09 Phys I Stiliaris · 2017-01-08 · ΦΥΣΙΚΗΙ alonso finn giancoli halliday‐resnick walker...

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣΣΩΜΑΤΟΣΓωνιακή Μετατόπιση & ΤαχύτηταΠεριστροφική Κινητική Ενέργεια & Ροπή ΑδράνειαςΥπολογισμός Ροπής Αδράνειας Στερεών ΣωμάτωνΘεώρημα Παραλλήλων Αξόνων (Steiner)

ΚΥΛΙΣΗΚΥΛΙΣΗ, , ΡΟΠΗΡΟΠΗ καικαι ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣΤΡΟΦΟΡΜΗΜεταφορά και ΠεριστροφήΔυνάμεις της ΚύλισηςΣτροφορμή Συστήματος ΣωματιδίωνΔεύτερος Νόμος του Newton σε Γωνιακή Μορφή

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΣΤΕΡΕΟΥΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣΣΩΜΑΤΟΣΑρμονικήΑρμονική ΤαλάντωσηΤαλάντωση ΣτερεούΣτερεού ΣώματοςΣώματος

ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕυστάθιοςΕυστάθιος ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟNN ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 201, 20166‐‐20120177

Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 1

ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ALONSOALONSOFINNFINN

GIANCOLIGIANCOLI HALLIDAYHALLIDAY‐‐RESNICK RESNICK WALKERWALKER

YOUNGYOUNGFREEDMANFREEDMAN

ΠεριστροφήΠεριστροφήΣτερεούΣτερεού ΣώματοςΣώματος

10.1, 10.2, 10.1, 10.2, 10.310.3

10.110.1 έωςέως 10.1010.10 10.1 10.1 έωςέως 10.1010.10 9.1 9.1 έωςέως 9.69.6

ΚύλισηΚύλιση, , ΡοπήΡοπή καικαιΣτροφορμήΣτροφορμή

10.4, 10.510.4, 10.5 11.1 11.1 έωςέως 11.611.6 11.1 11.1 έωςέως 11.1111.11 10.1 10.1 έωςέως 10.610.6

ΑρμονικήΑρμονικήΤαλάντωσηΤαλάντωσηΣτερεούΣτερεού ΣώματοςΣώματος

12.1 12.1 έωςέως12.612.6

14.1 14.1 έωςέως 14.614.6 15.1 15.1 έωςέως 15.715.7 13.1 13.1 έωςέως 13.613.6

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝΚΕΦΑΛΑΙΩΝ

ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕυστάθιοςΕυστάθιος ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟNN ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 201, 20166‐‐20120177


ΚΥΚΛΙΚΗΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ

RR

vr

θθ

Η κυκλική κίνηση στο χώρο μπορεί να περιγραφεί από το διάνυσμαδιάνυσμα θέσηςθέσης rr . Όπωςείναι προφανές από το παραπάνω σχήμα ισχύει γενικά:

vrωr

RR

rr

αα

rvrrr

×= ω

dtdθRωRω(rsina)sinαrωv ====

rrr


ΓΩΝΙΑΚΗΓΩΝΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑΤΑΧΥΤΗΤΑ

raardtdω

dtdv

Γt =⇒=

ΣυσχετίζονταςΣυσχετίζοντας ΓραμμικέςΓραμμικές καικαι ΓωνιακέςΓωνιακές ΜεταβλητέςΜεταβλητές

ωrvrdtdθ

dtdsθrs =⇒=⇒=

rrva 22

r ω==

Η γραμμική επιτάχυνση ενός σημείου σε περιστρεφόμενοστερεό έχει δύο συνιστώσες:•Ακτινική συνιστώσα aarr•Εφαπτομενική συνιστώσα aatt


ΚΙΝΗΤΙΚΗΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣΓιαΓια έναένα σύνολοσύνολο σωματιδίωνσωματιδίων πουπου περιστρέφονταιπεριστρέφονται μεμε τηντην ίδιαίδια

γωνιακήγωνιακή ταχύτηταταχύτητα ωω ::

∑=+++=i

2ii

233

222

211 vm

21...vm

21vm

21vm

21K

I:I: ΡοπήΡοπή ΑδράνειαςΑδράνειας ΣώματοςΣώματος((συνεχήςσυνεχής κατανομήκατανομή μάζαςμάζας))

