos a pescar cierta

cantidad, 30, y las marcamos con un anillo, devolviéndolas al estanque. Transcurridos unos



días volvemos a pescar otro montón y observamos qué proporción están marcadas con el

anillo. En esta última pesca obtenemos 100 ranas de las que 7 están marcadas.

a) Calcular un intervalo al 90% de confianza para la proporción de ranas marcadas.

b) Calcular un intervalo de confianza, con un 90%, para el número total N, de ranas del

estanque, teniendo en cuenta que la proporción de ranas marcadas es N

p30

.

Respuesta: a) 1120.00280.0 ; b) 1065269 N .

140. [MR] Un fabricante de calculadoras electrónicas está interesado en estimar la fracción

de unidades defectuosas producidas. Una muestra aleatoria de 800 calculadoras contiene 10

unidades defectuosas. Calcule un intervalo de confianza superior del 99% para la fracción

defectuosa.

Respuesta: 0216.0 .

141. [MA] En 1980, el Bureau of Labor Statistics estadounidense realizó un estudio de

1000 lesiones oculares leves que sufrieron trabajadores en los centros de trabajo. El estudio

reveló que en 600 de los casos el trabajador no usaba equipo de protección ocular en el

momento de la lesión. También mostró que 900 de las lesiones habrían sido previsibles con

el uso de tal equipo. Suponga que las condiciones actuales en los centros de trabajo no han

cambiado sustantivamente de las que había en 1980, en lo relativo al uso de equipos de

protección ocular.

a) Determine un intervalo de confianza de 90% para la proporción de trabajadores que sufre

lesiones oculares leves este año y no usa equipo de protección ocular en el momento de la

lesión.

b) Calcule un intervalo de confianza de 95% para la proporción de lesiones oculares leves

que ocurre este año y habrían sido previsibles con el uso apropiado de equipo de protección

ocular.

Respuesta: a) 6255.05745.0 ; b) 9186.08814.0 .

142. [MA] “En la operación Tormenta del Desierto, la regla de combate dictaba que cuando

la tripulación de un avión no podía localizar o identificar positivamente sus blancos

primario o secundario, debía regresar a la base con su armamento”. Esa regla tenía como



fin minimizar el daño a civiles. Durante las operaciones Tormenta del Desierto y Escudo

del Desierto, las fuerzas aliadas realizaron 72 000 vuelos de combate. En 18 000 casos,

regresaron a la base con su armamento. (Basado en información de “Operations Law and

the Rules of Engagement in Operations Desert Shield and Desert Storm”, Teniente Coronel

John G. Humphries, Airpower Journal, otoño de 1992, pp. 25 – 41).

a) Calcule una estimación punctual de , la proporción de vuelos de combate que regresan

a la base con su armamento en futuros conflictos donde estén vigentes esas reglas, con base

en los datos precedentes.

b) Determine un intervalo de confianza de 95% para .

c) Suponga que en un conflicto futuro se vuelan 10 000 misiones de combate. Calcule un

intervalo de confianza de 95% del número de misiones en las que los aviones regresan a la

base con su armamento.

Respuesta: a) 25.0p ; b) 2532.02468.0 ; c) 2585.02415.0 .

143. En una piscifactoría, se inició un cultivo con 90 ejemplares, de los cuales 64 llegaron a

la edad adulta. De los que llegaron a la edad adulta, el peso medio fue de 3.1 kilos con una

desviación típica de medio kilo.

a) Obtener un intervalo de confianza para la proporción de ejemplares que llegan a la edad

adulta, con un nivel de confianza del 90%.

b) Obtener un intervalo de confianza para el peso medio que alcanzan los ejemplares que

llegan a la edad adulta, con un nivel de confianza del 95%.

Respuesta: a) 7897.06325.0 ; b) 2225.39775.2 .

Determinación del tamaño de la muestra requerido para la estimación de la

proporción de una población.

