08 03 estimacion de parametros para una sola muestra. varianza

ESTADÍSTICA. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y

CIENCIAS DE LA SALUD.

CAPÍTULO 8: ESTIMACIÓN DE

PARÁMETROS E INTERVALOS DE

CONFIANZA.

VARIANZA (σ2) Y DESVIACIÓN

ESTÁNDAR (σ) POBLACIONAL.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Varianza poblacional (σ2).

Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 94

8.5.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA Y DESVIACIÓN

ESTÁNDAR DE UNA POBLACIÓN NORMAL.

Distribución Ji cuadrada

Dada una población de valores con distribución normal, puede demostrarse que la

distribución ji cuadrada ( 2 ) son las distribuciones de probabilidad adecuada para la razón:

2

2)1(

sn

Hay una distribución ji cuadrada diferente según el valor de 1n , lo cual representa los

grados de libertad.

Dado que la varianza muestral es un estimador insesgado de la varianza poblacional,

el valor esperado a largo plazo de la razón anterior es igual a los grados de libertad 1n .

Sin embargo, en cualquier muestra dada por lo general la varianza muestral no es idéntica

en valor a la varianza poblacional.

Las distribuciones ji cuadrada no son simétricas, en consecuencia, un intervalo de

confianza de dos extremos para una varianza o desviación estándar implica el uso de dos

valores diferentes de ji cuadrado.

Intervalos de confianza para la varianza y desviación estándar

Si 2s es el valor de la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una

población normal, un intervalo de confianza de %100)1( para 2 está dado por

2

1;2/1

22

2

1;2/

2 )1()1(

nn

snsn

(41)

Se pueden obtener límites de confianza de %100)1( correspondientes para

sacando las raíces cuadradas de los límites de confianza para 2 .

Intervalo de confianza para la desviación estándar poblacional.

2

1;2/1

2

2

1;2/

2 )1()1(

nn

snsn

(42)

Intervalos de confianza de una cola para la varianza.



Para encontrar el intervalo de confianza inferior del %100)1( para 2 , en la

ecuación (41) el límite de confianza superior se hace igual a 2 y se reemplaza 2

1;2/ n con

2

1; n , obteniéndose:

2

2

1;

2)1(

n

sn (43a)

2

1;

22 )1(

n

sn

(43b)

El intervalo de confianza superior del %100)1( se encuentra haciendo cero el

límite de confianza inferior en la ecuación (35) y reemplazando 2

1;2/1 n por 2

1;1 n ,

obteniéndose:

2

1;1

22 )1(

n

sn

(44)

Ejemplo 8.23. Intervalo de confianza para la varianza de una población normal.

Un entrenador de fútbol está interesado en estimar, con un 99% de confianza, la fuerza

máxima de los músculos cuádriceps de los futbolistas. Admitiendo que dicha fuerza sigue

una distribución normal, selecciona al azar una muestra de 25 futbolistas para la que obtuvo

una media de 85 N y una varianza de 144 N. Determinar el intervalo de confianza para la

varianza de la fuerza máxima de estos músculos.

Solución.

Nivel de confianza: 99.01

Tamaño de la muestra: 25n

Media muestral: 85X

Varianza muestral: 1442 s

Intervalo de confianza para la varianza ( 2 ).

2

1;2/1

22

2

1;2/

2 )1()1(

nn

snsn

(41)




Nivel de significancia: 01.0

005.02/ y 995.02/1

Grados de libertad: 241251 n

De la tabla 3, con 241n grados de libertad:

5585.452

005.0

2

2/

8862.92

995.0

2

2/1

Intervalo de confianza para la varianza.

8862.9

)144()125(

5585.45

)144()125( 2

58.34986.75 2

Con un nivel de confianza de 99% se puede afirmar que la varianza de la fuerza máxima de

los músculos cuádriceps de los futbolistas se encuentra entre 75.96 N y 349.58 N.

Ejercicios propuestos.

165. Supongamos que el valor 14.1292 s se basa en una muestra aleatoria de tamaño 101.

¿Cuál será el correspondiente intervalo de confianza del 90% para 2 ?

Respuesta: 71.16586.103 2 .

166. [SW] En 16 recorridos de prueba, el consumo de gasolina de un motor experimental

tuvo una desviación estándar de 2.2 gal. Construya un intervalo de confianza de 99% para

2 , midiendo la variable real del consumo de gasolina de este motor.