( ) 2

i

2ii

i

2ii

i

2ii ωrm

21ωrm

21vm

21K ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=== ∑∑∑

∑==i

2ii

2 rmΙόπουIω21K

∫= dmrΙ 2


ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

Ροπή αδράνειας λεπτής ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο άξονα πουδιέρχεται από το κέντροκέντρο βάρουςβάρους

LL

xxdxdx

∫∫ ∫+

−

+

−

===L/2

L/2

2

M

L/2

L/2

22 dxxρSρSdxxdmxI

( ) 22333L/2

L/2

3

ML121LρSL

121

12LρS

24LρS

24LρS

3xρSI ===⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

+

−

2ML121I =



Ροπή αδράνειας λεπτής ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο άξονα πουδιέρχεται από τη μίαμία άκρηάκρη τηςτης

LL

xxdxdx

∫∫ ∫ ===L

0

2

M

L

0

22 dxxρSρSdxxdmxI

( ) 22333L

0

3

ML31LρSL

31

3LρS

240ρS

3LρS

3xρSI ===⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

+

2ML31I =



Ροπή αδράνειας ομογενούς δίσκου ως προς κάθετο άξονα που διέρχεταιαπό το κέντρο του

∫∫ ∫ ===R

0

3

M

R

0

22 drrρh2πρh2πrdrrdmrI

( ) 2224R

0

4

MR21RhρπR

21ρhRπ

21

4rρh2πI ====

2MR21I =

rrdrdr


ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣΑΔΡΑΝΕΙΑΣΘεώρημαΘεώρημα ΠαραλλήλωνΠαραλλήλων ΑξόνωνΑξόνων ((Steiner)Steiner)

ΕάνΕάν ηη ροπήροπή αδράνειαςαδράνειας στερεούστερεού σώματοςσώματοςμάζαςμάζας M M ωςως προςπρος άξοναάξονα διερχόμενοδιερχόμενο απόαπότοτο κέντροκέντρο μάζαςμάζας τουτου ((σημείοσημείο ΟΟ) ) είναιείναι IICMCM, ,

τότετότε ηη ροπήροπή αδράνειαςαδράνειας ΙΙ ωςως προςπροςπαράλληλοπαράλληλο άξοναάξονα μετατοπισμένομετατοπισμένο κατάκατά hh

((σημείοσημείο P) P) δίνεταιδίνεται απόαπό τητη σχέσησχέση::

2CM MhIΙ +=

M: M: ΜάζαΜάζα στερεούστερεού σώματοςσώματοςh: h: απόστασηαπόσταση τουτου άξοναάξονα P P απόαπό τοντον άξοναάξονα τουτου κέντρουκέντρου μάζαςμάζας ΟΟ..

ΑπόδειξηΑπόδειξη ΘεωρήματοςΘεωρήματος SteinerSteinerΘεωρούμεΘεωρούμε σύστημασύστημα συντεταγμένωνσυντεταγμένων μεμε αρχήαρχή τοτο κέντροκέντρο μάζαςμάζας τουτουσώματοςσώματος. . ΤοΤο σημείοσημείο PP έχειέχει στοστο σύστημασύστημα αυτόαυτό συντεταγμένεςσυντεταγμένες ((a,b)a,b)καικαι ισχύειισχύει hh2 2 == aa22+b+b22. . ΗΗ ροπήροπή αδράνειαςαδράνειας τουτου σώματοςσώματος ωςως προςπροςάξοναάξονα διερχόμενοδιερχόμενο απόαπό τοτο P P υπολογίζεταιυπολογίζεται ωςως ακολούθωςακολούθως::



[ ]∫∫ −+−== dmb)(ya)(xdmrI 222

∫ ∫ +++= dm)ba(dm)yx(I 2222

∫ ∫−− dmyb2dmxa2

∫ ∫ == 0dmy&0dmx

επειδήεπειδή τοτο κέντροκέντρο μάζαςμάζας τουτου σώματοςσώματος βρίσκεταιβρίσκεται στοστο σημείοσημείο (x, y)=(0, 0)(x, y)=(0, 0), , οπότεοπότε::

ΑλλάΑλλά όμωςόμως ∫ ∫ == 0dmy&0dmx

2CM MhIΙ +=

h: h: απόστασηαπόσταση τουτου άξοναάξονα P P απόαπό τοντον άξοναάξονα τουτου κέντρουκέντρου μάζαςμάζας ΟΟ, , μεμε hh22 = a= a2 2 + b+ b22..Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 11


