ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΜΑΖΑΣΜΑΖΑΣΓενική ΑντιμετώπισηΔιατήρηση της Ορμής σε Συστήματα Μεταβλητής ΜάζαςΚίνηση ΠυραύλουΔιάφορα Προβλήματα

ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕυστάθιοςΕυστάθιος ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟNN ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 201, 20166‐‐20120177

Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 1

ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ALONSOALONSOFINNFINN

GIANCOLIGIANCOLI HALLIDAYHALLIDAY‐‐RESNICK RESNICK WALKERWALKER

YOUNGYOUNGFREEDMANFREEDMAN

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣΜΑΖΑΣΜΑΖΑΣ

7.107.10 9.109.10 9.7, 9.129.7, 9.12 8.58.5‐‐8.68.6

ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗΠΥΡΑΥΛΟΥΠΥΡΑΥΛΟΥ

7.107.10 9.109.10 9.129.12 8.68.6

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝΚΕΦΑΛΑΙΩΝ

ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕυστάθιοςΕυστάθιος ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟNN ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 201, 20166‐‐20120177

Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 2

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΜΑΖΑΣΜΑΖΑΣ

dtvd

mdtvmd

dtpd

Frrrr

===)(

ΧρονικήΧρονική μεταβολήμεταβολή τηςτης μάζαςμάζας ενόςενός συστήματοςσυστήματος

m: m: σταθερήσταθερή

m: m: μεταβλητήμεταβλητήdtdm

vdtvd

mdtvmd

dtpd

Fr

rrrr+===

)(

dtvd

mr

: : ΜεταβολήΜεταβολή τηςτης ορμήςορμής εξαιτίαςεξαιτίας τηςτης επιτάχυνσηςεπιτάχυνσης

dtdm

vr

: : ΜεταβολήΜεταβολή τηςτης ορμήςορμής εξαιτίαςεξαιτίας τηςτης χρονικήςχρονικής μεταβολήςμεταβολής τηςτης μάζαςμάζας

Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 3

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΜΑΖΑΣΜΑΖΑΣ

ΚίνησηΚίνηση ΠυραύλουΠυραύλου

vMPirr

= 'vdM)vdv)(dMM(Pfrrrr

−++=

vMvdMvdvdMMPPPd if

rrrrrrr−−++=−= }'))({(

ΜεταβολήΜεταβολή τηςτης ΟρμήςΟρμής τουτου ΣυστήματοςΣυστήματος

)'(' vvdMvMddMvdMvvMdPdrrrrrrr

−−=−+=

dMvvdMPd rel

rrr−=

vv’’

tt t + dtt + dt

Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 4

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΜΑΖΑΣΜΑΖΑΣ

ΚίνησηΚίνηση ΠυραύλουΠυραύλου

vv’’

dMvvdMPd rel

rrr−= dMvdvMdP rel+=

dtdM

vdtdv

MdtdP

rel+=

ΕάνΕάν dP/dt = 0dP/dt = 0dtdM

vdtdv

MdtdM

vdtdv

M relrel −=⇒+=0dtdM

vrel−

ΩστικήΩστική ΔύναμηΔύναμηStathis STILIARIS, UoA 2016-2017 5

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΜΑΖΑΣΜΑΖΑΣ

ΚατακόρυφηΚατακόρυφη ΚίνησηΚίνηση ΠυραύλουΠυραύλου σεσε ΒαρυτικόΒαρυτικό ΠεδίοΠεδίο

dtdMv

dtdvM

dtdP

rel+=vv

vv’’

dtgdMMvdvMg

dtdMv

dtdvM rel

rel −=+⇒−=+

∫∫∫ −=+t

0

M

Mrel

v

v

dtgMdMvdv

00

⇒−=−+− tg)MlnM(lnvvv 0rel0 gtMMlnvvv 0

rel0 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 6

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΜΑΖΑΣΜΑΖΑΣ

Εάν ο πύραυλος παραμένειπαραμένει ακίνητοςακίνητος στον αέρα σε μικρό ύψος απότην επιφάνεια της Γης, τότε συνεχίζει να ισχύει dP/dt = dP/dt = ‐‐MgMg αλλάdv/dt = 0dv/dt = 0, οπότε η προηγούμενη εξίσωση γίνεται:

dtdMv

dtdvM

dtdP

rel+=

vv

vv’’

dtvg

MdMMg

dtdMv0

relrel −=⇒−=+

⇒−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒−= ∫∫ t

vg

MMlndt

vg

MdM

rel0

t

0rel

M

M0

tvg

0releMM

−

=

Η συνολική μάζα του πυραύλου βαίνει κατά συνέπεια εκθετικά ελαττούμενη.Πόσος είναι ο ρυθμός εκτόξευσης των αερίων μ(t) στην περίπτωση αυτή;

Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 7

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΜΑΖΑΣΜΑΖΑΣΥπολογισμός του ρυθμού εκτόξευσης των αερίων στην περίπτωση που

ο πύραυλος παραμένει ακίνητος

Όπως είναι προφανές, ο ρυθμός εκτόξευσης των αερίων μ(t) ελαττώνεται κιαυτός με τον ίδιο εκθετικό ρυθμό που ελαττώνεται και η μάζα του συστήματος. 

⇒=−= Mvg

dtdM)t(

rel

μt

vg

0rel

releMvg)t(

−

=μ

0rel

Mvg

Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 8

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΜΑΖΑΣΜΑΖΑΣΣχοινί κυλίεται χωρίς τριβές υπό την επίδραση του βάρους του τμήματος πουκρέμεται ελεύθερο.Μ :  Συνολική μάζα σχοινιούL0 : Αρχικό μήκος του σχοινιού που κρέμεται ελεύθεροL :  Συνολικό μήκος σχοινιούVF :  Τελική ταχύτηταΝαΝα υπολογιστείυπολογιστεί ηη τελικήτελική τουτου ταχύτηταταχύτητα, , ότανόταν απελευθερωθείαπελευθερωθεί όλοόλο τοτο μήκοςμήκος τουτου..

gLlM

dtdvMg

LlM)l(W

dtdPF

dtdP

=⇒==⇒=

dllLgvdvl

Lg

dldvvl

Lg

dtdl

dldvl

Lg

dtdv

=⇒=⇒=⇒=

( ) ⇒−=⇒= ∫∫ 20

22F

L

L

V

0LL

2Lg

2Vldl

Lgvvd

0

F ( )202F LL

LgV −=

F=W(l)F=W(l)

WW’’

NN

ll

Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 9