Respuesta: 78.1521.2 2 .

167. [MR] El contenido de azúcar del jarabe en latas de duraznos en almíbar tiene una

distribución normal. Si una muestra aleatoria de 10n latas da como resultado una

desviación estándar muestral de 8.4s mg, encuentre un intervalo de confianza de dos

colas de 95% para .

Respuesta. 76.830.3 .

168. [MR] Se realizó una prueba de impacto Izod en 20 muestras de tuberías PVC. La

norma ASTM para este material requiere que la resistencia al impacto Izod debe ser mayor

que 1.0 libras-pie/pulgada. El promedio y la desviación estándar muestrales obtenidos



fueron 25.1x y 25.0s , respectivamente. Encuentre un intervalo de confianza de dos

colas de 99% para 2 .

Respuesta: 1735.00308.0 2 .

169. [MR] Se mide el porcentaje de titanio en una aleación usada en piezas fundidas de

aeronaves en 51 piezas seleccionadas al azar. La desviación estándar muestral es 37.0s .

Construya un intervalo de confianza de dos colas de 95% para .

Respuesta: 4599.03096.0 .

170. [MA] Investigaciones recientes muestran que son económicamente adecuadas la

calefacción y acondicionamiento de aire en edificios comerciales con bombas térmicas que

usan agua subterránea. Una muestra de 15 pozos en el estado de California indica

desviación estándar de 7.5ºF. Calcule un intervalo de confianza de 95% para la desviación

estándar en la temperatura de pozos en California.

Respuesta: 83.1149.5 .

171. [MR] El ingeniero de desarrollo de un fabricante de llantas está investigando la vida

de las llantas para un nuevo compuesto de hule. Ha hecho 16 llantas y las ha probado hasta

el fin de su vida útil en una prueba de carretera. La media y la desviación estándar

muestrales son 60139.7 y 3645.94 km. Encuentre un intervalo de confianza inferior de 95%

para 2 .

Respuesta: 27461054 .

172. [MA] Al verter vidrio para uso en parabrisas automovilísticos, la uniformidad de

grosor es recomendable para prevenir deformaciones. Encuentre un intervalo de confianza

de 95% de un lado para la desviación estándar en el grosor si una muestra de 10 parabrisas

revela una desviación estándar muestral de 0.01 pulg.

Respuesta: 0073.0 .

Ejemplo 8.24. Intervalo de confianza para la varianza a partir de datos muestrales.

Una muestra de 12 latas de sopa producida por la XYZ Soup Company produjo los

siguientes pesos netos, medidos en onzas:

11.9 12.2 11.6 12.1 12.1 11.8

11.9 11.8 12.0 12.3 11.8 12.0



Si se supone que los pesos netos se distribuyen normalmente, construya intervalos de

confianza del 95% para la varianza y la desviación estándar de la población de pesos netos

de todas las latas de sopa producidas por la compañía mencionada.

Solución.

Tamaño de la muestra: 12n


Intervalo de confianza para la varianza ( 2 ).

2

1;2/1

22

2

1;2/

2 )1()1(

nn

snsn

(41)

Desviación estándar muestral.

1975.0s

Nivel de confianza: 95.01 .

Nivel de significancia: 05.0

025.02/ y 975.02/1


9200.212

025.0

2

2/

8157.32

975.0

2

2/1


8157.3

)1975.0()112(

9200.21

)1975.0()112( 22

2

1124.00196.0 2

Con un nivel de confianza de 95% se puede afirmar que la varianza poblacional del peso de

las sopas se encuentra entre 0.0196 onzas y 0.1124 onzas.

Intervalo de confianza para la desviación estándar.

1124.00196.0

3353.01399.0

Con un nivel de confianza de 95% se puede afirmar que la desviación estándar poblacional

del peso de las sopas se encuentra entre 0.1399 onzas y 0.3353 onzas.




173. Los valores de una variable aleatoria distribuida X, obtenida en una muestra son: 25,

28, 26, 25, 22, 30. Halle un intervalo de confianza del 95% para la varianza de X.

Respuesta: 72.4596.2 2 .

174. [DM] Se hacen 20 observaciones de la uniformidad del grabado en obleas de silicio

durante un experimento de evaluación de un grabador de plasma. Los datos son los

siguientes:

5.34 6.65 4.76 5.98 7.25 6.00 7.55 5.54 5.62 6.21

5.97 7.35 5.44 4.39 4.98 5.25 6.35 4.61 6.00 5.32

Construir un intervalo de confianza de 95% de 2 .