2CM MhIΙ +=

LL

xx dxdxΌπως υπολογίσθηκε προηγουμένως, η ροπήαδράνειας λεπτής ομογενούς ράβδου μήκους L και μάζας Μ ως προς κάθετο άξονα πουδιέρχεται από τη μία άκρη της είναι:

2ML31I =

Η εφαρμογή του θεωρήματος των παραλλήλων αξόνων καταλήγει στο ίδιο αποτέλεσμα:

222

22CM ML

31ML

41

121

2LMML

121MhII =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=+=


ΔΕΥΤΕΡΟΣΔΕΥΤΕΡΟΣ ΝΟΜΟΣΝΟΜΟΣ ΤΟΥΤΟΥ NEWTONNEWTON

ΓNET aIτ =

r)rm(a)r(marFτ Γtt ===

ΓΓ22

Γ aI)a(mrrmaτ ===

Ο Δεύτερος Νόμος του Newton στηνπεριστροφή στερεού σώματος έχει τημορφή:

όπου ττ η ασκούμενη ροπή δυνάμεωνστο στερεό σώμα και aaΓΓ η γωνιακήτου επιτάχυνση.

Απόδειξη


ΔΕΥΤΕΡΟΣΔΕΥΤΕΡΟΣ ΝΟΜΟΣΝΟΜΟΣ ΤΟΥΤΟΥ NEWTONNEWTON

ΓNET aIτ =

mamg-T =

Ma21T −=

2mM2mg‐a+

=

Υπολογισμός επιτάχυνσης στοσύστημα βάρους‐τροχαλίας

ΓΓ2 MRa

21TaMR

21RT- −=⇒=

Αλλά οπότε


ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ‐‐ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ


ΚΥΛΙΣΗΚΥΛΙΣΗ: : ΜΕΤΑΦΟΡΑΜΕΤΑΦΟΡΑ & & ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ


ΚΥΛΙΣΗΚΥΛΙΣΗ: : ΜΕΤΑΦΟΡΑΜΕΤΑΦΟΡΑ & & ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ

ΦωτογραφίαΦωτογραφία τροχούτροχού ποδηλάτουποδηλάτου πουπου κυλάεικυλάει


ΚΙΝΗΤΙΚΗΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΥΛΙΣΗΣΚΥΛΙΣΗΣ

2PωI

21K =

ΚινητικήΚινητική ενέργειαενέργεια κυλιόμενουκυλιόμενου τροχούτροχού::

2CMP MRII +=

22CM )ωMR(I

21K +=

2CM

2CM Mv

21ωI

21K +=ΠεριστροφικήΠεριστροφική καικαι μεταφορικήμεταφορική

κινητικήκινητική ενέργειαενέργεια


ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣΤΡΟΦΟΡΜΗ

vmrL rrr×=

⊥⊥⊥ ==== prLmvrprLsinφmvrL



τdtLd rr

=

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×=×=

dtvdrmv

dtrdmvmr

dtd

dtLd r

rrr

rrr

Απόδειξη

( ) ( ) ( ) Framr0armvvmdtLd rrrrrrrrr

×=×+=×+×=

τdtLd rr

=



constL0τdtLd

=⇒==r

r

ΑνΑν ηη συνολικήσυνολική εξωτερικήεξωτερική ροπήροπή πουπου ασκείταιασκείται σεσε σύστημασύστημα είναιείναι μηδένμηδέν, , τότετότε ηηστροφορμήστροφορμή τουτου συστήματοςσυστήματος παραμένειπαραμένει σταθερήσταθερή..

ΑρχήΑρχή ΔιατήρησηςΔιατήρησης ΣτροφορμήςΣτροφορμής

ffιi ωIωI =


ΑντιστοίχησηΑντιστοίχηση ΔυναμικώνΔυναμικών ΜεγεθώνΜεγεθών ΜεταφορικήςΜεταφορικής καικαιΠεριστροφικήςΠεριστροφικής ΚίνησηςΚίνησης

ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ‐‐ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ

ΔΥΝΑΜΗΔΥΝΑΜΗ FF ΡΟΠΗΡΟΠΗ ττΟΡΜΗΟΡΜΗ pp ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣΤΡΟΦΟΡΜΗ LL


ΑρμονικήΑρμονική ΤαλάντωσηΤαλάντωση ΥλικούΥλικού ΣημείουΣημείου

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Η απομάκρυνση x(t) υλικού σημείου που εκτελεί αρμονική ταλάντωσηικανοποιεί την διαφορική εξίσωση