Antes de recolectar la muestra, el tamaño de muestra mínimo requerido puede

determinarse especificando el nivel de confianza y el error de muestreo o error de

estimación aceptable y haciendo una estimación inicial de , la proporción poblacional

desconocida.



p

pZ

, donde

np

)1(

(32)

Sea p el error de estimación, entonces

n

Z)1(

(33)

nz

)1(2/

(34)

Al despejar n, el tamaño de la muestra:

2

2

2/ )1(

zn (35)

Ejemplo 8.15. Cálculo del tamaño muestral para estimar la proporción de una

población con una determinada precisión.

Se desea estimar la proporción, , de individuos daltónicos de una población a través del

porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos, de tamaño n.

a) Si el porcentaje de individuos daltónicos en la muestra es igual al 30%, calcule el valor

de n para que, con un nivel de confianza de 0.95, el error cometido en la estimación sea

inferior al 3.1%.

b) Si el tamaño de la muestra es de 64 individuos, determine, usando un nivel de

significación del 1%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de

daltónicos de la población.

Solución.

a) Proporción de éxitos en la población: 30.0

Tamaño de la muestra: ?n


Error de estimación: 031.0

Tamaño de la muestra.

2

2

2/ )1(

zn (35)



Valor 2/z .

4750.02

95.0

2

1

96.12/ z


2

2

)031.0(

)3.01()3.0()96.1( n

48.839n

El número mínimo de individuos requeridos es 840.

b) Tamaño de la muestra: 64n

Nivel de significancia: 01.0


: n

ppzp

)1(2/

(29a)

Valor 2/z .

4950.02

99.0

2

1

2

58.257.22/

z

575.22/ z


: 64

)3.01(3.0575.23.0

: 1475.03.0

:

1525.0

4475.0

4475.01525.0



Con un nivel de confianza de 99% se sabe que la proporción de daltónicos en la población

se encuentra entre 0.1525 y 0.4475.


144. Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 8% de las nueces están vacías. Se

eligieron 500 nueces al azar y se detectaron 80 vacías. Si se mantiene el porcentaje muestral

de nueces que están vacías y 95.01 , ¿qué tamaño muestral se necesitaría para estimar

la proporción de nueces con un error menor del 1%?

Respuesta: 1980n .

145. Un ingeniero de control de calidad quiere estimar la fracción de elementos defectuosos

en un gran lote de lámparas. Por la experiencia, cree que la fracción real de defectuosos

tendría que andar alrededor de 0.2. ¿Qué tan grande tendría que seleccionar la muestra si se

quiere estimar la fracción real, exacta dentro de 0.01, utilizando un nivel de confianza de

95%?

Respuesta: 6147n .

146. Suponga que un estudio se diseña para reunir nuevos datos de fumadores y no

fumadores, entre los 18 años o más. La mejor estimación preliminar de la proporción

poblacional de quienes fuman en este tramo de edades es de 30%.

a) De qué tamaño debe tomarse la muestra para estimar la proporción de fumadores en la

población con un margen de error de 0.02? Emplee un nivel de confianza 95%.

b) Suponga que el estudio usa su recomendación de tamaño de muestra del inciso a), y ve

que hay 520 fumadores. ¿Cuál es la estimación puntual de la proporción de fumadores?

c) ¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional de fumadores?

Respuesta: 2017n ; b) 2578.0p ; c) 2769.02387.0 .

147. Se investigó que el 26% de quienes visitan un determinado sitio deportivo de internet

son mujeres. El porcentaje se basó en una muestra de 380 visitantes.

a) Hallar el intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional de usuarios

mujeres.

b) ¿Cuál es el margen de error asociado con la proporción estimada de mujeres?

c) ¿Qué tamaño debería tener la muestra si queremos tener un margen de error del 3%?



Respuesta: a) 3041.02159.0 ; b) 0441.0 ; c) 822n .

148. En una encuesta hecha por los alumnos de un instituto a un total de 100 votantes

elegidos al azar en su municipio, se indica que el 55% volvería a votar por el alcalde actual.

a) Calcular un intervalo de confianza al 99% y otro al 99.73% para la proporción de

votantes favorables al alcalde actual.

b) ¿Cuántos deben ser los tamaños muestrales en el sondeo para tener, con los mismos

niveles de confianza, la certeza de que el alcalde actual salga reelegido por mayoría

absoluta, en el caso de arrojar la encuesta los mismos resultados?