Respuesta: 6862.14572.0 2 .

175. Un supervisor de control de calidad en una enlatadora sabe que la cantidad exacta en

cada lata varía, pues hay ciertos factores imposibles de controlar que afectan a la cantidad

de llenado. El llenado medio por lata es importante, pero igualmente importante es la

variación 2s de la cantidad de llenado. Si 2s es grande, algunas latas contendrán muy poco,

y otras, demasiado. A fin de estimar la variación del llenado en la enlatadora, el supervisor

escoge al azar 10 latas y pesa el contenido de cada una, obteniendo el siguiente pesaje (en

onzas):

7.96 7.90 7.98 8.01 7.97 8.03 8.02 8.04 8.02

Establezca un intervalo de confianza de 90% para la verdadera variación del llenado de

latas en la enlatadora.

Respuesta: 0012.02 .

176. [MA] Un grupo de ingenieros ha descubierto que la capacidad de ver y leer señales

por la noche depende en parte de la “luminancia circundante”, es decir, de la intensidad de

la luz cerca de la señal. Se obtienen los datos que aparecen a continuación respecto de tal

luminancia (en candelas por metro cuadrado), de 30 señales de autopista seleccionadas

aleatoriamente en una gran área metropolitana. (Basado en “Use of Retroreflectors in the

Improvement of Nighttime Higway Visibility”, H. Waltman. Color, 1990, pp. 247 – 251).

10.9 1.7 9.5 2.9 9.1 3.2 9.1 7.4 13.3 13.1



6.6 13.7 1.5 6.3 7.4 9.9 13.6 17.3 3.6 4.9

13.1 7.8 10.3 10.3 9.6 5.7 2.6 15.1 2.9 16.2

a) Encuentre la varianza muestral de los datos precedentes.

b) Suponga que los datos se obtienen de una distribución normal. Encuentre un intervalo de

confianza de 90% para la varianza de la luminancia circundante del área.

c) Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la desviación estándar en la luminancia

circundante.

Respuesta: a) 4286.202 s ; b) 34.3392.13 2 ; c) 78.573.3 .

177. [MA] El microanálisis con rayos X se ha convertido en un método de estudio

invaluable. La microsonda electrónica permite realizar mediciones cuantitativas y

cualitativas, además de analizarlas estadísticamente. Un método de análisis de cristales se

llama técnica de doble voltaje. Se obtienen las mediciones siguientes sobre el porcentaje de

potasio en un producto comercial que, en teoría, contiene 26.6% de potasio por peso:

21.9 23.4 22.1 22.1 24.7 24.6 24.0 24.1 24.2

26.5 23.8 25.3 24.8 24.8 24.5 27.8 24.9 27.2

25.1 25.5 23.7 26.5 22.0 26.7 25.2 23.1 25.4

a) Encuentre la varianza muestral de los datos.

b) Encuentre un intervalo de confianza de 99% para 2 .

c) Encuentre un intervalo de confianza de 99% para .

Respuesta: a) 4549.22 s ; b) 7191.53217.1 2 ; c) 3915.21497.1 .

178. Supongamos que el tiempo en horas dedicado por los estudiantes de una determinada

asignatura a preparar el examen final tiene una distribución normal. Se toma una muestra

aleatoria de 6 estudiantes cuyos resultados son los siguientes:

12.2 18.4 23.1 11.7 8.2 24.0

a) Calcular un intervalo de confianza del 99% para la media poblacional.

b) Calcular un intervalo de confianza del 99% para la varianza poblacional.

Respuesta: a) 0236.275098.5 ; b) 5611.5187474.12 2

179. [MA] Un grupo de consumidores pretende estimar el costo medio del sistema base de

una computadora personal con ciertas especificaciones. Se piensa que esas computadoras



tienen precio en el rango de $2 390 a $ 4 000. Se obtienen los datos siguientes con una

muestra aleatoria de tamaño 50 (datos en miles de dólares):

2.43 2.86 2.74 2.75 2.69 2.64 2.91 2.89 3.18 3.00

3.21 3.07 3.72 3.24 3.17 3.57 3.37 3.56 3.30 2.32

3.09 2.99 3.20 3.25 3.70 3.45 2.82 2.88 2.71 3.25

2.86 2.93 3.45 3.11 3.86 2.96 3.00 2.88 3.19 3.56

3.21 3.33 3.39 3.14 2.90 3.49 3.02 3.56 2.87 2.32

a) Determine estimaciones insesgadas de y 2 , basadas en los datos precedentes. Estime

también .

b) Calcule intervalos de confianza de 90% para 2 y .

c) Calcule un intervalo de confianza de 90% sobre .