0xωdt

xd 22

2

=+

ΠαράδειγμαΠαράδειγμαΗ ασκούμενη δύναμη ελατηρίου σε σημειακή μάζα m δίνεται από τη σχέση:

0xmk

dtxd0kx

dtxdm-kxF 2

2

2

2

=+⇒=+⇒=

όπου:

mkω

mkω2 =⇒= και

km2π

ω2πT ==


ΑρμονικήΑρμονική ΤαλάντωσηΤαλάντωση ΥλικούΥλικού ΣημείουΣημείου

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Η συνάρτηση x(t)= Ax(t)= A sin(sin(ωωt) t) αποτελεί μια απλή λύση της διαφορικής αυτήςεξίσωσης:

0xωdt

xd 22

2

=+

ΑπόδειξηΑπόδειξη

( )[ ] ( )[ ] =+=+ ωtAsinωωtAsindtdxω

dtxd 2

2

22

2

2

( )[ ] ( )[ ] =+= ωtAsinωωtcosωAdtd 2

( ) ( ) 0ωtsinAωωtsinAω 22 =+−=


ΑρμονικήΑρμονική ΤαλάντωσηΤαλάντωση ΣτερεούΣτερεού ΣώματοςΣώματος

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣΣΩΜΑΤΟΣ

Κατ’ αντιστοιχία, στη στροφική κίνηση ενός στερεού σώματος, ότανικανοποιείται η σχέση μεταξύ της ροπής τ και της γωνιακής απομάκρυνσηςθ(t):

kθdtθdΙkθIa-kθτ 2

2

Γ −=⇔−=⇔=

0θIk

dtθd2

2

=+

τότε το στερεό σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντωση με περίοδο:

Ikω

Ikω2 =⇒= και

kI2π

ω2πT ==

ΗΗ σταθεράσταθερά kk ταυτίζεταιταυτίζεται στηνστην περίπτωσηπερίπτωση αυτήαυτή μεμε τοτο άθροισμαάθροισμα όλωνόλων τωντων ασκούμενωνασκούμενων στοστοστερεόστερεό σώμασώμα ροπώνροπών ττ00 μεμε μοχλοβραχίοναμοχλοβραχίονα τηντην απόστασήαπόστασή τωντων σημείωνσημείων εφαρμογήςεφαρμογής τωντωνδυνάμεωνδυνάμεων απόαπό τοτο κέντροκέντρο περιστροφήςπεριστροφής..


ΠαράδειγμαΠαράδειγμα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣΣΩΜΑΤΟΣ

-mghθτsinθ-mgh τ 00 ≈⇒=

Αν το στερεό σώμα του σχήματος εκτραπεί κατά μικρήγωνία θθ, τότε η ασκούμενη ροπή του βάρους FFgg ωςπρος τον άξονα περιστροφής ΟΟ είναι:

Imghω

Imghω2 =⇒= και mgh

I2πω2πT ==

ΗΗ ροπήροπή αδράνειαςαδράνειας II αναφέρεταιαναφέρεται στονστον άξοναάξονα περιστροφήςπεριστροφής ΟΟ ενώενώ τοτο ττ00=mgh =mgh είναιείναι ηη μοναδικήμοναδικήασκούμενηασκούμενη ροπήροπή τουτου βάρουςβάρους μεμε μοχλοβραχίοναμοχλοβραχίονα τοτο hh, , δηλαδήδηλαδή τηντην απόστασηαπόσταση τουτου κέντρουκέντρουμάζαςμάζας (C) (C) απόαπό τοντον άξοναάξονα περιστροφήςπεριστροφής ((ΟΟ).).

και η εξίσωση κίνησής του δίνεται από τη σχέση:

Άρα το σώμα εκτελεί αρμονικήαρμονική ταλάντωσηταλάντωση με γωνιακή ταχύτητα ω και περίοδο T:

0θI

mghdtθdmghθ

dtθdΙmghθIa 2

2

2

2

Γ =+⇔−=⇔−=


09 Phys I Stiliaris · 2017-01-08 · ΦΥΣΙΚΗΙ alonso finn giancoli halliday‐resnick walker...

Documents

Transcript of 09 Phys I Stiliaris · 2017-01-08 · ΦΥΣΙΚΗΙ alonso finn giancoli halliday‐resnick walker...