1

06 – Sólidos de revolución

Diego Andrés Alvarez MarínProfesor Asistente

Universidad Nacional de ColombiaSede Manizales

2

Sólidos de revolución

Son sólidos con simetría axial, en los que su geometría, propiedades mecánicas y cargas son independientes de θ.

3

Ejemplos●Torres de depósito de agua

●Torres de enfriamiento●Muros cilíndricos●Pilotes cargados axialmente

●Silos●Cúpulas●Vasijas a presión●Fundaciones circulares●Problema de Boussinesq●Distribución de esfuerzos bajo una llanta en un pavimento

4

Campo de deformaciones en coordenadas cilíndricas

0

0

Deformaciónradial

Deformacióncircunferencial

Deformaciónaxial

Deformacióntangencial

0

5

Ley de Hooke

6

Ley de Hooke en el caso axisimétrico

7

Componentes de esfuerzos en coordenadas cilíndricas

8

Fuerzas actuantes

Vector de fuerzas másicas [N/(m³ rad)]

Vector de fuerzas de superficie (debe tener simetría de revolución) [N/(m² rad)]Vector de fuerzas puntuales (debe tener simetría de revolución) [N/(m rad)]

El rad en el denominador solo es por consistencia dimensional (ver siguiente diapositiva)

9

Principio de los trabajos virtuales

t

Haciendo uso de la simetría axial se integra sobre θ, para dar:

El 2π se podría eliminar pero se deja para recordar queq

i = N/(m rad) (es decir newtons por unidad de longitud

circunferencial)

r

10

Elemento finito triangular de tres nodos

El elemento es un anillo de sección triangular, cuyas funciones de forma son las mismas del elemento bidimensional haciendoel cambio (x,y) por (r,z)

11

12

Discretización del campo de desplazamientos (elem 3 nodos)

13

Discretización del campo de deformaciones (elem 3 nodos)

La matriz de deformación del elemento ya no esconstante ya quedepende de r y z.

De hecho observe queexiste una singularidaden r=0

14

Campo de esfuerzos

Observe que en el cálculo de los esfuerzos y las deformaciones en r=0 existe una indeterminación,

por lo tanto se debe calcular εθ en los puntos de

Gauss y luego se debe interpolar

15

Matriz de rigidez del elemento triangular de 3 nodos

16

K(e) analítica

Tarea: hacer un programa en MATLAB para calcular la matriz K(e) analíticamente, incluyendo la solución de la integral.

17

Vector de fuerzas nodales equivalentes

44

18

Vector de fuerzas nodales de equilibrio

19

Elementos finitos isoparamétricos

20

El cálculo con elementos isoparamétricos se realiza de forma similar a como se hizo en el caso de tensión y deformación plana.

21

Resolver el problema de Boussinesq utilizando elementos finitos serendípitos rectangulares de 8 nodos. Comparar con la solución analítica.

TAREA

22