Respuesta: a) 6781.04219.0 , 6992.04008.0 ; b) 657n y 891n .

149. En una muestra aleatoria de 500 familias que tienen televisores en la ciudad de

Maturín, Venezuela, se encuentra que 340 están suscritas a HBO. ¿Qué tan grande se

requiere que sea una muestra si se quiere tener 95% de confianza de que la estimación de

está dentro de 0.02?

Respuesta: 2090n .

150. [MR] De 1000 casos de cáncer pulmonar seleccionados al azar, 823 resultaron en la

muerte del paciente.

a) Construya un intervalo de confianza de 95% de dos colas para el índice de decesos por

cáncer pulmonar.

b) ¿Cuál sería el tamaño de la muestra necesaria para tener una confianza de al menos 95%

de que el error al estimar el índice de decesos por cáncer pulmonar sea menor que 0.03?

Respuesta: a) 8467.07993.0 ; b) 622n .

151. [MR] Una muestra aleatoria de 50 cascos de suspensión usados por motociclistas y

pilotos de automóviles de carreras se sometieron a una prueba de impacto, y en 18 de estos

cascos se observó algún daño.

a) Encuentre un intervalo de confianza de dos colas de 95% para la proporción real de este

tipo de cascos que mostrarían daños en esta prueba.

b) Utilizando una estimación puntual de obtenida de una muestra preliminar de 50

cascos, ¿cuántos cascos es necesario probar para tener una confianza de 95% de que el error

al estimar el verdadero valor de es menor que 0.02?



c) De qué tamaño debe ser la muestra si se quiere tener una confianza de al menos 95% de

que el error al estimar es menor que 0.02, independientemente del verdadero valor de .

Respuesta: 4930.02270.0 ; b) 2213n ; c) 2401n .

152. [MA] Un estudio de dispositivos de protección electromecánicos usados en sistemas

de alimentación eléctrica muestra que 193 fallan al someterlos a prueba, 75 de ellos a causa

de falla de piezas mecánicas.

a) Encuentre un estimador puntual de , la proporción de fallas resultantes de fallas

mecánicas.


c) ¿Cuán grande se requiere que sea la muestra para estimar con exactitud de 0.03 y

confianza de 95%?

Respuesta: a) 3886.0p ; b) 4574.03198.0 ; c) 1015n .

153. [MA] La efectividad de las señales reflejantes en autopistas requiere verlas con la luz

de los faros. Hacerlo a grandes distancias precisa usar las luces “altas” de los faros. Un

estudio de ingenieros de autopistas revela que en 45 de 50 automóviles seleccionados

aleatoriamente en un área de tráfico intenso se usan las luces “bajas” de los faros.

a) Calcule un estimador puntual de , la proporción de automóviles en el área que usa las

luces bajas.


c) ¿Cuán grande se requiere que sea la muestra para estimar con exactitud de 0.02 y

confianza de 90%?

Respuesta: a) 9000.0p ; b) 9698.08302.0 ; c) 609n .

154. Se hizo una encuesta a 325 personas mayores de 16 años y se encontró que 120 iban al

teatro regularmente.

a) Hallar, con un nivel de confianza del 94%, un intervalo para estudiar la proporción de los

ciudadanos que van a teatro regularmente.

b) En las mismas condiciones del apartado anterior, se realiza la experiencia para conseguir

una cota de error de 0.01. ¿Cuál sería el tamaño de la muestra?

Respuesta: a) 4196.03189.0 ; b) 8239n .



Si no es posible determinar un estimado inicial de la proporción poblacional ( ), se le

deberá estimar en 50% (0.5). Esta estimación representa el valor para el que se requeriría

del tamaño de muestra mayor. Con base en este supuesto, la formula general para el tamaño

de muestra sería:

2

2

2/25.0

zn

(36)

Ejemplo 8.16. Cálculo del tamaño muestral para estimar la proporción de una

población con una determinada precisión. Comportamiento de la proporción de la

población desconocido.