Respuesta: a) 0998.3X , 1213.02 s ; b) 1752.00896.0 2 , 4186.02994.0 ; c)

2101.39895.2 .

180. De una muestra elegida al azar de 10 alumnos de la clase, se obtuvieron los siguientes

datos para el peso (en kg) y la estatura (en cm):

Peso 74 79 85 49 83 78 74 54 63 68

Estatura 176 178 180 165 182 177 179 165 172 170

Calcular, suponiendo que las variables peso y estatura se adecúan a una distribución

normal, un intervalo de confianza para cada variable, con un nivel de confianza del 95%

para las varianzas.

Respuesta: Peso: 3741.4871855.69 2 , Estatura: 8340.1235789.17 2

Ejemplo 8.25. Prueba de una aseveración respecto de una varianza.

[MA] La robótica es un área de rápido crecimiento. Según informes, en 1995 estaban en

uso 315000 robots industriales en fábricas estadounidenses. Una característica importante

de los robots es su exactitud. En un estudio de un robot particular, usado para la aplicación

de adhesivo en un sitio específico, se obtienen los datos siguientes sobre el error (en

pulgadas) en la colocación del adhesivo:

0.001 0.002 0.003 0.002 0.002 0.007 0.003 0.004 0.003 0.006

0.006 0.003 0.005 0.004 0.004 0.001 0.008 0.001 0.004 0.003

0.001 0.003 0.003 0.005 0.006

a) Calcule la varianza muestral de los datos precedentes.



b) Calcular intervalos de confianza de 90% de un lado respecto de 2 y .

c) El robot es aceptable si su desviación estándar no excede de 0.005 pulg. ¿Parece

satisfacerse este criterio? Explique su respuesta.

Solución.

25n

a) Varianza muestral.

00000375.02 s (Obtenida mediante el uso de la calculadora).

b) Intervalo de confianza superior para la varianza.

2

1;1

22 )1(

n

sn

(44)


Grados de libertad: 241251 n


6587.152

90.0

2

1


6587.15

)00000375.0()125(2

000005747.02

Intervalo de confianza para la desviación estándar.

000005747.0

0024.0

Se satisface el criterio. La evidencia muestra que con un nivel de confianza de 90%, la

desviación estándar poblacional es menor de 0.0025.


181. [MA] Cuando se programa desde una terminal, una variable aleatoria que interesa es el

tiempo de respuesta en segundos. Se tienen los datos siguientes de una instalación

específica:

1.48 1.26 1.52 1.56 1.48 1.46 1.30 1.28 1.43 1.43



1.55 1.57 1.51 1.53 1.68 1.37 1.47 1.61 1.49 1.43

1.64 1.51 1.60 1.65 1.60 1.64 1.51 1.51 1.53 1.74

a) Encuentre la estimación puntual insesgada para 2 .

b) Calcule un intervalo de confianza de 95% para 2 .

c) Calcule un intervalo de confianza de 95% para .

d) ¿Le sorprendería escuchar que el director de esa instalación afirma que la desviación

estándar del tiempo de respuesta es mayor de 0.2 s? Explique su respuesta.

Respuesta: a) 0129.02 s ; b) 023340.0008192.0 2 ; c) 1528.00905.0 ; d) A un

nivel de confianza de 95%, la evidencia muestra que la desviación estándar poblacional se

encuentra entre 0.0905 y 0.1528, por lo cual si sorprendería la afirmación del director.

182. [MA] Aplique los datos que siguen a x, la longitud real de clavos de 63 mm, para

calcular un intervalo de confianza de 95% de un lado respecto de la varianza en su longitud:

63.0 63.1 63.0 63.0 62.9 63.0 63.0

63.1 62.8 63.1 63.1 63.0 62.9 63.2

El fabricante desea que la varianza poblacional de los clavos producidos no sea mayor de

0.03. ¿La muestra indica que es tal el caso? Explique su respuesta.

Respuesta: A un nivel de confianza de 95%, la muestra indica que la varianza poblacional

es menor de 0.0783, lo cual no cumple el requerimiento del fabricante.

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