Una legisladora estatal desea encuestar a los residentes de su distrito para conocer qué

proporción del electorado conoce la opinión de ella, respecto al uso de fondos estatales para

pagar abortos. ¿Qué tamaño de muestra se necesita si se requiere una confianza del 95% y

un error máximo de estimación de 0.10?

Solución.





2

2

2/25.0

zn

(36)

Valor 2/z .

4750.02

95.0

2

1

96.12/ z

2

2

)1.0(

)96.1(25.0n

04.96n

El número mínimo de residentes requeridos es 97.




155. El gerente de un banco quiere tener una confianza del 90% de estar en lo correcto en

una escala de más o menos 0.05 de la proporción real de los depositantes que tienen al

mismo tiempo cuenta de ahorro y cheque. ¿Qué tamaño de la muestra se necesita?

Respuesta: 271n .

156. [MR] El Departamento de Transporte de Arizona desea hacer una encuesta entre los

residentes del estado para determinar qué proporción de la población estaría de acuerdo en

aumentar el límite de velocidad en las carreteras estatales de 55 mph a 65 mph. ¿Cuántos

residentes deberán encuestarse si se quiere tener una confianza de al menos 99% de que la

proporción de la muestra está dentro del 0.05 de la proporción real?

Respuesta: 664n .

157. [MR] Va a realizarse un estudio del porcentaje de hogares que tienen al menos dos

televisores. ¿De qué tamaño debe ser la muestra si se quiere tener una confianza de 99% de

que el error al estimar esta cantidad es menor que 0.017?

Respuesta: 5736n .

158. Un gabinete de investigación quiere estimar la proporción de consumidores que

adquirirían antes un producto de fabricación nacional que uno elaborado por un competidor

extranjero. Su intención es construir un intervalo de confianza del a) 95% y b) 99% para la

proporción poblacional con una amplitud máxima a cada lado de la proporción muestral de

0.04. ¿Cuántas observaciones se necesitan para alcanzar este objetivo?

Respuesta: a) 606n ; b) 1021n .

159. [MA] Se realizará una encuesta de compañías mineras para estimar , la proporción

de empresas que piensa contratar pasantes de ingeniería o ingenieros experimentados

durante el año próximo.

a) ¿Cuán grande debe ser la muestra para estima a a no más de 0.04 con confianza de

94%?

b) Una muestra de 500 compañías revela que 105 planea efectuar tales contrataciones.

Encuentre la estimación puntual de . Calcule un intervalo de confianza de 94% para .

Respuesta: a) 553n ; b) 2100.0p , 2443.01757.0 .



160. Un ingeniero industrial desea estimar con un 90% de confianza y una precisión del 3%

la proporción de artículos defectuosos que están saliendo de la línea de producción. ¿De

qué tamaño deberá tomar la muestra si:

a) No dispone de información alguna.

b) Conoce que la proporción de artículos defectuosos nunca ha sido mayor de 0.12.

Respuesta: 752n ; 318n .

Ejemplo 8.17. Cálculo del nivel de confianza a partir del error.

Intentamos conocer el porcentaje con el que se da una determinada característica en una

muy amplia población, para ello decidimos realizar un muestreo aleatorio simple. Cada

encuesta (muestra) que realizamos tiene un coste de Bs. 1000 y disponemos de Bs. 100 000.

Si se pretende trabajar con un error del 8% ¿Cuál será el nivel de confianza con el que

trabajaremos, si conocemos que dicha característica a estudiar es imposible que se dé en

más del 35% de la población?

Solución.

Costo de la muestra: 1000c

Monto disponible para el estudio: 100000C

08.0

?1

35.0

n

z)1(

2/

(33)


Para determinar el tamaño de la muestra, se divide el monto disponible para el estudio entre

el costo individual de cada muestra.

1000

100000n

100n



100

)35.01(35.0

08.02/

z

68.12/ z

De la tabla de distribución normal.

4535.02

1

9070.01

El nivel de significancia es 90.70%

Factor de corrección para una población finita.

Cuando se conoce el tamaño de la población (N), y 05.0N

n, se aplica el factor de

corrección por población finita.


: 1

)1(2/

N

nN

n

ppzp (37a)

1

)1(

1

)1(2/2/

N

nN

n

ppzp

N

nN

n

ppzp (37b)

Error de estimación.

1

)1(2/

N

nN

nz

(38)

Longitud del intervalo de confianza.

1

)1(2 2/

N

nN

nzL

(37)


)1()1(

)1(2

2/

2

2

2/

ppzN

Nppzn

(38)



Ejemplo 8.18. Intervalo de confianza con factor de corrección por población finita.

Estimar el porcentaje de individuos que no lee ningún periódico al día en un pueblo de

1000 habitantes y con un nivel de significación del 1%. Para ello llevamos a cabo una

muestra de tamaño 100 a personas distintas del pueblo, resultando que de éstas 80 no leen

el periódico.

Solución.

Tamaño de la población: 1000N



Éxito: La persona no lee el periódico.


Puesto que se conoce el tamaño de la población, es necesario verificar si aplica la

utilización del factor de corrección por población finita.

05.01.01000

100

N

n

Es necesario aplicar factor de corrección por población finita.


: 1

)1(2/

N

nN

n

ppzp (37a)

Proporción de la muestra.

n

xp

100

80p

80.0p

Valor 2/z .

4950.02

01.01

2

1



2

58.257.22/

z

575.22/ z

Intervalo de confianza.

: 11000

1001000

100

)80.01(80.0575.280.0

: 0978.080.0

:

7022.0

8978.0

8978.07022.0

Con un nivel de confianza de 99% se puede afirmar que la proporción de individuos que no

lee ningún periódico al día en el pueblo de 1000 habitantes se encuentra entre 0.7022 y

0.8978.


161. En una ciudad residen 1250 familias. Se seleccionó una muestra aleatoria de un 20%

de ellas y se les preguntó si disponían de gas ciudad en su vivienda. Sabiendo que todas las

familias seleccionadas respondieron y que se obtuvo un total de 75 respuestas afirmativas,

se pide:

a) ¿Qué estimación puntual podrías dar para el porcentaje de familias de esa ciudad que

disponen de gas ciudad en su vivienda?

b) ¿Qué error máximo cometeríamos con dicha estimación puntual con un nivel de

confianza del 95%? Justificar las respuestas.

Respuesta: a) 30.0p ; b) 0508.0 .

162. [MA] Una fuente de contaminación del agua es la gasolina que se fuga de los tanques

de almacenamiento subterráneos. Se selecciona una muestra aleatoria de 100 estaciones de

servicio y se inspeccionan los tanques. Se determina que hay fuga de por lo menos un

tanque en 20 de ellas.

a) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la proporción de estaciones de servicio

en todo el país con problema de fugas.



b) Suponga que existen unas 375000 estaciones de servicio en Estados Unidos. Calcule un

intervalo de confianza de 95% del número de estaciones de servicio con problemas de

fugas.

c) ¿Cuán grande se requiere que sea la muestra para estimar la proporción de estaciones de

servicio con problema de fuga a no más de 0.02 con confianza de 95%?

Respuesta: a) 2784.01216.0 ; b) 2784.01216.0 ; c) 781n .

Ejemplo 8.19. Estimación del error en proporciones.

En una muestra de 400 pilas tipo B fabricadas por la Everlast Company, se encontraron 20

defectuosas. Si la proporción p de pilas defectuosas en esa muestra se usa para estimar ,

que vendrá a ser la proporción verdadera de todas las pilas defectuosas tipo B fabricadas

por la Everlast Company, encuentre el máximo error de estimación tal que se pueda tener

un 95% de confianza en que dista menos de de p.

Solución.


Éxito: La pila es defectuosa.


Error de estimación: ?



nz

)1(2/

(34)

Proporción en la muestra.

n

xp

400

20p

05.0p

Valor 2/z .



4750.02

95.0

2

1

96.12/ z

Error.

400

)05.01(05.096.1

0213.0

El error máximo en la estimación de la proporción es 0.0213.

Ejemplo 8.20. Estimación puntual a partir del error.

Mediante una muestra aleatoria de tamaño 400 se estima la proporción de residentes en

Puerto La Cruz que tienen intención de asistir a un partido de beisbol entre Caracas y

Magallanes. Si para un nivel de confianza del 95% resulta un error máximo en la

estimación del 3%, obtenga el valor de la estimación sabiendo que es inferior a 0.25.

Solución.


Proporción en la muestra: ?p




n

ppz

)1(2/

(34)

De la ecuación anterior, se obtiene al resolver la ecuación siguiente:

0

2

2/

2

znpp

Valor 2/z .

4750.02

95.0

2

1

96.12/ z



096.1

03.0400

2

2

pp

00937.02 pp

La solución de la ecuación de segundo grado anterior es:

8953.0p y 1047.0p

Se toma como solución 1047.0p .

Ejemplo 8.21. Tamaño de la muestra con factor de corrección por población finita.

Usted planea realizar una encuesta para saber qué proporción de la fuerza laboral

conformada por 5 000 empleados tiene dos o más empleos. Ud decide un nivel de confianza

del 95% y afirma que la proporción estimada debe ser 2% de la proporción de la población.

Una encuesta piloto revela que 5 de los 50 participantes en la muestra tienen dos o más

empleos. ¿A cuántos miembros de la fuerza laboral debe entrevistar para cubrir sus

requerimientos?

Solución.




Número de éxitos en la muestra piloto: 5x

Tamaño de la muestra piloto: 50n


)1()1(

)1(2

2/

2

2

2/

ppzN

Nppzn

(40)

Proporción en la muestra piloto.

n

xp

50

5p

1.0p



Valor 2/z .

475.02

95.0

2

1

96.12/ z


)1.01(1.0)96.1()15000()02.0(

5000)1.01(1.0)96.1(22

2

n

09.737n

El número mínimo de miembros a entrevistar es 738.

Para el valor de n calculado, se tiene:

05.01476.05000

738

N

n

Queda justificado el uso de la ecuación (34) para determinar el tamaño de la muestra.

Ejemplo 8.22. Prueba de una aseveración respecto de una proporción.

En una empresa de 5000 trabajadores desea conocerse si ha variado mucho la valoración

positiva de la gestión de la dirección, que el año pasado se concluyó fehacientemente que

era del 80% de los trabajadores. Para ello se realiza una muestra de tamaño 200 resultando

que la valoración positiva era considerada por el 55% de los trabajadores encuestados.

¿Podemos afirmar que la valoración ha variado con probabilidad de equivocarnos del 1%?

Solución.


Proporción en la población: 80.0


Éxito: La valoración del trabajador es positiva.

Proporción de éxitos en la población: 55.0p


Puesto que se conoce el tamaño de la población, es necesario verificar si aplica la

utilización del factor de corrección por población finita.



05.004.05000

200

N

n

No es necesario aplicar factor de corrección por población finita.


: n

ppzp

)1(2/

(29a)

Valor 2/z .

4950.02

99.0

2

1

2

58.257.22/

z

575.22/ z


: 200

)55.01(55.0575.255.0

: 0906.055.0

:

4594.0

6406.0

6406.04594.0

El valor 80.0 no se encuentra dentro del intervalo determinado, por lo cual, a un nivel

de confianza de 99%, podemos afirmar que la valoración positiva de la gestión de la

dirección ha disminuido.


163. En una encuesta de 673 grandes almacenes, 521 declararon tener problemas con los

robos de los empleados. ¿Se puede llegar a la conclusión con una confianza del 99% de que

éstos datos indican que el 78% de todas la tiendas tienen dificultades como señalaba un

informe reciente de la CNN?

Respuesta: a) 8157.07326.0 , Si, 0.78 se encuentra dentro del intervalo.



164. [MA] Una encuesta de compañías que usan robots muestra que, de 200 robots en uso,

48 están dedicados a operaciones de carga y descarga.

a) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para , la proporción de robots que se usa

actualmente en tareas de carga y descarga.

b) ¿Le sorprendería la afirmación de que la mayor parte de los robots en uso se dedican a

operaciones de carga y descarga? Explique su respuesta.

Respuesta: a) 2992.01808.0 ; b) Si. 0.50 no se ubica en este intervalo; se ha

descartado como posible valor de .

08 02 estimacion de parametros para una sola muestra. proporciones

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